ÍNDICE 1

EJERCICIOS SOBRE OPERACIONES CON MATRICES

Índice

A. Operaciones básicas con matrices

1. Dadas las matrices siguientes

A =

9 1 11 2 11 18 1

, B =

1 11 11 1

, C =

10 2 22 3 22 19 2

,

se pide calcular las siguientes operaciones:

a) AB Solución:

AB =

11 114 420 20

b) BtAt Solución:

BtAt = (AB)t =

(11 4 2011 4 20

)

c) (A + I3)2 Solución:

(A + I3)2 =

102 31 1314 28 630 91 23

,

d) A2 + 2A + I3 Solución:Como AI3 = I3A = A se puede utilizar el binomio de Newton y el resultado seráentonces la matriz del apartado anterior.

e) AC Solución:

AC =

94 40 2216 27 848 75 40

f ) CA

Solución:

CA =

94 50 1423 44 739 76 23

g) (A + C)2

Solución:

(A + C)2 =

19 3 33 5 33 37 3

2

=

379 183 7581 145 33177 305 129

A OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES 2

h) A2 + 2AC + C2

Solución:

A2 + 2AC + C2 =

379 173 8374 128 34186 304 146

i) A2 + AC + CA + C2

Solución:Como (A + C)2 = (A + C)(A + C) = A2 + AC + CA + C2, entonces:

A2 + AC + CA + C2 =

379 183 7581 145 33177 305 129

2. Dadas las matrices siguientes

A =

8 1 11 2 21 16 1

, B =

1 11 11 2

, C =

9 2 22 3 32 17 2

,

se pide calcular las siguientes operaciones:

a) AB Solución:

AB =

10 115 718 19

b) BtAt Solución:

BtAt = (AB)t =

(10 5 1811 7 19

)

c) (A + I3)2 Solución:

(A + I3)2 =

83 28 1314 42 1127 81 37

,

d) A2 + 2A + I3 Solución:Como AI3 = I3A = A se puede utilizar el binomio de Newton y el resultado seráentonces la matriz del apartado anterior.

e) AC Solución:

AC =

76 36 2117 42 1243 67 52

f ) CA

Solución:

CA =

76 45 1522 56 1135 68 38

A OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES 3

g) (A + C)2

Solución:

(A + C)2 =

17 3 33 5 53 33 3

2

=

307 165 7581 199 49159 273 183

h) A2 + 2AC + C2

Solución:

A2 + 2AC + C2 =

307 156 8176 185 50167 272 197

i) A2 + AC + CA + C2

Solución:Como (A + C)2 = (A + C)(A + C) = A2 + AC + CA + C2, entonces:

A2 + AC + CA + C2 =

307 165 7581 199 49159 273 183

3. Dadas las matrices siguientes

A =

7 1 11 2 31 14 1

, B =

1 11 11 3

, C =

8 2 22 3 42 15 2

,

se pide calcular las siguientes operaciones:

a) AB Solución:

AB =

9 116 1216 18

b) BtAt Solución:

BtAt = (AB)t =

(9 6 1611 12 18

)

c) (A + I3)2 Solución:

(A + I3)2 =

66 25 1314 52 1624 71 47

,

d) A2 + 2A + I3 Solución:Como AI3 = I3A = A se puede utilizar el binomio de Newton y el resultado seráentonces la matriz del apartado anterior.

e) AC Solución:

AC =

60 32 2018 53 1638 59 60

A OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES 4

f ) CA

Solución:

CA =

60 40 1621 64 1531 60 49

g) (A + C)2

Solución:

(A + C)2 =

15 3 33 5 73 29 3

2

=

243 147 7581 237 65141 241 221

h) A2 + 2AC + C2

Solución:

A2 + 2AC + C2 =

243 139 7978 226 66148 240 232

i) A2 + AC + CA + C2

Solución:Como (A + C)2 = (A + C)(A + C) = A2 + AC + CA + C2, entonces:

A2 + AC + CA + C2 =

243 147 7581 237 65141 241 221

4. Dadas las matrices siguientes

A =

6 2 11 4 42 12 1

, B =

2 12 21 4

, C =

7 3 22 5 53 13 2

,

se pide calcular las siguientes operaciones:

a) AB Solución:

AB =

17 1414 2529 30

b) BtAt Solución:

BtAt = (AB)t =

(17 14 2914 25 30

)

c) (A + I3)2 Solución:

(A + I3)2 =

53 36 1720 75 2930 88 54

,

A OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES 5

d) A2 + 2A + I3 Solución:Como AI3 = I3A = A se puede utilizar el binomio de Newton y el resultado seráentonces la matriz del apartado anterior.

e) AC Solución:

AC =

49 41 2427 75 3041 79 66

f ) CA

Solución:

CA =

49 50 2127 84 2735 82 57

g) (A + C)2

Solución:

(A + C)2 =

13 5 33 9 95 25 3

2

=

199 185 93111 321 117155 325 249

h) A2 + 2AC + C2

Solución:

A2 + 2AC + C2 =

199 176 96111 312 120161 322 258

i) A2 + AC + CA + C2

Solución:Como (A + C)2 = (A + C)(A + C) = A2 + AC + CA + C2, entonces:

A2 + AC + CA + C2 =

199 185 93111 321 117155 325 249

5. Dadas las matrices siguientes

A =

5 2 11 4 52 10 1

, B =

2 12 21 5

, C =

6 3 22 5 63 11 2

,

se pide calcular las siguientes operaciones:

a) AB Solución:

AB =

15 1415 3425 27

A OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES 6

b) BtAt Solución:

BtAt = (AB)t =

(15 15 2514 34 27

)

c) (A + I3)2 Solución:

(A + I3)2 =

40 32 1821 77 3626 74 56

,

d) A2 + 2A + I3 Solución:Como AI3 = I3A = A se puede utilizar el binomio de Newton y el resultado seráentonces la matriz del apartado anterior.

e) AC Solución:

AC =

37 36 2429 78 3635 67 66

f ) CA

Solución:

CA =

37 44 2327 84 3330 70 60

g) (A + C)2

Solución:

(A + C)2 =

11 5 33 9 115 21 3

2

=

151 163 97115 327 141133 277 255

h) A2 + 2AC + C2

Solución:

A2 + 2AC + C2 =

151 155 98117 321 144138 274 261

i) A2 + AC + CA + C2

Solución:Como (A + C)2 = (A + C)(A + C) = A2 + AC + CA + C2, entonces:

A2 + AC + CA + C2 =

151 163 97115 327 141133 277 255

6. Dadas las matrices siguientes

A =

4 2 11 4 62 8 1

, B =

2 12 21 6

, C =

5 3 22 5 73 9 2

,

se pide calcular las siguientes operaciones:

A OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES 7

a) AB Solución:

AB =

13 1416 4521 24

b) BtAt Solución:

BtAt = (AB)t =

(13 16 2114 45 24

)

c) (A + I3)2 Solución:

(A + I3)2 =

29 28 1922 75 4322 60 54

,

d) A2 + 2A + I3 Solución:Como AI3 = I3A = A se puede utilizar el binomio de Newton y el resultado seráentonces la matriz del apartado anterior.

e) AC Solución:

AC =

27 31 2431 77 4229 55 62

f ) CA

Solución:

CA =

27 38 2527 80 3925 58 59

g) (A + C)2

Solución:

(A + C)2 =

9 5 33 9 135 17 3

2

=

111 141 101119 317 165111 229 245

h) A2 + 2AC + C2

Solución:

A2 + 2AC + C2 =

111 134 100123 314 168115 226 248

i) A2 + AC + CA + C2

Solución:Como (A + C)2 = (A + C)(A + C) = A2 + AC + CA + C2, entonces:

A2 + AC + CA + C2 =

111 141 101119 317 165111 229 245

B CÁLCULO DE DETERMINANTES 8

B. Cálculo de determinantes

7. Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

18 5 7 818 3 4 49 1 1 19 2 3 4

∣∣∣∣∣∣∣∣, (b)

∣∣∣∣∣∣

9 2 227 7 718 5 4

∣∣∣∣∣∣, (c)

∣∣∣∣∣∣

9 2 228 8 818 5 4

∣∣∣∣∣∣, (d)

∣∣∣∣∣∣∣∣

19 5 7 818 4 4 49 1 2 19 2 3 4

∣∣∣∣∣∣∣∣

Solución:(a) 9, (b) -9, (c) -16 (d) -46

8. Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

16 5 7 1016 3 4 58 1 1 18 2 3 5

∣∣∣∣∣∣∣∣, (b)

∣∣∣∣∣∣

8 2 324 7 1116 5 6

∣∣∣∣∣∣, (c)

∣∣∣∣∣∣

8 2 325 8 1216 5 6

∣∣∣∣∣∣, (d)

∣∣∣∣∣∣∣∣

17 5 7 1016 4 4 58 1 2 18 2 3 5

∣∣∣∣∣∣∣∣

Solución:(a) 8, (b) -16, (c) -21 (d) -53

9. Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

14 5 7 1214 3 4 67 1 1 17 2 3 6

∣∣∣∣∣∣∣∣, (b)

∣∣∣∣∣∣

7 2 421 7 1514 5 8

∣∣∣∣∣∣, (c)

∣∣∣∣∣∣

7 2 422 8 1614 5 8

∣∣∣∣∣∣, (d)

∣∣∣∣∣∣∣∣

15 5 7 1214 4 4 67 1 2 17 2 3 6

∣∣∣∣∣∣∣∣

Solución:(a) 7, (b) -21, (c) -24 (d) -56

10. Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

12 8 7 1412 4 4 76 1 1 16 3 3 7

∣∣∣∣∣∣∣∣, (b)

∣∣∣∣∣∣

6 3 518 10 1912 7 10

∣∣∣∣∣∣, (c)

∣∣∣∣∣∣

6 3 519 11 2012 7 10

∣∣∣∣∣∣, (d)

∣∣∣∣∣∣∣∣

13 8 7 1412 5 4 76 1 2 16 3 3 7

∣∣∣∣∣∣∣∣

Solución:(a) 12, (b) -24, (c) -25 (d) -90

11. Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

10 8 7 1610 4 4 85 1 1 15 3 3 8

∣∣∣∣∣∣∣∣, (b)

∣∣∣∣∣∣

5 3 615 10 2310 7 12

∣∣∣∣∣∣, (c)

∣∣∣∣∣∣

5 3 616 11 2410 7 12

∣∣∣∣∣∣, (d)

∣∣∣∣∣∣∣∣

11 8 7 1610 5 4 85 1 2 15 3 3 8

∣∣∣∣∣∣∣∣

Solución:(a) 10, (b) -25, (c) -24 (d) -84

B CÁLCULO DE DETERMINANTES 9

12. Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

8 8 7 188 4 4 94 1 1 14 3 3 9

∣∣∣∣∣∣∣∣, (b)

∣∣∣∣∣∣

4 3 712 10 278 7 14

∣∣∣∣∣∣, (c)

∣∣∣∣∣∣

4 3 713 11 288 7 14

∣∣∣∣∣∣, (d)

∣∣∣∣∣∣∣∣

9 8 7 188 5 4 94 1 2 14 3 3 9

∣∣∣∣∣∣∣∣

Solución:(a) 8, (b) -24, (c) -21 (d) -72

13. Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

6 8 7 206 4 4 103 1 1 13 3 3 10

∣∣∣∣∣∣∣∣, (b)

∣∣∣∣∣∣

3 3 89 10 316 7 16

∣∣∣∣∣∣, (c)

∣∣∣∣∣∣

3 3 810 11 326 7 16

∣∣∣∣∣∣, (d)

∣∣∣∣∣∣∣∣

7 8 7 206 5 4 103 1 2 13 3 3 10

∣∣∣∣∣∣∣∣

Solución:(a) 6, (b) -21, (c) -16 (d) -54

14. Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

4 8 7 224 4 4 112 1 1 12 3 3 11

∣∣∣∣∣∣∣∣, (b)

∣∣∣∣∣∣

2 3 96 10 354 7 18

∣∣∣∣∣∣, (c)

∣∣∣∣∣∣

2 3 97 11 364 7 18

∣∣∣∣∣∣, (d)

∣∣∣∣∣∣∣∣

5 8 7 224 5 4 112 1 2 12 3 3 11

∣∣∣∣∣∣∣∣

Solución:(a) 4, (b) -16, (c) -9 (d) -30

15. Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

2 8 7 242 4 4 121 1 1 11 3 3 12

∣∣∣∣∣∣∣∣, (b)

∣∣∣∣∣∣

1 3 103 10 392 7 20

∣∣∣∣∣∣, (c)

∣∣∣∣∣∣

1 3 104 11 402 7 20

∣∣∣∣∣∣, (d)

∣∣∣∣∣∣∣∣

3 8 7 242 5 4 121 1 2 11 3 3 12

∣∣∣∣∣∣∣∣

Solución:(a) 2, (b) -9, (c) 0 (d) 0

16. Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

18 5 9 818 3 5 49 1 1 19 2 4 4

∣∣∣∣∣∣∣∣, (b)

∣∣∣∣∣∣

9 3 227 11 718 8 4

∣∣∣∣∣∣, (c)

∣∣∣∣∣∣

9 3 228 12 818 8 4

∣∣∣∣∣∣, (d)

∣∣∣∣∣∣∣∣

19 5 9 818 4 5 49 1 2 19 2 4 4

∣∣∣∣∣∣∣∣

Solución:(a) 18, (b) -18, (c) -32 (d) -39

B CÁLCULO DE DETERMINANTES 10

17. Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

16 5 7 1116 3 4 58 1 1 18 2 3 6

∣∣∣∣∣∣∣∣, (b)

∣∣∣∣∣∣

8 2 424 7 1416 5 8

∣∣∣∣∣∣, (c)

∣∣∣∣∣∣

8 2 425 8 1516 5 8

∣∣∣∣∣∣, (d)

∣∣∣∣∣∣∣∣

17 5 7 1116 4 4 58 1 2 18 2 3 6

∣∣∣∣∣∣∣∣

Solución:(a) 16, (b) -16, (c) -20 (d) -81

18. Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

14 5 7 1414 3 4 67 1 1 17 2 3 8

∣∣∣∣∣∣∣∣, (b)

∣∣∣∣∣∣

7 2 621 7 2114 5 12

∣∣∣∣∣∣, (c)

∣∣∣∣∣∣

7 2 622 8 2214 5 12

∣∣∣∣∣∣, (d)

∣∣∣∣∣∣∣∣

15 5 7 1414 4 4 67 1 2 17 2 3 8

∣∣∣∣∣∣∣∣

Solución:(a) 21, (b) -21, (c) -22 (d) -104

19. Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

12 8 7 1712 4 4 76 1 1 16 3 3 10

∣∣∣∣∣∣∣∣, (b)

∣∣∣∣∣∣

6 3 818 10 2812 7 16

∣∣∣∣∣∣, (c)

∣∣∣∣∣∣

6 3 819 11 2912 7 16

∣∣∣∣∣∣, (d)

∣∣∣∣∣∣∣∣

13 8 7 1712 5 4 76 1 2 16 3 3 10

∣∣∣∣∣∣∣∣

Solución:(a) 48, (b) -24, (c) -22 (d) -180

20. Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

10 8 7 2010 4 4 85 1 1 15 3 3 12

∣∣∣∣∣∣∣∣, (b)

∣∣∣∣∣∣

5 3 1015 10 3510 7 20

∣∣∣∣∣∣, (c)

∣∣∣∣∣∣

5 3 1016 11 3610 7 20

∣∣∣∣∣∣, (d)

∣∣∣∣∣∣∣∣

11 8 7 2010 5 4 85 1 2 15 3 3 12

∣∣∣∣∣∣∣∣

Solución:(a) 50, (b) -25, (c) -20 (d) -180

21. Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

8 8 7 238 4 4 94 1 1 14 3 3 14

∣∣∣∣∣∣∣∣, (b)

∣∣∣∣∣∣

4 3 1212 10 428 7 24

∣∣∣∣∣∣, (c)

∣∣∣∣∣∣

4 3 1213 11 438 7 24

∣∣∣∣∣∣, (d)

∣∣∣∣∣∣∣∣

9 8 7 238 5 4 94 1 2 14 3 3 14

∣∣∣∣∣∣∣∣

Solución:(a) 48, (b) -24, (c) -16 (d) -162

B CÁLCULO DE DETERMINANTES 11

22. Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

6 8 7 266 4 4 103 1 1 13 3 3 16

∣∣∣∣∣∣∣∣, (b)

∣∣∣∣∣∣

3 3 149 10 496 7 28

∣∣∣∣∣∣, (c)

∣∣∣∣∣∣

3 3 1410 11 506 7 28

∣∣∣∣∣∣, (d)

∣∣∣∣∣∣∣∣

7 8 7 266 5 4 103 1 2 13 3 3 16

∣∣∣∣∣∣∣∣

Solución:(a) 42, (b) -21, (c) -10 (d) -126

23. Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

4 8 7 294 4 4 112 1 1 12 3 3 18

∣∣∣∣∣∣∣∣, (b)

∣∣∣∣∣∣

2 3 166 10 564 7 32

∣∣∣∣∣∣, (c)

∣∣∣∣∣∣

2 3 167 11 574 7 32

∣∣∣∣∣∣, (d)

∣∣∣∣∣∣∣∣

5 8 7 294 5 4 112 1 2 12 3 3 18

∣∣∣∣∣∣∣∣

Solución:(a) 32, (b) -16, (c) -2 (d) -72

24. Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

2 8 7 322 4 4 121 1 1 11 3 3 20

∣∣∣∣∣∣∣∣, (b)

∣∣∣∣∣∣

1 3 183 10 632 7 36

∣∣∣∣∣∣, (c)

∣∣∣∣∣∣

1 3 184 11 642 7 36

∣∣∣∣∣∣, (d)

∣∣∣∣∣∣∣∣

3 8 7 322 5 4 121 1 2 11 3 3 20

∣∣∣∣∣∣∣∣

Solución:(a) 18, (b) -9, (c) 8 (d) 0

25. Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

18 8 9 818 4 5 49 1 1 19 3 4 4

∣∣∣∣∣∣∣∣, (b)

∣∣∣∣∣∣

9 4 227 14 718 10 4

∣∣∣∣∣∣, (c)

∣∣∣∣∣∣

9 4 228 15 818 10 4

∣∣∣∣∣∣, (d)

∣∣∣∣∣∣∣∣

19 8 9 818 5 5 49 1 2 19 3 4 4

∣∣∣∣∣∣∣∣

Solución:(a) 36, (b) -18, (c) -32 (d) -56

26. Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

16 8 9 1116 4 5 58 1 1 18 3 4 6

∣∣∣∣∣∣∣∣, (b)

∣∣∣∣∣∣

8 4 424 14 1416 10 8

∣∣∣∣∣∣, (c)

∣∣∣∣∣∣

8 4 425 15 1516 10 8

∣∣∣∣∣∣, (d)

∣∣∣∣∣∣∣∣

17 8 9 1116 5 5 58 1 2 18 3 4 6

∣∣∣∣∣∣∣∣

Solución:(a) 64, (b) -32, (c) -40 (d) -105

B CÁLCULO DE DETERMINANTES 12

27. Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

14 8 9 1414 4 5 67 1 1 17 3 4 8

∣∣∣∣∣∣∣∣, (b)

∣∣∣∣∣∣

7 4 621 14 2114 10 12

∣∣∣∣∣∣, (c)

∣∣∣∣∣∣

7 4 622 15 2214 10 12

∣∣∣∣∣∣, (d)

∣∣∣∣∣∣∣∣

15 8 9 1414 5 5 67 1 2 17 3 4 8

∣∣∣∣∣∣∣∣

Solución:(a) 84, (b) -42, (c) -44 (d) -138

28. Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

12 8 9 1712 4 5 76 1 1 16 3 4 10

∣∣∣∣∣∣∣∣, (b)

∣∣∣∣∣∣

6 4 818 14 2812 10 16

∣∣∣∣∣∣, (c)

∣∣∣∣∣∣

6 4 819 15 2912 10 16

∣∣∣∣∣∣, (d)

∣∣∣∣∣∣∣∣

13 8 9 1712 5 5 76 1 2 16 3 4 10

∣∣∣∣∣∣∣∣

Solución:(a) 96, (b) -48, (c) -44 (d) -155

29. Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

10 8 9 2010 4 5 85 1 1 15 3 4 12

∣∣∣∣∣∣∣∣, (b)

∣∣∣∣∣∣

5 4 1015 14 3510 10 20

∣∣∣∣∣∣, (c)

∣∣∣∣∣∣

5 4 1016 15 3610 10 20

∣∣∣∣∣∣, (d)

∣∣∣∣∣∣∣∣

11 8 9 2010 5 5 85 1 2 15 3 4 12

∣∣∣∣∣∣∣∣

Solución:(a) 100, (b) -50, (c) -40 (d) -156

30. Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

8 8 9 238 4 5 94 1 1 14 3 4 14

∣∣∣∣∣∣∣∣, (b)

∣∣∣∣∣∣

4 4 1212 14 428 10 24

∣∣∣∣∣∣, (c)

∣∣∣∣∣∣

4 4 1213 15 438 10 24

∣∣∣∣∣∣, (d)

∣∣∣∣∣∣∣∣

9 8 9 238 5 5 94 1 2 14 3 4 14

∣∣∣∣∣∣∣∣

Solución:(a) 96, (b) -48, (c) -32 (d) -141

31. Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

6 8 9 266 4 5 103 1 1 13 3 4 16

∣∣∣∣∣∣∣∣, (b)

∣∣∣∣∣∣

3 4 149 14 496 10 28

∣∣∣∣∣∣, (c)

∣∣∣∣∣∣

3 4 1410 15 506 10 28

∣∣∣∣∣∣, (d)

∣∣∣∣∣∣∣∣

7 8 9 266 5 5 103 1 2 13 3 4 16

∣∣∣∣∣∣∣∣

Solución:(a) 84, (b) -42, (c) -20 (d) -110

C CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ 13

32. Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

4 8 9 294 4 5 112 1 1 12 3 4 18

∣∣∣∣∣∣∣∣, (b)

∣∣∣∣∣∣

2 4 166 14 564 10 32

∣∣∣∣∣∣, (c)

∣∣∣∣∣∣

2 4 167 15 574 10 32

∣∣∣∣∣∣, (d)

∣∣∣∣∣∣∣∣

5 8 9 294 5 5 112 1 2 12 3 4 18

∣∣∣∣∣∣∣∣

Solución:(a) 64, (b) -32, (c) -4 (d) -63

33. Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

2 8 9 322 4 5 121 1 1 11 3 4 20

∣∣∣∣∣∣∣∣, (b)

∣∣∣∣∣∣

1 4 183 14 632 10 36

∣∣∣∣∣∣, (c)

∣∣∣∣∣∣

1 4 184 15 642 10 36

∣∣∣∣∣∣, (d)

∣∣∣∣∣∣∣∣

3 8 9 322 5 5 121 1 2 11 3 4 20

∣∣∣∣∣∣∣∣

Solución:(a) 36, (b) -18, (c) 16 (d) 0

34. Demuestra, usando las propiedades de los determinantes, que∥∥∥∥∥∥∥∥

2a 3b + 2 2c + 5 2e + d + 52a b + 2 2c + 3 e + 3a 1 1 1a b + 1 c + 2 d + e + 2

∥∥∥∥∥∥∥∥= abcd.

35. Demuestra, usando las propiedades de los determinantes, que∥∥∥∥∥∥

a b + c d + e3a 3b + 4c 3d + 4e2a 2b + 3c 2d + 2e

∥∥∥∥∥∥= −ace

C. Cálculo de la inversa de una matriz

36. Calcula la inversa de

1 1 2 12 3 6 31 2 5 31 1 2 2

y comprueba que es:

3 − 1 0 0− 5 3 − 2 12 −1 1 − 1−1 0 0 1

37. Calcula la inversa de la matriz

−1 2 1−2 5 3−1 2 2

y comprueba que el resultado es

− 4 2 − 1− 1 1 − 1−1 0 1

38. Calcula la inversa de

1 1 2 22 3 6 51 2 5 41 1 2 3

y comprueba que es:

4 − 1 0 − 1− 5 3 − 2 12 −1 1 − 1−1 0 0 1

39. Calcula la inversa de la matriz

−1 2 1−2 5 4−1 2 2

y comprueba que el resultado es

− 2 2 − 30 1 − 2−1 0 1

C CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ 14

40. Calcula la inversa de

1 1 2 32 3 6 71 2 5 51 1 2 4

y comprueba que es:

5 − 1 0 − 2− 5 3 − 2 12 −1 1 − 1−1 0 0 1

41. Calcula la inversa de la matriz

−1 2 1−2 5 5−1 2 2

y comprueba que el resultado es

0 2 − 51 1 − 3−1 0 1

42. Calcula la inversa de

1 1 2 42 3 6 91 2 5 61 1 2 5

y comprueba que es:

6 − 1 0 − 3− 5 3 − 2 12 −1 1 − 1−1 0 0 1

43. Calcula la inversa de la matriz

−1 2 1−2 5 6−1 2 2

y comprueba que el resultado es

2 2 − 72 1 − 4−1 0 1

44. Calcula la inversa de

1 1 2 52 3 6 111 2 5 71 1 2 6

y comprueba que es:

7 − 1 0 − 4− 5 3 − 2 12 −1 1 − 1−1 0 0 1

45. Calcula la inversa de la matriz

−1 2 1−2 5 7−1 2 2

y comprueba que el resultado es

4 2 − 93 1 − 5−1 0 1

46. Calcula la inversa de

1 1 2 62 3 6 131 2 5 81 1 2 7

y comprueba que es:

8 − 1 0 − 5− 5 3 − 2 12 −1 1 − 1−1 0 0 1

47. Calcula la inversa de la matriz

−1 2 1−2 5 8−1 2 2

y comprueba que el resultado es

6 2 − 114 1 − 6−1 0 1

48. Calcula la inversa de

1 1 2 72 3 6 151 2 5 91 1 2 8

y comprueba que es:

9 − 1 0 − 6− 5 3 − 2 12 −1 1 − 1−1 0 0 1

49. Calcula la inversa de la matriz

−1 2 1−2 5 9−1 2 2

y comprueba que el resultado es

8 2 − 135 1 − 7−1 0 1

50. Calcula la inversa de

1 1 2 82 3 6 171 2 5 101 1 2 9

y comprueba que es:

10 − 1 0 − 7− 5 3 − 2 12 −1 1 − 1−1 0 0 1

51. Calcula la inversa de la matriz

−1 2 1−2 5 10−1 2 2

y comprueba que el resultado es

10 2 − 156 1 − 8−1 0 1

C CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ 15

52. Calcula la inversa de

1 1 2 92 3 6 191 2 5 111 1 2 10

y comprueba que es:

11 − 1 0 − 8− 5 3 − 2 12 −1 1 − 1−1 0 0 1

53. Calcula la inversa de la matriz

−1 2 1−2 5 11−1 2 2

y comprueba que el resultado es

12 2 − 177 1 − 9−1 0 1

54. Calcula la inversa de

1 1 2 12 3 6 41 2 5 41 1 2 2

y comprueba que es:

2 − 1 0 1− 4 3 − 2 02 −1 1 − 1−1 0 0 1

55. Calcula la inversa de la matriz

−1 2 2−2 5 5−1 2 3

y comprueba que el resultado es

− 5 2 0− 1 1 − 1−1 0 1

56. Calcula la inversa de

1 1 2 22 3 6 61 2 5 51 1 2 3

y comprueba que es:

3 − 1 0 0− 4 3 − 2 02 −1 1 − 1−1 0 0 1

57. Calcula la inversa de la matriz

−1 2 2−2 5 6−1 2 3

y comprueba que el resultado es

− 3 2 − 20 1 − 2−1 0 1

58. Calcula la inversa de

1 1 2 32 3 6 81 2 5 61 1 2 4

y comprueba que es:

4 − 1 0 − 1− 4 3 − 2 02 −1 1 − 1−1 0 0 1

59. Calcula la inversa de la matriz

−1 2 2−2 5 7−1 2 3

y comprueba que el resultado es

− 1 2 − 41 1 − 3−1 0 1

60. Calcula la inversa de

1 1 2 42 3 6 101 2 5 71 1 2 5

y comprueba que es:

5 − 1 0 − 2− 4 3 − 2 02 −1 1 − 1−1 0 0 1

61. Calcula la inversa de la matriz

−1 2 2−2 5 8−1 2 3

y comprueba que el resultado es

1 2 − 62 1 − 4−1 0 1

62. Calcula la inversa de

1 1 2 52 3 6 121 2 5 81 1 2 6

y comprueba que es:

6 − 1 0 − 3− 4 3 − 2 02 −1 1 − 1−1 0 0 1

63. Calcula la inversa de la matriz

−1 2 2−2 5 9−1 2 3

y comprueba que el resultado es

3 2 − 83 1 − 5−1 0 1

D DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES 16

64. Calcula la inversa de

1 1 2 62 3 6 141 2 5 91 1 2 7

y comprueba que es:

7 − 1 0 − 4− 4 3 − 2 02 −1 1 − 1−1 0 0 1

65. Calcula la inversa de la matriz

−1 2 2−2 5 10−1 2 3

y comprueba que el resultado es

5 2 − 104 1 − 6−1 0 1

66. Calcula la inversa de la matriz

1 c d f2 2 c + 1 2 d + b 2 f + e1 c + 1 d + b + 1 f + e + a1 c d f + 1

y comprueba que el resultado es:

f − c e− a d− d + a b c + b c + 2 c + 1 d− b c− c − (d− b c) − (f − c e− a d + a b c)e− a b− b− 2 b + 1 −b − (e− a b)

a + 1 −1 1 −a−1 0 0 1

67. Calcula la inversa de la matriz−1 a b−2 2 a + 1 c + 2 b−1 a b + 1

y comprueba que el resultado es:

a c− b− 2 a− 1 a − (a c− b)c− 2 1 −c−1 0 1

D. Diagonalización de matrices

68. Dada la matriz A =

3 − 1 − 11 1 − 11 − 1 1

se pide responder a las siguientes preguntas:

a) Calcula el polinomio característico de A y sus raíces dando las multiplicidades.Solución:pA(x) = (x− 2)2(x− 1), m(2) = 2 m(1) = 1.

b) Calcula una base del espacio vectorial S = {(x, y, z) : (A − 2I3)(x, y, z)t = (0, 0, 0)t}.Solución:βS = {(1, 1, 0), (1, 0, 1)}.

c) Calcula una base del espacio vectorial T = {(x, y, z) : (A − 1I3)(x, y, z)t = (0, 0, 0)t}.Solución:βT = {(1, 1, 1)}.

D DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES 17

d) Justifica si la matriz A es diagonalizable y caso de serlo da la matriz diagonal y de paso.Solución:La matriz es diagonalizable porque dim V2 = dim VS = m(2) = 2 y dim V1 = dim VT =m(1) = 2

e) Sean las bases β = {u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 0, 0)} y β′ = {v1, v2, v3}. Sesabe que Mββ′ = A y se pide que des las coordenadas de los vectores de β′ respecto dela base canónica.Solución:Usando la definición de la matriz Mββ′ tenemos que:

v1 = (3, 1, 1)β = 3u1 + 1u2 + 1u3 = (5, 4, 3)

v2 = (− 1, 1, − 1)β = (− 1, 0, − 1)

v3 = (− 1, − 1, 1)β = (− 1, − 2, − 1)

69. Dada la matriz A =

5 − 2 − 22 1 − 22 − 2 1

se pide responder a las siguientes preguntas:

a) Calcula el polinomio característico de A y sus raíces dando las multiplicidades.Solución:pA(x) = (x− 3)2(x− 1), m(3) = 2 m(1) = 1.

b) Calcula una base del espacio vectorial S = {(x, y, z) : (A − 3I3)(x, y, z)t = (0, 0, 0)t}.Solución:βS = {(1, 1, 0), (1, 0, 1)}.

c) Calcula una base del espacio vectorial T = {(x, y, z) : (A − 1I3)(x, y, z)t = (0, 0, 0)t}.Solución:βT = {(1, 1, 1)}.

d) Justifica si la matriz A es diagonalizable y caso de serlo da la matriz diagonal y de paso.Solución:La matriz es diagonalizable porque dim V3 = dim VS = m(3) = 2 y dim V1 = dim VT =m(1) = 2

e) Sean las bases β = {u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 0, 0)} y β′ = {v1, v2, v3}. Sesabe que Mββ′ = A y se pide que des las coordenadas de los vectores de β′ respecto dela base canónica.Solución:Usando la definición de la matriz Mββ′ tenemos que:

v1 = (5, 2, 2)β = 5u1 + 2u2 + 2u3 = (9, 7, 5)

v2 = (− 2, 1, − 2)β = (− 3, − 1, − 2)

v3 = (− 2, − 2, 1)β = (− 3, − 4, − 2)

70. Dada la matriz A =

7 − 3 − 33 1 − 33 − 3 1

se pide responder a las siguientes preguntas:

a) Calcula el polinomio característico de A y sus raíces dando las multiplicidades.Solución:pA(x) = (x− 4)2(x− 1), m(4) = 2 m(1) = 1.

D DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES 18

b) Calcula una base del espacio vectorial S = {(x, y, z) : (A − 4I3)(x, y, z)t = (0, 0, 0)t}.Solución:βS = {(1, 1, 0), (1, 0, 1)}.

c) Calcula una base del espacio vectorial T = {(x, y, z) : (A − 1I3)(x, y, z)t = (0, 0, 0)t}.Solución:βT = {(1, 1, 1)}.

d) Justifica si la matriz A es diagonalizable y caso de serlo da la matriz diagonal y de paso.Solución:La matriz es diagonalizable porque dim V4 = dim VS = m(4) = 2 y dim V1 = dim VT =m(1) = 2

e) Sean las bases β = {u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 0, 0)} y β′ = {v1, v2, v3}. Sesabe que Mββ′ = A y se pide que des las coordenadas de los vectores de β′ respecto dela base canónica.Solución:Usando la definición de la matriz Mββ′ tenemos que:

v1 = (7, 3, 3)β = 7u1 + 3u2 + 3u3 = (13, 10, 7)

v2 = (− 3, 1, − 3)β = (− 5, − 2, − 3)

v3 = (− 3, − 3, 1)β = (− 5, − 6, − 3)

71. Dada la matriz A =

9 − 4 − 44 1 − 44 − 4 1

se pide responder a las siguientes preguntas:

a) Calcula el polinomio característico de A y sus raíces dando las multiplicidades.Solución:pA(x) = (x− 5)2(x− 1), m(5) = 2 m(1) = 1.

b) Calcula una base del espacio vectorial S = {(x, y, z) : (A − 5I3)(x, y, z)t = (0, 0, 0)t}.Solución:βS = {(1, 1, 0), (1, 0, 1)}.

c) Calcula una base del espacio vectorial T = {(x, y, z) : (A − 1I3)(x, y, z)t = (0, 0, 0)t}.Solución:βT = {(1, 1, 1)}.

d) Justifica si la matriz A es diagonalizable y caso de serlo da la matriz diagonal y de paso.Solución:La matriz es diagonalizable porque dim V5 = dim VS = m(5) = 2 y dim V1 = dim VT =m(1) = 2

e) Sean las bases β = {u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 0, 0)} y β′ = {v1, v2, v3}. Sesabe que Mββ′ = A y se pide que des las coordenadas de los vectores de β′ respecto dela base canónica.Solución:Usando la definición de la matriz Mββ′ tenemos que:

v1 = (9, 4, 4)β = 9u1 + 4u2 + 4u3 = (17, 13, 9)

v2 = (− 4, 1, − 4)β = (− 7, − 3, − 4)

v3 = (− 4, − 4, 1)β = (− 7, − 8, − 4)

D DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES 19

72. Dada la matriz A =

11 − 5 − 55 1 − 55 − 5 1

se pide responder a las siguientes preguntas:

a) Calcula el polinomio característico de A y sus raíces dando las multiplicidades.Solución:pA(x) = (x− 6)2(x− 1), m(6) = 2 m(1) = 1.

b) Calcula una base del espacio vectorial S = {(x, y, z) : (A − 6I3)(x, y, z)t = (0, 0, 0)t}.Solución:βS = {(1, 1, 0), (1, 0, 1)}.

c) Calcula una base del espacio vectorial T = {(x, y, z) : (A − 1I3)(x, y, z)t = (0, 0, 0)t}.Solución:βT = {(1, 1, 1)}.

d) Justifica si la matriz A es diagonalizable y caso de serlo da la matriz diagonal y de paso.Solución:La matriz es diagonalizable porque dim V6 = dim VS = m(6) = 2 y dim V1 = dim VT =m(1) = 2

e) Sean las bases β = {u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 0, 0)} y β′ = {v1, v2, v3}. Sesabe que Mββ′ = A y se pide que des las coordenadas de los vectores de β′ respecto dela base canónica.Solución:Usando la definición de la matriz Mββ′ tenemos que:

v1 = (11, 5, 5)β = 11u1 + 5u2 + 5u3 = (21, 16, 11)

v2 = (− 5, 1, − 5)β = (− 9, − 4, − 5)

v3 = (− 5, − 5, 1)β = (− 9, − 10, − 5)

73. Dada la matriz A =

13 − 6 − 66 1 − 66 − 6 1

se pide responder a las siguientes preguntas:

a) Calcula el polinomio característico de A y sus raíces dando las multiplicidades.Solución:pA(x) = (x− 7)2(x− 1), m(7) = 2 m(1) = 1.

b) Calcula una base del espacio vectorial S = {(x, y, z) : (A − 7I3)(x, y, z)t = (0, 0, 0)t}.Solución:βS = {(1, 1, 0), (1, 0, 1)}.

c) Calcula una base del espacio vectorial T = {(x, y, z) : (A − 1I3)(x, y, z)t = (0, 0, 0)t}.Solución:βT = {(1, 1, 1)}.

d) Justifica si la matriz A es diagonalizable y caso de serlo da la matriz diagonal y de paso.Solución:La matriz es diagonalizable porque dim V7 = dim VS = m(7) = 2 y dim V1 = dim VT =m(1) = 2

e) Sean las bases β = {u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 0, 0)} y β′ = {v1, v2, v3}. Sesabe que Mββ′ = A y se pide que des las coordenadas de los vectores de β′ respecto dela base canónica.

D DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES 20

Solución:Usando la definición de la matriz Mββ′ tenemos que:

v1 = (13, 6, 6)β = 13u1 + 6u2 + 6u3 = (25, 19, 13)

v2 = (− 6, 1, − 6)β = (− 11, − 5, − 6)

v3 = (− 6, − 6, 1)β = (− 11, − 12, − 6)

74. Dada la matriz A =

15 − 7 − 77 1 − 77 − 7 1

se pide responder a las siguientes preguntas:

a) Calcula el polinomio característico de A y sus raíces dando las multiplicidades.Solución:pA(x) = (x− 8)2(x− 1), m(8) = 2 m(1) = 1.

b) Calcula una base del espacio vectorial S = {(x, y, z) : (A − 8I3)(x, y, z)t = (0, 0, 0)t}.Solución:βS = {(1, 1, 0), (1, 0, 1)}.

c) Calcula una base del espacio vectorial T = {(x, y, z) : (A − 1I3)(x, y, z)t = (0, 0, 0)t}.Solución:βT = {(1, 1, 1)}.

d) Justifica si la matriz A es diagonalizable y caso de serlo da la matriz diagonal y de paso.Solución:La matriz es diagonalizable porque dim V8 = dim VS = m(8) = 2 y dim V1 = dim VT =m(1) = 2

e) Sean las bases β = {u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 0, 0)} y β′ = {v1, v2, v3}. Sesabe que Mββ′ = A y se pide que des las coordenadas de los vectores de β′ respecto dela base canónica.Solución:Usando la definición de la matriz Mββ′ tenemos que:

v1 = (15, 7, 7)β = 15u1 + 7u2 + 7u3 = (29, 22, 15)

v2 = (− 7, 1, − 7)β = (− 13, − 6, − 7)

v3 = (− 7, − 7, 1)β = (− 13, − 14, − 7)

75. Dada la matriz A =

17 − 8 − 88 1 − 88 − 8 1

se pide responder a las siguientes preguntas:

a) Calcula el polinomio característico de A y sus raíces dando las multiplicidades.Solución:pA(x) = (x− 9)2(x− 1), m(9) = 2 m(1) = 1.

b) Calcula una base del espacio vectorial S = {(x, y, z) : (A − 9I3)(x, y, z)t = (0, 0, 0)t}.Solución:βS = {(1, 1, 0), (1, 0, 1)}.

c) Calcula una base del espacio vectorial T = {(x, y, z) : (A − 1I3)(x, y, z)t = (0, 0, 0)t}.Solución:βT = {(1, 1, 1)}.

D DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES 21

d) Justifica si la matriz A es diagonalizable y caso de serlo da la matriz diagonal y de paso.Solución:La matriz es diagonalizable porque dim V9 = dim VS = m(9) = 2 y dim V1 = dim VT =m(1) = 2

e) Sean las bases β = {u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 0, 0)} y β′ = {v1, v2, v3}. Sesabe que Mββ′ = A y se pide que des las coordenadas de los vectores de β′ respecto dela base canónica.Solución:Usando la definición de la matriz Mββ′ tenemos que:

v1 = (17, 8, 8)β = 17u1 + 8u2 + 8u3 = (33, 25, 17)

v2 = (− 8, 1, − 8)β = (− 15, − 7, − 8)

v3 = (− 8, − 8, 1)β = (− 15, − 16, − 8)

76. Dada la matriz A =

19 − 9 − 99 1 − 99 − 9 1

se pide responder a las siguientes preguntas:

a) Calcula el polinomio característico de A y sus raíces dando las multiplicidades.Solución:pA(x) = (x− 10)2(x− 1), m(10) = 2 m(1) = 1.

b) Calcula una base del espacio vectorial S = {(x, y, z) : (A − 10I3)(x, y, z)t = (0, 0, 0)t}.Solución:βS = {(1, 1, 0), (1, 0, 1)}.

c) Calcula una base del espacio vectorial T = {(x, y, z) : (A − 1I3)(x, y, z)t = (0, 0, 0)t}.Solución:βT = {(1, 1, 1)}.

d) Justifica si la matriz A es diagonalizable y caso de serlo da la matriz diagonal y de paso.Solución:La matriz es diagonalizable porque dim V10 = dim VS = m(10) = 2 y dim V1 =dim VT = m(1) = 2

e) Sean las bases β = {u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 0, 0)} y β′ = {v1, v2, v3}. Sesabe que Mββ′ = A y se pide que des las coordenadas de los vectores de β′ respecto dela base canónica.Solución:Usando la definición de la matriz Mββ′ tenemos que:

v1 = (19, 9, 9)β = 19u1 + 9u2 + 9u3 = (37, 28, 19)

v2 = (− 9, 1, − 9)β = (− 17, − 8, − 9)

v3 = (− 9, − 9, 1)β = (− 17, − 18, − 9)

77. Dada la matriz A =

4 − 1 − 11 2 − 11 − 1 2

se pide responder a las siguientes preguntas:

a) Calcula el polinomio característico de A y sus raíces dando las multiplicidades.Solución:pA(x) = (x− 3)2(x− 2), m(3) = 2 m(2) = 1.

D DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES 22

b) Calcula una base del espacio vectorial S = {(x, y, z) : (A − 3I3)(x, y, z)t = (0, 0, 0)t}.Solución:βS = {(1, 1, 0), (1, 0, 1)}.

c) Calcula una base del espacio vectorial T = {(x, y, z) : (A − 2I3)(x, y, z)t = (0, 0, 0)t}.Solución:βT = {(1, 1, 1)}.

d) Justifica si la matriz A es diagonalizable y caso de serlo da la matriz diagonal y de paso.Solución:La matriz es diagonalizable porque dim V3 = dim VS = m(3) = 2 y dim V2 = dim VT =m(2) = 2

e) Sean las bases β = {u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 0, 0)} y β′ = {v1, v2, v3}. Sesabe que Mββ′ = A y se pide que des las coordenadas de los vectores de β′ respecto dela base canónica.Solución:Usando la definición de la matriz Mββ′ tenemos que:

v1 = (4, 1, 1)β = 4u1 + 1u2 + 1u3 = (6, 5, 4)

v2 = (− 1, 2, − 1)β = (0, 1, − 1)

v3 = (− 1, − 1, 2)β = (0, − 2, − 1)

78. Dada la matriz A =

6 − 2 − 22 2 − 22 − 2 2

se pide responder a las siguientes preguntas:

a) Calcula el polinomio característico de A y sus raíces dando las multiplicidades.Solución:pA(x) = (x− 4)2(x− 2), m(4) = 2 m(2) = 1.

b) Calcula una base del espacio vectorial S = {(x, y, z) : (A − 4I3)(x, y, z)t = (0, 0, 0)t}.Solución:βS = {(1, 1, 0), (1, 0, 1)}.

c) Calcula una base del espacio vectorial T = {(x, y, z) : (A − 2I3)(x, y, z)t = (0, 0, 0)t}.Solución:βT = {(1, 1, 1)}.

d) Justifica si la matriz A es diagonalizable y caso de serlo da la matriz diagonal y de paso.Solución:La matriz es diagonalizable porque dim V4 = dim VS = m(4) = 2 y dim V2 = dim VT =m(2) = 2

e) Sean las bases β = {u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 0, 0)} y β′ = {v1, v2, v3}. Sesabe que Mββ′ = A y se pide que des las coordenadas de los vectores de β′ respecto dela base canónica.Solución:Usando la definición de la matriz Mββ′ tenemos que:

v1 = (6, 2, 2)β = 6u1 + 2u2 + 2u3 = (10, 8, 6)

v2 = (− 2, 2, − 2)β = (− 2, 0, − 2)

v3 = (− 2, − 2, 2)β = (− 2, − 4, − 2)

D DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES 23

79. Dada la matriz A =

8 − 3 − 33 2 − 33 − 3 2

se pide responder a las siguientes preguntas:

a) Calcula el polinomio característico de A y sus raíces dando las multiplicidades.Solución:pA(x) = (x− 5)2(x− 2), m(5) = 2 m(2) = 1.

b) Calcula una base del espacio vectorial S = {(x, y, z) : (A − 5I3)(x, y, z)t = (0, 0, 0)t}.Solución:βS = {(1, 1, 0), (1, 0, 1)}.

c) Calcula una base del espacio vectorial T = {(x, y, z) : (A − 2I3)(x, y, z)t = (0, 0, 0)t}.Solución:βT = {(1, 1, 1)}.

d) Justifica si la matriz A es diagonalizable y caso de serlo da la matriz diagonal y de paso.Solución:La matriz es diagonalizable porque dim V5 = dim VS = m(5) = 2 y dim V2 = dim VT =m(2) = 2

e) Sean las bases β = {u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 0, 0)} y β′ = {v1, v2, v3}. Sesabe que Mββ′ = A y se pide que des las coordenadas de los vectores de β′ respecto dela base canónica.Solución:Usando la definición de la matriz Mββ′ tenemos que:

v1 = (8, 3, 3)β = 8u1 + 3u2 + 3u3 = (14, 11, 8)

v2 = (− 3, 2, − 3)β = (− 4, − 1, − 3)

v3 = (− 3, − 3, 2)β = (− 4, − 6, − 3)

80. Dada la matriz A =

10 − 4 − 44 2 − 44 − 4 2

se pide responder a las siguientes preguntas:

a) Calcula el polinomio característico de A y sus raíces dando las multiplicidades.Solución:pA(x) = (x− 6)2(x− 2), m(6) = 2 m(2) = 1.

b) Calcula una base del espacio vectorial S = {(x, y, z) : (A − 6I3)(x, y, z)t = (0, 0, 0)t}.Solución:βS = {(1, 1, 0), (1, 0, 1)}.

c) Calcula una base del espacio vectorial T = {(x, y, z) : (A − 2I3)(x, y, z)t = (0, 0, 0)t}.Solución:βT = {(1, 1, 1)}.

d) Justifica si la matriz A es diagonalizable y caso de serlo da la matriz diagonal y de paso.Solución:La matriz es diagonalizable porque dim V6 = dim VS = m(6) = 2 y dim V2 = dim VT =m(2) = 2

e) Sean las bases β = {u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 0, 0)} y β′ = {v1, v2, v3}. Sesabe que Mββ′ = A y se pide que des las coordenadas de los vectores de β′ respecto dela base canónica.

D DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES 24

Solución:Usando la definición de la matriz Mββ′ tenemos que:

v1 = (10, 4, 4)β = 10u1 + 4u2 + 4u3 = (18, 14, 10)

v2 = (− 4, 2, − 4)β = (− 6, − 2, − 4)

v3 = (− 4, − 4, 2)β = (− 6, − 8, − 4)