Upload
sergiolopez
View
12
Download
6
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Ejercicios resuletos de derivadas
Citation preview
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva:
1. y=x2−2 x−3 para x=1
dydx
= ddx
(x2)− ddx
(2 x)− ddx
(3)
ddx
(x2 )=2 x
ddx
(2 x )=2
ddx
(3 )=0
dydx
=2x−2
Factorizando
dydx
=2(x−1)
Remplazando para x=1
dydx
=2(1−1)
dydx
=0
2. Si f ( x )=x 4− 1
x4−ln (4 )halle el valor de f ' (1)
f ' ( x )= ddx
(x¿¿4)−ddx ( 1x4 )− d
dx(ln (4 ))¿
ddx
(x¿¿ 4)=4 x3¿
ddx ( 1x4 )= 4
x5
ddx
( ln (4 ))=0
f ' ( x )=4 x3+ 4x5
Evaluando para f ' (1 )
f ' (1 )=4(1)3+ 4
(1)5
f ' (1 )=4(1)3+ 4
(1)5
f ' (1 )=8
Hallar la derivada de las siguientes funciones
3. f ( x )=sen22 x
Aplicando la regla de la cadena
f ' ( x )=2 sen2−1(2 x)
Derivando la función trigonométrica
f ' ( x )=2∗sen (2x )∗cos (2 x )∗2
Simplificando
f ' ( x )=4 sen (2 x )∗cos (2 x)
4. f ( x )= lnx7
lnx3
Aplicando la regla del cociente
( fg )'
= f '∗g−g'∗fg2
f (x)'=
ddx
( ln (x7 )) ln ( x3 )− ddx
( ln (x3 )) ln ( x7 )
ln2(x3)
ddx
( ln ( x7 ) )=7x
ddx
( ln ( x3 ))=3x
Sustituyendo:
f ' (x)=
7xln (x3 )−3
xln (x7 )
ln2(x3)
Simplificando:
f ' (x)=7 ln (x3 )−3 ln (x7 )
x ln2(x3)
5. f ( x )= x
ex
Aplicando la regla del cociente
( fg )'
= f '∗g−g'∗fg2
f ' (x)=
ddx
( x ) ex− ddx
(ex ) x
e2x
ddx
( x )=1
ddx
(ex )=ex
Sustituyendo:
f ' (x)=1ex−ex xe2 x
Simplificando:
f ' ( x )=1ex
e2x− ex x
e2x
f ' ( x )= 1
ex− x
ex
f ' ( x )=1−x
ex
f ' ( x )=−e−x (x−1)
Derivadas de orden superior. (Puntos 6 y 7)
6. Hallar la tercera derivada de: f ( x )=2 sen(2 x )
Primera derivada:
Sacando laconstante : (a∗f )'=a∗f '
f ' ( x )=2 ddx
(sen (2 x ))
Aplicando la regla de la cadena:
df (u)dx
=
dfdu
∗du
dx2 x=u
f ' (x)=2ddu
(sen (u ))∗ddx
(2x )
ddu
( sen (u ))=cos (u)
ddx
(2 x )=2
f ' (x)=2cos (u )2
Sustituyendou=2 x
f ' (x)=4cos (2x )
Segunda derivada:
Sacando laconstante : (a∗f )' '=a∗f ' '
f ' ' (x )=4 ddx
(cos (2 x ))
Aplicando la regla de la cadena:
df (u)dx
=
dfdu
∗du
dx2 x=u
f ' ' (x)=4ddu
(cos (u ))∗ddx
(2 x)
ddu
(cos (u ) )=−sen (u)
ddx
(2 x )=2
f ' ' (x)=4¿
Sustituyendou=2 x
f ' ' ( x )=−8 sen (2x )
Tercera derivada
Sacando laconstante : (a∗f )' ' '=a∗f ' ' '
f ' ' ' (x)=−8 ddx
(sen (2 x ))
Aplicando la regla de la cadena:
df (u)dx
=
dfdu
∗du
dx
2 x=u
f ' ( x )=−8ddu
(sen (u ))∗ddx
(2x )
ddu
( sen (u ))=cos (u)
ddx
(2 x )=2
f ' ' ' ( x )=−8cos (u )2
Sustituyendou=2 x
f ' ' ' ( x )=−16 cos (2x )
7. Hallar la segunda derivada de: f ( x )=ex lnx
Primera derivada
Aplicandola regladel producto : ( f∗g )'=f '∗g+ f∗g '
f=ex , g= ln (x)
f ' ( x )= ddx
(ex) ln ( x )+ ddx
( ln (x ))ex
ddx
(ex )=ex
ddx
( ln ( x ) )=1x
Sustituyendo:
f ' ( x )=e x ln ( x )+ 1xex
Simplificando:
f ' ( x )= ex (xln ( x )+1)x
Segunda derivada
Aplicando la regla del cociente
( fg )'
= f '∗g−g'∗fg2
f ' ' (x)=
ddx
(ex (xln ( x )+1 ) )x− ddx
(x )ex (xln ( x )+1)
x2
ddx
(ex (xln (x )+1 ) )=ex (xln ( x )+ ln (x )+2)
ddx
( x )=1
Sustituyendo:
f ' ' (x)=ex (xln (x )+ ln ( x )+2 ) x−1ex (xln ( x )+1)
x2
Simplificando:
f ' ' (x)=ex(x (xln ( x )+2 )−1)
x2
8. Usando L´Hopital halle el límite de: limx→2
x2+2x−8x2−x−2
Aplicando el límite
limx→2
x2+2x−8x2−x−2
=(2 )2+2 (2 )−8
(2 )2−2−2=4+4−8
4−4=00=Indeterminado
Aplicando L’Hopital
limx→2
x2+2x−8x2−x−2
=limx→2
ddx
( x2+2 x−8)
ddx
( x2−x−2)
Aplicando la derivada
ddx
(x2+2x−8 )=2 x+2
ddx
(x2−x−2 )=2x−1
Sustituyendo
limx→2
2 x+22 x−1
Aplicando el límite
limx→2
2 x+22 x−1
=2(2)+22(2)−1
= 4+24−1
=63=2
limx→2
2 x+22 x−1
=2
9. De la curva f ( x )=x2−x Hallar:
a. Las coordenadas del punto crítico.
Aplicando la derivada:
f ' ( x )= ddx
(x2 )− ddx
( x )
ddx
(x2 )=2 x
ddx
( x )=1
f ' ( x )=2 x−1
Igualando a cero la primera derivada
2 x−1=0
Despejando x
x=12
Remplazando x=12
en la función
y(12 )
=( 12 )2
−( 12 )=( 14 )−( 12 )=−( 14 )Coordenadas del punto crítico
Enx=12
En y=−14
b. Los puntos de inflexión si los hay.
Aplicando la primera derivada:
f ' ( x )= ddx
(x2 )− ddx
( x )
ddx
(x2 )=2 x
ddx
( x )=1
f ' ( x )=2 x−1
Aplicando la segunda derivada:
f ' ' ( x )= ddx
(2x )− ddx
(1 )
ddx
(x2 )=2
ddx
( x )=0
y ' ' ( x )=2
Sustituyendo en la función y=2
f ( x )=x2−x
2=x2−x
Resolviendo la ecuación
x=−1x=2
Puntos de inflexión:y=2 x=−1x=2
10. En la construcción de una obra se debe hacer un pedido de cemento. ¿Qué cantidad de bultos (x) debo solicitar a la fábrica, tal que el costo total de ese pedido sea el mínimo?
Fórmuladel costos total del pedidoC (x )
CT ( x )=100.000 .000x
+100 x+50
Aplicando la primera derivada
C 'T ( x )= ddx ( 100.000 .000x )+ d
dx(100 x )+ d
dx(50)
ddx ( 100.000 .000x )=−100.000 .000
x2
ddx
(100 x )=100
ddx
(50 )=0
C 'T ( x )=100−100.000 .000x2
Igualando a cero la primera derivada para encontrar el mínimo
100−100.000 .000x2
=0
Resolviendo la ecuación
x=1000
Remplazando en la función x=1000
CT (1000 )=100.000 .0001000
+100 (1000)+50
CT (1000 )=200.050
Respuesta: Para que el costo total del ese pedido sea mínimo se deben solicitar 1000 bultos