Derivadas

Ejercicios de profundizacion

1. Encuentra la derivada de las siguientes funciones:

a) f(x) = cos

sin (tanpix)

b) f(x) =(

2 +(x2 + 1

)4)3c) f(x) =

(x+ 5

x2 + 2

)2d) f(x) =

2 +

2 +x

e) f(x) = ecos2 x

f ) f(x) =x2

lnx

2. Demuestra que las graficas de y = x y y =1

xtienen rectas tangentes perpendiculares en su

punto de interseccion (comprueba el resultado con herramientas informaticas de representaciongrafica).

3. Se considera la funcion definida por f(x) =

2ax+ 3 si x < 1

3 si x = 1

x2 bxx+ 5

si x > 1

,

estudia la continuidad y la derivabilidad de esta funcion segun el valor de los parametrosa, b R.

4. Encuentra los puntos donde la recta tangente a la funcion f(x) = x 1x

es paralela a la recta

2x y = 5.5. En que puntos la recta tangente a f(x) = x36x es paralela al segmento que une P1 = (0, 0)

y P2 = (2,4)?

6. Prueba que la funcion definida por f(x) = ax + x2 sin1

x, x 6= 0, f(0) = 0, es derivable en el

origen.

7. Sea y(x) una funcion derivable que satisface la ecuacion x3 + y4 = 2 y y(1) = 1. Encuentray(1).

8. Sea f(x) = sinx, donde es una constante.

a) Calcula las cuatro primeras derivadas de la funcion.

b) Verifica que la funcion y la segunda derivada satisfacen la ecuacion f (x) + 2f(x) = 0.

9. Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones:

a) f(x) =x+ 1

x 1b) f(x) = ex2 +

x

c) f(x) =

x2 + 1

x

d) f(x) = cos2 x+ sin (2x) + arctanx

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