EJERCICIOS PARA ORIENTAR EL ESTUDIO DE LA UNIDAD I Y II

Fracciones Algebraicas.

Simplificación Una Fracción está reducida a sustérminos más sencillos, o totalmente simplificada, cuando no hay ningún factor común al numerador y al denominador.

a c

a *

c a bc b c

bMultiplicación El producto de dos fracciones

algebraicas es otra fracción cuyo numerador y denominador son, respectivamente, el producto de los numeradores y el producto de los denominadores de las fracciones dadas. Es decir:

a

c ad b d

bcDivisión El cociente de dos fracciones es

igual al producto del dividendo por el recíproco del divisor; esto es:

a

c

a

d ad b d b c

bcSuma y Resta Si dos fracciones tienen

denominador común, entonces su

suma o diferencia se obtiene como:

a

b

a b

m m m

Este método puede utilizarse para obtener la suma algebraica de tres o más fracciones que tengan un denominador común.

Si dos o más fracciones no tienen un denominador común, entonces, pueden ser transformadas en otras fracciones equivalentes que sí lo tengan, lo cual permite operar como en el caso anterior. Sia y b son diferentes, entonces,

a

c

ad

bc

ad bc

b d bd bd bd

Al transformar dos o más fracciones dadas en fracciones equivalentes con denominador común, conviene usar su menor denominador común; esto es el M.C.M. de los denominadores.

TABLA DE PRODUCTOS NOTABLES:

a b2 Binomio al Cuadrado a 2 2ab b 2

a b2 Binomio al cuadrado a 2 2ab b 2

a ba b Binomios Conjugados a 2 b 2

a b3 Cubo de un Binomio a3 3a 2b 3ab2 b3

a b3 Cubo de un Binomio a3 3a 2b 3ab2 b3

x ax b Producto de dos Binomio x 2 a bx ab

a ba 2 ab b 2 Diferencia de Cubos a 3 b3

a ba 2 ab b 2 Suma de Cubos a 3 b3

a b c2 Cuadrado de un Trinomio a 2 b2 c 2 2ab 2ac 2bc

CASOS DE FACTORIZACIÓN:

Factor Común 4xy 8xy 2 2x 2 y 2xy(2 4 y x)

Trinomios CuadradosPerfectos

a 2 2ab b 2 (a b) 2

a 2 2ab b 2 (a b) 2

Factorización de otrosProductos Notables

a 2 b 2 a ba ba 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 a b3

a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 a b3

a 3 b 3 a ba 2 ab b 2 a 3 b 3 a ba 2 ab b 2

Trinomio de la forma

x 2 bx c

x 2 5x 6 x 2x 3

El signo del primer paréntesis, es el signo del coeficiente de x.

El signo del segundo paréntesis es el producto del coeficiente de x con el término independiente.

Se buscan dos números tales que la suma sea -5 y el producto sea 6.

Trinomio cuadrado de Para factorizar este trinomio, se puede aplicar la

la forma ax 2 bx c conocida fórmula cuadrática:

√ ⟨De manera que la factorización del polinomio

sería:

( )( )

Ejemplo1:

Factorizar e l trinomio cuadrado 3x2+ 4x+1,

Solución:

Se a a=3, b=4 y c=1

√ ( )( ) √ √⟨( )Por lo tanto x1= -1/3 y x2=-1, e ntonces la factorización de l polinomio indicado e s:

( ) ( )

2 y 3

EJEMPLO 2:

Factorizar comple tame nte la e xpre sión

x 4 81y 4 .

Solución:

x 4 81y 4 x 2 2 9 y 2

2

Utilizando Dife re ncia de cuadrados

x 2 9 y 2 x 2 9

y 2 Utilizando nue vame nte dife re ncia de cuadrados

x 3yx 3yx 2 9 y 2

EJEMPLO 3:

Simplifique la e xpre sión:

20x 4 14x 3 2x 2

10x 4 17 x 3 3x 2

Solución: Prime ro se factoriza comple tamente e l nume rador y e l de nominador, lue go se cance lan los factore s comune s e ntre e llos:

20 x 4 14 x 3 2 x 2 x 2 20x 2 14x

2x 2 5x 14x 2

4 x 2 1

10x 4 17 x 3 3x 2

x 2 10x 2 17 x 3

x 2 5x 12x 3

2x 3

Si x 0 y x , e sto porque hace n e l de nominador ce ro.5

Este término se obtuvo aplicando factor común.

Estos dos trinomios cuadrados se factorizan aplicando la fórmula cuadrática expuesta en el ejemplo 1

Cuando ya se tiene la expresión completamente factorizada, se cancelan los factores comunes.