MÉTODOS NUMÉRICOS Docente: Nidia Quintero Peña

Septiembre 2015

EDO con Métodos Numéricos

1. Aplique el método del Punto Medio para resolver el siguiente problema en el intervalo t ɛ (2,3) con h=0,25. La condición inicial es y(2)=1.

y '=1+(t− y)2

Solución: t = 2.0000 2.2500 2.5000 2.7500 3.0000

y(t) = 1.0000 1.4414 1.8235 2.1694 2.4919

2. Use el método de Ralston para resolver el siguiente problema desde t=0 hasta 2, con un tamaño paso de 0,5. La condición inicial es y(0)=1.

dydt

=− y+t

Solución:t = 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000

y(t) = 1.0000 0.7500 0.7813 0.9883 1.3052

3. Aplique el método de RK4 para resolver el siguiente problema desde t=0 hasta 3, con un tamaño paso de 0,6. La condición inicial es y(0)=1. (en radianes)

dydt

= y+sen2(t)

Solución:t = 0 0.6000 1.2000 1.8000 2.4000 3.0000

y(t) = 1.0000 1.9003 3.9366 7.9596 15.1180 27.7199

4. Utilice el método de RK3 para resolver la siguiente EDO, en el rango x ɛ(0,2) utilizando un tamaño de paso de 0.25. Con condiciones iniciales y(0)=2.

dydx

=−2 y+5e−x

Solución: t = 0 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000 1.2500 1.5000 1.7500 2.0000

y(t) = 2.0000 2.0784 1.9333 1.6958 1.4355 1.1874 0.9666 0.7781 0.6213

5. Utilice el Método de Heun (RK 2) para resolver la siguiente ecuación diferencial. En un rango 1≤ t ≤2 con condiciones iniciales y(1) = 1, y’(1) = 0, para un h = 0.2.

t 2 y ' '−2 t y '+2 y=t3 ln (t)

Solución t =

1.0000 1.2000 1.4000 1.6000 1.8000 2.0000

Z = 1.0000 0 1.0000 -0.3281 0.9278 -0.6156 0.7924 -0.8381 0.6080 -0.9748 0.3935 -1.0081

La primera columna de Z corresponde a las soluciones de y(t) y la segunda columna a las soluciones de y’(t).

6. Utilice el Método de Ralston (RK 2) para resolver la siguiente ecuación diferencial. En un rango 1≤ t ≤2 con condiciones iniciales y(1) = 1, y’(1) = 0, para un h = 0.2.

t 2 y ' '−2 t y '+2 y=t3 ln (t)

Solución t =

1.0000 1.2000 1.4000 1.6000 1.8000 2.0000

Z = 1.0000 0 1.0000 -0.3226 0.9290 -0.6056 0.7958 -0.8241 0.6145 -0.9572 0.4039 -0.9871

La primera columna de Z corresponde a las soluciones de y(t) y la segunda columna a las soluciones de y’(t).

7. Aplique el método de RK3 para resolver la siguiente ecuación diferencial. En un rango de 0≤ t ≤1 con espaciamiento de 0.25 y condiciones iniciales: y(0) = 0, y’(0) = 0.

y ' '−2 y '+ y=t e t−t

Solución t = 0 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000

Z = 0 0 0 0.0061 0.0015 0.0555 0.0150 0.2232 0.0692 0.6405

La primera columna de Z corresponde a las soluciones de y(t) y la segunda columna a las soluciones de y’(t).

8. Utilice el método de Ralston para resolver el siguiente sistema de EDO, sobre el rango x ɛ (0,1) utilizando un tamaño de paso de 0,25. Las condiciones iniciales del sistema son: y(0)=2 y z(0)=4.

dydx

=−2 y+5e−x

dzdx

=− y z2

2

Solución x =

0 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000

Z = 2.0000 4.0000 2.0450 2.7500 1.8973 2.0218 1.6680 1.5352

1.4181 1.2240

La primera columna de Z corresponde a las soluciones de y(x) y la segunda columna a las soluciones de z(x).

9. Resolver la EDO utilizando el método de diferencias finitas de orden O(h2) con h=1. Las condiciones frontera son: y(0)=5 y y(20)=8.

8 y ' '−2 y '− y+x=0

Solución:

Y = Columns 1 through 11 5.0000 4.4582 4.2557 4.3175 4.5852 5.0130 5.5649 6.2124 6.9323 7.7054 8.5144

Columns 12 through 21 9.3423 10.1700 10.9726 11.7150 12.3431 12.7711 12.8602 12.3832 10.9676 8.0000

10. Resolver el siguiente problema de contorno aplicando el método de diferencias finitas de O(h2). En un rango 0≤ x ≤1 con condiciones iniciales y(0) = 2, y(1) = 1, con h=0.2.

y ' '=−3 y '+2 y+2 x+3

Solución:

x = 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000

y = 2.0000 1.0053 0.6362 0.5935 0.7363 1.0000