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Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L 1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina para L 1 y de 10 minutos para L 2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L 1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.
1Elección de las incógnitas.x = nº de lámparas L1
y = nº de lámparas L2
2Función objetivof(x, y) = 15x + 10y3RestriccionesPasamos los tiempos a horas20 min = 1/3 h30 min = 1/2 h10 min = 1/6 hPara escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una
tabla:
L1
L2
Tiempo
Manual
1/3
1/2
100
Máquina
1/3
1/6
80
1/3x + 1/2y ≤ 1001/3x + 1/6y ≤ 80Como el número de lámparas son números naturales,
tendremos dos restricciones más:x ≥ 0y ≥ 04 Hallar el conjunto de soluciones factiblesTenemos que representar gráficamente las restricciones.Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer
cuadrante.Representamos las rectas, a partir de sus puntos de
corte con los ejes.Resolvemos gráficamente la inecuación: 1/3 x + 1/2 y ≤
100; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).
1/3·0 + 1/2·0 ≤ 1001/3·0 + 1/6·0 ≤ 80La zona de intersección de las soluciones de las
inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. éstos son las soluciones a los sistemas:
1/3x + 1/2y = 100; x = 0 (0, 200)1/3x + 1/6y = 80; y = 0(240, 0) 1/3x + 1/2y = 100; 1/3x + 1/6y = 80(210, 60)
6 Calcular el valor de la función objetivoEn la función objetivo sustituimos cada uno de los
vértices.f(x, y) = 15x + 10yf(0, 200) = 15·0 + 10·200 = 2 000 €f(240, 0 ) = 15·240 + 10·0 = 3 600 €f(210, 60) = 15·210 + 10·60 = 3 750 € MáximoLa solución óptima es fabricar 210 del modelo L1 y 60
del modelo L1 para obtener un beneficio de 3 750 € .
Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de
material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600
cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta,
empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque
pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo,
pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de
cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos
paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el
máximo beneficio?
1Elección de las incógnitas.
x = P1
y = P2
2Función objetivo
f(x, y) = 6.5x + 7y
3Restricciones
P
1
P
2
Dis
po
nib
les
Cu
ad
er
no
s
2360
0
Ca
rp
et
as
1150
0
Bol
ígr
af
os
2140
0
2x + 3y ≤ 600
x + y ≤ 500
2x + y ≤ 400
x ≥ 0
y ≥ 0
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de
las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
f(x,y)= 6.5 · 200 + 7 · 0 = 1300 €
f(x,y)= 6.5 · 0 + 7 · 200 = 1 400 €
f(x,y)= 6.5 · 150 + 7 · 100 = 1 675 € Máximo
La solución óptima son 150 P1 y 100 P2 con la que se
obtienen 1 675 €
3. En una granja de pollos se da una dieta, para
engordar, con una composición mínima de 15 unidades de
una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado
sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con
una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo,
Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El
precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué
cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las
necesidades con un coste mínimo?
1Elección de las incógnitas.
x = X
y = Y
2Función objetivo
f(x,y) = 10x + 30y
3Restricciones
Mí
ni
m
o
A 15
B 15
x + 5y ≥ 15
5x + y ≥ 15
x ≥ 0
y ≥ 0
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de
las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
f(0, 15) = 10 · 0 + 30 · 15 = 450
f(15, 0) = 10 · 15 + 30 · 0 = 150
f(5/2, 5/2) = 10 · 5/2 + 30 · 5/2 = 100 Mínimo
El coste mínimo son 100 € para X = 5/2 e Y = 5/2.
4. Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para
elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40
g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas
grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las
grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2
€ y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar
de cada clase para que el beneficio sea máximo?
1Elección de las incógnitas.
x = Pastillas grandes
y = Pastillas pequeñas
2Función objetivo
f(x, y) = 2x + y
3Restricciones
40x + 30y ≤ 600
x ≥ 3
y ≥ 2x
x ≥ 0
y ≥ 0
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de
las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
f(x, y)= 2 · 3 + 16 = 22 €
f(x, y)= 2 · 3 + 6 = 12 €
f(x, y)= 2 · 6 + 12 = 24 € Máximo
El máximo beneficio es de 24 €, y se obtiene
fabricando 6 pastillas grandes y 12 pequeñas .
5. Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas
y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan,
dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una
camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B
consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se
vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la
oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender
de cada tipo para maximizar la ganancia?
1Elección de las incógnitas.
x = nº de lotes de A
y = nº de lotes de B
2Función objetivo
f(x, y) = 30x + 50y
3Restricciones
M
í
n
i
m
o
Ca
mi
sa
s
2
0
0
Pa
nt
al
on
es
1
0
0
x + 3y ≤ 200
x + y ≤ 100
x ≥ 20
y ≥ 10
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de
las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 10 = 1100 €
f(x, y) = 30 · 90 + 50 · 10 = 3200 €
f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 60 = 3600 €
f(x, y) = 30 · 50 + 50 · 50 = 4000 € Máximo
Con 50 lotes de cada tipo se obtiene una ganancia
máxima de 4000 €.