PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA 2014 - 1 Teoría de probabilidades

Ejercicios de Repaso

Este taller fue elaborado como una ayuda a su proceso de estudio para la asignatura. Es importante aclarar que si bien en este taller hay problemas tan retadores como los del parcial, NO son iguales a los puntos del parcial. Adicionalmente usted no debe confiarse en que sólo haciendo este taller es suficiente para estudiar; cada persona tiene un proceso de aprendizaje diferente, y esta es una asignatura donde como principio se debe tomar que el aprendizaje es progresivo en el tiempo, por lo que usted requiere dedicación constante y perseverante para asimilar los conceptos.

1. Sean A y B subconjuntos de S. Si n(S) = 60, n(A’)= 30, n(B’)= 20 y n(A’∩ B’) = 15, determine el número de elementos de los siguientes conjuntos:

I. A’ ∩ B

II. (A ∩ B) III. A U B IV. A’ U B

2. Si S = {primeros nueve números naturales}; A= {1,3,5,7} ; B= {6,7,8,9}; C= {2,4,8} y D={1,5,9}, encuentre la composición de los siguientes conjuntos:

I. A’ ∩ B

II. (A’ ∩ B) ∩ C III. B’ U C IV. (B’ U C) ∩ D V. A’ ∩ C

VI. (A’ ∩ C) ∩ D

3. Suponga que usted va a jugar el baloto. Calcule el número de formas como usted puede:

I. Obtener 6 aciertos.

II. Obtener menos de 3 aciertos.

4. Suponga que a la Universidad Javeriana, se presentan para ser admitidos a la

carrera de Ingeniería Industrial 10 estudiantes. La facultad publicará la lista de

admitidos únicamente (aquellos que no sean admitidos, no aparecerán en la lista).

En caso que ningún estudiante sea admitido, la facultad publicara “NO HAY

ADMITIDOS”, ¿de cuantas formas diferentes puede aparecer la lista de admitidos

(tenga en cuenta que la facultad no ha definido un número mínimo o máximo de

estudiantes que serán admitidos

5. ¿Cuántos números pares entre 100000 y 1000000 contienen solo los dígitos 3, 4 y 8

?

6. Sea una fila de hombres y mujeres que consta respectivamente de 8 y 9 personas,

¿Cuántas configuraciones distintas se pueden formar si deben estar juntos por

sexo?

7. ¿Cuántos conjuntos no vacíos es posible formar a partir de 10 elementos

diferentes?

8. Un capataz de un grupo de 20 obreros, pide aleatoriamente, la opinión a 3 de ellos

sobre las nuevas disposiciones de seguridad en la construcción. ¿Si 12 están a favor

y 8 están en contra, cuántos resultados posibles tiene dicho sondeo?

9. ¿De cuántas formas diferentes se pueden seleccionar 5 cartas de una baraja de 52

de tal forma que se pueda obtener dos pares?

10. Suponga que usted tiene una urna donde tiene 15 bolas, numeradas del 1 al 15. Asuma que después, se selecciona una muestra de 5 bolas de la muestra grande. De cuantas formas se puede escoger la muestra si:

I. Si usted ordena la muestra en orden ascendente, el número 10 debe ocupar el

tercer lugar. II. El número 13 debe ser el mayor de la muestra

III. El mayor número de la muestra debe ser estrictamente mayor a 9

11. Cuántos números de 10 dígitos se pueden formar con los números 1, 2, …, 9 si:

I. Los dígitos consecutivos no pueden ser iguales. II. El número 5 debe aparecer 4 veces exactamente.

12. Suponga que las placas de los carros de Bogotá estuvieran formadas por 3 letras (A-Z: 26 letras) y 3 números (0-9: 10 números), pero que no necesariamente las letras tienen que estar en las primeras 3 casillas y los números en las tres últimas. ¿Cuántas placas puede haber si?:

I. No hay restricciones II. La primera casilla tiene que ser una letra y la tercera un número

III. La primera casilla tiene que ser la letra A y la cuarta tiene que ser el número 8 ó el número 9.

IV. En las 3 primeras casillas debe haber al menos 1 letra

13. Un examen consta de 15 preguntas de selección múltiple donde cada pregunta

tiene 5 opciones de respuesta, de las cuales solo una es la verdadera. Si se usa el

sistema de calificación tradicional, cero (0) a cinco (5), ¿de cuántas maneras es

posible pasar dicho examen?

14. Los 13 alumnos de un grupo de 2º de Bachillerato desean que les hagan una foto a

todos juntos, en fila, como recuerdo de su paso por el instituto. En dicha foto no

deben aparecer ni dos chicas ni dos chicos juntos. Sabiendo que hay 7 chicas, ¿de

cuántas formas distintas pueden colocarse?

15. ¿Cuántas ordenaciones pueden hacerse con las letras de la palabra PINCEL de

modo que comiencen y terminen por consonante?

16. En un grupo de 10 mujeres y 12 hombres, se van a escoger 5 hombres y 5 mujeres, y se formaran 5 parejas (hombre-mujer). De cuantas formas diferentes se pueden escoger las 5 parejas?

17. De cuantas formas diferentes se puede lanzar una moneda de tal forma que la

octava cara ocurra en el lanzamiento N° 15.

18. Una persona acomoda en un estante de una librería seis libros de filosofía, cuatro de química y ocho de historia. De cuántas formas se pueden acomodar los libros si:

I. los de historia siempre deben de ir juntos

II. los libros deben de ir separados por materias

19. Comprobar si la siguiente igualdad es correcta: 𝑀𝑛 =

𝑀

𝑛 𝑀 − 1𝑛 − 1

20. Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 2

hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:

I. Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.

II. Una mujer determinada debe pertenecer al comité.

III. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.

21. Cuatro matrimonios compraron 8 lugares de una fila de cine, ¿De cuántas formas

pueden sentarse

I. sin restricciones?

II. si se sientan por parejas?

III. si se sientan siempre los hombres a la derecha de sus parejas?

22. ¿De cuántas formas diferentes se pueden arreglar 3 bombillos rojos, 4 amarillos y 2

azules en una serie de luces navideña?

23. De cuántas maneras diferentes se puede elegir un presidente y un secretario de un

grupo de 6 hombres y 8 mujeres si se desea que al menos una de estas personas

(ya sea el presidente o el secretario) sea una mujer?

24. Una señora desea invitar a cenar a 5 de 11 amigos que tiene, ¿Cuántas maneras

tiene de invitarlos?, b. ¿Cuántas maneras tiene si entre ellos está una pareja de

recién casados y no asisten el uno sin el otro, ¿Cuántas maneras tiene de invitarlos

si Rafael y Arturo no se llevan bien y no van juntos?

25. En un plano hay 10 puntos denominados A, B, C, ....,etc., en una misma línea no

hay más de dos puntos. ¿Cuántos triángulos pueden ser trazados a partir de los

puntos?, ¿Cuántos de los triángulos contienen el punto A?

26. Utilizando letras sin repetir de la palabra DISCRETA

I. ¿Cuántas palabras de 5 letras se pueden formar?

II. ¿Cuántas palabras de 5 letras comienzan con C?

III. ¿Cuántas palabras de 5 letras comienzan con C y terminan con A?

IV. ¿En cuántas palabras de 5 letras aparecen la C y la A juntas?

V. ¿En cuántas palabras de 5 letras la D, I y S aparecen juntas?

VI. ¿En cuántas palabras de 5 letras la D, I y S aparecen juntas y en ese orden?

27. Ruth escoge dos números del 1 al 10 y escribe en su libreta el elemento mayor de

la pareja que escogió. Después de elegir todas las parejas posibles de números del

1 al 10 (sin repetir nunca una pareja), Ruth sumó todos los números que escribió.

¿Cuál es la suma que obtuvo?

28. Cuatro músicos tocan en una banda. En todas sus canciones hay un vocalista, un

bajista, un baterista y un guitarrista. Deciden hacer una tocada que consistirá de 8

canciones. Para no aburrirse, deciden que se irán cambiando los instrumentos de

manera que ninguno toque el mismo instrumento en dos canciones consecutivas.

¿De cuántas maneras puede realizarse el concierto?

29. Un experimentador está estudiando los efectos de la temperatura, la presión y el

tipo de catalizador en la producción de cierta reacción química. Tres diferentes

temperaturas, cuatro presiones distintas y cinco catalizadores diferentes se están

considerando. Suponga que se tienen que realizar cinco experimentos diferentes el

primer día de experimentación. Si los cinco se eligen al azar de entre todas las

posibilidades, de modo que cualquier grupo de cinco tenga la misma probabilidad

de selección, ¿cuál es la probabilidad de que se utilice un catalizador diferente en

cada experimento?

30. Una caja en un almacén contiene cuatro focos de 40 W, cinco de 60 W y seis de 75

W. Suponga que se eligen al azar tres focos.

I. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos de los focos seleccionados

sean de 75 W? II. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres focos seleccionados sean de los mismos

watts? III. ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione un foco de cada tipo? IV. Suponga ahora que los focos tienen que ser seleccionados uno por uno hasta

encontrar uno de 75 W. ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario examinar

por lo menos seis focos?

31. Consideremos las 6 letras A, B, C, p, q, r. Si se les ordena aleatoriamente, calcule la

probabilidad de que ocurra que:

I. La primera letra sea mayúscula

II. La primera y la última letra sean mayúsculas

31. Se tienen 7 bolillas marcadas con los números 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9; Si 4 de ellas se

ordenan al azar, para formar un número de 4 cifras, calcule la probabilidad de que el número formado resulte ser

I. Mayor que 5,000

II. Mayor que 4000 y menor que 8,000 32. En un lote de 30 monedas hay 13 de cien pesos, 10 de cincuenta pesos y 7 de

veinte pesos. Si 4 de tales monedas se eligen al azar, calcule la probabilidad de que

I. Las 4 resulten de igual denominación II. Ninguna resulte ser de veinte pesos

33. Un equipo gana (G) con la probabilidad de 0.5; pierde (P) con probabilidad de 0.3 y

empata (E) con probabilidad de 0.2, el equipo juega dos veces: Hallar la probabilidad de que el equipo gane una vez por lo menos.

34. A una rata se le permite escoja al azar uno de 5 laberintos diferentes. Si las

probabilidades de que pase por cada uno de los diferentes laberintos en 3 minutos son 60%, 30%, 20%, 10% y 10% respectivamente y la rata escapa en 3 minutos, ¿Cuál es la probabilidad de que haya escogido el segundo laberinto?

35. Los participantes de un congreso son hospedados en 3 hoteles M, N y R, de modo que; en M hay 60 extranjeros y 32 nacionales; en N hay 42 extranjeros y 18 nacionales y en R hay 64 extranjeros y 27 nacionales. Los organizadores del congreso tienen los correspondientes registros de los hoteles mencionados con relación a los congresistas. Si un registro se selecciona al azar y de él se selecciona también al azar un congresista que resulta ser nacional, calcular la probabilidad de que el registro sea: del hotel M.

36. Se supone que una cierta prueba detecta cáncer con probabilidad del 80% entre

gente que padece cáncer, y no detecta el 20% restante. Si una persona no padece cáncer la prueba indicará este hecho un 90% de las veces e indicará que tiene cáncer un 10% de ellas. Suponiendo que el 5% de la gente de la Población de prueba padece cáncer y la prueba de una persona determinada, seleccionada al azar índica que tiene cáncer, ¿Cuál es la probabilidad de que efectivamente padezca dicha enfermedad?

37. En una fábrica de tornillos se tienen 3 tipos de máquinas las cuales producen

respectivamente, el 50%, 30% y 20% de la producción de cierto tipo de tornillo; si respectivamente el 5, 3 y 1% de la producción de cada máquina es defectuosa:

I. Hallar la probabilidad de obtener un artículo defectuoso.

II. ¿Cuál es la probabilidad de que un tornillo seleccionado al azar, que resultó defectuoso, provenga de la primera máquina?

38. La población de un parque zoológico está integrada por 30% de animales

carnívoros, 45% de mamíferos, 25% de aves y 10% de reptiles. También se sabe que 15% de estos animales son carnívoros y mamíferos, 7% son aves carnívoras y 8% reptiles carnívoros. Si tres animales son seleccionados aleatoriamente cuál es la probabilidad de qué:

I. Todos sean carnívoros

II. Dos sean mamíferos y una ave III. Uno reptil no carnívoro, otro carnívoro y el tercero ave no carnívora

39. Se considera un tetraedro como dado y se tira dos veces, se toma en cuenta el

número que aparece en la cara sobre la que reposa. Sea A el evento que indica que la suma de los números es igual o mayor a 6. Sea B el evento que indica que el primer número es 4. Determinar P (A/B).

40. Una empresa que fabrica camisetas posee tres máquinas, A, B y C, producen el

45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en la fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5% respectivamente.

I. Seleccionamos una camiseta al azar; calcular la probabilidad de que salga

defectuosa.

II. Tomamos, al azar, una camiseta y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B.

III. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido una camiseta defectuosa?

41. Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C

con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?

42. La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es

0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02. En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?

43. Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar,

hallar la probabilidad de:

I. Seleccionar tres niños. II. Seleccionar exactamente dos niños y una niña.

III. Seleccionar por lo menos un niño. IV. Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.

44. En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige un libro

al azar de la estantería y se lo lleva. A continuación otra persona B elige otro libro al azar.

I. ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela?

II. Si se sabe que B eligió una novela, ¿cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por A sea de poesía?

45. Una persona puede viajar de 3 formas, bicicleta, auto y avión. Cada forma de

transporte tiene una probabilidad de tener un defecto en el sistema de rodado y no llegar al destino del 3%, 4% y 5% respectivamente. Para escoger el método de traslado se tienen 3 fichas, las cuales tienen una probabilidad de aparecer del 50%, 30% y 20% respectivamente. Si se toma un viaje al azar, y no llega a destino, hallar la probabilidad de que ese viaje se realizó en bicicleta.

46. Suponga que en la urna A tiene bolas numeradas del 1 al 8 y en la urna B tiene

bolas numeradas del 1 al 10. Una de las 2 urnas es seleccionada, y de la urna se sacan aleatoriamente 4 bolas. La probabilidad de escoger la urna A es el doble de la probabilidad de escoger la urna B. Si el valor máximo de la muestra es 8, la probabilidad que la urna seleccionada haya sido la A es.

47. Suponga que usted está coleccionando las figuras de las chocolatinas jet y que

solamente hay 5 tipos de figuras diferentes. Cada vez que compra una chocolatina,

la probabilidad que la figura que está en la chocolatina sea la tipo i, se encuentra en la siguiente tabla:

Figura 1 2 3 4 5

Probabilidad 0.11 0.35 0.15 0.18 0.21

a) ¿Cuál es la probabilidad de completar el álbum sin tener figuras repetidas?, b) Suponga que usted acaba de comprar la octava chocolatina. b) ¿Cuál es la probabilidad que esta figura sea nueva, es decir, no le hubiera salido en las siete chocolatinas anteriores?

48. Consideremos una población en la que cada individuo es clasificado según dos criterios: es o no portador de VIH y pertenece o no a cierto grupo de riesgo que denominaremos R. La correspondiente tabla de probabilidades es:

Portador No Portador

Pertenece a R 0.003 0.017

No pertenece a R 0.003 0.977

¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea portadora de VIH dado que no

pertenece al grupo de riesgo R?

49. La probabilidad de que un doctor diagnostique de manera correcta una

enfermedad en particular es de 0.7. Dado que el doctor hace un diagnóstico incorrecto, la probabilidad de que el paciente presente una demanda es de 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que el doctor haga un diagnóstico incorrecto y el paciente lo demande?

50. ¿Cuál es la probabilidad de que en un lanzamiento de un dado, resulte número

menor que 4 sabiendo que el número resultó impar? 51. Se lanza 10 veces una moneda que tiene asociada una probabilidad de 0.7 de salir

cara. ¿Cuál es la probabilidad de que en 10 lanzamientos salgan más de 1 sello.

52. En una urna se tienen 5 balotas negras y 4 blancas. Si se extraen 3 balotas, ¿Cuál es la probabilidad de sacar más balotas negras que blancas?

53. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado consecutivamente, el primer número par se dé en el 5 lanzamiento?

54. Se trata de formar un comité de 4 personas, dos de cada género, a partir de 7 mujeres y 4 hombres. ¿Cuál es la probabilidad de que el señor y la señora URIBE no estén ambos en dicho comité?

55. La probabilidad de que una persona conduzca a exceso de velocidad es de 0.35, la

probabilidad de que maneje sin licencia es de 0.15 y la probabilidad de que maneje a exceso de velocidad y sin licencia es de 0.08. a) ¿Cuál es la probabilidad de que maneje sin licencia dado que maneja a exceso de velocidad?

56. Si usted tiene un grupo de 6 objetos diferentes, y va a escoger aleatoriamente un

subconjunto no vacío de cualquier tamaño, ¿cuál es la probabilidad de que dicho subconjunto tenga 2 ó 3 elementos?

57. Suponga que en un salón hay 10 personas asumiendo que no hay años bisiestos a)

¿Cuál es la probabilidad de que no se repita la fecha de nacimiento entre estas personas?, b) ¿Cuál es La probabilidad que al menos 1 persona haya nacido el 24 ó el 31 de diciembre?

58. Suponga que en una carrera de caballos están compitiendo 5 caballos diferentes

(A,B,C,D,E). ¿Cuál es la probabilidad de que el caballo A llegue en los tres primeros lugares o en una posición impar?

59. Suponga que en Bogotá hay 30 universidades diferentes. Si 6 estudiantes van a escoger universidad aleatoriamente, ¿Cuál es la probabilidad que todos escojan una universidad diferente?

60. Suponga que en un torneo de tenis, hay 2 participantes por cada uno de los

siguientes países: Colombia, Argentina, Brasil, Perú, España, Francia e Italia. Para una ceremonia las personas se sientan aleatoriamente en línea recta. ¿Cuál es la probabilidad que los participantes de América se sienten todos uno al lado del otro?

61. Suponga que en cierto concesionario se venden 3 tipos de carros, tipo 1, tipo 2 y

tipo 3. El número de kilómetros que puede recorrer el carro tipo i después de llenar el tanque es una variable aleatoria continua Yi, donde Y1 = 450 – X1, Y2 = (X2/3) + 75, y Y3= X3, donde X1 se distribuye uniforme entre (-30,100), X2 se distribuye exponencial con media de 1200, y X3 se distribuye normal con media de 420 y desviación estándar de 50. Suponga que en ese concesionario tiene 4 carros tipo 1, 6 carros tipo 2 y 9 carros tipo 3.

I. La probabilidad que un carro tipo 1 después de llenar el tanque recorra más de 425 kilómetros antes que volver a llenar el tanque de gasolina nuevamente es:

a) 0.42307692 b) 0.57692308 c) 0.25 d) 0.75 e) Ninguna anterior

II. El valor esperado y la desviación estándar del número de kilómetros que recorre un carro tipo 2 después de llenar el tanque antes de volver a llenar el tanque de gasolina nuevamente es:

a) 475 ; 1200 b) 475 ; 160000 c) 475 ; 400 d) 400 ; 400 e) Ninguna

anterior

62. Suponga que cierta empresa que vende botellas de agua, tiene una máquina con la cuál envasa la presentación de 1 litro. El volumen de llenado de cada una de las botellas tiene una distribución normal con media de 990 ml y desviación estándar 30 ml.

I. La probabilidad que una botella tenga más de 1050 ml es:

a) 0,0359 b) 0,0228 c) 1,04% d) 5,48% e) Ninguna de las anteriores

II. Suponga que la empresa vende botellas en cajas de 10. Una caja es rechazada por el cliente, si el número de botellas que tienen menos de 945 ml es mayor a 1. Si un cliente compra 4 cajas, cuál es la probabilidad que este devuelva 3 cajas

a) 0,16055 b) 0,00734 c) 1,04589% d) 0,00276 e) 0,95459%

63. El número de personas que entran a un centro comercial es una variable aleatoria Poisson con tasa 5 personas por minuto.

I. La probabilidad que el tiempo entre la cuarta y la quinta persona sea mayor a 15 segundos es:

a) 0,32458 b) 0,25874 c) 0,30748 d) 0,19856 e) 0,28651

II. La varianza del tiempo de llegada de la persona N° 20 que entra al centro comercial es (en minutos) es:

a) 1 b) 0,04 c) 0,8 d) 12/5 e) Ninguna de las anteriores

64. Suponga que las utilidades de un centro comercial (en millones de dólares), están representadas por la variable aleatoria X, que tiene la siguiente función de probabilidad (si el valor que toma X es negativo, quiere decir que el centro comercial tuvo pérdidas):

21;)1()( 2 xxcxfX y 0 para otros x

I. El valor esperado de las utilidades del centro comercial es (en dólares):

a) -250.000 b) 375.000 c) 125.000 d) -125.000 e) 62.500

II. La probabilidad que el centro comercial tenga pérdidas mayores a 500.000 dólares:

a) 0,47568 b) 0,56134 c) 0,33333 d) 0,51389

65. Suponga que la estatura de las personas en Bogotá se distribuye normal con media de 165 cm y desviación estándar de 15 cm.

I. De cada 1000 personas, cuántas miden más de 1 metro con 80 centímetros

a) 138,7 b) 158,7 c) 317,4 d) 337,4 e) 218,4

II. En una familia (papá, mamá y 1 hijo), la probabilidad que al menos 1 persona mida más de 1,95 es:

a) 0,03561 b) 0,06685 c) 0,05832 d) 0,02567 e) 0,04555

66. El tiempo de duración de los componentes de un microcircuito (en horas) se representa a través de la variable aleatoria X con la siguiente función de densidad de probabilidad:

)(xf X ½ 10 x

k xe si x>1

0 en otros casos

Suponga que la empresa que produce este tipo de componentes está haciendo una

prueba que consiste en evaluar cuantos componentes debe examinar para encontrar

10 que duren más de 5 horas. Todos los componentes que no cumplan con esta

condición serán destruidos. Si el costo de cada componente son 100 dólares, cuál es el

valor esperado del costo de la destrucción (en dólares):

a) 108.196 b) 39.171 c) 97.854 d) 48.176 e) Ninguna de las

anteriores

67. Suponga que la estatura de las personas de la javeriana sigue una distribución normal. Si el 82,38% de las personas miden menos de 180 centímetros, y el 6,30% mide más de 187 centímetros, la media y la desviación estándar de la estatura de las personas de la javeriana son respectivamente (en centímetros):

a) No se puede calcular, faltan datos b) 169,15 y 11,67 c) 173,45 y 10,75 d) 171,75 y 11,67 e) Ninguna de las anteriores

68. Suponga que X es una variable aleatoria normal con media 1 y desviación estándar.

I. Si se hacen 3 experimentos independientes de esta variable aleatoria, ¿cuál es

la probabilidad que exactamente 2 experimentos tomen valores mayores a 0.6?

a) 0.40228 b) 0.43153 c) 0.41374 d) 0.45518 e) 0.38549

II. Calcule la probabilidad que 22 XX sea mayor que cero.

a) 0.75800 b) 0.79670 c) 0.72660 d) 0.77455 e) 0.83219

69. El percentil x de una variable aleatoria es el valor que hace que el x% de la

distribución de probabilidad se encuentre a la izquierda de ese punto. Encuentre el

percentil 35 de una variable aleatoria exponencial con media de 8.

a) 2.85340 b) 4.08661 c) Infinito d) 3.44626 e) 8

70. Suponga que un taller de reparación de carros se encuentra a 55 Km de Bogotá, en

la vía Bogotá – Girardot. Suponga que la distancia entre Bogotá y Girardot son 125

Km. Asuma que un camión recorre esta trayectoria con frecuencia. Si el

conductor del camión, cada vez que viaja se detiene una vez en un punto aleatorio

sobre la vía, calcule:

I. La probabilidad que la distancia entre el punto en que se detiene y el taller

sea mayor a 35 km

a) 0.35 b) 0.28 c) 0.44 d) 0.56 e) 0.70

II. La desviación estándar de la distancia entre el punto en que se detiene y

el taller

a) 22.22222 b) 16.54871 c) 20.46780 d) 18.80009 e) 29.52437

71. Suponga que una variable aleatoria X tiene la siguiente función de probabilidad: 2)( bxaxxf X ; para valores de x entre 0 y 1; y 0 para otros valores de x.

Estadísticamente, se ha determinado que la probabilidad que esta variable

aleatoria sea mayor a 0.5 es 65%

I. Calcule la desviación estándar de la variable aleatoria Y=4X+5.

a) 1.22475 b) 0.73459 c) 0.97979 d) 4.22475 e) 5.73459

II. Si se hacen 2 experimentos de la variable aleatoria X, calcule la

probabilidad que en los 2 la variable aleatoria Y tome valores mayores que

7

a) 0.42250 b) 0.86320 c) 0.53704 d) 0.19100 e) 0.58247

72. Si el tiempo (en minutos) que usted se demora desde su casa hasta la universidad

es una variable aleatoria normal con media 40 y varianza 49, y usted quiere estar

97,72% seguro de llegar a tiempo a clase de 7:00 A.M, a qué horas debe salir por

tarde para llegar a clase a tiempo:

a) 6:04 a.m. b) 6:05 a.m. c) 6:06 a.m. d) 6:07 a.m. e) Ninguna

de las anteriores

73. Suponga que X es una variable aleatoria uniforme entre -4 y 7.

I. Sea Y el valor absoluto de X. Calcule el valor esperado de Y

a) 1.50000 b) 2.15187 c) 3.15172 d) 2.95455 e) Ninguna de las

anteriores

74. En una clase de Cálculo I hay estudiantes de 4 programas de Ingeniería: 32 de

Ingeniería Industrial, 16 de ingeniería Mecánica, 8 de Ingeniería Civil y 4 de

Ingeniería Electrónica. En una clase en particular, cuatro estudiantes son

seleccionados de manera aleatoria para una actividad.

Si X representa el número de Ingenieros Industriales en el grupo de los cuatro

estudiantes:

I. Halle la función de probabilidad de la variable aleatoria X. II. Encuentre la función de distribución acumulada (FDA) de la variable aleatoria X.

III. Calcule la probabilidad de que en el grupo seleccionado hayan más de 2 estudiantes de Ingeniería Industrial

IV. Establezca el número promedio de estudiantes de Ingeniería Industrial en el grupo seleccionado.

V. Establezca la desviación estándar del número de estudiantes de Ingeniería Industrial en el grupo seleccionado.

75. La policía de carreteras ha identificado tres puntos (A, B y C) de alta accidentalidad

a lo largo de la vía que conduce de Bogotá a Medellín. Se estima que en el punto A

se presentan 2 accidentes diarios, 3 accidentes diarios en el punto B y en el punto C

se presentan 4 accidentes diarios. Asumiendo que los accidentes que se presentan

en cada punto siguen una distribución Poisson y que son independientes entre sí,

calcule la probabilidad de que se presenten 5 ó 6 accidentes en total en esa vía

durante un día cualquiera.

76. Los ingenieros eléctricos saben que una corriente neutral elevada en los sistemas

de alimentación de computadores son un problema potencial. Un estudio reciente

de las corrientes de carga en sistemas de alimentación de computadores en

instalaciones en Colombia reveló que 20% de las instalaciones tienen una corriente

neutral elevada. Si se escoge una muestra aleatoria de 5 sistemas de alimentación

de computadores del total de las instalaciones del país,

I. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno tenga una corriente neutral elevada? II. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3 tengan una corriente neutral

elevada? III. ¿Cuál es el valor esperado y la varianza del número de sistemas de

alimentación de computadores con corriente neutral elevada?

77. Se sabe que los discos producidos en una empresa salen defectuosos con

probabilidad de 0.01.La compañía vende los discos en paquetes de 10 y garantiza el

reembolso del dinero si más de 1 de los 10 discos salen defectuosos. Si el hecho de

que un disco salga defectuoso es independiente de que otros discos salgan

defectuosos,

I. ¿Cuál es la proporción de paquetes que se devuelven? II. Si alguien compra 3 paquetes, ¿cuál es la probabilidad de que devuelva

exactamente uno de ellos?

78. Un sistema de comunicación consta de n componentes, cada uno de los cuales

funciona independientemente con probabilidad p. El sistema funciona de manera

adecuada sí por lo menos más de la mitad de sus componentes funciona. ¿Para qué

valores de p tiene más probabilidades de funcionar adecuadamente un sistema de

5 componentes que uno de 3 componentes?

79. De un grupo de 20 ingenieros con título de doctorado, 10 de ellos son

seleccionados al azar para un empleo. ¿Cuál es la probabilidad de que las 10

personas seleccionadas sean los 5 mejores ingenieros del grupo de 20?

80. Una fábrica de pequeños motores, empaca sus productos en cajas de 50 unidades.

Antes de que una caja sea aceptada, un inspector elige 5 motores al azar y los

examina. Si todos están perfectos, acepta la caja, de lo contrario examina todos los

motores de la misma. Suponga que en una caja hay 3 motores defectuosos, ¿cuál

es la probabilidad de que haya que inspeccionar todos los motores de la caja?

81. Entre 12 hombres que solicitan un trabajo, 9 están casados con mujeres que

trabajan. Si Recursos Humanos selecciona aleatoriamente 2 de los aspirantes para

una entrevista adicional,

I. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las esposas trabaje? II. ¿Cuál es la probabilidad de que las esposas de ambos aspirantes trabajen?

82. La probabilidad de que el cohete “ROCKET W2K” alcance un objetivo es 0.2. Si el

cohete se dispara repetidamente hasta alcanzar el objetivo

I. Establezca el número esperado de cohetes que serán lanzados hasta alcanzar el objetivo.

II. Establezca la desviación estándar del número de cohetes que serán lanzados hasta alcanzar el objetivo.

III. ¿Cuál es la probabilidad de que se deban lanzar al menos 4 cohetes para alcanzar el objetivo?

83. La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta es:

𝑓𝑋 𝑥 =

𝑝1, 𝑥 = −1

12 𝑥 = 0

𝑝2, 𝑥 = 1

Si 𝜇 =1

6 , entonces:

Determine los valores de 𝑝1𝑦 𝑝2 para que la función de probabilidad de la variable

aleatoria quede totalmente definida.

84. En “Electrónica S.A.” se prueban los lotes en muestras de 10 unidades y se ha

encontrado que por cada muestra hay 3 productos defectuosos. Para la inspección

de calidad, el inspector selecciona aleatoriamente los productos de la muestra;

además, se asume que los resultados de cada producto de la muestra son

independientes.

I. Si para aprobar la inspección, debe haber como máximo 2 productos defectuosos. Determine la probabilidad de que un lote sea aprobado.

II. Establezca la probabilidad de que sean evaluados 7 productos hasta encontrar el primero defectuoso.

85. El dueño de la pizzería “Pizzas al instante” conoce que el 65% de los servicios a

domicilio de su negocio llegan a tiempo, sin embargo, está interesado en conocer

más a fondo el comportamiento de su negocio por lo cual lo ha contratado a usted

para que le ayude a establecer la siguiente información.

I. Si se revisan en forma aleatoria e independiente 10 órdenes a domicilio del restaurante, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 8 órdenes no lleguen a tiempo? ¿Cuál es el número esperado de órdenes que llegan a tiempo?

II. Si se revisan en forma aleatoria e independiente las órdenes a domicilio del restaurante, ¿Cuál es la probabilidad de que la cuarta orden revisada sea la primera que llega a tiempo? ¿Cuál es el número esperado de órdenes que se revisarán hasta encontrar la primera orden que llegó a tiempo?

86. Suponga que se lanza dos veces un dado y que dependiendo del resultado del

primer lanzamiento se decide si usted pierde o gana, así:

Si el resultado del lanzamiento es un número primo (considere el número 1 como primo) usted pierde.

Si el resultado del lanzamiento es un número no primo usted gana.

Una vez se ha lanzado el dado y se ha definido si gana o pierde, se procede a definir la

cantidad. Para esto usted debe lanzar de nuevo el dado y el resultado que se obtiene

será la cantidad (en euros) que usted pierde o gane.

Si X es la variable aleatoria que representa la utilidad obtenida

I. Establezca la utilidad promedio. II. Establezca la varianza de la variable aleatoria X.

87. Si en un experimento se ha lanzado 4 veces un dado y no ha salido el número 4,

¿cuál es la probabilidad de tener que lanzar el dado 8 veces más para sacar el

número 4 por primera vez?

88. Un examen de Cálculo consta de 10 preguntas de selección múltiple, cada una con

cuatro opciones de respuesta. Andrés responde cada pregunta al azar y sus

respuestas son independientes. Si para aprobar el examen Andrés debe responder

mínimo 6 preguntas correctamente, calcule la probabilidad de que Andrés apruebe

el examen.

89. En las series de los campeonatos de la NBA, el equipo que gane cuatro juegos de

un máximo de siete es el ganador. Suponga que los equipos A y B se enfrentan en

una serie, y se conoce que en el 55% de los juegos anteriores entre estos equipos,

ha ganado el equipo A.

I. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo A gane la serie en 6 partidos? II. ¿Cuál es el número esperado de juegos para que el equipo A gane la serie?

90. Un pediatra desea reclutar 5 parejas, las cuales deben estar esperando su primer

hijo, para participar en un régimen natural de parto. A partir de estudios anteriores

de este tipo, se conoce que la probabilidad de que una pareja que está esperando

su primer hijo dé su consentimiento para participar en el experimento es 0.2.

Según lo anterior:

I. ¿Cuál es la probabilidad que se deba contactar 15 parejas para contar con la quinta pareja que participará en el experimento?

II. ¿Cuál es la probabilidad de que se deban contactar 10 parejas como máximo hasta contar con el consentimiento de la quinta pareja?

III. ¿Cuál es el valor esperado y la desviación estándar del número de parejas que se contactarán hasta contar con la quinta pareja que participará en el experimento?

91. Si el promedio diario del número de demandas en una compañía de seguros es 5 y

el número de demandas en días diferentes es independiente, ¿cuál es la

probabilidad de que haya exactamente 4 demandas cada día en 3 de los próximos

5 días?

92. Andrea abre su negocio de empanadas de 4:00 p.m. a 9:00 p.m. Entre las 4:00 p.m.

y las 5:45 p.m. llegan clientes a una tasa promedio de 5 clientes/hora. Entre las

5:45 y las 7:30 p.m. llegan clientes a una tasa promedio de 10 clientes/hora.

Además, se sabe que entre las 7:30 p.m. y las 9:00 p.m. llegan clientes a una tasa

promedio de 6 clientes/hora. ¿Cuál es la probabilidad de que no llegue ningún

cliente entre las 6:00 p.m. y las 8:00 p.m.?

93. Juan sale a pescar de 7-9 a.m. Si Juan pesca en promedio 4 peces/hora, ¿cuál es la

probabilidad de que el pescador atrape al menos 2 peces entre las 7:30 a.m. y 9:00

a.m.?

94. A partir de la función generatriz de momentos para una variable aleatoria que se

distribuye geométrica, encuentre el valor esperado y la varianza para esta variable

aleatoria.