Ejercicios Resueltos Circuitos Trifásicos.pdf

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL Departamento de Automatización y Control Industrial Análisis de Circuitos Eléctricos II

Circuitos Trifásicos: magnitudes OECA - 2005 pág. 1

1.- Una fuente 3 simétrica de secuencia negativa, tiene un voltaje entre líneas

][200||__

VV L y alimenta a una carga 3 en Y sin neutro, cuyas impedancias son

][101 Z , ][52 jZ y ][103 jZ . Determine las corrientes y los voltajes de fase.

El circuito correspondiente, viene dado por:

donde: 02005510 ba IjIj

12020055 ba IjIj

resolviendo el sistema anterior, se tiene que:

34.666.231549.24 jI a

66.1398.102.5153.17 jI b

por lo tanto: ][1549.241 AII a

][º15064.1432.768.122 AjIII ab

][º8.12853.173 AII b

entonces: VIZV º159.2441549.24*10111

VjIZV º602.7315064.14*5222

VjIZV º8.383.1758.12853.17*10333

1

2

3

1I

2I

3I

10

j10 -j5 aI

bI

+

+

+

1V

2V 3V

O



2.- Obtenga el valor que marca el voltímetro ideal, si ][31 Z y ][43 jZ . La fuente

3 simétrica es de secuencia negativa y tiene un voltaje entre líneas ][200||__

VV L .

La lectura del voltímetro viene dada por: || 20V

donde: 0, 21110 IIZV 121020 VVV

además: º020012 V

º120200

º120200

31

23

V

V

por lo tanto: º9.64043

º60200

31

1331

jZZ

VII

º9.6120º9.640*310 V

por tanto: º9.16913.8235.1486.80º0200º9.612020 jV

entonces, la lectura del voltímetro es: 82.13 [V]

3.- Encuentre el valor de la impedancia YZ de la carga 3 en Y y el valor de los voltajes

cabcab VVV______

,, . La fuente 3 es simétrica con un voltaje entre líneas ][200||__

VV L y una

corriente de línea ][10||__

AI L , cada línea tiene una impedancia ][10 jZL .

°

°

°

Z1

o

Z3

V

Z2→∞ [Ω]

1I

2I

3I

1

2

3

1I

2I

3I 12V

23V

31V 1I

2I

3I

1

2

3

Carga 3Ø

simétrica en Y

ZY

ZL

°

ZL

°

ZL

°

a

b

c



Dado que el circuito es completamente simétrico, el análisis se reduce a 1/3, esto es:

donde: º020012 V (según diagrama fasorial)

entonces: º303

2001 NV

además: AI º120101

__

(según diagrama fasorial)

por tanto: L

N

YYLN Z

I

VZIZZV

1

__

1

__

1

__

1

__

)(

así:

55.1º9055.110º9055.1110º12010

º303

200

jjjZY

por otro lado: VIZV Yao º3047.15º12010º9055.11

____

con lo que: VVVVV aoboaoab º08.26º03

][º1208.26

][º1208.26

VV

VV

ca

bc

4.- La fuente 3 simétrica de secuencia positiva, tiene un voltaje ][200__

VVL . Calcule los

voltajes cabcab VVV______

,, por dos métodos: a) mallas, b) transformación Y .

°

°

1I ZL

ZY

a

o

1

N

°

°

° a

b

c

j12/5

j2/5

6/5

1

2

3

2

-j1

j1



a) mediante el método de variables de corriente (mallas), se tiene:

donde:

120200

120200

0200

31

23

12

V

V

V

entonces:

0

º120200

º0200

1212

15

7

5

6

5

2

25

2

5

4

c

b

a

I

I

I

jjj

jjj

jjj

cuya solución, viene dada por:

4.10806.79750.25

13506.10217.7217.72

7506.10259.9841.26

jI

jI

jI

c

b

a

por tanto:

][6.7112.158)(*2

][4.9325.4717.4783.2)(*1

][6.11413.11318.4782.102)(*2

VIV

VjIIjV

VjIIjV

cca

cbbc

caab

b) mediante transformación Y , se tiene:

°

°

° a

b

c

Za

ZC Zb

o

j12/5

j2/5

6/5

1I

2I

3I

1

2

3

°

°

° a

b

c

j12/5

j2/5

6/5

1

2

3

2

-j2

j1

aI

bI

cI



donde:

6.11689.05

4

5

2

12

2

12

)1(2

6.2689.05

2

5

4

12

)2)(1(

4.6379.15

8

5

4

122

)2(2

jj

j

j

jZ

jj

jjZ

jjj

jZ

c

b

a

entonces:

por tanto:

4513.15

4

5

4

5

4

5

4

5

65

4

5

4

5

25

4

5

4

5

12

3

2

1

jZ

jZZ

jZjZ

jZjZ

Y

c

b

a

además: 06.10213.1

47.115321

Y

f

L

Z

VIIII

así:

][4506.102)4590(06.102

][16506.102)45150(06.102

][7506.102)4530(06.102

3

303

2

202

1

101

AZ

VI

AZ

VI

AZ

VI

por lo que:

][8.11452.11303.10365.4721 VjIZIZV baab

][4.9301.4793.4678.232 VjIZIZV cbbc

][4.7121.15896.14943.5013 VjIZIZV acca

°

°

°

Z1

Z3 Z2

O

1I

2I

3I

1

2

3


Circuitos Trifásicos: potencias OECA - 2005 pág. 6

5.- Una fuente 3 simétrica de secuencia positiva, tiene un voltaje ][200||__

VV L y alimenta

a una carga 3 en Δ, cuyas fases son adelantofpWZ 707.0,][100: 1212 ;

][5023 Z y atrasofpVAZ 866.0,][50: 3131 . Determine la potencia activa, reactiva

y el factor de potencia de la fuente 3 .

Donde:

.][100)º45(*

º45707.0,][100:

1212

12121212

capVARtgPQ

adelantofpWPZ

][0,][800

50

200][50 23

2

23

2

2323 VARQWR

VPZ

L

.][25)º30(||

][3.43||

º30866.0,][50||:

3131

313131

31313131

indVARSenSQ

WfpSP

atrasofpVASZ

entonces: ][3.9433.438001003123123 WPPPP

capVARQQQQ ][75251003123123

adelanteCosP

QtgCosfp 9968.055.4

3

31

3

6.- Una fuente 3 simétrica de secuencia negativa, tiene un voltaje de 200 [V] entre líneas, se

conecta a una carga 3 en conexión Y con neutro, cuyas fases son ][74.57:1 VARZ ,

atrasofp 866.01 ; ][502 Z ; ][35.35:3 WZ , adelantofp 707.03 . Obtenga las

corrientes de línea y el factor de potencia de la fuente 3 .

El circuito correspondiente, viene dado por:

°

°

°

Z1

Z3 Z2

O

1I

2I

3I

1

2

3

N NI



donde:

1203

200

1203

200

05.11503

200

3

2

1

N

N

N

V

V

V

los triángulos de potencias, vienen dados por:

AI

SenenV

QI

atrasofpQZ

N

301 A1

)30(*3

200

57.74

)30(S

)(30 866.0,VAR57.74:

1

1

11

111

AV

IZN

12031.250

1203

200

50 :

222

A7543.043.0

707.0*3

200

5.353

C

)(45 707.0 ,5.353:

3

33

33

333

IAosV

PI

adelantofpWPZ

N

entonces, el triángulo de potencias totales, está dado por:

atrasoCostgCosfp

indVARQQQQ

WPPPP

99845.019.32.402

39.22

.39.2235.35074.57

02.40235.3567.266100

1

3

3213

3213

7.- La fuente 3 simétrica de secuencia negativa, tiene un voltaje ][200__

VVL . Encuentre la

potencia activa, reactiva y el factor de potencia de la fuente 3 . Donde ][430 jZ ;

carga 3 simétrica ][5003 VAS y atrasofp 6.03 .

1

2

3

ZO

CARGA

TRIFÁSICA

SIMÉTRICA



Donde: ][13.535430 jZ

por tanto: ][405

200

0

0 AZ

VI

L

.][64004*)40(*

][48003*)40(*

2

0

2

00

2

0

2

00

capVARXIQ

WRIP

carga 3 : 13.536.0,][500 333 atrasofpVAS

.][400,][300 33 indWQWP

fuente 3 : ][51003004800303 WPPP f

.][60004006400303 capVARQQQ f

adelantoCosP

QtgCosfp

f

f

f 6476.0)63.49(3

31

3

8.- Calcule el voltaje de línea en la fuente 3 simétrica de secuencia negativa, si el voltaje de

línea a los terminales de la carga 3 simétrica es ][200||__

VV L , además ][10 LZ .

Puesto que: )sec(200 VVVV cabcab , 10LZ

carga 3 simétrica: º45707.0,10 333 adelantofpKVARQ

considerando 1/3 del circuito, se tiene:

1I

2I

3I

1

2

3

Carga 3Ø

simétrica en Δ

Q3Ø=10[KVAR]

fp3Ø=0.707 adelanto

ZL

°

ZL

°

ZL

°

a

b

c

°

°

1I ZL

ZY

a

o

1

N


Circuitos Trifásicos: mediciones OECA - 2005 pág. 9

donde: ASenfpV

QIIII

L

L 83.40)º45(*200*3

10000

3 3

3321

además:

º120200

º120200

º0200

ab

ab

ab

V

V

V

AI

VV ao

º7583.40

][º303

200

1

entonces: 13.45268.205º3047.115º7583.40*10____

1

__

jVIZV aoLLN

º5.6572.4961

__

NV

por lo tanto: VVVVV NNN º5.3534.860)º30º5.65(3 12112

VV

VV

º5.8434.860

º5.15534.860

31

23

9.- La fuente 3 simétrica de secuencia positiva, tiene un voltaje ][200__

VVL . Determine

los valores que marcan los instrumentos de medida.

Donde:

120200

120200

0200

31

23

12

V

V

V

entonces: ][67.6603

0200

1

12

__

1 AZ

VI

][3050904

60200

3

32

__

3 AZ

VI

°

°

°

Z1=3 [Ω]

o

1I

2I

3I

1

2

3

Z3=j4 [Ω]

A

Z2=0 [Ω]

W1

W3

+

+



por tanto:

][0))30(60(*50*200

][13334)0(*67.66*200

332

112

,3323

,1121

WCosCosIVW

WCosCosIVW

IV

IV

además: ][2.16777.112)2597.109()( 312 AjIII

entonces, la lectura del amperímetro es: ][77.1122 AI

10.- Obtenga el valor de Z de la carga 3 simétrica en ∆, si la fuente 3 simétrica de

secuencia positiva tiene un voltaje de línea ][200||__

VV L y los elementos vatimétricos

marcan respectivamente ][800,][200 21 WWWW . Además ][10 jZL .

Siendo el circuito completamente simétrico, el análisis se reduce a 1/3, esto es:

donde:

ZeqtgP

Qtg

capVARWWQ

WWWP

º89.70600

31000

.310008002003)(3

600800200

1

3

31

3

213

213

entonces: ACosCosV

PII

LL 29.5

)º89.70(*200*3

600

3 3

31

°

°

° 1I

2I

3I

1

2

3

W1

W2

Carga 3Ø

simétrica en Δ

ZΔ

ZL

ZL

ZL

+

+

°

°

1I ZL

ZΔ/3

o

1

N

1I

Zeq

°

° o

1

N



por tanto: 82.2129.5

3

200

1

1

I

VZ

N

eq

finalmente:

3

º89.7082.21 Z

ZZ Leq

así: ][º564.38)10º89.7082.21(3 jZ

11.- Una carga 3 simétrica en Y, viene dada por atrasofpVARQ 5.0,][400 33 ; se

conecta a una fuente 3 simétrica de secuencia negativa con voltaje de línea

][200||__

VV L , a través de líneas de impedancias LZ . Encuentre el valor de la

impedancia de la carga 3 y de la impedancia de cada línea, si los vatímetros miden

][2002 WW y ][8003 WW .

Fuente 3 : [W]600 800200- 323 WWP f

.][3100020080033 233 indVARWWQ f

carga 3 : .][4003 indVARQ , 605.0 33 fp

][231)60(

400

)( 3

3

3 Wtgtg

QP

líneas: ][369231600333 WPPP fL

.][133240031000333 indVARQQQ fL

°

°

° 1I

2I

3I

1

2

3

W2

W3 +

Carga 3Ø

simétrica en Y

Q3Ø=400 [VAR]

fp3Ø=0.5 atraso

+ ZL

ZL

ZL



por otro lado:

f

fL

fLfLLf

P

QtgCosV

PIfpIVP

3

31

3

33

3

3

][29.59.70*200*3

600A

CosI L

realizando el análisis del 1/3 del circuito, se tiene:

donde:

LZ : ][1233

369

3

3W

PP

L

L

][39.4

29.5

12322

2

1 L

LLLL

I

PRRIP

.][4443

1332

3

3indVAR

QQ

L

L

][87.15

29.5

44422

2

1 L

LLLL

I

QXXIQ

entonces: ][º5.745.1687.1539.4 jjXRZ LLL

además: YZ : ][773

231

3

3W

PPY

][75.229.5

7722

1

2

1 I

PRRIP Y

YYY

.][1333

400

3

3indVAR

QQ

y

Y

][75.4

29.5

13322

1

2

1 I

QXXIQ Y

YYY

entonces: ][9.595.575.475.2 jjXRZ YYY

°

°

1I ZL

ZY

o

1

N



12.- Una fuente 3 simétrica de secuencia positiva tiene un voltaje entre líneas

][200|| VV L y se conecta a dos cargas 3 simétricas. Carga #1: ][4003 WP ,

atrasofp 5.03 ; Carga #2: ][3003 VARQ , adelantofp 707.03 . Calcule el valor

de la lectura de cada uno de los vatímetros.

Los triángulos de potencias de las cargas 3 , vienen dados por:

Carga # 1: º605.0,][400 33 atrasofpWP

.][82.692)º60(33 indVARtgPQ

Carga # 2 : º45707.0,][300 33 adelantofpVARQ

][3003 WP

Carga 3 total: ][7003004003 WP t

.][82.39230082.6953 indVARQ t

entonces:

8.2263

392.82 82.3923

700 700

13133

13133Ø

WWWWQ

WWWWP

resolviendo las expresiones anteriores, se tiene:

][6.2361 WW

][4.4633 WW

°

°

° 1I

2I

3I

1

2

3

W1

W3

+

+

Carga 3Ø

simétrica

# 1

Carga 3Ø

simétrica

# 2


Condiciones Iniciales OECA - 2005 pág. 14

13.- Determine los valores de corriente )0( i y la derivada del voltaje 0dt

dv, si en 0t , se

cierra el interruptor.

Análisis en 0t :

donde:

)0()0()0()0()0()0( 2628: CLCCLL viviviLVK

)0(

)0(

)0()0(

)0()0(

22

610:

L

C

LC

CCi

vii

viLCK

entonces: V14 228)0()0(

CC vv

Av

iL 32

144

2

4

)0(C

)0(

análisis en 0t :

donde:

)0()0()0( [A]-3 iii LL

V14 )0(C)0(

vvC

2/5

2

6

1/12

2 10 +

8 + vC(0-)

iL(0-)

2

2/5

+

8

iL(0+)

6

1/12 + vC(0+)

iC(0+)



además: )0(

0

12

CCC i

dt

dv

C

i

dt

dv

dt

dv

por otro lado: 66

0)0(

)0(

C

CC

CCC

vi

viRiv

entonces: ][28 6

1412

612

)0(

0

sVCv

dt

dv

14.- Obtenga los valores de )(0v y

0dt

di, si en 0t el conmutador pasa de la posición (a) a

la posición (b).

Análisis en 0t :

donde: VvAi CL 10,5)0()0(

análisis en 0t : VvAi CL 10,5

)0()0(

donde: Vivv LL 105*410410)0()0()0(

+

10μ(t)

(b) +

10

1/2

4 2

(a)

t = 0

1/4

i(t) ° °

°

+ v(t)



además: dt

di

dt

dviv C

C 20210

entonces:

sAv

i

i

C

i

dt

dv

dt

di

C

CC

202

10*22

41*

2

1*

2

1

2

1

)0(

)0(

)0()0(

00

15.- Encuentre los valores de )(0i y

0dt

di, si cada uno de los interruptores actúa en el

instante señalado.

Análisis en 0t : AiVv LC 0,0

)0()0(

análisis en 0t :

donde: VdttVti oC

0

0

)0(10)(10

1

1)(10

además: AIvL 00 0)0(

1 1

1

1

t = 0+ t = 0- i(t)

10δ(t)

° °



análisis en 0t : AiVv LC 0,10

)0()0(

donde: Aii L 0)0()0(

además: sAv

L

v

dt

di

dt

diii

CLLL 10

1

)0()0(

00

16.- Calcule los valores de )0( i y

0dt

dv si cada uno de los interruptores se abren en el

instante señalado.

10δ(t)[V]+

1Ω

t=0+

t=0-

i(t)

1H

1Ω

1F V(t)

+

10[A]

Análisis en 0t :

1Ω

iL(0-)

1H

1Ω

1F Vc(0-)

+

1Ω1Ω

V(t)1F

i(t)

1H

10i(0-)

VL(0-)

+

Ic(0-)

+

10

puesto que: 01

00)0(

)0()0()0(

L

LC

vivi



además: ][00:)0()0()0()0(

AiiiiLCK LLC

][10*110:)0()0()0()0(

VvvviLVK CCLC

análisis en 0t :

1Ω

iL(0)

1H

1Ω

1F Vc(0)VL(0)

+

+10δ(t)

+ V(0)

n1 ic(0)

i(0)

donde: )0()0()0(: CL iiiLCK

)0()0(*1)(10: LvitLVK

)0()0()0( CL vvv

entonces: )(5)(10)(10)0()0()0()0(

titvvit CLLC

por tanto: ][5)(51

10

0

0 AdttI

análisis en 0t : )0(0)0()0(][5 iAIii LL

+

1Ω

Vc(0+)

1F

iL(0+)

1H

i(0+)

V(0+)

+

V(0+) +

donde: 51

)0()0(

00

LCCi

c

i

dt

dv

dt

dv

por lo que: ][50

sV

dt

dv



17.- Determine los valores de )0( i y 0dt

dv.

Análisis en 0t : VvAi CL 0,0 )0()0(

análisis en 0t :

donde: )(10)(10 )0(

21

)0(

)0()0( tiv

iit C

C

LC

entonces: VdttV 20)(101

0

021

0

además: AIvv CL 00 0)0()0(

análisis en 0t :

VVvv

AIii

CC

LL

20

0

0)0()0(

0)0()0(

donde: ][402

1

)0(

)0( Av

iC

10δ(t)

2

1/2 1/2

iL(0)

+ vC(0)

iC(0)

vL(0)

+

v

+

+ vC(0+)

2

1/2 1/2

iL(0+)

i +

10



además: dt

dv

dt

dv

dt

dv

dt

dvvvLVK CC

C 010:

entonces: )0(

21

)0(

00

2

C

CC ii

dt

dv

dt

dv

también: AiiiiiiLCK LCCL 40400: )0()0()0(

por tanto: sV

dt

dv80402

0

18.- Obtenga los valores de )0( v y 0dt

di, si en 0t el conmutador pasa de la posición (a)

a la posición (b).

Análisis en 0t :

donde:

Aiv

iiLCK

VvvvLVK

L

C

CL

CCL

52

:

1010:

)0(

)0(

)0()0(

)0()0()0(

análisis en 0t :

Vvv

Aii

CC

LL

10

5

)0()0(

)0()0(

1/2

2 + vC(0-)

1/4

iL(0-)

+

10



donde:

L

t

C

C

iiiLCK

eiv

vvLVK

0

2

0

:

102

10:

entonces: Vvvvv CC 010101010 )0()0()0()0(

manipulando las expresiones anteriores, se tiene:

L

t

L

t

C iieiiev 2210210 22

L

t iiev 221010 2

derivando la última expresión y evaluando en 0t , se tiene:

21

)0(

000

2

00

22

102

110

2

1

2102

122200

LLt

LtLt

v

dt

dv

dt

die

dt

dv

dt

di

dt

die

dt

dv

dt

di

dt

di

dt

die

dt

dv

además: dt

dv

dt

dv

dt

dv

dt

dvvv CC

C 010

entonces:

)0()0()0(

41

)0(

)0(

00

21022102

1210

2

1

LCL

C

LC viv

iv

dt

dv

dt

di

también:

Vvv

Av

iiii

CL

C

LLC

0101010

52

10105

2

10

)0()0(

)0(

)0()0(0)0()0(

por lo que: sA

dt

di20021052

0

1/2 2

+ vC(0+)

1/4

iL(0+)

+

10

+

10e-2t|t=0+

i0

i

v +


Respuesta Completa: tiempo OECA - 2005 pág. 22

19.- Encuentre la respuesta de corriente )(ti válida para t , si en 0t el interruptor se

abre.

1Hi(t)

2Ω

2F

t=0+

10[V]

+

10δ(t)[A]

Para 0t :

si la fuente se iguala a cero, la configuración es R-L-C en serie, esto es:

2

21,1

20

LCw

L

Rs

cuyas raíces, vienen dadas por: 707.1,293.0 21 pp

la solución general es: tt eAeAti 707.1

2

293.0

1)(

además: tt eAeAti 707.1

2

293.0

1 707.1293.0)('

por lo tanto: 21)0( AAi

21)0( 707.1293.0' AAi

análisis en 0t : ][0,][0 )0()0( VvAi CL

análisis en 0t :

+

10

2

2

1

i(t)

1

2

2

iC(0)

+

vC(0)

10δ(t)

iL(0)

+ vL(0+)



donde: )(202,)(10 )0()0()0( tivti CLC

entonces: ][52

10

0

)0(0 VdtiV C

, ][201

10

0

)0(0 AdtvI L

análisis en 0t : )0(0)0()0( ][20 iAIii LL

][50)0()0( VVvv CC

además: ][451

)2(10 )0()0()0(

00

sACLL

vi

L

v

dt

di

dt

di

por tanto: 21)0( 20 AAi

21)0( 707.1293.045' AAi

donde: 68.27,68.7 21 AA

esto es: )(]68.2768.7[)(10)( 707.1293.0 tueetti tt

20.- Calcule la respuesta de voltaje )(tv válida para todo t.

Para 0t :

+

10

2

2

1

i(0+)

+

vC(0+)

iL(0+)

5 1/4

3

1/2 +

v(t)



donde:

3

:

5:

vi

vvvLVK

iiLCK

C

CL

CL

entonces: vdtidt

dic

L 4

1

1

2

1

vvdtdt

dvvdt

vv

dt

d

vdtidt

divdtii

dt

dC

CCC

3

4

6

1

34

32

1

42

145

2

1

derivando:

0863

4

6

12

2

2

2

vdt

dv

dt

vd

dt

dvv

dt

vd

donde, la ecuación característica y sus raíces vienen dadas por:

4,2086 21

2 pppp

por otro lado:

tt

p

tt

eAeAdt

dv

tveAeAtv

4

2

2

1

4

2

2

1

42

)()(

21

0

21)0(

42 AAdt

dv

AAv

análisis en 0t : AiVv LC 0,0 )0()0(

análisis en 0t :

donde:

)(303:

)(10)(10:

)0()0()0()0(

)0()0()0(

tvivvLVK

tiiitLCK

LCCL

CCL

1/4

3

1/2

iL(0) + vC(0) 10δ(t)



entonces:

AdttI

VdttV

60)(301

40)(101

0

021

0

0

041

0

análisis en 0t :

VVvv

AIii

CC

LL

40

60

0)0()0(

0)0()0(

donde:

C

CL

LC

iv

vvvLVK

iiLCK

3

:

5:

manipulando las ecuaciones, se tiene:

Viviiv LLC 195315533 )0()0(

también: LLL vdt

dvv

dt

dvdtv

v62

3

115

3 21

donde: sV

CC vvdt

dvvv

dt

dv930666 )0()0(

0

por lo tanto:

93042

195

21

21

AA

AA

270

75

2

1

A

A

finalmente:

)(27075)(30)(

)(270753)(

42

42

)0(

tueettv

tueeitv

tt

tt

C

5 1/4

3

1/2 +

v

iL(0+) + vC(0+)



21.- Determine la respuesta de voltaje )(tv , válida para t , si en 0t el interruptor se abre.

Para 0t :

donde: 13

10

3

5

2

1

2 raíztv

dt

dvt

dt

dvv

entonces: 3

10)()()( 2121 KKKtKtvtvAetv PP

t

por tanto: 3

10

3

10

3

10)( )0(

AvtAetv t

análisis en 0t :

donde: 232

10,

2

5

22

1021

ii

entonces: VvC 62*3)0(

análisis en 0t :

3 2 2

2 ½ 5δ(t) 5tμ(t) +

10

t = 0- +

v(t)



donde: VdttVtiC

0

0

0)0(3

10)(

3

5

21

1)(

3

5

análisis en 0t : VvC

3

28

3

106

)0(

donde: Vvv C3

28)0()0(

entonces: 3

38

3

10

3

28)0( AAv

por lo que: )(381103

1)( tettv t

22.- Obtenga la respuesta de corriente )(ti , válida para t , si en 0t el conmutador pasa de

la posición (a) a la posición (b).

Para 0t :

donde:

idtvv

ivt

463

15

entonces: idtiidttidtiidtt3

2

3

454

6

14

3

15

derivando y reordenando términos, se tiene la e.d.o.: 252 raízidt

di

3

¼ 6

i(t)

5δ(t) +

12 +

15t

°

°

° (a)

(b) t = 0-



por lo que: 2

5)()()( 2 KKtitiAeti pp

t

así: 2

5

2

5)( )0(

2

AiAeti t

análisis en 0t :

donde: VvC 812*63

6)0(

análisis en 0t :

donde: VdttVtiC 20)(541

1)(5

0

0

0)0(

análisis en 0t : VvC 28820)0(

donde: Av

iAv

iCC

6

28

6,

3

28

3

)0(

)0(2

)0(

)0(1

entonces: Ai 146

28

3

28)0(

por lo tanto: 2

33

2

514)0( AAi

finalmente: )(5)(2

33

2

5)( 2 tteti t



23.- Encuentre la respuesta de corriente )(ti válida para t , mediante superposición.

Para 0t :

a) acción de la fuente: )(5 2 te t

donde: te

dt

diidti 2111 524

21

1

derivando: 152 2

11

2

1

2

raiceseidt

di

dt

id t

entonces: )()( 1

2

211 tietAAti p

t

esto es: 5)( 2

1 KKeti t

p

por tanto: 55)( 1)0(1

22

211

AieetAAti tt

además: 1010 12

0

12

21

2

21

AAdt

dieetAAeA

dt

di ttt

análisis en 0t : 0,0

)0()0(

CL vi


)0()0(

CL vi

donde: Aii L 0)0()0(1

i(t)

1

2

3 ½ +

5e-2tμ(t) 10δ(t)



también: L

v

dt

di

dt

di LL )0(

00

1

así: sAdt

diveviv L

t

Lc2

5554

0

1

)0(0

2

)0()0(1)0(

por lo tanto:

2

5

5

102

5

50

2

1

12

0

1

1)0(1

A

A

AAdt

di

Ai

entonces: )(52

55)( 2

1 teetti tt

b) acción de la fuente: )(10 t

donde: 1raices

entonces: 0)()()( 22432 titietAAti pp

t

por tanto: 3)0(2432 )( AietAAti t

además: 34

0

2434

2 AAdt

dietAAeA

dt

di tt


)0()0(

CL vi

análisis en 0t :

donde: VdttVtiC 20)(1021

1)(10

0

0

0)0(



además: AdttIttvL 15)(302

1)(30)(10*3

0

0

0)0(


)0()0(

donde: Aii L 15)0()0(2

además: L

v

dt

di

dt

di LL )0(

00

2

entonces:

sAdt

di

Vivv CL

202

40

4015*420*4

0

2

)0(2)0()0(

por lo tanto:

5

15

20

15

2

1

34

0

2

3)0(2

A

A

AAdt

di

Ai

así: )(35)(2 tetti t

con lo que: )(52

1520)()()( 2

21 teettititi tt

24.- Calcule la respuesta de voltaje )(tv válida para t , mediante superposición.

Para 0t :

2 1

3 ½ +

5e-2tμ(t) 10δ(t)

+

v(t)



a) acción de la fuente: )(5 2 te t

donde: L

C iv

dt

dv

22

1 1

además: 1

2

1

2 55 vevvve t

CC

t

entonces: L

t iv

vedt

d

25

2

1 11

2

también: dt

diiv L

L 31

por tanto: 22

15

22

15 112112 v

dt

dveii

v

dt

dve t

LL

t

así:

22

15

22

153 112112

1

v

dt

dve

dt

dv

dt

dvev tt

con lo que: 121054 2

11

2

1

2

jraicesevdt

dv

dt

vd t

cuya solución general, viene dada por:

t

pp

t KetvtvesentAtAtv 2

11

2

211 )()(cos)(

donde: tt eesentAtAtvK 22

211 10cos)(10

además: ttt eesentAtAetAsentAdt

dv 22

21

2

211 20cos2cos

con lo que: 202,10 12

0

11)0(1

AA

dt

dvAv


)0()0(

CL vi


)0()0(

CL vi



donde: Vvev C

t 55)0(0

2

)0(1

además:

0

0

2

0

12

1 105dt

dve

dt

dvvev Ct

C

t

entonces: sVi

v

C

i

dt

dv LC

1521

21010)0(

)0(1

)0(

0

1

por tanto:

5

15

20215

105

2

1

12

0

1

1)0(1

A

A

AAdt

dv

Av

finalmente: )(105cos15)( 22

1 teesentttv tt

b) acción de la fuente: )(10 t

donde: tesentKtKtvvdt

dv

dt

vd 2

43222

2

2

2

cos)(054

además: tt esentKtKetKsentKdt

dv 2

43

2

432 cos2cos

entonces: 34

0

23)0(2 2, KK

dt

dvKv


)0()0(

CL vi



análisis en 0t :

donde: )(10)0()(303)(10 0)0(0 titiVti CL

además:

0

0

0)0(

0

0

0)0(

20)(1021

1)(10

30)(301

1)(30

VdttVti

AdttItv

C

L


)0()0(

donde: Vvv C 20)0()0(2

además: sVi

v

C

i

dt

dv

dt

dv LCC 80

212

)0(

)0(2

)0(

00

2

entonces:

40

20

280

20

2

3

34

0

2

3)0(2

KKKdt

dv

Kv

por lo tanto: )(2cos20)( 2

2 tesentttv t

con lo que, aplicando superposición, se tiene:

)(29cos75)()()( 22

21 teesentttvtvtv tt


Respuesta Completa: frecuencia OECA - 2005 pág. 35

25.- Determine la respuesta de voltaje )(tv , válida para t , si en 0t el conmutador pasa

de la posición (a) a la posición (b).

Conmutador en la posición (a):

análisis en 0t : ][105*2,][101

10)0()0( VvAi CL

análisis en 0t : ][10,][10 )0()0( VvAi CL

conmutador en la posición (b):

el equivalente a los terminales x – y, viene dado por:

donde: s

s

s

ssI2

520

4

10

1

10

0

,

4

4

41

41

0

s

s

sZ

+

10/S

40/3

+

10/S

+

4S/3 4/S

x

y

1

+

10/S

10/S

+

4/S

x

y

1

°

°

+

10 4/3 1/4

1

+ v(t)

iL(0+)

vC(0+)

+

°

°

x

y

Z0 I0



entonces:

donde: 4

410

2

520*

4

4000

ss

s

s

s

sIZV

entonces:

31

103

40

3

43

40

*3

4)(

0

0

ss

s

sZ

V

ssV

así:

3110)( 21

s

A

s

AsV

por lo tanto:

)(35)(2

3

2

110)(

)(13

10)(

33

31

teeteetv

tes

se

s

stv

tttt

s

st

s

st

26.- Obtenga la respuesta de voltaje )(tv , válida para t , si en 0t el conmutador pasa de

la posición (a) a la posición (b).

Conmutador en la posición (a):

análisis en 0t : ][0,][10 )0()0( AiVv LC

+

V0

x

y

Zo

°

°

+

V(S)

4S/3

40/3

+



para 0t : conmutador en la posición (b)

el equivalente a los terminales x – y, viene dado por:

entonces:

s

s

s

s

s

ssI1

2

55

1

2

5

2

10

4

10102

0

12

4

2

1

4

1

4

120

ss

s

s

sZ

por tanto:

1

110

1

110

1

2

5*

12

4)(

2200ss

s

s

s

ss

sIZsV

donde: )(10)( tetv t

27.- Encuentre la respuesta de corriente )(ti , válida para t , si en 0t el interruptor se

abre.

Interruptor cerrado:

análisis en 0t : ][0 , [A] 0 )0()0( Vvi CL

°

°

x

y

Z0 I0

+

V(S)



análisis en 0t :

donde: ]][8)(2

41

1)(2

41

)(100

0

0)0( VdttVtt

iC

][4)(82

1)(8)(2*4

0

0

0)0( AdttIttvL

interruptor abierto:

análisis en 0t : ][8 , ][4 )0()0( VvAi CL

para 0t :

donde: 112

874

2222

16148

442

88

2

10

)(2

2

2

jss

ss

sss

ss

ss

sssI

entonces:

conj

js

A

s

AsI

112)( 21

por tanto: 522

874

2

2

2

1

sss

ssA

1802

1

112

874

11

2

2

jsjss

ssA

donde:

conj

jsssI

11

1802

1

2

5)(



finalmente:

)(5)(2)(

)(1802

125)(

2

2

teCostetti

ttCoseeti

tt

tt

28.- Calcule la respuesta de corriente )(ti válida para t .

Análisis en 0t :

donde: ][0,][101

10)0()0( VvAi CL

para :0t

donde:

entonces:

14

4

41

41,

5

1

10

4

4050220

s

s

s

sZ

s

s

ssI



además:

donde: 14

205

14

42000

ssss

sIZV

también:

donde:

16

10

214

4

14

20

20

0

1

ss

s

s

ss

Z

VI

por tanto: 102

2

2)( 1

0

0

I

sZ

ZsI

12

1

12

53

2010)(

16411010

16

10

22

14

4

214

4

)(2

js

ssI

ss

s

ss

ss

ss

s

sI

entonces:

.

12

1

12

53

2010)( 1 conj

js

AsI

donde:

7.7855.22

5

2

1

2

15

12

1

12

5

12

1

12

5

1 jj

j

js

sA

js



así:

conj

js

sI

12

1

12

5

7.7855.2

3

2010)(

por lo que: )(7.7812

155.22

3

20)(10)( 12

5

tutCosettit

)(7.7833.899.33)(10)( 42.0 tutCosetti t

29.- Determine la respuesta de corriente )(ti válida para t .

Análisis en 0t :

donde:

Vv

Ai

ivvLVK

iiv

LCK

C

L

LLC

CL

C

4

2

2:

16:

0

0

000

00

0

para 0t :



donde:

6

4

22

1

22

4

2

22

1

0

0

s

s

s

s

Z

ssI

entonces: 6

2

4

2

6

4000

sss

sIZV

por tanto:

65

24304

)6()4(

)6)(1(42

1

6

4

14

6

2

1

14

)(2

2

0

0

ss

ss

sss

sss

ss

ss

s

s

sZ

s

sV

sI

)3)(2(

104

)3)(2(

24304)(

2

ss

s

ss

sssI

así:

62104)( 21

s

A

s

AsI

donde:

3

3

2

2104)(

323

3

2

232

2

3

3

2

2

1

sssI

s

sA

s

sA

s

s

por lo que: )(3210)(4)( 32 teetti tt


Función de Red OECA - 2005 pág. 43

30.- Obtenga la función de admitancia de punto motriz del circuito.

Donde:

s

s

s

sZsV

sIsY

10

102010

1

)(

1

)(

)()(

entonces: 106

)10(

20

1

20012020

)10()(

22

ss

ss

ss

sssY

31.- Encuentre la admitancia de transferencia.

Realizando transformaciones y reducciones, se tiene:

donde: 4

21

s

sZ

4

4

sZ

+

V(s)

I(s) 10

10 s

20/s

s

2 2

1/s 1

I(s) +

V(s)

s

2 2

1/s

1

I(s) +

V(s)

Z1 Z1

Z


Función de Red OECA - 2005 pág. 44

entonces:

además: s

sZZ1

)(10

)4(

450

ss

sZ

donde: )452)(4(

)45(2

4

2

)4(

45

4

2*

)4(

45

)(2

10

1010

sss

ss

s

s

ss

s

s

s

ss

s

ZZ

ZZsZ

además: )(2

4

)(

)()(

1

0 sVs

s

sZ

sVsI

por tanto:

)(2

4*

14

2

)452)(4(

)45(2

)452)(4(

)45(2

)(1)()(

)()(

2

2

0

110

10 sVs

s

s

s

sss

ss

sss

ss

sIsZsZ

sZsI

finalmente:

s

s

sssss

ss

sV

sIsY

2

4*

)452)(43()45(2

)45(2

)(

)()(

2

496

45

1640336

)45)(4()(

223

ss

s

sss

sssY

+

V(s)

1/S

Z(s)

Z1(s) Z1(s)

I(s)

1

)(0

sZ

Z1(s)

I(s)

1 Z0(s) Z1(s) I0(s)

Z1(s)

I(s)

1 Z10(s) I0(s)


Función de Red: componente particular OECA - 2005 pág. 45

32.- Mediante el criterio de función de red, calcule la componente forzada de la respuesta de

corriente )(ti , si VtSenetv t )2.87(10)( 2 .

El modelo en el dominio de S, viene dado por:

donde:

22

2

22

12

12

2

12

12

12

222

)(

)(

)(

)(

)(

ss

s

ss

s

s

s

V

IF

s

ss

V

s

IS

S

S

S

S

además:

2.87

12

10

0

V

js

V

entonces:

2.157|485.0

76

24

2)12()12(2

)12(22)( 0 j

j

jj

jF S

donde: 2.157,485.0)( 0 FSF

así: 85.410485.0)( 0 VFI S

702.872.157vFi

por lo tanto: AtSeneti t

p )70(85.4)( 2



33.- Mediante el criterio de función de red, determine la componente particular de la

respuesta de voltaje )(tv , si ][)º605(10)( 3 Atseneti t .

Donde:

entonces: 23

4

462

8

462

24

)(

)()(

22

ss

s

ss

s

ss

s

ssI

sVsF

además:

º60510)( 3 tSeneti t

º60

53

10

0

i

js

I

por lo que:

º15.9285.0

1523

2012

253353

534

23

4)(

2

0

2

0

00

j

j

jj

j

ss

ssF

donde:

º15.92

85.0)( 0

F

sF

º15.152º60º15.92

5.81085.0)( 0

iFv

IsFV

por lo tanto: ][º15.15255.8)( 3 VtSenetv t

p

2s 4/s

6

+

V(s) I(s)



34.- Obtenga la componente particular de la respuesta de voltaje )(0 tv mediante el criterio de

función de red, si la fuente tiene un voltaje ][º60410)( 2 VtCosetv t .

donde:

entonces: )(2

1)()( 1 sVsIsVab , )(

21

1)()( 2 sV

s

sIsVad

por tanto: )(2

1

1

2

1)()()()()( 210 sV

s

sIsIsVsVsV adab

donde: 2

2

22

1

21

1

2

1

)(

)()( 0

ss

s

s

s

s

sV

sVsF

además: º604cos10)( 2 tetv t

º60

42

10

0

js

V

entonces:

º452

2

2

1

2

1

2422

242)( 0

j

j

jsF

así: º45,2

2)( 0 vsF

° °

+ V(s)

I1(s) I2(s)

1

2/s

1

2

a

b

c

d + v0(s) -



por lo tanto: 07.725102

2)( 00 VsFV

además: º105º60º450 vF

entonces: )º1054(07.7)( 2 tCosetv t

op

35.- La componente particular de la respuesta de un circuito es )15(10 2 tCose t . Si el

circuito tiene una función de admitancia de punto motriz, dada por:

)2(

120)(

ss

ssF

Encuentre la expresión de la variable de la fuente.

Puesto que: )2(

120

)(

)()(

ss

s

sV

sIsY

entonces: ][)15(10)( 2 AtCoseti t

p

donde:

15

12

10

0

I

js

I

por tanto:

4.10865.12

)212)(12(

11220

)2(

120)(

00

00

jj

j

ss

ssY

donde: 4.108,65.12)( 0 YsY

así: 4.123)4.108(15,79.065.12

10

)( 0

YIVsY

IV

finalmente: ][)4.123(79.0)( 2 VtCosetv t



36.- La función de red correspondiente a una admitancia de transferencia viene dada por:

)1)(1(

)2()(

2

sss

sssF

Si la componente particular de la respuesta tiene una magnitud de 7.69 unidades, una

frecuencia de 25.0 j y un ángulo de 38.8º. Cuál es la forma de la señal de la fuente y

su unidad correspondiente.

Donde:

º8.38

25.0

69.7

0

I

js

I

por tanto: ]1)25.0()25.0)[(125.0(

)225.0)(25.0(

)1)(1(

)2()(

2

0

2

00

000

jjj

jj

sss

sssY

)25.3)(25.0(

)25.1)(25.0()( 0

j

jjsY

así:

º8.98

º1802

5.0

5.1

2

2

5.0

769.025.3

2)5.1(

)25.3(

)25.1(

)25.3()25.0(

)25.1( )25.0()(

1

11

Y

22

0

tg

tgtg

j

j

jjsY

entonces: 10769.0

69.7

)()(

)()(

0

sY

IV

sY

sIsV

º6.137)8.98(8.38 YIV

por lo que: VtCosetv t )º6.1372(10)( 5.0



37.- Calcule la componente particular de la respuesta del circuito descrito por el diagrama

vectorial de polos y ceros, si la fuente está descrita por 25X , 0s y 15x .

Según el gráfico se tiene:

)3(,)1(:

)2(,)0(:

22 0

oo

oo

oo

sspolos

ssceros

jjs

donde:

45180225

245*5

2*22*5

3*1

25

312

00

00

)(

0000

0

SSSSF

Sss

ssF

entonces: y

t

p tCoseYty 0

0)(

donde:

601545

402524)(

xFy

o XsFY

finalmente:

60240)( 2 tCosety t

p

o o x x

So j2

j1

jw

σ -3 -2 -1 0



38.- Determine la componente particular de la respuesta de un circuito, cuyo diagrama

describe a su admitancia de transferencia. Los datos de la fuente vienen dados por:

magnitud 10

10 , ángulo º4.78 y frecuencia 0s .

Donde: 210 js

entonces: º904º*4.635

º1352210

)52)(2(

)1(10

)(

)()(

0

2

00

0

01

02021

sss

s

sV

sIsY

por tanto:

º4.18)º90º4.63(º135

1054

2210)(

21

021

Y

sY

además:

21

º4.78

10

10

0

1

1

js

I

I

así:

º60º4.78º4.18

1010

10*10*

12

1212

IY

IYI

por lo que: AtCoseti t

p )º602(10)(2

° ×

×

K=10

S0

jw

σ -2 -1 0 1

-j2

-j1

j2

j1


Función de Red: diagramas OECA - 2005 pág. 52

39.- Dibuje el diagrama de Nyquist de la función dada por: 1

2)(

2

ss

ssF

Reemplazando jws , se tiene:

jww

jww

jww

jw

jww

jwjwF

)1(

)1(*

)1(

2

1

2)(

2

2

22

1

)1()2(

)1(

2)1()1(2)(

24

22

222

222

ww

wjww

ww

wjwjwwwjwF

donde: 1

2)(

24

2

ww

wjwFe

1

)1()(

24

2

ww

wwjwFmg

los valores de w, para que el valor real sea máximo, vienen dados por:

0)1(

)24)(2()1(20

1

224

3224

24

2

ww

wwwwww

ww

w

dw

d

entonces: 01)24)(2()1(2 242224 wwwwww

para 0w , se tiene:

5176.032

932.13232

2

122,1

w

ww

los valores de w, para que el valor imaginario sea máximo, vienen dados por:

0)1(

)24)(()1)(13(0

1 224

33242

24

3

ww

wwwwwww

ww

ww

dw

d

entonces: 0)1(4)1(144 226246 wwwwww

0)1)(1(4)1)(1( 233 wwwww

0)1)(1)(1)(1( 22 wwwwww



existe un solo valor de 0w que hace que la componente imaginaria sea máxima, esto es:

13 w

la tabla con ciertos valores, tanto de la componente real como imaginaria de la función de red,

viene dada por:

w )( jwFe )( jwFmg

0 2 0

0 0

*0.5176 2.155 -0.8165

*1.932 -0.1547 -0.8165

1 1 -2

5 -0.038 -0.216

1/5=0.2 2.038 -0.216

1/10=0.1 2.0099 -0.102

10 -0.0099 -0.102

cuya gráfica viene dada por:

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Diagrama de Nyquist

Real F(jw )

Imag F

(jw

)



40.- Dibuje el diagrama de Bode correspondiente a la función de red:

100201001.0

110)(

2

224

ssss

sssF

Donde:

2

224

2

224

101001.0

)1(10

100201001.0

)1(10)(

sss

ss

ssss

sssF

así: 2

22

2

4

101

1001

1.01

)1(

10*100*1.0

110)(

sss

sssF

reemplazando jws :

2

22

101

1001

1.01

11

110)(

w

jw

jw

j

wj

wj

jwF

entonces:

11log40

1log4010log20)(log20

wj

wjjwF

101log40

1001log20

1.01log20

wj

wj

wj

cuya representación gráfica, viene dada por:

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

-150

-100

-50

0

50

100

20lo

g|F

(jw

)| (

dB

)

Diagrama de Bode

Frecuencia w (rad/sec)



41.- Dibuje, el diagrama de Bode correspondiente a la función de red:

)93)(1(

)10(9.0)(

2

2

sss

sssF

Donde:

133

1

31

101

10

193

)1(9

10110

9.0)(2

2

2

2

2

sss

ss

sss

ss

sF

entonces:

133

1

311

101

110)(

2

2

wj

wwj

wj

wj

jwF

por tanto:

2

101log20

1log2010log20)(log20

wj

wjjwF

133

1

3log20

11log20

2

wj

wwj

cuya gráfica correspondiente viene dada por:

10-2

10-1

100

101

102

103

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

20lo

g|F

(jw

)| (

dB

)

Diagrama de Bode




42.- Dibuje el diagrama de Bode de la función de red

Donde:

reduciendo el modelo, se tiene:

entonces: )(11

1

11

1

)( 0000 sVs

sV

s

s

sZZssVV

por lo tanto:

ss

sVs

s

sZ

VsI

31

1

)(1

3)(

0

0

donde: 22 )2(44)3)(1(1)(

)()(

s

s

ss

s

ss

s

sV

sIsF

reemplazando jws , se tiene: 2)

21(4

)()(

j

jjwF

así:

2

21log20

1log20

4

1log20)(log20

jjjwF

cuya gráfica, viene dada por:



10-2

10-1

100

101

102

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

20lo

g|F

(jw

)| (

dB

)

Diagrama de Bode


43.- Obtenga la función de red correspondiente al diagrama de Bode:

0.1 10 100 10001.0

40

20

20log|F(jw)|[db]

W [rad/s]

Mediante descomposición en factores gráficos de Bode, se tiene:

20

40

60

-40

-20

-60

0.1 1 10 102 103 104

w

[db]

3

1

2



donde: 10'10

1log201

1log20'log20)(log20

2

K

wj

wjKjwF

entonces: 2

2

210

1

10

1

110

101

11

10)(

jw

jw

wj

wj

jwF

reemplazando sjw , se tiene: 2

3

10

110)(

s

ssF

la reconstrucción del diagrama de Bode, viene dado por:

10-2

10-1

100

101

102

103

0

5

10

15

20

25

30

35

Magnitu

d (

dB

)

Diagrama de Bode


44.- Encuentre la función de red, correspondiente al diagrama de Bode dado.

Descomponiendo en los factores gráficos de Bode, se tiene:

20

40

0.1 1.0 10 100 1000

[db]

w



donde:

101log20

1log20'log20)(log20

wj

wjKjwF

3

2101log20

11log20

wj

wj

así: 10'20'log20 KK

además: 3

2101

11

101

110)(

w

jw

j

wj

wj

jwF

por lo que:

3

21011

101

10)(

w

jjw

wjjw

jwF

reemplazando sjw , se tiene:

32

3

2

3

210)1(

10

1

)10(10

1

10

1011

101

10)(

ss

ss

ss

ss

sF

entonces: 32

6

10)1(

)10(10)(

ss

sssF

20

40

60

-40

-20

-60

0.1 1 10 102 103 104

w

[db]

1

2

3

4

5


Cuadripolos: parámetros OECA - 2005 pág. 60

45.- Calcule los parámetros de impedancia ][Z de un cuadripolo, cuyas medidas son:

a) terminales '22 abiertos: ][10,20 1121 KZTV

b) terminales '22 cerrados: ][8,20 1121 KZTI

Donde:

entonces:

a) terminales '22 abiertos:

4

11

01

1

21

01

2

10

20

2

2

ZI

V

gV

V

I

I

b) terminales '22 cerrados:

3

11

01

1

3

21

01

2

108

10

2

2

hI

V

hI

I

V

V

además: 22

11

22

2121

11

2121 ,,

Z

Zh

Z

Zh

Z

Zg

por tanto: 5

112121 102 ZgZ

2

21

2122 102

h

ZZ

21016 1221122211

5

2211 ZZZZZZhZ

finalmente:

25

4

102102

210

][Z

N

1’ 2’

1 2 °

°

°

°

+

V1

+

V2

I1

Zeq=V1/I1=104

N

1’ 2’

1 2 °

°

°

°

+

V1

I1 I2

Zeq = 8x103



46.- Determine los parámetros híbridos ][h mediante condición en variable.

Entonces:

II

I

I

I

V

V

V

Ih

V

Vh

I

Ih

I

Vh

02

222

02

112

01

221

01

111

1

1

2

2

condición I:

donde:

212221 4)()2(: IVIIIVLVK

2112211 3)2(: IVIIIVILCK

manipulando las expresiones anteriores, se tiene: 3

112

IVI

además: 111111

13

4

3

41

3

4

3

4

34 IVIV

IVV

por tanto: 7

4

1

111

I

Vh

también: 222121 7344 IIVIIV

entonces: 7

1

1

221

I

Ih

+

V2 V1

I1 I2

2V2

2I2

1 1

1

+ +

V1

I1=0

I2 2I2

1 1

1

+



condición II:

donde: 212122222 4- 2)2(: IVVVVIIIVLVK

21221 32: IVIIVLCK

por otro lado: 123

1VI

7

3

3

7

3

14

2

1121112

V

VhVVVV

también: 21 3IV

7

1743

2

2222222

V

IhIIIV

entonces:

71

71

73

74

][h

47.- Obtenga los parámetros híbridos inversos, mediante condiciones en las variables.

Donde:

01

111

2

IV

Ig

02

112

1

VI

Ig

01

221

2

IV

Vg

02

222

1

VI

Vg

+

V2 V1

I1=0 I2

2V2

2I2

1 1

1

+ +



condición 02 I :

5V11/2V2V1 V2

++

I1 I2

donde: 12: VVLVK

121 52

1: VVILCK

entonces: 2

95

2

1

01

111111

2

IV

IgVVI

además: 1

01

221

2

IV

Vg

condición 01 V :

+

I1

4I2

I2

V2

+

1/2V2

donde: 22 4: IVLVK

1222

1: IVILCK

entonces: 142

1

02

112122

1

VI

IgIII

además: 4

02

222

1

VI

Vg

por lo tanto:

41

12

9][g



48.- Encuentre el parámetro híbrido 21h , mediante condición de variable.

Cambiando el modelo de dominio, se tiene:

entonces: 01

221

2

VI

Ih

donde:

02200

0000

1

441

)2(

10

110

10

1

110)1(:

VsIIV

s

Vn

Vs

Vs

s

VVInLCK

por lo tanto:

110

410

10

110

4

0

0

01

221

2

s

s

Vs

Vs

I

Ih

V

V1

I1

I2

4V0

1/s

+

10

1

+

V0

n1 n2


Cuadripolos: interconexión OECA - 2005 pág. 65

49.- Calcule el valor de la impedancia de entrada inZ , utilizando parámetros de admitancia

][Y .

Donde:

aplicando el método de nodos, se tiene:

221221

1211121

11

1

IVVIVV

IVVss

VIVVss

por tanto:

11

11

11

s

sY

ssY

finalmente:

22

2

122

2

11

1

11*112

11

22

ss

s

ss

ss

ss

YYZ

ZYZ

L

Lin

V1

I1 I2

V1 1/S

1

S

+ +

V2

Zin

ZL=1[Ω]

V1 I1 I2

V1 1/S

1

S

V2



50.- Determine el valor de la impedancia de salida outZ , utilizando parámetros de admitancia

][Y .

Donde:

II

V

V

I

V

V

V

IY

V

IY

V

IY

V

IY

02

222

02

112

01

221

01

111

1

1

2

2

condición I:

donde: 22

12

12

2

12

2

1

01

111

2

s

s

ss

sV

IY

V

además: 11'2112'21

21

1

12

2

12

212

2

22V

sV

ss

ssV

s

VVI

también: 11121

12

2

12

212

2

Vs

sV

ss

ss

s

V

entonces: 1112 0)1(2)1(2

1VV

ss

sV

sI

V1 V2

+ +

Zg

Zout

I1 I2 2S

1/S

1

2

1

1’

2

2’

+

V1

1/S

1

2

2S

1’

1

2 2’

I1

I2

+

V1

2/(2S+1)

1’

1

2 2’

I1

2S/(2S+1)



por lo que: 12

1

221 0 Y

V

IY

condición II:

donde: 12

1

1

1

1

2

1

2

222

s

s

ss

sV

IY

entonces:

12

10

022

12

s

ss

s

Y

además: 22221'12

1 0

1

1

1

21

2

*2

1

1

1

1

21

1

21VV

ss

ss

s

sV

ss

ss

s

VVI

con lo que: 221121122211 YYYYYYY

finalmente: 1

121

)1(

111

221122

11

222211

11

22

11

s

s

YZYY

ZY

YZYY

ZY

YYZ

ZYZ

g

g

g

g

g

g

out

51.- Obtenga la impedancia de entrada inZ , mediante parámetros híbridos h , donde

4 sZL .

+

V2

1/S 1

2 2S

1’ 1

2

2’

I2

I1



donde:

12

211

2

1

)2

1(1

VV

IIV

por tanto:

01

111

2

VI

Vh

01

221

2

VI

Ih

entonces: 212112

10

2

10 IIIIV

así: 21

221

I

Ih

01

111

I

Vh

también:

02

112

1

IV

Vh

02

222

1

IV

Ih

donde:

22

1

42

12

2

11212

2

222212

V

VhVV

V

IhIIV

por tanto: 4,42

20

hh

entonces:

4

17

4

174

)4(4

122

11

s

s

s

s

Zh

hhZZ

L

Lin



52.- Encuentre los parámetros de transmisión ][a mediante criterio de interconexión.

Seccionando el modelo, se tiene:

1

-j1 -j1 1

j1 j1

N π NT

entones:

Z0

Z1Z1

donde:

1121

111

12

1

1

0

2

1

01

0

1

0

jj

j

Z

Z

Z

ZZ

ZZ

Z

a

además:

Z0

Z1Z1

donde:

111

2111

11

21

][

0

1

0

0

2

11

0

1

j

jj

Z

Z

Z

Z

ZZ

Z

Z

a T

entonces:

111

2111

1121

111][][][

j

jj

jj

jaaa T

por tanto:

2322

2221][

jj

jja



53.- Utilizando parámetros de cuadripolos interconectados, calcule la impedancia de entrada

inZ , si la impedancia de carga es ][43 s

ZL .

Utilizando interconexión paralela, se tiene:

donde: 21 NNN YYY

por lo que:

así:

ss

ssY N 11

11

1

además:

N1

S

Z→∞ Z→∞

N2 1/S

2 2

N1

N2

S

1/S

2 2

2

2’

1

1’

ZL

Zin

N



donde:

ss

ssZ N 12

1

112

2s

s

ssZ

44112

22

por lo que:

44

12

44

144

1

44

12

12

1

112

12

s

s

s

ss

s

ss

ssZ

Y N

entonces:

44

121

44

1144

11

44

121

44

12

44

144

1

44

12

11

11

s

s

sss

sss

s

s

s

s

s

ss

s

ss

ssY N

así:

44

121

44

1144

11

44

121

2221

1211

s

s

sss

sss

s

sYY

YYY N

por ser cuadripolo reciproco y simétrico, se tiene:

14

45

44

11

14

452

44

121

2112

2

2211

ss

s

ssYY

ss

ss

s

s

sYY

entonces: L

Lin

ZYY

ZYZ

11

221

además: )1(

4

14

45

14

45222

22

12

2

11

ss

s

ss

s

ss

ssYYY

por lo que: )1(4

1632271043

)1(4

45211

2

232

22

ss

sss

s

s

ss

ssZY L

)1(4

2021543

)1(4

4

)1(4

452 22

11

ss

ss

s

s

s

s

ss

ssZYY L

por tanto:

)20215(

16322710

)]1(4)[20215(

)]1(4)[16322710(2

23

22

23

sss

sss

ssss

sssssZin



también, mediante interconexión serie, se tiene:

donde: NbNaN ZZZ

por tanto:

así:

ss

ssY Na 1

2

11

11

2

1

s

s

ssY

4

411

2

122

por lo que:

4

42

4

44

4

4

42

1

2

11

11

2

11

s

s

s

ss

s

ss

ssY

Z Na

por otro lado:

donde:

ss

ssZ Nb 11

11

2

2’

1

1’

ZL

Zin

Na

S

2 2

Nb 1/S

N

Na

S

2 2

Nb 1/S

Z=0 Z=0



entonces:

ss

s

ss

ssss

s

ss

ss

s

s

s

ss

s

Z N 1

4

421

4

4

1

4

41

4

42

11

11

4

42

4

44

4

4

42

así:

)4(

452

)4(

45

)4(

45

)4(

452

2

2

ss

ss

ss

s

ss

s

ss

ss

Z N

por tanto: 22

11

ZZ

ZZZZ

L

Lin

por ser un cuadripolo recíproco y simétrico, se tiene:

4

451

4

4

4

4521

4

42

2112

2

2211

ss

s

ssZZ

ss

ss

ss

sZZ

entonces: 2

2222

2

12

2

11)4(

16204

4

45

4

452

s

ss

ss

s

ss

ssZZZ

por otro lado:

22

234

2

22

11

)4(

641441406710

)4(

1620443

)4(

452

ss

ssss

s

ss

s

s

ss

ssZZZ L

además: )4(

20215

)4(

45243 22

22

ss

ss

ss

ss

s

sZZL

finalmente: )20215)(4(

641441406710

)4(

20215

)4(

641441406710

2

234

2

22

234

ssss

ssss

ss

ss

ss

ssss

Zin

)20215(

16322710

)20215)(4(

)16322710)(4(2

23

2

23

sss

sss

ssss

ssssZin


Anexos OECA - 2005 pág. 74

FORMULARIO DE TRANSFORMADA UNILATERAL DE LAPLACE

f t L F s( ) ( ) 1 F s L f t( ) ( ) f t L F s( ) ( ) 1 F s L f t( ) ( )

f t( ) F s f t dte st( ) ( )

0

)(. ttSen u 22

s

Kf t( ) , K constante KF s( ) )().( ttSen u s Sen Cos

s

2 2

)()( 2211 tfKtfK

i

K constantes )()( 2211 sFKsFK )(. ttCos u 22 s

s

d

dtf t f t( ) ( )' )()( 0fsFs )().( ttCos u 22

s

SenCoss

f t'' ( ) )(')()( 002 ffsF ss

)(. ttSen ue t

22)(

s

f t dt f t

t

( ) ( )

1 )()(10

1 fsFS

)(. ttCos uet

22)(

s

s

)(tK K )(. ttSent u 222 )(

2

s

s

)( 0ttK SteK 0

)(. ttCost u 222

22

)(

s

s

)(tKu KS

)().( ttSene ut 22)(

)(

s

CosSens

)( 0ttKu 0tSe

SK )()( ttCos ute 22)(

)(

s

SenCoss

)(tKtu K

S 2 )().1( ttCos u

)22(

2

ss

)()( 00 ttttK u 02

tSe

S

K )().( ttSent u )( 222

3

ss

)(tute 1s )( 0

0)(

ttutte

e s t

s

0

)(tt ute

12

s )(

)!1(

1t

t

nt uen

1

sn

)()(1 ttt

uee

1

( )( )s s )().( ttf u periódica F s e f t dt

e sTs t

T

( ) ( )

1

10

)()(1 t

ttuee

s

s s( )( ) donde: f t1( ) es la

función de un período F s e f t dts t

T

1

0

( ) ( )



ECUACIONES PARA LA DEFINICIÓN DE PARÁMETROS

[Z] IMPEDANCIA (pórtico abierto) [Y] ADMITANCIA (pórtico cerrado)

2221212

2121111

IZIZV

IZIZV

2221212

2121111

VYVYI

VYVYI

[a] TRANSMISIÓN [b] TRANSMISIÓN INVERSOS

)(

)(

221

221

IDCVI

IBAVV

)(

)(

1221212

1121112

IbVbI

IbVbV

[h] HÍBRIDOS [g] HÍBRIDOS INVERSOS

2221212

2121111

VhIhI

VhIhV

2221212

2121111

IgVgV

IgVgI

EQUIVALENCIA DE PARÁMETROS

IMPEDANCIA (terminales abiertos)

11

21

22

21

21

2121

112221

222211

1

1

g

g

h

h

bC

YZ

ghb

b

C

AYZ

b

Y

h

Y

112221

111122

11

12

22

12

21

1212

1

1

ghb

b

C

DYZ

g

g

h

h

bC

YZ

g

Y

a

Y

I1 I2

+

V1

+

V2 Cuadripo

lo

pórtico 1 pórtico 2



ADMITANCIA (terminales cerrados)

22

21

11

21

12

2121

221112

112211

1

1

g

g

h

h

bB

ZY

ghb

b

B

DZY

b

Z

g

Z

221112

221122

22

12

11

12

12

1212

1

1

ghb

b

B

AZY

g

g

h

h

bB

ZY

h

Z

a

Z

TRANSMISIÓN

21

11

21

2221

2121

2121

22

21

22

21

11

1

1

g

g

h

hb

YZC

gh

b

Y

Y

Z

ZA

b

Y

h

b

2121

11

21

11

21

22

21

22

21

1112

2121

1

1

gh

b

Y

Y

Z

ZD

g

g

h

hb

YZB

g

b

b

Z

TRANSMISIÓN INVERSOS

12

11

12

22

1212

21

121212

11

12

2211

1

1

g

g

h

hC

YZb

gh

D

Y

Y

Z

Zb

a

Y

g

a

121212

22

12

1122

12

22

12

11

1212

12

1

1

gh

A

Y

Y

Z

Zb

g

g

h

hB

YZb

h

a

a

Z

HÍBRIDOS

g

b

g

Z

g

bDY

Y

Z

Zh

g

b

b

D

B

YZh

21

1111

21

22

2121

22

11

12

1122

11

1

1

g

Y

g

a

g

b

b

D

C

YZh

g

bDY

Y

Z

Zh

11

11

21

1122

22

12

1111

12

22

1212

1

1

HÍBRIDOS INVERSOS

h

b

h

Y

h

bAY

Y

Z

Zg

h

b

b

A

C

YZg

21

2222

21

11

2121

22

22

21

2211

11

1

1

h

Z

h

a

h

b

b

A

B

YZg

h

bAY

Y

Z

Zg

11

22

12

2211

22

12

2222

12

11

1212

1

1



IMPEDANCIAS DE ENTRADA Y SALIDA

gL

L

L

Lh

L

L

L

L

LY

L

L

ZLin

Zg

gZ

Zh

hZ

bZb

bZb

DCZ

BAZ

YZ

ZY

ZZ

ZZZ

11

22

22

11

1121

1222

11

22

22

11

1

1

1

1

11

22

22

11

2221

1211

22

11

11

22

g

gg

hg

g

g

g

g

g

gY

g

g

Zg

outZg

gZ

Zh

hZ

bZb

bZb

ACZ

BDZ

YZ

ZY

ZZ

ZZZ

IMPEDANCIAS DE ENTRADA EN CUADRIPOLOS ESPECIALES

Transformador ideal: Lin ZnZ 2 Girador: L

inZ

Z2

Inversor de impedancia (NIC): Lin ZZ Amplificador operacional: inZ

I1 I2

+

V1

+

V2

Cuadripolo ZL Zg

Zin Zout

Documents

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