CURSO:

MECNICA ESTRUCTURAL

01. Resumir del libro de Timoshenko "History of Strength of Materials", el trabajo realizado por:

- Parent, sobre la flexin de vigas, resaltando los aciertos que tuvo con la teora actual.- Young, definicin de Mdulo de Elasticidad y aportes en resistencia de materiales.- Cauchy, a la teora de elasticidad (esfuerzos y deformaciones).

RESUMENES:

a) Parent:

En sus primeras memorias sobre la flexin en vigas, Parent sigue las suposiciones de Mariotte y toma como ejeneutro la tangente al borde en el lado cncavo perpendicular al plano de accin de las cargas, usa esta teorapara encontrar diferentes formas de vigas con similar resistencia. Tambin estudi y trat el problema sobrecmo una viga rectangular debe ser cortada proveniente de un tronco cilndrico con la finalidad de obtener laresistencia mxima y de esta manera para un dimetro dado "d", el producto "ab2" debe ser el mximo valor.Esto se obtendr dividiendo el dimetro en tres partes iguales y trazando las perpendiculares "cf" y "eg"respectivas.

Lo anterior no puede ser aplicado en tubos circulares o vigas circulares. Asumiendo que la seccin transversalrota a travs de la tangente "nn" y que las fuerzas en las fibras son proporcionales con las distancias desde latangente, Parent encuentra que para una seccin transversal circular y slida, el momento ltimo de estasfuerzas con respecto al eje "nn" es "5Sd/16", donde "S" es la resistencia absoluta de la viga. Esto indica que envigas circulares "5d/16" (en vez de h/3) debe ser sustituido en la ecuacin descrita lineas arriba.

En 1713 publica dos memorias sobre la flexin en vigas que representan un avance en la resistencia demateriales. En la primera muestra la ecuacin:

En la segunda memoria, Parent brinda una discusin sobre la posicin del eje donde el momento de las fuerzasen la fibra resistente debe ser calculado. Considerando una viga rectangular empotrada en la seccintransversal AB, que recibe una carga "L", asume primero que la rotacin ocurre alrededor del eje "B". Los esfuerzoscorrespondientes pueden ser reemplazados por la resultante "F", y continuando la linea de accin de "F" hasta lainterseccin en "E" con la lnea de accin de "L", concluye que para condiciones de equilibrio, que la resultante"R" de las fuerzas "F" y "L" debe pasar a travs del eje de rotacin "B". Parent expresa que un solo punto "B" no tienesuficiente resistencia que sirva como soporte para esta resultante y concluye que una porcin considerable de laseccin transversal "AB" debe ayudar a "R" y por tanto esta porcin trabaja en compresin.

ab

ce

g

f

d

= 3

d

n n

b) Thomas Young:

Tomando la segunda forma de distribucin de esfuerzos y observando que al instante de la fractura, la tensin enla fibra mas alejada debe ser siempre igual a "ult", concluye que el momento resistente, representado por dostringulos, representa solo la mitad del hallado con un solo triangulo. Nosotros sabemos que la distribucin deesfuerzos representada por los dos tringulos es correcta solo si el material de la viga sigue el principio de Hooke.Parent concluye de la condicin de equilibrio que la resultante en compresin que acta en la porcin "bc" dela seccin transversal "ab" debe ser igual a la resultante en tensin F actuando en la porcin inmediata superiorde la misma seccin transversal. Adems denota que en adicin a fuerzas normales, una fuerza cortante demagnitud L actuar en la seccin transversal "ab".

Descibiendo experimentos en tensin y compresin de barras, Young llama la atencin de los lectores hacia elhecho de que deformaciones longitudinales siempre estn acompaadas por algn cambio en las dimensioneslaterales.

Con respecto a las fuerzas cortantes, Young remarca que pruebas no directas han sido realizadas paraestablecer la relacin entre fuerzas cortantes y las deformaciones que ellas producen. Cuando tubos circularesson torcidos o girados, Young indica que el torque aplicado es balanceado principalmente por esfuerzoscortantes que actan en planos transversales y que son proporcionales a la distancia del eje del tubo y al angulode giro.

En la discusin de flexin de voladizos y vigas soportadas en sus dos apoyos, Young brinda los resultadosprincipales respecto a deflexiones y resistensisa sin derivacin. En su tratamiento del pandeo lateral de columnasa compresin incluye que irregularidades considerables fueron observadas en todos los experimentos que fueronhechos en la flexin de columnas y vigas sometidas a cargas longitudinales, y concluy que algunas de ellasfueron ocasionadas por la dificultad en la precisin de aplicacin de las cargas en elos extremos, y otras por lasdesigualdades accidentales de las sustancia o materiales.

Considerando deformaciones inelsticas, Young describe que una alteracin permanente en la forma limite laresistencia del material para objetivos prcticos, casi al punto de la fractura.

La definicin es como sigue: El mdulo de elasticidad de cualquier sustancia es una columna de la mismasustancia, capaz de producir una presin en su base que es proporcional al peso causando un cierto grado decompresin como la longitud de la sustancia es a la disminucin de su misma longitud. Ypung menciona que laaltura para un material dado es independiente de la seccin transversal. El peso del mdulo asciende alproducto de la cantidad que llamamos modlo de Young y el rea de la seccin transversal de la barra.

Young brinda la solucin del problema donde existe excentricidad en tensin y compresin de barrasrectagulares. Asumiendo que la distribucin del esfuerzo en este caso est representada por dos tringulos, sedetermina la posicin del eje neutro de la condicin que la resultante de estos esfuerzos debe pasar a travs delpunto "O" de aplicacin de la fuerza externa. Esto brinda:

La distribucin de esfuerzos esta representada por el tringulo, y el mximo esfuerzo se vuelve dos veces tangrande como aquel causado por la aplicacin de la carga centralmente.

Young toma la flexin de una columna prismtica comprimida que es al inicio ligeramente curvada. lencuentra que la deflexin en el medio luego de la aplicacin de la fuerza P en compresin es:

De este resultado concluye que si P=EI2/l2, la deflexin se vuelve infinita. Usando la frmula de Euler paradeterminar la seccin transversal de una columna, Young establece que su aplicacin esta limitada a columnasesbeltas y brinda ciertos valores lmites de la proporcin entre la longitud y su altura. Para valores menores deesta proporcin, la falla en la columna es provocada por aplastamiento en vez de pandeo. Si una columnaesbelta est empotrada en un extremo y libre en el otro, Young muestra que cuando una fuerza axial P actaexcentricamente, la deflexin "y" esta dada por:

En su tratamiento de pandeo lateral de columnas teniendo secciones transversales variables, Young muestra queuna columna con peralte constante se flectar como una curva circular y si su ancho varia a lo largo de sualtura, se flectar como un arco circular.

Young brinda una interesante discusin sobre la fractura de cuerpos elsticos producto del impacto. La cantidadde esta energa cintica debera ser considerada. Young sostiene que cuando una barra prismtica est sujeta aimpactos longitudinales, la resistencia de la barra es proporcional a su longitud, desde que una extensin similara una fibra alargada produce una mayor elongacin.

= 12

= 1

= 1 cos cos

c) Cauchy:

Determinando tambin, las direcciones principales y sus correspondientes deformaciones principales.

Las anteriores expresiones forman un sistema de ecuaciones para la elasticidad de cuerpo isotrpicos.

Cauchy tambin brinda la relacin entre las seis componentes de esfuerzo y las seis componentes dedeformacin para un cuerpo isotrpico. Asumiendo que las direcciones principales de deformacin coincidencon las direcciones de los esfuerzos principales y que las componentes de los esfuerzos son funciones lineales delas componentes de deformacin, por lo que describe lo siguiente:

Cauchy aplic el concepto o nocin de presin sobre un plano y asumi que esta presin ya no es normal alplano sobre el cual esta acta en un cuerpo elstico. De esta manera la idea de esfuerzo fue introducida en lateora de elasticidad. El esfuerzo total en un elemento infinitesimal de un plano tomado dentro de un cuerpoelstico deformado es definido como la resultante de todas las acciones de las molculas situadas en un sololado del plano sobre las molculas y por otro lado las direcciones de las acciones que intersectan al elementobajo consideracin. Dividiendo el esfuerzo total por el rea del elemento, la magnitud del esfuerzo es obtenida.

Considerando un elemento tetraedro, Cauchy muestra que las tres componentes de esfuerzo Xn, Yn, Zn en unplano inclinado abc son obtenidas de las tres ecuaciones de equilibrio:

Resolviendo las componentes antes mencionadas en la direccin de la normal hacia el plano abc, obtenemosel esfuerzo normal n que acta en ese plano. Cauchy muestra que si trazamos un vector "r"de longitud:

En cada direccin n del origen O, el final de estos vectores llegar a una superficie de segundo grado. Cauchyllama a las direcciones de los ejes principales de esta superficie como las direcciones principales y a sus esfuerzos correspondientes como esfuerzos principales .

Cauchy tambin deriva las ecuaciones principales de equilibrio para una elemento del paraleleppedorectangular:

Tambin examina posible deformaciones de un cuerpo elstico alrededor de un punto O y demuestra quecuando esta deformacin es pequea, la unidad de elongacin en cualquier direccin y el cambio del anguloentre cualquiera de dos direcciones preperdiculares iniciales pueden ser expresadas por los seis componenetesde deformacin:

= 1

02.

- Determinar el esfuerzo de fluencia y la deformacin de fluencia.- Determinar el mdulo de elasticidad.- Determinar el esfuerzo ltimo.- Determinar el porcentaje de elongacin o ductilidad por elongacin.- Determinar el mdulo de resiliencia.- Determinar el mdulo de tenacidad.

SOLUCIN:Primeramente se tienen los siguientes datos del problema:

rea de una varilla de 5/8" = Av = cm2m2

Longitud Inicial para datos locales = Lol = mmLongitud Inicial para datos globales = Log = mm

Ahora tenemos la tabla de datos ya completos para graficar:

##### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ##

0.6060770.6487970.7006770.7525570.7952870.828857

200.00

0.4412870.4748470.5023170.5419870.578607

10.8511.93

0.0027100.002893

0.0034790.0043940.0047000.0050050.0053100.005005

0.0129390.0156860.0166010.016601

Se tiene datos de un ensayo en traccin de una varilla de 5/8" de calidad ASTM A615 Grado 60. Los datos locales,estn referidos a una longitud de 50 mm y los datos globales estn referidos a una longitud 200 mm. Se pide:

LVDTGlobal

mm

LVDTLocalmm

50.00

2.3303172.3944072.4706972.5225772.5927672.641597

1.6619871.7932071.9091772.0373472.1533172.235717

0.8837870.9478771.1004671.2347371.3751171.518557

0.0050050.0053100.0083620.0089720.0104980.011413

0.0190430.019348

0.0016480.0028680.0028680.0019530.0025630.003479

0.0220950.0205690.0227050.0227050.022095

9.1910.11

0.0023740.002512

CargaKN

(Fuerza)

2.1478342.3614542.5018342.636114

1.981.98E-04

1.6595541.8182342.001334

0.0083100.008966

Deform.L/L, Global

(Adim.)0.0000000.002206

0.0044190.0047390.0055020.0061740.0068760.007593

0.0030300.0032440.0035030.0037630.0039760.004144

10.55237411.54113412.43835413.31115414.01305414.757694

4.9920745.9442146.8902547.7203348.5992349.789434

2.8680343.1976343.3563343.5760543.8507144.198614

15.17273415.88683516.13097416.619254

0.000000 0.000000 0.000000 0.008.38

12.6413.3214.4916.1616.9618.07

Esfuerzo = Carga/Av

MPa

70.8074.5676.6680.2681.5083.96

43.4549.4653.3158.3162.8467.25

19.4521.2125.2230.0334.8139.00

0.0116520.0119720.0123530.0126130.0129640.013208

0.0095460.0101870.0107670.011179

0.0001000.0001060.0001000.0001000.0001060.000167

0.0000390.0000510.0000700.0000700.0000880.000094

Deform.L/L, Local

(Adim.)0.0000000.0000330.0000570.000057

0.0004540.000442

0.0003320.0003810.0003870.0004420.0004110.000454

0.0001790.0002100.0002280.0002590.0003140.000332

##### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ##

3.6669873.6975073.7371773.7799073.8226273.865357

3.4167473.4594673.5235573.5876473.6181673.633417

3.1390373.1542973.190917

3.0017073.0291773.0718973.0932573.1054673.126827

2.8796372.8918472.9101572.9284672.9742372.974237

2.6721172.7148372.7545172.7941872.8460672.861327

3.2427973.3099373.361817

5.0402775.0769075.0952175.1104675.1409875.174557

4.6557574.7320574.8266574.8815874.9304174.976197

3.9233373.9721674.0454074.2010474.3933074.567257

0.0294190.0294190.0315550.0306390.0321650.031250

0.0275880.0275880.0285030.0278930.0288080.028808

0.0239260.0242310.0251460.0254510.0260620.025757

0.024231

0.0263670.0263670.0260620.0260620.0281980.029114

0.0410150.0401000.0431520.0474240.0480340.049866

0.0364380.0367430.0373530.0382690.0382690.038574

0.0330810.0346070.0346070.0349120.0355220.036438

0.0550540.0553590.0556640.0559690.056579

0.0510860.0510860.0520020.0526120.0532220.055054

19.11559419.28039419.57337319.77477420.03113420.336314

17.74841418.14513418.39539418.70055418.76769418.969113

17.02819417.376094

25.18859525.47547425.85999326.05529426.42151426.726695

21.91101422.33215422.97301423.53455423.93737424.437874

20.59265520.83679321.01989421.14197321.27013321.471554

38.10973538.73841439.34875340.05065540.56335540.789195

30.27283532.11609434.21569435.58289436.48009437.444454

27.20885427.63001328.10607528.46007429.05823329.540413

40.83191541.25915641.61925442.302853

101.20102.74104.04105.27106.20106.81

94.8295.8496.5897.4198.8999.91

86.0387.7989.6791.6792.9494.48

133.49135.03137.47139.59142.00143.79

120.94123.47127.26128.71130.65131.64

107.46108.48110.70112.83116.06118.90

204.94206.08206.29208.45210.27213.72

184.31189.18192.54195.72198.80202.34

146.81149.24152.95162.26172.87179.77

0.0183350.0184880.0186860.0189000.0191130.019327

0.0170840.0172970.0176180.0179380.0180910.018167

0.015695

0.0150090.0151460.0153590.0154660.0155270.015634

0.0144590.0145510.0146420.0148710.014871

0.0133610.0135740.0137730.0139710.0142300.0143070.014398

0.0157710.0159550.0162140.0165500.016809

0.0252010.0253850.0254760.0255520.0257050.025873

0.0232790.0236600.0241330.0244080.0246520.024881

0.0196170.0198610.0202270.0210050.0219670.022836

0.0004850.0004790.0004850.000503

0.0005580.0005760.0005760.0005880.0005880.000631

0.0005210.0005640.0005820.0005520.0005520.000570

0.0005090.0005210.0005150.0005270.0005270.000521

0.0007650.0007650.0007710.0008200.0008020.000863

0.0006980.0007100.0007290.0007290.0007350.000747

0.0006130.0006430.0006250.0006620.0006920.000692

0.0011190.001132

0.0010520.0010640.0011010.0011010.0011070.001113

0.0009480.0009610.0009970.0010220.0010220.001040

##### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ##

5.6689475.6719975.7086175.7543975.7818575.797117

5.5377175.5682375.5926475.6201175.6414775.638427

5.2325475.2722175.3454575.4003875.4736275.504147

6.8804877.0056177.1063177.2131377.3352077.448117

6.2335176.3189676.4013676.5081776.6363476.758417

5.8123775.8550975.9222375.9710676.0534676.132807

9.1113279.2456079.3859879.4897479.5935079.736937

8.1378178.3087178.5162378.6871378.8397178.986207

7.5396677.5793477.6434277.7044677.8417977.957757

0.0590210.0602420.0611570.0602420.0602420.061462

0.057800

0.0663450.0675660.0693970.0703120.0715330.073059

0.0626830.0642090.0645140.0663450.0654290.067261

0.0620730.0626830.0626830.0623780.0642090.062683

0.0916750.0944210.0944210.0962520.0983880.101135

0.0852660.0858760.0877070.0907590.0907590.090454

0.0739740.0761110.0773310.0788570.0809930.082825

0.1182250.1221920.1243280.1279910.138672

0.1035760.1069330.1093750.1115110.1145630.115173

46.45935646.79505447.09411247.11243247.17957647.332154

44.03015244.64049445.18371245.60485446.02599246.264034

42.68127543.322154

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50.56091451.20177452.19055353.10607554.22301455.010372

48.31481548.63831648.70545548.96789649.35241349.846793

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69.92127570.75133472.41149573.87633475.47547477.178355

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##### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ##

11.78161711.94335612.11425712.23937712.24853712.272947

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##### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ##

9.8437479.8437479.8529079.8467979.8437479.855957

9.8437479.8559579.8406979.8498479.8498479.843747

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##### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ##### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ##

116.808473116.552134

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##### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ##

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##### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ##

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##### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ##

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717.71719.53719.07719.01718.39716.94

718.02717.40717.40717.96719.19718.18

723.26722.06721.94721.69723.94724.53

722.58723.17722.28722.52724.31723.76

723.69723.51723.05722.49722.28722.74

726.56727.89727.40726.50725.51725.45

726.32725.73726.47726.07726.75725.79

726.84727.12727.52727.43727.15726.78

0.1475310.1478820.1481570.1484160.1487520.148996

0.1527340.1531160.1535280.1538940.1541840.154474

0.1506740.1509030.1511780.1514980.1519260.152277

0.1493010.1495450.1498960.1501860.1503540.150568

0.1576630.1580750.1584720.1589140.1592350.159647

0.1563350.1565640.1567470.1569000.1571290.157343

0.1547180.1550380.1552670.1554810.1557860.156091

0.1614620.1618130.1621030.1623020.1625760.162729

0.1599210.1602260.1604250.1606990.1610660.161264

##### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ##

32.96386833.04626833.10424633.17138733.22326733.281246

32.56408832.61291832.65868732.72887832.80212732.878416

33.89770833.97399734.05334834.12658834.20898734.276117

33.65661733.68102633.72069733.75121733.79699833.851927

33.31481833.38195633.44298733.48571633.54064833.598626

34.93529634.97497635.02379735.09093635.17638735.249637

34.65758634.71557734.77660734.81933734.86510834.895628

34.33715634.39818734.45006734.50500834.56908834.605706

35.33202735.41747635.48766735.56090735.62194635.670777

143.511353144.005738

144.274293144.335338144.689332144.451295144.365855144.140015

144.390250144.371959144.243775144.347535144.335338144.414674

144.030152144.518433144.524537144.634391144.603873144.567252

144.738150144.683238144.860230144.664918144.719849144.957896

144.970094145.116578144.994517144.915152144.786998144.756471

144.103394144.017955144.426871144.542857144.890757144.994517

145.293570145.208131145.086051145.116578

144.963990145.342418145.342418145.440074145.501090145.440074

144.872437144.744254144.585572144.463492144.420777144.854136

729.21729.62728.91729.21731.00729.80

730.57730.39729.49729.40728.75729.28

725.05727.55727.67730.14730.17730.73

731.50731.34731.25730.97731.87730.88

732.02732.54732.42733.16732.54732.14

729.37728.23728.04727.61729.68730.26

735.10734.80734.06733.62733.01733.16

729.65731.84732.39734.30734.30734.80

731.16732.36731.93731.28730.48729.86

0.1628200.1630650.1632930.1636440.1640110.164392

0.1682830.1684050.1686030.1687560.1689850.169260

0.1665740.1669100.1672150.1674290.1677030.167993

0.1648190.1652310.1655210.1658570.1661160.166406

0.1732880.1735780.1738830.1740970.1743260.174478

0.1716860.1719910.1722500.1725250.1728450.173029

0.1694890.1698700.1702670.1706330.1710450.171381

0.1766600.1770870.1774380.1778050.1781100.178354

0.1746760.1748750.1751190.1754550.1758820.176248

##### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ##

36.08886836.15600636.18957636.23839736.26891736.323846

35.72265735.79284735.84777735.89049635.95153636.030887

37.26684637.33703737.38891737.46520637.52624837.581177

36.87011836.94030637.00439837.06847737.13256737.205806

36.39403636.45507636.54662736.63512836.71142636.812137

38.51501838.58214738.66454738.73778638.80187838.872066

38.02672738.12743738.20983738.29833838.38378738.453978

37.63000837.67577737.71850637.79479837.84667837.944337

38.94836739.02465639.08263739.13756739.19555739.244388

145.055533145.293570

145.659791145.739137145.733033145.641471145.519410145.470572

144.829713144.927379144.915152145.372935145.324098145.629273

145.177613145.092154145.391236145.397330145.281373145.128795

145.464478145.519410145.836793145.824595145.879517145.916139

145.690318145.531617145.421754145.214234145.177613145.079957

145.348512145.488892145.397330145.501090145.379039145.458375

145.464478145.202037145.336314145.299674

145.757457145.641471145.501090145.678092145.745231145.580455

145.836793145.617076145.726930145.568238145.562135145.586558

734.21735.75735.91736.31736.28735.81

733.99733.22731.71732.21732.14734.46

732.85734.06733.47733.04734.55734.58

733.47732.98734.92735.20736.80736.74

734.49734.89736.06735.26734.70733.65

735.20734.95734.33735.04734.58735.10

736.34735.51734.92733.59734.27734.09

735.41735.54736.40735.81735.10736.00

737.02737.20736.80735.69736.25735.44

0.1786130.1789640.1792390.1794520.1797580.180154

0.1843510.1847020.1850220.1853420.1856630.186029

0.1819700.1822750.1827330.1831760.1835570.184061

0.1804440.1807800.1809480.1811920.1813450.181619

0.1901340.1906370.1910490.1914920.1919190.192270

0.1881500.1883790.1885930.1889740.1892330.189722

0.1863340.1866850.1869450.1873260.1876310.187906

0.1947420.1951230.1954130.1956880.1959780.196222

0.1925750.1929110.1933230.1936890.1940090.194360

##### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ####### ##

39.86083839.93713740.02257640.09887540.17821640.248407

39.30846839.37560639.47021839.55871639.67162739.766236

41.22192741.32567741.44164941.55150741.64916841.746829

40.80077540.85570640.92284540.97167841.04796741.124266

40.33996940.39794740.48949540.55358740.65124840.730589

43.67553543.79150743.88915843.995965

42.84850942.91869542.99804543.09569743.19640943.312376

42.35412942.44872942.53722542.62572642.71117542.778319

41.82921741.92382642.01537942.10998842.19848942.280887

43.42528643.553465

145.617076145.647574

145.482798145.665894145.592652145.470572145.458375145.128795

145.635377145.580455145.586558145.519410145.678092145.592652

145.830689145.989371145.885611145.964976145.751334145.751334

144.524537144.323111144.097291143.908072

144.854136144.823609144.945670144.970094144.872437144.738150

145.098277145.006715144.945670144.603873144.640494144.677134

145.330191145.189811145.324098145.147096145.067750145.189811

145.781852145.617076145.513316145.391236145.385133145.238658

145.208131145.195914145.537711145.446177145.745231145.757457

736.00735.57735.01735.94735.57734.95

736.37736.37735.78735.51735.54735.20

735.69735.84736.77737.57737.05737.45

733.07732.61732.30730.57

734.52733.78734.24733.53734.21733.32

736.34736.40736.52735.69735.17734.55

734.89733.22733.62733.56735.29734.83

731.93731.25730.17729.15728.01727.06

730.76730.94731.84731.68732.30732.42

732.91733.53

0.1965420.1968780.1973510.1977940.1983580.198831

0.2082460.208734

0.2040040.2042790.2046140.2048580.2052400.205621

0.2017000.2019900.2024470.2027680.2032560.203653

0.1993040.1996860.2001130.2004940.2008910.201242

0.2109920.2114040.2117710.2122440.2126860.213129

0.2091460.2096190.2100770.210550

0.2061100.2066280.2072080.207758

0.2194460.219980

0.218958

0.2171260.2177670.218378

0.2142430.2145930.2149900.2154780.2159820.216562

0.2135560.213892

`Ahora graficamos los diagramas de esfuerzo-deformacin global y local:

Para hallar el esfuerzo y la deformacin de fluencia se trazar una lnea offset paralela al tramo elstico en eldiagrama de esfuerzo-deformacin local del elemento.

44.80163944.91759645.05492545.16479845.27465645.405887

44.09972544.20653644.32555544.42626844.54223944.661258

141.369010140.612174140.307017139.690553139.165650137.999879

143.590690143.242799142.968131142.760611142.308951141.747437

143.853150143.554078

136.724234134.374390

718.98716.14714.23710.40708.86705.75

726.78725.27725.45723.69722.31721.26

0.220499

0.2245880.2252750.225824

0.2227110.2233060.224008

0.2210330.2216280.222131

0.2286470.2297910.231088

0.2263730.2270290.227823 703.10

697.21690.76678.89

45.56457845.72936845.95824546.217645

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

Diagrama Esfuerzo-Deformacin Global

0

100

200

300

400

500

600

700

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040

Diagrama Esfuerzo-Deformacin Local

El inicio del offset ser a partir de una deformacin de 0.002 en el eje de las abscisas:

Graficando una lnea paralela, se tienen los siguientes puntos aproximados del offset:

X Y0.002 0 MPa0.003 200 MPa0.004 400 MPa0.005 600 MPa

De la grfica se tiene que: Esfuerzo de Fluencia = y = MPaDeformacin de Fluencia = y =

Hallamos el lmite de proporcionalidad por inspeccin visual:

Lmite de Proporcionalidad = prop = MPa

Ahora el mdulo de elasticidad est definido por:

Modulo de Elasticidad = E = MPa

Para hallar el esfuerzo ltimo se tiene en el diagrama global:

450.000.0042

200000.00

420.00

0

100

200

300

400

500

600

700

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040

Diagrama Esfuerzo-Deformacin Local

=

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

Diagrama Esfuerzo-Deformacin Global

fprop

f0.002

u

r

Entonces tenemos: Esfuerzo ltimo = u = MPa

Del grfico anterior se puede extraer que la deformacin unitaria de ruptura es igual a:

Deformacin Unitaria de Ruptura = r =

% de Elongacin = 100 x r = %

El grfico anterior tenemos un rea triangular a calcular:

Mdulo de Resiliencia = rea Bajo Curva Elstica = UR = MPa

720.00

0.2310

Entonces el porcentaje de elongacin o ductilidad por elongacin ser calculado en base al anterior resultadoobtenido:

23.10

Ahora para calcular el mdulo de resilencia debemos hallar el rea bajo la curva del diagrama esfuerzo-deformacin local en el intervalo elstico de la siguiente manera:

0.483

Finalmente para calcular el mdulo de tenacidad necesitaremos calcular el rea bajo la curva del diagramaesfuerzo-deformacin global completo de la siguiente manera:

0

100

200

300

400

500

600

700

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040

Diagrama Esfuerzo-Deformacin Local

UR0.0023

prop

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

Diagrama Esfuerzo-Deformacin Global

UT

Mdulo de Tenacidad = rea Bajo Curva = # Rectangulos x rea = UT = MPa

03. Se tiene un estado de esfuerzos en un punto de un sistema coordenado x, y, z:

20 12 -1512 0 10 Mpa-15 10 6

SOLUCIN:Sea el siguiente grfico de descomposicin de coordenadas y giro de 30 para el nuevo sistema:

Del grfico deducimos los siguientes vectores unitarios:

cos sen 0 = cos30 sen30 0 = 0.87 0.50 0.00

-sen cos 0 = -sen30 cos30 0 = -0.50 0.87 0.00

0.00 0.00 1.00

XX XY XZ l1 m1 n1 xx xy xz l1 l2 l3YX YY YZ = l2 m2 n2 yx yy yz m1 m2 m3ZX ZY ZZ l3 m3 n3 zx zy zz n1 n2 n3

Reemplazando los valores correspondientes tenemos:

XX XY XZ 0.87 0.50 0.00 20 12 -15 0.87 -0.50 0.00YX YY YZ = -0.50 0.87 0.00 12 0 10 0.50 0.87 0.00ZX ZY ZZ 0.00 0.00 1.00 -15 10 6 0.00 0.00 1.00

Entonces el nuevo tensor de esfuerzos sera: XX XY XZ 25.39 -2.66 -7.99YX YY YZ = -2.66 -5.39 16.16 MPaZX ZY ZZ -7.99 16.16 6.00

El grfico esta dividido en rectngulos de medidas de 0.01 x 20 como mnimo, para calcular el rea bajo la curvaasumiremos 661 rectangulos en total y tenemos:

132.20

Determinar el tensor de esfuerzos en un nuevo sistema de coordenadas, el cual esta definido por la rotacin delos ejes "x" e "y" con un ngulo de 30 en forma antihorario respecto al eje "z".

Luego sabemos que por definicin se tiene la siguiente formulacin para determinar el tensor de esfuerzos paraun nuevo sistema de coordenadas:

N1 = (l1,m1,n1) =

N2 = (l2,m2,n2) =

N3 = (l3,m3,n3) =

=

y

z

) 30

)30

k=N3=(0,0,1)

cos30

sen30

-sen30

cos3

0

j=(0,1,0)

i=(0,1,0)

x

X

Y

, , , , , ,

, , , , , ,

, ,

= . . . .

. .

04. Se tiene un estado de esfuerzos en un punto de un sistema coordenado x, y, z:

10 0 00 8 0 Mpa0 0 -4

Determinar el tensor de esfuerzos en un nuevo sistema de coordenadas, si:

l1 = 1.00m2 = 0.50m3 = -0.87n2 = 0.87

SOLUCIN:Los vectores unitarios del nuevo sistema estn definidos de la siguiente manera:

1.00 m1 n1

l2 0.50 0.87

l3 -0.87 n3

Sabemos que el mdulo de los vectores unitarios es igual a:

Entonces: l2 = 0.00

Adems el producto punto de N2 y N3 es igual a:

Entonces: 0.00 0.50 0.87 l3 -0.87 n3 = 0Resolviendo se tiene:

n3 = 0.50Luego por vectores unitarios se tiene:

Entonces : l3 = 0.00

Ahora el producto punto de N1 y N3 es igual a:

Entonces: 1.00 m1 n1 0.00 -0.87 0.50 = 0Resolviendo se tiene:

n1 = 1.73 m1Luego por vectores unitarios se tiene:

Entonces : m1 = 0.00Luego tenemos: n1 = 0.00

En resumen tenemos los vectores unitarios:

1.00 0.00 0.00

0.00 0.50 0.87

0.00 -0.87 0.50

Para comprobar tenemos el producto cruz de N1, N2 y N3 es igual a:

N1 = (l1,m1,n1) =

N2 = (l2,m2,n2) =

N3 = (l3,m3,n3) =

N1 = (l1,m1,n1) =

N2 = (l2,m2,n2) =

N3 = (l3,m3,n3) =

=

++= 1

, ,

, ,

, ,

. = 0 , , . , ,++= 1

. = 0 , , . , ,++= 1

, ,

, ,

, ,

=

i j kN3 = 1.00 0.00 0.00 N3 = 0.00 -0.87 0.50

0.00 0.50 0.87

Con el anterior resultado se comprueba que las operaciones estn correctas.

XX XY XZ l1 m1 n1 xx xy xz l1 l2 l3YX YY YZ = l2 m2 n2 yx yy yz m1 m2 m3ZX ZY ZZ l3 m3 n3 zx zy zz n1 n2 n3

Reemplazando los valores correspondientes tenemos:

XX XY XZ 1.00 0.00 0.00 10 0 0 1.00 0.00 0.00YX YY YZ = 0.00 0.50 0.87 0 8 0 0.00 0.50 -0.87ZX ZY ZZ 0.00 -0.87 0.50 0 0 -4 0.00 0.87 0.50

Entonces el nuevo tensor de esfuerzos sera: XX XY XZ 10.00 0.00 0.00YX YY YZ = 0.00 -1.00 -5.20 MPaZX ZY ZZ 0.00 -5.20 5.00

05. Se tiene un estado de esfuerzos en un punto de un sistema coordenado x, y, z:

20 10 -1010 30 0 MPa-10 0 50

l = 0.53m = 0.27n = -0.80

SOLUCIN:El esfuerzo P est definido de la siguiente forma:

Donde:

Entonces tenemos:Px = 21.38 MPaPy = 13.36 MPaPz = -45.43 MPa

Luego: P = 21.38 13.36 -45.43

El mdulo del vector ser:

Luego lPl = 51.96 MPa

Luego sabemos que por definicin se tiene la siguiente formulacin para determinar el tensor de esfuerzos paraun nuevo sistema de coordenadas:

Determinar el esfuerzo normal Pn y el esfuerzo de corte Ps, cuando se tienen los siguientes cosenos directoresdel plano:

, ,

= . . . .

. .

=

= ( , ,) = + + = + + = + +

, ,

= + +

Por definicin de esfuerzo normal se tiene lo siguiente:

Calculando tenemos: PN = 51.43 Mpa

Luego el esfuerzo cortante est definido por la expresin:

Calculando tenemos: PS = 7.42 Mpa

06. Se tiene un estado de esfuerzos en un punto de un sistema coordenado x, y, z:

0 -1 0-1 4 -2 MPa0 -2 0

Determinar:

- Los esfuerzos normales principales y sus direcciones.- Esfuerzos cortantes mximos y sus direcciones.- Dibujar el crculo de Mohr correspondiente.- Esfuerzo normal octadrico y el esfuerzo cortante octadrico.

SOLUCIN:

Calculando los valores tenemos:I1 = 4.00I2 = 5.00I3 = 0.00

Ahora tenemos la ecuacin de esfuerzos principales en base a las invariantes:

3 - 0.00 = 0

Solucionando la ecuacin obtenemos los esfuerzos principales en forma ordenada:

1 = 5.00 MPa2 = 0.00 MPa3 = -1.00 MPa

Ahora determinaremos las direcciones principales:

Primero hallamos: N1 = (l1,m1,n1)Las ecuaciones para hallar el vector sern:

Para hallar los esfuerzos principales necesitamos calcular las invariantes expresadas en trminos de lascomponentes del tensor de esfuerzos de la siguiente manera:

4.00 x 2 - 5.00 x -

= + + + 2 + 2 + 2 =

=

= + + = + +

= + 2

= 0

+ + = 0 + + = 0 + + = 0

++= 1

Reemplazando tenemos: -5.00 x l1 + -1.00 x m1 + 0.00 x n1 = 0-1.00 x l1 + -1.00 x m1 + -2.00 x n1 = 00.00 x l1 + -2.00 x m1 + -5.00 x n1 = 0

Si l1=1, tenemos: -1.00 x m1 + 0.00 x n1 = 5.00-1.00 x m1 + -2.00 x n1 = 1.00-1.00 x m1 + 0.00 x n1 = 5.001.00 x m1 + 2.00 x n1 = -1.00

n1 = 2.00m1 = -5.00

El mdulo del vector N1 ser: 1.00 -5.00 2.00 MPa

lN1l = 5.48 MPa

El vector unitario ser entonces: 1.00 -5.00 2.005.48

N1 = 0.18 -0.91 0.37 MPa

Ahora tenemos: N2 = (l2,m2,n2)Las ecuaciones para hallar el vector sern:

Reemplazando tenemos: 0.00 x l2 + -1.00 x m2 + 0.00 x n2 = 0-1.00 x l2 + 4.00 x m2 + -2.00 x n2 = 00.00 x l2 + -2.00 x m2 + 0.00 x n2 = 0

Si l2=1, tenemos: -1.00 x m2 + 0.00 x n2 = 0.004.00 x m2 + -2.00 x n2 = 1.004.00 x m2 + 0.00 x n2 = 0.00-4.00 x m2 + 2.00 x n2 = -1.00

n2 = -0.50m2 = 0.00

El mdulo del vector N2 ser: 1.00 0.00 -0.50 MPa

lN2l = 1.12 MPa

El vector unitario ser entonces: 1.00 0.00 -0.501.12

N2 = 0.89 0.00 -0.45 MPa

Finalmente por un producto cruz se obtiene:

i j kN3 = 0.18 -0.91 0.37 N3 = 0.41 0.41 0.82 MPa

0.89 0.00 -0.45

Con los resultados anteriores ya tenemos las direcciones de cada esfuerzo principal.

N2 =

N1 = (l1,m1,n1) =

N1 =

N2 = (l2,m2,n2) =

, ,

= + + , ,

+ + = 0 + + = 0 + + = 0

++= 1

, ,

= + + , ,

, ,

, ,

= , ,

Ahora calcularemos los esfuerzos cortantes mximos en base a la siguiente formulacin:

Entonces: lPs1l = +/- 3.00 MPa (Mximo Absoluto)lPs2l = +/- 0.50 MPalPs3l = +/- 2.50 MPa

Las direcciones de estos esfuerzos cortantes mximos estan dadas por:

Sean:N1 = 0.18 -0.91 0.37 MPa

N2 = 0.89 0.00 -0.45 MPa

N3 = 0.41 0.41 0.82 MPa

Entonces: 0.59 -0.50 1.18 uP1 = 0.42 -0.36 0.84 MPa1.41

-0.23 -1.32 -0.45 uP2 = -0.16 -0.93 -0.32 MPa1.41

i j kuP3 = 0.42 -0.36 0.84 uP3 = 0.89 0.00 -0.45 MPa

-0.16 -0.93 -0.32

Con los resultados anteriores ya se tienen las direcciones de los esfuerzos cortantes mximos.

Para dibujar el crculo de Mohr usaremos los esfuerzos principales como sigue:

0 1 = 5.00 MPa -0.50 -0.50 2.50 -2.50 -0.50 0.000 2 = 0.00 MPa -0.50 0.50 2.00 3.00 2.50 0.000 3 = -1.00 MPa 2.50 2.50 2.00 -3.00 2.00 0.00

uP1 =

uP2 =

= 12 = 12 = 12

= + + = + =

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, , , ,

, ,

123C2

C1C3

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Crculo de Mohr en Tres Dimensiones

Ahora para calcular el esfuerzo normal octadrico tenemos la siguiente frmula:

Entonces: oct = 1.33 MPa

y el esfuerzo cortante octadrico esta definido por:

Entonces: oct = 2.62 MPa

07. Las componentes del esfuerzo en un punto son:

0.0018 -0.0015 -0.0010

-0.0015 -0.0012 -0.0008

-0.0010 -0.0008 -0.0025

1800 -1500 -1000

-1500 -1200 -800 = -1000 -800 -2500

SOLUCIN:

Calculando los valores tenemos:I1 = = I2 =I3 =

Ahora tenemos la ecuacin de esfuerzos principales en base a las invariantes:

3 - = 0

Solucionando la ecuacin obtenemos los esfuerzos principales en forma ordenada:

M1 =M2 =M3 =

Ahora sabemos que:

Entonces:E1 =E2 =E3 =

Con las deformaciones principales procedemos a calcular las direcciones correspondientes:

Para hallar las deformaciones principales necesitaremos calcular las invariantes de la deformacin unitariacorrespondiente a travs de la siguiente formulacin:

x 1.00E-06

Determinar las deformaciones principales y las direcciones correspondientes, y la deformacin de corte mxima.Dibujar los crculos de Mohr.

-0.00190 x 2 - 0.0000076 x -

-1900.007550000.00

8673.00

x 1.00E-06x 1.00E-12x 1.00E-12

0.00000000867

25.10-33.90-10.20

x 1.00E-04x 1.00E-04x 1.00E-04

25.07 x 1.00E-04-33.96 x 1.00E-04-10.21 x 1.00E-04

= 13 + + 9 = + +

=

=

= + + = + +

= + 2

= 0

= 1 + 2 1 = 1 + 2 1 = 1 + 2 1

Primero hallamos: N1 = (l1,m1,n1)Las ecuaciones para hallar el vector sern:

Reemplazando tenemos: -7.1E-04 x l1 + -1.5E-03 x m1 + -1.0E-03 x n1 = 0-1.5E-03 x l1 + -3.7E-03 x m1 + -8.0E-04 x n1 = 0

-1.0E-03 x l1 + -8.0E-04 x m1 + -5.0E-03 x n1 = 0

Si l1=1, tenemos: -1.5E-03 x m1 + -1.0E-03 x n1 = 7.1E-04-3.7E-03 x m1 + -8.0E-04 x n1 = 1.5E-03

-5.6E-06 x m1 + -3.7E-06 x n1 = 2.6E-06

5.6E-06 x m1 + 1.2E-06 x n1 = -2.3E-06

n1 = -0.153m1 = -0.371

El mdulo del vector N1 ser: 1.000 -0.371 -0.153

lN1l = 1.08

El vector unitario ser entonces: 1.00 -0.37 -0.151.08

N1 = 0.93 -0.34 -0.14

Primero hallamos: N2 = (l2,m2,n2)Las ecuaciones para hallar el vector sern:

Reemplazando tenemos: 5.2E-03 x l2 + -1.5E-03 x m2 + -1.0E-03 x n2 = 0-1.5E-03 x l2 + 2.2E-03 x m2 + -8.0E-04 x n2 = 0

-1.0E-03 x l2 + -8.0E-04 x m2 + 8.9E-04 x n2 = 0

Si l1=1, tenemos: -1.5E-03 x m2 + -1.0E-03 x n2 = -5.2E-032.2E-03 x m2 + -8.0E-04 x n2 = 1.5E-03

3.3E-06 x m2 + 2.2E-06 x n2 = 1.1E-05

-3.3E-06 x m2 + 1.2E-06 x n2 = -2.3E-06

n1 = 2.689m1 = 1.667

El mdulo del vector N2 ser: 1.000 1.667 2.689

lN2l = 3.32

El vector unitario ser entonces: 1.00 1.67 2.693.32

N2 = 0.30 0.50 0.81

Finalmente por un producto cruz se obtiene:

N1 = (l1,m1,n1) =

N1 =

N2 = (l2,m2,n2) =

N2 =

+ + = 0 + + = 0 + + = 0

++= 1

, ,

= + + , ,

, ,

+ + = 0 + + = 0 + + = 0

++= 1

, ,

= + + , ,

, ,

=

i j kN3 = 0.93 -0.34 -0.14 N3 = -0.21 -0.79 0.57 MPa

0.30 0.50 0.81

Con los resultados anteriores ya tenemos las direcciones de cada deformacin principal.

0 1 = 25.07 7.43 0.00 7.43 17.64 -4.44 -29.510 2 = -10.21 -4.44 0.00 7.43 -17.64 -22.08 -11.880 3 = -33.96 -22.08 0.00 -4.44 29.51 -22.08 11.88

Ahora del grfico podemos deducir la deformacin cortante mxima ser:

Aplicando la formulacin tenemos:mx =

08.

2 = -90 3 = -190 4 = -240

Y

X

x 1.00E-04x 1.00E-04

59.03

Cul debe ser la lectura en el medidor 1? Hallar las deformaciones principales en el plano de la roseta y ubicarlos valores de los medidores en el crculo de Mohr.

Se registraron las siguientes lecturas en una roseta de deformaciones unida a la superficie de un componenteestructural:

Ahora graficaremos el crculo de Mohr segn los esfuerzos principales hallados anteriormente, por lo que sernecesario ordenarlos de mayor a menor:

x 1.00E-04

, ,

123 C2 C1C3

-35

-25

-15

-5

5

15

25

35

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

Crculo de Mohr en Tres Dimensiones

=

30 30

1

23

4

SOLUCIN:

Luego sabemos que:

y = -190

Tenemos tambin:

52.5

-97.5

Ordenando tenemos:

52.5-97.5

-13.13-24.38-37.5

xy = 173.2 xy = 86.6

x = 1 = -90.0

(x,xy) = -90.0 86.6 C = -140.0 0.0 mx = -40.0 (y,xy) = -190.0 -86.6 R = 100.0 mn = -240.0

-100

Armaremos ecuaciones para hallar los valores de las deformaciones en cada sentido a travs de la siguienteformulacin:

0.25 x x + 0.43 x xy =

0.25 x x + -0.43 x xy =

0.25 x x + 0.43 x xy =0.25 x x + -0.43 x xy =-0.06 x x + -0.11 x xy =0.06 x x + -0.11 x xy =

-0.22 x xy =

Hallamos de esta forma la lectura en el medidor 1. A continuacin graficaremos el Crculo de Mohr para losdatos encontrados:

= cos + sin + sin cos =

= cos 60 + sin 60 + sin 60 cos 60 = cos 120 + sen 120 + sin 120 cos 120

,,

-90.0, 86.6

-190.0, -86.6

C maxmin

-140.0, 100.0

-140.0, -100

-140.0

-90.0

-40.0

10.0

60.0

110.0

160.0

-400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0 50

Crculo de Mohr en Dos Dimensiones

,