7/24/2019 Ejercicios06AN
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Barranquilla, 6 de noviembre de 2015
Universidad del Norte
Division de Ciencias basicas
Analisis Numerico - Taller 06
Ejercicios
1. Implemente un programa en matlab que realice la
descomposicion QR usando el proceso deortogonalizacion de
Gram-Schmidt visto en clase. Incorpore su programa en el metodo de
QRy determine los valores propio de las siguientes matrices.
Calcule y compare tiempos de calculocon el metodo QR implementado
en clase.
a)
0,9 2,1 3,20,7 6,5 4,21,1 1,7 3,4
b)
1 1 21 1 01 0 1
c)
5 4 01 0 20 2 5
d) tridiag60(1, 2,1)
2. a) La norma de Frobenius es invariante con respecto a
transformaciones unitarias, es decir
AF =QAQF
para cualquier matriz unitaria Q. Ayuda: Demuestre AF=
tr(AA).
b) Si A es simetrica, tenemos que para
tan(2) = 2ajk
ajj akk, ajj =akk
= 4
, ajj =akk
las componentes bjk =bkj = 0. Pruebe que
1)a2jj + 2a
2jk + a
2kk = b
2jj + b
2kk
2)N(B)2 =N(A)2 2a2jk
Use el inciso (2a).
3. Modifique el criterio de parada del metodo de Jacobi (visto e
implementado en clase), de
manera que el algoritmo termine, si en la iteracion k-esima
m< D0
n
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donde
m= maxp,q
{|b(k)pq | : p < q} y D0=n
i=1
|aii|2.
NRC: 1117Prof. Catalina Domnguez
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Compare tiempos de computo, residuos y errores obtenidos con
respecto al programa imple-mentado en clase. En su analisis,
utilice que la matriz
A= 1
h2tridiagn(1, 2,1) con h=
1
n + 1
obtenida en la aproximacion mediante diferencias finitas de
ecuacion de Laplace en 1D estadada por
i = 2
h2 cos(ih)1 i= 1, . . . , n
mientras que su correspondiente vector propio v(i) Rn esta dado
por
v(i) = (v(i)j )
nj=1= sin(i j h)
Cual es mas rapido y eficiente? En su analisis tenga en cuenta
matrices de gran tamano.
4. Modifique el algoritmo de Jacobi (implementado y visto en
clase) para implementar el metodode Jacobi cclico. Compare tiempos
de computo, residuos y errores obtenidos. Cual es masrapido y
eficiente? En su analisis tenga en cuenta matrices de gran
tamano.
5. Halle la solucion general de los sistemas lineales homogeneos
de ecuaciones diferenciales usando
los programas vistos en clase. Explique su procedimiento.
a)
x1= x1 x2
x2=3
4x1
3
2x2+ 3x3
x3=1
8x1+
1
4x2
1
2x3
b)
x1= 4x1+ 3x2+ 2x3+ x4
x2= 3x1+ 4x2+ 3x3+ 2x4
x3= 2x1+ 3x2+ 4x3+ 3x4
x4= x1+ 2x2+ 3x3+ 4x4
Tarea 6
Puntos a entregar: Escoja 4 items a resolver. Debe entregar o
colocar dentro desu documento los programas usados en la resolucion
de lostems.
Fecha de entrega: Lunes 23 de Noviembre, hasta el medioda (12:00
m).
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