EJERCICIOS RESUELTOS GUIA No 1 TEORIA DE PROBABILIDADESSOBRE LOS
TEMAS: CALCULOS DEL ESPACIO MUESTRAL POR SELECCIN DE ARTICULOS DE
UN LOTE Y POR TECNICAS DE CONTEO DE PUNTOS MUESTRALES: PERMUTACION
Y COMBINACION.Ejercicios resueltos de combinacin y permutacin
1. De cuntas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de
presidente, vicepresidente y tesorero de un club de ftbol sabiendo
que hay 12 posibles candidatos?
Noentran todos los elementos.
Simporta el orden.
Nose repiten los elementos.
2. Con las letras de la palabralibro, cuntas ordenaciones
distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?
La palabra empieza poriuoseguida de las 4 letras restantes
tomadas de 4 en 4.
Sentran todos los elementos.
Simporta el orden.
Nose repiten los elementos.
3. De cuntas formas pueden mezclarse los siete colores del arco
iris tomndolos de tres en tres?
Noentran todos los elementos.
Noimporta el orden.
Nose repiten los elementos.
4. Cuntos nmeros de cinco cifras distintas se pueden formar con
las cifras impares? Cuntos de ellos son mayores de 70.000?
Sentran todos los elementos.
Simporta el orden.
Nose repiten los elementos.
Si es impar slo puede empezar por 7 u 8
5. De cuntos partidos consta una liguilla formada por cuatro
equipos?
Noentran todos los elementos.
Simporta el orden.
Nose repiten los elementos.
6. De cuntas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un
equipo de ftbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar
otra posicin distinta que la portera?
Disponemos de 10 jugadores que pueden ocupar 10 posiciones
distintas.
Sentran todos los elementos.
Simporta el orden.
Nose repiten los elementos.
7. Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma
un comit de 2 hombres y 3 mujeres. De cuntas formas puede formarse,
si:
1.Puede pertenecer a l cualquier hombre o mujer.
2.Una mujer determinada debe pertenecer al comit.
3.Dos hombres determinados no pueden estar en el comit.
8. Un alumno tiene que elegir 7 de las 10 preguntas de un
examen. De cuantas maneras puede elegirlas? Y si las 4 primeras son
obligatorias?
Solucin
El orden en que elija las preguntas, que adems no podrn
repetirse, es irrelevante. As, puede elegir las preguntas de 10C7 =
120, maneras.
Por otra parte, si las 4 primeras son obligatorias, debe escoger
3 preguntas entre las 6 restantes para completar las 7 necesarias,
resultando un total de 6C3 = 20 maneras.9. Cuntos nmeros de 4
dgitos se pueden formar con las cifras 0,1,. . . ,9
a. permitiendo repeticiones;
b. sin repeticiones;
c. si el ltimo dgito ha de ser 0 y no se permiten
repeticiones?SolucinAsumamos que para que un nmero sea de 4 dgitos
su primer dgito debe ser distinto de cero. a. Puesto que debe
formarse un nmero de 4 dgitos, el primero de estos no puede ser
cero. Por lo tanto, hay nueve posibilidades para el primer dgito y
diez para cada uno de los tres dgitos restantes, Obtenindose un
total de 9x10x10x10 = 9000 nmeros posibles.
b. Al igual que en el apartado anterior, el primer dgito no
puede ser cero. Como adems no se permiten repeticiones, hay nueve
posibilidades para el segundo dgito: el cero y las ocho no
escogidas para el primer dgito. Por tanto, se pueden formar 9x9x8x7
= 4536 nmeros.c. Fijamos el ltimo dgito y, como no puede haber
repeticiones, se obtiene un total de 9 x 8 x7 x1 = 504 nmeros.10.
Un alumno tiene que elegir 7 de las 10 preguntas de un examen. De
cuntas maneras puede elegirlas? Y si las 4 primeras son
obligatorias?
SolucinEl orden en que elija las preguntas, que adems no podrn
repetirse, es irrelevante. As, puede elegir las preguntas de 10C7 =
120 maneras.
Por otra parte, si las 4 primeras son obligatorias, debe escoger
3 preguntas entre las 6 restantes para completar las 7 necesarias,
resultando un total de 6C3 = 20 maneras.EJERCICIOS RESUELTOS
Cuntos nmeros de 5 cifras diferentes se puede formar con los
dgitos: 1, 2, 3, 4, 5.?
m = 5 n = 5
Sentran todos los elementos. De 5 dgitos entran slo 3.
Simporta el orden. Son nmeros distintos el 123, 231, 321.
Nose repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras
sean diferentes.
2.De cuntas formas distintas pueden sentarse ocho personas en
una fila de butacas?
Sentran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8
personas.
Simporta el orden.
Nose repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.
3.De cuntas formas distintas pueden sentarse ocho personas
alrededor de una mesa redonda?
4.Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; cuntos nmeros de
nueve cifras se pueden formar?
m = 9 a = 3 b = 4 c = 2 a + b + c = 9
Sentran todos los elementos.
Simporta el orden.
Sse repiten los elementos.
5.Con las letras de la palabralibro, cuntas ordenaciones
distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?
La palabra empieza poriuoseguida de las 4 letras restantes
tomadas de 4 en 4.
Sentran todos los elementos.
Simporta el orden.
Nose repiten los elementos.
6.Cuntos nmeros de cinco cifras distintas se pueden formar con
las cifras impares? Cuntos de ellos son mayores de 70.000?
Sentran todos los elementos.
Simporta el orden.
Nose repiten los elementos.
Si es impar slo puede empezar por 7 u 8
7.En el palo de seales de un barco se pueden izar tres banderas
rojas, dos azules y cuatro verdes. Cuntas seales distintas pueden
indicarse con la colocacin de las nueve banderas?
Sentran todos los elementos.
Simporta el orden.
Sse repiten los elementos.
8.De cuntas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un
equipo de ftbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar
otra posicin distinta que la portera?
Disponemos de 10 jugadores que pueden ocupar 10 posiciones
distintas.
Sentran todos los elementos.
Simporta el orden.
Nose repiten los elementos.
9.Una mesa presidencial est formada por ocho personas, de cuntas
formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario
siempre van juntos?
Se forman dos grupos el primero de 2 personas y el segundo de 7
personas, en los dos se cumple que:
Sentran todos los elementos.
Simporta el orden.
Nose repiten los elementos.
10.Cuatro libros distintos de matemticas, seis diferentes de
fsica y dos diferentes de qumica se colocan en un estante. De
cuntas formas distintas es posible ordenarlos si:
1.Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.
2.Solamente los libros de matemticas deben estar juntos.
11.Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3
bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre s,
de cuntas formas posibles pueden ordenarse?
12.Resolver las ecuaciones:
1.
2.
3.
13. Tienes 5 libros para acomodar en un estante de cuantas
formas los puedes acomodar:P 5 en 5 = 5*4*3*2*1= 1201b Si solo hay
tres lugares de cuantas formas se pueden acomodar los librosP 5 en
3= 5*4*3= 6014. En una carrera corren 8 caballos, si solo los 3
primeros ganan premio de cuantas maneras se puede hacer la
premiacion:P de 8 en 3 = 8*7*6= 336 manerasPRINCIPIO DE
COMBINACION:
En una permutacin, el orden de los objetos de cada posible
resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es
importante, cada uno de estos resultados se denomina combinacin.
Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2
personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el
equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden,
los resultados sern permutaciones. Por el contrario si en el equipo
no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los
resultados sern combinaciones. Los resultados en ambos casos son
los siguientes:
Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB
Combinaciones: AB, AC, BC
Combinaciones: Es el nmero de formas de seleccionar r objetos de
un grupo de n objetos sin importar el orden.La frmula de
combinaciones es:
n C r = n! r! (n r)!
Ejemplo: En una compaa se quiere establecer un cdigo de colores
para identificar cada una de las 42 partes de un producto. Se
quiere marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las
partes, de tal suerte que cada una tenga una combinacin de 3
colores diferentes. Ser adecuado este cdigo de colores para
identificar las 42 partes del producto?Usando la frmula de
combinaciones:
n C r = n! = 7! = 7! = 35r! (n r )!3! (7 3)!3! 4!
El tomar tres colores de 7 posibles no es suficiente para
identificar las 42 partes del producto.Estasson una pagina
interactiva interesantes, que les puede ser muy util para el mejor
entendimiento de las Tecnicas de Conteo:
EJERCICIOS RESUELTOS
1.En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comit formado
por tres alumnos. Cuntos comits diferentes se pueden formar?
Noentran todos los elementos.
Noimporta el orden: Juan, Ana.
Nose repiten los elementos.
2.De cuntas formas pueden mezclarse los siete colores del arco
iris tomndolos de tres en tres?
Noentran todos los elementos.
Noimporta el orden.
Nose repiten los elementos.
3.A una reunin asisten 10 personas y se intercambian saludos
entre todos. Cuntos saludos se han intercambiado?
Noentran todos los elementos.
Noimporta el orden.
Nose repiten los elementos.
4.En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. De
cuntas formas se pueden elegir cuatro botellas?
Noentran todos los elementos. Slo elije 4..
Noimporta el orden. Da igual que elija 2 botellas de ans y 2 de
ron, que 2 de ron y 2 de ans.
Sse repiten los elementos. Puede elegir ms de una botella del
mismo tipo.
5.Cuntas apuestas de Lotera Primitiva de una columna han de
rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de
49?
Noentran todos los elementos.
Noimporta el orden.
Nose repiten los elementos.
6.Cuntas diagonales tiene un pentgono y cuntos tringulos se
puede informar con sus vrtices?
Vamos a determinar en primer lugar las rectas que se pueden
trazar entre 2 vrtices.
Noentran todos los elementos.
Noimporta el orden.
Nose repiten los elementos.
Son, a las que tenemos que restar los lados que determinan 5
rectas que no son diagonales.
7.Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma
un comit de 5 hombres y 3 mujeres. De cuntas formas puede formarse,
si:
1.Puede pertenecer a l cualquier hombre o mujer.
2.Una mujer determinada debe pertenecer al comit.
3.Dos hombres determinados no pueden estar en el comit.
8.Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. Cuntas
sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?
9.Resolver lasecuaciones combinatorias:
1.
2.
3.
27 no es solucin porque el nmero de orden en las combinaciones
es menor que el nmero de elementos.
12P3 = 12 x 11 x 10 = 1320
Notaciones de combinatorio:
nCr = QUOTE = QUOTE
4P2 = 4 . 3 = 12
