Ejercicios Resueltos Binomial y Normal

7/25/2019 Ejercicios Resueltos Binomial y Normal

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5. Variables Aleatorias Conocidas Como se aprecia, el soporte de esta variable aleatoria es

{ }1,0=XD . A continuacin se muestra la tabla deprobabilidades:6.1. Variable aleatoria de Bernoulli.

Considere un experimento aleatorio con dos resultados

posibles: xito (E) y fracaso (F), es decir, ={xito, fracaso}.Suponga que pEP =)( y pFP = 1)( , con 10


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Para p=0,35, graficamos distintas funciones de

probabilidad cambiando el nmero de experimentos:con 2

1

Cara)(xito)( ==PP . Sea

entoncesX ~ Bernoulli

=

carasalesi1,

sellosalesi,0

X

2

1

Considere lanzar dos dados honestos en formaindependiente. Sea el xito = obtener suma siete y el

fracaso = obtener suma distinta de siete. La probabilidad

de que ocurra el xito, en este ejemplo, es

36)7"sumaObtener("xito)( ==PP

=sumasi1,

sumasi,0X

6. Se define la

variable aleatoria , entonces7esno

7es

36

6Bernoulli~X .

La notacin a usar es X~Bin (n,p), y se lee X tienedistribucin Binomial de parmetrosnyp .

6.2. Variable Aleatoria Binomial.Si X~Bin (n,p), entonces su esperanza y varianza son

pnXE =)( y )1()(Var ppnX = .Suponga que se realizan nrepeticiones independientes, bajolas mismas condiciones ambientales, de un experimento de

Bernoulli, con probabilidad de xito p. Sea X la variablealeatoria que representa el nmero de xitos obtenidos en la

n repeticiones. Se dice que X sigue un distribucinBinomial de parmetros ny p, con funcin de cuanta dada

por:

n

=

==

e.o.c.,0

...,2,1,0,)1()(

)(nxparapp

xxXP

xnx

Obs. Una variable aleatoria Bin(n,p) se obtiene desumar n variables aleatorias independientes

Bernoulli(p), es decir, si X1, X2, X3, . . . , Xnson variables aleatorias independientes condistribucin Bernoulli(p), entonces

n

~ Bin(n,p).=

=i

iXX

1

Departamento De Matemtica y Estadstica 65


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Ejemplos:

993.0

667.0272.0053.0

)20()19()18(

02.098.0

20

)18(

20

18

)20(

=

++=

=+=+==

==

=

XPXPXP

xXPp x

xx

La probabilidad de que una persona en una tienda

falte un da de la semana es 0.01; si hay contratadas10 personas, cul es la probabilidad de que en un

da falten 2 personas?.

Sea X=el n de personas que faltan en un da a la

semana. AsX~Bin(10; 0.01), por lo tantoSea Y=N de cajas pasan el control de calidad,

entonces Y~Bin(80;0.993) con 0.993 la probabilidad

de que una caja pase el control de calidad.Finalmente la probabilidad de que el embarque sea

aceptado es:)210(2 )01.01(01.0

2

10)2(

==XP

82 )99.0(01.0!2!

!

8

10= = 0,0042

yy

y yYP

=

= 80

80

75

)993.01(993.080

)75( =0,98

Un embarque de 80 cajas con 20 artculoselectrnicos en cada una de ellas es aceptado por unproveedor si por lo menos 75 cajas pasan el controlde calidad, el proveedor considera que una caja pasa

el control de calidad si de los 20 artculos que posee

resultan por lo menos 18 en buen estado. Si laprobabilidad de que un artculo este en buen estado

es de 0.98, determine la probabilidad de que el

embarque sea aceptado por el proveedor.

Sea X=N de artculos en buen estado en una caja,entonces X~Bin(20; 0.98) y por lo tanto si p es la

probabilidad de que una caja pase el control de

calidad, se tiene:



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6.7.Variable Aleatoria Normal

Sea Xuna variable aleatoria continua. Se dir que Xsigue

una distribucin Normal o Gaussiana de parmetros y 2,si su funcin de densidad es dada por:

2

=

xparaexf

x

X

2

)(

2

1

2

1)(

La grfica de esta funcin de densidad es mostrada a

continuacin:

La grfica anterior tambin recibe el nombre de campana de

Gauss.

La notacin a usar es X~N(, 2) la que se lee X tiene

distribucin Normal con media y varianza 2

. As=)E(X y 2)(Var =X .

Toda distribucin normal se distingue por su media y su

desviacin estndar . El punto ms alto de la curva normales la media, que tambin es la mediana y la moda de la

distribucin. La distribucin normal es simtrica en torno a

la media .

Las probabilidades acumuladas de una variable aleatorianormal se determinan con las reas bajo la curva.

Lamentablemente estas reas bajo la curva no se pueden

obtener a mano.

Se han tabulado las probabilidades el caso en que es cero

y 2es uno, es decir, N(0,1), llamada Distribucin NormalEstndar y las tablas entregan

==z

z

dzezZPz2

2

1

2

1)()(

Geomtricamente, mostramos el clculo de probabilidades

en la distribucin Normal

a) )2()5()52( = ZPZPZP 0228.0)2(1 == ZP ,

puesto que )5( ZP =1



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b) P(-2 Z 2)= P(Z 2)- P(Z -2) Ejemplos:= 0.9972 0.0228 = 0.9544

Los resultados de un examen de admisin en uncolegio determinado, tienen una distribucin normal

con = 75 y = 10. Cul es la probabilidad deque el resultado de un estudiante est entre 80 y 90?

Sea Y =resultado del examen de admisin de un

estudiante.

Por los supuestos Y~ N(75,100) y lo que queremos

es )9080( YP lo que grficamente correspondea:

Para el caso en que la media no es cero o la varianza no

es uno, ocupamos el siguiente teorema

SeaX~N(,2), entonces

=

XZ , tiene distribucin

N(0,1), es decir, a partir de la distribucin normalestndar podemos determinar las probabilidades a

cualquier distribucin Normal, para ello necesitamosconocer su media y la raz de la varianza o desviacinestndar . Este proceso recibe el nombre de

estandarizacin.



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Estandarizando se tiene: )5.15.0()9080( = ZPYP

a) Probabilidad de que en un da, esta temperaturano supere un grado bajo cero

Tenemos que, Z~N(0,1), es decir, es cero y 2es unoy por lo tanto P(Z -1) = )1( =0.1587

b) Probabilidad de que en un da, esta temperatura

sea superior a 2.5 grados.

P(Z > 2.5)) = 1- P(Z 2,5)) =1- )5.2( =1-0.9938=0.0062

c) Probabilidad de que en un da, esta temperatura

este entre un grado bajo cero y un grado sobre ceroRealizando el proceso de estandarizacin paso a paso:

10

7590

10

75

10

7580

)9080(

=

YPYP

P(-1

Z

1)=P(Z

1)-P(Z

-1))1( )1( = - =0.8413-0.1587=0.6826

10

7590

10

7580

= ZP

5.0(

2

3

2

1 =

= ZPZP )5.1

d) Determine la Temperatura promedio que no

superara el 30% de los das.

P(Zz) = 0.30 (se mira la tabla al revs)

As z=-0.52 equivale a 0.52 grados bajo cero

Se ha establecido que el porcentaje de retencin deun comercial en la poblacin infantil tiene una

distribucin normal con media 70% y desviacin estndarde 10%

2417.00668.03085.0 ==

Sea Z la temperatura promedio de cierta Regin,estudios recientes, muestran que Z es una variable aleatoria

normal de media Cero y varianza uno, determine



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a) Un comercial se clasifica como exitoso si

obtiene una retencin superior al 80% de lapoblacin infantil Qu probabilidad tiene un

comercial de clasificarse como exitoso?

Tenemos que, X~N(70,102), es decir, es 70 y 2 es

100

P(X > 80) = 1- P(X

80) = 1- )10

7080

(

X

P

= =1-)1(1 ZP )1( =1-0.8415=0.1587

b) Si la poblacin infantil en un determinado lugar

consta de 2500 nios Cuntos de ellos espera

encontrar con una retencin entre el 60% y el

80%?

P(60 X 80) = P(X 80)-P(X 60)

7080 X X = )

10(

P - )

10

7060(

P

= )1( ZP - )1( ZP

( = - =0.8413-0.1587=0.6826)1( )1

Lo que equivale a un % 68.26, que en 2500 nios

corresponden a 1707 nios

c) Si el 2.5% de los nios se clasifica como

distrado por su baja capacidad de retensin

Cul es el porcentaje de retencin lmite para

que un nio sea clasificado como distrado?

P(Xx)= )10

70(

xXP

= 0.025

As10

70x=-1.96, despejandox= 50.4

Entonces, si un nio tiene un % de retencin inferior a

un 50,4%, se dice que el nio es distrado.


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