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PONENCIA UNIVERSIDAD-MATEMÁTICAS APLICADAS 2º BACHILLERATO SOCIALES

Algunos ejemplos de ejercicios de matrices como expresiones de tablas y grafos:

Ejemplo 1. Sean los grafos siguientes:

a) Escriba la matriz de adyacencia asociada a los grafos A y B de la figura anterior. b) Si las matrices C y D unen los nodos numerados con las etiquetas 1, 2, 3, represente los grafos asociados a dichas matrices de adyacencia.

=

=

011101110

010101010

DC

c) Realice la siguiente operación matricial: DCCD ⋅−⋅

Resolución: a) Las matrices de adyacencia asociadas a los grafos A y B de la figura anterior son, respectivamente:

=

=

0100010000000100010100010

0101010001000101010101010

BA

b) Los grafos asociados a las matrices de adyacencia C y D son:

c) La operación matricial D.C-C.D es

−

011101110

.010101010

010101010

.011101110

=

−

101121101

111020111

=

−−010101

010

Ejemplo 2.

En un instituto I hay alumnos de tres pueblos, A, B y C. La distancia entre A y B es 6 km, la de B a C es 7 km, la de A a C es 10 km y la de A a I es 8 km. Una empresa de transporte escolar hace dos rutas: la ruta 1 parte de B y recorre sucesivamente C, A e I; la ruta 2 parte de C y recorre sucesivamente B, A e I.

2

1

3

2

1

3

2

1. Determine la matriz M, 2x3, que expresa los kilómetros que recorren los alumnos de cada pueblo por cada ruta. 2. El número de alumnos que siguen cada ruta de cada pueblo es:

Pueblo A: 10 alumnos la ruta 1 y 9 alumnos la ruta 2. Pueblo B: 15 alumnos la ruta 1 y 8 alumnos la ruta 2. Pueblo C: 5 alumnos la ruta 1 y 9 alumnos la ruta 2.

Determine la matriz N, 3x2, que indique los alumnos que siguen cada ruta de cada pueblo. 3. Si la empresa cobra 12 céntimos por Km a cada persona, determine la matriz P = 0.12 M∙ N, e interprete cada uno de sus elementos.

=

=

AlumnosCAlumnosBAlumnosA

RutaRuta

NRutaRuta

CBA

M

21

21

Resolución: a) Para determinar la matriz M, 2x3, que expresa los kilómetros que recorren los alumnos de cada pueblo por cada ruta. Consideramos los dos posibles circuitos: R1: B →C → A → I R2: C→ B → A → I

M =

2114818258

2 Ruta1 Ruta

CBA

b) La matriz N, 3x2, que indique los alumnos que siguen cada ruta de cada pueblo es, de acuerdo con los datos del problema:

N =

95815910

C AlumnosB AlumnosA Alumnos

RR 21

c) La matriz P = 0,12 M.N es:

P = 0,12.

2114818258

2 Ruta1 Ruta

CBA

95815910

C AlumnosB AlumnosA Alumnos

RR 21

= 0,12

373395434545

= 0,12

373395434545

Ejemplo 3. En una empresa de fabricación de móviles hay 3 categorías de empleados: A, B y C y se fabrican dos tipos de móviles: M y P. Diariamente cada empleado de la categoría A fabrica 4 móviles del tipo M y 3 del tipo P, mientras que cada uno de la categoría B fabrica 5 móviles del tipo M y 4 del tipo P, y cada uno de la categoría C fabrica 6 móviles del tipo M y 5 móviles del tipo P. Para fabricar cada móvil del tipo M se necesitan dos chips y 4 conexiones y para fabricar cada móvil del tipo P 4 chips y 6 conexiones.

a) Escriba una matriz X, 3x2, que describa el número de móviles de cada tipo y otra matriz Y, de orden 2, que exprese el número de chips y conexiones de cada tipo de móvil.

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b) Realice el producto de matrices X·Y e indique qué expresa dicho producto. Resolución: a) Las matrices pedidas son:

x =

564534

CBA

PM

Y =

6442

PM

CoCh

b) El producto de las matrices X.Y =

564534

CBA

PM

.

6442

PM

CoCh=

543244263420

CBA

CoCh

Expresa en número total de chips y conexiones que efectúa cada empleado.

Ejemplo 4. Un proveedor que suministra materia prima a 3 fábricas, F, G y H, transporta una parte de sus envíos a cada fábrica por carretera y la otra parte por tren, según se indica en la matriz T, cuyos elementos son las toneladas de materia prima que recibe cada fábrica por cada vía de transporte.

tren

carreteraT

HGF

=

200250400150200300

Los precios del transporte de cada tonelada de materia prima son 200 euros por carretera y 180 euros por tren, como indica la matriz C = (200, 180). Explique qué operación debe efectuarse con estas matrices para determinar una nueva matriz cuyos elementos sean los costes de llevar este material a la fábrica.

Resolución: Debe efectuarse el producto C·T, ya que el simétrico T·C no podría realizarse.

C·T = ( )180200TrenCar

.tren

carretera200250400150200300HGF

= ( )6500850013200HG F

Ejemplo 5. Una persona tiene que comprar 2 kg de manzanas, 1 kg de ciruelas y 1.5 kg de plátanos y otra necesita 0.5 kg de manzanas, 2.5 de ciruelas y 3 de plátanos. En la frutería A, los precios de las manzanas son 1.8 euros/kg, los de las ciruelas 2.1 y los de los plátanos 1.9 y en la frutería B son 1.7, 2.3 y 1.75 respectivamente. Se escriben las matrices

=

35.25.05.112

M y

=

75.19.13.21.27.18.1

N

a) Determine M∙N e indique qué representa cada uno de los elementos de la matriz producto. b) ¿En qué frutería le conviene a cada persona hacer la compra?

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Resolución:

a) M.N =

32.50.5

1.512F2F1

PCM.

75.19.13.21.27.18.1

PCM

BA

=

11.8511.858.3258.55

F2F1

BA

Los elementos de la matriz producto indican lo que gasta cada persona en cada una d elas fruterías. b) La una debe comprar en la frutería A y a la otra le da igual comprar en A que en B

Ejemplo 6. Un fabricante de productos lácteos, que vende 3 tipos de productos, leche, queso y nata, a dos supermercados, S y H, ha anotado en la matriz A los pesos en kg de cada producto que vende a cada supermercado y , en la matriz B, las ganancias que obtiene en cada supermercado por cada kg de esos productos

Matriz A: HS

nataquesoleche

200300460250300500 matriz B :

HS

nataquesoleche

20.160.325.01420.0

Efectúe el producto tBA ⋅ y explique el significado económico de cada uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz resultante.

Resolución:

tBA ⋅ = HS

200300460250300500

nataquesoleche

.

20.1160.3425.020.0

nataquesoleche

HS

=

1435149215051550

MS

M S

Los elementos de la diagonal principal representan las ganancias totales del fabricante en cada supermercado

Ejemplo 7. Una empresa de carpintería dispone de dos naves A y B donde se fabrican sillas y mesas en tres tipos de acabados: calidad extra E, calidad media M, y calidad inferior I. Ambas naves tienen la misma producción mensual. La cantidad de sillas producidas mensualmente, en cada una de las naves, es de 100 del tipo E, 150 del M y 200 del tipo I. La producción mensual de mesas es de 100 de clase E, 50 de clase M y 300 de clase I. a) Obtener la matriz que representa la producción de sillas y mesas, de calidad extra, media o inferior en cada una de las dos naves. (1,25p) Por otra parte, se sabe que durante el proceso de fabricación se producen defectos en las piezas. Concretamente el porcentaje de sillas y mesas defectuosas es, en la nave A, del 1%, para los muebles de calidad E¸ del 2% para los de calidad M y del 3% para los de calidad I. En la nave B los porcentajes son del 2% para la clase E, 4% para la M y 1% para la clase I. Se pide: b) Obtener la matriz que representa el nº de sillas y mesas defectuosas, en las calidades E, M, I, procedentes de cada una de las naves y la matriz que da el nº total de sillas y de mesas defectuosas para cada calidad. (1,25p)

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Resolución: a) La matriz que representa la producción de sillas y mesas es:

30050100200150100

MesasSillas

IME

b) La matriz que da el porcentaje de las piezas defectuosas en cada nave es:

01.003.004.002.002.001.0

IME

BA

La matriz que representa el nº de sillas y mesas defectuosas procedentes de cada una de las naves

30050100200150100

MesasSillas

IME.

01.003.004.002.002.001.0

IME

BA

=

711

1010MesasSillas

BA

La matriz que da el nº total de sillas defectuosas para cada calidad es:

01.003.004.002.002.001.0

IME

BA

.

200150100200150100

BA

IME =

864129665.43

IME

I M E

Es decir hay 3 sillas defectuosas del tipo E, 9 del tipo M y 8 del tipo I, ya que son los valores de la diagonal principal. Los que no pertenecen a la diagonal principal no tiene sentido La matriz que da el nº total de mesas defectuosas para cada calidad es:

01.003.004.002.002.001.0

IME

BA

.

3005010030050100

BA

IME =

1224183695.13

IME

I M E

Es decir hay 3 mesas defectuosas del tipo E, 3 del tipo M y 12 del tipo I, ya que son los valores de la diagonal principal. Los que no pertenecen a la diagonal principal no tiene sentido

Ejemplo 8. Tres escritores presentan a un editor, al acabar una enciclopedia, la minuta siguiente:

Horas de trabajo

Conferencias dadas

Viajes

Escritor A 40 10 5 Escritor B 80 15 8 Escritor C 100 25 10

Sabiendo que el editor paga la hora de trabajo a 30 €, la conferencia a 12 € y el viaje a 20 €, calcula cuál sería el gastos total del editor.

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Si de momento sólo piensa pagar, respectivamente, el 30%, el 20% y el 10% de lo que le corresponda a cada escritor, ¿cuánto cobraría cada uno de los escritores? Resolución

Sería el producto de matrices:

10251008158051040

CEscritor BEscritor AEscritor

VCT

VCT

201230

Gastos

=

VCT

250027401420

Gastos

Es decir, el escritor A cobrará 1420 €, el escritor B cobrará 2740 € y el escritor C cobrará 2500 €, Si de momento sólo piensa pagar, respectivamente, el 30%, el 20% y el 10% de lo que le corresponda a cada escritor, el producto sería:

12.5101.63161.5312

CEscritor BEscritor AEscritor

VCT

VCT

201230

Gastos

=

VCT

250548426

Gastos

Es decir, el escritor A cobrará 426 €, el escritor B cobrará 548 € y el escritor C cobrará 250 €,