EJERCICIOS DE TEORIA ELECTROMAGNETICA

Vicente Poma

1.8.- Demostrar la ambigüedad que produce cuando se utiliza el producto cruz para encontrar el ángulo entre dos vectores y se obtiene el ángulo formado entre A=3ax−2ay+4 az y B=B=2ax+a y−2az . Se esta ambigüedad cuando se presenta el producto punto

|A|=√ x2+ y2+z2

|A|=√32+(−2)2+42

|A|=√29

|B|=√x2+ y2+z2

|B|=√22+12+(−2)2

|B|=√9=3

AxB=|3 −2 42 1 −2|

AxB=(4−2 )−(8+6 )+(3+4)

AxB=−14 ay+7az

AxB=14 ay−7az

AxB=7√5[ 2ay−az5 ]

AxB=|A||B|sinσ

sin θ=7√53√2

θ=sin−1 A .B|A||B|

θ=104.33

A .B=(x1 . x2)+( y1 . y2)+(z2 . z2)

A .B=6−2−8

A .B=−4

A .B=|A||B|cos σ

θ=cos−1 A . B|A||B|

θ=cos−1 −47√5

θ=−75.7

θ=104.33

1.21.- Expresar en componentes cilíndricas:

a) El vector desde C(3,2,-7)hasta D(-1,-4,2)

ρ=√ (x )2+( y)2

ρ=√ (3 )2+(2)2

ρ=√13

ρ=√ (x )2+( y)2

ρ=√ (−1 )2+(−4 )2

ρ=√17

∅=tan−1( yx )∅=tan−1( 23 )∅=33.7

∅=tan−1( yx )∅=tan−1(−4−1 )∅=−104.04

Z=Z

Z=--7

Z=Z

Z=2

RCD=(x2−x1 )+( y2− y1)+(z2−z1)

RCD=(−1−3 )+(−4−2 )+ (2+7 )

RCD=−4−6+9

aRCD=RCD . aρ

aRCD=−4 cos (33.7 )aρ−6sin(33.7)aρ

aRCD=−6.64 aρ

aRCD=RCD . a∅

aRCD=4 sin (33.7 )a∅−6cos(33.7)a∅

aRCD=−2.77a∅

RCD=−6.64 aρ−2.77a∅+9az

b) Un vector unitario en D dirigido hacia C.

RDC=(x2−x1 )+( y2− y1 )+(z2−z1)

RCD=(1+3 )+ (4+2 )+ (−2−7 )

RCD=4+6−¿9

∅=tan−1( yx )∅=tan−1( 41 )∅=−104.04

RDC=4 cos (−104.04 )aρ+6 s∈(−104.04)aρ

RDC=−6.79

RDC=−4sin (−104.04 )a∅+6cos (−104.04)a∅

RDC=2.43

RDC=−6.79aρ+2.43a∅−9az

aR DC=−4 cos(33.7)aρ−6sin(33.7)aρ

√(−6.79)2+(2.43)2+(−9)2

aRDC=−0 .58aρ+0.21a∅−0.78az

c) Un vector unitario en D dirigido hacia el origen.

RDC=(x2−x1 )+( y2− y1 )+(z2−z1)

RCD=(1 )+(4 )+(−2 )

aRDC=1aρ+4a∅−2az√(1)2+(4 )2+(2)2

aRDC=0.22aρ+0.87 a∅−0.44az

Raρ=0.22cos (−104.04 )aρ+0.87sin (−104.04)aρ

Raρ=−0.897

Ra∅=0.22 sin (−104.04 )a∅+0.87cos (−104.04)a∅

Ra∅=(2.36)−3≈0

a=−0.897aρ−0.44 az

1.23.- Una superficie cerrada está formada por las superficies ρ=3 , ρ=5 ,∅=100° ,∅=130 ° ,Z=3 y Z=4.5 .

a) Encontrar el volumen encerrado.

V=∭ ρdρd∅ dz

V=∫3

4.5

∫100

130

∫3

5

ρdρd∅ dz

V=∫3

4.5

∫100

130

8d∅ dz

V=∫3

4.5

240dz

V=360=6.28

b) Hallar el área total de la superficie encerrada.

Area=[2∫100

130

∫3

4.5

ρdρdz+∫100

130

∫3

4.5

3 dzd∅+∫100

130

∫3

4.5

5dzd∅+2∫3

4.5

∫3

5

dρdz]Area=[2∫

100

130ρ2

2 |53d∅+∫100

130

3 z|4.53d∅+∫

100

130

5 z|4.53d∅+2∫

3

4.5

ρ|53d∅ ]

Area=[2∫100

130

8d∅+∫100

130

4.5d∅+∫100

130

7.5d∅+2∫3

4.5

2d∅ ]Area=[2 x 8| 130

100+ 4.5|130

100+7.5|130

100+2x 8|4.53 ]

Area=480+135+225+6

Area=8.377+2.356+3.926+6

Area=20.7

c) Encontrar la longitud total de las doce esquinas de las superficies.

long=(4 x 1.5)+(4 x2)+2[ 30 °360 °x 2πx3+ 30 °

360 °x 2πx5 ]

long=6+8+2[ π2 + 56π ]

long=6+8+2[ 43 π ]long=6+8+[ 8π3 ]long=22.37

d) Encontrar la longitud de la línea recta más larga que está encerrada dentro del volumen.

ρ=3 , ρ=5 ,∅=100° ,∅=130 ° ,Z=3 y Z=4.5

A(ρ=3 ,∅=100 ° ,Z=3) B(ρ=5 , ,∅=130 ° ,Z=4.5)

X=ρcos∅

X=3cos(100)

X=−0.52

y=ρs∈∅

y=3sin (100)

y=2.95

Z=3

X=ρcos∅

X=5cos(130)

X=−3.21

y=ρsin∅

y=5sin (130)

y=3.83

Z=4.5

A(−0.52 ,2.95 ,3) B(−3.21 ,3.83 ,4.5)

RAB=B−A

RAB= (−3.21+0.52 )+(3.83−2.95 )+ (4.5−3 )

RAB=2.69+0.88+1.5

|B−A|=√2.692+0.882+1.52

|B−A|=3.20

Fig. 1