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Observación General: la mayoría de las integrales que no requieran ningún análisis con respecto al Cálculo Vectorial se resolverán usando un sistema algebraico por computadora o tablas de integrales y sólo aparecerá su resultado. Ejercicio 13.2.12. Evalúe la integral de línea, donde C es la curva dada. + + := ,= ,= ,0≤≤1 Solución. Se expresa todo en términos de t = ,= ,= , = 2, = 3 , = 2 ( )(2 ) + ( )(3 ) + ( )(2 ) = (2 + 3 + 2 ) = (2 + 5 ) = 1 2 + = 1 2 +1= 3 2 Ejercicio 13.3.5. Determine si F es un campo vectorial conservativo. De ser así, halle una función f tal que F = ∇. ! (, ) = " # $!+ " % &! Solución. Sean ’(, ) = " # y ((, ) = " % . Si )* )+ = ), )- , entonces, F es conservativo. .’ . = " # ≠ " % = .( . Entonces F no es conservativo. Ejercicio 13.3.19. Determine si la integral de línea es independiente de la trayectoria y evalúe la integral. tan + 3"4 C es cualquier trayectoria de (1, 0) a (2, 5/4). Solución.

Ejercicios Resueltos de Calculo Vectorial

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Ejercicios resueltos sobre integrales de linea, de superficie, teorema fundamental de integrales de linea y teorema de Green.

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Page 1: Ejercicios Resueltos de Calculo Vectorial

Observación General: la mayoría de las integrales que no requieran ningún análisis con respecto al Cálculo Vectorial se resolverán usando un sistema algebraico por computadora o tablas de integrales y sólo aparecerá su resultado.

Ejercicio 13.2.12. Evalúe la integral de línea, donde C es la curva dada.

� � �� + � �� + ����

: � = � , � = �� , � = � , 0 ≤ � ≤ 1

Solución.

Se expresa todo en términos de t

� = � , � = ��, � = � , �� = 2�, �� = 3� , �� = 2�

� (� )(2���) +�

�(� )(3� ) + (��)(2���)

= � (2�� + 3�� + 2��)�� = � (2�� + 5��)�� = 12 �� + ���

�= 12 + 1 = 3

2�

Ejercicio 13.3.5. Determine si F es un campo vectorial conservativo. De ser así, halle una función f tal que F = ∇�.

!(�, �) = �"#$!+ �"%&! Solución.

Sean '(�, �) = �"# y ((�, �) = �"% . Si )*)+ =

),)-, entonces, F es conservativo.

.'

.� = �"# ≠ �"% = .(.�

Entonces F no es conservativo.

Ejercicio 13.3.19. Determine si la integral de línea es independiente de la trayectoria y evalúe la integral.

� tan ��

�� + �3"4 ���

C es cualquier trayectoria de (1, 0) a (2, 5/4).

Solución.

Page 2: Ejercicios Resueltos de Calculo Vectorial

Sea !(�, �) = tan �$!+ �3"4 �&! Sean '(�, �) = tan � y ((�, �) = �3"4 � ; entonces, como

.'

.� = 3"4 � = 3"4 � = .(.�

Este campo es conservativo. Así que la integral es independiente de la trayectoria, ya que, las integrales de línea para campos vectoriales conservativos son independientes de la trayectoria.

Como F es un campo vectorial conservativo, existe una función f tal que = 8�. Se tiene que

(�, �) = ∇�(�, �) = .�.� $!+

.�

.� &! = tan �$! + �3"4 �&!

Entonces 9:9% = tan � y

9:9# = �3"4 � ; de modo que

�tan ��� = ��;<� + = ��3"4 � ��

Así �(�, �) = ��;<� ; entonces, por el Teorema Fundamental para Integrales de Línea:

� tan ��� + �3"4 ��� = � =2, 54> − �(1,0) = 2 tan 54 − 1 tan 0 = 2 − 0 = 2�

Ejercicio 13.4.5. Compruebe el teorema de Green utilizando un sistema algebraico por computadora con el fin de evaluar la integral de línea y la integral doble.

'(�, �) = ����, ((�, �) = −�@�A, "3B;4CD4E<�"D"<4C;� + � = 1

Solución.

C debe parametrizarse: � = cos I, � = 3"<I. Entonces. � + � = 3"< I + 4K3 I = 1, 0 ≤ I ≤ 25.

La integral de línea es:

Page 3: Ejercicios Resueltos de Calculo Vectorial

� '�� + (���

= � 4K3�I3"<�I(−3"<I)�I + L

�� −4K3@I3"<AI(cos I��I L�� ? 2951024

La integral doble es:

NO.(.� ? .'.�P�Q � � � �?7�A�A ? 5��������� � ? 2951024√�T%UT√�T%U

�T�V

Entonces

� '�� � (�� � ? 2951024 � NO.(.� ? .'.�P�QV�

De manera que se ha verificado el teorema de Green.

Ejercicio 13.4.15. Aplique el teorema de Green con el objeto de evaluar W X ∙ �Z� .

(Antes de aplicar el teorema verifique la orientación de la curva.)

X��, �� � ⟨"% � � �, "# ? �� ⟩, "3B;4CD4E<�"D"<4C;� � � � 25 orientadaenelsentidodelasmanecillasdelreloj.

Solución.

Sean '��, �� � "% � � � y (��, �� � "# ? ��

Figura 1. Circunferencia de radio 5.

Page 4: Ejercicios Resueltos de Calculo Vectorial

La integral de línea es

d�"% � � ���� � �"# ? �� ���� � [Q]

?Ng ..� �"# ? �� � � ..� �"% � � ��� �QV

� ?N�?� ? � ��Q �V

N�� � � ��QV

� [h]� � D D�D�I��

L�

� � �I ∙ � D��D = 25 g14 D����= 52 (5�) =

62552

L

Nota: Se aplicaron los procedimientos [A]:=Aplicación del teorema de Green, [B]:=Cambio a coordenadas polares.

13.5.18. ¿Existe un campo vectorial G sobre ℝ� tal que DK�klll! = ��$!+ ���&!+ ��ml! ? Explique su respuesta.

Solución.

Se sabe que si ! = '$!+ (&!+ nml! es un campo vectorial sobre ℝ�, y P, Q y R tienen derivadas parciales continuas de segundo orden, entonces

�CoDK� ! = 0

Aplicando este resultado al DK�k! del ejercicio se tiene

�CopDK�k!q = ..� (��) +

..� (���) +

..� (��) = 0 + �� + 0 = �� ≠ 0

Así que G no existe.

Ejercicio 13.5.21. Demuestre la identidad, suponiendo que existen las derivadas parciales adecuadas y que estas son continuas.

�Cop ! + k!q = �Co ! + �Cok! Solución.

Page 5: Ejercicios Resueltos de Calculo Vectorial

Sean ! � '$!� (&!� nml! y k! � r$!� s&!� tml!, entonces

! � k! � �' � r�$! � �( � s�u!� �n � t�ml! Se tiene que:

�Cop ! � k!q � .�' � r�.� � .�( � s�.� � .�n � t�.� � .'.� � .(.� � .n.� � .r.� � .s.� � .t.�� O.'.� � .(.� � .n.�P � O.r.� � .s.� � .t.�P � �Co ! � �Cok!

Así queda demostrado.

Ejercicio 13.6.14. Evalúe la integral de superficie dada.

� ���rv

S es la frontera de la región delimitada por el cilindro � � � � 1 y los planos � � 0 y � � � � 2.

Solución.

A continuación, varias vistas de la región del problema.

Page 6: Ejercicios Resueltos de Calculo Vectorial

Sean r�, r , r�, la parte del cilindro que pertenece a la superficie S, el plano � � � � 2, y el plano � � 0, respectivamente.

r�: D!�I, �� � 3"<I$! � �&!� cos Iml! , 0 � I � 25, 0 � � � 2 ? 3"<I

wD!x y D!#w � z $! &! ml!cos I 0 ?3"<I0 1 0 z � w�3"<I�$!? 0&! � cos Iml!w � {3"< I �4K3 I� 1

Entonces

N���r � � � �3"<I T|}~x�

L�v�

���I� 12� 3"<I�2 ? 3"<I� �I � 12 L

� � 43"<I ? 43"< I L� � 3"<�I�I

� 25

r :D!��, �� � �$!� �2 ? ��&!� �ml! ‖D!% y D!�‖ � ‖?$!? &!‖ � √2, � � � � 1.

N���r � N��2 ? ��√2�QV

� � � √2�2D3"<I ?D 3"< I��I � ?√24��

L� 5

vU

Page 7: Ejercicios Resueltos de Calculo Vectorial

';D;r� :N���r � N0�rv�v�

� 0

Entonces:

� ���rv

� 25 ? √254 � ?54 �8 � √2� Ejercicio 13.6.26. Evalúe la integral de superficie ∬ ! ∙ �r!v para el vector de

campo F dado y la superficie orientada S. En otras palabras, calcule el flujo de F a lo largo de S. Para superficies cerradas, utilice la orientación positiva (hacia afuera).

!��, �, �� � �$!� �� ? ��&!� �ml! S es la superficie del tetraedro con vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1).

Solución.

Figura 2. Región vista por un observador en el primer octante.

Figura 3. Región vista por un observador desde el origen.

Sean r�: B;4;D;3E�"DCKD�"B�B;<K� � � � � � 1�, r :B;4;D;�E""3�á3K�D""B�B;<K��, r�:B;4;D;�E""3�á3K�D"�B;<K��, r�: B;4;D;�E""3�á3K�D""B�B;<K��.

Page 8: Ejercicios Resueltos de Calculo Vectorial

Como la superficie 1 está dada por � � ���, �) = 1 − � − �, se puede considerar x y y como parámetros y utilizar la siguiente ecuación:

N ! ∙ �r!v

=NO−' .�.� − ( .�.� + nP�Q =V

'(�, �, �) = �, ((�, �, �) = � − �.

Pero: � = 1 − � − �. Entonces: ((�, �, �) = 1 − � − 2�.

n(�, �, �) = �.

.�

.� = −1

.�

.� = −1

';D;r�:

N ! ∙ �r!v�

=N−�(−1) + 1 − � − 2� + ��QV

=N(� + 1 − � − 2� + �)�Q = � � (1 − �)���� = 13

#T%

�V

';D;r : Está orientado a la izquierda por lo que <l! = &!.

N ! ∙ �r!vU

=N ! ∙ (−&!)�r = N(−� + �)�Q = � � (−�)�����T%

�=−16

�Vv�

Nota: en la integral doble y=0 porque la superficie está sobre el eje xz.

';D;r�: Está orientado hacia el eje x negativo por lo que <l! = −$!.

N ! ∙ �r!v�

=N ! ∙ (−$!)�r = N(−�)�Q = � � (−�)�����T�

�= −16

�Vv�

';D;r�: Está orientado hacia abajo por lo que <l! = −ml!.

Page 9: Ejercicios Resueltos de Calculo Vectorial

N ! ∙ �r!v�

=N ! ∙ p−ml!q�r = N(−�)�Q = � � (−�)�����T#

�= −16

�Vv�

Entonces:

N ! ∙ �r! =v

N ! ∙ �r! +v�

N ! ∙ �r! +vU

N ! ∙ �r! +v�

N ! ∙ �r! = 13 −

16 −

16 −

16 = −16v�