Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE EXTENSIÓN LATACUNGA

EVIDENCIA DEL APRENDIZAJE – CÁLCULO VECTORIAL – EXAMEN UNIDAD 1

Para resolver realice un gráfico en cada ejercicio. No necesita transcribir los enunciados.

1. Utilizando cualquier método que considere conveniente (fórmulas geométricas, integrales definidas, teo-

rema de Pappus) calcule el volumen y el área superficial total del sólido de revolución generado al rotar alrededor del eje X la siguiente región (trabaje todo en cm. y con una precisión de 2 decimales):

Esquinas de arcos circulares de 1cm de radio

(1 punto)

Solución: Área de la figura = 5272 ×+×+π = 27.14 Perímetro de la figura = 52522 ++++π = 20.28

Centroide ( )5.7,3=C

Volumen = 14.275.72 ××π = 1278.94cm3 Superficie = 28.205.72 ××π = 955.67cm2

2. Calcule las coordenadas del centroide C de la región comprendida entre la parábola vertical que pasa por los puntos ( )7,7 −−=F , ( )3,6 −−=G y ( )3,3 −−=H con la recta xy = . Trabaje en unidades del sistema internacional kg – m. y utilice una precisión de 2 decimales (la forma general de una parábola vertical es cbxaxy ++= 2 ). (1 punto)

Solución: ( ) ( ) cba +−+−=− 777 2

( ) ( ) cba +−+−=− 663 2

( ) ( ) cba +−+−=− 333 2

∴ 1−=a , 9−=b , 21−=c

Ecuación de la parábola 2192 −−−= xxy

Puntos de intersección ( )7,7 −−=F y ( )3,3 −−=H

( ) 2192 −−−= xxxf

( ) xxg =

( )[ ] ( )[ ]∫

−=b

ax dxxgxf

M2

22

ρ

[ ] [ ]∫−

−−−−−=

3

7

222 2192

dxxxxM x

ρ = ρ27.36−

( ) ( )[ ]∫ −=b

ay dxxgxfxM ρ

[ ]∫−

−−−−−=

3

7

2 219 dxxxxxM y ρ = ρ33.53−

masa ( ) ( )[ ]∫ −=b

adxxgxfm ρ

[ ]∫−

−−−−−=

3

7

2 219 dxxxxm ρ = ρ67.10

Centroide m

Mx y=_

= 67.10

33.53− = 5−

m

My x=_

= 67.10

27.36− = 4.3−

( )4.3,5 −−=C 3. Utilizando integral definida, calcule el volumen del cono truncado generado al rotar la función

( ) 2+= xxf alrededor del eje X, desde 0=x hasta 3=x . Trabaje todo en cm. (1 punto)

( )( )∫=b

adxxfV 2π

( )∫ +=3

0

22 dxxV π = 122.52cm3

4. Calcule la longitud de arco de la curva ( ) xexf x cos−= que está sobre el eje X (entre los puntos de corte

2/π−=x y 2/π=x ). Trabaje con una precisión de 2 decimales y considere las unidades cm. (1 punto)

Solución:

xey x cos−=

xexey xx cossin' −− −−=

( )∫ +=b

adxyL 2'1

( )∫−−− −−+=

2/

2/

2cossin1

π

πdxxexeL xx = 4.7cm

5. Una bombilla ornamental se diseña al girar la gráfica de la función ( ) 2/32/1

3

1xxxf −= desde 0=x hasta

3

1=x alrededor del eje X. Calcule el área superficial de la bombilla. Trabaje en metros y con una

precisión de 2 decimales. (1 punto)

Solución:

2/32/1

3

1xxy −=

2/12/1

2

3

6

1' xxy −= −

( ) ( )∫ +=b

adxyxfS 2'12π

∫

−+

−= −3/1

0

22/12/12/32/1

2

3

6

11

3

12 dxxxxxS π

=S 0.12m2 6. Dados los vectores u y v, con las coordenadas que se indican en la gráfica, obtenga la diferencia vectorial

vu − , analítica y gráficamente. (1 punto)

Realizado por: ___________ Ing. Iván Collantes V. Docente Revisado por: ____________ Ing. Jorge Sánchez M. Coordinador Latacunga 22 de mayo de 2015. Solución:

2,5−=u

3,2 −−=v

5,3−=− vu

magnitud = 83.5 dirección = –59.04o °= 96.120α

u

v