EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRA

UTN Regional Avellaneda lgebra y Geometra Analtica

EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRA RECTA EN R2Actividad Dado el haz de rectas , se pide calcular:

La ecuacin de la recta del haz que pasa por el punto medio del segmento que tiene como extremos a los puntos A(4,-4) y B(10,2)

Solucin:

Encontramos las coordenadas (xm ,ym) de M, punto medio del segmento AB, calculando la semisuma de las coordenadas correspondientes de los puntos A y B

, luego M(7,-1)

Debemos encontrar la ecuacin de la recta del haz que contiene a dicho punto, por lo tanto M, debe satisfacer la ecuacin

Asignamos un valor arbitrario y conveniente a k, k=1Reemplazamos en la ecuacin k=1, x=7, y=-1

Resolvemos y despejamos t

Por ltimo reemplazamos t en la ecuacin del haz

Resolviendo , multiplicando a ambos lados de la igualdad por, para lograr una ecuacin ms sencillaRespuesta: Ecuacin 1Tambin podemos resolver el mismo problema encontrando el centro del haz y luego la ecuacin de la nica recta que pasa por ese punto y por M

Para encontrar el centro del haz, resolvemos el sistema

El sistema es Compatible Determinado, admite nica solucin (3,2)El centro del haz es O(3,2)

La ecuacin que pasa por O y por M tiene direccin

Tenemos un punto de la recta y su direccin, con estos datos escribimos la ecuacin simtrica de la recta que pasa por M con direccin

Respuesta: Ecuacin 2Verifique que las ecuaciones 1 y 2 representan a la misma recta. PLANO EN R3Ejercicio Adicionala) Deducir y obtener la ecuacin del plano que contiene a la base SRPM de la pirmide

Solucin: Para obtener la ecuacin del plano necesitamos tres puntos no alineados del mismo, por ejemplo P(2;2;0), S(2;0;0) y M(0;2;1).

Obtenemos las direcciones SP MP, paralelas al plano, pero no paralelas entre s

SP = (0;2;0) MP = (2;0;-1)

Supongamos que el punto X(x;y;z)pl , entonces el vector XP= (x-2; y-2;z ) pl , luego los vectores SP, MP y XP son coplanares por lo tanto el producto mixto entre ellos debe ser nulo

Reemplazando y resolviendo

Respuesta: La ecuacin del plano es o :

b) Determinar la medida del ngulo agudo que forma la base SRMP de la pirmide con el plano coordenado XY.

El problema de calcular el ngulo entre dos planos no paralelos o coincidentes, se reduce a calcular el ngulo entre sus vectores normales.

Luego si es la normal del plano (los coeficientes A,B,C de la ecuacin, son las componentes de un vector normal a dicho plano) y es una direccin normal al pl XY, reemplazando en la frmula

Respuesta: 2634c) Deducir y calcular la longitud de la altura de la pirmide trazada desde el vrtice Q.

La longitud de la altura de la pirmide es la distancia desde el punto Q al plano

Reemplazando: ecuacin del plano y punto Q(3;0;4)

Respuesta: La altura de la pirmide es

Lic. Andrea Arce_1239905359.unknown

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