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EJERCICIOS LEYES DE KEPLER Y GRAVITACIN UNIVERSAL Solucionario

1.- A qu distancia debiera estar un cuerpo de la superficie terrestre para que su peso se anulara?

El peso de un cuerpo se anulara en dos circunstancias: i) En donde g, la intensidad de campo gravitatoria, sea nula. Y eso ocurre

Solamente a una distancia infinita. ii) En algn lugar en donde debido a la presencia de otro cuerpo estelar la

fuerza gravitacional debida a la Tierra y debida a ese otro cuerpo se anulen entre s. Esto ocurre, por ejemplo, en la lnea recta que une a la Tierra con la Luna, a ocho novenos de la distancia que hay entre esos cuerpos medida desde la Tierra.

2.- Calcular la intensidad del campo gravitatorio a 630 km de la superficie terrestre. Datos: R = RTierra + h = 6.370 km + 630 km = 7.000 km = 7x106 m m = 5,98x1024 kg

2RGmg = = ( ) 226

2411

s

m14,810x7

10x98,510x67,6=

3.- A qu distancia entre la Tierra y la Luna debiera situarse un satlite de 10 toneladas para ser igualmente atrado por ambos?

Datos: mT = 5,98x1024 kg m = 10 ton = 104 kg distancia entre la Tierra y la Luna, dTL = 384.000 km = 3,84x108 m distancia entre la Tierra y el satlite, dT = x distancia entre la Luna y el satlite, dL = dTL - x

La fuerza de atraccin de la Tierra sobre el satlite, FTS, y la de la Luna sobre el satlite, FLS, son iguales, por lo tanto:

FTS = FLS

( )2TLL

2T

xdmGm

x

mGm

= ( )2TLL

2T

xdm

x

m

= ( )2TLT

2T

xd81m

x

m

= ( )2TL2 xd811

x

1

=

al extraer raz, se tiene:

( )xd91

x

1TL

= xx9d9 TL = TLd98

x = = 3,413x108 m = 341.333 km

4.- A cierta altura sobre la Tierra se encuentra un satlite de 500 kg sobre el cual el campo gravitatorio terrestre acta con la fuerza de 400 N. Cul es la intensidad del campo gravitacional y la aceleracin de gravedad a esa distancia?

Datos: W = 400 N m = 500 kg

Como la aceleracin de gravedad y la intensidad del campo gravitacional numricamente tienen el mismo valor, entonces:

T L FTS FLS

dTL - x x

w

w

w

.

h

v

e

r

d

u

g

o

.

c

l

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2

W = mg 2sm8,0

kg500N400

m

wg ===

5.- A qu distancia de la superficie terrestre gira un satlite en rbita circular si su masa es de 1000 kg y el campo acta sobre l con la fuerza de 8000 N?

Datos: m = 1.000 kg mT = 5,98x1024 kg F = 8.000 N

2T

RmGmF = , como R = RT + h, entonces se determina R:

km061.7m037.061.7000.8

1010x98,510x67,6F

mGmR32411

T==

==

h = R RT = 7.061 m 6.370 km = 691 km

6.- Calcular la intensidad del campo gravitatorio en un punto situado a 3630 km de la superficie terrestre.

Datos: h = 3.630 km R = RT + h = 6.370 km + 3.630 km = 10.000 km = 107 m

== 2RGmg ( ) 227

2411

s

m99,310

10x98,510x67,6=

7.- Un satlite de 80 kg gira en una rbita circular. Si el campo gravitatorio acta sobre el satlite con una fuerza de 16 N cul es la intensidad del campo gravitatorio a esa distancia?, qu ms se podra calcular?

Datos: m = 80 kg F = 16 N Se puede determinar, adems, la aceleracin que tendra el satlite si empezara a caer en forma libre. Tambin se podra determinar velocidad lineal con que gira en torno a la Tierra, esto pues la fuerza con que la Tierra lo atrae tambin es la fuerza centrpeta a que se ve afectado el satlite. Tambin se puede conocer la altura a que se encuentra el satlite respecto a la superficie terrestre. W = mg, como g es, adems de aceleracin de gravedad, la intensidad de campo gravitatorio,

2s

m2,0kg80N16

m

wg ===

Como 2RGmg = , entonces se tiene

km658.44m922.657.442,0

10x98,510x67,6g

GmR2411

==

==

Entonces, el satlite est a h = 44.658 km 6370 km = 38.288 km de altura sobre la superficie terrestre.

w

w

w

.

h

v

e

r

d

u

g

o

.

c

l

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3

8.- El perodo de revolucin de Saturno es aproximadamente 29,5 aos. Calcular su distancia al Sol.

Datos: TS = 29,5 aos TT = 1 ao RT = 1 UA Aplicando Tercera ley de Kepler, se tiene

3S

2S

3T

2T

RT

RT

= UA55,91

15,29T

RTR 3 3 132

2T

3T

2S

S =

=

=

9.- Demuestre que para cualquier planeta el producto de su velocidad instantnea en un punto de la trayectoria por el radio vector correspondiente es constante.

La fuerza con que el Sol atrae a un planeta es 2T

RmGmF = , y como sta tambin es la

fuerza centrpeta que afecta al planeta, se tiene que Rv

mmaF2

C == , y como

Como ambas fuerzas son iguales, se tiene: Rv

mR

mGm 22T

= , si despejamos adecuadamente se tiene: T

2 GmRv = que es constante. Esto es considerando que la velocidad de un planeta en torno al Sol es aproximadamente constante. 10.- Calcular la aceleracin de gravedad en un punto situado a la distancia a que se

encuentra la Luna de la Tierra, que es de 60 radios terrestres. Datos: R = 60 RT = 60 x 6.370 km = 382.200 km = 3,822x108 m (en realidad son 384.000 km)

== 2RGmg ( ) 22

328

2411

s

m00273,0s

m10x73,210x822,3

10x98,510x67,6==

11.- La aceleracin de gravedad de Marte respecto a la de la Tierra es 0,37. Calcular la aceleracin de gravedad en Marte, en m/s2.

Datos: gM = 0,37g

gm = 0,37x9,8 2sm

= 3,626 2sm

12.- La densidad media del planeta Tierra es 5,5 g/cm3 y la de Marte con relacin a la de la Tierra es 0,69. Cul es la densidad de Marte?

Datos:

T = 5,5 3cmg

T = 0,69 T

Como se ha de saber: Vm

= , por lo tanto, se tiene

( ) 333624

3T

T

T

T

M

MM

cm

g8,3m

kg813.310x37,614,3

34

10x98,569,0R

34

m69,0Vm69,0

Vm

==

pi

===

w

w

w

.

h

v

e

r

d

u

g

o

.

c

l

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4

13.- Construya un grfico W v/s R (peso en funcin de la distancia) de un cuerpo de masa m que viaja desde la Tierra a la Luna.

Con WT el peso en la Tierra, RT el radio de la Tierra, RL el radio de la Luna y dTL la distancia entre la Tierra y la Luna.

14.- Cuando un meteoro que cae est a una distancia de 3RT sobre la superficie terrestre, cul es su aceleracin en cada libre?

Datos: R = 4RT

( ) g161

RGm

161

R4Gm

RGmg 2

T22 ====

Es decir, acelerara con la diecisis-ava parte de la aceleracin en cada libre que tendra en la superficie de la Tierra.

15.- A qu altura sobre la superficie de la Tierra sera la aceleracin de gravedad aproximadamente de 4,9 m/s2.

Datos:

g = 4,9 2sm

Como 2RGmg = , entonces se tiene

km022.9m263.022.99,4

10x98,510x67,6g

GmR2411

==

==

Entonces, ese lugar est a h = 9.022 km 6370 km = 2.652 km de altura sobre la superficie terrestre. 16.- La distancia media de Marte a l Sol es 1,524 veces la de la Tierra al Sol.

Encontrar el nmero de aos que tarda Marte en efectuar una revolucin en torno al Sol.

Datos: TT = 1 ao RT = 1 UA RM = 1,524 UA Aplicando Tercera ley de Kepler, se tiene

3M

2M

3T

2T

RT

RT

= aos88,11524,11

RRTT 3 1

323

2T

3M

2T

M =

=

=

W

R RT 98 dTL dTL- RL

WT

61

WT

0

w

w

w

.

h

v

e

r

d

u

g

o

.

c

l

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17.- Una manzana es soltada desde el reposo. Una hormiga sobre el suelo afirma que la manzana se acelera hacia la Tierra y la golpea. Un gusano en la manzana afirma que la Tierra se acelera hacia la manzana y la golpea. Qu afirmacin es ms acertada y por qu?

Ambos bicharracos tienen razn, dicen cosas diferentes solamente porque utilizan sistemas de referencia diferentes. La hormiga usa como referencia a la Tierra, suponindola en reposo, y el gusano usa como referencia la manzana, suponindola en reposo. 18.- Determine la magnitud de la fuerza gravitacional entre dos bolas de billar de masa

0,16 kg cuando la distancia entre ellas es de 450 mm. Datos: m1 = m2 = 0,16 kg R = 450 mm = 0,45 m

N10x43,845,0

16,016,010x67,6R

mGmF 12211

221

=

==

19.- Complete la siguiente tabla. Los datos corresponden a las Lunas de Jpiter:

Se debe aplicar la Tercera Ley de Kepler.

Nombre Radio orbital, en 106 m Periodo, en das Io 421,6 1,769 Europa 670,9 3,551 Ganmedes 1.070 7,152 Calisto 1.882 16,689

20.- Fobos es un satlite de Marte que posee un perodo de 7 horas y 39 minutos y una rbita de 9,4x106 m de radio. Determine la masa de Marte a partir de estos datos.

Datos: T = 7 h 39 min = 27.540 s R = 9,4x106 m Sobre un satlite que gira en torno a Marte acta una fuerza centrpeta

Rv

mmaF2

c == , pero como entre ese objeto y Marte hay una fuerza

gravitacional 2M

RmGm

F = , y como ambas fuerzas son equivalentes, entonces:

2M

2

RmGm

Rv

m = , y como TR2

vpi

= , entonces se tiene 2M

2

RGm

RTR2

=

pi

, despejando adecuadamente, se tiene:

2

3

2M

TR

4Gm

=

pi, que es otra forma de expresar la Tercera Ley de Kepler, entonces,

despejando la masa de Marte, se tiene: kg10x5,6GT

R4m 232

32

M =pi

=

w

w

w

.

h

v

e

r

d

u

g

o

.

c

l

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21.- Determinar el tanto por ciento de reduccin que experimenta la aceleracin de la gravedad al aumentar la altura en 10 km sobre la superficie terrestre.

Datos: h = 10 km RT = 6,37x106 m R = RT + h = 6,37x106 6 m

En la superficie de la Tierra, ( ) 2262411

20

0s

m8299,910x37,6

10x98,510x67,6RGmg ===

A los 10 km de altura, ( ) 2262411

21

1s

m7991,910x38,6

10x98,510x67,6RGmg ===

Se observa, entonces, que la aceleracin de gravedad a una altura de 10 km sobre la

superficie terrestre disminuye en 0,0308 2sm

, y esta cantidad corresponde a una

disminucin del 0,31 %.

22.- La masa de la Tierra es, aproximadamente, 6x1024 kg, su radio es, aproximadamente, 6.370 km. La masa de la Luna es 1/81 veces la masa de la Tierra, su radio es, aproximadamente, 1740 km y la distancia que hay entre la Tierra y la Luna es de, aproximadamente, 60 radios terrestres. Determine:

a) La intensidad de campo gravitatorio en la superficie Lunar.

Datos:

mL = kg10x407,78110x6

81m 22

24T

==

R = 1.740 km = 1,74x106 m

( ) 2262211

2 s

m63,110x74,1

10x407,710x67,6RGmg ===

b) A qu altura, sobre la superficie terrestre, la intensidad de campo gravitatorio, tiene el mismo valor que la aceleracin de gravedad Lunar?

Datos:

g = 1,63 2sm

mT = 6x1024 kg

2RGmg = , entonces:

km669.15m125.669.1563,1

10x610x67,6g

GmR2411

==

==

Y, como R = RT + h, la altura en donde g = 1,63 2sm

es h = 9.299 km

23.- Encuentre la distancia entre Jpiter y el Sol sabiendo que el periodo de rotacin del Sol es un ao y que el de Jpiter es de casi 12 aos terrestres.

Datos: TT = 1 ao RT = 1 UA TJ = 12 aos

3J

2J

3T

2T

RT

RT

= UA24,51

112T

RTR 3 3 132

2T

3T

2J

J =

=

=

w

w

w

.

h

v

e

r

d

u

g

o

.

c

l

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7

24.- El planeta Egabbac (situado en otro sistema Solar) posee un radio doble del de la Tierra, pero una densidad media de masa igual a la de la Tierra. El peso de un objeto en la superficie de Egabbac sera igual, mayor, o menor, que en la superficie de la Tierra? Si es mayor o menor: cunto es el valor?

Datos: R = 2RT

= 5.500 3mkg

Si el radio es el doble que en la Tierra, y considerando que tiene la misma densidad que nuestro planeta, entonces la masa de ese planeta es:

m = V, entonces ( ) kg10x76,410x274,114,334500.5R

34

m 25373

==pi=

Entonces, en la superficie del planeta Egabbac la intensidad de campo gravitatorio (aceleracin de gravedad) es:

( ) 2272511

2 s

m56,1910x274,1

10x76,410x67,6RGmg ===

, que es el doble de la que hay en la

superficie terrestre, por lo tanto un cuerpo en la superficie del planeta pesara el doble de lo que pesara en la superficie terrestre.

25.- Calcule el trabajo necesario para mover un satlite terrestre de masa m de una rbita de radio 2R a una de radio 3 R.

Sabemos que la energa total mecnica se conserva. Por lo tanto, tenemos que la energa total mecnica de un satlite a una distancia 2R del centro de la Tierra es: E = U1 + K1, mientras que a una distancia 3R, es E = U2 + K2, y segn el teorema del trabajo y la energa, se tiene W = - (K2 K1), por lo tanto, de la igualdad U1 + K1 = U2 + K2, entonces K2 K1 = U1 U2 se tiene: W = U1 U2

R6mGm

R3mGm

R2mGmW TTT ==

w

w

w

.

h

v

e

r

d

u

g

o

.

c

l