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0.3 Ejercicios
1. Pruebe usando induccion:
a) n N,n
i=1
i2 =n(n + 1)(2n + 1)
6.
b) n N,n
i=1
i3 =
[n(n + 1)
2
]2.
c) n N,n
i=1
1
(2i + 1)(2i 1) =n
2n + 1.
d) n N,n
i=1
(3i 1) = n2(3n + 1).
e) n N,n
i=1
3i1 =3n 1
2.
f) n N,n
i=1
1
2i(i + 1) =
n(n + 1)(n + 2)
6.
g) n N,n
i=1
i2i1 = 1 + (n 1)2n.
h) n N,n
i=1
(3i 2) = n(3n 1)2
.
i) n N, 12 + 32 + 52 + + (2n 1)2 = n(2n 1)(2n + 1)3
.
j) n N, 14 + 24 + + n4 = n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n 1)
30.
k) n N, 15 + 25 + + n5 = n2(n + 1)2(2n2 + 2n 1)
12.
l) n N, 16 + 26 + + n6 = n7
7+
n6
2+
n5
2 n
3
6+
n
42.
m) n N, 1 2 + 2 3 + + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)3
.
15
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n) n N, 1 2+3 4+5 6+ +(2n1)(2n) = n(n + 1)(4n 1)3
.
o) n N, 1 2 3 + 2 3 4 + 3 4 5 + + n(n + 1)(n + 2) =n(n + 1)(n +
2)(n + 3)
4.
p) n N, x2n y2n es divisible por (x y).q) n N, x2n1 + y2n1 es
divisible por (x + y).r) n N, n3 + 2n es divisible por 3.s) n N, 2n
+ (1)n+1 es divisible por 3.t) n N, 10n + 3 4n+1 + 5 es divisible
por 9.u) n N, 52n + (1)n+1 es divisible por 13.v) n N, 72n + 16 1
es divisible por 64.w) n N, 2304|(72n 48n 1).x) n N, 1/1 + 1/2 + +
1/n 2n 1.y) n N, 1k + 2k + + nk nk+1.z) n N, (1 + x)n 1 + nx, si x
1.
2. Encuentre el menor entero positivo j para el que el enunciado
es ver-
dadero; con el principio extendido de induccion matematica
pruebe que
la formula es verdadera para todo entero mayor que j.
a) n + 12 n2.b) n2 + 18 n3.c) 5 + log2 n n.d) n2 2n.e) 2n + 2
2n.f) n log2 n + 20 n2.
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3. Exprese la suma en terminos de n.
a)n
k=1
(k2 + 3k + 5).
b)n
k=1
(3k2 2k + 1).
c)n
k=1
(2k 3)2.
d)n
k=1
(k3 + 2k2 k + 4).
4. Evalue la expresion.
a) 2!6!
b) 7!0!
c)8!
5!
d)
(5
5
)
e)
(7
5
)
f)
(13
4
)
5. Reescriba las siguientes expresiones sin factoriales.
a)(2n + 2)!
(2n)!
b)(3n + 1)!
(3n 1)!6. Utilice el teorema del binomio para expandir y
simplificar.
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a) (4x y)3
b) (a + b)6
c) (a b)6
d) (3x 5y)4
e) (13x + y2)5
f) ( 1x2
+ 3x)6
g) (
x 1x)5
7. Sin expandir por completo, encuentre los terminos indicados
en la
expansion de la expresion.
a) (3c2/5 + c4/5)25; primeros tres terminos.
b) (4b1 3b)15; ultimos tres terminos.
c)
(3
c+
c2
4
)7; sexto termino.
d)(
1
3u + 4v
)8; septimo termino.
e) (x1/2 + y1/2)8; termino del medio.
f) (2y + x2)8; termino que contiene x10.
g) (3b3 2a2)4; termino que contiene b9.h)
(3x 1
4x
)6; termino que no contiene x.
8. Demuestre que:
a)
(n
1
)=
(n
n 1
); para n 1.
b)
(n
0
)=
(n
n
); para n 0.
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