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8/6/2019 ejercicos resueltos LIMITES
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2.4. EJERCICIOS RESUELTOS
2.4.1. Sobre lmites de funciones:
1. Usando la definicin de lmite de una funcin , prubese que: 6)39(5
=
xLimx
Solucin:
Sea un nmero positivo cualquiera dado. Se debe hallar un tal que:0> ( ) ( )
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fig. 2.9.
2. Usando la definicin del lmite de una funcin, demustrese que:
31
12 2
1=
x
xxLimx
Solucin:
Anlisis preliminar.
Sea un nmero positivo cualquiera dado. Se debe hallar un tal que:0>
Si
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Comparando la desigualdad del lado izquierdo de (1) con la desigualdad (2), se puede
escoger2
= (cualquier valor menor funciona).
Prueba formal.
Dado , existe0> 02
>=
, tal que,
1110
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fig. 2.10.
3. Considrese la funcin definida por , con . Evalese:nxxf =)( Nn
h
fhfLimh
)2()2(0
+
Solucin:
h
hLim
h
fhfLim
nn
hh
2)2()2()2(00
+=
+
(1)
Si se intentase evaluar directamente el ltimo lmite, se obtendra( )
0
0
0
202=
+ nn
(indeterminado).
Se puede eliminar la indeterminacin, factorizando el numerador de la fraccin (1):
[ ][ ]h
hhhhLim
h
hLim
nnnn
h
nn
h
12321
00
2...2)2(2)2()2(2)2(2)2(
++++++++=
+
[ ]h
hhhhLim
nnnn
h
12321
0
2...2)2(2)2()2(
+++++++=
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444444444 3444444444 21
trminosn
nnnn
hhhhLim
+++++++= 12321
02...2)2(2)2()2(
4444 34444 21
terminosn
nnnn
++++= 1111 2...222
12 = nn
4. Evaluar:2
44
x
xLimx
Solucin:
Si se aplica directamente el lmite de un cociente, se llega a la forma indeterminada0
0.
Se puede eliminar la indeterminacin, racionalizando el denominador y simplificando.As:
( )( )( )22
2)4(
2
444 +
+=
xx
xxLim
x
xLim
xx
( )
( ) 22
4 2
2)4(
+=
x
xxLimx
) ( ) 42424
2)4(44
=+=+=
+=
xLim
x
xxLim
xx
5. Evalese:22
3124
+ x
xLimx
Solucin:
Al sustituir directamente x por 4, se llega a la forma indeterminada0
0. Para
tratar de eliminar la indeterminacin, se multiplican numerador y denominador de lafraccin por la expresin conjugada del denominador. Asi:
( )( )( )( )2222
22312
22
31244 +
++=
+ xx
xxLim
x
xLim
xx
( )( )2)2(
223124
++= x
xxLimx
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( )( )
4
223124
++=
x
xxLimx
Al sustituir nuevamente x por 4, en la ltima expresin, contina la
indeterminacin00 . Para eliminarla, se multiplica numerador y denominador de la
ltima fraccin por ( )312 ++x .
Luego,
( )( )( )( )( )3124
31222312
22
31244 ++
++++=
+ xx
xxxLim
x
xLim
xx
[ ]( )( )( )312422912
4 ++++=
xxxxLim
x
( )( )( )( )3124
22424 ++
+=
xx
xxLimx
( )3
22
6
24
312
2224
==++
+=
x
xLimx
6. a. sese el teorema del snduche para demostrar que si t est expresado enradianes, entonces:
1sen
0=
t
tLimt
.
b. Demustrese que: 0
cos10 =
t
t
Limt
Solucin:
a. Considrese el crculo centrado en el origen y radio 1 que aparece en la figura2.11. y en el cual se han trazado: El sector circular OBC, el tringulo rectnguloOBP y el sector circular OAP.
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fig. 2.11.
Ntese que:22
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( ) ttttt2
1sencos
2
1cos
2
1 2 =tt
tt , la ltima desigualdad puede escribirse
asi:
tt
tt
cos
1sen
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b.x
xtanLimx sen
20
c.x
xxLimx
3sen5sen0
d.ax
axLimx
sensen0
Solucin:
a. Antes de evaluar el lmite, el cocientex
x
sensen
puede transformarse asi:
==
x
xx
x
xx
xxx
x
x
x
sen
1sensen
1sensensen
De esta forma:
=
x
xx
xLim
x
xLim
xx
sen
1sensensen
00
=
x
xx
xLimx
sen
1sen0
(lgebra de lmites).
Ahora, decir que es equivalente a decir que y que0x 0x 0x
Por tanto, .100 == xxsen
Limx
xsenLim xx
Tambin, .100
== x
xsenLim
x
xsenLim
xx
Luego, .11
10
== xsen
xsenLimx
b. El lmite es indeterminado, de la forma 00 .
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Pero,x
x
xx
xx
xx
x
x
xtan
2cos
cos2
sen2cos
cossen2
sen2cos
2sen
sen
2=
=
= .
Luego, 21
1.2
0cos
0cos2
2cos
cos2
sen
200 ==== x
x
Limx
xtan
Lim xx .
c. Antes de evaluar el lmite, se transforma la fraccinx
xx 3sen5sen , as:
x
xxx
x
xx 3sen)23sen(3sen5sen +=
x
xxxxx 3sen3cos.2sen2cos.3sen +
=
x
xx
x
xx )2cos1(3sen3cos.2sen =
=x
xxx
x
x
32cos1
3sen33cos.2
2sen2
( )xx
xx
x
x2cos1
3
3sen33cos.
2
2sen2
=
( )
=
x
x
xx
x
xLim
x
xxLim
xx2cos1
3
3sen33cos
2
2sen2
3sen5sen00
Pero,
( ) 02cos1,,33
sen;13cos;12
2sen0000
====
xLimyAy
xLimxLim
x
xLim
xxxx
Luego, 2020..31.1.235
0===
Ax
xsenxsenLimx
d. Ntese que al sustituir directamente x por a, resulta la indeterminacin0
0.
Para eliminar la indeterminacin, se hace un cambio de variable y despus se simplificala fraccin resultante.
Sea . Es claro que si y slo si .axy = ax 0y
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Ahora bien, con esta sustitucin:
y
aay
ax
ax sen)sen(sensen +=
y
ayaay sencos.sencos.sen +=
y
yaay )cos1.(sencos.sen =
y
ya
y
ay )cos1.(sencos.sen =
=
y
ya
y
ya
cos1sen
sencos .
Luego,
=
y
ya
y
yaLim
ax
axLim
yax
cos1sen
sencos
sensen0
.( ) ( ) aaa cos0.sen1.cos ==
8. Encuntrese el valor del siguiente lmite, o establezca que no existe:
1,1
11
xx
xLimx
.
Solucin:
De acuerdo con la definicin de valor absoluto, se tiene:
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( )( )
1,111
1
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Encuntrense los valores de las constantes a y b para que: y
existan.
)(2
xfLimx
)(2
xfLimx
Solucin:
El siguiente diagrama recoge la informacin obtenida de f.
2)( xxf =2)( = xxf
baxxf +=)(5
)(2 xfLimx existe y existen )(2 xfLimx + )(2 xfLimx
y adems: )()(22
xfLimxfLimxx +
=
Pero, (1).babaxLimxfLim
xx+=+=
++ 2)()(
22
(2).4)()( 222
== xLimxfLim
xx
Para que el lmite de en exista, es preciso que: (3).)(xf 2 42 =+ ba
Igualmente,
)(2
xfLimx
existe y existen )(2
xfLimx +
)(2
xfLimx
y adems: )()(
22xfLimxfLim
xx + =
Pero, (4).1)52()( 22 == ++ xLimxfLim xx
(5).babaxLimxfLimxx
+=+=
2)()(22
De (4) y (5) se sigue que (6).12 =+ ba
Resolviendo simultneamente las ecuaciones (3) y (6) se obtiene:4
5=a y
2
3=b .
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Con estos valores, la funcin f se transforma en: