UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

INSTITUTO DE FÍSICA

PROBLEMAS DE FÍSICA II

2001

CONTENIDO

OSCILACIONES

GRAVITACIÓN

INTERACCIÓN ELÉCTRICA

CAMPOS ELECTROSTÁTICOS

CIRCUITOS

INTERACCIÓN MAGNÉTICA

LAS LEYES DE AMPÉRE Y DE FARADAY – HENRY

OSCILACIONES

1.1 La figura muestra un bloque de madera de dimensiones a, b y c, que flota en agua con la dimensión a vertical. Pruebe que el movimiento es armónico simple. Llame y las densidades del bloque y del agua, respectivamente.

Solución:

El lado izquierdo de este dibujo muestra al bloque en equilibrio, de tal manera que una longitud d, desconocida, está sumergida, y una longitud a – d está por encima del nivel del agua. A la derecha aparece el bloque levantado una cantidad y: ahora la longitud sumergida es d – y. Procedemos a averiguar la incógnita d, en la situación de equilibrio: la fuerza de Arquímedes debe igualar al peso total del bloque: bcdg = bcag, de donde:

- 1 -

Ahora, para la situación de no equilibrio escribamos la ecuación de movimiento , reconociendo que hay dos fuerzas: la de Arquímedes hacia arriba, y el peso

hacia abajo:

; dividir todo por bc:

Ahora usar - 1 - en el primer término del lado izquierdo:

es decir:

Que se reconoce como la ecuación del movimiento armónico simple, con frecuencia

angular , es decir

1.2 Una partícula ejecuta un movimiento armónico simple con respecto al punto x = 0; para t = 0 tiene una elongación x = 0.37 cm y una velocidad cero. Si la frecuencia del movimiento es 0.25 s-1, determinar a) el periodo, b) la frecuencia angular, c) la amplitud, d) la elongación para un tiempo t arbitrario, e) la velocidad para cualquier tiempo t, f) la velocidad máxima, g) la aceleración máxima, h) la elongación para t = 3.0 s, i) la velocidad para t = 3.0s.

Los datos son:

- 1 - x (0) = 0.37 cm.- 2 - V (0) = 0.- 3 - el MAS se describe en general así:- 4 -

- 5 -

- 6 -

- 7 -

- 8 -

a) Con - 8 - y - 3 - encontramos P = (0.25 s-1)-1= 4 s.b) Con - 7 - y - 3 - encontramos ( 0.25 s-1) = 1.57 s-1.c) - 2 - indica que en t = 0 el oscilador tiene elongación máxima, que es A. Entonces

A = 0.37 cm.d, e) Según - 5 - vemos que v es cero cuando el seno vale cero.

de donde , entonces - 4 - 5 - 6 - quedan :

- 9 -

- 10 -

- 11 -

f) Según - 10 - la magnitud de la velocidad máxima ocurre cuando el seno vale uno: Vmáx = 0.58 cm s-1 .

g) Según - 11 - la magnitud de la aceleración máxima ocurre cuando el coseno vale uno:

amáx = 0.91cm s-2 h) Según - 9 -:

= 0

i) De acuerdo con h), para t = 3 s se tiene que la fase total toma el valor .

Entonces - 10 - queda:

1.3 Una partícula tiene movimiento armónico simple con amplitud 2 metros y período 1 segundo. Halle la velocidad cuando la partícula está a un metro de distancia de la posición de equilibrio.

pero ; A = 2m.

Hallemos el valor de la fase cuando x(t) = 1m:

es decir :

, entonces:

Podemos también resolver este problema usando la ley de la conservación de la energía;

.

Cuando la partícula está en el punto de máximo desplazamiento, toda su energía es potencial:

- 1 -

Cuando pasa por la energía se escribe así:

. Igualar esto con - 1 -:

, de donde

, es decir

.

1.4 Dos resortes están unidos entre sí, y a una masa m, como se muestra en la figura.

Las superficies carecen de rozamiento. Si los resortes tienen constantes k1 y k2,

demostrar que la frecuencia de oscilación es .

La figura superior muestra el sistema en equilibrio, cuando los dos resortes tienen su longitud natural. La figura inferior muestra el sistema en un instante en que el resorte 1 tiene un alargamiento x1 y el resorte 2 tiene un alargamiento x – x1:- 1 - resorte 1 tiene alargamiento x1

- 2 - resorte 2 tiene alargamiento x – x1

Las figuras muestran el punto de empate E, el cual se supone que tiene masa cero. La ley de Newton dice que sobre un punto de masa cero – la fuerza total es cero; vemos pues que la fuerza total sobre E es cero, y esto con -1-2-dice: , con y (ver figura). Donde:

- 3 -

De otro lado, sobre m se ejerce la fuerza del resorte 2, y entonces - 2 – dice que:

Fuerza sobre m es F2= – k2 (x – x1) ma = – k2 (x – x1) usar - 3 -

, pero

Esta es la fórmula que identifica al movimiento armónico simple; reconocemos la frecuencia angular :

- 4 - , entonces

Cuando hay un solo resorte de constante k se tiene , y al comparar esto con - 4

- vemos que el sistema de dos resortes k1 y k2 conectados en serie es equivalente a un solo resorte con una k dada por

, que también se escribe así:

1.5 Dos resortes de constantes k1 y k2 están unidos a una masa m, y sus extremos libres se unen a dos soportes fijos, como se muestra en la figura. Las superficies carecen de rozamiento. Demostrar que m tiene movimiento armónico simple, hallar el período.

El dibujo superior muestra la situación en equilibrio, en esta condición la fuerza total sobre m es cero:

El dibujo inferior muestra un instante en que las longitudes de los resortes se han deformado x. Las variables x, v y a significarán la posición, velocidad y aceleración de la masa m; en la situación del dibujo inferior escribimos la energía total:

- 1 -

A la ecuación - 1 - le tomamos la derivada temporal, y aparece , que es cero porque

la energía se conserva:

Dividir ambos lados por v se obtiene :

ma + (k1 + k2)x = 0, es decir:

Esta es la fórmula que identifica al movimiento armónico simple; reconocemos la frecuencia angular :

- 2 - , entonces

Cuando hay un resorte de constante k, se tiene , y al comparar esto con - 2 –

vemos que este sistema de dos resortes es equivalente a un solo resorte con una k dada por k = k1 + k2

Este problema también se puede resolver estudiando directamente las fuerzas que actúan sobre m. Bosquejaremos rápidamente la idea :

Sobre m actúan dos fuerzas recuperadoras debidas a las deformaciones x de los resortes de constantes elásticas k1 y k2, dadas por y respectivamente, por lo tanto la fuerza neta sobre la masa es:

-3-

y esta ecuación coincide con las ecuaciones desarrolladas a partir de la conservación de la energía; basta entonces repetir a partir de –3- el mismo proceso desarrollado desde –2-.

1.6 Un cilindro macizo de radio R y masa m puede rodar sin resbalar sobre una mesa horizontal, como muestra la figura.

La constante k del resorte es . Si se suelta el sistema a partir del reposo en una posición en la cual el resorte esté estirado 0.25 metros, encontrar la energía cinética de traslación y la energía cinética de rotación del cilindro en el instante en que pasa por la posición de equilibrio. Demostrar que el centro del cilindro ejecuta movimiento

armónico simple con periodo .

Llamamos la velocidad angular de cilindro, y x, v, a la posición, velocidad y aceleración del centro de masa del cilindro; el momento de inercia respecto al eje del

cilindro es . La condición de rodar sin deslizar se expresa como , es

decir ; como la energía cinética de rotación es , tenemos:

E. cin. rot. =

E. cin. transl. = . La energía total es

E. cin. rot + E. cin. transl.

- 1 -

En la situación inicial x = xmax y v = 0 y - 1 - da:

- 2 -

En la situación final x = 0 y v = vmax y - 1 - da:

- 3 -

Por la ley de la conservación de la energía, igualar - 2 - y - 3 -:

E. cin. rot. máx. =

E. cin. transl. máx. =

Para probar que se trata de movimiento armónico simple le tomamos la derivada

temporal a la ecuación - 1 -, y aparece , que es cero porque la energía se conserva:

dividir ambos lados por v y hacer :

Que se reconoce como la ecuación del movimiento armónico simple con frecuencia

angular , es decir, con período .

1.7 Un disco sólido de radio R se cuelga de un eje horizontal B a una distancia h del centro como muestra la figura. Calcule la longitud del péndulo simple equivalente l. ¿Cuál debe ser el valor de h para minimizar el periodo?.

Solución:

El teorema de Steiner dice que el momento de inercia respecto al eje B es ,

donde I0 es el momento de inercia respecto al eje del disco ; entonces

. El radio de giro k se define de tal modo que :

, es decir

Sabemos que el período del péndulo compuesto es

, es decir:

Un péndulo simple de longitud l tiene período ; igualando esto a P(h)

encontramos l:

Para hallar máximos y mínimos tomar y :

- 1 -

- 2 -

Los máximos y mínimos de P ocurren cuando el numerador de - 1 - sea cero; pero vemos que cuando el numerador de - 1 - es cero entonces el segundo término de - 2 - es

cero y en consecuencia : concluimos así que hay P mínimo cuando el

numerador de - 1 - sea cero: P es mínimo para .

evaluando en

En esta curva P versus h, después de pasar por el mínimo de la curva asciende muy lentamente:

sólo asciende 3%

1.8 Un péndulo simple, en el vacío, tiene un período P0 = 2 s y amplitud 2º. Luego se sumerge en un fluido y se nota que después de 10 oscilaciones su amplitud se ha reducido a 1.5º. Hallar la constante de amortiguamiento .

Antes de sumergirlo en el fluido la amplitud es 2º, constante, y la frecuencia angular

es ; al sumergir el péndulo en el fluido ocurren dos modificaciones:

primero que todo la amplitud decrece exponencialmente según y, segundo, la

frecuencia angular toma el valor . Para este nuevo valor de la frecuencia angular hallar el período P:

- 1 -

Sabemos que cuando han pasado diez períodos P, la amplitud es 1.5º:

. Tomar logaritmo natural a ambos lados:

. Pero :

- 2 -

Para resolver - 2 - utilizar - 1 - :

- 3 - Elevar al cuadrado a ambos lados:

- 4 - .

En el lado izquierdo de - 4 - comparemos numéricamente los dos sumandos: , mientras , es decir (0.29)2 <<< (20 . Hacemos

entonces una aproximación que consiste en ignorar (0.29)2 en el lado izquierdo de - 4 - para obtener:

- 5 - , de donde

- 6 - .

Miremos en retrospectiva el significado de la aproximación que conduce de - 4 - a - 5 -. Notamos que la aproximación consiste en despreciar el sumando en el denominador de - 3 -, que es como despreciar el sumando en el denominador de - 1 -, que es

como decir P = 2 s. Pero este es justamente el valor de P0. Vemos pues que nuestra aproximación consiste en hacer , que es como interpretar el enunciado del problema así: “... se nota que después de 10 P0 su amplitud es 1.5º”. Para apreciar numéricamente la aproximación evaluemos P con mejor precisión, utilizando la fórmula del binomio de Newton en - 1 -:

ahora utilizar - 6 -: P = 2(1 + 0.000010)s.