7/24/2019 Ejercicios Sobre Supremos

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Escuela de Matematica, UCR. Prof. Eugenio Chinchilla M.

EJERCICIOS SOBRE LA COMPLETITUD DE  R.(Los siguientes ejercicios son tomados del libro

“Introduccion al Analisis Matematico de una Variable”de R. Bartle y D. Sherbert)

1. Sea  S  ⊂ R, no vacıo, y sea  u ∈ R. Demuestre que  u  es cota superior de  S  si y solo

si  ∀t(t > u → t /∈ S ).

2. Demuestre que si un conjunto contiene una de sus cotas superiores, entonces contiene

solo una y es su supremo.

3. Sea S 1 = {x ∈ R   :   x ≥ 0}. Demuestre con todo detalle que S 1 tiene cotas inferiorespero no tiene cotas superiores. Pruebe que inf  S 1 = 0.

4. Sea  S 2 = {x ∈ R   :   x > 0}. Pruebe que inf  S 2 = 0.

5. Sea  S 3 = {1/n   :   n ∈ N∗}. Pruebe que sup S 3 = 1 y que inf  S 3 = 0.

6. Sea  S 4 = {1 − (−1)n/n   :   n ∈ N∗}. Calcule inf  S 4  y sup S 4.

7. Sea  S 5 = {1/n − 1/m   :   n, m ∈ N∗}. Calcule inf  S 5  y sup S 5.

8. Sea  S  ⊆ R, no vacıo y acotado superiormente.

(a) Sea   α ∈  R,   α >   0 y sea   A   = {αx   :   x ∈   S }. Muestre que   A   es acotadosuperiormente y que  supA =  α · supS .

(b) Sea   β  ∈  R,   β <   0 y sea   B   = {βx   :   x ∈   S }. Muestre que   B   es acotadoinferiormente y que  infB =  β  · supS .

9. Sea  S  ⊂  R, no vacıo, y sea  u ∈  R. Demuestre que u  = sup S   si y solo si   satisfacelas condiciones siguientes:

(a) Para cualquier n ∈ N∗

, u− 1/n no es cota superior de  S .(b) Para cualquier n ∈ N∗, u + 1/n es cota superior de  S .

10. Sean A, B ⊂ R acotados.

(a) Demuestre que A ∪ B  es acotado y que sup A ∪ B  = max{sup A, sup B}. En-cuentre una expresion similar para el ınfimo.

(b) Estudie el caso de la interseccion.

11. Demuestre que un conjunto finito siempre es acotado y contiene a su supremo (sug:

use induccion y el ejercicio anterior).

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12. De un ejemplo de una coleccion numerable de conjuntos acotados cuya union sea

acotada, y un ejemplo donde la union no sea acotada.13. Sea  A ⊂  R  acotado, y sea  B ⊂   A. Demuestre que   B  es acotado, y que si es no

vacıo, entonces inf  A ≤ inf  B ≤ sup B ≤ sup A.

14. Sean A, B ⊆ R, no vacıos, tal que:

i. ∀a ∈ A ∀b ∈ B a ≤ b.

ii. ∀ > 0 ∃a ∈ A ∃b ∈ B  (b − a < ).

(a) Demuestre que A  es acotado superiormente, y que B  es acotado inferiormente.

(b) Demuestre que  supA =  inf B.(c) Sea   l   =   supA  =   infB. Demuestre que   l   es el unico numero  x  que satisface

∀a ∈ A ∀b ∈ B  (a ≤ x ≤ b).

15. (a) De un ejemplo de un conjunto de numeros racionales que tenga un supremoirracional.

(b) De un ejemplo de un conjunto de numeros irracionales que tenga un supremoracional.

16. Sea  f   : D −→ R con  D  no vacıo y f [D] acotado. Sea  a ∈ R. Demuestre que

(a) sup{a + f (x) :   x ∈ D} = a + sup{f (x) :   x ∈ D}(b) inf {a + f (x) :   x ∈ D} = a + inf {f (x) :   x ∈ D}.

17. Sean  A, B ⊂  R  acotados y sea  A + B  = {a + b   :   a ∈  A, b ∈  B}. Demuestre quesup(A + B) = sup A + sup B  y que inf(A + B) = inf  A + inf  B.

18. Sean f , g :  D −→ R con D  no vacıo y f [D], g[D] acotados. Demostrar que

(a) sup{f (x) + g(x) :   x ∈ D} ≤ sup{f (x) :   x ∈ D}+ sup{g(x) :   x ∈ D}.

(b) inf 

{f (x) + g(x) :   x

∈D

} ≥inf 

{f (x) :   x

∈D

}+ inf 

{g(x) :   x

∈D

}.

De ejemplos para probar que estas desigualdades pueden ser igualdades, o bien,desigualdades estrictas.

19. Sean X  = Y   =]0, 1[. Se define  h  :  X × Y  −→ R por h(x, y) = 2x + y.

(a) Para cada   x ∈   X , calcular  f (x) = sup{h(x, y) :   y ∈   Y }. Despues calculeinf {f (x) :   x ∈ X }.

(b) Para cada   y ∈   Y , calcular   g(y) = inf {h(x, y) :   x ∈   X }. Despues calculesup{g(y) :   y ∈ Y }. Compare con el resultado encontrado en el inciso (a).

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20. Mismo ejercicio que el anterior, para la funcion   h   :   X  × Y  −→   R   definida por:

h(x, y) = 0 si  x < y, y  h(x, y) = 1 si  x ≥ y.21. Sean X, Y   conjuntos no vacıos y sea  h  :  X × Y  −→ R de rango acotado. Se definen

f   : X  −→ R  y  g  :  Y  −→ R por:

f (x) = sup{h(x, y) :   y ∈ Y } y g(y) = inf {h(x, y) :   x ∈ X }.

Demuestre quesup{g(y) :   y ∈ Y } ≤ inf {f (x) :   x ∈ X }.

Compare con los ejercicios anteriores.

22. Sean X, Y   conjuntos no vacıos y sea  h  :  X × Y  −→ R de rango acotado. Se definenF   : X  −→ R y G  :  Y  −→ R por:

F (x) = sup{h(x, y) :   y ∈ Y }  y  G(y) = sup{h(x, y) :   x ∈ X }.

Demuestre el   principio de los supremos iterados :

sup{h(x, y) :   x ∈ X, y ∈ Y } = sup{F (x) :   x ∈ X } = sup{G(y) :   y ∈ Y }.

23. Sea  x > 0. Demuestre que existe  n ∈ N tal que 1/2n < x.

24. Demuestre la existencia en  R de√ 

3.

25. Demuestre la existencia en  R de   3√ 

2.

26. Sea  u >  0 y sean  x < y. Demuestre que existe  r ∈  Q  tal que  x < ru < y. Estoprueba que el conjunto {ru   :   r ∈ Q}  es denso en  R.