Ejercicios Limites : Calculo 1

8/18/2019 Ejercicios Limites : Calculo 1

1/28

Guía Unidad I:

“SUCESIONES Y LIMITES”.

EJERCICIOS RESUELTOS DE SUCESIONES

Una sucesión puede darse por comprensión o extensión:

1. Sea la forma de anotación por comprensión de una sucesión:

Qn f N nn

n

n

nn f ∈∈

+++= )(,

1

1)( ,

Solución: esta misma función sería por extensión como

{ }

= ,...

12

25,

6

13,

2

5)(n f pues

=→=

=→=

=→=

12

253

6

132

2

51

3

2

1

an

an

an

Determine:

a. 4a

b. 6a

También se puede definir una sucesión como fórmula incluso con 2 a la vez.

2. Sea 2212 21 naa nn ==− . Determinar los valores de la sucesión.

=

=⇒=

2

11

2

1

a

an

=

=⇒=

8

12

4

3

a

an

=

=⇒=

18

13

6

5

a

an

=

=⇒=

32

14

8

7

a

an

Determine paraa. n !b. n".

#as sucesiones pueden comportarse de variadas formas, como se indican a continuación:


2/28

3. Sea la sucesión definida por las si$uientes fórmulas:

21 1121 ≥∀+=== −+ naaaaa nnn . Determinar los % primeros términos de lasucesión.

Solución:

217

136

85

54

33

22

678

567

456

345

234

123

=+=⇒= =+=⇒=

=+=⇒==+=⇒==+=⇒==+=⇒=

aaan

aaan

aaan

aaan

aaan

aaan

&ota: esta sucesión es conocida como la sucesión de 'ibonacci, o herencia de los conejos.

4. (scriba los ) primeros términos de la sucesión cu*o término $eneral es12 +n

n

+p:

=

+ 9

4,

7

3,

5

2,

3

1

12n

n

5. ompruebe -ue los ) primeros términos de la sucesión dado su término $eneral son:

a. =

+−

2)1(

12

n

n+p:

2

7,

16

5,

9

3,

4

1

b. =

+

−

1

22

1

n

n

+p:

17

8,

10

4,

5

2,

2

1

c. =+

−)1(

)1(

nn

n

+p:

−−

20

1,

12

1,

6

1,

2

1

d. =+

+

)!1(

1

n

x n+p:

120,

24,

6,

2

5432 x x x x

. Determine la conver$encia o diver$encia de la serie infinita ...2

7

2

5

2

3

2

1432

+−+−

Solución:


3/28

&ote -ue-los numeradores ,/,!,%,0 constitu*en una serie aritmética cu*o primer término es * cu*a

diferencia com1n es 2, por ello el término nésimo es 2n.

- el término $eneral es ( ) n

n

n

na

2

121

1 −⋅−= +

- los si$nos son alternados , por ello se aplica la prueba de series alternantes, -ue se

cumple para 0=∞→ nnalim * nn aa


4/28

aplicando la prueba de la conver$encia absoluta

1

1)12(

)12(

121

1)1(2

1

21

21

1

=

−=

+

−−=

−

−+−

==

∞→

∞→

+

∞→

ρ

ρ

n

nlim

n

nlim

a

alim

n

nn

n

n

de modo -ue falla la prueba de la razón para la conver$encia absoluta,

por lo tanto es diver$ente como serie positiva por-ue nn

1

)12(

1

21 >−

#. Determine la conver$encia o diver$encia de la serie infinita ...9

!4

9

!3

9

!2

9

1432

++++

Solución:

el término $eneral esnn

na

9

!=

pero ∞=∞→

n

n

alim

por lo tanto la serie es diver$ente.

1$. Determine la conver$encia o diver$encia de la serie infinita

....4

34

4

33

4

32

4

3 432

+ +

+

+

Solución:

el término $eneral -ue corresponde esn

n na

=4

3

aplicando límite 0=

∞→ nnalim

poniendo a prueba la conver$encia absoluta


5/28

10

431

43

4

3

4

3)1(

1

1


6/28

en consecuencia, el nésimo término es

n

n

d naT n

1501700

)150)(1(1550

)1(

−=−−+=

−+=

esta cantidad nT da el valor de la m3-uina en dólares al término del nésimo ao.

pero interesa el valor de n cuando se 7a*a reducido al valor de desec7o, puesto -ue estoda la vida 1til de la m3-uina.

así -ue 7acemos 200=nT * despe=amos n

10

2001501700

==−

n

n

es decir, la vida 1til de la m3-uina es de 6 aos.

13. #os pa$os mensuales -ue un traba=ador efect1a al banco por un préstamo formanuna ;/).!66 * >//./66, respectivamente,8De cu3nto ser3 su décimo -uinto pa$o al banco9

Solución:sea a el primer término * d la diferencia com1n de los pa$os mensuales de la ;


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14. Se invierte una suma de 2666US con interés simple a una tasa de interés anual del2?. (ncuentre una expresión para el valor de la inversión t aos después de -ue serealizó. alcule el valor después de " aos.

Solución:

se$1n la definición de interés simple

=100

R P I ;2666, +2

por tanto la cantidad de interés anual es 240100

122000 = = I

después de t aos el interés total a$re$ado es t tI 240=

el valor de la inversión es t tI P 2402000 +=+

después de " aos este valor es .3440)240(62000 dólares=+

15. onsidere un préstamo del banco por !666 US a un interés mensual del ?. ada messe pa$a 266 US al capital m3s el interés mensual del balance pendiente. 8u3nto deber3pa$arse en total en el tiempo -ue est3 pa$ando el préstamo9

Solución:

la sucesión de pa$os -ue corresponde es 2!6, 2)@, 2)", 0262

se forma una ;< con a2!6, d2,

el nA total de pa$os es 25200

5000==n

por tanto el 1ltimo término es

202

)2(24250

2425

=−+=

+= d aT

el pa$o total est3 dado por la suma de 2! términos

5650

)202250(

2

25

)(2

25

=

+=

+= T an

S n

la cantidad total pa$ada al banco es de !"!6 US, lo cu3l si$nifica -ue el interés pa$ado ser3por la cantidad de "!6 US.

1. Una persona est3 de acuerdo en pa$ar una deuda libre de interés de >!@66 en cierton1mero de pa$os, cada uno de ellos empezando por el se$undo, debiendo exceder al


8/28

anterior por >26. Si el primer pa$o es de >66,m calcule cu3ntos pa$os deber3 efectuar con ob=eto de fini-uitar la deuda.

Solución:

dado -ue el primer pa$o es de >66 * cada pa$o subsecuente se incrementa en >26, lospa$os son

66, 26, )6, "6,0.

estos nA forman una ;< con a66, d26

interesa determinar el n1mero n de pa$os necesarios para pa$ar >!@66, entonces la suma

de los n términos de esta sucesión debe ser i$ual a !@66, o sea, 5800=nS

usando la fórmula de suma de una ;<

[ ]

[ ]

058009010

)18020(2

5800

20)1(200

2

5800

)1(22

2 =−+

+=

−+=

−+=

nn

nn

nn

d nan

S n

resolviendo esta ecuación de se$undo $rado

2920 −== non

puesto -ue un valor ne$ativo no tiene sentido, tenemos -ue n26, es decir, deber3efectuarse 26 pa$os con el fin de saldar la deuda.


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EJERCICIOS %RO%UESTOS DE SUCESIONES.

1. (scriba los seis primeros términos de la sucesión cu*o término $eneral es:

a.n

nan+= 4

b.

n

nna

+= 1

1

c. )1()1( 2 +−= na nn

d.

+

=impar esn si

n

par esn si

an,

2

2

,1

2. Balle una expresión o fórmula para el término enésimo de la sucesión:

a. ,...16,12,8,4=na

b. ,...10,7,4,1=na

c. ,...5

1,

4

1,

3

1,

2

1−−=

na

3. (scriba los cinco primeros términos de las sucesiones recurrentes dadas:

a.2

16 11n

n

aa ya == + b. ( ) 31

2

11 +== + nn aa ya

4. De la si$uiente sucesión : { },....34,27,20,13 . alcular la suma de los 2! primerostérminos.

5. (n el caso de cada una de las series si$uientes, di$a cu3l es el primer término *determine si la serie es diver$ente o conver$ente.

a.1

1)1(

21

1

+−∑

∞

=

+

nn

nconver$ente

b. ∑∞

= +1 2 1n nn

c. ∑∞

= +1 2n nn

diver$ente

d. ∑∞

= +1 ln11

n n

e. ∑∞

=

++−0

1

)!12(1)1(

n

n

nabsolutamente

conver$ente

f. ∑∞

=

++

1

!)2)(1(

n

nnn

$. ∑∞

=

+−1

21

2)1(

nn

n nabsolutamente conver$ente


10/28

7. ∑∞

=

+

0 3!!3

)!3(

nnn

n

i. ∑∞

=

+

+−

13

1

1

2)1(

n

nn

ndiver$ente

=. ∑∞

=1 !

10

n

n

n

C. ∑∞

=1 9

!

nn

n

diver$ente

l. ∑∞

= −1

2

)12(10n n

n

. Una compaía manufacturera instala una m3-uina a un costo de >!66. )26. Suponiendo -ue la depreciación anual esconstante, calcule la depreciación anual. 4+p: >265

!. Si una m3-uina tiene un costo de >2666 * ésta se deprecia anualmente )"6. Eu3l esla duración de la m3-uina si su valor de desec7o fue de >)669.

". #os pa$os mensuales de una persona al banco ocasionados por un préstamo formanuna ;!/ * >@6, respectivamente, 8u3lser3 su vi$ésimo pa$o9 4+p:>265

#. (l salario mensual de un traba=ador se incrementó anualmente formando una ;))6 al mes durante el séptimo ao * >"6 al mes durante el vi$ésimo -uinto ao.

a. calcule su salario inicial * su incremento anual.b. 8u3l sería su salario de =ubilación al completar /@ aos de servicio9

1$. Debe saldarse una deuda de >@66 en un ao efectuando un pa$o de >!6 al términode cada mes, m3s intereses a una tasa del ? mensual sobre el balance restante.Determine el pa$o total por concepto de intereses.

11. Una persona deposita !6US al inicio de cada mes en una cuenta de a7orros en la cualel interés permitido es de 6,!? al mes sobre el balance mensual. Determine el balancede la cuenta al término del se$undo ao, calculando a interés simple.


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EJERCICIOS RESUELTOS DEL METODO %OR %&SOS

1. Sea 2 x y = . Ballar:a. derivada por pasosb. analice -ue sucede para x/c. ecuación de la tan$ente en ;4/,5

d. ecuación de la recta tan$ente en ;4),"5

Solución:a. aplicando procedimiento de la derivada por pasos

a

( )( )

( ) x x xlim

x x x

x x x

x

y

x x x x x x f x x f

x22

22

2)()(

0

2

222

=∆+

∆+=∆

∆+∆=

∆∆

−∆+∆+=−∆+

→∆

b. la ecuación de la recta, es la derivada representada por x x f dx

d 2)( =

lue$o 6)3( = f dx

d representa la pendiente de la recta tan$ente en x/ para

2)( x x f =

c. la ecuación de la recta tan$ente en ;4/,5 se obtiene considerando la pendiente m" * laecuación de la recta dados estos dos elementos:

96

)3(69

)( 11

−=−=−−=−

x y

x y

x xm y y

d. para obtener la ecuación de la recta tan$ente en ;4),"5 se eval1a la derivada4m5 en

x)

8)4( =− f dx

d

lue$o

168

)4(816

−−=+−=−

x y

x y


12/28

2. Ballardx

dy para 0,)( >= x x x f * determinar la cotan$ente en )5,5( P .

Solución:

x x x xlim

x x x x x x

x x x

x

x x x

x

y

x x f x x f

x y

x x x y x x f y

x x x x f y y

x 2

11

1

)()(

)(

)(

0=+∆+

+∆+=+∆++∆+

⋅∆−∆+

=∆∆

∆−∆+=

∆∆

−∆+=−∆+=∆

∆+=∆+=∆+

→∆

evaluando la derivada x

xdx

d

2

1= en )5,5( P con x!

5,422,0 += x y

3. alcular la ecuación de la tan$ente en ),5( y P = para la función 17125 2 −+= x x ySolución:

1210

1210)12510(

12510

12)(510

17)(12)(5)(

0

2

2

+=

+=+∆+

+∆+=∆∆

∆+∆+∆=∆

−∆++∆+=∆+=∆+

→∆

x

dx

dy

x x xlim

x x x

y

x x x x y

x x x x x x f y y

x

evaluando la derivada para x! m xdx

d ==+ 62)1210(

en x! evaluamos la función 1681751255 2 =−⋅+⋅= y

la ecuación de la recta tan$ente en x! es 4262 −= x y


13/28

4. Sea 212 3 += x y . alcular la ecuación de la curva tan$ente en la abcisaG x6 e x 2.Solución:

dx

dy x x x x xlim

x x x x x

y

x x x x x y

x x x x x x x y

x x y y

x==∆+∆+

∆+∆+=∆∆

∆+∆+∆=∆

+−+∆+∆+∆+=∆

+∆+=∆+

→∆

222

0

22

222

33223

3

36)123636(

123636

)(12)(3636

)212(2))()(33(12

2)(12

evaluando la curva en x6 ⇒ *2 ,o sea en ;46,25, se obtiene la pendiente m6por lo tanto la ecuación pedida es

2

)0(02

=−=−

y

x y

evaluando la curva en x2 ⇒ * 942)2(12 3 −=+− , o sea en ;42,)5 se obtiene lapendiente m)), por lo tanto la ecuación pedida es

194144

)2(14494

+=+=+

x y

x y


14/28

EJERCICIOS %RO%UESTOS DE LIMITES Y CONTINUID&D

H&TI&UID


15/28

c.

==

−≠−

+−=

3;35

33

34

)(

2

a x si

x si x

x x

x f

d.

−=−=

−≠+=

5;50

55

1

)(

a x si

x si x x f

e.

==

−≠−=

3;32

33)(

a x si

x si x x f

f.

=>+

≤−=

2;223

29)(

2

a x si x

x si x x f

". Determine los intervalos de x donde las funciones dadas son continuas:

a. 22 )3()( += x x x f

b.82

2)(

2 −+−= x x

x x f

c. x x f 73)( −=

d. 127)( 2 −+−= x x x f

e. 3 2)1()( x x x f −=

f. 12)( 24 +−= x x x f

$. x

x x f

45

1)(−+=

#. Determine los valores de m * n en:


16/28

≥≤++


17/28

11. Dada la función

−=−

−≠+

−

=

2

3

2

2

3,

32

94

)(

2

x si

x si x

x

x f

a. Determine )(2

3 x f lim

x −→

b. demuestre

−≠

−→ 2

3)(

23

f x f lim x

c. 8es continua la función en ?2

3−= x

12. Sea

>−

≤≤−+

−


18/28

#IJIT(S:

1.


19/28

2!.a x

lim→ 22

33

xa

a x

−−

2

3a

2".4→ x

lim x x

x x x

4

4332

23

−−−−

4

21

2%.1→ x

lim1

362 234

−++−

x

x x x @

[email protected]→h

lim ( )h

h 11 2 −+

/

2.1→ x

lim x

x

2

33 − 6

/6. 2→ xlim2

2

11

−−

x

x 41

/.2→ x

lim8

163

4

−−

x

x 3

8

/2.1→ x

lim

−−−−−

9

3

3

92

2

x

x

x

x

4

15

//.

3

4

2

12

23

1

=−+

−−+

→ x x

x x xlim x

/).3

2

2

12

23

1=

−+−+−

→ x x

x x xlim x

/!. 43

375 23

3=

−−+−

→ x

x x xlim x

/". 163

3523

3=

−−−−

→ x

x x xlim x

/%.34

132

3

2

1−=

+−−

−→ x x xlim

x


20/28

2.


21/28

!.∞→ x

lim ( ) x x x 12112 23 +− 2 [email protected] x

lim→ a x

a xa x

−+−−3

a2

1

".∞→ x

lim x x x

x x

55

1634

3

−+−

6 2.∞→ x

lim2

7

2

5753

45

−=−+ x x

x x

%.∞→ x

lim x

x x +23 3 /6. ∞→ x

lim x x x −+2 2

1

@.∞→ x

lim x x x

x x

36

12823

23

−++−

3

4/.

81→ xlim

9

81

−− x

x @

.1→ x

lim1

1

−−

x

x

2

1/2.

∞→ xlim 3232 22 +−+++ x x x x

2

26.∞→ x

lim852

610

3

++− x x x x 6 //.

∞→ xlim ( x x x 622

22 −− 223

2.∞→ x

lim20012

149210664

24

−−+

x

x x

2

1/).

∞→ xlim

( ) ( )( ) ( )43

21

++++

x x

x x

22.∞→ x

lim2

14

3

++

x

x 6 /!. 3

3 2=+

∞→ x

x xlim x

2/.∞→ x

lim11003

563

23

+−+− x x

x x 2 /".

3

2

3

124 2=++

∞→ x

x xlim x

2).∞→ x

lim7

252

3

+++ x x

x x ∞ /%.

3

2

3

124 2=++

∞→ x

x xlim x

2!.0→ x

lim11

113 −+−+

x

x

2

3/@.

∞→ xlim

3

2

39

42

2

=−+ x x

x x


22/28

/.∞→n

lim nn −+1 6 )!. ∞→ xlim

4

86

2

3

x

x x −− 6

)6. 21

4324

2

=+−−

∞→ x

x xlim x

)".∞→ x

lim2

2

53

25

x x

x

+−

5

2−

).∞→n

lim15

22

2

−+

n

nn

5

2)%.

81

16

73

32 4

=

+−

∞→ n

nlim x

)2.∞→n

lim47

5432

2

−++

n

nn

7

3)@.

a xlim→ a x

a xa x

−+−−3

a2

1

)/.∞→n

lim4

32

24

+−

n

n " ).

∞→nlim

12 3

3

++

n

nn

2

1

)). ∞→nlim 1

12

++

n

n 2 !6. ∞→nlim 3 1

2

+nn

3 2

3. (l costo en millones de dólares para el $obierno de apre7ender un x? de cierta dro$aile$al, a su entrada por las fronteras, viene dado por:

1000,100

528


23/28

!.


24/28

1. 643 2 +−= x x y

3

14,

3

2min

2. x x y 82 −= ( )16,4 −min

3. 842 +−= x x y ( )4,2min

4. 562 +−= x x y

5. 1863 2 ++= x x y. 896

23 −+−= x x x y )6,2inf()4,1()8,3( −− maxmin!. 193

3 +−= x x y)1,0inf()7,1()5,1( −− maxmin

". 862

1

3

1 23 +−+= x x x y

)11,2

1inf()

2

11,3()

3

2,2( −−maxmin

#. 5242 3 +−= x x y )5,0inf()37,2()27,2( −− maxmin

1$. 593 23 +++−= x x x y

)32,3()0,1()16,1inf( maxmin −11. 693

23 +−−= x x x y )21,3()5,1inf()11,1( −−− minmax12. ( ) 51 3 +−= x y

)5,1inf(

13. ( ) 32−= x y )0,2inf(14. x x y 3

3 += )0,0inf(

15. 22 )4( −= x y max46,"5 min42,65 inf

9

64,3

2

1. 33 23 +−= x x y max46,/5, min42,5, inf4,5

1!.

34

43 x x y +=1".

34 2 x x y −=

)1,1inf()16

27,

2

3()0,0( −

−mimax

1#. 31292 23 −+−= x x x y )10,1()22,3( −− minmax

2$.1

42

+++

= x

x x y )3,1(),5,3( minmax −−

21. x

x y 22 += )3,1(min

22.2

1

+−= x

x y no tiene valores extremos

23. 24 63 x x y −=

24. 2)1(3

1 3 +−= x y

%RO)LEM&S CON ENUNCI&DO DE O%TIMI'&CION.

1. Ballar dos enteros cu*a suma es 2 * cu*o producto sea m3ximo. 4+p:"*"5.


25/28

2. #a suma de dos n1meros enteros positivos es 2. Ballarlos si:

a. la suma de sus cuadrados es mínima. 4+p:"*"5b. (l producto de uno por cuadrado del otro es m3ximo. 4+p:)*@5c. (l producto de uno por el cubo del otro es m3ximo. 4+p:/*5

3. Determine dos n1meros cu*a suma sea 6 * tales -ue su producto sea m3ximo.4+p.: ! * !5

4. Determine dos n1meros positivos cu*a suma sea %!, tales -ue el producto de uno por elcuadrado del otro sea m3ximo. 4+p.: !6 * 2!5

5. Determine dos n1meros cu*a suma sea " de tal forma -ue su producto sea tan $randecomo sea posible. 4+p.:@ * @5

. (studiar el movimiento de una partícula -ue se mueve en una recta 7orizontal, tal -ueG

a. 36 23 +−= t t s

b. 375 23 −+−= t t t s

c. ( ) ( )41 2 −−= t t v

d. ( ) 41−= t ve. 296 23 ++−= t t t s

!. (n una p3$ina se 7an de imprimir !)L cuadradas. Si los m3r$enes 7an de tener L arriba

* aba=o, '2

11 a los lados. Ballar las dimensiones m3s económicas para la p3$ina.

4+p:2L * @L5

". Se trata de encerrar un prado rectan$ular usando cerca de alambre en / lados * un setocomo cuarto lado, con @66 m de alambre. 8u3l es el 3rea m3xima -ue se puede

cercar9. ( )2000.80: m Rp

#. < un campo rectan$ular se le va a poner una cerca * se le va a dividir en dos camposm3s pe-ueos por una valla paralela a uno de sus lados. Ballar las dimensiones delcampo m3ximo -ue se pueda rodear con /66m de cerca.

+p:%! * !6m5

1$. on una 7o=a cuadrada se desea 7acer una ca=a del ma*or vol1men posible, sin tapa.

Ballar el volumen de la ca=a.

3

27

2: a Rp

11. Ballar las dimensiones de la m3xima ca=a abierta -ue se puede fabricar con una l3minacuadrada de 7o=alata, de 2) cm de lado, cortando cuadrados i$uales en sus es-uinas *

doblando los lados. 4+p:" * )cm5


26/28

12. Ballar las dimensiones de un cilindro de volumen M, de modo -ue se cumple una mínimacantidad de material en su construcción.

3

2π

V r = G r h 2=

13. Un recipiente cilíndrico de base circular 7a de tener 364cm . Ballar las dimensiones de

modo -ue la cantidad re-uerida sea mínima 43rea5G

a. si el recipiente no tiene tapa.

==

3

4:

π

hr Rp

b. si el recipiente est3 tapado 32

2π =r G r h 2=

14. Un matrimonio dispone de alambre suficiente para construir una valla de 66 pies. (llosdesean usarlo para cercar / lados de un =ardín rectan$ular, cu*o cuarto lado bordea unedificio. 8u3les deberían ser las medidas del =ardín para -ue la valla abar-ue el 3ream3xima posible9

4+p:2!6 pies5

15. Si se cortan) cuadrados con$ruentes en las es-uinas de un cartón cuadrado * tiene 2Lde lado, * se doblan sus cuatro lados, se obtiene una ca=a sin tapa. 8u3l debería ser eltamao de los cuadrados -ue se cortan para obtener una ca=a de volumen m3ximo9

4+p:2@ 3lg pu 5

1. De todos los recipientes met3licos cilíndricos -ue encierran un volumen de 66pul$adas cubicas. 8u3l de ellos re-uiere la menor cantidad de material9.

r hh Rp 2;50

2: 3 ==π

1!. (ntre todos los recipientes cilíndricos sin tapa * de 66 pul$. 1bicas. 8u3l re-uiere

menos material9. 4+p:r75

1". (ntre todas las ca=as rectan$ulares cerradas con base cuadrada * de 666 pul$.c1bicas de volumen. 8(n cu3l se usa menos material9

( )3lg1000: pu Rp

1#. 8ómo deberían ele$irse dos n1meros no ne$ativos, cu*a suma sea , para minimizar la suma del cuadrado de uno * el cubo del otro9

4+p:6,)! * 6,!)5

2$. Un $ran=ero -uiere construir un corral rectan$ular * dividirlo por una valla paralela a unode los lados. Dispone de 2)6 m de alambre. 8u3les son las dimensiones del corral de3rea m3xima -ue puede encerrar9

4+p:2.)662

m 5

21. Una p3$ina impresa 7a de contener !6 2cm impreso, con ) cm mar$inales arriba *

aba=o, * 2 cm mar$inales a los lados. (ncuentre las dimensiones de la 7o=a a imprimir deforma -ue su 3rea sea mínima.

4+p:"2 2cm 5


27/28

22. Una ventana est3 7ec7a de un rect3n$ulo * de un tri3n$ulo e-uil3tero en la partesuperior. 8u3les deben ser las dimensiones de la ventana para maximizar el 3rea, si elperímetro ; es fi=o9.

( )

−− 22

35;

36:

P P Rp

23. Un canal de rie$o, 7ec7o de concreto, debe tener una sección en forma de trapecioisósceles, con / de sus lados de ) m. 8u3l debería ser la forma del canal, si se desea-ue ten$a el 3rea m3xima9. onsidere el 3rea como una función de x * resuelva.

4+p: @m5

24. Ballar el volumen del cono circular recto m3s $rande -ue se puede inscribir en unaesfera de radio +.

4+p.: ( )γ γ π 643 coscos3

8 −= RV G

324,1 RV max = 5

25. Determine las dimensiones del rect3n$ulo de 3rea m3xima -ue se puede inscribir enuna semicircunferencia de radio +.

4+p:2

2 RG 2 R 5

2. (l costo promedio de fabricar cierto artículo es23

485 x

xC ++= , en donde x es el

n1mero de artículos producidos. (ncuentre el valor mínimo de .C 4+p:) para el valor 25.

2!. (l costo de la producción anual de un artículo es

20

000.0000.805000

x

x

C ++= , en

donde x es el tamao promedio del lote por serie de producción. (ncuentre el valor de x-ue 7ace mínimo a .

2". (l costo de producir x artículos de cierto producto es 231034000)( x x xC −++=4dólares5. Determine el valor de x -ue 7ace del costo promedio por artículo un mínimo.

4+p: 2.6665

2#. #a función de costo para una empresa, est3 dada por3

10300)(3

2 x x x xC +−= .

alcule la producción x en la cualGa. el costo mar$inal es mínimo 4+p:65b. el costo promedio es mínimo 4+p:!5


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3$. Una empresa produce mensualmente x toneladas de un metal precioso con un costo

total dado por3

5710)(3

2 x x x xC +−+= dólares. (ncuentre el nivel de producción x

donde el costo mar$inal alcanza su mínimo.

31. #a función de demanda para cierto bien est3 dado por 315 x

e p −= para 80 ≤≤ x ,

donde p es el precio por unidad * x es el n1mero de unidades pedidas. Determine elprecio p * la cantidad x para los cuales el in$reso es m3ximo.

4+p: x/Ge

p 15= 5

32. +epita el e=ercicio / para la le* de demanda 322

10 x

e p −= para 60 ≤≤ x .

33. Una empresa vende todas las unidades -ue produce a US) cada una. (l costo total dela empresa por producir x unidades est3 dado en dólares por 2001,03,150 x xC ++= .

a. (scriba la expresión para la utilidad total ; como una función de x.b. Determine el volumen de producción de x de modo -ue la utilidad ; sea m3ximac. 8u3l es el valor de la utilidad m3xima9

34. ;ara cada una de las si$uientes funciones de costo promedio obten$a el valor mínimodel costo promedio mínimo * demuestre -ue dic7o costo promedio mínimo, , el costomar$inal * el costo promedio son i$uales

a. 2825 x x y +−=b. x x y ln2 +=

c. 42 4220 x x y ++=

d. x

x y 18

52 ++=

e. 43 3410 x x y +−=

35. #a empresa denominada f3brica de m3-uinas7erramientas de precisión tiene una

función de costo total representada por la ecuación x x x y 1232 23 −−= , en donde y representa el costo total, * x la cantidad producida.

a. 8Nué ecuación representa la función de costo mar$inal9b. 8u3l es la ecuación de la función de costo promedio98(n -ué punto este costo

promedio alcanza su valor mínimo9

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Ejercicios Limites : Calculo 1