Mínimos cuadrados estadar

Mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico enmarcada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares ordenados: variable independiente, variable dependiente, y una familia de funciones, se intenta encontrar la función continua, dentro de dicha familia, que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático.

Visto de forma sencilla:

Ax= y

x=A−1 y

Donde y son los valores gravimétricos tomados en campo, y A está formado por la evaluación

de las coordenadas de los puntos en la función g=a x2+b y2+cx+dy+e, mientras que x son

los parámetros que se buscan.

Debido a que no se puede obtener la inversa de la matriz A fácilmente, se utiliza la

pseudoinversa, que queda expresada como A−1=(AT A )−1 AT y=(A ' A)−1 A ' y.

x=(A ' A )−1 A ' y

I Resolver por mínimos cuadrados los siguientes problemas.a) y1=Ax1 Encontrar x1b) y2=Ax2 Encontrar x2c) y3=Ax1 Evaluar a x1d) y4=Ax2 Evaluar a x2e) Decir si y1=y3 ò y2=y4

clear allclose allclcA=[36 -630 3360 -7560 7560;-630 14700 -88200 211680 -220500;3360 -88200 564480 -1411200 1512000;-7560 211680 -1411200 3628800 -3969000;7560 -220500 1512000 -3969000 4410000;-2772 83160 -582120 1552320 -1746360];y1=[463;-13860;97020;-258720;291060;-116424];% vector y1y2=[-4157;-17820;93555;-261800;288288;-118944];% vector y2x1=inv(A'*A)*A'*(y1); % inciso a% se calcula x1 aplicando la pseudoinversa de la matriz A.x2=inv(A'*A)*A'*(y2); % inciso b% se calcula el vector de parámetros x2,y3=A*x1; % Inciso c% Se calcula el resultado de y3 utilizando los parámetros x1.y4=A*x2; % inciso d% Se calcula el resultado de y4 utilizando los parámetros x2.x1

x2y3y4

Matriz A:

36 -630 3360 -7560 7560-630 14700 -88200 211680 -220500 3360 -88200 564480 -1411200 1512000-7560 211680 -1411200 3628800 -3969000 7560 -220500 1512000 -3969000 4410000-2772 83160 -582120 1552320 -1746360

Vector y1:

463-13860 97020-258720 291060-116424

Vector y2:

-4157-1782093555-261800288288-118944

a)

x1 =

1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000

b)

x2 =

1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000

X1=X2. Son los mismos parámetros para ambos casos

c)

y3 =

1.0e+05 *

0.0046 -0.1386 0.9702 -2.5872 2.9106 -1.1642

d)

y4 =

1.0e+05 *

0.0046 -0.1386 0.9702 -2.5872 2.9106 -1.1642

Los vectores ya & yb son iguales, esto es lógico, ya que la matriz A es la misma y los vectores parámetros x1 y x2 son iguales.

e)

Se puede observar una gran diferencia entre los valores de y1 & y3, así como entre los valores de y2 & y4.

Minimos cuadrados ponderados

Resolver lo siguiente mediante mínimos cuadrados ponderados.a) Dado Cyy1 & y1, calcular cyy1^(-1/2)b) Dado Cyy2 & y2, calcular cyy2^(-1/2)c) y1’=A’x1 Calcular x1d) y2’=A’x2 Calcular x2e) y1c=Ax1 Calcular y1c a partir de los parámetros x1 y la matriz Af) y2c=Ax2 Calcular y1c a partir de los parámetros x2 y la matriz Ag) Observar las diferencias entre y1 & y1c, así como de y2 & y2c

clear allclose allclca=load('a.txt');% Se carga la matriz A del archivo originaly1=load('y1.txt'); m=length(y1);% Se carga el vector y1y2=load('y2.txt');% Se carga el vector y2cyy1=zeros(m); cyy2=zeros(m);cyy1_r=zeros(m); cyy2_r=zeros(m);y1p=zeros(m,1); y2p=zeros(m,1);for i=1:mcyy1(i,i)=0.005*y1(i);cyy2(i,i)=0.005*y2(i);cyy1_r(i,i)=1/sqrt((abs(cyy1(i,i)))); % 2_a

cyy2_r(i,i)=1/sqrt((abs(cyy2(i,i)))); % 2_ay1p(i,1)=y1(i)*cyy1_r(i,i);% y1p es y1', solo que no se pone de esta manera porque matlab lo% podrÃa confundir con la transpuesta. Se calcula multiplicando y1% por el valor de cyy1_r.y2p(i,1)=y2(i)*cyy2_r(i,i);% y2p es y2', solo que no se pone de esta manera porque matlab lo% podrÃa confundir con la transpuesta. Se calcula multiplicando y2% por el valor de cyy2_r.end% El ciclo for asigna los valores de cyy1 y cyy2 a partir de los valores de% los vectores y1 y y2, para después sacar el inverso de la raÃz de estos,% que es cyy1_r y cyy2_r.a1p=cyy1_r*a;% Como en el método se requiere de el valor de A2' y no de A, se calcula% multiplicando A por cyy1_r,a2p=cyy2_r*a;% A2' se calcula multiplicando A por cyy2_r,x1=inv(a1p'*a1p)*a1p'*(y1p); % 2_bx2=inv(a2p'*a2p)*a2p'*(y2p); % 2_c% Se calculan los vectores de parámetros x1 y x2y1c=a*x1; % 2_dy2c=a*x2; % 2_e% Se evalúan los vectores de parametros x1 y x2 con la matriz original A.e1=y1c-y1; % 2_fe2=y2c-y2; %2_f% e1 y e2 son los errores entre los vectores calculados y los vectores% con los que se partió.

Matriz A:

36 -630 3360 -7560 7560-630 14700 -88200 211680 -220500 3360 -88200 564480 -1411200 1512000-7560 211680 -1411200 3628800 -3969000 7560 -220500 1512000 -3969000 4410000-2772 83160 -582120 1552320 -1746360

Vector y1:

463-13860 97020-258720 291060

-116424

Vector y2:

-4157-1782093555-261800288288-118944

cyy

0.005*y(1) 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0

0,00E+000.005*y(2) 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0

0,00E+00 0,00E+000.005*y(3) 0,00E+00 0,00E+00 0

0,00E+00 0,00E+00 0,00E+000.005*y(4) 0,00E+00 0

0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+000.005*y(5) 0

0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+000.005*y(6)

a)

Cyy1_r

0.6572 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00000.0000 0.1201 0.0000 0.0000 0.0000 0.00000.0000 0.0000 0.0454 0.0000 0.0000 0.00000.0000 0.0000 0.0000 0.0278 0.0000 0.00000.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0262 0.00000.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0414

Cyy2_r

0.2193 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00000.0000 0.1059 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 0.0462 0.0000 0.0000 0.00000.0000 0.0000 0.0000 0.0276 0.0000 0.00000.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0263 0.00000.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0410

b)

x1 =

1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000

c)

x2 =

1.0e+03 *

-3.5033 -1.2179 -0.5308 -0.2341 -0.0835

d)

y1c =

1.0e+05 *

0.0046 -0.1386 0.9702

-2.5872 2.9106 -1.1642

e)

y2c =

1.0e+05 *

-0.0396 -0.1708 0.9694 -2.5338 2.9664 -1.1581

f)

e1 =

-0.0000 -0.0000 0.0019 -0.0074 0.0101 -0.0045

e2 =

1.0e+03 *

0.2006

0.7372 3.3862 8.4232 8.3477 3.1311

Imagen 1. Gráfica del error entre y1-y1c & y2-y2c