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ALONSO DE JESÚS CHICA LEAL Sistemas de control digital Ejercicios resueltos 1. Considere el sistema de control en tiempo discreto que se muestra en la siguiente figura. Obtenga la función de transferencia pulso . Solución: Aplicando Laplace asterisco a las ecuaciones anteriores: Reemplazando en Despejando 1 1 Despejando 1 1 2. Utilizando el método de la integral de inversión, obtenga la transformada z inversa de :

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Ejercicios resueltos

1. Considere el sistema de control en tiempo discreto que se muestra en la siguiente figura.

Obtenga la función de transferencia pulso ���� � ��������.

Solución:

� � � � � � �� � � � � � � � �

Aplicando Laplace asterisco a las ecuaciones anteriores: � � �� � � � � � � ��� � � �������� � �� � � � �

Reemplazando � en � � � ���� � ��� � � � � �������� �

Despejando � ��1 � ��� � � � ��������� � ����

� � �����1 � ��� � � � ���������

Despejando ��

�� � ��� ���1 � ��� � � � ��������

���� � ����� �������1 � ����� ��� � � ����������

2. Utilizando el método de la integral de inversión, obtenga la transformada z inversa de ����:

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���� � ��� � 1�

Solución:

���� � 1�2 � 1�! � ��� � ��� � 1� � ��� � 1� � ��� �!

���� � � ��� ���� �!

���� � ����� �! ���� � �

3. Obtenga la transformada z de la función "�#�que se muestra en la siguiente gráfica:

Solución:

Para el tramo de 0 % # % 2, la función correspondiente es &�#�, para obtener el tramo

de 2 % # % 4, es necesario sumar la función �1/4�# � 2� multiplicada por la función

escalón &�# � 2�,

Para el tramo de 4 % # % 6, se suma la función *+ �# � 4� multiplicada por la función

escalón &�# � 4�,

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Para el tramo de 6 % # % 8, se suma la función �1/2�# � 6� multiplicada por la función

escalón &�# � 6�,

Para el tramo de 8 % # % 10 se suma la función � �# � 8� multiplicada por la función

escalón &�# � 8�

y por último para el tramo de # - 10, se suma la función �# � 10� multiplicada por la

función escalón &�# � 10�.

La función "�#� resulta al sumar las funciones de los tramos correspondientes, de la

siguiente manera:

"�#� � 12&�#� � 14 �# � 2�&�# � 2� � 34 �# � 4�&�# � 4� � 12 �# � 6�&�# � 6�� 12 �# � 8�&�# � 8� � 12 �# � 10� &�# � 10�

Realizando una prueba para validar la función "�#� obtenida, se escogen puntos de # y se

reemplazan en la función obtenida debiendo resultar valores de "�#� dados en la gráfica,

de la siguiente manera:

Recordando que &��� � /1, � � 0,1,2,…0 � % 0 2

Para # � 0;

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"�0� � &�0� �

+ ��2�&��2� � *+ ��4�&��4� �

��6�&��6� � ��8�&��8� �

��10� &��10�

3�4� � 56

Para # � 1;

"�1� � 12&�1� � 14 �1 � 2�&�1 � 2� � 34 �1 � 4�&�1 � 4� � 12 �1 � 6�&�1 � 6�� 12 �1 � 8�&�1 � 8� � 12 �1 � 10� &�1 � 10�

"�1� � 12&�1� � 14 ��1�&��1� � 34 ��3�&��3� � 12 ��5�&��5� � 12 ��7�&��7�� 12 ��9� &��9�

3�5� � 56

Para # � 2;

"�2� � 12&�2� � 14 �2 � 2�&�2 � 2� � 34 �2 � 4�&�2 � 4� � 12 �2 � 6�&�2 � 6�� 12 �2 � 8�&�2 � 8� � 12 �2 � 10� &�2 � 10�

"�2� � 12&�2� � 14 �0�&�0� � 34 ��2�&��2� � 12 ��4�&��4� � 12 ��6�&��6�� 12 ��8� &��8�

3�6� � 56

Para # � 3;

"�3� � 12&�3� � 14 �3 � 2�&�3 � 2� � 34 �3 � 4�&�3 � 4� � 12 �3 � 6�&�3 � 6�� 12 �3 � 8�&�3 � 8� � 12 �3 � 10� &�3 � 10�

"�3� � 12&�3� � 14 �1�&�1� � 34 ��1�&��1� � 12 ��3�&��3� � 12 ��5�&��5�� 12 ��7� &��7�

"�3� � 12 � 14 � 14

3�:� � 5; Para # � 4;

"�4� � 12&�4� � 14 �4 � 2�&�4 � 2� � 34 �4 � 4�&�4 � 4� � 12 �4 � 6�&�4 � 6�� 12 �4 � 8�&�4 � 8� � 12 �4 � 10� &�4 � 10�

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"�4� � 12&�4� � 14 �2�&�2� � 34 �0�&�0� � 12 ��2�&��2� � 12 ��4�&��4�� 12 ��6� &��6�

"�#� � 12 � 24 � 0

Para # � 5;

"�5� � 12&�5� � 14 �5 � 2�&�5 � 2� � 34 �5 � 4�&�5 � 4� � 12 �5 � 6�&�5 � 6�� 12 �5 � 8�&�5 � 8� � 12 �5 � 10� &�5 � 10�

"�5� � 12&�5� � 14 �3�&�3� � 34 �1�&�1� � 12 ��1�&��1� � 12 ��3�&��3�� 12 ��5� &��5�

"�5� � 12 � 34 � 34

3�<� � 56

Para # � 6;

"�6� � 12&�6� � 14 �6 � 2�&�6 � 2� � 34 �6 � 4�&�6 � 4� � 12 �6 � 6�&�6 � 6�� 12 �6 � 8�&�6 � 8� � 12 �6 � 10� &�6 � 10�

"�6� � 12&�6� � 14 �4�&�4� � 34 �2�&�2� � 12 �0�&�0� � 12 ��2�&��2� � 12 ��4� &��4�

"�6� � 12 � 44 � 64

3�=� � 5

Para # � 9;

"�9� � 12&�9� � 14 �9 � 2�&�9 � 2� � 34 �9 � 4�&�9 � 4� � 12 �9 � 6�&�9 � 6�� 12 �9 � 8�&�9 � 8� � 12 �9 � 10� &�9 � 10�

"�9� � 12&�9� � 14 �7�&�7� � 34 �5�&�5� � 12 �3�&�3� � 12 �1�&�1� � 12 ��1� &��1�

"�9� � 12 � 74 � 154 � 32 � 12

3�>� � 56

Lo que muestran los resultados anteriores es la validación de la función obtenida, la cual

es correcta, ahora discretizando "�#�, se tiene "��� teniendo en cuenta que se están

discretizando funciones escalones y rampas, de la siguiente forma:

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"��� � 12&��� � 14 �� � 2�&�� � 2� � 34 �� � 4�&�� � 4� � 12 �� � 6�&�� � 6�� 12 �� � 8�&�� � 8� � 12 �� � 10� &�� � 10�

La transformada z resulta:

? @12&���A � 12 1�1 � ���

? @14 �� � 2�A � 14 �� . C���1 � ���

? @34 �� � 4�A � 34 ��+. C���1 � ���

? @12 �� � 6�A � 12 ��D. C���1 � ���

? @12 "�� � 8�A � 12 ��E. C���1 � ���

? @12 �� � 10�A � 12 ��F. C���1 � ���

Sumando los resultados de las transformadas se tiene

G��� � 12 1�1 � ��� � 14 �� . C���1 � ��� � 34 ��+. C��

�1 � ��� � 12 ��D. C���1 � ���

� 12 ��E. C���1 � ��� � 12 ��F. C��

�1 � ���

G��� � �1 � ��� � C��* � 3C��H � 2C��I � 2C��J � 2C��4�1 � ���

4. Encuentre la solución de la siguiente ecuación en diferencias: "�� � 2� � 3"�� � 1� � 2"��� � &���

Donde "�0� � 1 y "�1� � �1. &��� � /1, � � 0,1,2,…0 � % 0 2

a. Resuelva "��� como una función de �.

b. Evalúe "�0�, "�1�, "�2� K "�3� de la parte a.

c. Verifique el resultado en la parte b. usando el método de división directa.

Solución: � G��� � � "�0� � �"�1� � 3��G��� � �"�0� � 2G��� � L��� � G��� � � � � � 3�G��� � 3� � 2G��� � L��� G����� � 3� � 2� � � � 2� � L���

Reemplazando L��� por �

�� se obtiene

G����� � 3� � 2� � �� � 1 � � � 2�

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G����� � 3� � 2� � � � �� � 1�� � �� � 1�2�� � 1

G����� � 3� � 2� � �* � � � �� � 1

G��� � �* � � � ��� � 1��� � 3� � 2�

G��� � �* � � � ��*�2� � � � 2

G��� � �* � � � ��� � 1��� � 1��� � 2�

Aplicando transformada z inversa

a. Para resolver "��� se aplica algún método como integral de convolución o fracciones

parciales.

Por integral de convolución: "��� � � � � � �*

� � lim�P��� � 1�G������ � � lim�P Q �* � � � ��� � 1��� � 2� ���R � � �1�* � �1� � �1��1 � 1��1 � 2� �1���

� � 16 �1���

� � lim�P���� � 1�G������ � � lim�P� Q �* � � � ��� � 1��� � 2� ���R � ��1�* � ��1� � ��1���1 � 1���1 � 2� ��1���

� � �12 ��1���

�* � lim�P� ��� � 2�G������ � � lim�P� Q �* � � � ��� � 1��� � 1� ���R � ��2�* � ��2� � ��2���2 � 1���2 � 2� ��2���

�* � �23 ��2���

"��� � 16 �1��� � 12 ��1��� � 23 ��2���

A continuación se presentan tres formas de solucionar este ejercicio por fracciones parciales; sin

dividir por z a ambos lados, dividiendo por z a ambos lados y por solución de ecuaciones:

Sin dividir por z a ambos lados:

G��� � �* � � � ��� � 1��� � 1��� � 2� � S�� � 1� � T�� � 1� � U�� � 2�

� � ��� � 1�G��� �! � Q�� � 1� �* � � � ��� � 1��� � 1��� � 2�R�!� 16

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� � ��� � 1�G��� �!� � Q�� � 1� �* � � � ��� � 1��� � 1��� � 2�R�!�� 1�2

�* � ��� � 2�G��� �!� � Q�� � 2� �* � � � ��� � 1��� � 1��� � 2�R�!� � �23

G��� � 16 1�1 � ��� � 12 1�1 � ��� � 23 1�1 � 2���

"��� � 16 �1��� � 12 ��1��� � 23 ��2���

Otra solución:

Dividiendo por z a ambos lados: G���� � � � � � 1�� � 1��� � 1��� � 2� � S�� � 1� � T�� � 1� � U�� � 2�

� � Q�� � 1�G���� R�!

� Q�� � 1� � � � � 1�� � 1��� � 1��� � 2�R�!� 16

� � Q�� � 1�G���� R�!�

� Q�� � 1� � � � � 1�� � 1��� � 1��� � 2�R�!�� 12

�* � Q�� � 2�G���� R�!�

� Q�� � 2� � � � � 1�� � 1��� � 1��� � 2�R�!� � 13

G��� � 16 ��� � 1� � 12 1�� � 1� � 13 ��� � 2�

"��� � 16 �1�� � 12 ��1�� � 13 ��2��

Otra solución:

Por solución de ecuaciones: G���� � � � � � 1�� � 1��� � 1��� � 2� � S�� � 1� � T�� � 1� � U�� � 2�

S�� � 1��� � 2� � T�� � 1��� � 2� � U�� � 1��� � 1� � � � � � 1 S� � 3S� � 2S � T� � T� � 2T � U� � U � � � � � 1 �S � T � U�� � �3S � T�� � �2S � 2T � U� � � � � � 1 S � T � U � 1 3S � T � 1 2S � 2T � U � �1

La solución de este sistema de ecuaciones se puede calcular por diversos métodos, tales como

Kramer, matriz inversa, igualación, sustitución, entre otros.

Solucionando el sistema de ecuaciones por matriz inversa, se tiene:

VSTUW � V1 1 13 1 02 �2 �1W�

. V 11�1W �XYYYYZ16 16 1612 12 �1246 �23 13 [\

\\\] . V 11�1W

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S � D, T �

, U � *,

Otra solución:

Solucionando el sistema de ecuaciones por cancelación de términos, se tiene: S�� � 1��� � 2� � T�� � 1��� � 2� � U�� � 1��� � 1� � � � � � 1 Si � � 1

S�2��3� � 1 S � D,

Si � � �1

T��2��1� � �1 T �

Si � � �2

U��3���1� � 1 U � *

G��� � 16 ��� � 1� � 12 1�� � 1� � 13 ��� � 2�

"��� � 16 �1�� � 12 ��1�� � 13 ��2��

b. Evaluando "�0�, "�1�, "�2� K "�3� en la ecuación dada inicialmente se tiene: "�0� � 1 Condición inicial

"�1� � �1 Condición inicial

Si � � 0, en "�� � 2� � 3"�� � 1� � 2"��� � &���, se tiene "�2� � 3"�1� � 2"�0� � &�0�, reemplazando condiciones iniciales "�2� � 1 � 2 � 3 � 2

Si � � 1, en "�� � 2� � 3"�� � 1� � 2"��� � &���, se tiene "�3� � 3"�2� � 2"�1� � &�1�, reemplazando condiciones iniciales "�3� � 1 � 6 � 2 � �3

Este resultado "�0� � 1 "�1� � �1 "�2� � 2 "�3� � �3, marcan una pauta para la evaluación

de la función "���.

Evaluación de "��� por integral de inversión y por fracciones parciales sin dividir por z:

"��� � 16 �1��� � 12 ��1��� � 23 ��2���

"�0� � D �

� D � 1

"�1� � D �

� * � �1

"�2� � D �

� +* � 2

"�3� � D �

� E* � �3

Evaluación de "��� por fracciones parciales dividiendo por z:

"��� � 16 �1�� � 12 ��1�� � 13 ��2��

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"�0� � D �

� * � 1

"�1� � D �

* � � �1

"�2� � D �

� +* � 2

"�3� � D �

� E* � �3

c. Por división directa:

G��� � �* � � � ��*�2� � � � 2

G��� � 1 � �� � �� 1 � 2�� � �� � 2��*

"�0� � 1 "�1� � �1 "�2� � 2 "�3� � �3

5. Calcule el error de estado estacionario para el sistema de la siguiente figura, ante una

entrada escalón y una entrada rampa, teniendo como función de transferencia en lazo

abierto ��^� dado a continuación, si C � 1 seg.:

��^� � �1 � _�`a�^ b �^�^ � 1�c

���� � ��� � 1�� ? b 1^ �^ � 1�c ���� � d�� � 1�� ? Q���_�` � C � 1�� � �1 � _�`�C_�`� �� � 1� �� � _�`� R

���� � d ��_�` � C � 1�� � �1 � _�`�C_�`� �� � 1��� � _�`�

_aae � fgh �

fijklPm n���, _aao � gp � `

ijklPm����n��� , _aaq � gr � `s

ijklPm����sn���

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Para t � 1 _aae � 0 _aao �

gp � `ijk �u��lPm�gvwxyz{zym|l{wmyxyzyzxyz|}�lym�wlyxyz| , _aao �

gp � `ijk lPm�gvwxyz{zym|l{wmyxyzyzxyz|}

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F ~ ∞