Ejercicios Tema 2

Tema2Autor:AntonioRiveroCuesta,TutorC.A.PalmadeMallorca

2.1 De las siguientes operaciones, cul no permite operar cualquier par de nmeros naturales para obtener un resultado natural?

a) La suma. b) La resta. c) La multiplicacin.

2.2 De las siguientes operaciones, cul permite operar cualquier par de nmeros naturales para obtener un resultado natural?

a) La divisin. b) La multiplicacin. c) La resta.

2.3 Cunto vale la potencia de base 3 y exponente 4? a) 64. b) 81. c) 12.

Solucin: 43 81

2.4 En el sistema de numeracin decimal, el smbolo 372 significa:

a) 7 23 7 . b) 100 103 7 2 . c) 23 10 7 10 2

Solucin: 23 10 7 10 2 .


a) 6 1000 8 . b) 6 10000 8 . c) 56 10 8 .

Solucin: 6 10000 8 .


a) 4 22 10 5 10 1 . b) 5 32 10 5 10 1 . c) 3 22 10 5 10 1 .

Solucin: 4 22 10 5 10 1 .

2.7 Existe un sistema de numeracin en base 21?

a) No, porque 21 no es un nmero primo. b) No, porque 21 2 10 1 . c) S, aunque precisa de 21 dgitos distintos.

Solucin: S, aunque precisa de 21 dgitos distintos.

2.8 En el sistema de numeracin en base 6, 6504 significa:

a) 5 36 4 . b) 5 18 4 . c) 504 6 .

Solucin: 5 36 4 .

2.9 En el sistema de numeracin en base 4, 4243 significa:

a) 22 4 4 4 3 . b) 22 4 43 . c) Nada.

Solucin: En el sistema de numeracin en base 4 tenemos los siguientes dgitos 0, 1, 2, 3.

2.10 En el sistema de numeracin binario, 21001 representa el nmero decimal: a) 9. b) 11. c) 7.

Solucin: 3 2 1 021001 1 2 0 2 0 2 1 2 9 .

1 0 0 1

2 2 4 8

1 2 4 9

2.11 En el sistema de numeracin binario, 210100 representa el nmero decimal: a) 20. b) 17. c) 18.

Solucin: 4 3 2 1 0210100 1 2 0 2 1 2 0 2 0 2 20 .

1 0 1 0 0

2 2 4 10 20

1 2 5 10 20

2.12 En el sistema de numeracin ternario, 3102 representa el nmero decimal: a) 9. b) 11. c) 8.

Solucin: 2 1 03102 1 3 0 3 2 3 11 .

1 0 2

3 3 9

1 3 11

2.13 En base 3, 31021 representa el nmero decimal: a) 34. b) 29. c) 26.

Solucin: 3 2 1 031021 1 3 0 3 2 3 1 3 34 .

1 0 2 1

3 3 9 33

1 3 11 34

2.14 En base 16, 16190 representa el nmero decimal: a) 612. b) 476. c) 400.

Solucin: 2 1 016190 1 16 9 16 0 16 400 .

1 9 0

16 16 400

1 25 400

2.15 En el sistema hexadecimal, si A es el smbolo para la cifra 10, A20 es el nmero decimal: a) 2592. b) 4016. c) No tiene sentido.

Solucin: 2 1 01620 10 16 2 16 0 16 2592A .

A 2 0

16 160 2592

10 162 2592

2.16 En el sistema de numeracin binario, el nmero decimal 311 se expresa:

a) 210100011 . b) 2100110111 . c) 2110001101 .

Solucin: Aplicamos el algoritmo de la divisin y obtenemos: 2100110111

2.17 En base 2, con cuntos dgitos se escribe el nmero decimal 107?: a) 7. b) 8. c) 9.

Solucin: Aplicamos el algoritmo de la divisin y obtenemos: 2107 1101011 , 7 dgitos.

2.18 El nmero de dgitos de la expresin binaria del nmero decimal 56 es:

a) 5. b) 6. c) 8.


2.19 En base 3, el nmero decimal 108 tiene a) 6 cifras. b) 4 cifras. c) 5 cifras.


2.20 La expresin en base 7, el nmero decimal 192 a) Contiene la cifra 6. b) Contiene la cifra 4. c) Contiene la cifra 2.

Solucin: Aplicamos el algoritmo de la divisin y obtenemos: 7192 363 , contiene la cifra 6.

2.21 La expresin en base 30, el nmero decimal 511 tiene a) 2 cifras. b) 3 cifras. c) 4 cifras.

Solucin: Aplicamos el algoritmo de la divisin y obtenemos: 30511 17 1 , 2 cifras.

2.22 Cul es la expresin en base 7 del nmero hexadecimal 1618 ? a) 741 . b) 736 . c) 733 .

Solucin: Pasamos: 101618 24 , y dividiendo 10 724 33

1 8

16 16

1 24

2.23 Si a, b y c son nmeros naturales y c a b , es incorrecto decir que a) a divide a c. b) c es mltiplo de b. c) a es mltiplo de c.

Solucin: a es mltiplo de c.

2.24 121 es un nmero a) primo. b) compuesto. c) Mltiplo de 7.

Solucin: 121 11 11 , es un nmero compuesto.

2.25 131 es un nmero a) primo. b) compuesto. c) Divisible por 7.

Solucin: es un nmero primo.

2.26 Un nmero es divisible por 2 a) Si la suma de sus cifras es par. b) Si la ltima cifra es par. c) Si tiene alguna cifra par.

Solucin: Si la ltima cifra es par.

2.27 Un nmero es divisible por 3 a) Si la suma de sus cifras es mltiplo de 3. b) Si la ltima cifra es mltiplo de 3. c) Si tiene alguna cifra es mltiplo de 3.

Solucin: Si la suma de sus cifras es mltiplo de 3.

2.28 El nmero de factores primos de 154 es a) 2. b) 3. c) 4.

Solucin: la descomposicin en factores primos es 154 2 7 11 ,

2.29 Los factores primos de 105 suman a) 15. b) 18. c) 21.

Solucin: la descomposicin en factores primos es 105 3 5 7 , 3 5 7 15

2.30 El nmero de factores primos diferentes de 117 es a) 1. b) 2. c) 3.

Solucin: la descomposicin en factores primos es 117 3 3 13 , diferentes son 3 y 13.

2.31 La descomposicin en factores primos de 2548 a) Tiene 3 factores distintos. b) Tiene 3 factores iguales. c) Tiene, en total, 4 factores.

Solucin: la descomposicin en factores primos es 2 22548 2 7 13 , diferentes son 2, 7 y 13.

2.32 Si el producto de dos nmeros es divisible por 6 a) Algunos de ellos es divisible por 6. b) Ambos son divisibles por 6. c) Alguno de ellos es par.

Solucin: Alguno de ellos es par.

4 9 36 que es divisible entre 6, pero ni 4 ni 9 se pueden dividir entre 6.

2.33 Si a b es divisible por 5 a) a es divisible por 5 o b es divisible por 5. b) a y b son ambos divisibles por 5. c) a b es divisible por 5.

Solucin: a es divisible por 5 o b es divisible por 5. 3 5 15 , 15 es divisible entre 5, pero 3 no es ni 3 5 8 se pueden dividir entre 5.

2.34 El nmero de divisores comunes de 18 y 27 es a) 3. b) 2. c) 1.

Solucin: 218 2 3 ; 327 3 . Los divisores comunes son el 1, 3 y 9.

2.35 Los divisores de 28 a) Son 3. b) Suman 56. c) Son todos pares, salvo el 1.

Solucin: Los factores son 28 2 2 7 ; Los divisores comunes son el 1, 2, 4, 7, 14 y 28. Los divisores suman 56.

2.36 El mximo comn divisor de 60 y 90 a) Es primo. b) Tiene dos factores primos. c) Tiene tres factores primos.

Solucin: 260 2 3 5 ; 290 2 3 5 y 60,90 2 3 5 30mcd

2.37 El mximo comn divisor de 156 y 204 a) Es mayor que 15. b) Es menor que 10. c) Es menor que 18.

Solucin: 2156 2 3 13 ; 2204 2 3 17 y 2156, 204 2 3 12mcd , es menor que 18.

2.38 El mnimo comn mltiplo de 465 y 558 a) Es mayor que 3000. b) Es menor que 3200. c) Tiene 6 factores primos.

Solucin: 465 3 5 31 ; 2558 2 3 31 y 2465,558 2 3 5 31 2790mcm , es menor que 3200.

2.39 Dos nmeros naturales son primos entre s cuando a) No tienen factores primos comunes. b) Su mcd es mayor que 1. c) Alguno es primo.

Solucin: No tienen factores primos comunes, el mcd es 1.

2.40 El producto de dos nmeros es 486 y su mcd es 9, su mcm ser a) 54. b) 48. c) 28.

Solucin: Utilizamos la expresin , ,a b mcm a b mcd a b ; 486 , 9mcm a b ; 486, 549

mcd a b

2.41 El producto del mcd y el mcm de los nmeros 18 y 62 es igual a) Al mnimo comn mltiplo. b) Al doble del mnimo comn mltiplo. c) Al triple del mnimo comn mltiplo.

Solucin: 218 2 3 ; 62 2 31 ; 18,62 2mcd ; 218,62 2 3 31 558mcm

558 2 1116 que es el doble del mnimo comn mltiplo.

2.42 Si el producto de dos nmeros enteros es positivo, a) Son ambos positivos. b) Son ambos negativos. c) Son ambos positivos o ambos negativos.

Solucin: Son ambos positivos o ambos negativos, 4 7 28 , 4 7 28 .

2.43 Si el producto de dos nmeros enteros es negativo, a) Son ambos negativos. b) Son nmeros opuestos. c) Alguno es positivo.

Solucin: Para que la respuesta b fuese correcta tendra que ser siempre cierta la afirmacin siguiente:

"Si el producto de dos nmeros enteros a y b es negativo entonces a es igual al opuesto de b"

Claramente esta afirmacin no es cierta en general: El producto de a y b puede ser negativo y no tiene por qu ser necesariamente al opuesto de b.

Por ejemplo si a = 2 y b = -5 su producto ab = -10 y a no es el opuesto de b.

Otra cosa diferente es la afirmacin en el otro sentido:

"El producto de un nmero por su opuesto es siempre negativo".

Esta afirmacin s es cierta siempre, pero esto no es lo que dice la pregunta.

De las tres alternativas de la pregunta la nica que es cierta, en general, es decir sean cuales sean los nmeros a y b, es la alternativa c). En efecto, si el producto de a y b es negativo de lo nico que podemos estar seguros es que uno de ellos, bien sea a o bien sea b ha de ser positivo. Por qu? Muy sencillo: las otras posibles alternativas que pueden darse con respecto al signo de a y b son: que ambos sean positivos o que ambos sean negativos. En cualquiera de los dos casos el producto sera positivo por lo que no se cumplira el enunciado de la pregunta.

2.44 Si la diferencia de dos nmeros enteros, a b , es negativa, a) No puede ser a positivo y b negativo. b) No pueden ser ambos negativos. c) No pueden ser ambos positivos.

Solucin: No puede ser a positivo y b negativo.

Pueden ser ambos positivos: 3 5 2 Pueden ser ambos negativos: 7 4 3 Puede ser a negativo y b positivo: 8 2 10 Lo que no puede ocurrir es que a sea positivo y b negativo: 1 2 3

2.45 El producto de los opuestos de dos nmeros enteros es igual, a) Al opuesto del producto de ambos. b) Al producto de sus valores absolutos. c) Al producto de ambos.

Solucin: Al producto de ambos.

Por la regla de los signos tenemos que a b a b

Por ejemplo: 3a y 5b

3 5 15a b 3 5 15a b

3 5 15a b

2.46 Si a es un nmero negativo, 2a es, a) Positivo. b) Negativo. c) Positivo o negativo segn sea el signo de a.

Solucin: Negativo. 2a es positivo y 2a es negativo.

2.47 Si a y b son nmeros enteros, 2 2a b ab es igual, a) ab a b . b) 2 2a b b a . c) a b a b .

Solucin: 2 2ab a b a b a b .

2.48 Dos fracciones xy

y mn

son equivalentes si

a) 1x my n .

b) 1x ny m .

c) 1x my n .

Solucin: 1x ny m

2.49 La fraccin 78 91 es equivalente a

a) 6 7 . b) 4 7 . c) 7 9 .

Solucin: 78 7 546 191 6 546

2.50 La fraccin 17 9 no es equivalente a

a) 119 63 . b) 238 135 . c) 323 171.

Solucin: 17 135 2295 1,07149 238 2142

2.51 La suma de las fracciones 5 14 y 8 21 vale

a) 20 28 . b) 40 54 . c) 31 42 .

Solucin: 14, 21 2 3 7 42mcm ; 5 8 15 16 3114 21 42 42

2.52 La diferencia de las fracciones 8/35 y 11/42 vale a) -1/30. b) -3/84. c) -7/212.

Solucin: Una forma de hacerlo:

8 42 35 118 11 336 385 49 135 42 35 42 1470 1470 30

Otra forma:

El mcm de 35 y 42 es 210

8 11 48 55 7 135 42 210 210 30

2.53 El producto 2 1 1 13 5 4 6

es igual a

a) 9 24 . b) 13 36 . c) 0,361 .

Solucin: 2 1 1 1 13 5 65 13 0,3613 5 4 6 15 12 180 36

.

2.54 El producto 11 1 7 16 8 4 2

es igual a

a) 1,367 . b) 43 24 . c) 41 30 .

Solucin: 11 1 7 1 41 5 164 41 1,366 8 4 2 24 4 120 30

.

2.55 La expresin decimal de la fraccin 11/81 a) Tiene un perodo compuesto por 9 cifras. b) Tiene un perodo compuesto por 10 cifras. c) Tiene un perodo compuesto por 12 cifras.

Hacemos la divisin: 11 0,13580246981

2.56 El nmero 2,051051051... es la expresin decimal de una fraccin con numerador a) 321. b) 683. c) 911.

2051 2 2049 683999 999 333

2.57 El nmero 3,5233233233... es la expresin decimal de una fraccin con denominador a) 1645. b) 2325. c) 4995.

35233 35 35198 175999990 9990 4995

2.58 El precio de cierto producto subi un 4% durante el verano y un 6% ms durante el otoo. La subida total en ambas estaciones ha sido del

a) 10%. b) 10,24%. c) 4,6%.

Tenemos un primer incremento del 4%, es decir que multiplicamos por 1,04 el producto.

Tenemos un segundo incremento del 6%, es decir que multiplicamos por 1,06 el producto, pero tenemos que tener en cuenta que ya haba una subida de 4%, esto quiere decir que estamos aplicando el segundo porcentaje sobre el primero.

1,04 1,06 1,1024

La subida total es del 10,24%

2.59 Si un producto costaba 1350 euros hace seis aos y ahora cuesta 899 euros, la variacin en el precio ha sido del

a) 50,16%. b) 33,40%. c) 45,10%.

% 100medida actual medida anteriorvariacinmedida anterior

899 1350% 100 33,40%1350

variacin

2.60 Cierta cantidad de dinero se reparte en tres sobres. El primero contiene una proporcin 16/49, el segundo 21/62 y el tercero el resto. Cul de los tres sobres contiene una cantidad intermedia entre los otros dos?

a) El primero. b) El segundo. c) El tercero.

16 21 1017149 62 3038

El primero 16 0,32649

El segundo 21 0,33862

El tercero 1017 0,3343038

2.61 Cul de los siguientes nmeros es irracional?

a) 3 48 b) 49 100 c) 5 40

Nmero irracional: es un nmero decimal infinito no peridico. 2 , , etc

13 48 0,254

Es racional. 749 100 0,7

10 Es racional.

3

5 5 5 15 405 8 2 5

52 2 5 2 2 25 2

2.62 Cul de los siguientes nmeros NO es irracional?

a) 8 9

b) 49 100

c) 8 36

Nmero irracional: es un nmero decimal infinito no peridico. 2 , , etc

8 9 0,9428090415820633658677............. 49 100 0,7 8 36 0,47140452079103168293389.......

2.63 Si x e y son nmeros reales tales que x y la desigualdad 3 5x y a) Es cierta. b) Es falsa. c) Depende de los valores de x e y.

Solucin:

Con 2x e 3y , se cumple que: 3 6 5 15x y . Pero con 5x e 4y , resulta 3 15x y 5 20y y no es cierto que 3 5x y .

2.64 Si x e y son nmeros reales tales que x y , la desigualdad 3 / 7 2 / 5x y a) Es cierta. b) Es falsa. c) Depende de los valores de x e y.

Tenemos como condicin que los nmeros reales x < y, por otro lado tenemos:

3 27 5

x y Que dividiendo las fracciones es lo mismo que:

0, 428 0,4x y

Teniendo en cuenta que x < y hacemos unos ejemplos:

2 0,428 3 0,41,572 2,6

Vemos que se cumple.

3 0,428 4 0,42,572 3,6


Si seguimos viendo ejemplos, se cumplen para todo, por lo tanto es cierta la desigualdad

2.65 Si x e y son nmeros reales tales que x y , la desigualdad 7 / 4 9 / 5x y a) Es cierta. b) Es falsa. c) Depende de los valores de x e y.

Tenemos como condicin que los nmeros reales x < y, por otro lado tenemos:

7 94 5

x y Que dividiendo las fracciones es lo mismo que:

1,75 1,8x y

Teniendo en cuenta que x < y hacemos unos ejemplos:

2 1,75 4 1,80,25 2,2


1,76 1,75 1,77 1,80,01 0,03

Vemos que NO se cumple.

El truco est en que la diferencia entre 1,75 y 1,8 es 0,05 si tomamos valores cuya diferencia sea menor o igual que 0,05 vemos que no se cumple como son los nmero reales 1,76 para x, 1,77 para y.

2.66 5 52 5 es igual a a) 57 . b) 510 . c) 1010 .

Solucin: 510 .

2.67 4 22 45 6 es igual a a) 630 . b) 830 . c) 611 .

Solucin: 8 8 85 6 30 .

2.68 4 32 4 es igual a a) 102 . b) 78 . c) 126 .

Solucin: 34 2 4 6 102 2 2 2 2 .

2.69 242 28 4 es igual a a) 42 . b) 122 . c) 322 .

Solucin: 24 8 42 2 8 4 3 2 24 8 328 4 8 4 2 2 2 2 2 .

2.70 2 3 1 63 9 es igual a a) 3. b) 1 22 . c) 3 22 .

Solucin: 1 62 3 1 6 2 3 2 2 3 2 6 2 3 1 3 13 9 3 3 3 3 3 3 3 3 .

2.71 20 80 45 es igual a a) 55 . b) 45 . c) 4 5 .

Solucin:

20 2 5

80 4 5

45 3 5

Tenemos que 2 4 3 5 3 5 45

2.72 5 2 3 224 6 es igual a a) 54 3 . b) 5 2 3 24 6 6 . c) 62 3 .

Solucin:

5 2 3 2

5 2 3 2

5 2 5 2 3 2

5 2 5 2 3 2

5 2 2 2

5 2

5 22

5

5

6

24 6

4 6 6

4 6 64 64 64 6

2 6

2 62 2 3

2 3

2.73 La solucin de la ecuacin: 6 2 4 13 8

x x : a) Es igual a 0,527. b) Es mayor que 0,52. c) Es menor que 0,51.

6 2 4 13 8

x x 6 2 4 1 0

3 8x x

48 16 12 3 024

x x 2 1 12 03 2 8

x x 3 19 02 24

x 3 192 24

x 19

3824 0,52773 722

x

2.74 Si 0 0,x y es la solucin del sistema de ecuaciones 4 52 6 4x y

x y

a) 0 0 1 2x y . b) 0 01 2 1x y . c) 0 0 1x y .

4 52 6 4x y

x y

4 54 12 8

11 13

x yx y

y

1311

y

134 511

x 1711

x

Solucin

171711 1,30 113 13

11

xy

2.75 Si 0 0,x y es la solucin del sistema de ecuaciones 2 53 6x y

x y

a) 0 0x e 0 0y . b) 0 0x e 0 0y . c) 0 0x e 0 0y .

2 53 6

x yx y

2 56 2 12

7 7

x yx y

x

7 17

x

1 2 5

2 5 16 2 3

yy

y

2.76 Si 0 0,x y es la solucin del sistema de ecuaciones 4 2 12 3x yx y , entonces 0 0x y vale

a) 1 3 . b) 5 2 . c) 13 6 .

4 2 12 3

x yx y

4 2 12 3

3 2

x yx y

x

23

x

4 2 14 8 12

6 11

x yx y

y

116

y

2 11 4 11 15 53 6 6 6 2

2.77 Una fraccin vale 1/3 si se suma 5 al numerador y al denominador y da 4/5 si se resta 2 al numerador y al denominador, entonces la fraccin vale:

a) 2/3. b) 3/4. c) 3/5.

Al numerador lo representamos por x, Al denominador lo representamos por y,

Lo primero tenemos que una fraccin da como resultado 1/3 si al numerador y denominador le sumamos 5, es decir:

5 15 3

xy

La segunda parte del problema tenemos que una fraccin da como resultado 4/5 si al numerador y denominador le restamos 2, es decir:

2 42 5

xy

Ahora hace lo siguiente para formar el sistema de ecuaciones:

5 15 3

xy El 3 que est dividiendo pasa multiplicando y 5y que est dividiendo pasa multiplicando.

3 5 1 5x y 3 15 5x y 3 15 5x y 3 10x y

2 42 5

xy Procedemos del mismo modo, llegando a la conclusin 5 2 4x y

Ya podemos formar el sistema de ecuaciones y resolvemos por cualquiera de los tres mtodos:

3 105 2 4

x yx y Multiplico la primera ecuacin por 4, y a la segunda ecuacin le resto la primera de esta

manera eliminamos las y.

12 40 45 2 4

x yx y

12 40 45 2 4

7 42 0

x yx y

x

42 67

x 5 6 2 4

30 2 432 4

8

yy

yy

La fraccin sera -6/-8 = 3/4.

2.78 Si 0 0 0, ,x y z es la solucin del sistema de ecuaciones a) x0 < 0 e y0 > 0. b) x0 < 0 e z0 < 0. c) y0 < 0 e z0 > 0.

Partimos del siguiente sistema de ecuaciones:

2 32 2 1

2 2 4

x y zx y z

x y z

La primera ecuacin la multiplico por 2

La tercera ecuacin la multiplico por 2

4 2 2 62 2 1

4 4 2 8

x y zx y z

x y z

4 2 2 62 2 1

4 4 2 8

x y zx y z

x y z

A la segunda le sumo la primera.

A la tercera le sumo la primera. 4 2 2 65 58 2 2

x y zxx y

1

8 2 2 5x

y y

2 3

2 5 34

x y zz

z

2.79 Si (x0,y0,z0) es la solucin del sistema de ecuaciones:

3 2 12 3

3 2 2

x y zx y z

x y z

a) y0 + z0 = 0. b) x0 + z0 = 0. c) x0 + y0 = 0.

A la primera ecuacin le sumo la segunda

A la tercera ecuacin le sumo la segunda

3 42 3 1

x yx y z

x z

4 3

1

y x

z x

42 1 33

42 1 33 3

43 13 3

4 83 3

83 243

xx x

xx x

xx

x

x

12 1

3

x zz

z

2 3 4

6 32

yyy

2.80 Si (x0,y0,z0) es la solucin del sistema de ecuaciones:

2 1 4 32 1 2 3

1 1 5 2

x yy zx z

a) x0y0 = 2/5. b) y0 / z0 = 2. c) x0 + y0 = 3/4.

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Ejercicios Tema 2