Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Estudios Superiores Acatlán

Licenciatura en Actuaría Análisis de Regresión

Semestre 2016-1

Problem Set 6

Modelo de Mínimos Cuadrados Restringidos, Generalizados y Procesos Autoregresivos

Los siguientes ejercicios representan un complemento práctico del curso de Análisis de Regresión, si

bien no forman parte de la evaluación por lo que no son obligatorios si se recomienda ampliamente

su resolución.

Modelo de Mínimos Cuadrados Restringidos

Sea X una matriz real de numeros fijos de dimensión nxk tal que Y=Xb+U, donde:

𝑈~𝑁𝑛(0, 𝜎𝑈2𝕝𝑛)

𝑏 ∈ ℝ𝑘

𝜎𝑈2 ∈ ℝ

𝑅𝑏 = 𝑟

Pruebe que:

1. �̂�𝑀𝐶𝑅 = �̂�𝑀𝐶𝑂 − (𝑋′𝑋)−1𝑅′[𝑅(𝑋′𝑋)−1𝑅′]−1(𝑅�̂�𝑀𝐶𝑂 − 𝑟)

2. �̂�𝑀𝐶𝑅 es un estimador condicionalmente insesgado de b

3. �̂�𝑀𝐶𝑅 es un estimador incondicionalmente insesgado de b

4. (�̂�𝑀𝐶𝑅

′ �̂�𝑀𝐶𝑅−�̂�𝑀𝐶𝑂′ �̂�𝑀𝐶𝑂) 𝑚⁄

(�̂�𝑀𝐶𝑂′ �̂�𝑀𝐶𝑂) (𝑛−𝑘)⁄

~𝐹𝑚,𝑛−𝑘

Modelo de Mínimos Cuadrados Generalizados Sea X una matriz real de numeros fijos de dimensión nxk tal que Y=Xb+U, donde:

𝑈~𝑁𝑛(0, 𝜎𝑈2𝑉𝑛(𝑋))

𝑏 ∈ ℝ𝑘

𝜎𝑈2 ∈ ℝ

𝑉𝑛(𝑋) es una matriz simétrica, positiva definida, invertible y conocida

𝐶(𝑋) una matriz invertible tal que 𝑉𝑛−1(𝑋) = 𝐶′(𝑋)𝐶(𝑋)

𝐶(𝑋)𝑌 = 𝐶(𝑋)𝑋𝑏 + 𝐶(𝑋)𝑈 = �̃� = �̃�𝑏 + �̃�

Pruebe que:

5. �̃�~𝑁𝑛(0, 𝜎𝑈2𝕝𝑛)

6. �̂�𝑀𝐶𝐺 es un estimador condicionalmente insesgado de b

7. �̂�𝑀𝐶𝐺 es un estimador incondicionalmente insesgado de b

8. 𝑉𝑎𝑟(�̂�𝑀𝐶𝐺|𝑋) = 𝜎𝑈2(𝑋′𝑉𝑛

−1(𝑋)𝑋)−1

9. �̂�𝑀𝐶𝐺|𝑋~𝑁𝑛(𝑏, 𝜎𝑈2(𝑋′𝑉𝑛

−1(𝑋)𝑋)−1)

10. �̂�𝑈,𝑀𝐶𝐺2 = �̂�𝑀𝐶𝑂

′ 𝑉𝑛−1(𝑋)�̂�𝑀𝐶𝑂

11. �̂�𝑀𝐶𝐺|𝑋 y �̂�𝑈,𝑀𝐶𝐺2 |𝑋 son independientes

Procesos Autoregresivos

Sea el proceso {𝑈𝑡}𝑡∈ℤ definido como 𝑈𝑡 = 𝜌𝑈𝑡−1 + 𝜀𝑡 donde {𝜀𝑡}𝑡∈ℤ es un proceso de ruido blanco

débil. Pruebe que:

12. 𝐶𝑜𝑣(𝑈𝑠, 𝑈𝑡) =𝜎𝜀2

1−𝜌2𝜌|𝑠−𝑡|

13. 𝑉𝑎𝑟(𝑈𝑡) =𝜎𝜀2

1−𝜌2

14. Generar una trayectoria {𝑢𝑡}𝑡=1200 de un proceso AR(1) que satisface la ecuación en

diferencias ut=0.9ut-1+εt siguiendo el procedimiento siguiente:

a. Generar una trayectoria {𝜀𝑡}𝑡=−500200 i.i.d. con εt~N(0,0.04)

b. Generar los datos {𝑢𝑡}𝑡=1200 así:

i. u-500=0

ii. ut=0.9ut-1+εt; t=-499,…,-1,0,1,…,200

c. Graficar la trayectoria generada por {𝑢𝑡}𝑡=1200

d. Generar y graficar {(𝑦𝑖𝑥𝑖)}

𝑖=1

200

donde:

i. xi=i/100; i=1,2,…,200

ii. yi=1+0.8xi+ui; i=1,2,…,200 con la {𝑢𝑡}𝑡=1200 que se generó en 14.b

15. Con los datos obtenidos en 14.d estime por mínimos cuadrados generalizados el

modelo de regresión lineal Y=Xb+U, (tome en cuenta que por construcción los

errores no son homoscedasticos)