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INVESTIGACION OPERATIVA
Guía de Ejercicios
Modelación Matemática
Mg. Jessica Pérez Rivera
Tomado de Universidad Mayor. Prof. Juan Carbajal.
Identifica tus objetivos, deja que Cristo modele tu vida y alcanzarás el éxito!!!
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1. Podemos comprar paquetes de abono A o B. Cada paquete contiene las unidades de potasio (K),
fósforo (P) y nitrógeno (N) indicadas en la tabla, donde se da el precio del paquete.
Marca K P N Precio
A 4 6 1 15
B 1 10 6 24
¿En qué proporción hay que mezclar ambos tipos de abono para obtener al mínimo precio un
abono que contenga, al menos, 4 unidades de K, 23 de P y 6 de N?.
2. Un herrero con 80 kgs. de acero y 120 kgs. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de
montaña que quiere vender, respectivamente a s/. 200 y s/. 150 cada una para sacar el máximo
beneficio. Para la de paseo empleará 1 kg. De acero y 3 kgs de aluminio, y para la de montaña 2
kgs. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá?
3. Un autobús Diaz ofrece plazas para fumadores al precio de s/.100 y a no fumadores al precio de
s/.60. Al no fumador se le deja llevar 50 kgs. de peso y al fumador 20 kgs. Si el autobús tiene 90
plazas y admite un equipaje de hasta 3000 kg. ¿Cuál ha de ser la oferta de plazas de la compañía
para cada tipo de pasajeros, con la finalidad de optimizar el beneficio?
4. A una persona le tocan 10 millones en una lotería y le aconsejan que las invierta en dos tipos de
acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio del 10 %. Las de
tipo B son más seguras, pero producen sólo el 7% anual. Después de varias deliberaciones decide
invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y por lo menos, 2 millones en la
compra de acciones B. Además, decide que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo
invertido en B. ¿Cómo deberá invertir 10 millones para que el beneficio anual sea máximo?
5. Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le
paga 5 por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 por impreso.
El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120 y otra para los
impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos
como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada
clase para que su beneficio diario sea máximo?
6. Un comerciante acude al mercado popular a comprar naranjas con 500. Le ofrecen dos tipos de
naranjas: las de tipo A a s/.5 el kg. y las de tipo B a s/.8 el kg. Sabiendo que sólo dispone de su
camioneta con espacio para transportar 70 kg. de naranjas como máximo y que piensa vender el
kg. de naranjas tipo A a 8 y el kg. de tipo B a 10.
¿Cuántos kg. de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener máximo beneficio? ¿Cuál
será ese beneficio máximo?
Identifica tus objetivos, deja que Cristo modele tu vida y alcanzarás el éxito!!!
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7. Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m2 de
algodón y 3 m2 de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m2 de cada una de las dos telas. Calcular
el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si
un traje y un vestido se venden al mismo precio.
8. Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas A y B. Dispone de 600 millones y el costo de
una casa de tipo A es de 13 millones y 8 millones una de tipo B. El número de casas de tipo A ha
de ser, al menos, del 40 % del total y el de tipo B, el 20 % por lo menos. Si cada casa de tipo A
se vende a 16 millones y cada una de tipo B en 9. ¿Cuántas casas de cada tipo debe construir para
obtener el beneficio máximo?
9. Cierta persona dispone de 10 millones como máximo para repartir entre dos tipos de inversión (A
y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones; además, quiere destinar a esa opción
como mínimo tanta cantidad de dinero como a la B.
Sabiendo que el rendimiento de la inversión será del 9 % en la opción A y del 12 % en la B, ¿Qué
cantidad debe invertir en cada una para optimizar el rendimiento global?
10. Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, que cuesta 35 dólares
por barril y crudo pesado a 30 dólares el barril. Con cada barril de crudo ligero, la refinería
produce 0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefacción (C) y 0,3
barriles de combustible para turbinas (T), mientras que con cada barril de crudo pesado produce
0,3 barriles de G, 0,4 barriles de C y 0,2 barriles de T. La refinería ha contratado el suministro de
900 barriles de G, 800 barriles de C y 500 barriles de T. Hallar las cantidades de crudo ligero y
pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al costo mínimo.
11. La fábrica LA MUNDIAL S.A., construye mesas y sillas de madera. El precio de venta al público
de una mesa es de 2.700 y el de una silla 2.100. LA MUNDIAL S.A. estima que fabricar una
mesa supone un gasto de 1.000 de materias primas y de 1.400 de costos laborales. Fabricar una
silla exige 900 de materias primas y 1.000 de costos laborales. La construcción de ambos tipos
de muebles requiere un trabajo previo de carpintería y un proceso final de acabado (pintura,
revisión de las piezas fabricadas, empaquetado, etc.). Para fabricar una mesa se necesita 1 hora
de carpintería y 2 horas de proceso final de acabado. Una silla necesita 1 hora de carpintería y 1
hora para el proceso de acabado. LA MUNDIAL S.A. no tiene problemas de abastecimiento de
materias primas, pero sólo puede contar semanalmente con un máximo de 80 horas de carpintería
y un máximo de 100 horas para los trabajos de acabado. Por exigencias del mercado, LA
MUNDIAL S.A. fabrica, como máximo, 40 mesas a la semana. No ocurre así con las sillas, para
los que no hay ningún tipo de restricción en cuanto al número de unidades fabricadas.
Determinar el número de mesas y de sillas que semanalmente deberá fabricar la empresa para
maximizar sus beneficios.
12. Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos se basa en el reparto gratuito de
yogurt con sabor a limón o a fresa. Se decide repartir al menos 30.000 yoghurt. Cada yogurt de
limón necesita para su elaboración 0,5 gr. de un producto de fermentación y cada yogurt de fresa
necesita 0,2 gr. de ese mismo producto. Se dispone de 9 kgs. de ese producto para fermentación.
El costo de producción de un yoghurt de fresa es el doble que el de un yogurt de limón. ¿Cuántos
yoghurt de cada tipo se deben producir para que el costo de la campaña sea mínimo?
Identifica tus objetivos, deja que Cristo modele tu vida y alcanzarás el éxito!!!
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13. Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene 2 naves. En la nave A, para hacer la
carrocería de un camión, se invierten 7 días-operario, para fabricar la de un auto se precisan 2
días-operario. En la nave B se invierten 3 días-operario tanto en carrocerías de camión como de
auto. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, la nave A dispone de 300 días-operario, y
la nave B de 270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de 6
millones y de 3 millones por cada auto. ¿Cuántas unidades de cada clase se deben producir para
maximizar las ganancias?
14. Una compañía de petróleos produce en sus refinerías gasóleo (G), gasolina sin plomo (P) y
gasolina súper (S), a partir de dos tipos de crudos C1 y C2. Las refinerías están dotadas de dos
tipos de tecnología: la tecnología nueva Tn utiliza en cada corrida de destilación 7 unidades de
crudo C1 y 12 de C2, para producir 8 unidades de G, 6 de P y 5 de S. Con la tecnología antigua
Ta, se obtienen en cada destilación 10 unidades de G 7 de P y 4 de S y se ocupan 10 unidades de
crudo C1 y 8 de C2.
Estudios de demanda permiten estimar que para el próximo mes se deben producir al menos 900
unidades de G 300 de P y entre 800 y 1700 de S. La disponibilidad de crudo C1 es de 1400
unidades y la de C2 de 2000 unidades.
Los beneficios por unidad producida son 4 US$ por unidad de G, 6 US$ por unidad de P y 7 US$
por unidad de S.
La compañía desea conocer cuantas destilaciones le debería realizar con cada proceso para que
el beneficio sea el máximo. (Se pueden realizar fracciones de proceso).
15. Un pastelero fabrica dos tipos de tartas T1 y T2, para lo que usa tres ingredientes A, B y C. Dispone
de 150 kgs. de A, 80 kgs. de B y 150 kgs. de C. Para fabricar una tarta T1 debe mezclar 1 kgs. de
A, 1 kgs. de B y 2 kgs. de C, mientras que para hacer una tarta T2 se necesitan 5 kgs. de A, 2 kgs.
de B y 1 kgs. de C.
a. Si se venden las tartas T1 a 1.000 la unidad y las T2 a 2.300. ¿Qué cantidad debe fabricar
de cada clase para maximizar sus ingresos?
b. Si se fija el precio de una tarta del tipo T1 en 1.500 ¿Cuál será el precio de una tarta del
tipo T2 si una solución óptima es fabricar 60 tartas del tipo T1 y 10 del tipo T2?
16. Una fábrica produce chaquetas y pantalones. Tres máquinas (de cortar, coser y teñir) se emplean
en la producción. Fabricar una chaqueta representa emplear la máquina de cortar una hora, la de
coser tres horas y la de teñir una hora; fabricar unos pantalones representa usar la máquina de
cortar una hora, la de coser una hora y la de teñir ninguna. La máquina de teñir se puede usar
durante tres horas, la de coser doce y la de cortar 7. Todo lo que se fabrica es vendido y se obtiene
un beneficio de ocho euros por cada chaqueta y de cinco por cada pantalón. ¿Cómo emplearíamos
las máquinas para conseguir el beneficio máximo?
17. Un supermercado quiere promocionar una marca desconocida D de aceites utilizando una marca
conocida C. Para ello hace la siguiente oferta: "Pague sólo a $ 250 el litro de aceite C y a $ 125
el litro de aceite D siempre y cuando: 1) Compre en total 6 litros o más, y 2) La cantidad comprada
de aceite C esté comprendida entre la mitad y el doble de la cantidad comprada de aceite D". Si
disponemos de un máximo de $ 3.125 y acogiéndonos a la oferta, ¿Cuál el la mínima cantidad de
aceite D que podemos comprar? ¿Cuál es la máxima de C?
Identifica tus objetivos, deja que Cristo modele tu vida y alcanzarás el éxito!!!
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18. La empresa FORD lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el modelo A a un
precio de 1,5 millones de pesos y el modelo B en 2 millones. La oferta está limitada por las
existencias, que son 20 autos del modelo A y 10 del B, queriendo vender, al menos, tantas
unidades de A como de B. Por otra parte, para cubrir gastos de esa campaña, los ingresos
obtenidos en ella deben ser, al menos de 6 millones ¿Cuántos automóviles de cada modelo deberá
vender para maximizar sus ingresos?
19. En una explotación agrícola de 25 Ha pueden establecerse dos cultivos A y B. El beneficio de
una Ha de A es de 20000 ptas. y el de una Ha de B de 30000 ptas. Las disponibilidades de trabajo
de explotación son de 80 jornadas, una Ha de A precisa 4 jornadas, mientras que una de B precisa
sólo 2 jornadas. La subvención de la Unión Europea es de 5 euros por Ha. de A y de 10 euros por
Ha. de B, siendo la subvención máxima por explotación agrícola de 200 euros.
Calcular el beneficio máximo.
20. Las restricciones pesqueras impuestas por la CEE obligan a cierta empresa a pescar como máximo
2.000 toneladas de merluza y 2.000 toneladas de rape, además, en total, las capturas de estas dos
especies no pueden pasar de las 3.000 toneladas. Si el precio de la merluza es de 1.000 $/kg y el
precio del rape es de 1.500 $/kg, ¿qué cantidades debe pescar para obtener el máximo beneficio?
21. Una persona tiene suficiente arcilla para hacer 24 vasos pequeños o 6 vasos grandes. Tiene
suficiente de un compuesto especial (materia prima del vidrio) que le permitiría hacer 18 de los
vasos pequeños o 6 de los vasos grandes. Haciendo X1 = número de vasos pequeños y X2 = el
número de vasos grandes.
Los vasos más pequeños se venden a $4 cada uno, y los más grandes a $.12
(a) Formular el problema
(b) Resolver gráficamente
22. Dos pinturas A y B tienen ambas dos tipos de pigmentos p y q; A está compuesto de un 30% de
p y un 40% de q, B está compuesto de un 50% de p y un 20% de q, siendo el resto incoloro en
ambas pinturas. Se mezclan A y B con las siguientes restricciones:
La cantidad de A es mayor que la de B, su diferencia no es menor que 10 gramos y no debe
superar los 30 gramos. La cantidad de B en la mezcla no puede superar los 30 gramos ni ser
inferior a 10 gramos.
(a) ¿Qué mezcla permite lograr la mayor cantidad del pigmento p?
(b) ¿Qué mezcla hace q mínimo?
23. Una hiladora ha recibido una orden para producir un hilo que debe contener al menos 45 onzas
de algodón y 25 onzas de seda. La orden puede ser conformada para cualquier mezcla posible de
dos tipos de Hilo (A y B). El Material A cuesta $3 por onza y el B cuesta $2 por onza. Contienen
las proporciones de algodón y seda que se presentan en la siguiente tabla:
Algodón Seda
Identifica tus objetivos, deja que Cristo modele tu vida y alcanzarás el éxito!!!
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A 30 % 50 %
B 60 % 10 %
¿Qué cantidades (onzas) de hilos A y B deberían ser usadas para minimizar el costo de esta
orden?
24. En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 15
unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentran dos
clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y cinco de B, y el tipo
Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de
1000 pesetas y el del tipo Y es de 3000 pesetas. Se pregunta: ¿Qué cantidades se han de comprar
de cada tipo para cubrir las necesidades con un costo mínimo?
25. La compañía ESPECIAS INDIAN S.A., tiene un stock limitado de dos hierbas que se utilizan en
la producción de aderezos. INDIAN usa los dos ingredientes, HB1 y HB2, para producir ya sea
curry o pimentón. El departamento de mercadotecnia informa que aunque la empresa puede
vender todo el pimentón que pueda producir, sólo puede vender hasta un máximo de 1500 botellas
de curry. Las hierbas no utilizadas se pueden vender a $375 la onza de HB1 y a $167 la onza de
HB2. Determine el consumo de especias que maximice el ingreso de la Empresa.
Aderezo Ingredientes (Onzas/Bot) Demanda Precio de Venta
HB1 HB2 Botellas) por botella ($)
Curry 5 3 1500 2750
Pimentón 2 3 Ilimitada 1300
Disponibilidad (Onzas) 10000 8500
26. Un fabricante de cemento produce dos tipos de cemento, a saber en gránulos y en polvo. Él no
puede hacer más de 1600 bolsas de cemento al día debido a una escasez de vehículos para
transportarlas fuera de la planta. Un contrato de ventas establece que él debe producir 500 bolsas
de cemento en polvo al día. Debido a restricciones del proceso, se requiere el doble del tiempo
para producir una bolsa de cemento granulado en relación al tiempo requerido para una de
cemento en polvo. Una bolsa de cemento en polvo consume para su fabricación 0.24
minutos/bolsa y la planta opera un 8 horas por día. Su ganancia es US$ 4 por bolsa para el cemento
granulado y US$ 3 por bolsa de cemento en polvo. Formule el problema de decidir cuánto se debe
producir de cada tipo de cemento para maximizar las ganancias de la Empresa.
27. SONY fabrica dos productos: (1) el Walkman un radiocasete portátil y (2) el Shader TV, un
televisor en blanco y negro del tamaño de un reloj de pulsera. El proceso de producción de ambos
productos se asemeja en que los dos necesitan un número de horas de trabajo en el departamento
de electrónica, y un cierto número de horas de mano de obra en el departamento de montaje. Cada
Walkman necesita cuatro horas de trabajo de electrónica y dos en el taller de montaje. Cada
televisor necesita tres horas de electrónica y una en montaje. Durante el actual período de
Identifica tus objetivos, deja que Cristo modele tu vida y alcanzarás el éxito!!!
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producción se dispone de doscientas cuarenta horas en el departamento de electrónica y de cien
horas en el de montaje. Cada Walkman vendido supone un beneficio de 7 dólares, mientras que
para un televisor el beneficio unitario es de cinco dólares. El problema de SONY es determinar
la mejor combinación posible de Walkman y televisores que debe producir para alcanzar el
máximo beneficio.
28. La empresa Sunco Oil produce dos tipos de gasolina (NORMAL y SUPER), cada una de ellas
mezclando dos tipos de crudo (Liviano y Pesado). Los precios de venta de cada barril de gasolina
son 7.000 y 6.000, respectivamente. Por su parte, los precios de compra de los dos tipo de crudo
son de 4.500 y 3.500 por barril, respectivamente. Se pueden comprar hasta 5.000 barriles de cada
crudo diarios. Los dos tipos de gasolina difieren en su índice de octano y en su contenido en
azufre. La mezcla del petróleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina SUPER ha de tener
un índice de octano promedio de al menos 10 y a lo sumo un 1% de azufre. La mezcla que se
obtiene para la gasolina NORMAL ha de tener un índice promedio de octano de por lo menos 8
y a lo sumo un 2% de azufre. Los índices de octano y el contenido en azufre de los dos tipos de
crudo son
Crudo LIVIANO: Octano =12 Azufre =0.5%
Crudo PESADO: Octano =6 Azufre =2%
La transformación de un barril de petróleo en un barril de gasolina cuesta 400, y la refinería de
Sunco puede producir diariamente, hasta 9.000 barriles de gasolina. Los clientes de Sunco
actualmente demandan 3.000 barriles de la gasolina Normal y 2.000 de la gasolina Super. Sin
embargo, Sunco tiene la posibilidad de estimular la demanda mediante la publicidad, de modo
que por cada unidad monetaria invertida en la publicidad de cada tipo de gasolina, aumenta la
demanda diaria de ese tipo de gasolina en 0,1 barriles (si por ejemplo gasta 1000 en la gasolina
Super, aumenta la demanda de gasolina Super en 1000*0,1=100 barriles). Formular el problema
de programación lineal que permita a SUNCO OIL maximizar sus ganancias diarias
29. Las enfermeras de un hospital llegan cada 4 horas y trabajan en turnos de 8 horas continuas. La
administración ha decidido definir 6 cambios de turno al día para minimizar las distracciones y
los problemas de comunicación que ocurren en los cambios de turno. El hospital ha realizado un
análisis del trabajo requerido durante cada uno de los seis períodos del día. Las características de
cada período son las siguientes:
HORA DEL DIA Período
Número
Mínimo
Enfermeras
2 AM - 6 AM 1 25
6 AM - 10 AM 2 60
10 AM - 2 PM 3 50
2 PM - 6 PM 4 35
6 PM - 10 PM 5 55
Identifica tus objetivos, deja que Cristo modele tu vida y alcanzarás el éxito!!!
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10 PM - 2 AM 6 40
Las enfermeras que empiezan a trabajar en los períodos 2, 3 y 4 ganan US$ 40 al día, y aquellas
que comienzan en los períodos 1, 5 y 6 ganan US$ 50 al día. ¿Cuántas enfermeras deben empezar
a trabajar en cada turno para minimizar los costos por salarios?
30. Un agricultor posee un campo de 70 hectáreas y puede cultivar ya sea trigo o cebada.
Si siembra trigo gasta US$ 30 por cada hectárea plantada. En cambio si siembra cebada, su gasto
es de US$ 40 por hectárea.
El capital total disponible es de US$ 2.500. Por otra parte, también existen restricciones en la
disponibilidad de agua para los meses de octubre y noviembre, según se indica:
Mes Consumo m3 / Ha. Consumo m3 / Ha. Disponibilidad
Trigo Cebada m3
Octubre 900 650 57.900
Noviembre 1.200 850 115.200
Una hectárea cultivada rinde 30 Tm de trigo o 25 Tm de cebada según sea el caso.
Los precios vigentes por Tm son de US$ 4,5 para el trigo y US$ 6,0 para la cebada.
Determinar la cantidad de hectáreas de trigo y de cebada que debe sembrar el agricultor para que
maximice su beneficio.
31. Una compañía de transportes posee 2 tipos de camiones. El camión tipo A tiene 20 m3 de espacio
refrigerado y 40 m3 no refrigerado. El camión tipo B tiene 30 m3 refrigerados y 30 m3 no
refrigerados. Una fábrica de productos alimenticios debe embarcar 900 m3 de productos
refrigerados y 1200 no refrigerados. ¿Cuántos camiones de cada tipo debe alquilar la fábrica para
minimizar costos si el tipo A se alquila a 0,3 US$/Km y el B a 0,4 US$/Km?
32. Una compañía de transportes tiene 15 camiones con capacidad 30 ton., y 6 camiones de 40 ton.
Los camiones grandes tienen un costo de 0,30 US$/Km y los pequeños de 0,25 US$/Km. En una
semana debe transportar la empresa 400 ton. en un recorrido de 800 km. La posibilidad de otros
compromisos recomienda que por cada dos camiones pequeños mantenidos en reserva debe
quedarse por lo menos uno de los grandes.
¿Cuál es el número de camiones de ambas clases que deben movilizarse para ese transporte de
forma óptima y teniendo en cuenta las restricciones descritas?
33. La empresa CHANNEL produce el perfume Versay. Este perfume requiere de químicos y trabajo
para su producción. Dos procesos están disponibles. El proceso A transforma 1 unidad de trabajo
y 2 unidades de químico en 3 onzas de perfume. El proceso B transforma 2 unidades de trabajo y
3 unidades de químico en 5 onzas de perfume. Cada unidad de trabajo le cuesta a CHANNEL
1.000 y cada unidad de químico le cuesta 1.500. Se tiene una disponibilidad máxima de 20.000
unidades de trabajo y un máximo de 35.000 unidades de químico para este período de
Identifica tus objetivos, deja que Cristo modele tu vida y alcanzarás el éxito!!!
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planificación. En ausencia de publicidad CHANNEL cree que puede vender 1.000 onzas de
perfume. Para estimular la demanda de ese perfume CHANNEL puede contratar una modelo
famosa a quien se le pagará 50.000 la hora, hasta por un máximo de 25 horas. Cada hora que la
modelo trabaje para la empresa se estima que incrementará la demanda de Versay en 200 onzas.
Cada onza de Versay se vende a 60.500. Determine el volumen óptimo de la producción y venta
del perfume.
34. Cada mes una empresa puede gastar. Como máximo, 1.000.000 en salarios y 1.800.000 en energía
(electricidad y gasoil). La empresa sólo elabora dos tipos de productos A y B. Por cada unidad de
A que elabora gana 80 y 50 por cada unidad de B. El costo salarial, y energético que acarrea la
elaboración de una unidad del producto A y una del B aparece en la siguiente tabla:
A B
Costo 200 100
Costo energético 100 300
Se desea determinar cuántas unidades de cada uno de los productos A y B debe producir la
empresa para que el beneficio sea máximo.
35. La empresa de computadoras COMPAQ toma las decisiones trimestral sobre la fabricación de su
mezcla de productos. Mientras toda sus líneas productivas incluyen una gran variedad de artículos
de computación, solamente se considerará un problema más simple con sólo dos productos: las
computadoras portátiles y las computadoras del escritorio. A COMPAQ les gustaría saber cuántos
de dichos productos deben fabricar para obtener máximas ganancias en el primer trimestre. Hay
varios límites del proceso que definen la capacidad productiva tanto de la computadora portátil
como la de escritorio:
(a) Cada computadora (portátil o escritorio) requiere un microprocesador. Debido a la escasez
de estos productos en el mercado, INTEL les ha asignado solamente 10,000 unidades
trimestrales
(b) Cada computadora requiere de memoria RAM. La memoria viene en 16 MB por tarjeta.
Una computadora portátil requiere 16 MB de memoria instalada (es decir, necesita 1 tarjeta
RAM) mientras una computadora de escritorio tiene 32MB (ó sea, requiere 2 tarjetas RAM).
COMPAQ dispone en inventario 15.000 tarjetas RAM para el próximo trimestre.
(c) Cada computadora requiere un tiempo de ensamblaje. Debido a las estrechas tolerancias
para ensamblar una computadora portátil, esta tarda un tiempo de 4 minutos contra 3
minutos para una computadora de escritorio. Hay 25,000 minutos disponibles de tiempo de
ensamblaje para el próximo trimestre
Bajo las actuales condiciones del mercado, costos de los materiales y sistema productivo, la venta
de cada computadora portátil genera US$ 750 de ganancia y cada computadora de escritorio
produce $1000 ganancia.
Determinar la respuesta a las siguientes preguntas:
¿Cuántas computadoras de cada tipo debe fabricar COMPAQ en el próximo trimestre para
maximizar sus beneficios?,
¿Cuánto estaría dispuesta a pagar COMPAQ por una memoria RAM adicional?
Identifica tus objetivos, deja que Cristo modele tu vida y alcanzarás el éxito!!!
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¿Qué efecto tiene sobre la ganancia , la perdida de 1,000 minutos de tiempo de ensamblaje por
fallas en una de sus máquinas?
¿Que ganancia se requiere para justificar la fabricación de una computadora portátil con 32 MB
de RAM?
36. La empresa COMPAQ necesita satisfacer la demanda de computadores por parte de sus clientes
(grandes corporaciones e instituciones educacionales) para los próximos 4 trimestres.
Actualmente COMPAQ tiene 5000 computadores en inventario. La demanda esperada para los
próximos trimestres son 7000, 15000, 10000 y 8000. COMPAQ tiene el material y la Capacidad
de producir hasta 10000 computadores cada trimestre, a un costo de US$ 2000 por computador.
Empleando sobre tiempo del personal se pueden producir hasta 2500 computadores más a un
costo individual de US$ 2200. Los computadores producidos en un trimestre pueden ser usados
para satisfacer la demanda de ese período, o bien quedar en inventario para ser usados
posteriormente. Cada computador en inventario tiene un costo adicional de US$ 100 por período
para reflejar los costos de almacenaje. ¿Como puede satisfacer COMPAQ su demanda a costo
mínimo?
37. Un ejecutivo de una empresa tiene $100.000 para invertir. Tiene dos inversiones: A y B. El Plan
A garantiza que por cada dólar invertido, se obtendrán $0,70 al final de un año (se entiende que
no puede fraccionarse este lapso de tiempo). El Plan B garantiza que por cada dólar invertido, se
obtendrán $2,00 al final de un período de dos años (se entiende que no puede fraccionarse este
lapso de tiempo). Aplicando el método SIMPLEX, asesore al ejecutivo para obtener el mejor
rendimiento por su dinero durante un período de tres años.
38. La empresa McDonald’s vende hamburguesas de un cuarto de libra y hamburguesas con queso.
La hamburguesa de un cuarto de libra obviamente utiliza ¼ de libra de carne y la hamburguesa
con queso sólo utiliza 0,2 libras. El restaurante empieza cada día con 200 libras de carne. La
utilidad neta es la siguiente: $ 0,20 por cada hamburguesa de cuarto de libra y $0,15 por cada
hamburguesa con queso. El gerente estima además que no venderá más de 900 hamburguesas en
total. Aplicando el método SIMPLEX, determine la máxima utilidad que obtiene McDonald's.
39. Los 400 alumnos de un colegio van a ir de excursión. Para ello se contrata el viaje a una empresa
que dispone de 8 autobuses con 40 plazas y 10 con 50 plazas, pero sólo de 9 conductores para ese
día. Dada la diferente capacidad y calidad, el alquiler de cada autobús de los grandes cuesta 8000
y el de cada uno de los pequeños, 6000 ¿Utilizando el Método SIMPLEX, cuantos autobuses de
cada clase convendrá alquilar para que el viaje resulte lo más económico posible?
40. A una persona que quiere adelgazar se le ofrecen dos productos A y B para que tome una mezcla
de ambos con las siguientes recomendaciones:
No debe tomar más de 150 g de la mezcla ni menos de 50 g.
La cantidad de A debe ser igual o superior a la de B.
No debe incluir más de 100 g de A
Si 100g de A contiene 30 mg de vitaminas y 450 calorías y 100 g de B contienen 20 mg de
vitaminas y 150 calorías, utilizando el método SIMPLEX:
Identifica tus objetivos, deja que Cristo modele tu vida y alcanzarás el éxito!!!
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a. ¿Cuántos gramos de cada producto debe mezclar para obtener el preparado más rico en
vitaminas?
b. ¿Y el más pobre en calorías?
41. Los precios de venta de dos productos A y B están en la misma relación que 7 y 6. La producción
de estos está definida por las siguientes condiciones:
La producción de A es mayor o igual que la mitad de B y menor o igual que el doble de B. La
producción total es tal que si sólo se produce A, se producen 10 kg, y si sólo se produce B, se
producen 15 kg. Y si se producen conjuntamente, la producción máxima se encuentra en la recta
que une los puntos anteriores.
Dar la función objetivo de la venta de ambos productos.
Expresar mediante inecuaciones el recinto definido.
Utilizando el Método SIMPLEX, determinar los kilos que se han de producir de cada producto
para obtener el máximo beneficio.
42. Una compañía petrolífera requiere diariamente 9 Tm, 12 Tm y 24 Tm de petróleo de calidad alta,
media y baja respectivamente. La compañía tiene dos refinerías. La refinería A produce
diariamente 1 Tm, 3 Tm y 4 Tm de calidades alta, media y baja respectivamente. La refinería B
produce 2 Tm de cada una de las tres calidades. El costo diario de cada una de las refinerías es de
20.000.000 ¿Utilizando el método SIMPLEX, ccuántos días debe de trabajar cada refinería para
que el costo sea mínimo?.
43. Un laboratorio farmacéutico desea elaborar un reconstituyente de manera que cada frasco
contenga al menos 4 unidades de vitamina A, 23 unidades de vitamina B y 6 de vitamina C. Para
suministrar estas vitaminas se emplea un aditivo M que cuesta 100 el gramo, el cual contiene 4
unidades de vitamina A, 6 de B y 1 de C y un aditivo H a un costo de 160 por gramo que contiene
1 unidad de vitamina A, 10 de B y 6 de C. ¿Utilizando el Método SIMPLEX, cuántos gramos de
cada aditivo se deben incluir en cada frasco para minimizar el costo?
44. Un expendio de carnes acostumbra a preparar la carne para hamburguesas con una combinación
de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 80% de carne y 20% de
grasa, y le cuesta a la tienda 800 por kilo. La carne de cerdo contiene 68% de carne y 32% de
grasa, y le cuesta 600 el kilo. El expendio no desea que el contenido de grasa de un kilo de
hamburguesa preparada sea superior al 25%. Aplicando el método SIMPLEX, ¿Qué cantidad de
cada tipo de carne debe emplear la tienda para preparar un kilo de hamburguesas a fin de
minimizar los costos?.
45. Para producir 2 toneladas de trigo se requieren 4 hectáreas, 2 bolsas de semillas de trigo por
hectárea y 5 meses/hombre.
Para producir 3 toneladas de centeno se requieren 2 hectáreas, 1.5 bolsas de semillas de centeno
por hectárea y 9 meses/hombre.
El precio del trigo y del centeno por tonelada asciende a $300 y $230 respectivamente. El costo
de la bolsa de semillas de cada uno de estos productos es $20 la de trigo y $30 la de centeno.
Identifica tus objetivos, deja que Cristo modele tu vida y alcanzarás el éxito!!!
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El empresario que espera maximizar sus beneficios dispone de 120 hectáreas y de 270
meses/hombre. Asimismo cuenta de un contrato que le otorga la opción de arrendar un campo
lindero de 80 hectáreas a razón de $30 la hectárea utilizada. La ley laboral, por otra parte, le
brinda el beneficio de contratar mano de obra adicional a un costo de $50 por meses/hombre, sin
limitación.
a. Formule el problema en términos de programación lineal.
b. Utilizando el Método SIMPLEX, determine cuál será la solución óptima del empresario y
el correspondiente nivel que adoptará cada una de las actividades.
c. Formule el programa dual correspondiente.
46. Una ama de casa, típico ejemplo de la economía informal, hace en sus ratos domésticos libres dos
tipos de salsa de tomate que vende en jarras de barro al supermercado de la zona. La primera
salsa, requiere utilizar 3 Kg. de tomates y 4 tazas de vinagre por jarra de salsa. La segunda requiere
5 Kg. de tomates y 2 tazas de vinagre. La primera salsa le produce un beneficio de 40 por jarra y
la segunda 50. El supermercado que remite su producción casera hacia los circuitos comerciales
(no sabemos con qué beneficio relativo) le impone a la ama de casa las siguientes condiciones:
• Que produzca como mínimo 3 jarras de salsa a la semana. • Que le compre como máximo 24
kg de tomate y 3 botellas de vinagre a la semana. Sabiendo que una botella de vinagre equivale a
16 tazas y que el supermercado monopoliza la venta de tomate y vinagre en la región. Utilizando
el método SIMPLEX, determinar los precios a los que estaría dispuesta a pagar el tomate y el
vinagre la ama de casa a otro comerciante de la economía informal, para minimizar sus costos.
47. La compañía Minas Universal opera tres minas en Puerto Ordaz, el mineral de cada una se separa,
antes de embarcarse, en dos grados. La capacidad diaria de producción de las minas así como sus
costos diarios de operación son los siguientes:
Mineral de Grado alto
ton/día
Mineral de grado bajo
Ton/día
Costo de operación
miles/día
Mina I 4 4 20
Mina II 6 4 22
Mina III 1 6 18
La Universal se comprometió a entregar 54 toneladas de mineral de grado alto y 65 toneladas de
mineral de grado bajo para fines de la siguiente semana. Además, tiene contratos que garantizan
a los trabajadores de ambas minas el pago del día completo por cada día o fracción de día que la
mina esté abierta. Utilizando el método SIMPLEX, determinar el número de días que cada mina
debería operar durante la siguiente semana, si Minas Universal ha de cumplir su compromiso a
un costo total mínimo.
48. La empresa Batisa S.A. fabrica camisas para ejes, estando especializada en dos productos:
Camisas con endurecimiento superficial mediante tratamiento térmico (Camisa tipo 1) y camisas
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con recubrimiento cerámico (Camisa tipo 2), productos de alta aceptación en el mercado por su
alto rendimiento a la abrasión.
Ambos productos se producen mediante el mecanizado de una aleación denominada Inconel,
siendo necesario 1 kg de material para fabricar una camisa tipo 1 y 2 kg de aleación para las
camisas tipo 2.
Al ser necesario un mejor acabado superficial para recibir el tratamiento térmico, las camisas
tipo 1 necesitan un tiempo de mecanizado de 4 horas por pieza mientras que las camisas tipo 2
se mecanizan en 2 horas.
Tanto el tratamiento térmico como el recubrimiento cerámico se realizan en el mismo
departamento (Departamento de Acabado), siendo necesarias 3 y 2 horas respectivamente.
El acuerdo de suministro de material con nuestro proveedor garantiza el aprovisionamiento de
50 kg de material a la semana.
La plantilla de la empresa está compuesta por 4 personas que trabajan en conjunto 92 horas
semanales. Las 92 horas se reparten 32 en el departamento de mecanizado y 60 en el
departamento de Acabado. El coste de estas personas es de 400 € /hora siendo su contrato en
función de la carga de trabajo pudiendo ser rescindido a discreción de la empresa
Conociendo que el kg de Inconel cuesta 800 $ ( 1$=1,25 €) y que los precios de venta de las
camisas tipo 1 y 2 es 3920 € y 3700 € respectivamente: Se pide:
a. Plantear y resolver el problema de Programación lineal que maximice el beneficio de la
compañía.
b. Plantear y resolver el problema dual en función del resultado del problema Primal.
c. Justificar adecuadamente el valor del “costo de oportunidad” de las horas de mecanizado.
d. Indicar justificadamente cual sería el punto optimo de producción, si el precio de las camisas
tipo 1 subiera 50 € y el de las camisas tipo 2 bajara 5 €.
49. La empresa Polipen S.A. tiene como objeto la fabricación de material de oficina, destacando su
división de útiles de escritura.
Su línea de fabricación contempla tres productos : Lápices, Bolígrafos y Plumas.
El esquema de fabricación se indica a continuación:
La línea de ensamblaje está compuesta por 5 operarios a jornada completa y 15 operarios a media
jornada, cuyos salarios son de 400 €/ hora y 450 €/hora respectivamente. Todo el personal de
este departamento tiene un contrato de trabajo fijo.
Se ha llegado a un acuerdo con el comité de empresa para dotar de flexibilidad a la plantilla de
forma que se permite contratar al personal de la línea de empaquetado en función de la carga de
trabajo. Su coste es de 500 €/hora para un máximo de 200 horas de trabajo contratadas por
semana.
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El horario de la fábrica es de Lunes a Viernes de 8:30 a 13:30 por la mañana y de 15:00 a 18:00
por la tarde.
La tabla siguiente indica el número de minutos necesarios para ensamblar y empaquetar cada
uno de los productos:
Lápices Bolígrafos Plumas
Ensamblaje 300 240 120
Empaquetado 60 240 180
El precio de venta de los lápices, bolígrafos y plumas es respectivamente de 506 €/unidad, 2010
€/unidad y 1505 €/unidad respectivamente
a. Plantear el problema de Programación Lineal que optimice la producción de la compañía
b. Se quiere negociar el aumentar la capacidad de empaquetado hasta un máximo de 550 horas
a la semana. ¿Cuántas horas aumentaría? ¿Cuál sería el punto óptimo en ese caso? ¿Cuál
sería el salario máximo que estaría dispuesto a negociar?
c. ¿Cuál es el aumento de precio necesario para que merezca la pena invertir recursos en
fabricar plumas?
d. Indicar cual es la bajada de precios que se puede soportar en los lápices sin que varíe el
punto óptimo.
50. La Refinería Isla S.A., produce gasolina tipos regular y primera. La refinería fabrica los productos
mezclando 3 componentes de petróleo. La empresa quiere determinar cómo mezclar los 3
componentes en los 2 productos de gasolina para alcanzar el máximo de ganancias. La gasolina
regular se vende a $0.50 por el galón y la de primera se vende a $0.54 por el galón. Cinco mil
galones están disponibles de Componente 1 cuyo costo es de $0.25 por el galón, 10000 galones
están disponibles de Componente 2 con costo de $0.30 por el galón, y 10000 galones están
disponibles de Componente 3 que cuesta $0.42 por el galón. Los compromisos actuales a
distribuidores exigen a la compañía producir 10000 galones de gasolina regular por lo menos.
Además, las especificaciones del producto requieren a lo siguiente: regular - a lo sumo 30% de
Componente 1, por lo menos 40% de Componente 2, y a lo sumo 20% de Componente 3; la de
primera - por lo menos 25% de Componente 1, a lo sumo 40% de Componente 2, y por lo menos
30% de Componente 3.
51. Una empresa proveedora de alimentos balanceados generadora de beneficios ha obtenido una
orden de compra para producir un compuesto con, por lo menos, 100 gramos de fibras, 300
gramos de proteínas y 70 gramos de minerales.
En el mercado puede obtener los siguientes productos con las siguientes características:
CONTENIDO DE: PRODUCTO
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15
1 2 3
FIBRAS 20% 30% 5%
PROTEÍNAS 60% 50% 38%
MINERALES 9% 8% 8%
PRECIO POR KG. $10 $15 $8
Determine:
a. ¿ Cuál será la proporción de cada producto en el compuesto óptimo ?
b. ¿ A cuánto ascenderá el precio sombra (por gramo) de: Fibras, Proteínas y Minerales
52. La empresa MADERAS S.A. es un fabricante de muebles independiente. Hace tres estilos
diferentes de mesas, A, B, C. Cada modelo de mesa requiere de una cierta cantidad de tiempo
para el corte de las piezas, su montaje y pintura. MADERAS S.A., puede vender todas las
unidades que fabrica. Es más, el modelo B se puede vender sin pintar. Utilizando los datos
indicados. Determine la máxima utilidad mensual que puede obtener la Empresa.
Requerimiento de Horas Hombre por mesa
Modelo Utilidad por mesa Corte Ensamblado Pintura
A $ 17.500 1 2 4
B $ 20.000 2 4 4
B sin pintar $ 10.000 2 4 0
C $ 25.000 3 7 5
Disponibilidad mensual de HH 200 298 148
53. Una Empresa metalmecánica, puede fabricar cuatro productos diferentes (A, B, C, D) en
cualquier combinación. La producción de cada producto requiere emplear las cuatro máquinas.
El tiempo que cada producto requiere en cada una de las cuatro máquinas, se muestra en la tabla
anexa Cada máquina está disponible 80 horas a la semana. Los productos A, B, C y D se pueden
vender a $8, $6, $5 y $4 por kilogramo, respectivamente. Los costos variables de trabajo son de
$3 por hora para las máquinas 1 y 2 y de $1 por hora para las máquinas 3 y 4. El costo del material
para cada kilogramo de producto A es de $3. El costo de material es de $1 para cada kilogramo
de los productos B, C y D. Determinar la máxima utilidad mensual que puede obtener la Empresa.
Tiempo de máquina (Minutos por kilogramo de producto)
Producto Máquina
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1 2 3 4
Demanda
Máxima
A 10 5 3 6 100
B 6 3 8 4 400
C 5 4 3 3 500
D 2 4 2 1 150
54. DELL COMPUTER necesita satisfacer la demanda de computadoras portátiles de su Cliente
Corporativo (PDVSA), así como de sus Clientes del Sector Educativo (USM), para los próximos
cuatro trimestres. DELL COMPUTER dispone en inventario de 5,000 computadoras portátiles.
La demanda esperada de computadoras portátiles para cada uno de los trimestres es la siguiente,
7,000; 15,000; 10,000; y 8,000 respectivamente. DELL COMPUTER tiene la capacidad
productiva y los componentes requeridos para fabricar 10,000 computadoras portátiles en cada
trimestre, a un costo unitario de $2000 por el computadora ensamblada. Usando horas extras de
sobre tiempo, DELL COMPUTER , pudiera fabricar adicionalmente hasta 2,500 computadoras
portátiles trimestrales pero a un costo de $2200 cada una ó también pueden disponerse de
computadoras fabricadas en un trimestre para satisfacer la demanda de otro trimestre ,
manteniendo las mismas en inventario . Cada computadora portátil en inventario genera un
sobrecosto de almacenamiento y despacho de $100 la unidad almacenada.
Indicar como puede DELL COMPUTER satisfacer la demanda de sus clientes al mínimo costo.
55. Una institución bancaria se encuentra en proceso de formular su política de préstamos para el
próximo mes. Para este fin, se asigna un máximo de $12.000.000. Siendo una institución de
servicios integrales, debe otorgar préstamos a todos los tipos de clientes. La tabla que sigue señala
los tipos de préstamos, la tasa de interés que cobra el banco y la cantidad porcentual de pagos no
cubiertos estimado por experiencia.
TIPO DE PRÉSTAMO TASA DE INTERÉS PORCENTAJE DE PAGOS NO
CUBIERTOS
Personal 14% 10%
Automóvil 13% 7%
Casa 12% 3%
Agrícola 12,5% 5%
Comercial 10% 2%
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Se supone que los pagos no cubiertos son irrecuperables y por lo tanto no producen ingresos por
concepto de interés. La competencia con otras instituciones bancarias exige que cuando menos
el 40% de la asignación de fondos sea para préstamos agrícolas y comerciales. El banco tiene,
así mismo, una política que especifica que el porcentaje total de pagos irrecuperables no debe
exceder el 4%. Determinar las condiciones para las cuales se optimizan las ganancias netas de la
institución bancaria.
56. Un restaurante de autoservicio, está abierto los siete días de la semana. Basado en la experiencia
del pasado, el número de empleados requeridos en un día particular se da como sigue:
DIA LUN. MAR. MIE. JUE. VIE. SAB. DOM.
No. OBREROS 14 13 15 16 19 18 11
De acuerdo a la norma laboral, cada obrero trabaja cinco días consecutivos, con dos días de
descanso, repitiéndose este proceso para todos los obreros. Indicar como se puede minimizar el
número de obreros requeridos por el restaurante?
57. Una firma financiera tiene $500,000 disponible para invertir y busca determinar cuánto de esa
cantidad debe ser invertida en cada una de las cuatro siguientes posibilidades: bolsa X, bolsa Y,
bonos X y bonos Y, en el lapso de un año. Un máximo de $105,000 puede ser invertido en bonos
de tipo X y un máximo de $100,000 puede ser invertido en bonos del tipo Y. La inversora sabe
que existe un riesgo considerable asociado con la inversión en la bolsa X. Por lo tanto, ha
determinado que no invertirá más de un cuarto de su inversión total en la bolsa X. También la
cantidad total invertida en la bolsa Y debe ser al menos tres veces la cantidad invertida en la bolsa
X. Además, la inversora requiere que la inversión en bonos sea al menos tan grande como la
mitad de sus inversiones en las bolsas. Los retornos netos anuales son:
Bolsa X 20%
Bolsa Y 10%
Bonos X 9%
Bonos Y 11%
58. Una compañía de inversiones tiene que elegir entre cuatro proyectos que compiten por un
presupuesto de inversión fijo de US$1,500,000. En la la tabla anexa, se muestran la inversión
neta y los rendimientos estimados de cada proyecto. A cada uno de estos proyectos se le pueden
asignar fondos en cualquier nivel fraccional menor o igual al 100%. La compañía requiere de un
rendimiento mínimo del 25% y desea minimizar el riesgo.
Supóngase que el riesgo es aditivo. Por ejemplo, el riesgo de asignar fondos para aceites al 20%
y para edificio de oficinas al 50% será (0,2)(9) + (0,5)(4) = 3,8. Elabore un modelo de PL donde
las variables de decisión sean las fracciones de cada proyecto que se debe llevar a cabo.
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Proyectos de inversión
Proyecto Monto de la
inversión (US$) Retorno
estimado
(US$)
Riesgo
Centros Comerciales 550.000 700.000 6
Aceite 400.000 900.000 9
Edificios de Oficinas 450.000 550.000 4
Viviendas para Bajos Ingresos 500.000 600.000 2
59. En la empresa PROLINEAL S.A., el departamento de ingeniería señala que cuando se produce
el bien 1 solamente, se obtiene como máximo una producción de 200 unidades del mismo;
utilizando a pleno la capacidad instalada de máquinas del tipo A, no utilizando un 25% de la
capacidad de las máquinas B y usando el 50% de las máquinas C. En cambio, cuando sólo se
produce el bien 2 se utiliza el 100% de la capacidad instalada de máquinas C y sólo el 12.5% de
la capacidad instalada de las A y el 75% de las B; obteniéndose un máximo de 100 unidades del
bien en cuestión.
El beneficio neto por unidad del bien 1 y del 2 es, respectivamente, $1 y $3.
En base a los datos aportados por el departamento de ingeniería, el gerente de producción
argumenta que como sobraría capacidad instalada del parque de maquinarias B, convendrá
ofrecerlas en alquiler. El gerente técnico opina, en cambio, que bajo las circunstancias, lo que
realmente conviene es introducir un nuevo producto, el bien 3, que requiere 2% de capacidad de
A, 10% de B y 0.5% de C, para obtener una unidad de este bien; que puede venderse en el
mercado con un beneficio neto unitario de $14.
Como el presidente de la empresa sabe que usted tiene buenos conocimientos de programación
lineal y que las condiciones en las que opera Prolineal son aptas a tal planteo, le pide que dé su
opinión acerca del mejor curso de acción a seguir, respondiendo críticamente a los planteos de
los dos gerentes.
60. La empresa avícola PROTINAL, desea alimentar a sus animales en forma tal que se cubran sus
necesidades de nutrición a un costo mínimo. PROTINAL está estudiando el uso de maíz, soya,
avena y alfalfa, cuya información dietética se muestra en la Tabla anexa, en miligramo por libra
de oleaginosa. (por ejemplo, 1 libra de maíz proporciona 15 miligramos de proteína). Resuelva el
modelo de programación lineal para determinar la mezcla dietética que satisfará los requisitos
diarios a un costo mínimo.
Nutriente Maíz Soya Avena Alfalfa Necesidades diarias
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Proteína (mg) 15 30 15 7 Mínimo 50 mg
Calcio (mg) 40 10 40 45 Mínimo 150 mg
Grasas (mg) 20 50 8 25 Mínimo 25 mg
Máximo 120 mg
Calorías 850 1500 1200 4000 Mínimo 5000 calorías
Costo por Libra ($) 70 45 40 90
61. Al gerente de cartera de un fondo de pensiones se le ha pedido invertir $1.000.000 en un gran
fondo de pensiones. El Departamento de Investigación de Inversiones ha identificado seis fondos
mutuales con estrategias de inversión variables, resultando en diferentes rendimientos potenciales
y riesgos asociados, como se resume en la tabla siguiente.
FONDOS
1 2 3 4 5 6
Retorno (%) 30 20 15 12 10 7
Categoría de riesgo Alto Alto Alto Mediano Mediano Bajo
La administración ha especificado las siguientes pautas:
• La cantidad total invertida en fondos de alto riesgo debe estar entre el 50% y el 75% de la
cartera.
• La cantidad total invertida en fondos de mediano riesgo debe estar entre el 20% y el 30% de
la cartera.
• La cantidad total invertida en fondos de bajo riesgo debe ser de al menos el 5% de la cartera.
• La cantidad invertida en los fondos de alto riesgo 1,2 debe estar en relación proporcional de
1:2.
• La cantidad invertida en los fondos de mediano riesgo 4 y 5 debe estar en la proporción 1:2.
Determine los fondos mutuales que maximicen el beneficio al final del período
62. Una compañía petrolera produce dos tipos de gasolina, normal y super, que vende a sus estaciones
de servicio a 120 y 140 por litro respectivamente. Ambos tipos de gasolina se realizan mezclando
combustible nacional y extranjero de sus almacenes y debe cumplir las siguientes
especificaciones:
Presión de Octanaje Demanda Despachos
Vapor Mínimo Máxima Mínimos
Máxima (Lts/semana) (Lts/semana)
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NORMAL 23 88 100.000 50.000
SUPER 23 93 20.000 5.000
Las características del combustible disponible en el almacén son:
Presión de Octanaje Almacén Costo
Vapor Mínimo (litros) (Bs/Lit)
1ACIO1AL 25 86 40.000 80
IMPORTADA 15 98 60.000 150
Determinar:
¿Qué cantidades de combustible nacional y extranjero deben mezclarse para producir las dos
gasolinas y obtener los máximos beneficios semanales?
NOTA: Los componentes de la mezcla contribuyen al octanaje (y a la presión de vapor) de
acuerdos a su porcentaje en la mezcla.
63. Un industrial agrícola fabrica alimentos para vacas, ovejas y pollos. Esto se hace mezclando los
siguientes ingredientes: maíz, piedra caliza, soja y harina de pescado. Estos ingredientes
contienen los siguientes nutrientes: vitaminas, proteína, calcio y grasa. Los contenidos de los
nutrientes en cada kg de los ingredientes se resumen en la tabla:
1utriente
Ingrediente Vitamina Proteína Calcio Grasa
Maíz 8 10 6 8
Piedra caliza 6 5 10 6
Soja 10 12 6 6
Harina de Pescado 4 8 6 9
El industrial es contratado para producir 10, 6 y 8 ton métricas de los tres tipos de alimentos.
Debido a escasez, una cantidad limitada de los ingredientes está disponible, concretamente: 6
ton de maíz, 10 ton de piedra caliza, 4 ton de soja y 5 ton de harina de pescado. El precio por
kilogramo de estos ingredientes es, respectivamente, $0,20, $0,12, $0,24 y $0,12. Las unidades
máximas y mínimas de nutrientes permitidas por kg de alimento se detallan en la siguiente tabla:
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1utriente
VITAMINA PROTEÍNA CALCIO GRASA
PRODUCTO min max min max min max min max
Al. vaca 6 6 7 4 8
Al. oveja 6 6 6 4 6
Al. pollo 4 6 6 6 4 6
Determinar la composición del alimento que minimice su costo total.
64. Una compañía produce tres tamaños de tubos: A, B y C, que son vendidos, respectivamente en
$10, $12 y $9 por metro. Para fabricar cada metro del tubo A se requieren de 0.5 minutos de
tiempo de procesamiento sobre un tipo particular de máquina de modelado. Cada metro del tubo
B requiere de 0.45 minutos y cada metro del tubo C requiere 0.6 minutos. Después de la
producción, cada metro de tubo, sin importar el tipo, requiere 1 kg de material de soldar. El costo
total se estima en $3, $4 y $4 por metro de los tubos A, B y C respectivamente. Para la siguiente
semana, la compañía ha recibido pedidos excepcionalmente grandes de sus clientes, que totalizan
2000 metros de tubo A, 4000 metros de tubo B y 5000 metros del tubo C. Como sólo se dispone
de 40 hrs. Del tiempo de máquina esta semana y sólo se tienen en inventario 5,500 kgs de material
de soldar el departamento de producción no podrá satisfacer la demanda la cual requiere de 11,000
kgs de material para soldar y más tiempo de producción. No se espera que continúe este alto nivel
de demanda. En vez de expandir la capacidad de las instalaciones de producción, la gerencia esta
considerando la compra de algunos de estos tubos a proveedores de Japón a un costo de entrega
de $6 por metro del tubo A, $6 por metro del tubo B y $7 por metro del tubo C. Estos diversos
datos se resumen en la tabla 1. A Usted como Gerente del Departamento de producción, se le ha
pedido hacer recomendaciones respecto a la cantidad de producción de cada tipo de tubo y la
cantidad de compra a Japón para satisfacer la demanda y maximizar las ganancias de la
Compañía.
Tabla 1: Datos referentes al problema:
Tubo
tipo Precio de
Venta
($/metro)
Demanda
(metros) Tiempo de
Máquina
(min/metro)
Material
para soldar
(kg/metro)
Costo de
Producció
n ($/metro)
Costo de
compra a Japón
($/metro)
A 10 2,000 0.50 1 3 6
B 12 4,000 0.45 1 4 6
C 9 5,000 0.60 1 4 7
Formule el modelo de PL
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65. La empresa REPSOL-YPF, obtiene 4 tipos de petróleo crudo de sus reservas en Argentina, Norte
de África, Indonesia y Oriente Medio. La gasolina obtenida de estos petróleos crudos se mezcla
junto con dos aditivos para obtener el producto final. Estos petróleos crudos y aditivos contienen
azufre y fósforo, según se muestra en la tabla adjunta:
Argentina Indonesia África Oriente Aditivo A Aditivo B
AZUFRE (%) 0,07 0,08 0,1 0,06 - -
FÓSFORO (%) - - - - 0,025 0.020
COSTO (US$/galon) 0,55 0,47 0,33 0,45 0,08 0,15
Debido a los residuos e impurezas, cada galón de petróleo de Argentina da lugar a 0.35 galón de
producto final, cada galón de Norte de Africa da lugar a 0.3 galón de producto final, cada galón
de Indonesia da lugar a 0.4 galón de producto final y cada galón de Oriente Medio da lugar a
0.45 galón de producto final. La gerencia ha establecido las siguientes especificaciones técnicas
para controlar las cantidades de azufre y fósforo en la gasolina:
* Cada galón debe tener a lo más 0.07% de azufre.
* Cada galón debe tener entre 0.0025 y 0.0045 gr. de fósforo.
* La cantidad total de aditivos no puede exceder del 20% de la mezcla.
Plantee un modelo de programación lineal que le permita determinar un plan de mezclado que
produzca una gasolina aceptable al mínimo costo.
66. La empresa PARMALAT tiene dos máquinas distintas para procesar leche pura y producir leche
descremada, mantequilla o queso. La cantidad de tiempo requerido en cada máquina para producir
cada unidad de producto resultante y las ganancias netas se proporcionan en la siguiente tabla:
LECHE
DESCREMADA
MA1TEQUILLA
QUESO
MAQUI1A #1 (min/galón) 0,2 0,5 1,5
MAQUI1A #2 (min/galón) 0,3 0,7 1.2
GA1A1CIA 1ETA (US$/Galon) 0,22 0,38 0,72
Suponiendo que se dispone de 8 horas en cada máquina diariamente, como Gerente del
Departamento de Administración formule un modelo para determinar un plan de producción
diaria que maximice las ganancias corporativas netas y produzca un mínimo de 300 galones de
leche descremada, 200 libras de mantequilla y 100 libras de queso.
67. Considere un presupuesto de publicidad de $30,000 para un nuevo producto ligeramente caro.
Por lo menos deben usarse 10 anuncios de la televisión, y por lo menos deben localizarse 50,000
compradores potenciales durante la campaña. También, un máximo de $18,000 pueden gastarse
Identifica tus objetivos, deja que Cristo modele tu vida y alcanzarás el éxito!!!
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los anuncios en la televisión. ¿Dado los datos incluidos en la Tabla anexa determinar el plan de
medios de comunicación de publicidad óptimo que aumentará al máximo las compras esperadas?
Tipo de medio Familias
Encuestadas
Costo Por
aviso
Máximo
disponible
Expectativa de
compra
TV-de día (1 min.) 1,000 $1,500 15 65
TV-tarde. (30 sec.) 2,000 $3,000 10 90
Periódico semanal 1,500 $400 25 40
Periódico domingo 2,500 $1,000 4 60
Radio (30 sec.) 300 $100 30 20
68. Knoxville Survey S.A. se ha contratado para dirigir la puerta-a-puerta las entrevistas personales
para obtener la información de ambas casas con y sin niños para un estudio de mercado. Además,
las entrevistas se realizaran mañana y tarde para permitir incluir una variedad de actividades de
trabajo de la casa. La empresa debe dirigir 1,000 entrevistas bajo las pautas siguientes:
a. Por lo menos se entrevistarán 400 casas con los niños.
b. Por lo menos 400 casas se entrevistarán sin niños.
c. El número total de entrevistas de la tarde será por lo menos tan grande como el número total
de entrevistas del día.
d. Por lo menos se dirigirán 40% de entrevistas para las casas con niños durante la tarde.
e. Por lo menos 60% de entrevistas para las casas sin niños durante la tarde.
Los costos de la entrevista son $20 durante niño-día, $25 por niño-tarde, $18 durante ningún
niño-día, y $20 durante ningún niño-tarde. ¿ Determinar cuántas entrevista de cada tipo debe
hacerse para minimizar los costos del estudio de mercado?
69. La Constructora Casas Ltda., se ha adjudicado la construcción de 100 casas. El contrato la obliga
a construir dos tipos de casas. Para los beneficiarios las casas tienen el mismo costo, pero para
Constructora Casas, éstas tienen un margen de utilidad diferente, así las casas tipo campo arrojan
$ 5.100.000 y las de tipo rancho $ 5.000.000. El contrato obliga a entregar las casas dentro de los
nueve meses de firmado el contrato. Otra información relevante se resume en la siguiente tabla:
Requerimiento de horas por tipo de
casa Disponibilidad horas
de
Campo Rancho
200 100 12000
Carpintero
Identifica tus objetivos, deja que Cristo modele tu vida y alcanzarás el éxito!!!
24
50 120 13000
Albañil
a. Formule el problema de programación lineal.
b. Encuentre la solución óptima gráficamente.
c. Suponga que se desea agregar un nuevo tipo de casa denominada “Colonial” que da un
margen de utilidad de 4.900.000/casa y que requiere de 150 hr-carpintero/casa y 80
hralbañil/casa. Explique si conviene o no fabricar las casas.
70. Una empresa proveedora de alimentos balanceados y maximizadora de beneficios ha obtenido
una orden de compra para producir un compuesto con, por lo menos, 100 gramos de fibras, 300
gramos de proteínas y 70 gramos de minerales.
En el mercado puede obtener los siguientes productos con las siguientes características:
CONTENIDO
PRODUCTO
DE: 1 2 3
FIBRAS 20% 30% 5%
PROTEÍNAS 60% 50% 38%
MINERALES 9% 8% 8%
PRECIO POR KG. $10 $15 $8
Conteste:
a. ¿ Cuál será la proporción de cada producto en el compuesto óptimo ?
b. ¿ A cuánto ascenderá el precio sombra (por gramo) de: Fibras, Proteínas y Minerales ?
c. ¿Cómo cambiaría su respuesta a cada uno de los puntos anteriores si se exige que cada
unidad de compuesto pese un kilo exactamente?
71. En el zoológico municipal, se requiere un compuesto de carne para alimentar a los leones, que
contenga igual cantidad de proteínas y de grasa. Según un estudio de mercado, los distintos tipos
de carne tienen las siguientes características y los siguientes precios:
CO1TE1IDO
CAR1E TIPO:
DE: A B C
GRASAS 16% 18% 25%
PROTEÍNAS 22% 20% 16%
Identifica tus objetivos, deja que Cristo modele tu vida y alcanzarás el éxito!!!
25
PRECIO POR KG. $70 $90 $100
Si se desea minimizar el costo de la alimentación de las fieras:
a. Plantee el problema en términos de programación lineal.
b. Plantear el programa dual al planteado por usted.
c. Encontrar la combinación óptima de tipos de carne a adquirir que minimiza el costo de la
dieta por kilogramo de ración.
72. En la empresa PROLINEAL, el departamento de ingeniería señala que cuando se produce el bien
1 solamente, se obtiene como máximo una producción de 200 unidades del mismo; utilizando a
pleno la capacidad instalada de máquinas del tipo A, no utilizando un 25% de la capacidad de las
máquinas B y usando el 50% de las máquinas C. En cambio, cuando sólo se produce el bien 2 se
utiliza el 100% de la capacidad instalada de máquinas C y sólo el 12.5% de la capacidad instalada
de las A y el 75% de las B; obteniéndose un máximo de 100 unidades del bien en cuestión.
El beneficio neto por unidad del bien 1 y del 2 es, respectivamente, $1 y $3.
En base a los datos aportados por el departamento de ingeniería, el gerente de producción
argumenta que como sobraría capacidad instalada del parque de maquinarias A, convendrá
ofrecerlas en alquiler. El gerente técnico opina, en cambio, que bajo las circunstancias, lo que
realmente conviene es introducir un nuevo producto, el bien 3, que requiere 2% de capacidad de
A, 10% de B y 0.5% de C, para obtener una unidad de este bien; que puede venderse en el
mercado con un beneficio neto unitario de $14.
Como el presidente de la empresa sabe que usted tiene buenos conocimientos de programación
lineal y que las condiciones en las que opera Prolineal son aptas a tal planteo, le pide que dé su
opinión acerca del mejor curso de acción a seguir, respondiendo críticamente a los planteos de
los dos gerentes.
73. En una economía lineal, se requiere por hectárea 2 hombres, 6 bolsas de semillas y 3 de
fertilizantes; para obtener un rendimiento por hectárea de 3 toneladas de trigo candeal. Por otra
parte, para obtener un rendimiento por hectárea de 2 toneladas de cebada se necesitan, en cambio,
por hectárea; 4 bolsas de semillas, 2 de fertilizantes y 3 hombres.
Una vez cosechada la producción, ésta debe almacenarse en silos del tipo A, B y/o C, cuyas
capacidades son de 100 toneladas de cereales cada uno (alternativamente, debe venderse a un
precio de $100 la tonelada de cereal sea cual fuere el producto).
Los silos del tipo A sólo almacenan trigo; los del tipo B sólo cebada, mientras que los del tipo C
pueden almacenar ambos productos simultánea o indistintamente.
Los valores pertinentes a los enunciados anteriores son:
- Costo por bolsa de semilla de trigo $5
- Costo por bolsa de semilla de cebada $10
- Costo por bolsa de semilla de fertilizantes $10
- Precio por tonelada de trigo $190
- Precio por tonelada de cebada $160 - Cantidad de silos: uno de cada tipo.
Identifica tus objetivos, deja que Cristo modele tu vida y alcanzarás el éxito!!!
26
- Cantidad de hombres: 320
- Cantidad de Hectáreas: 120
(Los precios rigen para la venta después del período de almacenamiento).
a. Plantee el problema global (de producción y de almacenamiento) en términos de
programación lineal, si el objetivo es maximizar los beneficios.
b. Plantee y resuelva únicamente el problema de producción.
c. Plantee el dual de a) y la primera tabla de simplex.
74. En una fábrica de guardapolvos se pueden producir tres tipos de prendas.
- La primera de ellas requiere dos horas hombre del taller de cortado y cuatro horas hombre del
taller de cosido.
- El segundo artículo se fabrica utilizando una hora hombre del taller de cortado y cinco del de
cosido.
- La confección de la última especie de prenda requiere tres horas hombre de cada uno de los
talleres señalados.
Cada una de las prendas que es factible producir consume respectivamente, por unidad; dos, tres
y cinco metros cuadrados de tela cuyo costo por metro cuadrado es de $3. Si la empresa dispone
en cada taller respectivamente de 100 cortadores y de 350 cosedores, operarios que deben
cumplir con 200 horas de trabajo mensual cada uno, y se verifican las condiciones necesarias
para la aplicación de la programación lineal:
a. Determine cuál será la asignación óptima de la mano de obra entre las distintas actividades
si el precio de los tres tipos de guardapolvos -al que pueden venderse cantidades ilimitadas
de los mismos- es de $20, $26 y $40 cada uno, respectivamente.
b. Conteste: ¿produciría una nueva prenda cuyo precio es de $52 y que requiere 4 horas hombre
de cortado y 5 de cosido, consumiendo 6 metros cuadrados de tela?
c. Plantee el problema en términos de programación lineal si cada operario del plantel de
cortadores pudiera trabajar 20 horas extras mensuales a un costo de $4 la hora adicional.
75. Una firma productora de detergentes cuenta con dos procesos productivos para fabricarlos. Cada
actividad utiliza enzimas, capacidad de planta de producción y capacidad de planta de envasado.
Las enzimas se pueden comprar en el mercado en cantidades ilimitadas a $100 por unidad. Las
plantas de envasado y producción tienen una capacidad máxima de procesado fija.
El precio del detergente es de $4 por unidad y se puede vender toda la cantidad que se pueda
fabricar.
El primero de los procesos utiliza dos unidades de enzimas, 4% de la capacidad de la planta de
producción y 8% de la de envasado, por cada 100 unidades de detergente. El segundo proceso
requiere dos unidades de enzimas, 2% de la capacidad de la planta de producción y 12% de la de
envasado, por cada 100 unidades de detergente.
Conteste:
a. ¿Cuál es el programa óptimo de producción y a cuánto ascenderá el beneficio esperado?
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b. ¿Cuál planta aconsejará usted ampliar, si ello fuera posible y de muy bajo costo, y en qué
porcentaje ?
76. En una economía lineal, para producir 3 unidades de trigo se requieren 6 unidades de tierra, $8
en semillas y 3 trabajadores. Para producir 4 unidades de centeno se requieren 5 unidades de
tierra, $10 de semillas y 6 trabajadores.
El precio por unidad de trigo y centeno es $15 y $20,5 respectivamente, siendo las cantidades
disponibles de tierra y de trabajo de 100 y 130 unidades respectivamente.
Si el empresario desea optimizar el resultado de su explotación, interprete la solución del dual.
77. Usted, como vendedor de FERRETERIA S.A. tiene que decidir cómo asignar sus esfuerzos entre
los diferentes tipos de clientes de su territorio. Usted debe visitar comerciantes mayoristas y
clientes que compran al detalle. Una visita a un comerciante mayorista usualmente le produce
$20 en ventas, pero la visita en promedio dura 2 horas y debe manejar también en promedio 10
Km. En una visita a un comprador al detalle, le vende $50 requiere de unas 3 horas y 20 Km
manejando su carro aproximadamente. Usted planifica viajar como máximo 600 Km por semana
en su carro y prefiere trabajar no más de 36 horas a la semana. Encuentre la combinación óptima
de visitas a comerciantes y clientes al menudeo que le permitan maximizar sus ganancias
78. El grupo ANTAR, S.A. está analizando la posibilidad de diversificar sus inversiones, hacia
sectores diferentes de donde se encuentra operando actualmente. El presupuesto disponible para
inversiones de esta naturaleza se ha fijado en $100,000,000. Tomando en cuenta las áreas de
inversión actuales, el director de finanzas ha recomendado que las nuevas inversiones sean en la
INDUSTRIA PETROLERA, LA INDUSTRIA SIDERÚRGICA Y EN CETES.
Específicamente, el director ha identificado siete oportunidades de inversión, así como las tasas
de rendimiento esperadas de las mismas. Dicha información se da a continuación.
OPCIO1ES DE I1VERSIÓ1 TASA DE RE1DIMIE1TO (%)
Petróleo y Derivados, S.A.
Industria Petrolera, S.A.
Petróleos del Norte, S.A.
Aceros Monclova, S.A.
Siderúrgica Nacional, S.A.
Hierro y Acero, S.A.
CETES
50
75
40
70
45
55
60
Identifica tus objetivos, deja que Cristo modele tu vida y alcanzarás el éxito!!!
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a. No se debe destinar más del 50% del total de la inversión a una industria en particular.
b. La inversión en CETES debe ser por lo menos el 25% del total invertido en siderurgia.
c. La inversión en Industria Petrolera S. A., la cual resulta ser la de mayor rendimiento aunque
también la de más alto riesgo, no puede exceder al 50% del total a invertir en el sector
petrolero.
d. El total a invertir en siderúrgica debe ser por lo menos igual al invertido en petróleo.
• Formular el modelo como uno de PL
• Desarrollar el modelo Matemático
79. Texas Instruments Inc. está estudiando la posibilidad de agregar nuevos minicomputadores a su
línea con el fin de incrementar sus utilidades. Tres nuevos computadores han sido diseñados y
evaluados. Cada uno requerirá de una inversión de $300,000. El computador 1 tiene un valor
esperado en las ventas de 50,000 unidades por año como máximo, con una contribución en las
utilidades de $20 por unidad. Los computadores 2 y 3 tienen un valor esperado de ventas de
300,000 y 100,000 unidades, respectivamente, con contribuciones en la utilidad de $5 y $10. La
TEI ha asignado 800 horas mensuales de tiempo de planta técnica para estos nuevos productos.
Los computadores 1, 2 y 3 requieren 1, 0.2 y 0.5 horas técnicas por unidad respectivamente. El
sistema de empaque y despachos serán los usados actualmente por la compañía. Este sistema
puede empacar y despachar como máximo 25,000 cajas con minicomputadores 1, 2 y 3. El
minicomputador 1 es empacado sólo, en 1 caja; los computadores 2 y 3 son empacados de a 4
computadores por caja. Formule un modelo de programación lineal para determinar las decisiones
que aporten la máxima utilidad a la TEI.
80. En un contexto que usted puede asumir como lineal, una fábrica de jeans produce varios modelos
de pantalones:
- El modelo "Basic" (B), que requiere 2 m2 de tela denim, 3 minutos hombre del taller de cortado
para cortar las distintas piezas y 6 minutos hombre del taller de cosido. El empaque se hace en
un minuto y cada prenda esta lista para ser despachada previo desembolso de tres pesos por
prenda en concepto de caja de embalaje y apliques varios en cada pantalón.
- El modelo "Basic plus" (BP) no es otra cosa que el modelo anterior al que se le agrega un
bordado muy bonito cuya confección requiere de 1 minuto de la utilización del taller de
bordado.
- El modelo "Basic plus ultra" (BPU) es igual al modelo Basic plus pero esta confeccionado
previo planchado de la tela -que requiere de un lapso de 2 minutos por prenda de la concurrencia
de Juanita, la planchadora-.
- Los modelos B largo, BP largo y BPU largo son variantes de los modelos comunes descriptos,
pero requieren un 10% más de cada uno y de todos los insumos por prenda. Existe, sin embargo,
una limitación dado que no es posible producir más de 30 de estas prendas en total, limitación
que no rige para las prendas comunes.
Los parámetros relevantes son los siguientes:
- Costo de la tela por m2 $10.
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29
- Capacidad máxima disponible mensual en horas hombre del taller de cortado 2000; del taller
de cosido 800; del taller de bordado 250; del taller de empaque 70. Juanita sólo trabaja 100
horas efectivas mensuales.
- Los jeans comunes B, BP y BPU se pueden colocar en cantidades ilimitadas a $30, $40 y $50
respectivamente y los modelos BL, BPL y BPUL de igual modo, a $34, $43 y $56
respectivamente.
a. Formule el problema en términos de programación lineal.
b. Si fuera posible obtener un 50% de horas adicionales del taller de cortado a un precio de $1
por minuto, ¿cómo modificaría su planteo?
81. Un complejo industrial produce dos productos, A y B, los que comercializa en mercados
perfectamente competitivos a $120 y $630 por unidad respectivamente.
Para producir cada uno de estos bienes se requieren respectivamente por cada 100 unidades, 4 y
8 horas/operario y, 1 y 3 horas/supervisor. También se necesita de máquinas tipo X y de tipo Y
para el procesamiento de estos productos. El parque de máquinas tipo X tiene una capacidad para
procesar 40 y 60 unidades de cada uno de los productos citados respectivamente por minuto y
en forma simultánea. Mientras que el parque de máquinas de tipo Y utiliza igual tiempo de
procesamiento por producto pero en forma secuencial, de modo que, por ejemplo, si se procesa
A al máximo admisible por minuto no se puede procesar unidad de B alguna en igual lapso. El
producto B requiere a su vez como insumo de 2 unidades de A por cada unidad de B. La materia
prima indispensable para producir A es de 2 kg. por unidad cuyo costo por kg. es de $10, en la
medida en que no se excedan las 10 toneladas de consumo por período y de $15 por el excedente
de dicho tonelaje, si lo hubiera.
La empresa considerada dispone de 10 operarios y de 3 supervisores y, en cada período, de 7
horas-máquina tipo X y de 13 horas-máquina del otro tipo. Las horas efectivas de trabajo suman
9 horas por período y por trabajador. Es posible disponer horas/operario extra a un costo de $60
la hora. El equipo de ventas puede comercializar hasta un máximo de 3000 y 8000 unidades de
A y B respectivamente por período. Cuando no se especifica la duración, el período se asume de
una duración de 9 horas.
Suponiendo que se cumplen los supuestos para la aplicación de la programación lineal:
a. Plantee en términos de programación lineal el problema de optimización que enfrenta la
Dirección del complejo industrial.
b. Plantee e interprete el problema dual si no existieran horas extras ni precios diferenciales
por insumos, ni restricciones a la comercialización.
82. Una empresa productora de pepinos envasados que dispone de 100 horas operario y dos plantas
ubicadas en distintos puntos geográficos del país debe satisfacer los pedidos diarios de tres
comerciantes en distintas zonas. Los costos de transporte de cada planta a cada cliente por paquete
de envasados se resume en la siguiente tabla:
Tarifa por paquete desde
planta hasta el comercio
Planta I Planta II
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30
Comerciante A $ 4 $ 7
Comerciante B $ 6 $ 5
Comerciante C $ 5 $ 8
La elaboración diaria de cada paquete de envasados en la planta I requiere de 1/2 hora operario,
4/3 % de utilización de la capacidad de la maquinaria para envasado y de $ 2 en concepto de
insumos varios. La planta II-cuya tecnología es menos eficiente- requiere un 50% mas de todos
los insumos por unidad de producto . El precio uniforme por paquete es de $ 13 y las cantidades
diarias requeridas por los tres clientes es respectivamente de 50 , 60 y 40 paquetes
a. Plantee el problema de optimización que se le presenta al empresario en términos de PL.
b. Si cada planta, en el planteo anterior, produjera 50 y 100 paquetes respectivamente, obtenga
un plan de transporte óptimo, independientemente de los costos de producción.
83. Asuma que debe programar la producción de una empresa agrícola en cada uno de los siguientes
cuatro periodos en los que son elegibles tres cultivos posibles- el A, el B y el C -, existe una
restricción de tierra (T), los coeficientes de insumo producto son conocidos e iguales para cada
cultivo en los distintos periodos pero diferentes entre sí (a, b y c) y los precios netos (Pat, Pbt y
Pct) son datos en todos los periodos. Existen además las siguientes restricciones de rotación: i)
no se puede cultivar el mismo producto en la tierra en que se lo cultivó en el periodo anterior y
ii) no se puede cultivar C en más de dos periodos en la misma tierra. Formule el programa lineal
a resolver.
84. Una empresa proveedora de alimentos balanceados y maximizadora de beneficios ha obtenido
una orden de compra para producir un compuesto con, por lo menos, 100 gramos de fibras, 300
gramos de proteínas y 70 gramos de minerales pero que no excedan respectivamente de 150, 400
y 90 gramos. En el mercado puede obtener los siguientes productos con las siguientes
características:
CO1TE1IDO
PRODUCTO
DE: 1 2 3
FIBRAS 20% 30% 5%
PROTEÍNAS 60% 50% 38%
MINERALES 9% 8% 8%
PRECIO POR KG $10 $15 $8
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Si el compuesto no puede pesar más de 500 gramos- o si lo hace se debe pagar una multa de 20
centavos por gramo excedente por los primeros 50 grs y de 30 centavos si excede de 50 grs-
formule el problema de optimización que enfrenta el empresario en términos de PL si debe
producir 10.000 unidades del compuesto.
85. La empresa LAVAELECTRO S.A. es fabricante de dos componentes mecánicos para una gran
compañía de lavadoras de ropa. La compañía fabricante de lavadoras hace pedidos trimestrales a
LAVAELECTRO S. A. Los requerimientos mensuales varían de un mes a otro, dedo que a venta
de lavadoras se ve afectada por cierta estacionalidad, LAVAELECTRO S. A. acaba de recibir
una orden para el siguiente trimestre, la cual se detalla a continuación.
MES
Componente Enero Febrero Marzo
X-126 A 30,000 20,000 40,000
X-112 C 10,000 20,000 30,000
Después que se procesa la orden, se envía una requisición al departamento de control de
producción, en donde elaboran una programación trimestral para ambos componentes. El
gerente de producción opina que lo mejor es fabricar en promedio 30,000 = (30,000 + 20,000 +
40,000)/3 unidades por mes del primer componente, y 20,000 = (10,000 + 20,000 + 30,000)/3
unidades por mes del segundo componente, con lo cual se tendría un nivel de producción
constante. Por otra parte, el gerente de finanzas no opina lo mismo que el de producción, dado
que con una producción constante, el nivel de inventarios para los componentes sería alto,
redundando en un alto costo financiero. Específicamente, el inventario que se generaría con una
producción constante es:
Mes Inventario Inicial Producción Ventas Inventario
Final
X-126A 0 30,000 30,000 0
1 0 30,000 20,000 10,000
2 10,000 30 ,000 40,000 0
Y-112C
1 0 20,000 10,000 10,000
2 10,000 20,000 20,000 10,000
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3 10,000 20,000 30,000 0
Por tanto, el gerente de finanzas sugiere que se produzca únicamente lo que se va a vender en
cada mes. A esta sugerencia, el gerente de producción ha contestado que sería muy costoso para
la compañía tener tiempo ocioso en la maquinaria durante ciertos meses al variar el nivel de
producción; y además, que sería aún más costoso para la empresa, disponer de diferentes niveles
de mano de obra de un mes a otro. El gerente de control de la producción ha decidido conciliar
los objetivos en conflicto de los gerentes de producción y de finanzas, para la cual ha obtenido
la siguiente información:
Mes
Capacidad en maquinaria
(horas)
Capacidad en
mano de obra
(horas)
Capacidad en
almacén
(m2)
Enero 800 1,000 300
Febrero 1,000 1,000 300
Marzo 1,500 1,000 300
Componente Horas-máquina
unidad
por Horas-hombre
por unidad
Espacio unitario
(m2)
X-126A 0.10
0.05 0.30
Y-112C 0.15
0.05 0.25
Adicionalmente, se sabe que el costo de producción es $3,000 para el primer componente y
$2,000 para el segundo; el costo de mantener una unidad en inventario se estima en 5% del costo
de producción y actualmente se tienen en inventario 10,000 unidades del primer componente y
5,000 unidades del segundo; el costo por hora-hombre contratada adicionalmente es $1,000 y
por hora-hombre no utilizada es $500.
¿Qué programa de producción debe establecer el gerente de control de producción?
86. Una persona acaba de heredar $6000 y que desea invertirlos. Al oír esta noticia dos amigos
distintos le ofrecen la oportunidad de participar como socio en dos negocios, cada uno planeado
por cada amigo. En ambos casos, la inversión significa dedicar un poco de tiempo el siguiente
verano, al igual que invertir efectivo. Con el primer amigo al convertirse en socio completo
tendría que invertir $5000 y 400 horas, y la ganancia estimada (ignorando el valor del tiempo)
sería $4500. Las cifras correspondientes a la proposición del segundo amigo son $4000 y 500
horas, con una ganancia estimada de $4500. Sin embargo, ambos amigos son flexibles y le
Identifica tus objetivos, deja que Cristo modele tu vida y alcanzarás el éxito!!!
33
permitirían entrar en el negocio con cualquier fracción de la sociedad; la participación en las
utilidades será proporcional a esa fracción.
Como de todas maneras esta persona está buscando un trabajo interesante para el verano (600
horas a lo sumo), ha decidido participar en una o ambas propuestas, con la combinación que
maximice la ganancia total estimada. Es necesario resolver el problema de obtener la mejor
combinación.
a. Formule el modelo de programación lineal para este problema.
b. Resuelva este modelo con una gráfica. ¿Cuál es la ganancia total estimada?
c. Indique por qué parece que cada una de las cuatro suposiciones de programación lineal se
satisface razonablemente en este problema. ¿Está en duda alguna de las suposiciones?
Si así es, ¿Qué puede hacerse para tomar en cuenta esto?
87. Una compañía manufacturera descontinuó la producción de cierta línea de productos no
redituable. Esto creó un exceso considerable en la capacidad de producción. La gerencia quiere
dedicar esta capacidad a uno o más de tres productos, llámense productos 1, 2 y 3. En la siguiente
tabla se resume la capacidad disponible de cada máquina que puede limitar la producción.
Tipo de máquina Tiempo disponible
(en horas-máquina por semana)
Fresadora
Torno
Rectificadora
500
350
150
El número de horas-máquina que se requiere para cada producto es:
Coeficiente de productividad (en horas-máquina por unidad)
Tipo de máquina Producto 1 Producto 2 Producto 3
Fresadora
Torno
Rectificadora
9
5 3
3
4 0
5
0 2
El departamento de ventas ha indicado que las ventas potenciales para los productos 1 y 2
exceden la tasa máxima de producción y que las ventas potenciales del producto 3 son 20
unidades por semana. La ganancia unitaria sería de $50, $20 y $25, respectivamente, para los
productos 1, 2 y 3. El objetivo es determinar cuántos productos de cada tipo debe producir la
compañía para maximizar la ganancia. Formule y resuelva el modelo de programación lineal
para este problema.
88. Un granjero cría cerdos para venta y desea determinar qué cantidades de los distintos tipos de
alimento debe dar a cada cerdo para cumplir requisitos nutricionales a un costo mínimo. En la
siguiente tabla se dan las unidades de cada clase de ingrediente nutritivo básico contenido en un
kilogramo de cada tipo de alimento, junto con los requisitos nutricionales diarios y los costos de
los alimentos:
Identifica tus objetivos, deja que Cristo modele tu vida y alcanzarás el éxito!!!
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Ingrediente nutricional Maíz (Kg) Grasas (Kg) Alfalfa
(Kg.)
Requerimiento
(mín./dia)
Carbohidratos
Proteínas
Vitaminas
90
30
10
20
80
20
40
60
60
200
180
150
Costo (US$) 42 36 30
Formule y resuelva el modelo de programación lineal.
89. La compañía UNITECH tiene tres plantas con un exceso en su capacidad de producción. Las tres
pueden fabricar un determinado producto y la gerencia ha decidido usar parte de la capacidad
adicional para esto. El producto puede hacerse en tres tamaños: grande, mediano y chico, que
darán una ganancia neta de $420, $360 y $300, respectivamente. Las plantas tienen capacidad de
mano de obra y equipo para producir 750, 900 y 450 unidades diarias cada una, sin importar el
tamaño o la combinación de tamaños de que se trate.
La cantidad de espacio disponible para almacenar material en proceso impone también una limitación
en las tasas de producción del nuevo producto. Se cuenta con 13000, 12000 y 5000 pies
cuadrados de espacio en las plantas 1, 2 y 3, para los materiales en proceso de la producción
diaria de este producto. Cada unidad grande, mediana y chica que se produce requiere 20, 15 y
12 pies cuadrados, respectivamente.
Los pronósticos de mercado indican que se pueden vender 900, 1200 y 650 unidades diarias,
correspondientes a los tamaños grandes, mediano y chico.
Con el fin de mantener una carga de trabajo uniforme entre las plantas y para conservar alguna
flexibilidad, la gerencia ha decidido que la producción adicional que se les asigne emplee el
mismo porcentaje de la capacidad adicional con que cuentan. El gerente quiere saber cuántas
unidades de cada tamaño debe producir en cada planta para maximizar la ganancia. Formule y
resuelva el modelo de programación lineal.
90. Una familia campesina es propietaria de 125 acres y tiene fondos por $40,000 para invertir. Sus
miembros pueden producir un total de 3500 horas-hombre de mano de obra durante los meses de
invierno (mediados de Mayo a mediados de Septiembre) y 4000 horas-hombre durante el verano.
En caso de que no se necesite una parte de estas horas-hombre, los jóvenes de la familia las
emplearán para trabajar en un campo vecino por $5. la hora durante los meses de invierno y por
$6 la hora en el verano.
Pueden obtener el ingreso en efectivo a partir de tres tipos de cosecha y dos tipos de animales de
granja: vacas lecheras y gallinas ponedoras. Para las cosechas no se necesita inversión, pero cada
vaca requerirá un desembolso de $1,200 y cada gallina costará $8.
Cada vaca necesita 1.5 acres, 100 horas-hombre durante el invierno y otras 50 horas-hombre en
el verano; cada una producirá un ingreso anual de $1600 por venta de leche para la familia. Las
cifras correspondientes para cada gallina son nada de terreno, 0.6 horas-hombres en el invierno,
0.3 horas-hombre en el verano y un ingreso anual de $15 por venta de huevos. Caben 3000
gallinas en el gallinero y el corral limita el ganado a un máximo de 32 vacas. Las estimaciones
de las horas-hombres y el ingreso por acre plantado con cada tipo de cosecha son:
Identifica tus objetivos, deja que Cristo modele tu vida y alcanzarás el éxito!!!
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Soya Maíz Avena
Horas-hombre en invierno
Horas-hombre en verano
Ingreso neto anual ($)
20 50
600
35 75
950
10 40
480
La familia quiere determinar cuántos acres debe sembrar con cada tipo de cosecha y cuántas
vacas y gallinas debe mantener para maximizar su ingreso neto. Por compromisos con la
comunidad local deben comprar a lo menos 5 vacas.
Formule el modelo de programación lineal para este problema.
91. Un avión de carga tiene tres compartimientos para almacenar: delantero, central y trasero. Estos
compartimientos tienen un límite de capacidad tanto en peso como en espacio. Los datos se
resumen enseguida:
Compartimiento Capacidad de peso
(toneladas)
Capacidad de espacio
(pies cúbicos)
Delantero
Central
Trasero
12 18
10
7000 9000
5000
Para mantener el avión balanceado, el peso de la carga en los respectivos compartimientos debe
ser proporcional a su capacidad.
Se tienen ofertas para los siguientes envíos en un vuelo próximo ya que se cuenta con espacio:
Carga Peso
(tonelada
s)
Volumen
(pies cúbicos/tonelada)
Ganancia
($/tonelada)
1 2
3 4
20 16
25 13
500 700
600 400
320 400
360 290
Se puede aceptar cualquier fracción de estas cargas. El objetivo es determinar qué cantidad de
cada carga debe aceptarse (si se acepta) y cómo distribuirla en los compartimientos para
maximizar la ganancia del vuelo.
Formule y resuelva el modelo de programación lineal.
Identifica tus objetivos, deja que Cristo modele tu vida y alcanzarás el éxito!!!
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92. Se va a mezclar mineral proveniente de 4 minas diferentes para fabricar bandas para un nuevo
producto de la GMC. Los análisis han demostrado que para producir una banda con las cualidades
adecuadas de tensión y los requerimientos mínimos se debe contar con 3 elementos básicos: A,
B, C. En particular, cada tonelada de mineral debe contener, por lo menos, 5 libras de elemento
básico A, por lo menos 100 libras del elemento B y al menos 30 libras del elemento C. El mineral
de cada una de las 4 minas contiene los 3 elementos básicos, pero en distintas proporciones. Sus
composiciones en libras/toneladas, y los costos de extracción de los minerales de cada mina son:
Elemento
MI1A MI1A Costos en U$/Ton
mineral
de
Básico 1 2 3 4 1 800
A 10 3 8 2 2 400
B 90 150 75 175 3 600
C 45 25 20 37 4 500
GMC desea hallar la combinación (mezcla) de costo mínimo para fabricar la banda.
93. Un proveedor debe preparar con 5 bebidas de fruta en existencias, al menos 500 galones de un
ponche que contenga por lo menos 20% de jugo de naranja, 10% de jugo de toronja y 5% de jugo
de arándano. Si los datos del inventario son los que se muestran en la tabla siguiente, indicar ¿Qué
cantidad de cada bebida deberá emplear el proveedor a fin de obtener la composición requerida a
un costo total mínimo?
Jugo de
1aran
ja
Jugo de
Toron
ja
Jugo de
Aránd
ano
Existencia
[gal]
Costo
[$/gal]
Bebida A 40 40 0 200 1,50
Bebida B 5 10 20 400 0,75
Bebida C 100 0 0 100 2,00
Bebida D 0 100 0 50 1,75
Bebida E 0 0 0 800 0,25
Identifica tus objetivos, deja que Cristo modele tu vida y alcanzarás el éxito!!!
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ota: Las tres primeras columnas indican el porcentaje de un tipo de jugo dentro de una
determinada bebida.
94. Un pequeño taller arma dispositivos mecánicos, ya sea como un producto terminado que entrega
al mercado, o como un proceso intermedio para entregar a una gran fábrica. Trabajan 3 personas
en jornadas de 40 horas semanales. Dos de estos obreros no calificados reciben $0.4 por hora, y
el tercero, un obrero calificado, recibe $0.6 por hora. Los tres están dispuestos a trabajar hasta 10
horas adicionales a la semana con un salario 50% superior durante este período. Los costos fijos
semanales son de $800. Los gastos de operación variables son de $1.0 por hora de trabajo de
obrero no calificado y $2.4 por hora de obrero calificado. Los dispositivos mecánicos sin acabar
son vendidos a la planta a $6.5 cada uno.
El taller tiene un contrato bajo el cual debe entregar 100 de estos dispositivos semanalmente a la
empresa. El dueño del taller tiene como política el producir no más de 50 dispositivos a la semana
por sobre el contrato. Los dispositivos terminados se venden a $15 cada uno sin restricciones de
mercado.
Se requieren 0.5 horas de obrero no calificado y 0.25 horas de obrero calificado para producir un
dispositivo sin acabar listo para entregar a la empresa. Uno de estos dispositivos puede
ensamblarse y dejarlo terminado agregándole 0.5 horas de trabajador calificado. Un dispositivo
acabado listo para entregar al mercado se puede producir con 0.6 horas de obrero no calificado
y 0.5 horas de obrero calificado. Plantear el modelo de programación lineal que permita
responder la consulta e indicar ¿cómo y cuánto producir para cumplir el contrato de modo de
maximizar las utilidades?
95. Un producto se puede formar de 4 unidades del componente A1 junto con 3 unidades del
componente B1, o se pueden utilizar 3 unidades del componente A2 junto con 4 unidades del
componente B2. En cualquiera de las dos opciones, usted puede suponer que la calidad del
producto es la misma. Las componentes A1 y B1 se fabrican en la Fábrica UNO y las
componentes A2 y B2 se fabrican en la Fábrica DOS. Cada componente necesita 3 materiales P,
Q y R. Sin embargo, se utilizan en diferentes proporciones. Las cantidades usadas dependen del
lugar y del tipo de componente a elaborar. Actualmente se dispone de 400 unidades de P, 300 de
Q y 500 de R. Plantear el problema de programación lineal asociado que permita determinar el
número de corridas de producción en cada fábrica, tal que maximice la producción total del
producto terminado, si se conoce la siguiente tabla:
Fábrica Unidades requeridas por
corrida
Unidades producidas por corrida
Material P Q R A1 B1 A2 B2
UNO 7 3 10 5 6 0 0
DOS 5 6 5 0 0 7 8
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96. Un inversionista tiene oportunidad de realizar las actividades A y B al principio de cada uno de
los próximos 5 años (llámense años 1 al 5). Cada dólar invertido en A al principio de cualquier
año retribuye $1.40 (una ganancia de $0.40) 2 años después (a tiempo para la reinversión
inmediata). Cada dólar invertido en B al principio de cualquier año retribuye $1.70, 3 años
después. Además, la actividad C estará disponible para inversión una sola vez en el futuro. Cada
dólar invertido en C al principio del año 2 da $1.90 al final del año 5. La actividad D estará
disponible sólo 2 veces, al inicio del año 1 y del año 5. Cada dólar invertido en D al principio de
año retribuye $1.30 al final de ese año. El inversionista tiene $60000 para iniciar y desea saber
¿cuál plan de inversión maximiza la cantidad de dinero acumulada año principio del año 6?
97. Una compañía química produce cuatro productos químicos diferentes (A, B, C y D) usando dos
procesos de reacción diferentes (1 y 2). Por cada hora que se realiza el proceso 1 éste entrega 400
lbs de A, 100 lbs de B y 100 lbs de C. El proceso 2 entrega 100 lbs de A, 100 lbs de B y 100 lbs
de D por hora. El departamento de marketing ha especificado que la producción diaria debe ser
no más de 500 lbs de B y 300 lbs de C y al menos 800 lbs de A y 100 lbs de D. Una corrida del
proceso 1 tiene un costo de US$ 500 y una corrida del proceso 2 tiene un costo de US$ 100.
Suponga que una libra da cada químico A, B, C y D se pueden vender en 1, 5, 5 y 4 dólares,
respectivamente. Formule un modelo de programación lineal y encuentre la solución óptima
(todas en caso de existir óptimos alternativos).
98. Una empresa de arriendo de vehículos desea establecer la flota de automóviles, camionetas y
jeeps para el presente año. Para tales efectos, estudia la adquisición de vehículos de los tres tipos.
Todos los vehículos comprados son depreciados y pagados en un período de 2 años, después del
cual son vendidos. La tabla siguiente muestra el precio de compra y los ingresos del período para
los tres tipos de vehículos (los ingresos para el segundo año incluyen el valor de salvamento).
Vehículo Costo [US$] Ingresos primer
año [US$]
Ingresos segundo año
[US$]
Automóvil 7000 3000 5400
Camioneta 6500 2300 5300
Jeep 5800 2100 5000
Aún cuando la empresa puede pagar el costo de los vehículos inmediatamente, puede también
decidir diferir parte del costo de los vehículos al final del primer o segundo año. El costo del
crédito es de 14% anual. La empresa debe pagar por lo menos el 20% de la inversión inicial al
recibir un vehículo y por lo menos el 50% de la inversión inicial más los intereses del crédito
deben haber sido pagado al final del primer año. La empresa dispone de US$ 2000000 (2
millones) para la compra de vehículos este año. La compañía usa una tasa de descuento del 15%
para efectos de financiamiento (es decir, US$ 100 hoy valen US$ 85 dentro de un año). Todo
excedente en cualquier año es invertido en otros rubros y, por lo tanto, no puede considerarse en
pagos futuros. Formule un modelo de programación lineal para el problema y resuelva.
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99. La Canadian Parks Commission controla dos zonas. La zona 1 consiste en 300 acres y la zona 2,
de 100 acres. Cada acre de la zona 1 se puede usar para abetos o caza, o ambos. Cada acre de la
zona 2 se puede usar para abetos o para acampar, o para ambas cosas. El capital (en cientos de
dólares), la mano de obra (días-trabajador) que se requieren para conservar un acre de cada zona
y la utilidad (en miles de dólares) por acre para cada uso posible se proporciona en la tabla. Hay
un capital disponible de 150000 dólares y 200 días - hombre. ¿Qué usos se le pueden asignar a
las zonas para maximizar la utilidad que se obtenga de las dos zonas?
TABLA
Zona Uso Capital Mano de
Obra
Utilidad
1 Abetos 3 0.1 0.2
1 Caza 3 0.2 0.4
1 Ambos 4 0.2 0.5
2 Abetos 1 0.05 0.06
2 Acampar 30 5 0.09
2 Ambos 10 1.01 1.1
100. En Chile se reabre el supermercado Almac y usted es dueño de una planta agroindustrial que
produce tomates peras y duraznos em conserva. Usted debe planificar la producción del próximo
mês de tal forma de maximizar los ingresos netos.
Los costos de materia prima son 10, 15 y 20 pesos por kilo en los tres productos, respectivamente,
si se abastece del proveedor A y 15, 20 y 10 pesos por kilo si se abastece del proveedor B.
El abastecedor A no le presenta ningún problema para venderle las cantidades que usted desee.
Sin embargo, el abastecedor B lo obliga a comprar por lo menos un kilo de peras por cada dos
kilos de duraznos que le compre y un máximo de un kilo de duraznos por cada kilo de tomates
que le compre.
La producción usted la puede vender a la cadena de supermercados Almac y/o a la cadena
Unimarc. Las demandas de Almac vienen dadas por las siguientes ecuaciones donde los precios
son por Kg de materia prima equivalente:
=2000−2
=1000−4
=850−3
A Unimarc por otro lado le gustaría que le vendiera sólo a él por lo cual le ofrece menos precio
a mayor cantidad que le envíe a Almac. Las demandas de Unimarc están dadas por las siguientes
ecuaciones:
=2500−2 −
=2000−3 −
=3000− −
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En este caso, se deberá decidir acerca de cuanto comprar de cada producto a cada abastecedor y cuánto vender de cada producto en conserva a cada supermercado. Suponga además, que ambos supermercados pagan el mismo precio por cada producto.