Ejercicios de repaso 2, análisis en el dominio de la frecuencia

5/9/2018 Ejercicios de repaso 2, análisis en el dominio de la frecuencia - slidepdf.com

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Ricardo Alejos

Electrónica de Radiofrecuencia

Ejercicios de repaso 2 Análisis en el dominio de la frecuencia

Problema 1

Enunciado

Para el siguiente circuito concentrado, obtenga las fórmulas para calcular sus parámetros S co-

rrespondientes al ser medidos con respecto a una impedancia de referencia .

Solución

Recordemos que los parámetros S están definidos de tal forma que dónde

Vector de onda reflejada.

Vector de onda incidente.

Matriz de parámetros S.

Lo anterior representado matricialmente para una red de dos puertos es:

Así bien podemos encontrar los parámetros S de la red del enunciado con las expresiones:



Ricardo Alejos


Las ondas de voltaje están ubicadas de la siguiente forma en el circuito:

Calculemos primero y , para ello habremos de hacer que la onda incidente en el puerto dos

sea . Note que esto último se logra poniendo una carga con valor de en el puerto 2. Con

ésta condición el circuito queda de la siguiente forma:

El primer parámetro a calcular será entonces . Recordemos que los elementos de la diagonal de

la matriz de parámetros S, es decir , son los coeficientes de reflexión del puerto indicado en sus

subíndices () bajo la condición de haber acoplado el resto de los puertos del sistema. Así bien:

Donde es la impedancia de entrada medida desde el puerto 1 y puede ser calculada como:

[ ( )] Ahora calculemos . Para éste caso note que como , significa que , de modo

que:

Observe que se puede obtener con el divisor de voltaje formado por la impedancia y el para-

lelo , mientras que el voltaje incidente se puede obtener como :

{[][ ()]}

Pero recuerde que para la condición establecida, así bien, tras hacer algo de álgebra lle-

gamos a que:

()



Ricardo Alejos


Por la simetría del circuito, habremos de intuir que haciendo un procedimiento similar, pero ahora

con la condición , encontraremos que y que . Así bien, en general:

()

Dónde

[ ( )]

Ejercicio 2

EnunciadoEl siguiente circuito en es un filtro paso-bajo que utiliza , , y . Utilizando las fórmulas del problema anterior (tomando ), grafique la magnitud y la fase de y en un intervalo de frecuencia de a

(utilice Matlab o cualquier otro programa similar).

Solución

Encontremos las impedancias de las diferentes ramas LC presentes en el circuito. En primer lugar,

la impedancia del circuito LC en serie compuesto por los componentes de valor y tiene una

impedancia que podemos calcular de la siguiente forma:

Ahora calculemos la impedancia del circuito LC en paralelo :



Ricardo Alejos


Con éstas expresiones y las encontradas en el ejercicio 1, podemos escribir un programa que nos

ayude a obtener las gráficas pedidas en el enunciado. En éste caso, presento aquí un código para

tal fin para correrse en Matlab.

% X = [L Cp Lp C]

function [S11,S21]=pi_LC6(X)

Zo=50;

fi = 10; % Frecuencia inicial ff = 10e9; % Frecuencia final fp = 300; % Número de puntos de frecuencia f = linspace (fi, ff, fp); % Vector de frecuencia w = 2*pi*f; % Frecuencia angular (rad/s) j = sqrt(-1); %Unidad imaginaria s = j*w;

L =X(1); Cp = X(2); Lp = X(3); C = X(4);

ZL = s*L; ZCp = 1./(s*Cp); ZLp = s*Lp; ZC = 1./(s*C);

Zp=ZC+ZLp; Zs=((ZCp.^-1)+(ZL.^-1)).^-1; Zi=(Zp.^-1+(Zs+(Zp.^-1+Zo.^-1).^-1).^-1).^-1;

S11=(Zi-Zo)./(Zi+Zo); S12=(1+S11).*(Zp.^-1+Zo.^-1).^-1./(Zs+(Zp.^-1+Zo.^-1).^-1);

subplot(2,2,1); plot(f./1e9,abs(S11)); grid on; ylabel('|S_{11}|'); xlabel('frequency (GHz)');

subplot(2,2,2); plot(f./1e9,angle(S11)*(180/pi)); grid on;

ylabel('fase de S_{11} (grados)'); xlabel('frequency (GHz)');

subplot(2,2,3); plot(f./1e9,abs(S12)); grid on; ylabel('|S_{12}|'); xlabel('frequency (GHz)');

subplot(2,2,4);



Ricardo Alejos


plot(f./1e9,angle(S12)*(180/pi)); grid on; ylabel('fase de S_{12} (grados)'); xlabel('frequency (GHz)');

Al declarar un vector de entrada con los valores correspondientes de X, obtenemos las siguientesgráficas:

Ejercicio 3

Enunciado

La red de dos puertos mostrada a continuación funciona de tal forma que los voltajes y las corrien-

tes de los puertos tienen los siguientes valores (medidos con respecto a una impedancia de refe-

rencia ):

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

| S 1 1

|

frequency (GHz)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

f a s e

d e

S 1 1

( g r a d o s )

frequency (GHz)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

| S 1 2

|

frequency (GHz)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

f a s e

d e

S 1 2

( g r a d o s )

frequency (GHz)



Ricardo Alejos


Calcule las impedancias de entrada de cada puerto ( y ), y las ondas de voltaje incidentes y

reflejadas de cada puerto (es decir: , , y ).

Solución

Para encontrar las impedancias de entrada bastará con aplicar la ley de Ohm en cada puerto. Así

entonces:

Ahora, para encontrar las ondas de voltaje reflejado e incidente podemos utilizar la expresión

(siendo

el voltaje presente en el puerto

), y para ello primero habremos de

calcular el coeficiente de reflexión de cada puerto. Esto último es sencillo ya que contamos conlas impedancias de entrada de cada puerto, así bien:

Ya teniendo ambos coeficientes de reflexión, ahora procedemos a calcular los voltajes incidentes

como habíamos acordado anteriormente:



Ricardo Alejos


Para calcular los voltajes reflejados y utilizaremos la expresión (siendo el

voltaje en el puerto ):

Ejercicio 4

Enunciado

Una red de cuatro puertos tiene sus parámetros S como se muestran a continuación (medidos a

una frecuencia de operación dada).

(a) ¿Es esta red es recíproca?; (b) ¿Es esta red una red sin pérdidas?; (c) ¿Cuáles son las pérdidas

de retorno en el puerto 1 cuando todos los demás puertos están acoplados?; (d) ¿Cuáles son las

pérdidas de inserción y el retraso de fase (en grados) entre los puertos 2 y 4, cuando el resto de los

puertos terminan en una carga acoplada?; (e) ¿Cuáles son las pérdidas de retorno del puerto 1 si elpuerto 3 termina en un corto-circuito y el resto de los puertos terminan en cargas acopladas?.

Solución

Inciso (a)

Note que se cumple que , de modo que la matriz es simétrica y por lo tanto, recíproca.



Ricardo Alejos


Inciso (b)

La condición para que la red no tenga pérdidas conociendo sus parámetros S, es que la matriz de

parámetros S sea unitaria, es decir . Lo anterior también significa que

∑

Se puede demostrar que para el caso de una matriz compleja simétrica y además unitaria:

∑||

Esto quiere decir que la suma del cuadrado de las magnitudes de una columna debe ser igual a .

Sin embargo, para la matriz S descrita en el enunciado del ejercicio, para la primer (es decir, )

columna sucede que

∑||

De modo que esta matriz S no es unitaria, y por lo tanto la red sí tiene pérdidas.

Inciso (c)

La cantidad de pérdidas de retorno denotada por (por su significado en inglés Return Loss) está

definida por:

De modo que para poder conseguir las pérdidas de retorno del puerto 1 ( ) de antemano ha-

bremos de calcular el coeficiente de reflexión para dicho puerto (). Pero observe que para la

condición en que todos los puertos están acoplados salvo el puerto 1 (esto por la defini-

ción de los parámetros S) y entonces:

||

Inciso (d)

La cantidad pérdidas de inserción denotadas por (por su significado en inglés Insertion Loss)

está definida por:

De modo que para poder calcular las pérdidas de inserción del puerto 2 al 4 () habrá que cal-

cular primero el coeficiente de transmisión del puerto 2 al 4 respectivamente (). Para el caso en



Ricardo Alejos


que todos los puertos terminan en una carga acoplada salvo el puerto 2, se cumple que

(esto por la definición de los parámetros S) y entonces:

||

El coeficiente de transmisión también contiene información acerca del ángulo de fase que

existe entre el puerto 2 y el 4 . De hecho en general se puede comprobar que para un coefi-

ciente de transmisión entre dos puertos h () de la forma , es la ganancia de volta-

je de un puerto a otro y es el ángulo de desfase entre dichos puertos siempre y cuando todos los

puertos de la red están acoplados salvo el puerto . En conocimiento de esto último, podemos

obtener de la siguiente manera:

()

Inciso (e)

Las pérdidas de retorno se definieron anteriormente en la solución al inciso (c), ahora hay que

calcularlo para el puerto 1 cuando el puerto 3 tiene un corto-circuito en sus terminales ( ) y

se acopla el resto de los puertos (haciendo esto que ). Dadas estas condiciones ha-

brá que calcular .

Acorde con la definición de los parámetros S y aplicando las condiciones dadas en el párrafo ante-

rior:

De aquí podemos extraer dos ecuaciones con las cuales podemos armar un sistema de dos ecua-

ciones:

A simple vista podríamos decir que se trata de un sistema con más incógnitas que ecuaciones,pero recordemos que una de las condiciones fue que , pero además , y que

por lo tanto y ahora sí podemos resolver nuestro sistema de ecuaciones.

Tras hacer algo de álgebra para resolver este sistema de ecuaciones, encontramos que:



Ricardo Alejos


Habiendo obtenido este resultado, es ahora pan comido calcular las pérdidas de retorno:

||

Ejercicio 5

Enunciado

Utilizando parámetros ABCD, calcule el voltaje en la carga del siguiente circuito cuando la frecuen-

cia de entrada es de . Asuma que , , , , ,

y

.

Solución

Una estrategia rápida para obtener el voltaje en la carga es representar este circuito como dos

redes de dos puertos en cascada utilizando parámetros ABCD conectadas a una carga . Comen-

cemos pues a hacer dicha transformación.

Tanto la resistencia de la fuente como la línea de transmisión cuentan con sus parámetros ABCD al

representarse como redes de dos puertos, como se presenta a continuación:

Note entonces que el voltaje en la carga es el mismo que el voltaje de salida de la segunda red, es

decir, de la línea de transmisión, por lo tanto podemos expresar dicho voltaje en términos del vol-

taje de entrada con la expresión:



Ricardo Alejos


Multiplicando ambas matrices de parámetros ABCD, obtenemos:

Y de aquí podemos obtener el sistema de ecuaciones:

Note que conocemos todas las cantidades que aparecen en la primera ecuación (o al menos po-

demos calcularlas), salvo quizá , pero es aquí donde podemos aplicar un pequeño truco: resulta

ser que . Al hacer la sustitución sobre la primera ecuación obtenemos:

Que ahora sí, se trata de una ecuación con una sola incógnita. Ahora comienza el trabajo duro, hay

que calcular los parámetros que nos faltan. Quizá uno de los factores más laboriosos de encontrar

será , así que comenzaremos por ahí.

Notarás que nos han dado como dato la frecuencia de operación y la permeabilidad efectiva de

la línea de transmisión. Estos datos son suficientes para calcular ya que precisamente:

Siendo la frecuencia de operación. Mientras que la velocidad de propagación es:

Combinando ambas expresiones, obtenemos

Disponiendo de

ya el resto es más sencillo, podemos obtener los parámetros ABCD de la línea de

transmisión, los cuales son:



Ricardo Alejos


Los otros parámetros que aparecen en la ecuación ya corresponden a la red con una resistencia en

serie () y dichos parámetros son:

Antes de utilizar la ecuación que habíamos quedado, manipulémosla un poco para poder expresar

el resultado de forma más directa. Resolvamos entonces para

Ejercicio 6

Enunciado

Utilizando los parámetros ABCD del problema 5, y tomando , , , y , esboze una gráfica de la magnitud y la fase del voltaje en la carga desde

hasta cuando: (a) , ; (b) , . Utilice Matlab o

cualquier otro software similar.

Solución

Inciso (a)

Para el caso en que y , las gráficas que se obtuvieron para el voltaje de salida

fueron las siguientes:

0 2 4 6 8 10

1.14

1.16

1.18

1.2

1.22

1.24

1.26

1.28

1.3

| V L

| [ V ]

Frecuencia [GHz]

0 2 4 6 8 10-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

F a s e d e V L

[ G r a d o s ]

Frecuencia [GHz]



Ricardo Alejos


Inciso (b)

Para el caso en que y , las gráficas que se obtuvieron para el voltaje de salida

fueron las siguientes:

El programaPara realizar las gráficas anteriores, se escribió una breve rutina en Matlab:

%Parámetros del circuito f=linspace(100E6,10E9,1000); B= (2*pi*f*2)/(0.3E9); l=0.025; Z0=50; RL=50; RS=50; VS=1.5*exp(-0*1i);

%Parámetros ABCD de la resistencia RS

A1=1; B1=RS; C1=0; D1=1;

%Parámetros ABCD de la línea de transmisión A2=cos(B*l); B2=1i*Z0*sin(B*l); C2=1i*(Z0^-1)*sin(B*l); D2=A2;

%Obtención del voltaje en la carga VL VL=VS./(A1*A2+B1*C2+(A1*B2+B1*D2)/RL);

%Gráfica de la magnitud de VL subplot(1,2,1); plot(f/1E9,abs(VL)); grid on; ylabel('|V_L| [V]'); xlabel('Frecuencia [GHz]');

%Gráfica de la fase de VL subplot(1,2,2);

0 2 4 6 8 100.75

0.75

0.75

0.75

0.75

0.75

| V L

| [ V ]

Frecuencia [GHz]

0 2 4 6 8 10-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

F a s e d e V L

[ G r a d o s ]

Frecuencia [GHz]



Ricardo Alejos


plot(f/1E9,angle(VL)*180/pi); grid on; ylabel('Fase de V_L [Grados]'); xlabel('Frecuencia [GHz]');

Recuerde que para el inciso (a) y (b) se utilizaron valores de RS y RL distintos.

Ejercicio 7

Enunciado

Utilizando de nuevo los parámetros ABCD del problema 5 y tomando , , , y , grafique la magnitud y la fase del voltaje en la carga desde hasta cuando: (a) , ; (b) , . Utilice Matlab o cual-

quier otro software similar.

Solución

Inciso (a)

Para la condición en que , , al variar la longitud de la línea de transmisión

obtenemos las siguientes gráficas.

Note que hay un mínimo de voltaje aproximadamente cada , y esto es precisamente porque

la longitud de onda es . Recordemos que la distancia entre un máximo y un mínimo de

voltaje es

.

Inciso (b)

En contraste, cuando , , al variar la longitud de la línea de transmisión, obte-

nemos:

0 5 10 15

1.14

1.16

1.18

1.2

1.22

1.24

1.26

1.28

1.3

| V L

| [ V ]

Distancia l [cm]

0 5 10 15-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

F a s e d e V L

[ G r a d o s ]

Distancia l [cm]



Ricardo Alejos


El programa

El programa utilizado para hacer estas gráficas es muy similar al anterior, con la única variante de

que ahora el parámetro a variar es la longitud en vez de la frecuencia. Véalo usted mismo:

%Parámetros del circuito f=1E9; B= (2*pi*f*2)/(0.3E9); l=linspace(1E-3,150E-3,1000); Z0=50; RL=50; RS=50; VS=1.5*exp(-0*1i);

%Parámetros ABCD de la resistencia RS A1=1; B1=RS; C1=0;

D1=1;

%Parámetros ABCD de la línea de transmisión A2=cos(B*l); B2=1i*Z0*sin(B*l); C2=1i*(Z0^-1)*sin(B*l); D2=A2;

%Obtención del voltaje en la carga VL VL=VS./(A1*A2+B1*C2+(A1*B2+B1*D2)/RL);

%Gráfica de la magnitud de VL subplot(1,2,1);

plot(l/1E-2,abs(VL)); grid on; ylabel('|V_L| [V]'); xlabel('Distancia l [cm]');

%Gráfica de la fase de VL subplot(1,2,2); plot(l/1E-2,angle(VL)*180/pi); grid on; ylabel('Fase de V_L [Grados]');

0 5 10 150.75

0.75

0.75

0.75

0.75

0.75

| V

L | [ V ]

Distancia l [cm]

0 5 10 15-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

F a s e d e

V L

[ G r a d o s ]

Distancia l [cm]



Ricardo Alejos


xlabel('Distancia l [cm]');

Recuerde que para cada inciso es necesario cambiar RL y RS.

Ejercicio 8

Enunciado

Utilizando parámetros ABCD, calcule el voltaje en la carga del siguiente circuito cuando la frecuen-

cia de la señal de entrada es . Asuma que , , , , , y que .

Solución

De forma muy similar al ejercicio 5, empleando los parámetros ABCD de cada una de las cuatro

redes de dos puertos (la resistencia , la bobina y las dos líneas de transmisión), podemos lle-

gar a una expresión que nos permita calcular el voltaje en la salida rápidamente.

En general, los parámetros de esas cuatro partes son:



Ricardo Alejos


Paro además agregaremos una matriz más para representar la carga como una red de dos puertos,

cuya corriente de salida es cero (pues estaría desconectado), así bien:

Donde los elementos de la quinta matriz están definidos por la red:

En conocimiento de los elementos de todas las matrices, podemos ahora obtener los parámetros

totales, y así entonces:

El parámetro está definido en función del voltaje de salida y el voltaje de entrada cuando la

corriente de salida es cero:

Entonces podemos obtener el voltaje de carga con la siguiente expresión:

Al hacer todos los cálculos numéricos en Matlab, obtenemos:

El programa utilizado para hacer los cálculos fue el siguiente:

%Parámetros del circuito f=1E9;

B=(2*pi*f*2)/(0.3E9); l=0.025; Z0=50; RL=75; RS=25; L=1E-9; VS=1.5*exp(-0*1i);

%Parámetros ABCD de la resistencia RS A1=1;



Ricardo Alejos


B1=RS; C1=0; D1=1;

%Parámetros ABCD de la línea de transmisión A2=cos(B*(l/2));

B2=1i*Z0*sin(B*(l/2)); C2=1i*(Z0^-1)*sin(B*(l/2)); D2=A2;

%Parámetros ABCD de la inductancia L A3=1; B3=1i*2*pi*f*L; C3=0; D3=1;

%Parámetros ABCD de la línea de transmisión A4=cos(B*(l/2)); B4=1i*Z0*sin(B*(l/2)); C4=1i*(Z0^-1)*sin(B*(l/2));

D4=A2;

%Parámetros ABCD de la carga A5=1; B5=0; C5=1/RL; D5=1;

%Definición de las matrices ABCD1=[A1 B1 ; C1 D1]; ABCD2=[A2 B2 ; C2 D2]; ABCD3=[A3 B3 ; C3 D3]; ABCD4=[A4 B4 ; C4 D4]; ABCD5=[A5 B5 ; C5 D5];

%Matriz total ABCDT=ABCD1*ABCD2*ABCD3*ABCD4*ABCD5;

%Como la corriente es cero en el último puerto podemos utilizar el%parámetro A total, ya que precisamente el parámetro A está definido como%AT=VS/VL cuando IL=0 y por lo tanto VL=VS/AT. VL=VS/ABCDT(1,1);

%Obtención de la magnitud del voltaje abs(VL)

%Obtención del ángulo de desfase angle(VL)*180/pi



Ricardo Alejos


Ejercicio 9

Enunciado

Utilizando de nuevo los parámetros ABCD del problema 8, tomando , ,

,

,

, grafique la magnitud y la fase del voltaje en la carga desde

hasta cuando: (a) , ; (b) , . Utilice

Matlab o cualquier otro software similar.

Solución

Inciso (a)

Para el caso en que y , las gráficas para la magnitud y la fase del voltaje

son:

Inciso (b)


son:

0 2 4 6 8 100.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

| V L

| [ V ]

Frecuencia [GHz]

0 2 4 6 8 10-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

F a s e d e V L

[ G r a d o s ]

Frecuencia [GHz]

0 2 4 6 8 100.62

0.64

0.66

0.68

0.7

0.72

0.74

0.76

| V L

| [ V ]

Frecuencia [GHz]

0 2 4 6 8 10-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

F a s e d e V L

[ G r a d o s ]

Frecuencia [GHz]



Ricardo Alejos


Programa

El programa utilizado para generar estas gráficas es:

%Parámetros del circuito l=0.025; Z0=50;

RL=75; RS=25; L=1E-9; VS=1.5*exp(-0*1i);

fmin=100E6; fmax=10E9; N=1000; df=(fmax-fmin)/N;

VL=zeros(1000,1);

for k=1:N

%Definición del vector de frecuencias f(k)=fmin+(k-1)*df;

%Cálculo de beta B=(2*pi*f(k)*2)/(0.3E9);

%Parámetros ABCD de la resistencia RS A1=1; B1=RS; C1=0; D1=1;

%Parámetros ABCD de la línea de transmisión A2=cos(B*(l/2)); B2=1i*Z0*sin(B*(l/2)); C2=1i*(Z0^-1)*sin(B*(l/2)); D2=A2;

%Parámetros ABCD de la inductancia L A3=1; B3=1i*2*pi*f(k)*L; C3=0; D3=1;

%Parámetros ABCD de la línea de transmisión A4=cos(B*(l/2)); B4=1i*Z0*sin(B*(l/2)); C4=1i*(Z0^-1)*sin(B*(l/2)); D4=A2;

%Parámetros ABCD de la carga A5=1; B5=0; C5=1/RL;



Ricardo Alejos


D5=1;

%Definición de las matrices ABCD1=[A1 B1 ; C1 D1]; ABCD2=[A2 B2 ; C2 D2]; ABCD3=[A3 B3 ; C3 D3];

ABCD4=[A4 B4 ; C4 D4]; ABCD5=[A5 B5 ; C5 D5];


%Como la corriente es cero en el último puerto podemos utilizar el%parámetro A total, ya que precisamente el parámetro A está definido

como%AT=VS/VL cuando IL=0 y por lo tanto VL=VS/AT. VL(k)=VS/ABCDT(1,1);

end

%Gráfica de la magnitud de VL subplot(1,2,1); plot(f/1E9,abs(VL)); grid on; ylabel('|V_L| [V]'); xlabel('Frecuencia [GHz]');

%Gráfica de la fase de VL subplot(1,2,2); plot(f/1E9,angle(VL)*180/pi); grid on; ylabel('Fase de V_L [Grados]');

xlabel('Frecuencia [GHz]');

Ejercicio 10

Enunciado

Utilizando de nuevo los parámetros ABCD del problema 8, y tomando , , , y , grafique la magnitud y la fase del voltaje en la carga desde hasta cuando: (a) , ; (b) , . Utilice

Matlab o cualquier otro software similar.

Solución

Inciso (a)


son:



Ricardo Alejos


Inciso (b)

Para el caso en que

y

, las gráficas para la magnitud y la fase del voltaje

son:

El programa

El programa utilizado para generar las gráficas anteriores es:

%Parámetros del circuito f=1E9; Z0=50; RL=50;

RS=50; L=1E-9; VS=1.5*exp(-0*1i);

lmin=10E-3; lmax=300E-3; N=1000; dl=(lmax-lmin)/N;

VL=zeros(1000,1);

0 50 100 150 200 250 300

1.14

1.16

1.18

1.2

1.22

1.24

1.26

1.28

1.3

| V L

| [ V ]

Longitud [cm]

0 50 100 150 200 250 300-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

F a s e d e V L

[ G

r a d o s ]

Longitud [cm]

0 50 100 150 200 250 3000.7485

0.7485

0.7485

0.7485

0.7485

0.7485

| V L

| [ V ]

Longitud [cm]

0 50 100 150 200 250 300-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

F a s e d e V L

[ G r a d o s ]

Longitud [cm]



Ricardo Alejos


for k=1:N

%Definición del vector de frecuencias l(k)=lmin+(k-1)*dl;

%Cálculo de beta B=(2*pi*f*2)/(0.3E9);


%Parámetros ABCD de la línea de transmisión A2=cos(B*(l(k)/2)); B2=1i*Z0*sin(B*(l(k)/2)); C2=1i*(Z0^-1)*sin(B*(l(k)/2));

D2=A2;

%Parámetros ABCD de la inductancia L A3=1; B3=1i*2*pi*f*L; C3=0; D3=1;

%Parámetros ABCD de la línea de transmisión A4=cos(B*(l(k)/2)); B4=1i*Z0*sin(B*(l(k)/2)); C4=1i*(Z0^-1)*sin(B*(l(k)/2)); D4=A2;


%Definición de las matrices ABCD1=[A1 B1 ; C1 D1]; ABCD2=[A2 B2 ; C2 D2]; ABCD3=[A3 B3 ; C3 D3]; ABCD4=[A4 B4 ; C4 D4]; ABCD5=[A5 B5 ; C5 D5];



como%AT=VS/VL cuando IL=0 y por lo tanto VL=VS/AT. VL(k)=VS/ABCDT(1,1);



Ricardo Alejos


end

%Gráfica de la magnitud de VL subplot(1,2,1); plot(l/1E-3,abs(VL)); grid on;

ylabel('|V_L| [V]'); xlabel('Longitud [cm]');

%Gráfica de la fase de VL subplot(1,2,2); plot(l/1E-3,angle(VL)*180/pi); grid on; ylabel('Fase de V_L [Grados]'); xlabel('Longitud [cm]');

Ejercicio 11

EnunciadoUna resistencia debe estar conectada a una línea de transmisión cuya impedancia ca-

racterística es , longitud física , y una constante dieléctrica efectiva . Para evitar reflexiones a la frecuencia de operación , un transformador de

impedancias de cuarto de onda con la misma se inserta entre la línea de transmisión y la carga

(vea el circuito de abajo). Asuma que , y . (a) Encuentre la impedancia carac-

terística requerida de un transformador de cuarto de onda para lograr un acoplamiento per-

fecto a , (b) Utilizando los parámetros ABCD y Matlab, grafique la magnitud y la fase de la

fuente de corriente antes y después de insertar el transformador de cuarto de onda, desde

hasta

.

Solución

Inciso (a)

La impedancia característica del transformador de cuarto de onda está dado por el promedio

geométrico de las impedancias a acoplar, es decir:

√

La longitud del transformador debe ser, como su propio nombre lo dice, de un cuarto de la longi-tud de onda . La longitud de onda se puede calcular como se muestra a continuación:

√



Ricardo Alejos


Por lo tanto, la longitud de nuestro transformador de cuarto de onda debe ser:

Inciso (b)

Para el caso en que no se tiene el transformador de cuarto de onda instalado en el circuito, la for-

ma de onda de la corriente de entrada es:

El programa utilizado para generar estas gráficas es:

%Parámetros del circuito VS=1*exp(-0*1i); Ee=3.6; RL=80; RS=50; l1=150E-3; Z01=50; l2=0.3E9/(4*3E9*sqrt(Ee)); Z02=sqrt(Z01*RL);

%Inicializaciones y definiciones para el ciclo de cálculos fmin=60E6; fmax=6E9; N=1000; df=(fmax-fmin)/N; f=zeros(1000,1); VL=zeros(1000,1);

IL=zeros(1000,1); IS=zeros(1000,1);

for k=1:N


%Cálculo de beta

0 1 2 3 4 5 67.5

8

8.5

9

9.5

10

10.5

11

11.5

12

12.5

| I S | [ m A ]

Frecuencia [GHz]

0 1 2 3 4 5 6-15

-10

-5

0

5

10

15

F

a s e d e I S [ G r a d o s ]

Frecuencia [GHz]



Ricardo Alejos


B=(2*pi*f(k)*sqrt(Ee))/(0.3E9);

%Parámetros ABCD de la resistencia RS A1=1; B1=RS; C1=0;

D1=1; %Parámetros ABCD de la línea de transmisión A2=cos(B*(l1)); B2=1i*Z01*sin(B*(l1)); C2=1i*(Z01^-1)*sin(B*(l1)); D2=A2;


%Definición de las matrices ABCD1=[A1 B1 ; C1 D1]; ABCD2=[A2 B2 ; C2 D2]; ABCD3=[A3 B3 ; C3 D3];

%Matriz total ABCDT=ABCD1*ABCD2*ABCD3;


como%AT=VS/VL cuando IL=0 y por lo tanto VL=VS/AT.

VL=VS/ABCDT(1,1);

%Conociendo VL, es posible calcular la corriente en la fuente IL %utilizando el parámetro CT2: IS(k)=VL*ABCDT(2,1);

end

%Gráfica de la magnitud de VL subplot(1,2,1); plot(f/1E9,abs(IS)/1E-3); grid on; ylabel('|I_S| [mA]');

xlabel('Frecuencia [GHz]');

%Gráfica de la fase de VL subplot(1,2,2); plot(f/1E9,angle(IS)*180/pi); grid on; ylabel('Fase de I_S [Grados]'); xlabel('Frecuencia [GHz]');



Ricardo Alejos


Inciso (c)

Una vez que se ha instalado el transformador de cuarto de onda

Note que conforme nos acercamos a la corriente de la fuente se vuelve menos sensible a la

frecuencia mientras que la fase tiende a cero ya que a esa frecuencia el circuito se comporta de

forma resistiva ( ).

El programa utilizado para generar éstas gráficas es:

%Parámetros del circuito VS=1*exp(-0*1i); Ee=3.6; RL=80;

RS=50; l1=150E-3; Z01=50; l2=0.3E9/(4*3E9*sqrt(Ee)); Z02=sqrt(Z01*RL);

%Inicializaciones y definiciones para el ciclo de cálculos fmin=60E6; fmax=6E9; N=1000; df=(fmax-fmin)/N; f=zeros(1000,1); VL=zeros(1000,1);

IL=zeros(1000,1); IS=zeros(1000,1);

for k=1:N


%Cálculo de beta B=(2*pi*f(k)*sqrt(Ee))/(0.3E9);

0 1 2 3 4 5 67.5

8

8.5

9

9.5

10

10.5

11

11.5

12

12.5

| I S | [ m A ]

Frecuencia [GHz]

0 1 2 3 4 5 6-15

-10

-5

0

5

10

15

F a s e d e I S [ G r a d o s ]

Frecuencia [GHz]



Ricardo Alejos



%Parámetros ABCD de la línea de transmisión A2=cos(B*(l1)); B2=1i*Z01*sin(B*(l1)); C2=1i*(Z01^-1)*sin(B*(l1)); D2=A2;

%Parámetros ABCD del transformador de cuarto de onda A3=cos(B*(l2)); B3=1i*Z02*sin(B*(l2)); C3=1i*(Z02^-1)*sin(B*(l2)); D3=A3;


%Definición de las matrices ABCD1=[A1 B1 ; C1 D1]; ABCD2=[A2 B2 ; C2 D2]; ABCD3=[A3 B3 ; C3 D3]; ABCD4=[A4 B4 ; C4 D4];

%Matriz total

ABCDT=ABCD1*ABCD2*ABCD3*ABCD4;


como%AT=VS/VL cuando IL=0 y por lo tanto VL=VS/AT. VL=VS/ABCDT(1,1);

%Conociendo VL, es posible calcular la corriente en la fuente IL %utilizando el parámetro CT2: IS(k)=VL*ABCDT(2,1);

end

%Gráfica de la magnitud de VL subplot(1,2,1); plot(f/1E9,abs(IS)/1E-3); grid on; ylabel('|I_S| [mA]'); xlabel('Frecuencia [GHz]');

%Gráfica de la fase de VL subplot(1,2,2);



Ricardo Alejos


plot(f/1E9,angle(IS)*180/pi); grid on; ylabel('Fase de I_S [Grados]'); xlabel('Frecuencia [GHz]');

Documents

Ejercicios de repaso 2, análisis en el dominio de la frecuencia