CAPITULO VII.INTEGRACIONINDEFINIDA

SECCIONES

A. Integrales inmediatas.

B. Integracion por sustitucion.

C. Integracion por partes.

D. Integracion por fracciones simples.

E. Aplicaciones de la integral indefinida.

F. Ejercicios propuestos.

267

A. INTEGRALES INMEDIATAS.

Se dice que una funcion y = F (x) es integral indefinida (tambien llamadaprimitiva o antiderivada) de otra funcion y = f(x) cuando F (x) = f(x). Lanotacion usual para representar este hecho es la siguiente:

F (x) =

f(x)dx.

El termino dxindica que la variable respecto a la cual se esta integrandoes x.

Para calcular integrales se deben encontrar funciones cuya derivada sea lafuncion original. Se tratara entonces de aplicar las reglas de derivacion ensentido inverso, donde conocidas las derivadas de las funciones, se encuentrenlas propias funciones.

Una diferencia fundamental consiste en que mientras cada funcion solo tieneuna derivada, tiene infinitas integrales, porque si F (x) = f(x), entonces[F (x) + C] = f(x) para cualquier constante C.

Esto se indicara escribiendof(x)dx = F (x) + C. De este modo, todas las

primitivas de una funcion se obtienen sumando una constante arbitraria auna primitiva particular. Las siguientes propiedades permitiran descompo-

ner integrales en otras mas sencillas:

i)f (x)dx = f(x) + C.

ii)[f(x) g(x)]dx = f(x)dx g(x)dx.

iii)kf(x)dx = k

f(x)dx, k R.

De las formulas de derivacion se obtiene la siguiente tabla de integralesinmediatas, sin mas que cambiar el orden de las formulas.

1)xndx =

xn+1

n+ 1+ C si n 6= 1.

2)senxdx = cosx+ C.

3)cosxdx = senx+ C.

4)sec2 xdx = tg x+ C.

5)secx tg xdx = secx+ C.

6)cosecx cotg xdx = cosecx+ C.

7)cosec2 xdx = cotg x+ C.

268

8)

11 x2dx = arc senx+ C.

9)

11 + x2

dx = arc tg x+ C.

10)

1xx2 1dx = arcsecx+ C.

11)

1xdx = ln |x|+ C.

12)axdx =

ax

ln a+ C.

Veremos a continuacion algunos casos de aplicacion de las formulas anterio-res.

PROBLEMA 7.1.

Resolver la integral(4x3 5x2 + 7)dx.

Solucion

Aplicaremos las propiedades (ii) y (iii) para descomponer la integral en otrasintegrales mas simples.

I = 4

x3dx 5

x2dx+ 7

dx.

Aplicando la regla (1) se pueden resolver las integrales que resultan:

I =4x4

4 5x

3

3+ 7x+ C = x4 5x

3

3+ 7x+ C.

Ten en cuenta quedx =

x0dx = x1/1 + C = x+ C.

Aunque se debera sumar una constante a cada integral, como esa constantees arbitraria, se anade al resultado final una constante, que sera la suma decada una de las restantes.

PROBLEMA 7.2.

Resolver

1x2dx.

269

Solucion

Escribimos 1/x2 como x2 y tenemos:

I =

x2dx =x1

1 + C = 1x+ C.

PROBLEMA 7.3.

Resolver

3zdz.

Solucion

Si escribimos el integrando en forma de potencia:

I =

z1/3dz =z4/3

4/3+ C =

34z4/3 + C.

PROBLEMA 7.4.

Resolver(1 x)xdx.

Solucion

Si separamos en dos integrales, resulta:

I =

xdx

xxdx =

x1/2dx

x3/2dx =

23x3/2 2

5x5/2 + C.

PROBLEMA 7.5.

Resolver

(x x

2+

2x

)dx.

270

Solucion

Si escribimos el integrando en forma de potencia, tenemos:

I =

x1/2dx 12

xdx+ 2

x1/2dx =

23x3/2 1

4x2 + 4x1/2 + C.

PROBLEMA 7.6.

Resolver(3s+ 4)2ds.

Solucion

Desarrollando la potencia,

I =(9s2 + 24s+ 16)ds =

9s2ds+

24sds+

16ds

= 9s3

3+ 24

s2

2+ 16s+ C = 3s3 + 12s2 + 16s+ C.

PROBLEMA 7.7.

Resolver

4x3 5x2 + 7

x2dx.

Solucion

Si dividimos cada sumando por el denominador comun, podemos obteneruna suma de terminos y descomponer en suma de integrales:

I = (

4x 5 + 7x2

)dx = 4

xdx 5

dx+ 7

x2dx

= 4x2

2 5x+ 7x

1

1 + C = 2x2 5x 7

x+ C.

271

PROBLEMA 7.8.

Resolver(4x2 + 7)2x2dx.

Solucion

Al desarrollar el cuadrado del binomio 4x2+7, multiplicar por x2 y separarla integral en suma de varias, tendremos:

I =(16x4+56x2+49)x2dx =

(16x6+56x4+49x2)dx =

16x7

7+56x5

5+49x3

3+C

PROBLEMA 7.9.

Resolver

(1 + x)2

xdx.

Solucion

Descomponiendo en sumandos, tenemos:

I =

1 + 2x+ x2x

dx =(x1/2+2x1/2+x3/2)dx = 2x1/2+

43x3/2+

25x5/2+C.

PROBLEMA 7.10.

Resolver

x2 + 2x(x+ 1)2

dx.

Solucion

Completando cuadrados en el numerador e integrando por separado, tene-mos:

I =

(x+ 1)2 1(x+ 1)2

dx = (

1 1(x+ 1)2

)dx = x+

1x+ 1

+ C.

272

PROBLEMA 7.11.

Resolver

3x3 4x2 + 3x

x2 + 1dx.

Solucion

Si descomponemos la fraccion en dos, resulta:

I = (

3x 4 + 4x2 + 1

)dx =

3x2

2 4x+ 4arc tg x+ C.

PROBLEMA 7.12.

Resolver

senx+ tg x

tg xdx.

Solucion

La integral anterior se puede descomponer en suma de dos integrales en laforma siguiente:

I =

senxtg x

dx+

tg xtg x

dx =

cosxdx+

dx = senx+ x+ C.

PROBLEMA 7.13.

Resolver

sen ycos2 y

dy.

Solucion

Esta integral es inmediata debido a que

I =

tg y sec ydy = sec y + C.

273

PROBLEMA 7.14.

Resolver(tg 2x+ sec 2x)2dx.

Solucion

Desarrollando el integrando, tenemos:

I =(tg2 2x+ 2 tg 2x sec 2x+ sec2 2x)dx

=(2 sec2 2x+ 2 tg 2x sec 2x 1)dx = tg 2x+ sec 2x x+ C.

PROBLEMA 7.15.

Resolver

1

1 + cosxdx.

Solucion

Multiplicando numerador y denominador por 1 cosx:

I =

1 cosx1 cos2 xdx =

1 cosxsen2 x

dx

=(cosec2 x cotg x cosecx)dx = cotg x+ cosecx+ C.

PROBLEMA 7.16.

Resolver

1

sen2 x cos2 xdx.

274

Solucion

Aplicando la identidad trigonometrica sen2 x+ cos2 x = 1, resulta:

I =

sen2 x+ cos2 xsen2 x cos2 x

dx =

dx

cos2 x+

dx

sen2 x= tg x cotg x+ C.

B. INTEGRACION POR SUSTITUCION.

Cuando el integrando no es la derivada de una funcion conocida, todavaes posible que lo sea de una funcion compuesta. A partir de la regla de lacadena

D[f(g(x))] = f (g(x)) g(x),se deduce la correspondiente regla de integracion

f (g(x)) g(x) dx = f(g(x)) + C.

Las formulas siguientes se deducen de la aplicacion de la regla de la cadenaen las formulas simples escritas en el apartado A.

1)[f(x)]n f (x)dx = f(x)

n+1

n+ 1+ C si n 6= 1.

2)f (x) sen f(x)dx = cos f(x) + C.

3)f (x) cos f(x)dx = sen f(x) + C.

4)f (x) sec2 f(x)dx = tg f(x) + C.

5)f (x) sec f(x) tg f(x)dx = sec f(x) + C.

6)f (x) cosec f(x) cotg f(x)dx = cosec f(x) + C.

7)f (x) cosec2 f(x)dx = cotg f(x) + C.

8)

f (x)1 f(x)2dx = arc sen f(x) + C.

9)

f (x)1 + f(x)2

dx = arc tg f(x) + C.

275

10)

f (x)f(x)

f(x)2 1dx = arcsec f(x) + C.

11)

f (x)f(x)

dx = ln |f(x)|+ C.

12)

af(x) f (x)dx = af(x)

ln a+ C.

En la practica, como no es facil determinar si el integrando puede expresarsecomo la derivada de una funcion compuesta, se hace un cambio de variablepara intentar expresar la integral en forma mas sencilla. As, en la expresionI =

f (g(x)) g(x) dx, si hacemos g(x) = t, entonces g(x)dx = dt, con

lo que I =f (t) dt = f(t) + C = f(g(x)) + C.

Hay algunas sustituciones especiales para casos concretos que iremos ilus-trando en la resolucion de los problemas que siguen.

PROBLEMA 7.17.

Resolver4x2x2 1dx.

Solucion

Si f(x) = 2x21, tenemos que f (x) = 4x; se trata de calcular f(x)1/2f (x)dx.La regla (1) indica que el resultado es:

I =(2x2 1)3/2

3/2+ C =

23(2x2 1)3/2 + C.

PROBLEMA 7.18.

Resolver(x3 + 2)23x2dx.

Solucion

Haciendo el cambio x3 + 2 = u tenemos du = 3x2dx, con lo que:

I =

u2du =13u3 + C =

13(x3 + 2)3 + C.

276

Otra forma es escribir directamente I =(x3+2)2d(x3+2) = 13(x

3+2)3+C.

PROBLEMA 7.19.

Resolver

32x 6dx.

Solucion

En este caso llamamos f(x) = 2x6. Sin embargo, f (x) = 2 no aparece ex-plcitamente en la integral. Como las constantes se pueden multiplicar tantodentro como fuera de la integral (propiedad iii), podemos escribir:

I =

12 2 32x 6dx = 1

2

2 32x 6dx.

Ahora la integral tiene la forma en que se puede aplicar la regla (1). As:

I =12 (2x 6)

(1/3)+1

4/3+ C =

38(2x 6)4/3 + C.

PROBLEMA 7.20.

Resolver(x3 + 2)1/2x2dx.

Solucion

Hacemos el cambio de variable u = x3+2, con lo que du = 3x2dx. As:

I =13

(x3 + 2)1/2 3x2dx = 1

3

u1/2du =

13 u

3/2

3/2=

29(x3 + 2)3/2 + C.

Tambien otra forma es la siguiente:

I =

13(x3 + 2)1/2 3x2dx = 1

3

(x3 + 2)1/2d(x3 + 2)

=13 (x

3 + 2)3/2

3/2+ C =

29(x3 + 2)3/2 + C.

277

PROBLEMA 7.21.

Resolver

8x2

(x3 + 2)3dx.

Solucion

Haciendo u = x3 + 2 tenemos du = 3x2dx; por tanto:

I = 8

du/3u3

=83

u3du =

83 u

2

2 + C =4

3(x3 + 2)2+ C.

PROBLEMA 7.22.

Resolver

x2

4x3 + 2

dx.

Solucion

Haciendo u = x3 + 2, du = 3x2dx y tenemos:

I =

du/34u

=13

u1/4du =

13 43u3/4 + C =

49(x3 + 2)3/4 + C.

PROBLEMA 7.23.

Resolver3x1 2x2dx.

Solucion

Haciendo el cambio 1 2x2 = u, du = 4xdx, resulta:

I = 3

u du4 = 34

u1/2du = 3

4 23u3/2 + C = 1

2(1 2x2)3/2 + C.

278

PROBLEMA 7.24.

Resolver

x+ 3

(x2 + 6x)1/3dx.

Solucion

Hacemos el cambio x2+6x = u, con lo que (2x+6)dx = du y resulta:

I =

du/2u1/3

=12

u1/3du =

12 32u2/3 + C =

34(x2 + 6x)2/3 + C.

PROBLEMA 7.25.

Resolverx 31 x2dx.

Solucion

Procediendo directamente, tenemos

I = 12

(1 x2)1/3(2x)dx = 1

2

(1 x2)1/3d(1 x2)

= 12 34(1 x2)4/3 + C = 3

8(1 x2)4/3 + C.

PROBLEMA 7.26.

Resolver

x2 2x4dx.

Solucion

Sacando x2 factor comun en la raz, podemos escribir:

I =(1 2x2)1/2 xdx = 1

4

(1 2x2)1/2(4xdx)

= 14 23(1 2x2)3/2 + C = 1

6(1 2x2)3/2 + C.

279

PROBLEMA 7.27.

Resolver(ex + 1)3exdx.

Solucion

Hacemos el cambio u = ex + 1, con lo que du = exdx. As:

I =

u3du =u4

4+ C =

(ex + 1)4

4+ C.

PROBLEMA 7.28.

Resolver

x

(x2 + a2)ndx.

Solucion

Sabiendo que la derivada de x2 + a2 es 2x, tenemos:

I =12

2xdx

(x2 + a2)n=

12

(x2 + a2)nd(x2 + a2)

=12 (x

2 + a2)n+1

n+ 1 + C =1

2(n 1)(x2 + a2)n1 + C.

PROBLEMA 7.29.

Resolver

1

(1 x2)1 x2dx.

280

Solucion

Utilizamos en este caso el siguiente artificio:

I =

dx(1 x2)3 =

x3dx

[x11 x2]3

=

x3

(x2 1)3dx =

12

2x3(x2 1)3dx

= 12

(x2 1)3/2d(x2 1) = (x2 1)1/2 + C = x

1 x2 + C.

PROBLEMA 7.30.

Resolversen(x/2)dx.

Solucion

Aplicando la formula (2), tenemos:

I = 2

sen(x/2)(dx/2) = 2 cos(x/2) + C.

PROBLEMA 7.31.

Resolvercos 3xdx.

Solucion

Aplicamos en este caso la formula (3) y obtenemos:

I =13

cos 3x(3dx) =

13sen 3x+ C.

PROBLEMA 7.32.

Resolversen2 x cosxdx.

281

Solucion

Tenemos que:

I =

sen2 xd(senx) =sen3 x3

+ C.

PROBLEMA 7.33.

Resolversen3 xdx.

Solucion

Si descomponemos sen3 x = sen2 x senx, debemos expresar sen2 x en fun-cion de cosx debido a que en el integrando aparece (cosx) = senx. En-tonces:

I =

sen2 x senxdx =(1cos2 x) senxdx =

senxdx+

cos2 x senxdx.

La primera integral es inmediata. Como la segunda integral es de la formaf2(x)f (x)dx, con f(x) = cosx, resulta que:

I = cosx+ cos3 x

3+ C.

PROBLEMA 7.34.

Resolversec2(2ax)dx.

Solucion

Aplicando la formula (4), tenemos:

I =12a

sec2(2ax)(2adx) =

12a

tg(2ax) + C.

282

PROBLEMA 7.35.

Resolverex cos exdx.

Solucion

Procediendo de forma directa,

I =

cos ex(exdx) = sen ex + C.

PROBLEMA 7.36.

Resolver

1

x+ 2dx.

Solucion

Aplicamos la formula (11):

I =

d(x+ 2)x+ 2

= ln |x+ 2|+ C.

PROBLEMA 7.37.

Resolver

1

2x 3dx.

Solucion

Analogamente al anterior,

I =12

d(2x 3)2x 3 =

12ln |2x 3|+ C.

283

PROBLEMA 7.38.

Resolver

x

x2 1dx.

Solucion

Si escribimos en el numerador la derivada del denominador, resulta:

I =12

2x

x2 1dx =12

d(x2 1)x2 1 =

12ln |x2 1|+ C.

PROBLEMA 7.39.

Resolver

x2

1 2x3dx.

Solucion

Multiplicando y dividiendo por -6,

I = 16

6x21 2x3dx =

16ln |1 2x3|+ C.

PROBLEMA 7.40.

Resolver

x+ 2x+ 1

dx.

Solucion

Separamos en dos fracciones y tenemos:

I = (

1 +1

x+ 1

)dx =

dx+

1

x+ 1dx = x+ ln |x+ 1|+ C.

284

PROBLEMA 7.41.

Resolver

1

ex + 1dx.

Solucion

Usaremos aqu el siguiente artificio:

I =

ex

ex(ex + 1)dx =

ex1 + ex

dx = ln(1 + ex) + C.

No es necesario en este caso el valor absoluto porque 1+ ex > 0, para todox.

PROBLEMA 7.42.

Resolvertg xdx.

Solucion

Procederemos as:

I =

senxcosx

dx = senx

cosxdx = ln | cosx|+ C = ln | secx|+ C.

PROBLEMA 7.43.

Resolvertg 2xdx.

Solucion

Analogamente al anterior:

I =12

tg 2x(2dx) =

12ln | sec 2x|+ C.

285

PROBLEMA 7.44.

Resolver

senx+ cosx

cosxdx.

Solucion

Separando la fraccion en dos, tenemos:

I =(tg x+ 1)dx = ln | secx|+ x+ C.

PROBLEMA 7.45.

Resolver(1 + tg x)2dx.

Solucion

Desarrollando el cuadrado, tenemos:

I =(1 + 2 tg x+ tg2 x)dx =

(sec2 x+ 2 tg x)dx = tg x+ 2 ln | secx|+C.

PROBLEMA 7.46.

Resolverx cotg x2dx.

Solucion

Sabiendo que

cotg xdx =

cosxsenx

dx = ln | senx|+ C, resulta:

I =12

cotg x2 (2xdx) = 1

2ln | senx2|+ C.

286

PROBLEMA 7.47.

Resolversecxdx.

Solucion

Es util en este caso utilizar el siguiente artificio:

I =

secx(secx+ tg x)secx+ tg x

dx =

secx tg x+ sec2 xsecx+ tg x

dx = ln | secx+tg x|+C.

PROBLEMA 7.48.

Resolver

sec

x

xdx.

Solucion

Teniendo en cuenta el problema anterior, resulta:

I = 2

secxdx

2x= 2 ln | secx+ tgx|+ C.

PROBLEMA 7.49.

Resolvercosecudu.

Solucion

Un artificio similar al realizado anteriormente permite escribir:

I =

cosecu(cosecu cotg u)cosecu cotg u du

=

cosec2 u cosecu cotg ucosecu cotg u du = ln | cosecu cotg u|+ C.

287

PROBLEMA 7.50.

Resolver

secx tg xa+ b secx

dx.

Solucion

Si hacemos que el numerador sea la derivada del denominador, tenemos

I =1b

b secx tg xdxa+ b secx

=1bln |a+ b secx|+ C.

PROBLEMA 7.51.

Resolver

1

cosec 2x cotg 2xdx.

Solucion

Aplicando las identidades cosec 2x = 1/ sen 2x y cotg 2x = cos 2x/ sen 2x:

I =

sen 2x1 cos 2xdx =

12

2 sen 2xdx1 cos 2x =

12ln(1 cos 2x) + C

=12ln(2 sen2 x) + C =

12(ln 2 + 2 ln | senx|) + C = ln | senx|+ C .

PROBLEMA 7.52.

Resolverexdx.

288

Solucion

La formula (12) da casi directamente:

I =

ex(dx) = ex + C.

PROBLEMA 7.53.

Resolvera2xdx.

Solucion

De nuevo por la formula (12),

I =12

a2x(2dx) =

12 a

2x

ln a+ C.

PROBLEMA 7.54.

Resolver

e1/x

x2dx.

Solucion

Analogamente a los anteriores,

I =

e1/x(dxx2

)= e1/x + C.

PROBLEMA 7.55.

Resolvere3 cos 2x sen 2xdx.

289

Solucion

Podemos hacer el cambio 3 cos 2x = u o bien proceder directamente:

I = 16

e3 cos 2x(6 sen 2xdx) = 1

6e3 cos 2x + C.

PROBLEMA 7.56.

Resolver

1

a2 x2dx.

Solucion

De acuerdo a la formula (8) tenemos:

I =

dx

a1 (x/a)2 =

d(x/a)1 (x/a)2 = arc senx/a+ C.

PROBLEMA 7.57.

Resolver

1

25 16x2dx.

Solucion

Teniendo en cuenta el problema anterior, resulta:

I =14

4dx

52 (4x)2 =14

4dx/5

1 (4x/5)2 =14arc sen

4x5

+ C.

PROBLEMA 7.58.

Resolver

x21 x6dx.

290

Solucion

Analogamente a los anteriores:

I =13

3x2dx1 (x3)2 =

13arc senx3 + C.

PROBLEMA 7.59.

Resolver

x+ 31 x2dx.

Solucion

Si separamos en dos integrales:

I =

xdx1 x2 + 3

dx1 x2

= 2xdx

21 x2 + 3

dx1 x2 =

1 x2 + 3arc senx+ C.

PROBLEMA 7.60.

Resolver

1

20 + 8x x2dx.

Solucion

Completando cuadrados en la raz y teniendo en cuenta los problemas ante-riores, obtenemos:

I =

dx36 (x2 8x+ 16) =

dx

62 (x 4)2 = arc senx 46

+ C.

291

PROBLEMA 7.61.

Resolver

1

28 12x x2dx.

Solucion

Analogamente al anterior resulta:

I =

dx64 (x2 + 12x+ 36) =

dx

82 (x+ 6)2 = arc senx+ 68

+ C.

PROBLEMA 7.62.

Resolver

x+ 3

5 4x x2dx.

Solucion

Procedemos de la siguiente manera:

I = 12

(2x 6)dx5 4x x2 =

12

(2x 4) 25 4x x2 dx =

12

(2x 4)5 4x x2dx

+

dx5 4x x2 =

12

(2x 4)5 4x x2dx+

dx

9 (x+ 2)2dx

= 5 4x x2 + arc sen x+ 2

3+ C.

PROBLEMA 7.63.

Resolver

1

9 + x2dx.

292

Solucion

Aplicamos la formula (9) y tenemos:

I =

dx

9[1 + (x/3)2]=

13

dx/3

1 + (x/3)2=

13arc tg(x/3) + C.

PROBLEMA 7.64.

Resolver

1

4x2 + 9dx.

Solucion

Procediendo analogamente al problema anterior:

I =12

2dx

(2x)2 + 32=

12

2dx

9[(2x/3)2 + 1]=

16arc tg

2x3

+ C.

PROBLEMA 7.65.

Resolver

x

x4 + 3dx.

Solucion

Razonando analogamente a los problemas anteriores, tendremos:

I =12

2xdx

(x2)2 + 3=

12 1

3arc tg

x23+ C =

36

arc tgx23

3+ C.

PROBLEMA 7.66.

Resolver

1

y2 + 10y + 30dy.

293

Solucion

Al completar cuadrados en el denominador, podemos reducirlo a los casosanteriores:

I =

dy

(y2 + 10y + 25) + 5=

dy

(y + 5)2 + 5=

15arc tg

y + 55

+ C.

Observacion: Este metodo solo es posible porque el denominador no tieneraces reales. En caso contrario, deberemos aplicar el metodo de integracionpor fracciones simples (ver apartado D.)

PROBLEMA 7.67.

Resolver

1

ex + exdx.

Solucion

Multiplicando numerador y denominador por ex obtenemos directamen-te:

I =

exdx

e2x + 1= arc tg ex + C.

PROBLEMA 7.68.

Resolver

secx tg x9 + 4 sec2 x

dx.

Solucion

Teniendo en cuenta los problemas anteriores, resulta tambien:

I =12

2 secx tg xdx32 + (2 secx)2

=16arc tg

2 secx3

+ C.

294

PROBLEMA 7.69.

Resolver

2x 7x2 + 9

dx.

Solucion

Si separamos en dos integrales, resulta:

I =

2xdxx2 + 9

7

dx

x2 + 9= ln(x2 + 9) 7

3arc tg(x/3) + C.

PROBLEMA 7.70.

Resolver

x+ 1

x2 4x+ 8dx.

Solucion

Si intentamos escribir en el numerador la derivada del denominador, obte-nemos las siguientes integrales:

I =12

(2x 4)dxx2 4x+ 8 + 3

dx

x2 4x+ 8 =12

(2x 4)dxx2 4x+ 8 + 3

dx

(x 2)2 + 4=

12ln(x2 4x+ 8) + 3

2arc tg

x 22

+ C.

PROBLEMA 7.71.

Resolver

1

x4x2 9dx.

Solucion

Aplicando adecuadamente la formula (10) resulta:

I =

dx

x(2x)2 32 =

dx

3x(2x/3)2 1

=13

2dx/3

(2x/3)(2x/3)2 1 =

13arcsec

2x3

+ C.

295

PROBLEMA 7.72.

Resolver

1

xx4 1dx.

Solucion

Analogamente al problema anterior podemos escribir:

I =12

2xdx

x2(x2)2 1 =

12arcsecx2 + C =

12arc cos(1/x2) + C.

PROBLEMA 7.73.

Resolversen2 xdx.

Solucion

Aplicando la formula sen2 x = (1 cos 2x)/2 resulta:

I =12

(1 cos 2x)dx = 1

2x 1

4sen 2x+ C.

PROBLEMA 7.74.

Resolvercos2 xdx.

Solucion

Aplicamos en este caso la identidad cos2 x = (1 + cos 2x)/2:

I =12

(1 + cos 2x)dx =

x

2+

sen 2x4

+ C.

296

PROBLEMA 7.75.

Resolvercos5 xdx.

Solucion

Realizamos la siguiente descomposicion:

I =

cos4 x cosxdx =(1 sen2 x)2 cosxdx =

cosxdx 2

sen2 x cosxdx

+

sen4 x cosxdx = senx 23sen3 x+

15sen5 x+ C.

PROBLEMA 7.76.

Resolversen2 x cos3 xdx.

Solucion

De la identidad fundamental sen2 x+ cos2 x = 1 resulta:

I =

sen2 x cos2 x cosxdx =

sen2 x(1 sen2 x) cosxdx

=

sen2 x cosxdx

sen4 x cosxdx =13sen3 x 1

5sen5 x+ C.

PROBLEMA 7.77.

Resolvercos4 2x sen3 2xdx.

Solucion

Como el exponente de sen 2x es impar, procedemos as:

I =

cos4 2x sen2 2x sen 2xdx =

cos4 2x(1 cos2 2x) sen 2xdx

=

cos4 2x sen 2xdx

cos6 2x sen 2xdx = 110

cos5 2x+114

cos7 2x+ C.

297

PROBLEMA 7.78.

Resolversen3 3x cos5 3xdx.

Solucion

Analogamente al ejercicio anterior tenemos:

I =(1 cos2 3x) cos5 3x sen 3xdx =

cos5 3x sen 3xdx

cos7 3x sen 3xdx = 118

cos6 3x+124

cos8 3x+ C.

Otra forma similar es usar el hecho de que el exponente de cos 3x tambienes impar:

I =

sen3 3x(1 sen2 3x)2 cos 3xdx

=

sen3 3x cos 3xdx 2

sen5 3x cos 3xdx+

sen7 3x cos 3xdx

=112

sen4 3x 19sen6 3x+

124

sen8 3x+ C.

Observese que ambos resultados difieren en una constante aunque no loparezca a simple vista.

PROBLEMA 7.79.

Resolversen4 xdx.

Solucion

Como el exponente de senx es par, utilizamos la identidad sen2 x = (1 cos 2x)/2 y posteriormente cos2 2x = (1 + cos 4x)/2:

I =(sen2 x)2dx =

14

(1 cos 2x)2dx = 1

4

dx 1

2

cos 2xdx

+14

cos2 2xdx =

14

dx 1

2

cos 2xdx+

18

(1 + cos 4x)dx

=14x 1

4sen 2x+

18x+

132

sen 4x+ C =38x 1

4sen 2x+

132

sen 4x+ C.

298

PROBLEMA 7.80.

Resolversen2 x cos2 xdx.

Solucion

Por la formula sen 2x = 2 senx cosx tenemos:

I =14

(2 senx cosx)2dx =

14

sen2 2xdx =

18

(1 cos 4x)dx

=18

dx 1

8

cos 4xdx =

18x 1

32sen 4x+ C.

PROBLEMA 7.81.

Resolversen4 3x cos2 3xdx.

Solucion

Por ser ambos exponentes pares tenemos como antes:

I =(sen2 3x cos2 3x) sen2 3xdx =

18

sen2 6x(1 cos 6x)dx

=18

sen2 6xdx 1

8

sen2 6x cos 6xdx =

116

(1 cos 12x)dx

18

sen2 6x cos 6xdx =

116x 1

192sen 12x 1

144sen3 6x+ C.

PROBLEMA 7.82.

Resolvertg4 xdx.

299

Solucion

Aplicamos la formula sec2 x = 1 + tg2 x y tenemos:

I =

tg2 x tg2 xdx =

tg2 x(sec2 x 1)dx =

tg2 x sec2 xdx

tg2 xdx

=

tg2 xd(tg x)(sec2 x 1)dx = 1

3tg3 x tg x+ x+ C.

PROBLEMA 7.83.

Resolvertg5 xdx.

Solucion

De forma analoga al problema anterior podemos escribir:

I =

tg3 x tg2 xdx =

tg3 x(sec2 x 1)dx =

tg3 x sec2 xdx

tg3 xdx

=

tg3 xd(tg x)

tg x(sec2 x 1)dx = 14tg4 x 1

2tg2 x+ ln | secx|+ C.

PROBLEMA 7.84.

Resolversec4 2xdx.

Solucion

Tambien en este caso tenemos:

I =

sec2 2x sec2 2xdx =

sec2 2x(1 + tg2 2x)dx

=

sec2 2xdx+

tg2 2x sec2 2xdx =12tg 2x+

16tg3 2x+ C.

300

PROBLEMA 7.85.

Resolvertg3 3x sec4 3xdx.

Solucion

Nuevamente, de la identidad sec2 3x = 1 + tg2 3x, resulta:

I =

tg3 3x(1 + tg2 3x) sec2 3xdx =

tg3 3x sec2 3xdx+

tg5 3x sec2 3xdx

=112

tg4 3x+118

tg6 3x+ C.

PROBLEMA 7.86.

Resolvertg3 2x sec3 2xdx.

Solucion

En este caso integramos con respecto a d(sec 2x) como sigue:

I =

tg2 2x sec2 2x sec 2x tg 2xdx =(sec2 2x 1) sec2 2x sec 2x tg 2xdx

=12

sec4 2xd(sec 2x) 1

2

sec2 2xd(sec 2x)

=110

sec5 2x 16sec3 2x+ C.

PROBLEMA 7.87.

Resolvercotg3 2xdx.

301

Solucion

De la formula cosec2 2x1 = cotg2 2x y teniendo en cuenta que d(cotg 2x) =2 cosec2 2xdx, resulta:

I =

cotg 2x(cosec2 2x 1)dx = 14cotg2 2x+

12ln | cosec 2x|+ C.

PROBLEMA 7.88.

Resolvercotg4 3xdx.

Solucion

Procediendo de forma analoga al anterior tenemos:

I =

cotg2 3x(cosec2 3x 1)dx =

cotg2 3x cosec2 3xdx

cotg2 3xdx

= 13

cotg2 3xd(cotg 3x)

(cosec2 3x 1)dx

= 19cotg3 3x+

13cotg 3x+ x+ C.

PROBLEMA 7.89.

Resolvercosec6 xdx.

Solucion

De forma similar a los anteriores,

I =

cosec2 x(1 + cotg2 x)2dx =

cosec2 xdx+ 2

cotg2 x cosec2 xdx

+

cotg4 x cosec2 xdx = cotg x 23cotg3 x 1

5cotg5 x+ C.

302

PROBLEMA 7.90.

Resolvercotg3 x cosec5 xdx.

Solucion

Sabiendo que d(cosecx) = cosecx cotg xdx, tenemos:

I =

cotg2 x cosec4 x cosecx cotg xdx

=(cosec2 x 1) cosec4 x cosecx cotg xdx

=

cosec6 xd(cosecx) +

cosec4 xd(cosecx)

= 17cosec7 x+

15cosec5 x+ C.

PROBLEMA 7.91.

Resolver

1 cosxdx.

Solucion

Debido a la formula 1 cosx = 2 sen2(x/2), tenemos:

I =2

sen(x/2)dx = 22 cos(x/2) + C.

PROBLEMA 7.92.

Resolver

1

1 sen 2xdx.

303

Solucion

Aplicamos la identidad senx = cos(pi/2 x) y procedemos como en el pro-blema anterior:

I =

11 cos(pi/2 2x)dx =

1

2 sen(pi/4 x)dx

=22

cosec(pi/4 x)dx =

22

ln | cosec(pi/4 x) cotg(pi/4 x)|+ C.

PROBLEMA 7.93.

Resolver(1 + cos 3x)3/2dx.

Solucion

Utilizamos la formula 1 + cos 3x = 2 cos2(3x/2):

I = 22

cos3(3x/2)dx = 22[1 sen2(3x/2)] cos(3x/2)dx

= 22(23sen(3x/2) 2

9sen3(3x/2)

)+ C.

PROBLEMA 7.94.

Resolver

1

sen3 x cos3 xdx.

304

Solucion

De la identidad 1 = sen2 x+cos2 x, tenemos la siguiente descomposicion:

I =

(sen2 x+ cos2 x)2

sen3 x cos3 xdx =

sen4 x+ cos4 x+ 2 sen2 x cos2 x

sen3 x cos3 xdx

=

senxcos3 x

dx+

cosxsen3 x

dx+ 2

1senx cosx

dx

=

cos3 xd(cosx) +

sen3 xd(senx) + 2

sec2 xtg x

dx

=1

2 cos2 x 1

2 sen2 x+ 2 ln | tg x|+ C.

PROBLEMA 7.95.

Resolversenx cosxdx, donde 2 2 6= 0.

Solucion

Utilizamos la formula sen(a+ b) + sen(a b) = 2 sen a cos b:

I =12

[sen(x+ x) + sen(x x)]dx

=12

[sen(+ )x+ sen( )x]dx = 1

2

[cos(+ )x

+ +

cos( )x

]+ C.

PROBLEMA 7.96.

Resolversenx senxdx, donde 2 2 6= 0.

Solucion

Similar al anterior con la formula cos(ab)cos(a+b) = 2 sen a sen b:

I =12

[cos(x x) cos(x+ x)]dx

=12

[cos( )x cos(+ )x]dx = 1

2

[sen( )x

sen(+ )x

+

]+ C.

305

PROBLEMA 7.97.

Resolvercosx cosxdx, donde 2 2 6= 0.

Solucion

Aplicamos en este caso la formula cos(a+b)+cos(ab) = 2 cos a cos b:

I =12

[cos(x+x)+cos(xx)]dx = 1

2

[sen(+ )x

+ +

sen( )x

]+C.

PROBLEMA 7.98.

Resolver

1

x2 + 1dx.

Solucion

Si hacemos el cambio de variable x = tg u, entonces dx = sec2 udu. As:

I =

1secu

sec2 udu =

secudu = ln | secu+tg u|+C = ln(x+x2 + 1)+C.

PROBLEMA 7.99.

Resolver

1

4x2 + 9dx.

Solucion

Escribimos la funcion como en el problema anterior y aplicamos el re-sultado obtenido o bien hacemos el cambio 2x/3 = tg u, de modo que

306

dx = (3/2) sec2 udu:

I =

1(2x)2 + 32

dx =

13(2x/3)2 + 1

dx =

(3/2) sec2 udu3 secu

=12ln | secu+ tg u|+ C = 1

2ln

2x3 +4x2 + 93

+ C.

PROBLEMA 7.100.

Resolver

x+ 2x2 + 9

dx.

Solucion

Separamos la integral en dos y aplicamos en la segunda la sustitucion x/3 =tg u:

I =12

2x+ 4x2 + 9

dx =12

2xx2 + 9

dx+ 2

1x2 + 9

dx

=x2 + 9 + 2

secudu =

x2 + 9 + 2 ln

x3 +x2 + 93

+ C.

PROBLEMA 7.101.

Resolver

1

x2 1dx.

Solucion

Si hacemos x = secu, entonces dx = secu tg udu. Por tanto:

I =

1tg u

secu tg udu = ln | secu+ tg u|+ C = ln |x+x2 1|+ C.

307

PROBLEMA 7.102.

Resolver

1

9z2 25dz.

Solucion

Si hacemos el cambio 3z/5 = secu, 3dz/5 = secu tg udu, entonces:

I =13

3/5

(3z/5)2 1dz =13

secu tg u

tg udu

=13ln | secu+ tg u|+ C = 1

3ln

3z5 +9z2 25

5

+ C.

PROBLEMA 7.103.

Resolver

1

4s+ s2ds.

Solucion

Completando cuadrados en el denominador y haciendo el cambio (s+2)/2 =secu, resulta:

I =

1(s+ 2)2 4ds =

1

2[(s+ 2)/2]2 1ds

=

secudu = ln | secu+ tg u|+ C = lns+ 22 +

4s+ s2

2

+ C.

PROBLEMA 7.104.

Resolver

x+ 2

x2 + 2x 3dx.

308

Solucion

Separamos en dos integrales de modo que la primera sea la derivada de unaraz y en la segunda hacemos el cambio (x+ 1)/2 = secu:

I =

2x+ 42x2 + 2x 3dx =

2x+ 2

2x2 + 2x 3dx+

1/2

[(x+ 1)/2]2 1dx

=x2 + 2x 3 +

secudu

=x2 + 2x 3 + ln

x+ 12 +x2 + 2x 3

2

+ C.

PROBLEMA 7.105.

Resolver

3 4x2dx.

Solucion

Haremos el cambio 2x/3 = senu, 2dx/

3 = cosudu despues de escribir la

funcion de forma mas conveniente:

I =3

1 (2x/3)2dx =

3

32

cos2 udu

=32

1 + cos 2u

2du =

34

[u+

sen 2u2

]+ C

=34arc sen(2x/

3) +

38 2 2x

3

3 4x23

+ C

=34arc sen(2x/

3) +

x

2

3 4x2 + C.

PROBLEMA 7.106.

Resolver

3 2x x2dx.

309

Solucion

Completando cuadrados y procediendo como en el problema anterior con elcambio (x+ 1)/2 = senu, resulta:

I =

4 (x+ 1)2dx =

21 [(x+ 1)/2]2dx = 4

cos2 udu

= 4[u

2+

sen 2u4

]+ C = 2arc sen

x+ 12

+x+ 12

3 2x x2 + C.

PROBLEMA 7.107.

Resolver

1

x24 + x2

dx.

Solucion

Si hacemos el cambio tg z = x/2, tendremos dx = 2 sec2 zdz y4 + x2 =

2 sec z. Entonces:

I =

2 sec2 z(4 tg2 z)(2 sec z)

dz =14

sec ztg2 z

dz

=14

sen2 z cos zdz = 1

4 sen z+ C =

4 + x2

4x+ C.

PROBLEMA 7.108.

Resolver

x2x2 4dx.

Solucion

Hacemos el cambio x/2 = sec z, con lo que dx = 2 sec z tg zdz yx2 4 =

2 tg z:

I =

4 sec2 z2 tg z

(2 sec z tg zdz) = 4

sec3 zdz

= 2 sec z tg z + 2 ln | sec z + tg z|+ C = 12xx2 4 + 2 ln |x+

x2 4|+ C .

310

(Ver problema 7.124 para la resolucion de la ultima integral.)

PROBLEMA 7.109.

Resolver

9 4x2x

dx.

Solucion

Haciendo 2x/3 = sen z tendremos 2dx/3 = cos zdz y9 4x2 = 3 cos z.

As:

I =

3 cos z(3/2) sen z

(3/2) cos zdz = 3

cos2 zsen z

dz

= 3

1 sen2 zsen z

dz = 3

cosec zdz 3

sen zdz

= 3 ln | cosec z cotg z|+ 3 cos z + C = 3 ln3

9 4x22x

+9 4x2 + C .

PROBLEMA 7.110.

Resolver

(16 9x2)3/2

x6dx.

Solucion

Haciendo 3x/4 = sen z tendremos dx = (4/3) cos zdz y16 9x2 = 4 cos z.

As:

I =

64 cos3 z (4/3) cos z(4096/729) sen6 z

dz =24316

cos4 zsen6 z

dz

=24316

cotg4 z cosec2 zdz = 243

80cotg5 z + C

= 24380

(16 9x2)5/2

243x5+ C = 1

80 (16 9x

2)5/2

x5+ C.

311

PROBLEMA 7.111.

Resolver

x2

2x x2dx.

Solucion

Volvemos a escribir la integral como

x21 (x 1)2dx y hacemos el cam-

bio x 1 = sen z. Tendremos as dx = cos zdz y 2x x2 = cos z. Resul-ta:

I =

(1 + sen z)2

cos zcos zdz =

(1 + 2 sen z + sen2 z)dz

= (

1 + 2 sen z +1 cos 2z

2

)dz =

32z 2 cos z 1

4sen 2z + C

=32arc sen(x 1) 2

2x x2 1

2(x 1)

2x x2 + C

=32arc sen(x 1) 1

2(x+ 3)

2x x2 + C.

PROBLEMA 7.112.

Resolver

1

(4x2 24x+ 27)3/2dx.

Solucion

Completando cuadrados tenemos que I =

1[4(x 3)2 9]3/2dx.

Haciendo 2(x3)/3 = sec z, resulta dx = (3/2) sec z tg zdz y4x2 24x+ 27 =3 tg z, con lo que:

I =

(3/2) sec z tg zdz27 tg3 z

=118

sen2 z cos zdz

= 118

sen1 z + C = 19 x 3

4x2 24x+ 27 + C.

312

PROBLEMA 7.113.

Resolver

1

(1 + x2)1 + x2

dx.

Solucion

Haciendo x2 = t, 2xdx = dt, es decir, dx = dt/(2t). Por tanto,

I =

dt/2t

(1 + t)1 + t

=12

dt

(1 + t)(1 + t)t

.

Haciendo ahora1

1 + t= z = 1

z 1 = t = dt = 1

z2dz, tenemos:

I =12

1z2dz z

(1/z)[(1/z) 1] =12

dz/z(1/z2) (1/z)

=12

dz/z(1/z)

1 z =

12

dz1 z

= 12

(1 z)1/2dz = 1

2 (1 z)

1/2

1/2+ C

=1 z + C =

1 1

1 + t+ C =

1 + t 11 + t

+ C

=t

1 + t+ C =

x1 + x2

+ C.

C. INTEGRACION POR PARTES.

Este metodo se basa en la formula de derivacion de un producto de dosfunciones: integrando la formula (f g)(x) = f (x) g(x) + f(x) g(x), seobtiene f(x) g(x) = f (x) g(x)dx+ f(x) g(x)dx, de donde,

f(x) g(x) dx = f(x) g(x)

f (x) g(x) dx.

313

Otra forma de escribir esta formula es llamar u = f(x) y v = g(x), con loque resulta:

u dv = u v

v du.

Este metodo suele aplicarse cuando el integrando es producto de dos fun-ciones de distinta clase, como por ejemplo, polinomica por exponencial, tri-gonometrica por exponencial, polinomica por logartmica, etc.

Una gran variedad de integrales que se pueden resolver por este metodo seofrece en los problemas que siguen.

PROBLEMA 7.114.

Resolverxexdx.

Solucion

Hacemos u = x, dv = exdx. Entonces du = dx, v = ex y tenemos:

I = xex

exdx = xex ex + C.

PROBLEMA 7.115.

Resolverx3e2xdx.

Solucion

Haciendo u = x3, dv = e2xdx tendremos du = 3x2dx, v = (1/2)e2x, con loque:

I =12x3e2x 3

2

x2e2xdx.

Haciendo en la integral resultante u = x2 y dv = e2xdx tendremos du =2xdx, v = (1/2)e2x, de modo que:

I =12x3e2x 3

2

[12x2e2x

xe2xdx

]=

12x3e2x 3

4x2e2x +

32

xe2xdx.

314

Haciendo en la integral resultante u = x y dv = e2xdx tendremos du = dx yv = (1/2)e2x y nuevamente,

I =12x3e2x 3

4x2e2x +

32

[12xe2x 1

2

e2xdx

]=

12x3e2x 3

4x2e2x +

34xe2x 3

8e2x + C.

PROBLEMA 7.116.

Resolverx3ex

2dx.

Solucion

Hacemos u = x2 y dv = xex2dx, de donde du = 2xdx y v = (1/2)ex

2.

Aplicando la formula de integracion por partes tenemos:

I =12x2ex

2

xex2dx =

12x2ex

2 12ex

2+ C.

PROBLEMA 7.117.

Resolverx1 + xdx.

Solucion

Haciendo u = x, dv =1 + xdx tenemos que du = dx, v = (2/3)(1 +

x)3/2:

I =23x(1 + x)3/2 2

3

(1 + x)3/2dx =

23x(1 + x)3/2 4

15(1 + x)5/2 + C.

315

PROBLEMA 7.118.

Resolverln(x2 + 2)dx.

Solucion

Hacemos u = ln(x2 + 2) y dv = dx, de donde du =2xdxx2 + 2

y v = x. Portanto:

I = x ln(x2 + 2)

2x2dxx2 + 2

= x ln(x2 + 2) (

2 4x2 + 2

)dx

= x ln(x2 + 2) 2x+ 22 arc tg(x/

2) + C.

(Ver por ejemplo el problema 7.63 para la resolucion de la ultima integral.)

PROBLEMA 7.119.

Resolverln(x+ 1/x)dx.

Solucion

Integrando por partes con u = ln(x + 1/x) y dv = dx, du =x2 1

x(x2 + 1)dx,

v = x, tenemos:

I = x ln(x+

1x

)

x2 1x2 + 1

dx

= x ln(x+

1x

) (

1 21 + x2

)dx = x ln(x+ 1/x) x+ 2arc tg x+ C.

PROBLEMA 7.120.

Resolverln(x+

x2 1)dx.

316

Solucion

Hacemos u = ln(x+x2 1) y dv = dx, con lo que du = dx

x2 1, v = x.Entonces:

I = x ln(x+x2 1)

x

x2 1dx = x ln(x+x2 1)

x2 1+C.

PROBLEMA 7.121.

Resolverx ln(x+ 1)dx.

Solucion

Hacemos u = ln(x + 1) y dv = xdx; du = dx/(x + 1), v = x2/2. Enton-ces:

I =x2

2ln(x+ 1) 1

2

x2

x+ 1dx =

x2

2ln(x+ 1) 1

2

[x 1 + 1

x+ 1

]dx

=x2

2ln(x+ 1) 1

2

[x2

2 x+ ln(x+ 1)

]+ C

=x2 1

2ln(x+ 1) x

2

4+x

2+ C.

PROBLEMA 7.122.

Resolverx senxdx.

Solucion

Para utilizar el metodo de integracion por partes podemos seguir los siguien-tes caminos:

a) u = x senx, dv = dx. Entonces du = (senx+x cosx)dx, v = x. As:

I = x x senx

x(senx+ x cosx)dx.

317

La integral que resulta es menos sencilla que la original por lo cual se descartaeste camino.

b) u = senx, dv = xdx. Por tanto, du = cosxdx, v = x2/2 y resulta:

I =12x2 senx

12x2 cosxdx.

La integral que resulta es menos sencilla que la original y tambien descarta-mos este camino.

c) u = x, dv = senxdx. Por tanto du = dx, v = cosx y resulta:

I = x cosx cosxdx = x cosx+ senx+ C.

PROBLEMA 7.123.

Resolverx2 senxdx.

Solucion

Haciendo u = x2, dv = senxdx tendremos du = 2xdx, v = cosx.As:

I = x2 cosx+ 2

x cosxdx.

Hacemos en la integral resultante u = x, dv = cosxdx, du = dx, v = senxy tenemos:

I = x2 cosx+2[x senx

senxdx

]= x2 cosx+2x senx+2 cosx+C.

PROBLEMA 7.124.

Resolversec3 xdx.

318

Solucion

Haciendo u = secx, dv = sec2 xdx tendremos du = secx tg xdx, v = tg x.As:

I = secx tg x

secx tg2 xdx = secx tg x

secx(sec2 x 1)dx

= secx tg x

sec3 xdx+

secxdx.

Por tanto,

2I = secx tg x+

secxdx = secx tg x+ ln | secx+ tg x|+ C;

I =12(secx tg x+ ln | secx+ tg x|) + C .

PROBLEMA 7.125.

Resolver

x2 36dx.

Solucion

Si hacemos el cambio x = 6 sec t, entonces dx = 6 sec t tg tdt y resulta:

I = 36

tg2 t sec tdt = 36(sec2 t 1) sec tdt = 36

sec3 tdt

sec tdt.

De acuerdo al problema anterior, resulta:

I = 18(sec t tg t+ ln | sec t+ tg t|) 36 ln | sec t+ tg t|+ C

=x

2

x2 36 18 ln

x6 +x2 366

+ C.

PROBLEMA 7.126.

Resolver

3x2 + 5dx.

319

Solucion

Escribimos el integrando como5[(3/5)x2 + 1] =

5(x3/5)2 + 1 y

hacemos el cambio x3/5 = tg u:

I =53

sec3 udu =

523(secu tg u+ ln | secu+ tg u|) + C

=12x3x2 + 5 +

523ln

x35

+3x2 + 5

5

+ C.

PROBLEMA 7.127.

Resolver

4x2 4x+ 5dx.

Solucion

Completamos cuadrados en el radicando y procedemos como en los proble-mas anteriores, haciendo el cambio 2x 1 = 2 tg u:

I =

(2x 1)2 + 4dx =

2 sec3 udu = secu tg u+ ln | secu+ tg u|+ C

=2x 1

4

4x2 4x+ 5 + ln

2x 12 +4x2 4x+ 5

2

+ C.

PROBLEMA 7.128.

Resolver

x

cos2 xdx.

Solucion

De nuevo integramos por partes con u = x, dv = dx/ cos2 x:

I =

xd(tg x) = x tg x

tg xdx = x tg x+ ln | cosx|+ C.

320

PROBLEMA 7.129.

Resolver

x2

(x cosx senx)2dx.

Solucion

Como d(

1x cosx senx

)=

x senx(x cosx senx)2dx, podemos integrar por par-

tes con u = x/ senx, dv =x senx

(x cosx senx)2dx:

I =

x

senx x senx(x cosx senx)2dx =

1x cosx senx

x

senx+

dx

sen2 x

=x

(x cosx senx) senx cosxsenx

+ C =x senx+ cosxx cosx senx + C.

PROBLEMA 7.130.

Resolvercosx ln(1 + cosx)dx.

Solucion

Integramos por partes con u = ln(1 + cosx), dv = cosxdx.

Entonces du = senx1 + cosx

, v = senx. Por tanto:

I = senx ln(1 + cosx) +

sen2 x1 + cosx

dx

= senx ln(1 + cosx) +

sen2 x(1 cosx)(1 + cosx)(1 cosx)dx

= senx ln(1 + cosx) +(1 cosx)dx = senx ln(1 + cosx) + x senx+ C.

PROBLEMA 7.131.

Resolverarc senxdx.

321

Solucion

Haciendo u = arc senx, dv = dx tenemos que du =dx1 x2 , v = x.

As:

I = x arc senx

xdx1 x2 = x arc senx+

1 x2 + C.

PROBLEMA 7.132.

Resolver

arc tg

x 1x+ 1

dx.

Solucion

Hacemos u = arc tgx 1x+ 1

y dv = dx; entonces du = dx/(1 + x2) y v = x.

As:

I = x arc tgx 1x+ 1

x

1 + x2dx = x arc tg

x 1x+ 1

12ln(1 + x2) + C.

PROBLEMA 7.133.

Resolver

x arc senx

1 x2 dx.

Solucion

Hacemos u = arc senx y dv =xdx1 x2 e integramos por partes:

I =

arc senxd(1 x2) =

1 x2 arc senx+

dx

= 1 x2 arc senx+ x+ C.

322

PROBLEMA 7.134.

Resolverx3 arc tg xdx.

Solucion

Hacemos en este caso u = arc tg x, dv = x3dx, con lo que du = dx/(1+x2),v = x4/4:

I =x4

4arc tg x 1

4

x4

1 + x2dx =

x4

4arc tg x 1

4

[x2 1 + 1

1 + x2

]dx

=x4 1

4arc tg x x

3

12+x

4+ C.

PROBLEMA 7.135.

Resolver

x2

1 + x2arc tg xdx.

Solucion

Separamos en dos integrales as:

I = (

1 11 + x2

)arc tg xdx =

arc tg xdx

1

1 + x2arc tg xdx.

En la primera integral hacemos u = arc tg x, dv = dx. Entonces du =dx/(1 + x2), v = x, con lo que

I1 = x arc tg x

x

1 + x2dx = x arc tg x 1

2ln(1 + x2) + C1.

Como la segunda integral es inmediata, resulta en definitiva:

I = x arc tg x ln1 + x2 1

2(arc tg x)2 + C.

323

PROBLEMA 7.136.

Resolver

arc senx

(1 x2)1 x2dx.

Solucion

Si integramos por partes haciendo u = arc senx, dv =dx

(1 x2)1 x2 , se

tiene du =dx1 x2 , v =

x1 x2 . As:

I =x

1 x2 arc senx

x1 x2

dx1 x2

=x

1 x2 arc senx+12

2x1 x2dx =

x1 x2 arc senx+

12ln |1 x2|+ C.

PROBLEMA 7.137.

Resolverx arc senxdx.

Solucion

Integramos por partes con u = arc senx y dv = xdx:

I =x2

2arc senx 1

2

x21 x2dx.

Ahora bien,

x21 x2dx =

1

1 x2dx

1 x2dx.

Haciendo en esta ultima integral u =1 x2 y dv = dx, tenemos:

1 x2dx = x1 x2 +

x21 x2dx.

Resulta entonces que

x21 x2dx =

12[arc senx x

1 x2] + C. Por tan-

to:

I =2x2 1

4arc senx+

x

4

1 x2 + C.

324

PROBLEMA 7.138.

Resolver

1 + senx1 + cosx

exdx.

Solucion

Recordamos la formula1 + senx1 + cosx

=12[1 + tg(x/2)]2 y tenemos:

I =12

[1+tg2(x/2)+2 tg(x/2)]exdx =

12

sec2(x/2)exdx+

ex tg(x/2)dx.

En la primera integral hacemos u = ex, dv = sec2(x/2)dx, con lo que du =exdx, v = 2 tg(x/2):

I = ex tg(x/2)

ex tg(x/2)dx+

ex tg(x/2)dx = ex tg(x/2) + C.

PROBLEMA 7.139.

Resolver las integrales I =eax sen bxdx, J =

eax cos bxdx.

Solucion

Integrando por partes cada una de ellas, resulta:

I =1aeax sen bx b

a

eax cos bxdx =

1aeax sen bx b

aJ.

J =1aeax cos bx+

b

a

eax sen bxdx =

1aeax cos bx+

b

aI.

Basta pues resolver el sistema aI + bJ = eax sen bx, bI aJ = eax cos bx,para obtener los valores de I y J . En definitiva,

I =eax

a2 + b2(a sen bx b cos bx) + C;

J =eax

a2 + b2(b sen bx+ a cos bx) + C .

325

PROBLEMA 7.140.

Resolver I =

xearc senx1 x2 dx y J =

earc senxdx.

Solucion

Vamos a integrar I por partes siguiendo dos caminos distintos:

En primer lugar hacemos u = earc senx, dv =xdx1 x2 y tenemos:

I = 1 x2 earc senx +

earc senxdx =

1 x2 earc senx + J.

En segundo lugar hacemos u = x, dv =earc senx1 x2dx y tenemos:

I = xearc senx

earc senxdx = xearc senx J.

Sumando y restando ordenadamente las dos formulas obtenidas llegamosa:

I =12(x

1 x2)earc senx + C;

J =12(x+

1 x2)earc senx + C.

PROBLEMA 7.141.

Resolver

earc tg x

(1 + x2)1 + x2

dx.

Solucion

Integramos por partes haciendo u = earc tg x, dv =dx

(1 + x2)1 + x2

. As re-

sulta:

326

I =xearc tg x1 + x2

xearc tg x

(1 + x2)1 + x2

dx.

En esta ultima integral, que tambien resolvemos por partes, hacemos u = earc tg x,

dv =xdx

(1 + x2)1 + x2

y se tiene

xearc tg x

(1 + x2)1 + x2

dx = 11 + x2

earc tg x +

earc tg x

(1 + x2)1 + x2

dx.

De aqu se deduce inmediatamente:

I =x+ 1

21 + x2

earc tg x + C.

Observacion: La integral

xdx

(1 + x2)1 + x2

es inmediata pues es igual

a

12

(1+x2)3/2d(1+x2) =

12 (1 + x

2)3/2+1

3/2 + 1 = (1+x2)1/2 = 1

1 + x2.

PROBLEMA 7.142.

Resolver In =

1(1 + x2)n+1

dx.

Solucion

Utilizamos el siguiente artificio:

In =

1 + x2 x2(1 + x2)n+1

dx =

1 + x2

(1 + x2)n+1dx

x2

(1 + x2)n+1dx

=

dx

(1 + x2)n

x2dx

(1 + x2)n+1= In1

x2dx

(1 + x2)n+1.

Para la ultima integral utilizamos el metodo de integracion por partes. Para

ello hacemos u = x, dv =xdx

(1 + x2)n+1, con lo que du = dx, v =

12n(1 + x2)n

.

As: x2dx

(1 + x2)n+1=

x2n(1 + x2)n

+12n

In1.

327

En definitiva,

In = In1 +x

2n(1 + x2)n 1

2nIn1 =

2n 12n

In1 +x

2n(1 + x2)n.

D. INTEGRACION POR FRACCIONES SIMPLES.

Este metodo es exclusivo para integrar funciones racionales. El procedimien-to general es el siguiente:

Para calcular

p(x)q(x)

dx donde p y q son polinomios, realizaremos los si-

guientes pasos:

1) Se realiza la divisionp(x)q(x)

= c(x) +r(x)q(x)

donde c es el cociente y r el

resto, con grado r < grado q. Entonces:p(x)q(x)

dx =

c(x)dx+

r(x)q(x)

dx.

La primera integral es inmediata y a continuacion estudiaremos la segun-da.

Observacion: Si el grado de p ya es menor que el grado de q, este paso seomite, pues p(x) = r(x).

2) Se factoriza el denominador a partir de sus races (ya sean reales o com-plejas). Tenemos:

q(x) = a(x r1)m1 (x rn)mn(x2 + a1x+ b1)q1 (x2 + apx+ bp)qp .Nota: En lo que sigue supondremos que a = 1 pues, en caso contrario, puedesalir de la integral como una constante.

3) Se descompone el integrando en fracciones simples:

r(x)q(x)

=A1

x r1 + +Am1

(x r1)m1 + +K1

x rn + +Kmn

(x rn)mn

+1x+ 1

x2 + a1x+ b1+ + q1x+ q1

(x2 + a1x+ b1)q1+ . . .

+1x+ 1

x2 + apx+ bp+ + qpx+ qp

(x2 + apx+ bp)qp.

328

4) Se calculan las constantesA1, . . . , Am1 , . . . ,K1, . . . ,Kmn , 1, 1, . . . , q1 , q1 ,. . . , 1, 1, . . . , qp , qp igualando los numeradores de ambos miembros.

5) Se integra por separado cada fraccion simple.

Los siguientes problemas ilustran la forma de integrar segun sea la descom-posicion de la fraccion.

PROBLEMA 7.143.

Resolver

1

x2 4dx.

Solucion

Como x24 = (x2)(x+2), podemos descomponer la fraccion como1

x2 4 =A

x 2 +B

x+ 2,

de donde 1 = A(x+ 2) +B(x 2).Para x = 2, 1 = 4A = A = 1/4. Para x = 2, 1 = 4B = B =1/4.Tenemos entonces:

I =14

dx

x 214

dx

x+ 2=

14ln |x2| 1

4ln |x+2|+C = 1

4lnx 2x+ 2

+C.

PROBLEMA 7.144.

Resolver

1

9x2 16dx.

Solucion

Procediendo como el anterior, tenemos:

19x2 16 =

A

3x 4 +B

3x+ 4,

329

de donde 1 = A(3x+4)+B(3x4) = A = 1/8, B = 1/8. Entonces:

I =18

1

3x 4dx18

1

3x+ 4dx

=124

ln |3x 4| 124

ln |3x+ 4|+ C = 124

ln3x 43x+ 4

+ C.

PROBLEMA 7.145.

Resolver

1

x2 + 6x+ 8dx.

Solucion

Como x2 + 6x+ 8 = (x+ 2)(x+ 4), tenemos:

1x2 + 6x+ 8

=A

x+ 2+

B

x+ 4,

de donde 1 = A(x + 4) + B(x + 2) = A = 1/2 y B = 1/2. Resultaentonces:

I =12(ln |x+ 2| ln |x+ 4|) + C = 1

2lnx+ 2x+ 4

+ C.

PROBLEMA 7.146.

Resolver

1

9 x2dx.

Solucion

Como 9 x2 = (3 x)(3 + x), resulta:1

9 x2 =A

3 x +B

3 + x= 1 = A(3 + x) +B(3 x).

Obtenemos los valores A = B = 1/6, con lo que:

I =16( ln |3 x|+ ln |3 + x|) + C = 1

6ln3 + x3 x

+ C.330

PROBLEMA 7.147.

Resolver

1

4x x2dx.

Solucion

Como 4x x2 = x(4 x), tenemos:1

4x x2 =A

x+

B

4 x = 1 = A(4 x) +Bx.

De aqu, A = B = 1/4; por tanto:

I =14(ln |x| ln |4 x|) + C = 1

4ln x4 x

+ C.

PROBLEMA 7.148.

Resolver

2 x

4x2 + 4x 3dx.

Solucion

Al factorizar el denominador tenemos 4x2+4x3 = (2x1)(2x+3) y:2 x

4x2 + 4x 3 =A

2x 1 +B

2x+ 3= 2 x = A(2x+ 3) +B(2x 1).

De aqu se obtiene que A = 3/8, B = 7/8. Entonces:

I =316

ln |2x 1| 716

ln |2x+ 3|+ C = 116

ln(2x 1)3(2x+ 3)7

+ C.

PROBLEMA 7.149.

Resolver

x+ 1

x3 + x2 6xdx.

331

Solucion

Factorizamos en primer lugar el denominador: x3+x26x = x(x2)(x+3).Por tanto:

x+ 1x3 + x2 6x =

A

x+

B

x 2+C

x+ 3 x+1 = A(x2)(x+3)+Bx(x+3)+Cx(x2)

Para x = 0, 1 = 6A = A = 1/6.Para x = 2, 3 = 10B = B = 3/10.Para x = 3, 2 = 15C = C = 2/15.La integral queda entonces:

I = 16

dx

x+

310

dx

x 2 215

dx

x+ 3

= 16ln |x|+ 3

10ln |x 2| 2

15ln |x+ 3|+ C = ln |x 2|

3/10

|x|1/6|x+ 3|2/15 + C.

PROBLEMA 7.150.

Resolver

3x+ 5

x3 x2 x+ 1dx.

Solucion

Al factorizar el denominador tenemos x3 x2 x + 1 = (x + 1)(x 1)2.As:

3x+ 5x3 x2 x+ 1 =

A

x+ 1+

B

x 1 +C

(x 1)2con lo que 3x+ 5 = A(x 1)2 +B(x 1)(x+ 1) + C(x+ 1).Para x = 1, 2 = 4A = A = 1/2.Para x = 1, 8 = 2C = C = 4.Para determinar la constante B se sustituye otro valor de x, por ejemplox = 0. Resulta 5 = AB + C = B = 1/2. Por tanto:

I =12

dx

x+ 1 1

2

dx

x 1 + 4

dx

(x 1)2

=12ln |x+ 1| 1

2ln |x 1| 4

x 1 + C = 4

x 1 +12lnx+ 1x 1

+ C.332

PROBLEMA 7.151.

Resolver

x4 x3 x 1

x3 x2 dx.

Solucion

En primer lugar se realiza la division y resulta

x4 x3 x 1x3 x2 = x

x+ 1x3 x2 = x

x+ 1x2(x 1) .

Despues se descompone la fraccion resultante en fracciones simples:

x+ 1x2(x 1) =

A

x+

B

x2+

C

x 1 = x+ 1 = Ax(x 1) +B(x 1) + Cx2.

Para x = 0, 1 = B = B = 1.Para x = 1, 2 = C.

Para x = 2, 3 = 2A+B + 4C = A = 2.Por tanto:

I =

xdx+ 2

dx

x+

dx

x2 2

dx

x 1=

12x2 + 2 ln |x| 1

x 2 ln |x 1|+ C = 1

2x2 1

x+ 2 ln

xx 1+ C.

PROBLEMA 7.152.

Resolver

x2

a4 x4dx.

Solucion

Descomponemos el integrando en fracciones simples:

x2

a4 x4 =A

a x +B

a+ x+Cx+Da2 + x2

.

333

Por tanto, x2 = A(a+x)(a2+x2)+B(ax)(a2+x2)+(Cx+D)(ax)(a+x).

Para x = a, a2 = 4Aa3 y A = 1/4a.

Para x = a, a2 = 4Ba3 y B = 1/4a.Para x = 0, 0 = Aa3 +Ba3 +Da2 = a2/2 +Da2 y D = 1/2.Para x = 2a, 4a2 = 15Aa3 5Ba3 6Ca3 3Da2 y C = 0. As pues:

I =14a

dx

a x +14a

dx

a+ x 1

2

dx

a2 + x2

= 14a

ln |a x|+ 14a

ln |a+ x| 12a

arc tg(x/a) + C.

PROBLEMA 7.153.

Resolver

2x2 + 3(x2 + 1)2

dx.

Solucion

Si descomponemos el integrando, tenemos

2x2 + 3(x2 + 1)2

=Ax+Bx2 + 1

+Cx+D(x2 + 1)2

.

Por tanto:

2x2 + 3 = (Ax+B)(x2 + 1)+Cx+D = Ax3 +Bx2 + (A+C)x+ (B +D).

Igualando terminos del mismo grado resulta A = 0, B = 2, A + C = 0,B + D = 3, lo que al resolver queda A = 0, B = 2, C = 0, D = 1.Entonces,

I =

2dxx2 + 1

+

dx

(x2 + 1)2.

Para la segunda integral hacemos el cambio x = tg z con lo cualdx

(x2 + 1)2=

sec2 zsec4 z

dz =

cos2 zdz = z/2 + (1/4) sen 2z + C,

de donde

I = 2arc tg x+ (1/2) arc tg x+x/2

x2 + 1+ C = (5/2) arc tg x+

x/2x2 + 1

+ C.

334

PROBLEMA 7.154.

Resolver

x3 + x2 + x+ 2x4 + 3x2 + 2

dx.

Solucion

Debido a que x4 + 3x2 + 2 = (x2 + 1)(x2 + 2) tenemos

x3 + x2 + x+ 2x4 + 3x2 + 2

=Ax+Bx2 + 1

+Cx+Dx2 + 2

,

de donde:

x3 + x2 + x+ 2 = (Ax+B)(x2 + 2) + (Cx+D)(x2 + 1)= (A+ C)x3 + (B +D)x2 + (2A+ C)x+ (2B +D),

luego A+ C = 1, B +D = 1, 2A+ C = 1, 2B +D = 2.

Resolviendo el sistema resulta A = 0, B = 1, C = 1, D = 0. Por tanto:

I =

dx

x2 + 1+

xdx

x2 + 2= arc tg x+

12ln(x2 + 2) + C.

PROBLEMA 7.155.

Resolver

x5 x4 + 4x3 4x2 + 8x 4

(x2 + 2)3dx.

Solucion

Tenemos

x5 x4 + 4x3 4x2 + 8x 4(x2 + 2)3

=Ax+Bx2 + 2

+Cx+D(x2 + 2)2

+Ex+ F(x2 + 2)3

,

de donde: x5x4+4x34x2+8x4 = (Ax+B)(x2+2)2+(Cx+D)(x2+2)+Ex+F = Ax5 +Bx4 + (4A+C)x3 + (4B +D)x2 + (4A+2C +E)x+(4B + 2D + F )

335

y se obtiene A = 1, B = 1, C = 0, D = 0, E = 4, F = 0.La integral queda entonces:

I =

x 1x2 + 2

dx+4

x

(x2 + 2)3dx =

12ln(x2+2)

22

arc tgx2 1(x2 + 2)2

+C.

E. APLICACIONES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA.

Es comun tener que resolver problemas en donde se trata de encontrar unafuncion conocida una expresion que involucra a alguna de sus derivadas.Estos problemas reciben el nombre de ecuaciones diferenciales y se resuelvenmediante el proceso de integracion.

Ahora bien, como hay muchas funciones que tienen la misma derivada, paraencontrar una de ellas se necesita una condicion adicional. Generalmente,esa condicion consiste en proporcionar un punto por donde pasa la funcion.

PROBLEMA 7.156.

Encontrar una funcion cuya derivada esdy

dx= 3x2 y que pase por

el punto (1, 0).

Solucion

La funcion que buscamos debe ser primitiva de la funcion dada. De estemodo

y =

3x2dx = x3 + C.

Si sustituimos el punto dado, resulta que 0 = 13 + C. Por tanto, C =1.La funcion que cumple las condiciones del problema es f(x) = x21.

336

PROBLEMA 7.157.

Encontrar una funcion f sabiendo que f (x) =x4 + 1x3

.

Solucion

En este caso debemos realizar dos integraciones: la primera para determinarf y la segunda para obtener f. Deben aparecer por lo tanto dos constan-tes arbitrarias, una por cada integral. Dichas constantes no tienen que sernecesariamente las mismas.

f (x) =

x4 + 1x3

dx =(x+

1x3

)dx =x2

2+x2

2 =x2

2 x

2

2+ C1.

f(x) = (

x2

2 x

2

2+ C1

)dx =

x3

6+x1

2+ C1x+ C2.

Un caso comun de esta situacion consiste en encontrar la posicion en cada

instante de un punto que se mueve en lnea recta conocida la velocidad o laaceleracion del mismo.

PROBLEMA 7.158.

La aceleracion de una partcula que se mueve a lo largo de unarecta es

a(t) = pi2 cospit m2/sg.

Si en el instante inicial (t = 0), la posicion de la partcula es s = 0y la velocidad es v = 8, hallar s cuando t = 1.

Solucion

Mediante integracion directa de la aceleracion con respecto al tiempo, seobtiene la velocidad en cualquier instante t:

v(t) =

pi2 cospitdt = pi

pi cospitdt = pi senpit+ C.

337

Para determinar la constante C, evaluamos la funcion en el punto t =0:

v(0) = 8 = pi senpi0 + C = C; as pues, v(t) = pi senpit+ 8.

Integrando de nuevo respecto a t, de la velocidad se obtiene la posicions(t) :

s(t) =(pi senpit+ 8)dt = cospit+ 8t+K.

La constante K se obtiene conocida la posicion en el instante t = 0:

s(0) = 0 = cospi0 + 8 0 +K = 1 +K, de donde K = 1.

En definitiva, s(t) = cospit + 8t + 1. Como la pregunta que se plantea escalcular s(1), al sustituir resulta s(1) = cospi+8+1 = 10 metros. Existen

ecuaciones diferenciales mas generales en donde no es posible despejar laderivada de la funcion con respecto a la variable independiente. Un casosimple de resolver y el unico que estudiaremos aqu es aquel en donde sepueden separar en ambos miembros de la ecuacion las variables x e y. Elsiguiente ejemplo ilustra el procedimiento a seguir.

PROBLEMA 7.159.

Resolver la ecuaciondy

dx=y sen 2x sabiendo que y(3pi/4) = 1

Solucion

En primer lugar intentamos que las variables x e y esten separadas cada unaen un miembro de la ecuacion. Para ello tratamos a la derivada dy/dx comoun cociente de diferenciales y podemos escribir

dyy= sen 2xdx.

A continuacion se integran ambos miembros de la ecuacion. El primero res-pecto de la variable y y el segundo respecto de la variable x. Es decir escri-bimos:

dyy=

sen 2xdx,

de modo quey1/2

1/2= (1/2) cos 2x+ C.

338

(La constante se anade a uno de los miembros de la ecuacion, pues representala diferencia entre las funciones que tienen la misma derivada). El valor deC se calcula mediante la condicion inicial y(3pi/4) = 1.

11/2

1/2= (1/2) cos(2 3pi/4) + C = 2 = C.

Despejando el valor de y llegamos a:

y1/2 = (1/2)((1/2) cos 2x+2) = (1/4) cos 2x+1 = y = [(1/4) cos 2x+1]2.

En general no se puede obtener la ecuacion en su forma explcita. La ecuacionimplcita sera suficiente para definir la funcion.

339

F. EJERCICIOS PROPUESTOS.

Resolver las siguientes integrales indefinidas:

1.-

4x2 + 7x2

dx.

Resp.: 4x (7/x) + C.

2.-(4x 1)43dx.Resp.: (4x 1)44/176 + C.

3.-x(ax3 + b)2dx.

Resp.: a2x8/8 + 2abx5/5 + b2x2/2 + C.

4.-

4x

1 2x2dx.

Resp.: 21 2x2 + C.

5.-sen t cos t(sen t+ cos t)dt.

Resp.: 13(sen3 t cos3 t) + C.

6.-

cosxsen2 x

dx.

Resp.: cosecx+ C.

7.-

4

1 4x2dx.

Resp.: 2 arc sen 2x+ C.

8.-

xx+ 1

dx.

Resp.: 23(x+ 1)3/2 2(x+ 1)1/2 + C.

Sug.: Sumar y restar 1 al numerador. Despues separar en dos integrales.

340

9.- 38x7dx.Resp.: 3x10/3/5 + C.

10.-

1

x(1 +x)2

dx.

Resp.:2

1 +x+ C.

11.-

sen t+ cos2 t

cos2 tt+ sec t

dt.

Resp.: 2t+ sec t+ C.

12.-(2x2 5x+ 3)dx.

Resp.: 2x3/3 5x2/2 + 3x+ C.

13.-

1

1 x2dx.

Resp.:12ln1 + x1 x

+ C.14.-

1

x2 4dx.

Resp.:14lnx 2x+ 2

+ C.15.-

1

25 16y2dy.

Resp.:140

ln5 + 4y5 4y

+ C.16.-

(4x3 + 3x2 + 2x+ 5)dx.

Resp.: x4 + x3 + x2 + 5x+ C.

17.-(3 2x x4)dx.

Resp.: 3x x2 x5/5 + C.

341

18.-

x3 + 5x2 4

x2dx.

Resp.: x2/2 + 5x+ 4/x+ C.

19.-(x2 1)2dx.

Resp.: x5/5 + x 2x3/3 + C.

20.-

1

4 x2dx.

Resp.: arc sen(x/2) + C.

21.-

1

4 (x+ 2)2dx.

Resp.: arc senx+ 22

+ C.

22.-

x+ 24x x2dx.

Resp.: 4x x2 + 4arc sen x 2

2+ C.

23.-

2x+ 3

9x2 12x+ 8dx.

Resp.:19ln(9x2 12x+ 8) + 13

18arc tg

3x 22

+ C.

24.-cos3 xdx.

Resp.: senx (1/3) sen3 x+ C.

25.-sen3 x cos5 xdx.

Resp.: (1/8) cos8 x (1/6) cos6 x+ C.

26.-tg2 x sec3 xdx.

Resp.: (1/4) sec3 x tg x (1/8) secx tg x (1/8) ln | secx+ tg x|+ C.

27.-cotg 3x cosec4 3xdx.

Resp.: (1/6) cotg2 3x (1/12) cotg4 3x+ C.

342

28.-sen2 xdx.

Resp.: (x/2) (1/4) sen 2x+ C.

29.-cos2 3xdx.

Resp.: x/2 + (1/12) sen 6x+ C.

30.-cos3(x/3)dx.

Resp.: 3 sen(x/3) sen3(x/3) + C.

31.-sen 3x sen 2xdx.

Resp.: (1/2) senx (1/10) sen 5x+ C.

32.-sen 3x cos 5xdx.

Resp.: (1/4) cos 2x (1/16) cos 8x+ C.

33.-cos 4x cos 2xdx.

Resp.: (1/4) sen 2x+ (1/12) sen 6x+ C.

34.-

25 x2dx.Resp.: (1/2)x

25 x2 + (25/2) arc sen(x/5) + C.

35.-

1

x9 + 4x2

dx.

Resp.:13ln

9 + 4x2 3

x

+ C.36.-

x2 lnxdx.

Resp.: (1/3)x3 lnx (1/9)x3 + C.

37.-x tg2 xdx.

Resp.: x tg x+ ln | cosx| x2/2 + C.

38.-x2 arc tg xdx.

Resp.: (1/3)x3 arc tg x x2/6 + (1/6) ln(1 + x2) + C.

343

39.-

1

x2 1dx.

Resp.:12lnx 1x+ 1

+ C.40.-

2x 34x2 11dx.

Resp.:14ln |4x2 11| 3

11

44ln

2x11

2x+11

+ C.41.- Sea y = f(x) una funcion cuya derivada es f (x) =

1(x 1)2 . Cal-

cular f(4) si f(2) = 1.Resp.: f(x) = 1/(x 1) + C; f(4) = 1/3.

42.- Definir y representar graficamente una funcion y = f(x) queverifique

f (x) = 2, f (1) = 2, f(3) = 5.

Resp.: f(x) = x2 4.

43.- Encontrar la velocidad y la posicion de una partcula en cual-quier instante t si esta se mueve en lnea recta con una acelera-cion dada por a(t) = 3t t2 si ademas la velocidad y la posicionen el instante t = 1 sg. son v = 7/6 m/sg. y s = 1 m.

Resp.: v(t) = 3t2/2 t3/3 m/sg.; s(t) = t3/2 t4/12 + 7/12 m.

44.- Responder a las mismas preguntas del ejercicio anterior si

a(t) = 18 sen 3t; v = 6 y s = 4 cuando t = 0.Resp.: v(t) = 6 cos 3t; s(t) = 4 2 sen 3t.

45.- Resolver la ecuacion y4 x2 dy

dx= 3x sabiendo que y(0) = 2.

Resp.: y = 6(4 x2)1/2 + 16.

46.- Determinar la curva cuya pendiente en cada punto (x, f(x)) esx1 + x2 y que pase por el punto (0,3).

Resp.: f(x) =(1 + x2)3/2 10

3.

344

47.- Hallar la ecuacion de la curva que pasa por el punto (4, 2) y cuyapendiente en cada punto es x/y.

Resp.: x2 y2 = 12.

48.- Sea y = f(x) una funcion cuya derivada esta dibujada a conti-nuacion.

Si f(x) es continua en 2 y f(2) = 0, definir f y representarla.

Resp.: f(x) =

{x2

2 + x si 3 x 2,x 2 si 2 < x 1.

345