7/23/2019 Ejercicios Diferenciabilidad

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Pontificia Universidad Catolica de Chile

Facultad de Matematicas

Departamento de Matematicas

Primer semestre de 2015

MAT1136 Calculo III

Intergacion N 1

1. Considere la funcion f(x, y) =

x2yx2+y2

si (x, y)= (0, 0)0 si x= y = 0.

a) Demuestre que es continua en todo R2.

La funcion f es continua en R

2

\ {(1, 0)} por ser composicion (y operacionesbasicas) de funciones continuas. Para analizar el (0, 0) hay que demostrar quelm

(x,y)(0,0)f(x, y) =f(0, 0) = 0.

Dado > 0, elegimos = y vemos que si||(x, y)(0, 0)|| =

x2 +y2 < tenemos que

|f(x, y)f(0, 0)|=| x2y

x2 +y20|

x2 +y2

3

x2 +y2 =

x2 +y2 ==

donde usamos que a

a2 +b2. Por lo tanto el lmite es 0 y fes continua en

todo R2.

b) Calcule sus derivadas parciales de orden 1 en todo punto.

En los puntos (x, y)= (0, 0) podemos calcular la derivada parcial fx

pensandoy como constante, obteniendo

f

x(x, y) =

2xy(x2 +y2)x2y2x(x2 +y2)2

= 2xy3

(x2 +y2)2.

De igual forma obtenemos

f

y(x, y) =

x2(x2 +y2)x2y2y(x2 +y2)2

= x4 x2y2(x2 +y2)2

.

En (0, 0)

f

x(0, 0) = lm

h0

f(0 +h, 0)f(0, 0)h

= lmh0

00h

= 0.

f

y(0, 0) = lm

h0

f(0, 0 +h)f(0, 0)h

= lmh0

00h

= 0.

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c) Determine (y demuestre) si es diferenciable en el origen.

Comof(0, 0) = (0, 0), para determinar si fes diferenciable en el origen tene-mos que determinar si

lm(x,y)(0,0)

f(x, y)

f(0, 0)

f(0, 0)

(x

0, y

0)

||(x0, y0)|| = (=)0.Esto es

lm(x,y)(0,0)

x2yx2+y2

0(0, 0)(x, y)||(x, y)|| = lm(x,y)(0,0)

x2y

(x2 +y2)3/2

Pero si me acerco por x= y esto es

lmx0

x3

(2x2)3/2 lmx0

x3

2

2x3=

1

2

2= 0

por lo que fno es diferenciable en (0, 0).

d) Calcule las derivadas direccionales en el origen, en todas las direcciones.

Tomamos una direccion unitaria cualquiera u= (u, v), como es unitariau2+v2 =1.La derivada direccional en esta direccion es

f

u(0, 0) = lm

h0

f(0 +hu, 0 +hv)f(0, 0)h

= lmh0

h3u2vh2u2+h2v2

0h

= u2v

u2 +v2 =u2v.

2. La funcion f(x,y,z) :{(x,y,z)| 0 < x , y < 20, 0 < z < 3} R describe latemperatura en una habitacion y tiene

f(x,y,z) = 2x

x2 +y2, 2yx2 +y2

, 1

5z2

.

Si estoy en el punto (2, 1, 1/2).

a) Determine dondefes diferenciable (justifique).

Como el dominio no incluye puntos con x = y = 0 ni puntos con z= 0 vemosque las derivadas parciales f

x, fy

y fz

son continuas en todo el dominio, por sercomposicion de funciones continuas.

Como las derivadas parciales son continuas en un abierto, esto implica que f esdiferenciable en este abierto, es decir, en todo su dominio.

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b) Determine la razon de cambio si me muevo en direccion hacia el origen.

Si estoy en el punto (2, 1, 1/2), la direccion hacia el origen es u = (2, 1, 1/2).La razon de cambio en esta direccion es la derivada parcial f

u(2, 1, 1/2) donde

u=u

||u|| =(

2,

1,

1/2)4 + 1 + 1/4 =

221 (2, 1, 1/2).

Como fes diferenciable,

f

u(2, 1, 1/2) =f(2, 1, 1/2) u=

45

,2

5 ,

4

5

2

21(2, 1, 1/2) = 16

5

21.

c) Determine la direccion en que tengo que moverme para disminuir la temperaturalo mas rapido posible, y determine esta razon de cambio.

La direccion en que una funcion mas decrece esfen este caso la direccionu =f(2, 1, 1/2) = (4

5, 25

, 45

.

Para calcular la razon de cambio, necesitamos calcular la derivada direccionalen la direccion unitaria u= f

||f||, esta es

f

u(2, 1, 1/2) =ff||f|| =||f||=

16 + 4 + 16

25 =6

5.

d) Determine en que direcciones me puedo mover para mantener la temperatutaconstante.

Para mantener la temperatura constante me tengo que mover en direcciones conderivada 0. Estas son las direcciones perpendiculares al gradiente ya que

0 =f

u(2, 1, 1/2) =f(2, 1, 1/2)u

Estas son las direcciones u= (u,v,w) que cumplen

0 =f(2, 1, 1/2)u= 45

,2

5 ,

4

5 (u,v,w) =4

5 u2

5v+

4

5w

esto es{(u,v,w)|w =u+v/2} o los vectores en el plano generado por (1, 0, 1)y (0, 2, 1).

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3. Seanf yg diferenciables. Si la superficie de nivel f(x,y,z) = 4 es tangente al graficode la funcion g(x, y) = 2exy +x en el punto (1, 0, 3).

a) Determine el plano tangente a la superficie de nivelf(x,y,z) = 4 en (1, 0, 3).

Como la superficie de nivel f(x,y,z) = 4 es tangente al gr afico de la funciong(x, y) = 2exy +x en el punto (1, 0, 3), el plano pedido es el plano tangente a gen (1, 0). Necesitamos

g(1, 0) = (2exyy+ 1, 2exyx)|(1,0) = (1, 2)

El plano pedido es

z=g(1, 0) +g(1, 0)(x1, y) = 3 + (1, 2)(x1, y) =x+ 2y+ 2.

b) Determine que valores puede tomarf(1, 0, 3).

El gradiente es perpendicular a la superficie de nivel, es decir, perpendicu-lar al plano tangente encontrado en a). Luegof(1, 0, 3) es paralelo al vec-tor normal del plano x + 2y z + 3 = 0 q ue es n = (1, 2, 1). Es decirf(1, 0, 3) = (, 2, ) para algun = 0.

c) Determine el hiperplano tangente af(x,y,z) si se sabe que||f(1, 0, 3)||= 26y f

x(1, 0, 3)> 0.

Sabemos que

f(1, 0, 3) = (, 2,

) para algun

= 0 y= f

x(1, 0, 3)> 0 con

26 =||(, 2, )||=||6. Juntando esto tenemos que = 2 yf(1, 0, 3) =(2, 4, 2).Ademas, (1, 0, 3) esta en la superficie de nivelf(x,y,z) = 4, por lo quef(1, 0, 3) =4.

El hiperplano tangente a fen (1, 0, 3) es:

T(x,y,z) =f(1, 0, 3)+f(1, 0, 3)(x1, y0, z3) = 4+(2, 4, 2)(x1, y , z 3)

= 2x+ 4y2z+ 8.