Ejercicios Resueltos Calculo III

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  • 8/12/2019 Ejercicios Resueltos Calculo III

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    Ejercicios Resueltos de Clculo III.

    1.- Considere y .

    a) Demuestre que las rectas dadas se cortan. Encuentre el punto de interseccin.Solucin:

    b) Encuentre una ecuacin del plano que contiene a esas rectas.Solucin:

    Como las rectas de cortan resulta que determinan un plano. Consideremos el punto de

    interseccin que pertenecer al plano buscado. Necesitamos el vector normal al plano.

    Lo podemos hallar con:

    2.- Demuestre, usando el producto triple escalar, que los cuatro puntos

    , son coplanarios.

    Solucin:

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    3.- Demuestre que la distancia entre planos paralelos y

    viene dada por la frmula:

    Solucin:

    La distancia entre ambos planos y vendr dada por la distancia de a , donde:

    4.- Considere el plano dado por y la recta de ecuacin

    . Determine el valor de tal que el plano y la recta sean paralelas.

    Solucin:

    5.- Determine un punto que equidista (es decir, que se encuentra a la misma distancia) del

    plano y el punto .

    Solucin:

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    6.- Calcule el volumen de la regin limitada por el cono y el paraboloide

    .

    Solucin:

    7.- Determine el valor de , si y .

    Solucin:

    8.-Obtenga el trabajo realizado por la fuerza , para mover una

    partcula desde el punto al a lo largo de la curva .

    Solucin:

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    9.- Calcule la integral de lnea , siendo el contorno de la

    regin rectangular cerrada, con vrtices en los puntos y .

    Solucin:

    10.- Demuestre que:

    Solucin:

    11.- Encuentre un vector perpendicular al plano determinado por y

    . Encuentre el rea del triangulo .

    Solucin:

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    12.- Considere los planos . Encuentre las

    ecuaciones paramtricas, si existen, para la interseccin.

    Solucin:

    13.- Sean y , las ecuaciones de una recta y un

    plano respectivamente.

    a) EncontrarSolucin:

    b) Determinar la ecuacin de la recta contenida en , que pasa por , y esperpendicular a .

    Solucin:

    14.- Encontrar sabiendo que: y .

    Solucin:

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    15.- Dados los planos Encuentre la ecuacin

    vectorial de la recta determinada por la interseccin de los planos y

    Solucin:

    16.- Dada la curva y el punto . Hallar la ecuacin de la

    recta tangente en dicho punto.

    Solucin:

    17.- Dados los vectores . Encuentre el volumen del

    paraleleppedo con lados adyacentes .

    Solucin:

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    Derivando implcitamente respecta a :

    Derivando implcitamente respecto a x de nuevo:

    Cuando e :

    As, reemplazando en la frmula:

    22.- La masa de un cuerpo laminar se describe por , donde se

    muestra en la figura:

    a) Usando el cambio de variables: , graficar el dominio del planoSolucin:

    Haciendo el cambio de variable, tenemos:

    Observe que la transformacin dada es la inversa de .

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    b) Aplicando el teorema del cambio de variables, calcular usando las variablesSolucin:

    23.- Encontrar el volumen del slido limitado por:

    Solucin:

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    24.- Sea . Demuestre que es independiente de

    la trayectoria que pasa por dos puntos dados.

    Solucin:

    25.- Use coordenadas cilndricas para hallar el volumen de la regin encima del plano y el

    cilindro .

    Solucin:

    26.- El rea de una hoja es de . Se desea escribir un texto, el cul debe estar centrado

    con mrgenes de a ambos lados y arriba y abajo. Determine cules son el largo y

    el ancho que maximizan el rea del texto.

    Solucin:

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    27.- Sea . Calcule .

    Solucin:

    28.- Determine el volumen del slido acotado por las curvas , ,

    .

    Solucin:

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    29.- Si , donde ; y tiene derivadas parciales continuas de segundo

    orden, pruebe que:

    Solucin:

    30.- Calcule el mximo de la funcin sobre la curva de interseccin

    del plano con el cilindro .

    Solucin:

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    As,

    31.- Cambie el orden de integracin y calcule la siguiente integral:

    Solucin:

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    32.- Escriba en coordenadas rectangulares, cilndricas, esfricas la integral:

    Solucin:

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    33.- Encuentre el valor de la derivada direccional de la funcin en el

    punto en la direccin que va desde hasta el punto .

    Solucin:

    34.- Si , determine el valor de la expresin:

    Solucin:

    35.- Calcule el ngulo entre los gradientes de las funciones y

    en el punto .

    Solucin:

    36.- Determine la ecuacin del plano tangente a la superficie en el

    punto .

    Solucin:

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    37.- Encuentre los valores extremos de la funcin si est en la elipse

    .

    Solucin:

    38.- Use integrales triples para calcular el volumen del slido que est dentro del cilindro

    y en el elipsoide .

    Solucin:

    39.- Considere la funcin . Determine el o los mximos y

    mnimos si es que existen de la funcin dada.

    Solucin:

    Puntos crticos:

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    Evaluando:

    40.- Verifique el Teorema de Green para , donde es la

    frontera, tomada con orientacin positiva, de la regin acotada por las grficas y

    .

    Solucin:

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    41.- La ecuacin de estado de un Gas Ideal est dada por , donde y son

    constantes. Considere el volumen como una funcin de la tempratura y la presin .

    a) CalculeSolucin:

    b) Demuestre queSolucin:

    42.- Sea . Calcule la integral usando el

    cambio de variable .

    Solucin:

    As, el cambio de variable transformar la regin del plano , encerrada por las rectas

    dadas en la regin del plano encerrada por .

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    43.- Hallar el volumen de la regin slida formada por la interseccin de la esfera

    con el cilindro .

    Solucin:

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    44.- Demuestre que:

    Solucin:

    45.- Calcular el rea de la superficie dada por:

    Solucin:

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    46.- Si y entonces:

    Solucin:

    47.- Hallar la mxima distancia al origen de la recta obtenida al interceptar los planos

    .

    Solucin:

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    48.- Determine el volumen del slido limitado por las curvas

    .

    Solucin:

    49.- Encuentre el volumen de la regin limitada por el plano y el paraboloide

    .

    Solucin:

    50.- Calcular el rea comprendida entre las curvas

    Solucin:

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    51.- Sea , donde y . Determinar

    el valor de la integral.

    Solucin:

    52.- Determinar el rea de la superficie de la esfera interior a

    .

    Solucin:

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    53.- Sea . Encuentre el plano tangente, si existe, a la

    superficie en el punto .

    Solucin:

    Como y son funciones diferenciables en , entonces es

    diferenciable en (sus derivadas parciales existen y son continuas).

    Luego es diferenciable en y:

    As, el plano tangente a en est dado por:

    54.- Encontrar la derivada direccional de la divergencia de en el punto en la

    direccin de la normal exterior a la esfera , donde

    .

    Solucin:

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    55.- Permutar el orden de integracin de:

    Solucin:

    56.- Sea un campo escalar y un campo vectorial dado por

    . Suponga que existen las derivadas parciales y que stas son

    continuas. Demuestre que:

    Solucin:

    57.- Use coordenadas polares para combinar la suma dentro de una integral doble y

    resuelva:

    Solucin:

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    58.- Utilice el Teorema de Green para evaluar la integral de lnea a lo largo de la curva

    orientada de manera positiva:

    Donde consiste del segmento de recta que va desde a y de la curva

    con .

    Solucin:

    Se tiene, usando el Teorema de Green en el plano:

    Aqu:

    Se tiene:

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    59.- Determine el volumen del slido que est encima del cono y debajo de la esfera

    .

    Solucin:

    60.- Demuestre que la integral de lnea dada es independiente de la trayectoria y evale la

    integral.

    Donde es cualquier trayectoria que va desde hasta .

    Solucin:

    Es decir, existe con . As, la integral es independiente de la trayectoria se tiene:

    Integrando con respecto a se tiene:

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    Se tiene:

    61.- Dadas las funciones . Demostrar que las ecuaciones diferenciales

    y se pueden escribir en coordenadas polares como:

    Solucin:

    62.- Calcular la derivada direccional de en el en la mxima direccin.

    Solucin:

    63.- Una caja rectangular descansa sobre el plano con un vrtice en el origen. Determinarel volumen mximo de la caja si su vrtice opuesto al origen pertenece al plano

    .

    Solucin:

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    64.- Sea

    a) Demuestre que es un campo conservativoSolucin:

    b) Encuentran el potencial escalarSolucin:

    c) Calcule donde est dada por:

    Solucin:

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    65.- Calcule , donde es la frontera de la regin situada entre las

    grficas de y .

    Solucin:

    66.- Un alambre de longitud se divide en dos trozos de modo que con el primer trozo se

    construye un cuadro y con el segundo una circunferencia. Determine la longitud de cada

    trozo de modo que la suma de las reas de las figuras geomtricas sea mnima.

    Solucin:

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    67.- Sea . Determine el valor de , si existen, de modo que:

    Solucin:

    68.- Utilice el Teorema de Green para calcular la integral , donde

    es la frontera de la regin situada en el interior del rectngulo limitado por

    y en el exterior del cuadrado limitado por .

    Solucin:

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    69.- Calcular para , y la regin slida acotada por

    los planos coordenados y el plano .

    Solucin:

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    70.- Calcular para y la porcin del

    primer octante del plano .

    Solucin:

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    73.- Determine el volumen del slido cuya base es la regin del plano que limitan la

    parbola y la recta , mientras que su tejado es el plano .

    Solucin:

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    74.- Al expresar el volumen situado por debajo del plano en cierta regin del

    plano se obtuvo la siguiente suma de integrales iteradas:

    Dibuje la regin y exprese mediante una integral iterada, en la cual se haya invertido el

    orden de integracin.

    Solucin:

    75.- Calcular , siendo y la superficie

    del cono encima del plano .

    Solucin:

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    76.- Calcular la integral , donde pertenece a

    .

    Solucin:

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    77.- Determinar el exponente constante , de modo que:

    Sea independiente de la trayectoria, si la funcin est definida en una regin simple

    convexa.

    Solucin:

    Para que la integral sea independiente de su trayectoria es necesario que:

    78.- Calcular , en que y es la frontera de la

    regin .

    Solucin:

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    Por teorema de la divergencia:

    Pero:

    Aplicando coordenadas esfricas:

    79.- Sea en que y , demuestre que:

    Solucin:

    Por teorema de Stokes:

    Pero:

    Anlogamente:

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    80.- Dada la funcinbyaxeyxuz

    += ),( y 02

    =

    yx

    u, halle los valores de la constante a y b,

    tales que 02

    =+

    zy

    z

    x

    z

    yx

    z.

    Solucin:

    byaxbyaxbyaxbyax

    byaxbyax

    byaxbyax

    ey

    uae

    yx

    uex

    ubeyxabu

    yx

    z

    ey

    ueyxub

    y

    z

    ex

    ueyxua

    x

    z

    ++++

    ++

    ++

    +

    +

    +=

    +=

    +=

    22

    ),(

    ),(*

    ),(*

    Por lo tanto

    ]

    +

    ++=

    +

    +

    +=

    +

    +

    +=

    +

    +

    +

    ++++++++

    y

    ua

    x

    ububaabe

    uy

    ubux

    uauy

    uax

    ubabue

    ueey

    ubuee

    x

    uauee

    y

    uae

    x

    ubabue

    zy

    z

    x

    z

    yx

    z

    byax

    byax

    byaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyax

    )1()1()1(

    )(

    2

    Por lo tanto,

    01)1()1()1)(1(1

    1

    1

    =+=+

    =

    =

    baab

    b

    a

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    81.- Determine los valores extremos de la funcin xzyzxyzyxf ++=),,( sobre la esfera

    .3222 =++ zyx

    Solucin:

    Sea )3( 222 +++++= zyxxzyzxyF

    (i.) 02 =++=

    xzy

    x

    F

    (ii.) 02 =++=

    yzx

    y

    F

    (iii.) 02 =++=

    zxy

    z

    F

    (iv.) 03222 =++=

    zyx

    F

    De (i.) (ii.):

    yx

    Sixy

    yxxy

    =

    =

    =+

    021;0)21()21(

    022

    De (i.)-(iii.)

    xz

    Sixz

    zxxz

    =

    =

    =+

    021,0)21()21(

    022

    Reemplazando en (iv.): 03222 =++ xxx

    1

    1

    1

    =

    =

    =

    z

    y

    x

    Max: 3)1,1,1( =F

    Min: 2)1,1,1( =F

  • 8/12/2019 Ejercicios Resueltos Calculo III

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    83.- Calcule la integral S

    dSnF

    * con )2,,( zyxF=

    y Ses la superficie externa del slido

    acotado por .0122 ==+ zyzyx

    Solucin:

    ==

    =++=

    =

    S R R

    dvdvFdsnF

    zyxzyx

    F

    4

    4211)2,,(),,(

    =

    =

    =

    =

    =

    = =

    =

    24

    1

    2

    18

    )1()2(4

    4

    1

    0

    2

    2

    0

    1

    0

    1

    0

    2

    d

    dddzz

    84.- Calcule la integral de lnea +C

    xyxydyxedxye , donde Ces la curva formada por los

    siguientes segmentos de rectas:

    Punto Inicial )1,2()2,1()2,1()1,2()1,2()2,1()2,1()1,2(

    Punto Final

    Solucin:

    Como el campo asociado al diferencial es conservador, ya que

    ),()( xyxyxyxy yey

    xyeexex

    =+=

    se tiene que la integral de lnea es independiente de la

    trayectoria, y por lo tanto:

  • 8/12/2019 Ejercicios Resueltos Calculo III

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    2

    2

    1

    1

    2 12

    e

    edte

    dyxedxyedyxedxye

    t

    xy

    C

    xy

    C

    xyxy

    +==

    +=+

    +

    Donde 11),,2()(:* = tttC

    85.- Qu puede decir de

    +*

    ,CC

    xyxydyxedxye donde .11,2)(:* += tjtitrC

    Solucin:

    La integral de lnea es nula, ya que

    0)(

    * rConservadoCampoDdeGreenTeorema

    xy

    CC

    xydAy

    P

    xdyxedxye =

    =+

    Donde D es la regin plana limitada por la curva cerrada *CC yxyxy xeyxQyeyxP == ),(,),(

    86.- Calcular C dsnF

    donde kxyjxyixzF

    32 ++= y Ces la frontera de la parte del

    plano 33 =++ zyx que est en el primer octante.

    Solucin:

    Por Teorema de Stokes, se tiene que:

    dARy

    gQ

    x

    gPdsnFrotdrF

    C S D

    +

    ==

    Donde ),(33: yxgyxzS == orientada hacia arriba limitada por la curva C en el primer

    octante. D es la proyeccin de S en el plano xy

    RQP

    kyjyxixFrot

    2)3(3 ++=

  • 8/12/2019 Ejercicios Resueltos Calculo III

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    )92339(2

    1)9

    3

    69

    2

    78(

    2

    1

    )96978(2

    1)91896060(

    2

    1

    )2

    )9189(3030()2

    )33()33(10(

    )2

    10()10(

    )10(

    3232

    1

    0

    1

    0

    222

    1

    0

    221

    0

    2

    1

    0

    21

    0

    33

    0

    xxxxxx

    dxxxdxxxxx

    dxxxxxdxxxx

    yxydxdyyx

    dAyxdrF

    x

    C D

    ==

    =+=

    +==

    ==

    =

    2

    7)92339(

    2

    1==

    87.- Determinar el valor de la integral , donde es la regin limitada por el

    cilindro y los planos , arriba del plano .

    Solucin:

    88.- Evaluar, usando algn tipo de coordenadas, la integral:

    Solucin:

  • 8/12/2019 Ejercicios Resueltos Calculo III

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    89.- Dado el campo vectorial . Es posible

    afirmar que es nula si , definida por es una curva simple cerrada?

    Solucin:

    90.- Si calcule el trabajo realizado por al desplazar una particula a

    lo largo del segmento de recta que va desde el punto al punto . Evale sin

    utilizar una funcin de potencial.

    Solucin:

    91.- Si y , donde es constante, mostrar que:

    Solucin:

  • 8/12/2019 Ejercicios Resueltos Calculo III

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  • 8/12/2019 Ejercicios Resueltos Calculo III

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    93.- Calcular:

    Solucin:

    94.- Determinar el volumen del slido limitado superiormente por , lateralmente

    por , y debajo por el plano .

    Solucin:

  • 8/12/2019 Ejercicios Resueltos Calculo III

    49/51

    95.- Calcular la integral para y .

    Solucin:

    Usando el teorema de la divergencia, se tiene:

    96.- Hallar el plano tangente a la recta normal a la superficie en el punto

    .

    Solucin:

    Sea . Entonces, el vector es normal a

    la superficie . En particular, el vector normal a la superficie dada en el punto

    , es .

    97.- Dada , hallar el valor de la expresin .

    Solucin:

  • 8/12/2019 Ejercicios Resueltos Calculo III

    50/51

    98.- Resolver la integral doble .

    Solucin:

    99.- Determinar el valor de la integral , donde es la frontera de

    la regin encerrada por .

    Solucin:

  • 8/12/2019 Ejercicios Resueltos Calculo III

    51/51

    100.- Hallar el valor de la integral , donde

    y es la superficie de la esfera de centro el origen y radio .

    Solucin: