Ejercicios de Variables Aleatorias

Elisa M. Molanes-Lopez, Depto. Estadıstica, UC3M

Funcion de distribucion y funcion de densidad

Ejercicio 1. Sea X una variable aleatoria con funcion de distribucion dada por

F (x) =

0, si x < 0

1− k(1− x), si 0 ≤ x < k

1, si x ≥ k.

a) Determine el valor de k para que F (x) sea, en efecto, funcion de distribucion ¿Es X una v.a.

continua o discreta?

b) Si k = 3/4, ¿cual es la probabilidad del suceso {1/2 < X ≤ k}?

c) Si k = 1, ¿cual es la probabilidad del suceso {1/2 < X ≤ k}?

Solucion:

a) Segun la definicion, el valor de k ha de ser positivo. A la vista de la grafica, para que F (x)

sea no decreciente, ha de suceder que 1− k + k2 = 1− k(1− k) ≤ 1. Teniendo en cuenta que

k > 0, se deduce que k ≤ 1. Con la condicion 0 < k ≤ 1, F cumple las cuatro propiedades

necesarias para ser funcion de distribucion:

* F (−∞) = lımx→−∞ F (x) = 0.

* F (∞) = lımx→∞ F (x) = 1.

* F es continua por la derecha.

* F es no decreciente.

1-k

1-k+k2

1

0 k

Si k = 1, X es una v.a. continua con densidad f(x) = 1, si x ∈ [0, 1]. Sin embargo, si 0 < k < 1,

X es una v.a. mixta ya que se comporta como continua en el intervalo (0, k), siendo su densidad

f(x) = k, si x ∈ (0, k), y se comporta como discreta en los puntos x = 0 y x = k, siendo su

funcion de probabilidad en dichos puntos, p(0) = 1− k y p(k) = k(1− k).

1

b) Si k = 3/4, resulta que:

Pr({1/2 < X ≤ k}) = F (3/4)− F (1/2) = 1−(

1− 3

4× 1

2

)=

3

8.

En este caso X es una v.a. mixta. Si hubiesemos utilizado su funcion de densidad y su funcion

de probabilidad, tendrıamos que:

Pr({1/2 < X ≤ k}) = Pr(1/2 < X < 3/4) + Pr(X = 3/4)

=

∫ 3/4

1/2

3

4dx+

3

4

(1− 3

4

)=

3

8.

c) Si k = 1, resulta que:

Pr({1/2 < X ≤ k}) = F (1)− F (1/2) = 1−(

1− 1

2

)=

1

2.

En este caso X es una v.a. continua. Si hubiesemos utilizado su funcion de densidad, ten-

drıamos que:

Pr({1/2 < X ≤ k}) =

∫ 1

1/2

1dx =1

2.

Ejercicio 2. Sea X una v.a. con la siguiente funcion de distribucion:

F (x) =

{ex

2 , si x ≤ 0

1− e−x

2 , si x > 0.

a) Indique si X es continua o discreta.

b) Determine la funcion de densidad de X.

c) ¿Cual es la probabilidad del suceso {−2 ≤ X ≤ 1}?

d) ¿Cual es la probabilidad del suceso {X = 1}?

Solucion:

a) X es una v.a. continua dado que su funcion de distribucion es continua por la derecha y por

la izquierda.

b) La funcion de densidad de X es

f(x) =

{ex

2 , si x ≤ 0e−x

2 , si x > 0.

c) Utilizando la funcion de distribucion:

Pr({−2 ≤ X ≤ 1}) = F (1)− F (−2) = 1− e−1

2− e−2

2= 1− 1

2

(1

e+

1

e2

)= 0,7484.

Utilizando la funcion de densidad:

Pr({−2 ≤ X ≤ 1}) =

∫ 0

−2

ex

2dx+

∫ 1

0

e−x

2dx = 1− 1

2

(1

e+

1

e2

)= 0,7484.

2

d) Para toda v.a. continua sucede que Pr(X = x) = 0, para todo x numero real, de modo que

Pr({X = 1}) = 0.

Ejercicio 3. Determine el valor de k para que cada una de las siguientes funciones sea funcion de

densidad:

a) f(x) = kxe−kx, si x > 0.

b) f(x) = k/√

1− x, si 0 < x <√

2/2.

c) f(x) = k/(1 + x2), para todo x numero real.

Solucion: Las dos condiciones para que una funcion sea de densidad son las siguientes:

* f(x) ≥ 0.

*∫∞−∞ f(x)dx = 1.

a) Por la primera condicion se deduce que k ≥ 0. De la segunda condicion se deduce que:∫ ∞0

kxe−kxdx = 1.

Resolviendo esta integral por partes (u = x y dv = e−kx) y usando la regla de L’Hopital, se

verifica que:

1 = k

[lımx→∞

x

−kekx− lım

x→0

x

−kekx

]+

∫ ∞0

e−kx

kdx = −e

−kx

k

]x=∞x=0

=1

k.

De donde se concluye que k = 1.

b) Por la primera condicion se deduce que k ≥ 0. De la segunda condicion se deduce que:∫ √2/2

0

k

(1− x)1/2dx = 1.

Resolviendo esta integral, se verifica que:

1 = −k (1− x)1/2

1/2

]√2/2

0

= −2k

√1−√

2

2+ 2k = k

−2

√1−√

2

2+ 2

= 0,9176k.

De donde se concluye que k = 1,0898.

c) Por la primera condicion se deduce que k ≥ 0. De la segunda condicion se deduce que:∫ ∞−∞

k

1 + x2dx = 1.

Resolviendo esta integral, se verifica que:

1 = k arctan(x)]∞−∞ = k

(π2−(−π

2

))= πk.

De donde se concluye que k = 1/π.

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Ejercicio 4. El tiempo de retraso, medido en minutos, del AVE Sevilla - Madrid sigue una variable

aleatoria continua con funcion de distribucion

F (x) =

0, si x ≤ −1

k(x+ 1) + x2−12 , si − 1 < x ≤ 0

k(x+ 1)− x2+12 , si 0 < x ≤ 1

1, si x > 1.

a) Calcule el valor de k.

b) Calcule la probabilidad de que el tren llegue con menos de medio minuto de retraso.

c) Calcule la probabilidad de que el tren llegue antes de la hora prevista.

d) Calcule el tiempo esperado de retraso.

e) Calcule la probabilidad de que el tren llegue entre medio minuto de adelanto y un minuto de

retraso.

f) Sabiendo que el tren ha llegado con retraso, calcule la probabilidad de que lo haya hecho

menos de 15 segundos despues de lo previsto.

Solucion: Sea X la v.a. que mide el tiempo de retraso en minutos del AVE Sevilla - Madrid. Notese

que cuando X < 0 significa que la llegada del tren se ha producido con antelacion a su tiempo de

llegada previsto. En cambio, si X > 0, entonces el tren habra llegado con retraso.

a) Al ser X una v.a. continua, sabemos que su funcion de distribucion, F , ha de ser continua en

todo punto. De modo que, lımx→1+ F (x) = F (1)⇒ 1 = 2k − 1⇒ k = 1.

b) Pr(X < 0,5 min) = F (0,5) = (0,5 + 1)− (0,5)2+12 = 7

8 = 0,875 = 87,5 %.

c) Pr(X < 0) = F (0) = 1− 12 = 0,5 = 50 %.

d) En el caso de una v.a. continua su media o esperanza se calcula integrando en todo < su

funcion de densidad, f(x), multiplicada por x, es decir,

E[X] =

∫ ∞−∞

xf(x)dx.

Calculemos en primer lugar, f(x) = dFdx (x). Se tiene que:

f(x) =

1 + x, si − 1 < x ≤ 0

1− x, si 0 < x ≤ 1

0, en caso contrario.

Entonces,

E[X] =

∫ 0

−1x(1 + x)dx+

∫ 1

0

x(1− x)dx = 0.

e) Pr(−0,5 min < X < 1 min) = F (1)− F (−0,5) = 78 = 0,875 = 87,5 %.

f) Para calcular Pr(X < 14 |X > 0) hacemos uso de la definicion de probabilidad condicionada:

Pr

(X <

1

4|X > 0

)=

Pr(0 < X < 14 )

Pr(X > 0)=F (1/4)− F (0)

1− F (0)=

7

16= 0,4375 = 43,75 %.

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Ejercicio 5. Un autobus pasa por una cierta parada cada 8 minutos. Si un usuario llega a la

parada, el tiempo que debe esperar es una variable aleatoria con funcion de densidad f1(t) (t en

minutos). Sin embargo, si el autobus lleva retraso, el tiempo de espera se distribuye segun la funcion

de densidad f2(t).

f1(t) =

{1/8, si 0 < t < 8

0, en caso contrario.

f2(t) =

{110e−t/10, si t > 0

0, en caso contrario.

Sabiendo que un dıa de cada tres, el autobus llega con retraso, calcule la probabilidad de que el

usuario tenga que esperar mas de 5 minutos.

Solucion: En este ejercicio aplicaremos el Teorema de la Probabilidad Total.

Sea R el suceso ((el autobus lleva retraso un dıa concreto)). Sabemos que Pr(R) = 1/3, de modo que

Pr(R) = 2/3.

Nos piden Pr(T > 5 min), siendo T la v.a. que mide el tiempo que un usuario de dicho autobus

espera en la parada hasta que este llega.

Usando como particion del espacio muestral los sucesos R y R, el Teorema de la Probabilidad Total

nos permite escribir Pr(T > 5 min) como sigue:

Pr(T > 5 min) = Pr(T > 5 min|R) Pr(R) + Pr(T > 5 min|R) Pr(R).

Calculemos Pr(T > 5 min|R) y Pr(T > 5 min|R):

Pr(T > 5 min|R) =

∫ ∞5

f2(t)dt = e−t/10]t=∞t=5

= e−0,5,

Pr(T > 5 min|R) =

∫ 8

5

1

8dt =

t

8

]t=8

t=5

=3

8.

Se concluye que:

Pr(T > 5 min) = e−0,5 × 1

3+

3

8× 2

3= 0,4522 = 45,22 %.

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