Taller1. Aplicacion de las ecuaciones fundamentales

Julian Garcia1,Jhonathan Rocha1, Isaias Guzman1,Nicolas Sanches1

1Estudiante de ingenierıa civil, Universidad Nacional de Colombia

3 de Septiembre de 2015

Desarrollo

Ejercicio 1.Para este caso el rio se toma como un canal cuadrado de base b.

Imagen 1. Detalles del problema.

Por conservacion de energıa en el sistema se tiene que:

E1 = E2 + ∆y

y1 + v12

2g= y2 + v22

2g+ ∆y (1)

Por conservacion de masa se tiene que:Q1 = Q2 , Q = vA

0,6ms

(1,20b)m2 = v2(y2b)

v2 =0,72m2

s

y2(2)

Ahora se reemplaza v2 en la ecuacion (1) :

y1 + v12

2g−∆y = y2 +

(0,72m2

sy2

)

2

2g

Se ponen los valores conocidos y se despeja y2 con ayuda de la calculadora:

1,20m+(0,6m

s)2

2(9,81 ms2

)− 0,15m = y2 +

(0,72m2

sy2

)

2

2(9,81 ms2

)

1

1,068m = y2 +(0,72m2

sy2

)

2

2(9,81 ms2

)

y2 = 1,044m o y2 = 0,172m , 1,044m es la altura necesaria para que el flujosea subcrıtico, este valor se reemplaza en la ecuacion 2 para finalmente calcular lavelocidad del rio despues del obstaculo.

v2 =0,72m2

s

1,044m= 0,690m

s

La altura y velocidad del flujo despues del obstaculo son 1,044m y 0,690ms

res-pectivamente.

Ejercicio 2.

Imagen 2. caracterısticas del canal y detalle de la seccion transversal circular.

El area hidraulica de un canal circular esta dado por la siguiente expresion:Ac = 1

8(θ − sen(θ))d0

2 (1)el valor del angulo θ se obtiene igualando dos expresiones que dan como resultadoel ancho superficial o espejo de agua T:

Sen( θ2)d0 = 2

√y(d0 − y)

θ = 2sen−1(2√y(d0−y)d0

)

Ahora se ponen los valores conocidos:

θ = 2sen−1(2√

2,24m(2,80m−2,24m)

2,8m) = 1,86rad

El valor de θ se reemplaza en la ecuacion (1):

Ac = 18(1,86− sen(1,86))(2,80m)2 = 0,88m2

esta es el area de la parte vacıa del tubo, basta con restar este valor al area total

2

del circulo para obtener el area hidraulica.

A1 = π4(2,80m)2 − 0,88m2 = 5,28m2

Conocido este valor, ya es posible aplicar las ecuaciones de energıa teniendo encuenta las perdidas por el cambio de seccion transversal .

y1 + Q2

2gA12 = y2 + Q2

2gA22 + ∆y + kQ2

2g

∣∣∣ 1A1

2 − 1A2

2

∣∣∣, donde k es el factor de perdida

de energıa para cambios de seccion transversal.

A2 corresponde al area hidraulica en el tramo de seccion cuadrada, esta se expre-sa en funcion del ancho (2.5m) y la profundidad del flujo y2. Reemplazando valores:

2,24m+(5,42m3

s)2

2(9,81 ms2

)(5,28m2)2= y2+

(5,42m3

s)2

2(9,81 ms2

)(y22,5m)2+0,12m+

0,1(5,42m3

s)2

2(9,81 ms2

)

∣∣∣ 1(5,28m2)2

− 1(y22,5m)2

∣∣∣Con ayuda de la calculadora se halla el valor de y2.

y2 = 2,12m o y2 = 0,38m, 2,12m es la profundidad en la que el flujo es subcrıtico.

La profundidad aguas abajo de la transicion para un flujo subcrıtico es de 2,12m.

Ejercicio 3.

a) Contraccion.

Imagen 3. caracterısticas del canal , valores sin unidades estan en metros [m] .

Por conservacion de energıa se tiene:

E1 = E2 + hc, donde hc son las perdidas de energıa debidas a la reduccion.

y1 + Q2

2gA12 = y2 + Q2

2gA22 + kQ2

2g

∣∣∣ 1A1

2 − 1A2

2

∣∣∣A2 se expresa en funcion del ancho (3m) y la profundidad del flujo y2, k es el

coeficiente de perdida para una contraccion (0.1)

Reemplazando valores conocidos:

3m+(3m3

s)2

2(9,81 ms2

)(12m2)2= y2 +

(3m3

s)2

2(9,81 ms2

)(y23m)2+

0,1(3m3

s)2

2(9,81 ms2

)

∣∣∣ 1(12m2)2

− 1(y23m)2

∣∣∣3

Con ayuda de la calculadora se halla el valor de y2.

y2 = 2,99m o y2 = 0,14m, 2,99m es la profundidad en la que el flujo es subcrıtico.

La profundidad aguas abajo de la contraccion para un flujo subcrıtico es de2,99m.

b) Expansion.

Imagen 4. caracterısticas del canal , valores sin unidades estan en metros [m] .

Se aplica la metodologıa del caso anterior, para la expansion el coeficiente k esde 0.3.

3m+(3m3

s)2

2(9,81 ms2

)(12m2)2= y2 +

(3m3

s)2

2(9,81 ms2

)(y27m)2+

0,3(3m3

s)2

2(9,81 ms2

)

∣∣∣ 1(12m2)2

− 1(y27m)2

∣∣∣Con ayuda de la calculadora se halla el valor de y2.

y2 = 3,00m o y2 = 0,05m, 3,00m es la profundidad en la que el flujo es subcrıtico.

La profundidad aguas abajo de la expansion para un flujo subcrıtico es de 3,00m.

c) Ancho mınimo.

Imagen 5. caracterısticas del canal, valores sin unidades estan en metros [m] .

Para determinar el ancho mınimo del canal, se asume que la energıa del sistema enla contraccion es crıtica .

E1 = E2 + hc = Ec (1)La energıa critica se puede expresar en funcion de la profundidad crıtica, para el

caso de un canal cuadrado esta depende del caudal y el ancho del canal .

Ec = 32yc = 3

√Q2

gb2

Ahora se despeja b:

4

b = Q√g( 2

3Ec)

3(2)

De acuerdo con la ecuacion (1) E1 = Ec, a continuacion se calcula E1.

E1 = 3m+(3m3

s)2

2(9,81 ms2

)(12m2)2= 3,00m, este valor se introduce en la ecuacion (2).

b =3m3

s√9,81 m

s2( 23∗3m)

3= 0,34m

El ancho mınimo del canal debe ser de 0,34m

Ejercicio 4.

Imagen 6. caracterısticas del canal, se desprecian las perdidas de energıa debidas ala compuerta .

Para determinar las alturas en la seccion 2 se plantean las ecuaciones de momen-to y energıa entre los puntos 2 y 3 y los puntos 1 y 2 respectivamente.

*M2 = M3

yt2

2+ q2

gym= y32

2+ q2

gy3(1)

*E1 = E2 + hcomp, para este caso las perdidas de energıa debidas a la compuerta(hcomp) se desprecian.

y1 + q2

2gy12= yt + q2

2gym2

De la anterior expresion se despeja yt

yt = y1 + q2

2gy12− q2

2gym2 (2), ahora se reemplaza yt en la ecuacion (1).

[y1+q2

2gy12−

q2

2gym2 ]2

2+ q2

gym= y32

2+ q2

gy3

introduciendo valores conocidos, se calcula el valor de ym con ayuda de la calcu-ladora.

5

[3m+[5m3

s3m ]2

2(9,81 ms2

)(3m)2− [

5m3s

3m ]2

2(9,81 ms2

)ym2 ]

2

2+

[5m3

s3m

]2

(9,81 ms2

)ym= (2,85m)2

2+

[5m3

s3m

]2

(9,81 ms2

)(2,85m)

ym = 0,72m o ym = 0,17m

Se sabe que el borde de la compuerta esta por debajo de la profundidad crıtica,esta se calcula a continuacion para determinar cual es el valor correcto de ym.

yc =3

√(5m3

s3m

)

2

9,81 ms2

= 0,66m

Por lo que ym = 0,17m

Este valor se coloca en la ecuacion (2) para determinar yt

yt = 3m+[5m3

s3m

]2

2(9,81 ms2

)(3m)2− [

5m3s

3m]2

2(9,81 ms2

)(0,17m)2= −2,06m

La fuerza ejercida por la compuerta se calcula con las ecuaciones de momento:

M1 = M2 + Pc =⇒ Pc = M1 −M2

Pc = y12

2+ q2

gy1− [yt

2

2+ q2

gym]

Pc = (3m)2

2+

[5m3

s3m

]2

(9,81 ms2

)(3m)− [ (−2,06m)2

2+

[5m3

s3m

]2

(9,81 ms2

)(0,17m)] = 0,81m2

Multiplicando este valor por el peso especıfico del agua y ancho del canal :

Pc = 23,84kN

Finalmente la perdida de energıa en el resalto hidraulico ahogado se calcula rea-lizando la diferencia de energıa entre los puntos 2 y 3.

∆ERH = E2 − E3

∆ERH = −2,06m+[5m3

s3m

]2

2(9,81 ms2

)(0,17m)2− [2,85m+

[5m3

s3m

]2

2(9,81 ms2

)(2,85m)2] = 0,14m

Las profundidades en la zona 2 son ym = 0,17m, yt = −2,06m. La fuerza ejercidapor la compuerta es 23,84kN y la perdida de energıa debida al resalto hidraulico es0,14m.

6

Ejercicio 5.

Imagen 7. caracterısticas del canal, se desprecian las perdidas de energıa debidas ala compuerta .

La profundidad y2 se calcula a partir de las ecuaciones de energıa especıfica enlos puntos 1 y 2, las perdidas debidas a la compuerta se desprecian.

2m+(12m3

s)2

2(9,81 ms2

)(14m2)2+0,25m = y2+

(12m3

s)2

2(9,81 ms2

)(y2(3,8m+y2))2 +

0,1(12m3

s)2

2(9,81 ms2

)

∣∣∣ 1(14m2)2

− 1(y2(3,8m+y2))

2

∣∣∣El valor de y2 es 0.45m.

La profundidad aguas abajo de la compuerta se halla planteando las ecuacionesde momento en los puntos 2 y 3.

z2y323

b2y22

2+ Q2

g(y2(b2+z2y2))=

z3y333

b3y32

2+ Q2

g(y3(b3+z3y3))

En donde z corresponde a la pendiente de la seccion transversal trapezoidal y bal ancho de la base.

Ahora se reemplazan valores y se halla y3:

(0,45m)3

3+ (3,8m)(0,45m)2

2+

(12m3

s)2

(9,81 ms2

)(0,45m)(3,8m+0,45m))=

y333

+(3,8m)y3

2

2+

(12m3

s)2

(9,81 ms2

)(y3(3,8m+y3))

y3 = 1,63m

La energıa disipada por el resalto hidraulico se obtiene al efectuar la diferenciade energıa entre los puntos 2 y 3.

∆ERH = E2 − E3

7

Las areas para cada seccion son:

A2 = 0,45m(3,8m+ 0,45m) = 1,91m2

A3 = 1,63m(3,8m+ 1,63m) = 8,85m2

∆ERH = 0,45m+(12m3

s)2

2(9,81 ms2

)(1,91m2)2− [1,63m+

(12m3

s)2

2(9,81 ms2

)(8,85m2)2] = 0,78m

La fuerza que ejerce la compuerta se calcula al realizar la diferencia de momentosdel punto 1 y 3

Pc = M1 −M2

Pc = (2m)3

3+ (5m)(2m)2

2+

(12m3

s)2

(9,81 ms2

)(14m2)− [ (0,45m)3

3+ (3,8m)(0,45m)2

2+

(12m3

s)2

(9,81 ms2

)(1,91m2)]

Pc = 4,28m3

Multiplicando este valor por el peso especıfico del agua:Pc = 41,99kN

Para calcular la longitud del resalto hidraulico se emplea la siguiente ecuacion:

Lrh = α(Fr2 − 1)βy2

En donde α y β son valores que dependen de las propiedades geometricas delcanal, para este caso en donde el canal tiene una seccion transversal trapezoidal dependiente 1, α = 23 y β = 0,885. El numero de Froude Fr se expresa de la siguientemanera:

Fr = Q√gA3

T

Para la seccion trapezoidal se tiene:

Fr = Q√g[y2(b2+z2y2)]

3

[b2+2z2y2]

Reemplazando valores:

Fr =12m3

s√(9,81 m

s2)

(1,91m2)3

(3,8+2(0,45m))

= 3,15

Lrh = 23(3,152 − 1)0,886

(0,45m) = 71,81m

La Profundidad en la zona 2 es 0,45m, la profundidad aguas abajo de la compuer-ta es 1,63m, las cantidad de energıa disipada en el resalto hidraulico en unidadesde longitud es de 0,78m, la fuerza ejercida por la compuerta es de 41,99kN y lalongitud del resalto hidraulico es 71,81m

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