EJERCICIOS

1 Matrices

1. En cada uno de los siguientes casos determinar (AB)C y A(BC)

(a) A =�2 13 1

�;B =

��1 11 0

�;C =

�1 42 3

�

(b) A =�2 1 �13 1 2

�;B =

24 1 12 03 �1

35 ;C = � 13

�

2. Sea X =�1 0 0

�y A =

24 3 1 52 0 11 1 7

35 :(a) Determinar el orden de XA y comparar con las �las o columnas de

A:

3. Calcule los productos matriciales AB y BA

A =

24 1 �2 3 10 1 1 �11 �2 0 �5

35 ; B =

2664�2 1 3�2 3 �13 �4 �31 �1 �1

37754. Para las matrices

A =

�1 2 05 �3 4

�;B =

��2 5 62 0 �1

�;C =

24 1 0 1 75 3 5 �2

�2 4 3 2

35Veri�que directamente la distributividad a la derecha

(A+B)C = AC +BC

¿Se cumple la distributividad a la izquierda para estas tres matrices? Jus-ti�que.

5. DadasA =

24 2 �3 �5�1 4 51 �3 �4

35 ;B =24 �1 3 5

1 �3 �5�1 3 5

35 y C =24 2 �2 �4�1 3 41 �2 �3

35(a) Veri�que que AB = BA = 0; AC = A y CA = C

(b) Use los resultados de (a) para comprobar que

ACB = CBA;

A2 �B2 = (A�B)(A+B);(A+B)2 = (A�B)2 = A2 +B2

1

6. Dadas las matrices en M3

A =

24 2 1 �35 2 0

�3 1 �4

35 ; B =

24 6 2 �10 1 �20 1 0

35 ; C =

24 4 1 20 3 21 �2 3

35Determinar X en M3 tal que

2A+ 3X = (1

2C):(

2

3B)

7. Dadas las matrices

24 1 23 45 6

35 y B =24 �3 �2

1 �54 3

35 : Hallar D =

24 p qr st u

35de manera que A+B �D = 0:

8. Sea A 2M3 efectuar los siguientes productos

(a)

24 1 0 00 1 00 0 r

35 �A; A �

24 1 0 00 1 00 0 r

35 ; r 6= 0; r en R(b)

24 0 1 01 0 00 0 1

35 �A; A �

24 0 1 01 0 00 0 1

35(c)

24 1 0 00 1 k0 0 1

35 �A, A �

24 1 0 00 1 k0 0 1

35 ; k en R:

9. Exprese B =

24 �2a �2b �2cx+ 5u y + 5v z + 5w

u v w

35 como producto matricial deA =

24 a b cu v wx y z

35 y matrices del tipo (a) ,(b),y (c) del ejercicio anterior.10. Si

x1 = y1 � 2y2 + y3x2 = 2y1 + y2 � 3y3

yy1 = z1 + 2z2y2 = 2z1 � z2y3 = z1 + 3z2

compruebe que :

�x1x2

�=

�1 �2 12 1 �3

�24 y1y2y3

35 ;24 y1y2y3

35 =24 1 22 �11 3

35� z1z2

�

11. Determinar todas las matrices A de orden 2 � 2 con coe�cientes reales,tales que cumplan A2 = 0

2

12. Determinar todas las matrices A de orden 2 � 2 con coe�cientes reales,tales que cumplan A2 = I

13. Se dice que una matriz A es involutiva si y sólo si A2 = In

(a) Veri�que que B =

24 0 1 �14 �3 43 �3 4

35 y C =

24 4 3 3�1 0 �1�4 �4 �3

35 sonmatrices involutivas.

14. Si A =�cos t � sin tsin t cos t

�: Calcular Ak; para k = 1; 2; 3:

15. En mecánica cuántica a veces se usan las llamadas matrices de Spin dePauli.

x =

�0 11 0

�y =

�1 00 �1

�z =

�0 ii 0

�con i2 = �1

Muestre que dos matrices cualesquiera de ellas �anticonmuta� (AB =�BA).

16. Sea A = [aij ] una matriz cuadrada de orden n; con

aij =

8<: 1 j = i+ 1

0 j 6= i+ 1:

Pruebe que An = 0 y An�1 6= 0:

17. Sean A =�1 �12 2

�; B =

��1 10 �3

�:

Determinar (A+B)t; At +Bt; A+At; B +Bt:

18. Sean A =

24 1 22 0

�1 3

35 ; B =

�2 �1 2

�1 1 0

�:

(a) Determinar (AB)t; BtAt; AAt; AtA:

(b) Veri�que que AAt; AtA son simétricas.

(c) Veri�que que (AB)t = BtAt:

19. Determine si son Verdaderas o Falsas las siguientes a�rmaciones. Justi-�que adecuadamente en cada caso.

(a) Cada matriz antisimétrica tiene la diagonal principal igual a cero.

(b) Para toda matriz A 2M2. Si A4 = 0 entonces A = 0:

(c) El producto de matrices simétricas del mismo orden es simétrica.

3

(d) Para toda matriz A 2M2 se tiene AtA = AAt:

(e) Para toda matriz A 2M2 se tiene 12 (A+A

t) es simétrica.

(f) Para toda matriz A 2 M2 con A 6= 0 entonces existe B tal queAB = I2:

(g) Si A y B son matrices de orden 3 y AB = 0 entonces A = 0 ó B = 0:

20. Dadas las matrices A =

24 �3 5 6�1 2 21 �1 �1

35 y B =

24 3 �1 22 1 11 �3 0

35 : Veri-�que que

A�1 =

24 0 1 2�1 3 01 �2 1

35 y B�1 =

24 � 12 1 1

2� 16

13 � 1

676 � 4

3 � 56

35Además. Calcular (AB)�1; (BA)�1; (A2)�1; (ABA)�1:

21. Sea A una matriz regular de orden 3:

(a) Demostrar que (A�1)t = (At)�1:

(b) Si A es simétrica entonces A�1 es simétrica.

22. Dadas las matrices A =�0 31 0

�; B =

�0 14 3

�: Resuelva la siguiente

ecuación matricial en X.

XB(A+A2)� (XB �B2)A�B2A = A:

23. Sean A y X matrices simétricas. Determine X tal que se cumpla la igual-dad.

(AtXt)�1�(XtA�1)�1+(X�1At)t = In donde A =

24 2 0 �1�1 2 �31 �1 3

3524. Determinar mediante Operaciones Elementales Filas ó Columnas los val-

ores de a y b para que la matriz A sea regular, en cada caso.

(a) A =

24 1 0 00 a 10 1 b

35(b) A =

24 a 0 11 b 1

�1 1 1

3525. Sea � 6= 0 y A una matriz cuadrada de orden 2 tal que 3A2+7A+�In = 0:

Probar que A es regular y hallar A�1:

4

26. Sabiendo que la inversa de A es�1 22 1

�y que la inversa de AB es�

2 45 3

�:

Calcular B:

27. Pruebe con un contraejemplo que son falsas las siguientes a�rmaciones

(a) A;B;C en M3; A singular entonces

AB = AC ) B = C

(b) Si A;B son regulares de orden 3 entonces A+B es regular.

(c) Si A;B;A+B son regulares, entonces

(A+B)�1= A�1 +B�1

(d) Si A;B son regulares de orden 3 entonces

AB = BA ó (AB)�1 = A�1B�1

(e) Si A;B;C son de orden 3; B regular y AB = C entonces

A = B�1C

(f) Si A;B;C son de orden 3; B regular y ABC = In entonces

AC = B�1

28. Calcular los siguientes determinante:

a)

��������3 1 1 11 3 1 11 1 3 11 1 1 3

�������� ; b)

����������2 1 1 1 11 3 1 1 11 1 4 1 11 1 1 5 11 1 1 1 6

����������; c)

����������5 6 0 0 01 5 6 0 00 1 5 6 00 0 1 5 60 0 0 1 5

����������29. Calcule los siguientes determinantes usando propiedades:

a)

��������1 2 �1 42 4 3 5

�1 �2 6 �75 2 6 �7

�������� ; b)

����������1 2 1 2 10 0 1 1 11 1 0 0 00 0 1 1 21 2 2 1 1

����������; c)

��������3 4 0 04 2 0 00 0 1 00 0 0 1

��������30. Calcular el determinante de las siguientes matrices:

5

A =

�sen� cos�cos� �sen�

�D =

�x� 1 1x3 x2 + x+ 1

�

B =

�tg� �11 tg�

�E =

24 cos(�+ �) sen(�+ �) 1cos(�+ �) sen(�+ �) 1cos(�+ ) sen(�+ ) 1

35

C =

�a+ b a� ba� b a+ b

�F =

24 a� b� c 2a 2a2b b� c� a 2b2c 2c c� a� b

3531. Veri�car que los siguientes determinantes son nulos:

a)

24 1 1 1a b c

b+ c c+ a a+ b

35 ; b)

24 1 cos a cos 2acos a cos 2a cos 3acos 2a cos 3a cos 4a

35Ayuda (a): efectúe F32(1)

Ayuda (b): cos 2a = 2 cos2 a� 1; cos 3a = 4 cos3 a� 3 cos acos 4a = 8 cos4 a� 8 cos2 a+ 1 y efectúe F31(1)

32. Probar que

����������1 2 3 4 51 2 3 4 5a1 a2 0 0 0b1 b2 0 0 0c1 c2 0 0 0

����������= 0

33. Demostrar que

a) det

24 x y x+ yy x+ y x

x+ y x y

35 = �2(x3 + y3)

b) det

26641 + x 1 1 11 1� x 1 11 1 1 + z 11 1 1 1� z

3775 = x2z234. De las siguientes matrices ¿cuáles son invertibles?

a)�2 35 7

�; b)

24 1 1 11 2 31 3 6

35 ; c)

26641 1 1 11 2 3 41 3 1 01 0 3 0

3775

35. ¿Para qué valores de a y b la matriz A =

24 a 0 11 b a

�1 1 1

35es invertible?

6

36. Calcule la inversa de las siguientes matrices regulares:

a)

24 �3 5 6�1 2 21 �1 �1

35 c)

24 1 3 31 3 41 4 3

35

b)

24 3 �1 22 1 11 �3 0

35 d)

26640 1 2 �1

�1 0 1 �32 �1 0 11 �4 2 0

377537. Pruebe con un contraejemplo que son falsas las siguientes a�rmaciones:

(a) Si A es cuadrada entonces j�Aj = � jAj :(b) Si A;B matrices entonces jABj = jAj jBj :(c) Si AAt = In entonces jAj = 1 con A de orden n:

:

38. Sean x1; x2; x3 escalares reales. Probar que������1 x1 x211 x2 x221 x3 x23

������ = (x2 � x1)(x3 � x1)(x3 � x2)39. Pruebe que si A;B son ambas de orden 3 y AB = I3 entonces ambas

matrices son regulares, A�1 = B y BA = I3 (Ayuda: use determinante)

40. ¿ Son equivalentes (en cada caso) los dos sistemas de ecuaciones linealessiguientes ?. Si es asi demuéstrelo.

(a)x1 � x2 = 02x1 + x2 = 0

y3x1 + x2 = 0x1 + x2 = 0

(b)x1 + x2 + 4x3 = 0x1 + 3x2 + 8x3 = 012x1 + x2 +

52x3 = 0

yx1 � x3 = 0x2 + 3x3 = 0

41. Dar un ejemplo (en caso que sea posible) de:

(a) Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que no tengasolución.

(b) Un sistema de una ecuación lineal con cinco incógnitas que no tengasolución.

(c) Un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas de soluciónúnica.

42. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones (si es posible). En cada casoescriba primero la matriz del sistema y la matriz ampliada.

7

(a)x1 + x2 � x3 = 12x1 + x2 + 3x3 = 2�x2 + 5x3 = 1

(b)

2x1 + x2 � x3 = 5x1 � 2x2 � x3 + 2x4 = �3x1 + 2x3 � x4 = 03x2 � 2x3 + 5x4 = 1

(c)

x1 � 3x2 + x3 = �2x1 + 2x2 � 3x3 = 0�x1 + x2 + 2x3 = 32x1 � x2 + x3 = 1

(d)2x� y � z = 43x+ 4y � 2z = 113x� 2y + 4z = 11

(e)

x2 � 3x3 + 4x4 = 5x1 � 2x3 + 3x4 = �43x1 + 2x2 � 5x4 = 124x1 + 3x2 � 5x3 = 5

(f)

x1 + x2 � x3 = �12x1 + x2 � 2x3 = 1x1 + x2 + x3 = 3x1 + 2x2 � 3x3 = 1

(g)

x+ 2y + z = 53x+ z + 2u = 94x� y � z + u = �5�y � z + u = 7

43. Encuentre la solución general del sistema

x+ y + z + w = 2x+ 2z � 3w = �1�x+ 2y + z � w = 3x+ y � 4 = z

44. Resuelva las siguientes ecuaciones matriciales:

(a)

24 4 7 87 5 98 9 6

3524 x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3

35 =24 1 2 32 4 53 5 6

35

(b)

26641 0 0 00 0 4 70 2 3 00 0 6 8

37752664x1 y1 z1 w1x2 y2 z2 w2x3 y3 z3 w3x4 y4 z4 w4

3775 = I4

8

Usando el procedimiento del ejercicio anterior. Note que si A;X; Y 2Mn entonces

AX = [AC1(X) j AC2(X) j ::: j ACn(X)] = Y = [C1(Y ) j C2(Y ) j ::: j Cn(Y )]

45. Discutir según los valores de a; b; c; �, la existencia y en cada caso deter-minar las soluciones de los siguientes sistemas lineales:

(a)ax+ y + z = 0x+ ay + z = 0x+ y + az = a

(b)�x� y + z = ax+ y � 2z = bx� y + z = c

(c)

2x� y � 3z = 33x+ y � 5z = 04x� y + z = ax+ 3y � 13z = b

(d)ax� 3y + 5z = 4x� ay + 3z = 29x� 7y + 8az = 0

46. Calcular el valor de a 2 R, de modo que el sistema tenga in�nitas solu-ciones

x� y + 2z = 1ax+ y � z = 02x+ y � 3z = �1

47. En el sistemamx+ y � z = 02x+my + z = 0y +mz = 0

(a) ¿Cual es el determinante principal del sistema ?Determine m 2 R tal que:

(b) El sistema sea inconsistente.

(c) El sistema tenga única solución. En tal caso determínela.

(d) El sistema tenga varias soluciones. En tal caso determínelas.

48. Dado el sistemax1 � x2 + (4a2 + 1)x3 = b

x2 + (3� a)x3 = 02x1 � x2 + (7� a)x3 = �2

Hallar condiciones para a y b de tal manera que el sistema:

(a) Tenga única solución, en cada caso determínela.

9

(b) No tenga solución.

(c) Tenga varias soluciones, en cada caso determínelas.

49. Considerar el sistema

26641 2 �13 2 15 6 �16 4 a

3775 ; X =

266414cb

3775Hallar a; b; c 2 R; para los cuales se tiene:

(a) El sistema es inconsistente.

(b) El sistema tiene única solución. Determínela.

(c) El sistema tiene in�nitas soluciones. En cada caso determinelas.¿Que ecuaciones dependen linealmente de las otras?

50. Hallar t 2 R; tal que la matriz A =

24 1 2 �10 3 12 �2 t

35 sea singular.¿Para que valores de t 2 R el sistema AX =

24 t1

1� t

35 ; tiene solución?51. Resuelva el sistema de ecuaciones y halle condiciones en las constantes a; b

reales para que tenga única, ninguna o in�nitas soluciones.24 a b 11 a 11 b a

35X =

24 1b1

3552. Para los siguientes sistemas, determine los valores de a; � 2 R, de modo

que

i) El sistema tenga única solución, determínela.

ii) El sistema tenga más de una solución, determínelas.

iii) El sistema tenga solución vacía.

(a)(1� �)x+ �z = 1(1� �)y + �z = a�x+ (1� �)y = 1

(b)�x+ y + z = 1x+ �y + z = �

x+ y + �z = �2

(c)(�+ 3)x+ y + z = ��x+ (�� 1) y + z = 13 (�+ 1)x+ �y + (�+ 3)z = �+ 1

10

(d)x� z = 1�x+ 3y = a2x+ �y + z = 1

(e)x1 + x3 + 4�

2x3 = a+ x2x2 + 3x3 = �x32x1 + 7x3 + 2 = x2 + �x3

(f)

24 1 2 �10 3 12 �2 a

3524 xyz

35 =24 a

11� a

3553. Encontrar a; b; c 2 R; tal que x = 1; y = 2; z = 3 sea solución del

sistemaax+ 3by + 4cz = 5x+ 3cy + 4bz = 6x+ y + 5cz = 7

54. Encuentre un sistema de ecuaciones BX = C de modo que C es soluciónparticular del sistema (I) y la solución del sistema BX = C contiene a lasolución del sistema (II):

(I)x1 � x2 + x3 = 0x1 + x2 � x3 = 1

(II)

24 �1 7 54 0 �2�5 8 6

3524 x1x2x3

35 =24 �1

57

35

11