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“EL CONOCIMIENTO SOBRE FRACCIONES EQUIVALENTES
EN DIFERENTES CONTEXTOS DE ALUMNOS DE CUARTO A
SEXTO GRADOS DE EDUCACIÓN PRIMARIA”
2
ÍNDICE
Introducción….………………………………………………………………..…..... 3 1. CAPÍTULO 1…………………….……………..………………………………. 5
1.1. Planteamiento del problema y justificación…………………...…………. 5 1.1.1. El desempeño matemático en el alumnado mexicano……………… 5 1.1.2. Los resultados en matemáticas en la prueba ENLACE………...….. 11 1.1.3. El tema de fracciones en la educación primaria….……………........ 14 1.1.4. Las fracciones en la prueba EXCALE……………………………...... 16
1.2. Objetivos…….…...……………………………………………………...... 23 2. CAPÍTULO II…………………………………………………………………… 24
2.1. Las matemáticas en el Plan y programas de Estudio 1993…………… 24 2.2. Las fracciones en el Plan y programas de Estudio 1993……................ 26 2.3. Revisión de la literatura……………………………………………………. 33 2.4. Los errores en la equivalencia de fracciones……………………………. 36
3. CAPÍTULO III…………………………………………………………………… 39
3.1. Diseño del instrumento piloto……………………………………………… 39 3.2. Muestra y aplicación del instrumento piloto……………………………… 40 3.3. Diseño del instrumento definitivo…………………………………………. 45 3.4. Protocolo de entrevista…………………………………………………….. 49
4. CAPÍTULO IV…………………………………………………………………... 52
4.1. Esquemas y análisis de los contenidos de las lecciones de fracciones equivalentes desde tercero hasta sexto de primaria…………………….
52
4.2. Desempeño general de los estudiantes en el examen…………………. 66 4.3. Desempeño por bloques y por grado…………………………………….. 78 4.4. Taxonomía de errores……………………………………………………… 94 4.5. Resultados de errores de la muestra total y por grado…………………. 102
5. CONCLUSIONES……………………………………………………………… 116 6. RECOMENDACIONES………………………………………………………... 124 7. BIBLIOGRAFÍA…………………………………………………………………. 125 8. ANEXOS………………………………………………………………………… 127
8.1. Anexo 1 (apéndices y tablas descriptivas de las lecciones de fracciones por grado)…………………………………...…………………...
127
8.2. Anexo 2 (examen piloto)………………..………………………………….. 149 8.3. Anexo 3 (examen definitivo)…………….………………………………… 154 8.4. Anexo 4 (entrevistas)……………………………………………………….. 162
3
INTRODUCCIÓN
El aprendizaje de las matemáticas sin duda siempre ha representado un
problema para los estudiantes. Uno de los contenidos de mayor dificultad es el
tema de fracciones, obedece a que los alumnos deben aprender a emplearlos
en diferentes contextos, a reconocer sus distintas representaciones, y
significados y formas de operar.
En México se han realizado desde hace varios años pruebas para indagar cuál
es el conocimiento en matemáticas de los alumnos de los diferentes niveles
educativos, y estas pruebas incluyen al tema de las fracciones equivalentes
pero los resultados que arrojan este tipo de pruebas proporcionan información
muy general acerca de lo que conocen los alumnos en relación a este tema. En
este trabajo pretendemos aportar mayores elementos para poder conocer en
qué medida los alumnos se han apropiado del concepto de equivalencia de
fracciones.
La tesis se ha dividido en cuatro capítulos y un apartado de conclusiones y
recomendaciones. En el primer capítulo se presenta el planteamiento del
problema, justificación y objetivos de este trabajo. Para respaldar nuestra
justificación nos apoyamos en los resultados que ha obtenido el alumnado
mexicano en las distintas pruebas que se les ha aplicado para detectar cuál es
su desempeño en matemáticas en general y en particular a fracciones
equivalentes.
En el capítulo dos, A partir de la revisión de los programas de estudios de
matemáticas de 1993 de educación primaria, se hace referencia a los
contenidos de los libros de texto en relación al tema de fracciones. También se
incluyen los resultados de la revisión de la literatura concerniente a las diversas
dificultades de los alumnos en el tema de la equivalencia de fracciones. Al final
se incluye la tipología de errores que se utilizó en el análisis de las respuestas
al instrumento aplicado.
En el tercer capítulo se expone en primer lugar cómo se analizaron los libros de
texto y cómo se elaboraron los esquemas relativos al tratamiento de la
4
equivalencia de fracciones, se presenta la prueba piloto, sus modificaciones
para la elaboración del examen definitivo y el protocolo de entrevista.
En el capítulo cuatro se presentan los resultados obtenidos del análisis de
programas de estudio y libros de texto, de lo anterior se derivaron los
esquemas de como se ha tratado el tema de la equivalencia en la primaria, a
continuación se muestra el desempeño de los estudiantes de primaria por
grado a partir de las respuestas al instrumento aplicado y de las entrevistas
realizadas a un grupo de alumnos. También se presentan los errores que
cometen y se ubican en los tipos de acuerdo a la clasificación propuesta.
Después del capítulo cuatro se enuncian las conclusiones a las que se arribó
así como las recomendaciones que se derivan del trabajo realizado.
Y finalmente se incluyen cuatro anexos, en el primero se presentan todas las
lecciones concernientes al tema de fracciones incluidas en los libros de texto
de primaria desde tercer grado hasta sexto grado, en el segundo anexo el
examen piloto, en el tercer anexo se incluye el examen definitivo y en el cuarto
las transcripciones de las entrevistas con los alumnos.
5
CAPÍTULO I
Planteamiento del problema y justificación
En este primer capítulo exponemos algunos aspectos del desempeño en
matemáticas de los alumnos mexicanos.
Mostramos los resultados de la prueba PISA específicamente de los alumnos
mexicanos que concluyeron la secundaria. Así como los resultados de la
prueba ENLACE en el nivel básico.
En el segundo apartado se muestran las deficiencias de los alumnos en la
equivalencia de fracciones, tema central de esta tesis, y los resultados que
tuvieron los alumnos de nivel básico en dicha temática en las pruebas de
EXCALE 2005 y 2007. De lo anterior se desprende la necesidad de realizar
diversas investigaciones. Indicando al final los objetivos que se pretenden
alcanzar.
El desempeño matemático en el alumnado mexicano (PISA) Las mediciones nacionales e internacionales coinciden en que las matemáticas
es una de las áreas más problemáticas y ponen de manifiesto el bajo
rendimiento de los alumnos.
Dentro de las dificultades de aprendizaje más recurrentes se encuentran las
referidas al dominio de los números, por ejemplo, la falta de habilidad para
representar visual o simbólicamente o codificar numéricamente la información;
también se ha podido establecer que las principales dificultades en resolución
de problemas se encuentran asociadas a las habilidades lingüísticas como la
comprensión de términos, conceptos y formas de comunicar el contenido. La
alta frecuencia de errores procedimentales está relacionada con el desarrollo
adecuado de los procesos perceptivos, como las dificultades en la lectura de
símbolos numéricos o signos.
El aprendizaje de las matemáticas es un área prioritaria dentro del currículum
dado que tal aprendizaje constituye un medio de comunicación que sirve para
representar, interpretar, explicar y predecir; la matemática es más que
destrezas y conceptos, ello conlleva investigación, razonamiento,
6
comunicación, conocimiento del contexto y desarrollo de la confianza en sí
mismo.
El Programa Internacional de Evaluación de los Estudiantes (mejor conocido
como PISA por sus siglas en inglés) a partir del año 2000 ha evaluado cada
tres años a la población de jóvenes de diversos países del mundo de entre 15
años 3 meses y 16 años 2 meses de edad que están inscritos en un sistema
educativo y que no tienen un rezago escolar importante (más de dos años). A
continuación se presenta una tabla que presenta el ciclo, la muestra y el
número de escuelas de las pruebas de PISA que se han realizado en México:
Tabla I-1
(Tomada de: (www.inee.edu.mx)
La tabla muestra que en el ciclo 2000 tuvo una diferencia sustancial respecto al
tamaño de las muestras de los ciclos 2006 y 2009.
Según el puntaje obtenido, a cada estudiante se le ubicó en uno de siete
niveles de desempeño matemático, donde el Nivel 0 es el más bajo (menos de
358 puntos) y el Nivel 6, el más alto (más de 668 puntos).
Esta prueba se hace para evaluar distintas materias, “El PISA no está
“alineado” a un currículo determinado, porque no está destinado a valorar el
grado en que los estudiantes dominan los contenidos prescritos en algún plan
de estudios. “La prueba PISA lo que estima con los resultados obtenidos son
las probabilidades de que los jóvenes desempeñen en el futuro alguna
ocupación que exija a los trabajadores una preparación académica con
determinado grado de complejidad (www.oecd.org/dataoecd/59/1/39732493.pdf).
A cada alumno se le asignó una puntuación de acuerdo con la dificultad de los
ítems que ha resuelto correctamente. La escala se ha elaborado de modo que,
Ciclo Escuelas Estudiantes
2000 183 5 276
2003 1 124 29 983
2006 1 140 33 706
2009 1 535 38 250
7
en 2003, la puntuación media de los países de la OCDE (Organización para la
Cooperación y Desarrollo Económico) es de 500 puntos, y aproximadamente
dos tercios de los estudiantes puntúan entre 400 y 600 puntos, es decir la
desviación típica es igual a 100 puntos.
Hay que tener en cuenta que una puntuación puede servir para describir tanto
el rendimiento del alumno como la dificultad de un reactivo. De este modo, se
espera que un estudiante con una puntuación de 650 pueda resolver una
pregunta de una dificultad de 650 y otras de dificultad menor.
Las puntuaciones del rendimiento y la dificultad de los ejercicios se han dividido
en seis niveles de competencia. Tal como se observa en la página siguiente,
cada uno de estos niveles se describe en términos de los procesos
matemáticos que pueden realizar los alumnos.
8
Tabla I-2
NIVELES DE LOGRO DE RENDIMIENTO EDUCATIVO
Nivel
6
668
puntos
Los alumnos saben formar conceptos, generalizar y utilizar la información
procedente de sus investigaciones y de los modelos que han creado al
enfrentarse a problemas. Pueden relacionar representaciones y diversas
fuentes de información y traducirlas entre ellas de una manera flexible. Los
alumnos de este nivel poseen un pensamiento y razonamiento matemáticos
avanzados. Dichos alumnos utilizan su entendimiento y comprensión junto
con el dominio de las relaciones y las operaciones matemáticas simbólicas
y formales para desarrollar nuevos enfoques y estrategias a la hora de tratar
situaciones inusitadas. En este nivel los alumnos pueden formular y
transmitir de manera precisa sus acciones y reflexiones relativas a sus
descubrimientos, interpretaciones, argumentos y su adecuación a las
situaciones originales.
Nivel
5
606
puntos
Los alumnos saben de desarrollar y trabajar con modelos en situaciones
complejas identificando los condicionantes y estableciendo suposiciones.
Son capaces de seleccionar, comparar y valorar estrategias de resolución
de problemas para tratar los problemas complejos relacionados con estos
modelos. Los alumnos de este nivel saben trabajar de una manera
estratégica utilizando destrezas de pensamiento y razonamiento bien
desarrolladas, representaciones relacionadas adecuadas, descripciones
gráficas y formales e intuiciones relativas a estas situaciones. Son capaces
de reflexionar sobre sus acciones y de formular y transmitir sus
interpretaciones y razonamientos.
Nivel
4
544
puntos
Los alumnos saben trabajar de una manera efectiva con modelos explícitos
en situaciones complejas y concretas que conllevan condicionantes y
exigen que se realicen suposiciones. Son capaces de seleccionar e integrar
diferentes representaciones, incluyendo las simbólicas, y relacionarlas
directamente con las características de las situaciones del mundo real. Los
alumnos de este nivel saben utilizar destrezas bien desarrolladas y razonar
de una manera flexible y con algo de perspicacia en estos contextos. Son
capaces de elaborar y transmitir sus explicaciones y argumentaciones
relativas a sus interpretaciones, argumentos y acciones.
Nivel
3
482
puntos
Los alumnos saben ejecutar claramente los procedimientos descritos,
incluidos aquellos que precisan decisiones consecutivas. Son capaces de
seleccionar y aplicar estrategias simples de resolución de problemas. Los
alumnos de este nivel pueden interpretan y utilizar representaciones de
diferentes fuentes de información y extraer conclusiones directas de ellas.
Son también capaces de desarrollar escritos breves exponiendo sus
interpretaciones, resultados y razonamientos.
Nivel
2
420
puntos
Los alumnos saben interpretar y reconocer situaciones en contextos que no
exigen más que una deducción directa. Son capaces de extraer la
información necesaria de una única fuente de información y utilizar un único
método de representación. Los alumnos de este nivel saben usar fórmulas,
procedimientos, convenciones y algoritmos elementales. Son capaces de
razonar de manera directa y de hacer una lectura literal de los resultados.
Nivel
1
358
puntos
Los alumnos saben responder a preguntas relativas a contextos habituales
en que está presente toda la información pertinente y las preguntas están
bien definidas. Son capaces de identificar la información y de realizar
procedimientos rutinarios siguiendo instrucciones directas en situaciones
explícitas. Pueden realizar acciones obvias y que se deduzcan de manera
inmediata del estímulo dado.
(http://www.matematicas.profes.net/especiales2.asp?id_contenido=44517)
9
En términos de los resultados obtenidos por los alumnos mexicanos en las
distintas pruebas de PISA, cabe aclarar que solo hablaremos de manera
concisa de los ciclos 2000, 2003 y 2009. En el ciclo 2000 el puntaje promedio
de la OCDE fue 500 puntos mientras que el de México fue de 387 lo que coloco
a México en el nivel 1.
Según Cortina (2006) la prueba PISA 2003 participaron los 40 países miembros
de la OCDE (España y México entre ellos), así como de 11 países
acompañantes (Uruguay y Brasil, entre ellos). México, por iniciativa de su
gobierno, tuvo la muestra más grande (29 983 alumnos, ver tabla I-1), lo que
permitió obtener no sólo resultados estadísticamente representativos del país,
sino también de cada estado de la federación y de cada modalidad educativa
de educación media y media superior. Los resultados globales de la prueba
PISA 2003 fueron dados a conocer en el documento Learning for Tomorrow’s
World: First Results from PISA 2003 (PISA-Internacional) y los específicos para
México en el documento Resultados de las pruebas PISA 2000 y 2003.
Los resultados presentados en el documento PISA-México denotan enormes
retos para el sistema educativo nacional. El puntaje promedio en matemáticas
del estudiantado fue de 386, lo que, de acuerdo con los criterios psicométricos
de la prueba PISA, equivale a una calificación de Nivel 1 (insuficiente) de
desempeño.
Este puntaje ubicó a México en el lugar 37 de los 40 países participantes; por
debajo de Turquía, Uruguay y Tailandia, por encima de Indonesia, Túnez y
Brasil, y en el último lugar de los países miembros de la OCDE.
De acuerdo a los criterios de la prueba PISA, los resultados sugieren que
alrededor de 65.9% del estudiantado mexicano representado en la muestra no
cuenta con las habilidades mínimas en matemáticas para insertarse en el
mercado laboral globalizado y tecnologizado ni para la participación ciudadana.
Y en el caso particular del D.F., los resultados del PISA muestran que el 41.7%
de los estudiantes de 15 años de edad no cuenta con los conocimientos y
habilidades matemáticas necesarias que demanda este mundo contemporáneo
(Vidal y Díaz, 2004; en Cortina, 2006).
10
Sin embargo, es pertinente aclarar que esta cifra, de por sí preocupante, no
refleja adecuadamente la dimensión de la deficiencia existente en la calidad de
la educación básica en matemáticas de México (de acuerdo con los criterios del
instrumento) documentada en PISA-México.
En matemáticas las escuelas privadas obtuvieron un resultado promedio a nivel
nacional de 430 puntos que supera los 375 puntos de las escuelas públicas.
Ahora bien enfocándonos en la prueba PISA 2009 y en específico en la
asignatura de matemáticas (Basurto, 2011) en este año el puntaje promedio
alcanzado por nuestro país fue de 419 puntos de rendimiento mientras que los
países miembros de la OCDE alcanzaron un puntaje promedio de 496.
En 2009 nuestro país se situó en el nivel 1 solo por un punto no alcanzo el nivel
2, y los países miembros de la OCDE se ubicaron en el nivel 3. Comparando
los puntajes promedio obtenidos por nuestro país y los miembros de la OCDE
en el PISA 2003 fueron de 386 y de 500 respectivamente. En este año México
se situó nuevamente en el nivel 1 y los miembros de la OCDE en el nivel 3. De
los resultados anteriores se deduce que los alumnos mexicanos en el PISA
2003 obtuvieron un puntaje promedio menor que en el 2009 y en los dos años
quedaron en un nivel inferior de desempeño con respecto a los países de la
OCDE.
En la siguiente tabla se presentan la media y los porcentajes por nivel de
rendimiento donde se ubicaron los alumnos mexicanos y de otros países.
11
Tabla I-3
(www.sep.gob.mx/work/models/sep1/Resource/1073/1/images/V5%200-PISA-INEE-
07DIC2010numA.pdf)
Como se puede observar la tabla muestra en términos de porcentajes el 79%
del alumnado mexicano se ubicó debajo del nivel 2, lo cual afirman los
documentos de PISA, es el mínimo de las competencias que son necesarias
para desempeñar adecuadamente los roles que en las sociedades
contemporáneas han sido asignados a la población adulta.
Lamentablemente estos datos confirman que la preparación de los jóvenes
mexicanos que concluyeron su educación secundaria es insatisfactoria.
Los resultados en matemáticas en la prueba ENLACE
A partir del año 2006 en México se ha venido aplicando una Evaluación de
Logro Académico de los Centros Escolares (ENLACE) en las primarias y
secundarias del país. La prueba de ENLACE está centrada en el conocimiento
porque evalúa el resultado del trabajo escolar contenido en los planes y
programas de estudio vigentes y sólo de algunos contenidos curriculares. Por
ello es que se puede afirmar que evalúa ciertos aprendizajes de los alumnos.
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Aquí solo mostraremos los resultados que obtuvieron los alumnos de primaria y
secundaria en las pruebas del 2006,2008 y 2010.
Cabe mencionar que estas pruebas se llevaron a cabo unos pocos meses
antes de que los alumnos terminaran el ciclo escolar y los resultados fueron
publicados una vez que ellos habían pasado al siguiente ciclo escolar.
A los estudiantes se les evaluó en relación a cuatro niveles de logro los cuales
se describirán en seguida en la tabla I-2 y en las tablas I-3 y I-4 se encuentran
los resultados globales en la asignatura de matemáticas de los alumnos
evaluados en las primarias y secundarias del país.
Tabla I-4
(www.edomexico.gob.mx/evaluacioneducativa/ENLACE_2010/TEOLOYUCAN.PDF)
Tabla I-5. Distribución porcentual de los estudiantes entre los diferentes
niveles de logro en la asignatura de matemáticas en primaria.
Resultados globales de primaria en Matemáticas
Nivel de logro 2006 2008 2010
Insuficiente 21.0 % 22.8 % 19.7 %
Elemental 61.4 % 49.5 % 46.4 %
Bueno 16.0 % 23.0 % 25.8 %
Excelente 1.6 % 4.7 % 8.1 %
Tomada de MUÑOZ, Carlos. (2010), p. 9
13
En la tabla I-5 se puede apreciar que en el 2006, el 82.4% de la población de
niños se encontraba en los niveles inferiores (“insuficiente” y “elemental”) en el
año 2008 fue el 72.3% y en el 2010 fue de 66.1% es decir hubo una leve
mejora, pero la realidad es que la mayor parte de los alumnos mexicanos se
ubica en estos niveles lo cual evidencia la ineficiencia del sistema educativo.
En los niveles bueno y excelente también se dio una ligera mejora.
Tabla I-6. Distribución porcentual de los estudiantes entre los diferentes
niveles de logro en la asignatura de matemáticas en secundaria.
Resultados globales de secundaria en Matemáticas
Nivel de logro 2006 2008 2010
Insuficiente 61.1% 41.5% 52.6%
Elemental 34.7% 50.7% 34.7%
Bueno 3.8% 6.8% 10.5%
Excelente 0.4% 1.0% 2.2%
Tomada de MUÑOZ, Carlos. (2010), p. 10
Como se puede observar en la tabla I-6, en la prueba ENLACE del 2006 y 2008
más del 90% de los alumnos de secundaria se situaron en el nivel elemental e
insuficiente y en 2010 un poco menos del 90% de los alumnos se situó en
estos niveles y puede verse que los porcentajes de los niveles bueno y
excelente aumentaron un poco con respecto a los años anteriores.
Con frecuencia han aparecido en la prensa varios cuestionamientos que ponen
en duda la utilidad de las pruebas ENLACE pues a pesar de que hay un exceso
de pruebas así como de dinero utilizado para llevarlas a cabo, en cada nueva
publicación de resultados de estas no hay un mejoramiento significativo en los
niveles de aprendizaje de los alumnos mexicanos. Entonces apoyando la
opinión de Andere (2010) la única verdad es que la Secretaría de Educación
Pública (SEP) de los únicos logros de los que puede ufanarse es de haber
dado al por mayor insumos y no resultados. Esto se evidencia en los
comunicados del presidente Calderón en los que presume de haber dado
14
estímulos económicos a 250,000 maestros, de la creación de 785
preparatorias, el haber implementado el programa de escuela segura, etc. Pero
ninguno de estos elementos del gran listado de logros de la administración de
Calderón se refiere a la calidad educativa, entendida como el aprendizaje de
los educandos y los docentes.
Y coincidimos con Andere (2010) cuando asevera que “Por supuesto hay que
medir y evaluar. La mejor forma de evaluar a los estudiantes en el aula; a los
maestros en la escuela. Ambos enfoques requieren por supuesto de un buen
maestro y un buen director. Nadie quiere maestros malos ni directores peores.”
El tema de fracciones en la educación primaria
Anteriormente se han aportado elementos sobre el desempeño en matemáticas
de los alumnos mexicanos en un nivel global pero ahora nos centraremos en
un tema particular que son las fracciones.
Diversos estudios llevados a cabo por investigadores y profesores con amplia
experiencia tales como: Fandiño (2011), Cardoso (2008) entre otros, han
estudiado los problemas de la enseñanza de las matemáticas en sus diferentes
temas y han encontrado que las fracciones son difíciles de enseñar y a su vez
de ser aprendidas por un gran número de estudiantes.
Ahora bien esto es preocupante ya que las fracciones no solo se utilizan en la
escuela sino que también forman parte de la vida cotidiana pues según
Cardoso (2008):“En la escuela estamos rodeados de información que las
implican y prácticamente todas las disciplinas académicas involucran este
concepto; por ejemplo las ingenierías, la biología, la medicina, la arquitectura y
la pedagogía, entre otras.”
La investigación en educación matemática ha reconocido al concepto de
fracción como la llave para el desarrollo del pensamiento proporcional y, por lo
tanto, necesario para el desarrollo de muchas competencias propias de la
educación secundaria y media superior. Dentro de las matemáticas, las
fracciones están vinculadas con conceptos como: porcentaje, frecuencia
relativa, numero decimal, probabilidad y razón. Muchos de estos conceptos
también son parte de las ciencias naturales y ciencias sociales.
15
Debido a la gran relevancia que tienen las fracciones, tanto en las asignaturas
de la educación secundaria y niveles posteriores como en la vida cotidiana, es
importante que los alumnos desarrollen una buena comprensión sobre este
concepto. El hacerlo les permitirá tener un mejor acceso a los conocimientos
que deberán obtener al continuar con sus estudios y, sobre todo, para entender
aspectos de la vida cotidiana que involucren al concepto de fracción y a las
otras nociones que están estrechamente relacionadas con este concepto.
De lo anterior surge nuestro interés para indagar que comprensión poseen los
alumnos de educación básica sobre el tema fracciones equivalentes, así como
detectar las dificultades para su comprensión.
En el 2008, Cardoso llevó a cabo un trabajo de investigación, la muestra
estudiada fue de 291 niños de sexto de primaria a los cuales les aplicó un
cuestionario basado en fracciones mixtas, impropias y equivalentes.
En este trabajo se incluye un ejercicio relacionado con la equivalencia de
fracciones, el cual consiste en mostrarles a los alumnos 6 pares de fracciones
los cuales tenían que comparar y determinar si cada fracción era mayor, menor
o igual a 1/2 u otra fracción. El otro reactivo consistía en decidir si 1/2 y 2/4
eran o no fracciones equivalentes. A continuación se presentan los 6 reactivos:
De la muestra de 291 niños, se descartaron 51 ya que estos alumnos son los
que contestaron correctamente más del 90% del examen. Entonces el cálculo
de los porcentajes siguientes se hizo tomando en cuenta solo a 240 alumnos.
Solo un 23% supo que 2/4 y 5/10 eran equivalentes al medio. Después un 16%
pudo identificar como equivalente a las fracciones 1/2 y 2/4.
16
Las fracciones en las pruebas de EXCALE
A lo largo de varios años se ha aplicado a nivel nacional una prueba llamada
EXCALE (Examen para la Calidad y Logro educativo) que se encarga de
evaluar el conocimiento en distintas materias (Español, matemáticas, Ciencias
naturales y sociales) a los alumnos de Educación Básica (Preescolar, Primaria
y Secundaria).Nosotras enfocaremos nuestra atención específicamente a los
resultados que han obtenido los alumnos en el tema de fracciones
equivalentes.
Hasta el momento se han aplicado las pruebas EXCALE que aparecen en la
siguiente tabla.
Tabla I-7
Plan de Evaluación por grados y asignaturas escolares
http://www.inee.edu.mx/explorador/quesonExcale.php
Como se observa en la tabla I-7, a tercero de primaria estaba considerado
aplicarle una prueba en el 2006 y otra en el 2010, pero hasta el momento solo
se le ha aplicado y analizado la prueba del 2006.
En el año 2005 y 2009 se le aplicó y analizó la prueba a sexto. Y a tercero de
secundaria se le aplicó la prueba y analizó en el 2005 y 2008.
A continuación se muestra una tabla en la que aparecen los porcentajes de
aciertos de los alumnos a nivel nacional en las pruebas de EXCALE en el tema
de fracciones equivalentes, de tercero y sexto de primaria y tercero de
secundaria.
17
Tabla I-8
(www.inee.edu.mx/explorador/muestraDificultad.php)
Como se observa en la tabla I-8 en tercero de secundaria menos de una cuarta
parte de los alumnos identifican fracciones equivalentes, que es muy similar al
porcentaje de tercero de primaria.
En sexto grado poco menos de la mitad de los niños sabe identificar fracciones
equivalentes propias, impropias y equivalentes mayores a la unidad.
La mitad de los niños de tercero de primaria resuelven problemas que
impliquen el uso de estructuras aditivas equivalentes y en tercero de
secundaria menos de una cuarta parte saben resolver este mismo tipo de
problemas.
Reactivos muestra de las pruebas de EXCALE
Ahora se dan a conocer algunos de los ítems muestra que se incluyeron en los
exámenes de EXCALE en los distintos grados de la educación básica en
relación a la equivalencia de fracciones.
GRADO AÑO CONTENIDOS DE EQUIVALENCIA DE FRACCIONES PORCENTAJE DE
ACIERTOS A NIVEL NACIONAL
3º PRIM. 2006 Resolver problemas con números fraccionarios que impliquen el uso de estructuras aditivas equivalentes.
50%
Identificar la equivalencia de fracciones 24%
6º 2005 Identificar fracciones propias equivalentes 53%
Identificar fracciones equivalentes impropias 43%
6º 2009 Identificar fracciones equivalentes mayores a la unidad. 47%
Identificar fracciones comunes equivalentes. 56%
3º SEC. 2005 Identificar fracciones equivalentes 22%
Resolver problemas de conversión utilizando las fracciones equivalentes.
15%
2008 Identificar fracciones equivalentes 26%
Resolución de equivalencia de fracciones de hora expresadas con decimales a minutos.
15%
18
3º de primaria (2006)
1. Para llenar con agua una jarra de 1 litro, algunos niños utilizaron distintos recipientes y
propusieron algunas formas. ¿Quién de ellos se equivocó?
*A.
B.
C.
D.
(www.inee.edu.mx/explorador/muestraDificultad.php)
*Respuesta correcta
2. Tres amigos compraron plátanos, Daniela compró medio kilo, Luis dos cuartos de kilo y Pepe
cuatro octavos de kilo. ¿Quién compró menos cantidad de plátanos?
A. Todos compraron lo mismo * B. Daniela C. Pepe D. Luis *Respuesta correcta.
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6º primaria (2005)
1. Juanita y Ana hacen CADA UNA un pastel con los siguientes ingredientes y CANTIDADES
en kilogramos:
Ingredientes Juanita Ana
Harina 3/4 2/4
Azúcar 2/3 4/6
Mantequilla 4/6 4/3
Huevo 6/3 3/6
http://www.inee.edu.mx/explorador/muestraDificultad.php
¿De cuál ingrediente usaron la misma cantidad?
A. Azúcar* B. Harina C. Mantequilla D. Huevo * Respuesta correcta
3º secundaria (2005)
1. ¿Cuál de los siguientes números es equivalente de 117/468? A. 1/4* B. 3/4 C. 4 D.351/468 * Respuesta correcta
Arturo tardó 1.5 horas en hacer su tarea y Silvia tardó 1.2 horas.
¿Cuántos minutos más tardó Arturo que Silvia en terminar su tarea?
A) 30.00 minutos B) 18.00 minutos C) 0.30 minutos* D) 0.18 minutos
Respuesta correcta*
En las dos pruebas EXCALE -06 se evaluaron los contenidos que conforman el
plan y programas de estudios de la educación primaria de 1993 en la
asignatura de matemáticas. La muestra de estas dos pruebas fueron los
alumnos egresados de primaria del año 2005 y 2007.
En la tabla siguiente, se presentan la proporción de alumnos en porcentaje y
número, que respondieron correctamente los ítems correspondientes al
contenido de fracciones a nivel nacional, así como el nivel de logro y dificultad
20
al que pertenecen los ítems. La muestra del año 2005 fue de 47 858 alumnos y
la del 2007 fue de 11 999 alumnos.
Debe agregarse que la ubicación de los niveles de logro definidos con sus
respectivos puntos de corte es de 659 puntos para el nivel avanzado, de 547
puntos para el nivel Medio y de 407 puntos para el nivel Básico.
La tabla I-9 que se muestra a continuación fue tomada de la siguiente
página:http://www.inee.edu.mx/images/stories/Publicaciones/Reportes_investigacion/
Comparativo/Partes/comparativo10.pdf
21
Como se puede ver en la tabla I-9, los porcentajes más bajos corresponden al
nivel avanzado. Si se compara los porcentajes que corresponden al contenido
de fracciones mixtas (705) del estrato de la escuela Urbana Pública, se observa
que en el ciclo 2004-05 obtuvo un 26% y en el ciclo 2006-07 el porcentaje
descendió en un 3% lo cual es preocupante dado que las fracciones mixtas se
introducen desde el tercer grado de primaria.
En donde sí hay un logro significativo con respecto al nivel avanzado es en el
contenido “Comparar fracciones menores a la unidad” donde el porcentaje del
estrato Urbana Pública en el ciclo 2006-07 aumenta 5% en la escuela urbana
pública.
Nivel de
Logro Dificultad
CONTENIDO FRACCIONES
(22 ÍTEMS)
% Nacional
(47858) (11999) 2004-2005 2006-2007
% Urbana Pública
(21662) 3673) 2004 2005 2006-2007
A V A N Z A D O
718 Ordenar fracciones menores a la unidad. 25
(11964.5) 24
(2880) 26
(5632) 23
(845)
705 Comparación de fracciones mixtas. 28
(13400.2) 24
(2880) 28
(6065) 23
(845)
704 Resolver problemas que impliquen suma de fracciones.
26 (12443)
27 (3240)
27 (5849)
28 (1028)
691 Sumar dos fracciones con diferente denominador
30 (14357.4)
29 (3480)
31 (6715)
29 (1065)
675 Comparar fracciones menores a la unidad. 32
(15314.5) 34
(4080) 32
(6931) 37
(1359)
M E D I O
652 Resolver problemas de fracciones como razón. 36
(17229) 36
(4320) 37
(8015) 37
(1359)
648 Restar dos fracciones con diferente denominador.
37 (17707.4)
39 (4680)
38 (8231)
38 (1396)
613 Resolver problemas con una fracción como operador.
46 (22015)
47 (5639.5)
47 (10181)
47 (1726)
611 Identificar fracciones equivalentes mayores a la unidad.
43 (20579)
43 (5160)
46 (9964)
45 (1653)
599 Resolver problemas con fracciones como cociente
46 (22015)
51 (6119.4)
47 (10181)
53 (1947)
596 Identificar situaciones en las que existe una variación proporcional.
47 (22493.2)
48 (5760)
50 (10831)
50 (1836)
591 Resolver problemas que impliquen una resta de fracciones con diferente denominador.
47 (22493.2)
48 (5760)
48 (10398)
50 (1836)
581 Dividir un entero en tres partes. 51
(24407.5) 54
(6480) 53
(11481) 57
(2094)
579 Ubicar fracciones comunes en la recta numérica. 50
(23929) 56
(6719) 51
(11048) 57
(2094)
576 Sumar fracciones con el mismo denominador. 52
(24886.1) 55
(6599) 53
(11481) 56
(2057)
570 Resolver problemas que impliquen suma y resta de fracciones con diferente denominador.
52 (24886.1)
58 (5959)
54 (11698)
60 (2204)
B A S I C O
568 Resolver problemas que impliquen sumar fracciones con el mismo denominador.
53 (25365)
55 (6599)
56 (12132)
55 (2020)
567 Identificar fracciones comunes equivalentes. 53
(25365) 56
(6719) 55
(11914) 56
(2057)
563 Restar fracciones con el mismo denominador. 53
(25365) 50
(5999) 54
(11698) 51
(1873)
542 Resolver problemas que impliquen una resta de fracciones con el mismo denominador.
57 (27279)
54 (6479)
58 (12564)
53 (1047)
539 Comparar fracciones menores a la unidad con el mismo denominador.
57 (27279)
60 (7199)
58 (12564)
62 (2277)
450 Resolver problemas que impliquen una variación proporcional fraccionaria.
73 (34936.3)
74 (8879)
74 (16030)
76 (2791)
22
Lo que llama la atención en el nivel medio de logro es la gran diferencia de
porcentajes entre el contenido “Resta de fracciones con diferente denominador”
(en la escuela urbana pública en los dos ciclos lo responde acertadamente un
38%) y el ítem relacionado con el contenido de “Resolver problemas que
impliquen una resta de fracciones con diferente denominador”, (lo resuelve a
nivel nacional y en la escuela urbana pública entre un 48 a 50%) lo que
significa que la resolución del puro algoritmo de la resta de fracciones resulta
más difícil de resolver para los niños que cuando tal algoritmo está implícito en
un problema.
En cambio, en el nivel básico es evidente que en todos los ítems más del 50%
de los alumnos los responden correctamente pero aún así para la facilidad de
los ítems se esperaban mejores resultados. Conviene destacar que los
mayores porcentajes de acierto se obtienen en Resolución de Problemas de
variación proporcional.
Ahora bien nuestro tema de estudio son las fracciones equivalentes porque
estas permitirán a los niños comprender otros temas, así como la suma y resta
de fracciones, fracciones mixtas e identificación de números fraccionarios y
equivalentes en la recta numérica.
La tabla I-9 muestra como en el contenido “Resolver problemas que impliquen
suma de fracciones” a nivel nacional y en la escuela urbana pública el
porcentaje de aprovechamiento en ese ítem no pasa del 28% pues tan solo a
nivel nacional el ítem que tiene que ver con esa temática lo resuelve un 26% en
el ciclo 2005-06 y en el ciclo 2006-07 lo resuelve un 27% del total del
alumnado, es decir la gran mayoría no suma fracciones correctamente, hecho
que pudiera cambiar si los alumnos comprendieran las fracciones equivalentes.
Otro contenido en el que mostraron deficiencia los alumnos es el
correspondiente a la “Identificación de fracciones comunes equivalentes” y el
ítem que pertenece a ese contenido es considerado de dificultad básica, pero
como se observa en la tabla, alrededor de la mitad de los alumnos a nivel
nacional y en la escuela urbana pública, resuelve el ítem correctamente.
23
Y finalmente el ítem relacionado con el contenido de “Ubicar fracciones
comunes en la recta numérica,” a nivel nacional y en la escuela urbana pública
en los dos ciclos, apenas lo resuelve la mitad o un poco más de la mitad de los
estudiantes.
En resumen podemos decir que los ítems y los resultados que se encuentran
en las tablas I-8 y I-9, nos dan un panorama del bajo desempeño en fracciones
por parte del alumnado mexicano; sin embargo, tal información no proporciona
todos los reactivos con los que se evaluó, el tema de equivalencia de
fracciones, por ende no podemos saber qué dominio tienen en realidad los
alumnos con respecto a tal temática, es por esta razón que se consideró
pertinente realizar un trabajo indagatorio que abarca distintos contextos de la
equivalencia de fracciones con niños de 4º a 6º año de primaria. Este trabajo se
hizo tomando en cuenta los saberes concernientes a la equivalencia de
fracciones que están incluidos en el eje 1 “Los números y sus relaciones”
incluidos en los programas de estudio de la SEP.
Objetivo General:
Indagar que conocimientos tienen los alumnos de cuarto a sexto grado de
primaria en relación al tema de la equivalencia de fracciones.
Objetivos específicos:
Determinar el desempeño general de la muestra de los alumnos en el tema.
Determinar el desempeño por grado en los reactivos relacionados con la
equivalencia en diferentes contextos.
Detectar las dificultades que presentan los alumnos en tareas donde está
involucrada la equivalencia de fracciones así como los errores más
frecuentes en que incurren.
Realizar esquemas concernientes al tratamiento de la equivalencia de
fracciones en los libros de texto de matemáticas en nivel primaria.
24
CAPÍTULO II
Este capítulo consta de dos apartados, en el primero se aborda de manera
sucinta los programas de estudio de matemáticas correspondientes al Plan de
Estudio de 1993 de Educación Primaria, de sus propósitos así como de los
contenidos de los libros de texto en relación al tema de fracciones. En el
segundo apartado se hace la revisión de la literatura concerniente al estudio de
los errores en matemáticas y los aspectos de la equivalencia de fracciones en
los que los alumnos presentan dificultad.
Las matemáticas en el Plan y programas de estudio de 1993
En septiembre de 1993 entró en vigor un Plan y programa de estudio emitido
por la Secretaría de Educación Pública con la finalidad de mejorar la calidad de
la educación, atendiendo las necesidades básicas de aprendizaje de los niños
mexicanos.
Los planes y programas de estudio cumplen una función insustituible como
medio para organizar la enseñanza y para establecer un marco común del
trabajo en las escuelas de todo el país. Sin embargo, no se puede esperar que
una acción aislada tenga resultados apreciables si no está articulada con una
política general, que desde distintos ángulos contribuya a crear las condiciones
para mejorar la calidad de la educación primaria. La estrategia del gobierno
federal parte de este principio y, en consecuencia, se propone que la
reformulación de planes y programas de estudio sea parte de un programa
integral que incluye como acciones fundamentales:
La renovación de los libros de texto gratuitos y la producción de otros
materiales educativos, adoptando un procedimiento que estimule la
participación de los grupos de maestros y especialistas más calificados
de todo el país.
El apoyo a la labor del maestro y la revaloración de sus funciones, a
través de un programa permanente de actualización y de un sistema de
estímulos al desempeño y al mejoramiento profesional.
25
La ampliación del apoyo compensatorio a las regiones y escuelas que
enfrentan mayores rezagos y a los alumnos con riesgos más altos de
abandono escolar.
La federalización que traslada la dirección y operación de las escuelas
primarias a la autoridad estatal, bajo una normatividad nacional.
Nuestro tema, forma parte de la asignatura de matemáticas y en seguida
presentaremos de manera específica lo que los programas pretenden
desarrollar en esta materia:
La capacidad de utilizar las matemáticas como un instrumento para
reconocer, plantear y resolver problemas
La capacidad de anticipar y verificar resultados
La capacidad de comunicar e interpretar información matemática
La imaginación espacial
La habilidad para estimar resultados de cálculos y mediciones
La destreza en el uso de ciertos instrumentos de medición, dibujo y
cálculo
La reforma de 1993 establece que para elevar la calidad del aprendizaje es
indispensable que los alumnos se interesen y encuentren significado y
funcionalidad en el conocimiento matemático, que lo valoren y hagan de él un
instrumento que les ayude a reconocer, plantear y resolver problemas
presentados en diversos contextos de su interés.
(www.iea.gob.mx/webiea/sistema_educativo/planes/plan_primaria.pdf).
Organización general de los contenidos
La selección de contenidos de esta propuesta descansa en el conocimiento
sobre el desarrollo cognoscitivo del niño y sobre los procesos que sigue en la
adquisición y la construcción de conceptos matemáticos específicos. Los
contenidos incorporados al currículum se han articulado con base en seis ejes
temáticos a saber:
26
Los números, sus relaciones y sus operaciones
Medición
Geometría
Procesos de cambio
Tratamiento de la información
La predicción y el azar
El tema de nuestro trabajo –fracciones equivalentes- está dentro del eje 1 “Los
números, sus relaciones y sus operaciones” cuyo objetivo es que los alumnos,
a partir de los conocimientos con los que llegan a la escuela, comprendan el
significado de los números y de los símbolos que los representan y puedan
utilizarlos como herramientas para solucionar diversas situaciones
problemáticas. Dichas situaciones se plantean con el fin de promover en los
niños el desarrollo de una serie de actividades, reflexiones, estrategias y
discusiones, que les permitan la construcción de conocimientos nuevos o la
búsqueda de la solución a partir de los conocimientos que ya poseen.
Las operaciones son concebidas como instrumentos que permiten resolver
problemas; el significado y sentido que los niños puedan darles se deriva,
precisamente, de las situaciones que resuelven con ellas.
La resolución de problemas es entonces, a lo largo de la primaria, la directriz
de los programas. A partir de las acciones realizadas al resolver un problema
(agregar, unir, igualar, quitar, buscar un faltante, sumar repetidamente, repartir,
medir, etcétera) el niño construye los significados de las operaciones.
Las fracciones en el Plan y programas de estudio de 1993
Las fracciones es un tema difícil, tanto para quien enseña, como para aquel
que intenta aprender. Según Moreno (1994) en este terreno, la enseñanza de
matemática a nivel internacional ha tenido sus peores descalabros. La
investigación en educación matemática ha contribuido con aportes importantes
para dar respuesta a esta problemática, los problemas todavía no están
resueltos.
27
Los resultados indican que es importante tener presente que la comprensión
del concepto de fracción requiere de un desarrollo en el cual se vayan
enlazando diversos significados. El iniciar su estudio sólo a través del
fraccionamiento de la unidad e introducir prematuramente la simbolización no
es el camino adecuado para lograr una construcción apropiada.
Con base en esas consideraciones, se pospone el estudio de las fracciones
hasta tercer grado. El docente encontrara en la guía para el segundo ciclo
sugerencias para un primer acercamiento a este tema. En estas se resaltan
dos significados distintos: la fracción en un contexto de reparto, el cual se
refiere a cuando una figura se divide en n partes y se reparte en un
determinado número de niños, y la fracción vinculada con el proceso de
medición con diferentes unidades de media. Para el primero y segundo grado,
la propuesta del estudio de la medición incluye actividades que se centran en
nociones que constituyen antecedentes importantes para la construcción de
conocimientos relacionados con dicho concepto, substituyendo así los
contenidos de fracciones que se incluían en los primeros grados.
Sin duda en el quinto y sexto grado los docentes tienen dificultades para
enseñar razones y la proporciones. La construcción de los conocimientos
supone, de acuerdo con la teoría del desarrollo intelectual de Jean Piaget, el
desarrollo de razonamiento proporcional que marca los límites entre la etapa de
las operaciones concretas y las operaciones formales.
A continuación en una tabla se presentan los contenidos del tema de fracciones
desde tercer grado hasta sexto de primaria.
Contenidos de tercer grado del tema de fracciones
En la tabla II-1 se muestran los contenidos con respecto a fracciones que se
ven en tercer grado. En el Anexo 1 de este trabajo se puede consultar el
apéndice y una tabla descriptiva de cada una de las lecciones de fracciones de
cada grado. Para llevar a cabo las siguientes tablas y el Anexo 1 nos servimos
de la página electrónica (mi ayudante) miayudante.upn.mx y de los libros de
texto de matemáticas de primaria.
28
Tabla II-1
LISTA DE CONTENIDOS DE TERCER GRADO DEL TEMA DE FRACCIONES
1. Concepto básico de fracción
2. Concepto de medios, cuartos u octavos
3. Representación convencional de las fracciones
4. Resolución de problemas que involucren el concepto de fracción
5. Las fracciones como resultado de operaciones
6. Las fracciones como resultado de repartos
7. Las fracciones como resultado de fraccionamiento de longitudes, áreas o volúmenes
8. Resolución de problemas que involucren a las fracciones como resultado de operaciones
9. Reconstrucción de la unidad a partir de una fracción
10. Lectura y escritura de fracciones
11. Lectura y escritura de fracciones comunes
12. Operaciones con fracciones
13. Suma de fracciones
14. Concepto de suma de fracciones
15. Concepto de suma de fracciones como agrupamientos
16. Concepto de suma de fracciones como yuxtaposiciones
17. Resolución de problemas de suma de fracciones
18. Resolución de problemas de suma de medios, cuartos u octavos
19. Concepto de resta de fracciones
20. Resolución de problemas de resta de fracciones
21. Resolución de problemas de resta de medios, cuartos u octavos.
De acuerdo con los contenidos presentados en la tabla se puede observar que
los niños que egresan de tercer grado debieran contar con los siguientes
conocimientos: las fracciones en contextos continuos y discretos, en
situaciones de reparto, sumas de fracciones con un mismo denominador y uso
de fracciones para expresar medidas de longitud, áreas y de capacidad. No
mencionamos el concepto de resta de fracciones porque en realidad aunque se
menciona en la tabla, no aparece en ninguna lección del libro de texto de tercer
grado.
29
Contenidos de cuarto grado del tema de fracciones
Además de los contenidos correspondientes (7, 8, 10, 11, 12, 13,19 y 20) de
tercer grado se abordan los siguientes en cuarto grado:
Tabla II-2
LISTA DE CONTENIDOS DE CUARTO GRADO DEL TEMA DE FRACCIONES
22. Concepto de tercios, quintos o sextos
23. Equivalencia, simplificación y conversión de fracciones
24. Equivalencia entre fracciones
25. Simplificación de fracciones
26. Resolución de problemas de equivalencia entre fracciones
27. Orden entre fracciones y ubicación en la recta numérica
28. Orden y comparación entre fracciones manteniendo constante el numerador o el denominador
29. Ubicación de fracciones en la recta numérica
30. Resolución de problemas de orden entre fracciones
31. Reconstrucción de la unidad a partir de una fracción
32. Relación entre números decimales y fracciones
33. Relación entre decimales y fracciones con denominador 10, 100, 1000, etc.
34. Resolución de problemas con fracciones cuyos denominadores sean 10, 100, 1000, etc.
35. Algoritmo de la suma de fracciones
36. Algoritmo de la suma de fracciones con igual denominador
37. Resolución de problemas de suma de fracciones
38. Resolución de problemas de suma de fracciones con denominadores iguales
39. Concepto de resta de fracciones como agrupamientos
40. Concepto de resta de fracciones como yuxtaposiciones
41. Concepto de resta de fracciones como suma “con agujero”, o como resta “con agujero”
42. Algoritmo de la resta de fracciones
43. Algoritmo de la resta de fracciones con igual denominador
44. Resolución de problemas de resta de fracciones con denominadores iguales
Similarmente con tercer grado, en cuarto grado también se ven las fracciones
como resultado del fraccionamiento de longitudes, áreas o volúmenes, la suma
de fracción, y la resolución de problemas con fracciones, pero a diferencia de
tercer grado donde se consideran medios, cuartos y octavos en cuarto grado se
incluyen tercios, quintos y sextos y se aborda la equivalencia de unidades de
longitud, peso, superficie, capacidad y tiempo para profundizar en el estudio del
Sistema Métrico Decimal también se trabaja la ubicación de fracciones en la
30
recta numérica y nuevamente no hay una lección en el libro de cuarto que trate
la resta de fracciones.
Contenidos de quinto grado del tema de fracciones
Además de los siguientes contenidos que se encuentran en las tablas II-1 y II-
2: (4,5,7,8,10,11,12,13,17,19,23,24,25,26,29,30,33,34,35,36,38,42 y 44), en
quinto se incluyen los contenidos de la tabla II-3.
Tabla II-3
En este grado análogamente con tercero y cuarto grado en el tratamiento de
las fracciones se encuentra el fraccionamiento de longitudes, áreas o
volúmenes y resolución de problemas con suma de fracciones.
Y en similitud con cuarto grado en quinto grado se trata la equivalencia,
simplificación y conversión de fracciones, la relación de números decimales y
fraccionarios, la ubicación y orden de estos en la recta numérica.
LISTA DE CONTENIDOS DE QUINTO DEL TEMA DE FRACCIONES
45. Concepto de séptimos y novenos
46. Concepto de fracción con cualquier denominador
47. Concepto de fracciones mixtas e impropias
48. Manejo del concepto de fracción con distintas unidades simultáneamente
49. Orden entre fracciones y ubicación en la recta numérica
50. La fracción como razón
51. La fracción como división
52. Lectura y escritura de fracciones mixtas
53. Relación entre números decimales y fracciones
55. Algoritmo de la suma de fracciones con diferente denominador, utilizando equivalencias
56. Resolución de problemas de suma de fracciones con denominadores diferentes, utilizando equivalencias
57. Descomposición de una fracción en sumandos
58. Descomposición de una fracción en sumandos con igual denominador
59. Descomposición de una fracción en sumandos con distintos denominadores
60. Algoritmo de la resta de fracciones con diferente denominador, utilizando equivalencias
61. Resolución de problemas de resta de fracciones con diferentes denominadores, utilizando equivalencias
62. Varias operaciones con fracciones
63. Resolución de problemas que impliquen dos o más operaciones con fracciones
64. Expresión de porcentajes con números fraccionarios.
31
En quinto grado se incluyen los séptimos, novenos y nuevos contenidos como
son: Concepto de fracciones mixtas e impropias, la fracción como razón y como
división, Algoritmo de la suma y resta de fracciones con diferente denominador,
utilizando equivalencias de fracciones, expresión de porcentajes con números
fraccionarios.
Contenidos de sexto grado del tema de fracciones
En sexto grado además de los contenidos anteriores
(4,10,11,12,13,19,20,23,24,25,26,30,35,37,42,46,48,49,52,57,58,59,62 y 63) se
incluyen los siguientes:
Tabla II-4
LISTA DE CONTENIDOS DE SEXTO DEL TEMA DE FRACCIONES
65. Conversión de fracciones mixtas a impropias y viceversa
66. Algoritmo de la suma de fracciones con diferente denominador y cálculo de denominador común
67. Algoritmo de la suma de fracciones con fracciones mixtas
68. Resolución de problemas de suma de fracciones con denominadores diferentes y cálculo de denominador común
69. Resolución de problemas de suma de fracciones mixtas
70. Algoritmo de la resta de fracciones con diferente denominador y cálculo de denominador común
71. Algoritmo de la resta de fracciones mixtas
72. Resolución de problemas de resta de fracciones con denominadores diferentes y cálculo de denominador común
73. Resolución de problemas de resta de fracciones mixtas
En sexto grado, además de abordar los conceptos de fracciones mixtas e
impropias, se pretende que el alumno realice las siguientes operaciones:
conversiones, algoritmo de suma y resta con fracciones de diferente
denominador y resolución de problemas. La equivalencia se trabaja en otro
nivel, por ejemplo se le solicita al alumno descomponer en varias fracciones
una fracción impropia o mixta. Los contenidos tratados en los grados anteriores
sirven de base para que los alumnos comprendan la suma y resta de
fracciones con fracciones mixtas e impropias con diferente denominador.
32
Contenidos matemáticos relacionados con el tema de fracciones
incluidas en otros ejes de los programas de matemáticas
Anteriormente se mencionaron los contenidos de los números fraccionarios que
se incluyen en los distintos programas de estudio, cabe destacar que las
fracciones no solo forman parte del eje “Los números, sus relaciones y
operaciones”. En el eje de Medición se utilizan las fracciones en distintas
unidades de medida.
A continuación se presenta el número de contenido de fracciones que se
encuentra en las tablas anteriores incluido en los ejes: de Medición, Geometría,
Procesos de cambio y Tratamiento de la información de tercero hasta sexto
grados.
Tercer grado eje de medición: 1, 2, 4, 10,11 y 13.
Tercer grado eje de Tratamiento de la Información: 2, 7, 8, 18, 24, 29,47 y 51.
Cuarto grado eje de Medición: 2, 4, 7, 11, 16, 31, 35, 36, 46 y 47.
Cuarto grado eje de Geometría: 1, 2, 42,43 y 46.
Cuarto grado eje de Tratamiento de la Información: 1, 2, 4, 7,22 y 36.
Cuarto grado eje de Procesos de cambio: 2, 8, 18, 35, 36 y 38.
Quinto grado eje de Medición: 7, 8 y 21.
Quinto grado eje de Geometría: 8 y 50.
Quinto grado eje de Tratamiento de la Información: 4, 47,50 y 51.
Sexto grado eje de Medición: 4 y 8.
Sexto grado eje de Procesos de cambio: 7
33
REVISIÓN DE LA LITERATURA
La equivalencia y las dificultades en su aprendizaje en diferentes
contextos
En la literatura se hace mención de los diferentes contextos que abarca el tema
de la equivalencia de fracciones tales como: área, recta numérica, algorítmico,
conjuntos discretos y decimales, dado que estos contextos son los que más se
utilizan para la enseñanza de distintos conceptos de fracción entre estos el de
equivalencia. A continuación se presenta lo encontrado al respecto en artículos,
tesis y libros.
Contexto de Área
En Lo que concierne a figuras geométricas o áreas, uno de los errores más
comunes que suelen cometer los niños de primaria es el siguiente.
Dados los rectángulos:
Se les pregunta cual rectángulo tiene una mayor parte sombreada, la mayoría
de los niños responde que el primer rectángulo porque tiene la idea que esta
parte por ser más alargada es la mayor pero difícilmente opta por la parte
triangular. Todo esto está relacionado con la etapa, según Piaget (1984) de
operaciones concretas, ya que todavía no han asimilado la conservación de la
materia (Rosales, 1990). Con base a lo anterior se puede aseverar que a los
niños que se les dificulta la conservación de la materia les será difícil
determinar que los dos rectángulos de abajo tienen la misma área sombreada.
Es decir no sabrán del porqué 1/2 y 2/4 son fracciones equivalentes.
34
Contexto de la recta numérica
En el estudio de Novillis (1980) resultó que para estudiantes de escuela
elemental les fue más difícil comprender el modelo de la recta numérica que el
modelo de área (parte-todo) y el de conjuntos. También la equivalencia de
fracciones empleando la recta numérica resultó problemática especialmente
cuando una fracción se tenía que reducir a su mínima expresión.
Otro de los problemas que reportó Novillis es que para unos estudiantes
cuando el segmento de recta tiene una longitud mayor que la unidad y se les
solicita ubicar una fracción menor.
Por ejemplo esta situación se da con los siguientes segmentos:
0 1
X
0 1 2
X
Si se les pide localizar la fracción 1/3 en el segundo segmento pondrán la X en
el tercer círculo negro o bien cualquier otro.
De aquí que posteriormente cuando a los niños se les pide localizar en el
segundo segmento una fracción equivalente a 1/3 cometan errores que tienen
distintos orígenes y uno de ellos está el no saber identificar la unidad en la
recta numérica.
Contexto de conjuntos discretos
En la educación básica la enseñanza de la equivalencia de fracciones se
enseña en diferentes situaciones pero existe una en particular que no se trata
suficientemente en los libros de texto y es la equivalencia vista en un conjunto
discreto. Por ejemplo, si se pide hallar los 3/4 de 12 personas, este problema
35
en sí ya causa dificultad a los estudiantes porque según Fandiño (2010)
significa que las 12 personas se deben dividir en 4 partes iguales y la dificultad
radica en que el estudiante no sabe a qué se refiere esta igualdad. ¿Se está
hablando del peso, de la altura o simplemente del número? Y más aún si se
pide saber en dónde hay más personas en 3/4 o en 6/8 de 12 personas, esto
todavía crea más problemas porque el alumno no solo está apenas
construyendo el conocimiento de la fracción propia de conjuntos discretos si
no también el de las fracciones equivalentes en dichos conjuntos.
Es por esta razón que Fandiño (2010) hace ver que la referencia a lo concreto
(las personas) sirve sólo de obstáculo por eso cuando se trate este tema con
los alumnos se debe hacer hincapié que se está tomando una fracción del
número 12, no de 12 personas.
Contexto algorítmico
Según Fandiño (2010) los trabajos de investigación reportan que desde los
años sesenta son bastantes los estudiantes que tienen un bajo desempeño en
la equivalencia de fracciones en situaciones meramente numéricas por
ejemplo:
Las igualdades anteriores fueron planteadas a estudiantes y se encontró que
los incisos a y c resultaron fáciles de resolver y que aún a los alumnos de 15
años menos del 30% resuelve con seguridad los incisos b y d.
También Fandiño (2010) con este ejercicio se mostró que los estudiantes se
comportan de manera diferente al pasar de términos numéricos más pequeños
a términos numéricos más grandes por ejemplo si se pasa de 2/4 a 4/8 o de 2/4
a 1/2.
36
Otro hecho interesante es que los alumnos para obtener las igualdades no solo
recurren a algoritmos como la multiplicación o la división, sino a otras
estrategias por ejemplo: al pasar 5/10 a una fracción equivalente, algunos
estudiantes notaban que 5 es la mitad de 10 entonces 15 es la mitad de 30,
entonces su respuesta era 15/30.
O bien de 1/3 a 2/6 se pasa de 1 a 2 adicionando 1 y se pasa de 3 a 6
adicionando 3.
A manera de resumen concluimos que el aspecto de equivalencia de fracciones
es un tema que requiere, para una enseñanza completa, que se abarque los
contextos mencionados, pues si el alumno únicamente aprende a manejar las
fracciones equivalentes haciendo uso del algoritmo, no contará con las
herramientas que le dan los otros contextos para poder apropiarse del
concepto en cuestión.
Los errores en la equivalencia de fracciones
En este apartado se muestra cómo los niños suelen aplicar los conceptos
aprendidos con números enteros cuando están trabajando con fracciones, y de
las dificultades que tienen cuando la representación de fracciones equivalentes
se hace mediante gráficos (círculos y cuadrados o cualquier otra figura) esto es
en conjuntos continuos.
Después se tratan las dificultades que tienen los estudiantes con la
equivalencia de fracciones en un conjunto discreto, que puede ser un conjunto
de dulces, frijoles, etc.
Y finalmente se exponen las dificultades de los alumnos para encontrar la
equivalencia en el contexto de algoritmo el cual se refiere a que a partir de una
fracción y llevando a cabo una operación u algoritmo resulta una fracción
equivalente esto se hace ya sin hacer uso de cualquier tipo de gráfico.
Se ha detectado que una de las causas por las que los estudiantes tienen
problemas con la equivalencia de fracciones es porque quieren utilizar la
misma manera con la que trabajaban los números enteros. Según Post (1987)
los esquemas previos sobre números, han influido sobre la habilidad de los
niños en el razonamiento sobre el orden y la relación de las fracciones, por
ejemplo afirman que un tercio es mayor que un medio porque tres es mayor
37
que dos. De ahí que cuando el niño empieza a trabajar con fracciones
equivalentes se le hace razonable pensar que por ejemplo 3/4 y 9/12 no
pueden ser iguales porque en 9/12 están presentes números más grandes que
3/4 y además en 9/12 se dividió en más partes la unidad.
Según Post (1987) los niños también presentan problemas al ordenar las
fracciones de menor a mayor porque las palabras “más” y “mayor que” les
resultan confusas, “más” puede significar más piezas en la división total o
también puede significar más área cubierta por cada parte, es por eso que
cuando se les pregunta a estos niños qué fracción es mayor o cuál de las dos
es “más” refiriéndose a 1/3 y 1/2 responden que 1/3 es mayor que 1/2 porque
se tienen más piezas cuando se divide el entero en tercios que cuando se
divide el entero en mitades. También los niños tienen confusión cuando se les
cuestiona acerca de un par de fracciones, ¿cuál es la mayor? Ante este tipo de
preguntas responden con otras preguntas tales como: ¿Se refiere al tamaño de
la pieza? o ¿al número de piezas? Ellos necesitan tener bien claro a lo que se
está refiriendo la palabra “más” antes de que puedan dar una respuesta. Ahora
bien si se refiere al tamaño de la pieza 1/2 es mayor que 1/3 y si el número de
piezas es la variable considerada entonces 1/3 es mayor que 1/2.
El estudio de los errores
En este apartado se presenta de forma resumida el resultado de la revisión de
la literatura relativa al estudio de errores.
En el proceso de construcción de los conocimientos matemáticos aparecen
sistemáticamente errores y, por eso, deberá incluir criterios de diagnóstico,
corrección y superación mediante actividades que promuevan el ejercicio de la
crítica sobre las propias producciones.
Además, el estudio de los errores brinda herramientas didácticas al docente
pues dada la detección de errores este puede idear maneras de enseñar a los
alumnos para que estos cometan menos errores o bien diseñar programas
remediales.
38
Desde principios del siglo XX se han realizado diversos trabajos acerca de los
errores, entre estos trabajos está el de Astolfi (1999) quien hace una
clasificación de errores muy general, la cual es útil para analizar aquellos que
se cometen en cualquier asignatura:
1. Errores debidos a la redacción y comprensión de las instrucciones.
2. Errores resultados de los hábitos escolares o de una mala interpretación
de las expectativas.
3. Errores como resultado de las concepciones alternativas de los alumnos.
4. Errores ligados a las operaciones intelectuales implicadas.
5. Errores en los procesos adoptados
6. Errores debido a la sobrecarga cognitiva en la actividad.
7. Errores que tienen su origen en otra disciplina.
8. Errores causados por la complejidad propia del contenido.
Existe también una clasificación de errores enfocada a la asignatura de
matemáticas en general, la propuesta por Davis (1984) quien elaboró una
teoría de esquemas o constructos personales que le permitió tipificar e
interpretar algunos de los errores más usuales de los alumnos en el
aprendizaje de las matemáticas. Los errores clásicos explicados son:
reversiones binarias, errores inducidos por el lenguaje o la notación, errores por
recuperación de un esquema previo, errores producidos por una representación
inadecuada y reglas que producen reglas.
Existen también tipologías de error sobre los errores que cometen los alumnos
pero en temas específicos de las matemáticas tal como la que realizó Booth
(1984) sobre los errores en algebra, o bien la que hicieron Esteley-Villareal
(1990, 1992 y 1996) acerca de las ecuaciones. No se encontró la tipología
adecuada para este trabajo de investigación se hizo una clasificación de
errores para detectar cuáles son las principales deficiencias que tienen los
alumnos de primaria con respecto al tema de la equivalencia de fracciones. La
clasificación se obtuvo a partir del análisis de las respuestas de los alumnos en
el instrumento que se les aplicó. La tipología de errores se muestra en el
capítulo III de este trabajo.
39
CAPÍTULO III
En este capítulo se expone como se procede para alcanzar los objetivos de la
presente tesis y lo conforman dos apartados. El primero se refiere a la
aplicación de instrumento piloto y después únicamente se muestran los
reactivos que fueron modificados o incorporados para obtener el instrumento
definitivo. En el segundo apartado se indica el procesamiento de la información,
cómo se analizaron los programas de estudio y los libros de texto de
matemáticas de tercer a sexto grado; así como el análisis de las respuestas del
instrumento y el protocolo de las entrevistas.
Diseño del instrumento piloto
El trabajo realizado es de tipo exploratorio, se pretende indagar el desempeño
de los alumnos de primaria en problemas que involucren la equivalencia de
fracciones en distintas situaciones y determinar cuáles son capaces de
resolver, los procedimientos que utilizan y los errores en que incurren en su
proceso de solución.
Para lograr lo anterior se diseñó un instrumento piloto de 45 preguntas sobre
equivalencia de fracciones se estructuró de la siguiente manera: 15 ítems se
refieren con la equivalencia de áreas, 13 en relación con el algoritmo, 12 de
problemas y 5 de equivalencia con decimales (véase anexo 3).
Para la elaboración de la prueba piloto se tomó en cuenta algunos de los
ejercicios que vienen en las lecciones de los libros de texto de matemáticas, así
como de las guías de la prueba ENLACE, y de algunas páginas web.
Se aplicó en la Escuela Juan Pablo Galeana ubicada en Cuautepec Barrio Alto.
Es una escuela de tiempo completo (8:00 am a 4:00 pm) que es considerada
con un nivel socioeconómico bajo.
La muestra fue de 30 niños, 10 niños por grado.
A las 9:16 empezaron los de 6° grado, a las 9:21 empezaron los de 5° grado y
a las 9:40 los de 4° grado. Los niños de 5° grado fueron los que terminaron
primero. El tiempo promedio que requirieron los alumnos fue de 45 min. Y el
tiempo máximo fue de una hora.
40
Del análisis de las respuestas de esta prueba se consideró conveniente
modificar reactivos e incorporar otros. A partir de esta prueba se hicieron las
modificaciones pertinentes y se diseñó el examen definitivo.
Muestra y aplicación del instrumento
El instrumento se aplicó en una institución ubicada en la Delegación Miguel
Hidalgo, México, D.F.
El nivel socioeconómico de los padres se puede considerar medio alto. El nivel
de estudios con el que cuenta la planta docente de la institución es de 60%
licenciatura, 10 % especialidad, 10 % técnico y 5% doctorado.
Esta institución en 2010 contaba con una población total de 906 alumnos, seis
grupos de preescolar con 123 alumnos, en el nivel primaria 17 grupos, cuenta
con 3 grupos para los grados de 1º a 5º y 2 grupos para 6º, en total en primaria
se atienden a 475 alumnos, en el nivel de secundaria son 9 grupos con 230
alumnos, tres grupos por grado y del nivel bachillerato 3 grupos con 78
alumnos.
La aplicación del instrumento se llevó a cabo el 1 de junio de 2010, el tamaño
de la muestra fue de 90 alumnos, la muestra se divide en 30 alumnos de cuarto
grado, 29 de quinto grado y 31 de sexto grado. Las edades de los alumnos de
cuarto grado eran de entre 9 años y 10, los que tenían 9 estaban próximos a
cumplir los 10 pues ya estaban a final del ciclo escolar y próximamente
entrarían a quinto año. En este grado solo hubo una niña que tenía 11 años. En
quinto grado las edades de los niños era de entre 10 y 11 años y en sexto de
entre 11 y 12 en su mayoría, y solo hubo dos niños de 13 años.
El instrumento definitivo tiene 50 ítems. Cabe mencionar que algunos de los
contenidos, los niños de cuarto grado aún no los habían estudiado, y los de
quinto y sexto año, ya los habían cubierto.
La aplicación estuvo a cargo de las autoras de este trabajo, en compañía de los
maestros del grupo.
41
A los alumnos de cuarto se les leyó en voz alta el examen y se les indico que
intentaran contestar el examen en su totalidad, sin importar si no habían
estudiado en clase los contenidos que se les estaba preguntando.
La hora en que dio inicio la aplicación a los niños de cuarto grado fue a las
8:20, lo terminaron en su mayoría en una hora.
Los alumnos de quinto grado se tardaron menos tiempo para resolver el
examen, la aplicación se realizó de 9:30 a 10:10. Requirieron como máximo 40
minutos. Finalmente, a los de sexto grado se les aplicó el examen a las 11:15 y
lo terminaron a las 12:10, requirieron hasta 55 minutos
Cabe aclarar que los alumnos que tuvieron más dudas para contestar el
examen fueron los alumnos de cuarto grado en especial en las preguntas 14 y
16. Se puede decir que todos los alumnos se mostraron dispuestos a contestar
el instrumento y por supuesto hubo niños que preguntaron si les iba a contar
para su calificación a lo que les respondimos que no.
Procesamiento de la información
Lo primero que se procedió a hacer, fue la revisión de cada una de las
lecciones del contenido de fracciones que están en los libros de texto de tercer
grado a sexto grado de primaria, esto se hizo con la finalidad de elaborar las
tablas que incluyen: el contenido matemático y el tratamiento que se le da al
contenido.
Luego se procedió a revisar la página de mi ayudante de matemáticas en
Internet que fue de gran ayuda porque se obtuvo los contenidos matemáticos
del programa y las lecciones relacionadas con el tema de números
fraccionarios tema que forma parte del eje 1 “Los números sus relaciones y sus
operaciones”. Con toda la información que se adquirió de esta revisión fue que
se conformó el apéndice de lecciones, así como una gráfica por cada grado en
la que se muestra el porcentaje de lecciones destinadas al tema de fracciones
por cada grado, esto se encuentra en los anexos.
Nuevamente con el apoyo de la página electrónica mi ayudante se obtuvo los
contenidos de fracciones del programa de matemáticas del eje 1, se revisó el
42
contenido matemático de cada una de las lecciones de los otros cuatro ejes,
Medición, Geometría, Tratamiento de la información y Predicción y azar, con la
finalidad de ver la transversalidad del contenido de fracciones en los demás
ejes, porque este tema no es exclusivo del eje 1. Al realizar la revisión se
observó que había contenidos de fracciones en tercer grado que se repetían en
cuarto grado y contenidos de cuarto grado que se repetían en quinto grado y
sexto grado, fue así que se decidió hacer una exclusión de contenidos y hacer
una tabla integrada por los contenidos de fracciones de tercer grado y si había
contenidos de tercer grado que se veían también en cuarto grado solo se
mencionaba pero ya no se incluían en la tabla de contenidos de cuarto grado.
Así sucesivamente se fue haciendo con quinto grado y sexto grado. Y cada uno
de los contenidos se fue enumerando. Fue así como se obtuvieron las cinco
tablas de contenidos de fracciones. Todo esto también se llevó a cabo con la
revisión de la página de mi ayudante
Después de analizar cada lección del tema de fracciones de los libros de texto
de matemáticas de tercer grado hasta sexto grado, se abordó en cada grado el
tema de la equivalencia con fracciones en particular la secuencia con la que se
presenta, es decir, si la equivalencia se trata en un contexto de área y luego en
un conjunto discreto o viceversa. También se observó cuál era la ponderación
de la equivalencia en los libros de texto de matemáticas. Y finalmente comparar
y conocer cuáles eran las diferencias en el tratamiento del tema de tercer grado
hasta sexto grado. Lo anterior se plasmó en esquemas se hizo uno por cada
grado y uno general que muestra de manera resumida todos los contenidos de
equivalencia en toda la primaria.
Análisis de los resultados de las respuestas al instrumento
El análisis de resultados se llevó a cabo considerando el desempeño de la
muestra con respecto al examen general y otro de acuerdo a los aciertos y
errores de los bloques que conforman el instrumento.
Una vez concluida la aplicación del instrumento se procedió al análisis de las
respuestas de los alumnos, después se elaboró una tabla por cada grado en
43
donde aparece el nombre de los alumnos, las preguntas y los aciertos los
cuales fueron marcados con un 1 y los desaciertos con un 0.
A continuación se elaboraron las tablas en las que se clasifican las preguntas
como difíciles, regulares y fáciles dependiendo del porcentaje de niños que
contestaron acertadamente. Estas tablas contienen el número de aciertos por
pregunta y su respectivo porcentaje por grado en relación a cada bloque.
También se hicieron gráficas que muestran el desempeño de los alumnos en
términos de porcentajes en cada grupo y en cada bloque, y se hizo otra gráfica
general con todos los reactivos del examen. De todo esto se hizo un análisis
cualitativo.
Posteriormente se analizó cada una de las respuestas de los alumnos para
encontrar los tipos de error que cometían y a partir de estos errores se elaboró
una clasificación que está integrada por 21 tipos de error, se hicieron las tablas
en las que se presenta por grado y por bloque la frecuencia de los errores de
los alumnos.
Listado de errores
E1.-Este error se presenta cuando el alumno no logra establecer la
equivalencia en fracciones presentadas en figuras.
E2.- Se presenta cuando el niño da una respuesta muy alejada de lo que se les
solicitado, este error también se le denomina en la literatura de impulsividad
dado que el niño responde sin fijarse en lo que realmente se le pide.
E3.-Consiste en considerar que un entero por tener más divisiones tiene mayor
área sombreada que otro entero con menos divisiones.
E4.-El alumno considera que el entero debe de estar dividido en las partes que
señala el denominador de la fracción que se le plantea y no considera la
equivalencia.
E5.-Error de descuido lo que implica que el alumno responde erróneamente no
precisamente porque no sepa lo que se le pide.
E6.- Corresponde a la no respuesta.
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E7.-Comete cuando el alumno piensa que la fracción que tiene números
mayores es la fracción mayor.
E8.- Dada una fracción gráficamente, el alumno para obtener la fracción
equivalente recurre solamente a operaciones.
E9.-Da como respuesta la fracción inversa.
E10.-Ante el gráfico de una fracción impropia, no considera el entero o cuenta
mal las partes.
E11.- Se refiere a cuando el alumno hace el cociente con las partes
sombreadas entre las no sombreadas. Esto es descuida la unidad.
E12.- Toma en cuenta la parte no sombreada del entero. Entre el número de
partes en que está dividida la unidad.
E13.-Ante un segmento unidad dividido en n partes, el alumno no toma en
cuenta las partes en que está dividida la unidad y solo hace un conteo de las
marcas del 0 al punto solicitado y del punto solicitado al 1 y establece de esta
manera un cociente.
E14.- Ante un segmento unidad dividido en n partes, en lugar de considerar las
marcas considera los espacios entre las marcas e incluye el espacio a la
izquierda del cero.
E15.-Dado un segmento que contiene la unidad, toma en cuenta la parte del
segmento a la izquierda del cero o bien la parte que está a la derecha del 1.
E16.- Dada la recta numérica considera los espacios entre las marcas que
están antes del punto indicado y de las que están después de tal punto. Toma
en cuenta el espacio que esta antes del cero.
E17.- Divide el número de marcas a la derecha del punto solicitado entre las
marcas que están ala izquierda del punto solicitado, pero incluye los extremos.
E18.- Dada una recta numérica le asocia a un punto en esta contando las
marcas y al resultado le agrega el punto decimal.
45
E19.- Considera que dos fracciones son equivalentes si las dos tienen los
mismos números no importando el orden.
E20.- Incongruencia entre el inciso elegido y la explicación que se da.
E21.- Se equivoca en la conversión al establecer una fracción equivalente a
otra en fracciones impropias.
Diseño del Instrumento
A continuación se presentan los ítems que fueron modificados de la prueba
piloto y también los que se agregaron al instrumento definitivo.
Utilizaremos las letras IP para referirnos al instrumento piloto el ID para el
examen definitivo.
Se modificó el reactivo 2 que consta de tres preguntas y en el ID quedan
enumeradas como: 2.1, 2.2 y 2.3. Esta última se cambio, estaba planteada:
Podrías dibujar otro pastel e iluminarle un área que represente la misma área
iluminada que tiene el primer pastel.
En el ID se enuncia así:
2.3 Dibuja una figura cualquiera y sombrea una parte que represente la misma
fracción de la figura P anterior.
Este cambio se hizo debido a que muchos de los niños que respondieron la
pregunta 2.3 en el IP volvían a dibujar el mismo pastel que aparecía al
principio. Y dado que queríamos detectar si los niños eran capaces de dibujar
otras figuras e iluminar otra fracción que no fuera ½ sino otras equivalentes a
esta fracción.
En las respuestas a las preguntas del IP se observo que los alumnos no
entendían lo que se les solicita en la pregunta 3 y 4, por ende se procedió a
incluir un ejemplo de lo que se les estaba solicitando en ambas preguntas. En
la pregunta 4 se añadió un ejemplo y se agregó una pregunta en la que se le
solicitaba al alumno dar una explicación a su respuesta, porque en el IP
muchos respondían solo sí o no, pero en realidad lo que nos interesaba
conocer era la justificación de los alumnos, puesto que sus argumentaciones
nos ayudarían posteriormente a la elaboración de la tipología de errores.
46
Análogamente en la pregunta 5 se mostró un ejemplo de lo que se solicitaba.
La pregunta 6 es un problema en el IP, estaba planteado de la siguiente
manera:
6. Cinco niños recogieron hojas del patio de Don Javier en la tarde del viernes y
ganaron $20 los cuales se los repartieron en partes iguales. Ahora bien de las
fracciones de abajo ¿cuáles crees que NO representan la PARTE que cada
uno recibió?
a. 4/20
b. 3/15
c. 2/10
d. 1/5
e. 1/4
Explica ¿por qué escogiste tal respuesta?
Y en el ID:
6. Cinco niños recogieron hojas del patio de Don Javier en la tarde del viernes y
ganaron $20 los cuales se los repartieron en partes iguales. Ahora bien de las
fracciones de abajo.
6.1 ¿Cuál fracción crees que representa la PARTE que cada uno recibió?
a. 4/20
b. 3/15
c. 2/10
d. 1/5
e. ¼
6.2 ¿Por qué escogiste tal respuesta? _____________
6.3 ¿Cuánto dinero recibió cada niño? ______________
Como se puede ver a la primera pregunta después del problema se le quitó el
sentido negativo porque eso confundía a los alumnos y en lugar de encerrar la
47
fracciones que no representaban la parte que le tocó a cada niño, encerraban
todas o encerraban la que si representaba la parte que le toco a cada niño.
Y en el ID se agrego una tercera pregunta para saber si el niño podía
determinar qué cantidad en dinero representaba la fracción que había
escogido.
Se cambió la pregunta 7 por una que se relacionara con la equivalencia en el
contexto de área, y en el ID se planteó el siguiente problema:
7.- A continuación se te presentan 2 figuras A y B cada una de estas tiene una
parte sombreada ¿Alam cree que las partes sombreadas de cada figura son
igual a 2/4?
Di por qué estas o no de acuerdo con Alam
En las preguntas 8, 9 y 10 no se hizo cambio alguno.
La pregunta 11 la conformaban varios ítems los cuales se enumeraron en el ID,
11.1, 11.2 y 11.3, esta última se agregó porque se considero pertinente agregar
una pregunta con mayor dificultad que las anteriores.
En la pregunta 12 se enumeraron las preguntas y cambió el sombreado de un
triángulo únicamente.
La pregunta 13 era un problema pero debido a que la gran mayoría no lo
contestó en el IP decidimos cambiar el formato del problema y en el ID quedó
así:
13. Karina va a la tienda a comprar 24 dulces los cuales piensa repartir a Pedro
y Paola. A Pedro le da 2 /4 de los dulces y a Paola 4/8.
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13.1 ¿Cuantos dulces le tocan a Pedro?
13.2 ¿Cuantos dulces le tocan a Paola?
13.3 ¿A quién le tocaron más dulces?
13.4 Encierra y señala la parte que toca a cada uno le tocó.
El IP lo constituía 42 reactivos y en el ID aumentamos los siguientes 8
reactivos:
14. Encuentra el número que corresponde al cuadrado para que se cumpla la
igualdad.
15. Observa el dibujo. Si el entero es este rectángulo
La pregunta 15 no se relaciona con el tema de equivalencia de fracciones pero
se incluyó solamente para conocer el concepto de unidad de los alumnos.
15.1 Entonces qué fracción le corresponde a la parte sombreada ________
16. Del parque a la escuela hay un kilómetro de distancia. Laura vive a 4/6 de
distancia entre el parque y la escuela, Sara vive a 2/3, marca en el segmento
de recta los puntos y contesta
16.1 ¿Quién de la dos vive más lejos?
16.2 Pedro vive en el punto naranja que fracción representa ese punto
16.3 Marca en la recta 3/4 y 4/6. ¿Cuál de estas dos fracciones es mayor?
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El diseño del instrumento se hizo agrupando los 50 ítems en cuatro bloques
cada uno de estos el primer bloque se integró con las preguntas relacionadas
con la equivalencia en contexto de áreas y recta numérica, el segundo bloque
es el numérico y lo conforman las preguntas en las que se le solicita al alumno
obtener fracciones equivalentes a partir de un algoritmo, el tercer bloque se
incluyen problemas y el cuarto bloque llamado de expresión lo conforman ítems
relacionados con decimales. A continuación se muestra una tabla en la que se
incluyen los ítems correspondientes a cada uno de los bloques mencionados.
Tabla III-1 Número de pregunta por bloque
Bloque de áreas Y recta numérica
Bloque Numérico
Bloque de problemas
Bloque de expresión
2.2 1 6.1 8.1 a y b
2.3 3.1,3.2,3.3 y 3.4 6.2 8.2 a y b
4.1 a ,b, c y d. 5.1 a y b. 6.3 8.3 a y b
4.2 a, b, c y d. 5.2 a, b y c. 9 8.4 a y b
7 14.1, 14.2, 14.3
y 14.4 10
12.1 11.1,11.2 y 11.3
12.2 13.1, 13.2, 13.3
y 13.4
15.1
16.1
16.2
16.3
Protocolo de entrevista
Se eligieron 18 alumnos para ser entrevistados, 6 alumnos de cada grado de
estos, dos alumnos con buen resultado, los que obtuvieron calificación de 8.6 o
más, dos más con resultado regular que son los que obtuvieron de 7 a 8.5 y
otros dos alumnos con bajo resultado que fueron los que tuvieron de 6 o menos
de calificación.
La finalidad de las entrevistas fue detectar las dificultades que se les
presentaban al resolver las preguntas que contestaron incorrectamente y con
respecto a los alumnos que resolvieron acertadamente las preguntas se
pretendía conocer sus justificaciones para obtener la solución correcta.
50
También las entrevistas tenían la finalidad de constatar si la clasificación de
errores utilizada era adecuada, dadas las dudas acerca de lo que el niño
realizó para obtener su respuesta.
Cabe mencionar que las entrevistas fueron video grabadas posteriormente se
realizó la transcripción que se puede consultar en el anexo 4.
Como ya se había mencionado las entrevistas se realizaron a 6 niños de cada
grado con diferentes niveles de resultado, los protocolos difieren para los
distintos tipos de desempeño en el examen, de esta forma fue como se logró
saber las dificultades por las que atravesaban los que contestaban
incorrectamente y la manera de proceder de los alumnos que contestaron
acertadamente.
Los niños que daban una explicación para lo que no habían contestado
acertadamente se les continuo cuestionando hasta que llegaran ellos solos a la
respuesta, “no se les dio una respuesta como tal”, se les inducía para que
arribaran al resultado correcto. A continuación se enlistan las preguntas
muestra de las entrevistas:
1. En la pregunta 1 ¿por qué creíste que la mantequilla fue el ingrediente
del que usaron la misma cantidad?
2. ¿Por qué contestaste el inciso B en la pregunta 2?
3. En la pregunta 2, supongamos que la Figura P y la figura del inciso B
son dos pasteles entonces a mi me dan la parte sombreada de la figura
P y a ti la de la B a ¿quién le dan más pastel?
4. En el inciso C de la pregunta 4.1 ¿por qué respondiste que 6/8 y 9/12 no
son iguales?
5. Observa los pasteles de la pregunta 4.1, ahora imagina que a mí me dan
tres pedazos de este pastel (3/12) y a ti dos de este (2/8) a ¿quién le
dieron más pastel?
6. ¿Observa el ejemplo de la pregunta 5, qué harías para comprobar que
1/5 es igual a 3/15?
51
7. En la pregunta 6 ¿por qué crees que 1/5 parte es lo que le toca a cada
niño?
8. Continuando con la pregunta 6, si fueran 4 niños ¿cuánto dinero le
tocaría a cada uno?
9. Pero a cada niño le tocan 4 pesos entonces esos 4 pesos ¿qué fracción
representan?
10. ¿En la pregunta 7 qué divisiones hiciste en la figura A y B para que te
diera el resultado?
11. En la pregunta 5.1 ¿cómo supiste que 7/9 no era equivalente a 3/6?
12. Tenemos duda con tu respuesta de la pregunta 7, aquí nos pones que si
es cierto lo que dice Alam de que las partes sombreadas son igual a 2/4
pero tu explicas que aunque son diferentes fracciones el resultado es el
mismo, explica eso.
13. En la pregunta 13 ¿cómo le hiciste para saber que les tocaba 12 dulces,
cuando leíste el problema que fue lo primero que hiciste?
52
CAPÍTULO IV
En este capítulo se exponen los resultados del análisis de toda la información
(programas, libros de texto, y respuestas de los alumnos). En el primer
apartado se presentan los esquemas del tratamiento del tema de la
equivalencia en la primaria y que son el resultado del análisis del los libros de
texto y de la página de Internet mi ayudante. Estos esquemas son cinco, los
primeros cuatro son de tercer grado, cuarto grado, quinto grado y sexto grado,
el último esquema es del tratado de la equivalencia en toda la primaria.
En el segundo apartado se muestra la tabla que presenta los resultados de
toda la muestra en el examen y que a partir de la tabla se procedió a obtener
las medidas de tendencia central (promedio, moda, etc.) y los rangos de
aciertos, de los tres grados. Después de esto se encuentran las tablas que
muestran el desempeño por bloque y por grado basado en el criterio de
clasificación de las preguntas (Difíciles, regulares y fáciles).
En un tercer apartado se presenta la taxonomía de errores, así como los
resultados sobre la frecuencia y el tipo de error de la muestra en general y por
grado en cada uno de los cuatro bloques.
ESQUEMAS Y ANÁLISIS DE LOS CONTENIDOS DE LAS LECCIONES DE
FRACCIONES EQUIVALENTES DESDE TERCERO HASTA SEXTO DE
EDUCACION PRIMARIA.
Tercer Grado
En este grado comienza el estudio de las fracciones. El libro de matemáticas
de tercer grado lo componen en total 89 lecciones de las cuales 13 tratan el
tema de fracciones (15%), y de estas, 9 tratan diferentes significados de la
fracción y 4 lecciones (5%) abordan la equivalencia de fracciones. El
tratamiento de este último tema, es el que nos interesa analizar, por lo cual se
elaboró un esquema que muestra de manera secuenciada como es abordado
dicho tema.
En tercer grado, en las primeras cuatro lecciones, se trata el significado de
parte-todo con las fracciones de medios y cuartos y hay una lección en
53
particular en la que se presenta el significado en una situación iterativa es decir
cuántas veces cabe algo en un todo, se les presenta a los niños diferentes tiras
de colores y cada una de tamaño diferente así el debe determinar cuántas
veces cabe una tira pequeña en otra más grande y saber qué fracción
representa tal tira, y es en la única lección donde se trabaja otra fracción que
es 1/3.
Si se observa el esquema, el primer acercamiento con la equivalencia es con
un conjunto discreto, y en las siguientes lecciones a partir de dibujos de
botellas con medios y cuartos de litro, kilos y de sumas iterativas ya sea de
medios o de cuartos, se pretende que el alumno establezca la equivalencia que
hay entre 1/2 y 2/4.
En la quinta lección se trabaja con la suma de fracciones con medios y cuartos
de litro. En las lecciones siguientes con las fracciones dimensionadas en kilos y
litros se aborda el significado de operador.
Hay una lección de alta dificultad porque se trabajan el reparto exhaustivo, no
exhaustivo con conjuntos discretos, y las fracciones mixtas.
En resumen se puede decir que el niño al egresar de tercero debe contar con
una formación en fracciones que le permite conocer el significado de parte-
todo, el de operador, la equivalencia de fracciones a partir de sumas iterativas.
Todos estos conceptos utilizando solo fracciones de medios y cuartos.
54
Igualdad entre ½ y 2/4 de litro y en ml. Se utilizan 3 cajas una de litro
otra de medio y otra de ¼.
Lección 82 p.186
Para n=2,4 y 8.
Fracción unitaria n veces 1/n es 1. Se utiliza el litro.
Lección 38 p.90
Fracción discreta 2/4 de docena= media docena Igualdad entre ½ y 2/4
de kg.
Lección 58 p.134
Igualdad entre medios y cuartos utilizando el metro.
18m= 36 saltos de ½ metro.
Lección 65 p.148
ESQUEMA DE TERCERO
Fracciones equivalentes
*Lección dimensionada.- Se refiere a que las fracciones están relacionadas con una unidad de medida ya sea litro, metro, kg
u otra.
55
Cuarto grado
En este grado se incluyen más lecciones de contenidos sobre fracciones. En
total son 91 lecciones que componen el libro de matemáticas de cuarto grado
de las cuales 15(el 17%) del total de lecciones están relacionadas con
fracciones y decimales, en lo relativo a los diversos recursos para encontrar la
equivalencia entre algunas fracciones se encuentra en 7 lecciones.
De manera análoga al tercer grado, los cuadros que conforman el esquema
representan la secuencia del tema de la equivalencia de fracciones en los libros
de texto. En el esquema hay dos cuadros azules que en su base tienen
conectores, esto indica que son las únicas lecciones de este grado que se
relaciona la equivalencia en un contexto de segmento de recta y la suma de
fracciones. En cada una de las siguientes lecciones se trata la equivalencia en
distintos contextos pero no hay una sola lección en la que se trate tal temática
en más de un contexto.
En este grado las primeras lecciones tratan las fracciones en situaciones de
medición utilizando una tira como unidad y en otras se utiliza el metro, a
diferencia de tercer grado, en cuarto grado ya se trabajan los quintos y los
octavos, también las fracciones mixtas ya que se les pide medir a los niños no
siempre da como resultado una fracción propia, sino también puede ser una
fracción mixta. Después de estas lecciones se encuentra una en la que
nuevamente se retoma el concepto de parte-todo de la fracción.
Hasta la lección 9 del bloque 2 es en la que se tratan las fracciones
equivalentes y que a diferencia de tercer grado se establece solo la
equivalencia entre medios y cuartos con el litro, en este grado se trata la
equivalencia en el contexto de área utilizando fracciones tales como medios,
cuarto, octavos y dieciseisavos, es importante decir que las fracciones
anteriores las escriben con letra y número. En esta misma lección se trata
también el significado de cociente, así como también en las posteriores
lecciones donde se le pide al alumno hacer distintos repartos con galletas. En
la lección 3 del Bloque 3 del libro se retoma otra vez la equivalencia en el
contexto de área con repartos de galletas y así mostrar al alumno que es lo
56
mismo repartir 1/2 ,2/4 y 4/8 de galleta. En esta lección se comparan fracciones
para determinar cuál es mayor y solo en un ejercicio se toca la equivalencia, es
la primera lección en la que se tratan fracciones sin ser representadas con
gráficos.
En la lección 7 se empieza a trabajar con décimos y centésimos y se establece
la equivalencia de fracciones mediante la transitividad.
Como ya se comentó anteriormente en las lecciones anteriores ya se
examinaron medios, cuartos, octavos y tercios. En la lección 15 del bloque 3 se
incluyen los quintos, sextos, doceavos y novenos. En esta lección se trata la
equivalencia en el contexto de longitudes utilizando material recortable que
incluye 9 tiras divididas en todas las fracciones, de tal manera que el alumno
cuando vaya midiendo con las distintas tiras se dé cuenta de la igualdad en
distancia que hay entre 6/12, 3/6 y otras fracciones.
Esta lección pretende mostrar la equivalencia en el contexto de longitudes y la
utilidad de la equivalencia para la suma de fracciones, solo esta lección trabaja
la equivalencia con ocho fracciones distintas.
Después en la lección 19 se utilizan las mismas tiras de la lección 15 pero
ahora el alumno debe hacer sumas de fracciones con diferente denominador y
transformarlas en fracciones equivalentes.
Las lecciones restantes están relacionadas con la expresión equivalente entre
décimos, centésimos y milésimos.
Se concluye que a diferencia de tercer grado en cuarto grado se tratan
fracciones como los tercios, quintos, sextos, novenos y doceavos, en
situaciones de equivalencia de área y en la recta numérica, así como también
la equivalencia entre décimos, centésimos y milésimos y finalmente el
significado de operador.
57
ESQUEMA DE CUARTO
Fracciones equivalentes
I
Lección no dimensionada
Lección dimensionada
Conversión de Fracciones de metro a cm. Lección.10 p.26
La equivalencia de cuartos, octavos y
dieciseisavos en el contexto de área.
Lección. 9 p.64
La equivalencia de 2/8 y 1/4 en el contexto de
área.
Lección. 16 p.78
Situaciones de reparto en contexto de área en las que
se ve la equivalencia de 1/2, 2/4 y 4/8.
Lección 3 p. 94
Ubicación en la recta de decimos y centésimos así como la equivalencia entre
estos.
Lección. 7 p. 102
Se utilizan 9 tiras de papel divididas en distinto
número de partes (6, 8, 12, 4, 3, 2,10 y 5) con las
que el alumno debe comprobar porque son
equivalentes en distancia distintas fracciones.
Si una línea mide 2/5
¿Cuántos décimos mide la misma línea? 4/10
Lección 15 p.118
La equivalencia en un
contexto de expresión
(lo que significa que
se pasa de una
expresión a otra)
También se incluyen
sumas y restas sencillas
de fracciones. Lección 5 p.136
En el juego y actividad 19 se
utilizan las tiras que se usaron en la lección 15 para
sumar fracciones con diferente
denominador. Esto con el fin de que el alumno comprenda la relación existente de la suma con la equivalencia de
fracciones. Actividad 19.p.126
58
Quinto grado
El libro de quinto grado contiene en total 87 lecciones de las cuales 25
lecciones (76%) corresponden a diferentes significados de las fracciones, solo
6 son las lecciones relacionadas con el tema de equivalencia. De manera
similar que en cuarto grado, en quinto grado no existe alguna lección en la que
se trate la noción de equivalencia en más de un contexto.
En la primera lección de quinto se le pide al alumno realizar las divisiones
necesarias en una tira dibujada para que en cada división se pueda colocar una
esfera, esta lección es similar a la lección 6 del bloque 1 de cuarto grado en la
que se trabaja las fracciones con segmentos de recta a diferencia de cuarto
grado que se les da una unidad de medida para medir determinados
segmentos. En esta lección de quinto se pide hacer lo inverso que es calcular
en cuantas partes iguales se tiene que dividir la unidad para colocar las esferas
equidistantemente.
En las siguientes lecciones se trata, a diferencia de cuarto, la comparación de
fracciones para determinar cuál es mayor o menor utilizando la recta numérica.
En la lección 44 del bloque 2 se comparan fracciones pero con regletas del
material recortable y posteriormente se presenta a los alumnos un conjunto de
fracciones y ellos tienen que compararlas sin ayuda de gráficos ni material
recortable.
En otra lección 31 del bloque 2 titulada “Reparto de galletas” se ve el
significado de cociente y, en comparación con la lección 9 de cuarto grado, en
la que se ve el mismo contenido pero en lugar de galletas se hace un reparto
con hojas, en la lección de quinto grado ya no aparecen gráficos, los niños
deben efectuar cálculos o dibujar las galletas para obtener las respuestas.
En la lección 33 del bloque 2 se ve la equivalencia entre quintos y décimos,
octavos y dieciseisavos, tercios, sextos, novenos y veintisieteavos comparando
así, como en la última lección de cuarto, se plantea la equivalencia en el
contexto de algoritmo, ya no aparecen gráficos de fracciones y tampoco se le
pide al alumno apoyarse con material recortable para su solución.
59
En esta misma lección se le muestra al alumno 10 fracciones y tiene que
encerrar solo las que sean equivalentes a 1/3.
En la lección 47 se ven los temas de resolución de problemas, suma de
fracciones con denominadores diferentes y cálculo de denominador común,
suma de fracciones mixtas, descomposición de una fracción en sumandos y
concepto de resta de fracciones como suma “con agujero”, o como resta “con
agujero”. Ahora bien esta lección supone que el alumno recuerda lo que
estudio en la lección 15 y 19 del libro de cuarto grado en la que se enseña
como sumar a partir de la equivalencia fracciones con diferente denominador.
La lección 49 es similar a la 47 solo que en esta lección se ve el concepto de
fracciones mixtas e impropias, conversión de fracciones mixtas a impropias y
viceversa, resolución de problemas de resta de fracciones con denominadores
diferentes, utilizando equivalencias y resta de fracciones mixtas.
En la siguiente lección se ve el significado de razón con fracciones utilizando
como unidad de medida el centímetro.
En la lección 53 y 55 se trabajan sumas de fracciones con diferente
denominador y se incluyen restas de fracciones.
En las siguientes lecciones se aborda el significado de razón, porcentajes
relacionados con las fracciones, la fracción como operador, y nuevas unidades
de medida que se derivan del kilogramo tales como el decagramo,
centigramos, etc. la relación de estas unidades con medios, tercios y cuartos.
60
ESQUEMA DE QUINTO
Fracciones equivalentes
Lección no dimensionada.
Lección dimensionada.
Equivalencia en contexto numérico:
De un conjunto de 10 fracciones se le solicita al alumno encerrar únicamente las que representan
lo mismo que 1/3.
Lección 33p. 76
La equivalencia en un contexto de expresión (lo que significa
que se pasa de una expresión a otra)
En esta lección también se presenta la relación entre una fracción mixta y su respectiva
fracción equivalente.
Lección 49 p. 110
La equivalencia se ve en un contexto de expresión utilizando
medidas de capacidad.
Lección 79 p. 174
Suma de fracciones
cuando el denominador de
una de las fracciones es
múltiplo del denominador
de la otra.
Lección 53 p. 120
Equivalencia con decimales:
(Decimos, centésimos y milésimos)
Lección 35 p. 81
61
Sexto grado
El libro de sexto grado lo componen 86 lecciones de las cuales 7 (8%) se refieren a
fracciones y en todas se trata la equivalencia ya sea con fracciones o con decimales.
En la primera lección del libro se trabaja la equivalencia, a diferencia de cuarto y
quinto grado no aparecen las fracciones dimensionadas en ninguna unidad de
medida, y el alumno tiene que encontrar la equivalencia de un 1/2 y 4/5 con distintas
fracciones, lo cual tiene mayor dificultad porque el alumno tiene que descomponer
una fracción impropia.
La lección 8 es similar a la lección 58 de quinto, en la que se ve el significado de
cociente pero se utilizan cantidades más grandes en decimales que incluyen
milésimos.
En la lección 22 se utilizan las fracciones mixtas para obtener equivalencias entre
diferentes unidades de medidas tales como el decilitro y la onza, se realizan sumas y
restas con fracciones mixtas.
En la lección 25, se trata la equivalencia a partir de la simplificación de fracciones,
como el proceso de dividir el numerador y denominador de una fracción por el mismo
número ejemplo 9/27mm es igual a 1/3 de mm. En la lección 28 se retoma lo visto en
la lección 25, se le solicita al alumno reducir una fracción y la igualdad en decimal.
Ejemplo 3/27= 1/9= .111. En esta lección, la única del libro de sexto en la que se
trabaja con fracciones que tienen los denominadores siguientes: 24, 27, 28 ,30 y 56.
En la lección 39 se retoma la equivalencia con fracciones mixtas.
En la lección 43 aparece una tabla con porciones fraccionarias y lo que cada porción
equivale en cl. para preparar una bebida para 1, 2, 3 y 4 personas y posteriormente
se plantean preguntas en las que alumno puede resolver a partir de la tabla, en la
primera se le pide anotar dos fracciones equivalentes, el alumno no tiene que
descubrir la manera para obtener una fracción equivalente a partir de una dada, las
otras preguntas tienen que ver con anotar dos fracciones donde una tiene el triple o
una cuarta parte del denominador de la otra. En esta misma lección se lleva a cabo
62
algo similar que en la lección 25 solo que en esta se trata el significado de cociente
con números fraccionarios y mixtos con números pequeños.
En la penúltima lección se ve el significado de operador pero, a diferencia de
lecciones de cuarto y quinto grado donde a partir de una determinada cantidad se
obtiene lo que es equivalente a 1/3 o 1/2 u otra fracción, aquí es al revés al niño se
le dice que de “x” cantidad de dinero se tomó 1/5, 1/3 u otra fracción, entonces él
debe saber cuál es esa cantidad, la respuesta puede ser variada.
Finalmente la última lección presenta un ejercicio en el tema de equivalencia con
fracciones se solicita dadas 2 fracciones encontrar 2 o 3 fracciones que sumadas
sean equivalentes o bien se plantea una ecuación donde se tienen que encontrar la
fracción faltante.
63
ESQUEMA DE SEXTO
Fracciones equivalentes
Fracción dimensionada.
Fracción no dimensionada.
La fracciones 1/2y 5/4 se descomponen en suma de
fracciones.
Lección 6p. 20
Se hace un repaso de la equivalencia de longitudes
con fracciones en situaciones de medición.
Lección 8 p.24
Distintas fracciones mixtas se descomponen en varias
fracciones que al sumarse dan la fracción mixta original.
Lección 66 p. 146
La equivalencia se trata en un contexto de expresión con
dos unidades distintas.
Lección 22 p.54
La equivalencia se trata a partir de la simplificación
de fracciones.
Lección 25 p. 60
La equivalencia se
trata partir de la
simplificación de
fracciones, y de su
expresión en
decimal.
Lección 28 p.66
64
ESQUEMA SINTÉTICO DE LAS FRACCIONES EQUIVALENTES DE 3° A 6° DE PRIMARIA.
CONTEXTO DE
ÁREA
CONTEXTO DE
RECTA
CONTEXTO
NUMÉRICO CONTEXTO DE
EXPRESIÓN Y
CONJUNTOS
DISCRETOS Fracciones con los
siguientes denominadores:
2,4 ,8 y 16
Ubicación en la recta de décimos, centésimos y milésimos y
conversión.
Conversión de fracciones como medios, cuartos y octavos, utilizando
distintas unidades de medida (litro, kilo,
metro y cm)
En conjunto discreto
1/2 =2/4
Suma de fracciones con diferente denominador, utilizando la equivalencia.
Fracciones
equivalentes a 1/3
Para establecer la relación entre
equivalencia y la suma de fracción con
diferente denominador, para esto se utilizan las tiras anteriores.
Con la ayuda de tiras divididas en: 2, 3, 5, 6,
8 ,10 y 12 partes se comprueba la
equivalencia de distintas fracciones.
La expresión de equivalencia utilizando 2 unidades de medida.
Descomposición de fracciones mixtas e
impropias.
65
Análisis del esquema sintético de la equivalencia de fracciones de tercero
a sexto grado en los libros de primaria.
Cada uno de los cuadros que forman parte del esquema representa de manera
sucinta el contenido sobre equivalencia de fracciones de cada uno de los
grados. Para hacer tal esquema se clasificaron las lecciones en distintos
contextos que son: Contexto Área, Contexto de recta, Contexto Algoritmo,
Contexto de expresión y conjuntos discretos. Cuando nos referimos que una
lección está ubicada en el contexto de área quiere decir que en la lección
aparecen imágenes como pasteles galletas u otros gráficos en los que el niño
puede identificar la equivalencia por medio de estas figuras, y a la de recta se
refiere a que se utilizaron rectas de cartón y dibujos de segmentos de recta. El
contexto de algoritmo significa que en esas lecciones ya no aparecen gráficos o
materiales manipulables. Y el contexto de expresión y conjuntos discretos se
refiere a que la equivalencia se expresa en distintas unidades de medida o bien
en conjuntos discretos.
En resumen se puede decir que la equivalencia en la primaria es tratada en
problemas de distancias, áreas y capacidades, así como la conversión de
fracciones a distintas unidades de medida y la aplicación de la equivalencia
para suma y resta de fracciones con denominadores no mayores a 12. Y cabe
mencionar que a los alumnos no se les presenta explícitamente un algoritmo
para la suma y resta de fracciones.
Al alumno tampoco se le plantean situaciones donde requiera generar
fracciones equivalentes, solo en una de las lecciones se le solicita elegir las
fracciones que son equivalentes a una dada.
Otra cosa relevante es que en las lecciones estudiadas desde tercer a quinto
grado la equivalencia con fracciones se trabaja empleando fracciones propias
con denominadores tales como: 2, 3, 5, 6, 8,10,12 y 16, solo en una lección se
trata la equivalencia a partir de la simplificación y conversión de fracciones con
denominadores como: 24, 27, 30, 28 y 56.
Y el tema de mayor complejidad que se trata en primaria con respecto a tal
tema es cuando se le solicita al alumno descomponer en fracciones
equivalentes a fracciones propias, impropias y mixtas.
66
Si bien el tratamiento de la equivalencia con fracciones a lo largo de la primaria
se encuentra en diferentes contextos se deja al profesor o al alumno articular
estas diferentes situaciones y usos de las fracciones equivalentes. También es
importante señalar que en cuarto grado el 17% lecciones están destinadas al
tema de equivalencia con fracciones, en quinto el 7% y en sexto son 8%.
Desempeño general de los estudiantes en el examen
El instrumento está conformado por 50 preguntas algunas de estas tiene varios
incisos y siendo 90 el total de posibles aciertos. Una vez que se examinaron
los resultados se procedió a elaborar una tabla en la que se presentan los
aciertos y desaciertos de la muestra de niños; los aciertos se marcaron con un
1 y los desaciertos con un 0. Enseguida se presenta tal tabla.
67
En la tabla y gráficas siguientes se presenta las partes de la muestra que
corresponden a cada uno de los grados
Tabla IV-2
Estadísticos
A continuación se muestra la tabla elaborada a partir de los aciertos de los
alumnos, que contiene los estadísticos descriptivos de la muestra general y de
cada uno de los grados.
Tabla IV-3
Estadísticos Muestra
Total 4°
GRADO 5°
GRADO 6°
GRADO
MODA 35 22 25 35
MEDIA 28.71 21.56 29.23 35.24
MEDIANA 28 22 29.50 36
V.MAX 49 44 49 45
V.MIN 8 9 8 20
DESV. STD 10.4 7.75 11.22 7.25
GRADO PORCENTAJE ALUMNOS
4° GRADO 33.3% 30
5° GRADO 32.2% 29
6° GRADO 34.4% 31
Muestra 100% 90
68
Se puede inferir a partir del número de aciertos que la calificación más
frecuente para cuarto grado es de 4.4 que corresponde a 22 aciertos, en quinto
grado fue 5 que corresponde a 25 aciertos y en sexto y en la muestra total fue
7 y es igual a 35 aciertos.
En promedio las calificaciones son de 4.3 para cuarto grado, 5.4 para quinto
grado, 7 para sexto grado y para la muestra total es inferior a 6. Y la mediana
más alta la obtuvo sexto que fue de 7.2.
El valor máximo de cuarto fue de 44 aciertos y el mínimo de 9 lo que
corresponde a las calificaciones de 8.8 y 1.8 respectivamente. El máximo
número de aciertos lo obtuvo un alumno de quinto con una calificación de 9.6,
en este mismo grado la calificación inferior fue de 1.6. La calificación mínima de
sexto es casi igual a la media y mediana de cuarto y la calificación máxima es
casi igual a la de cuarto.
Las calificaciones en los tres grados están muy dispersas, eso lo indican las
desviaciones estándar.
Gráfica de caja
La gráfica de caja complementa los datos de la tabla anterior a partir de la
media y los cuartiles representan mejor la distribución de los datos. El Q1 se
refiere al cuartil 1, la M es el cuartil 2 o mediana y el Q3 es el cuartil 3.En la
línea horizontal de la gráfica se encuentran el numero de ítems contestados
69
correctamente por los alumnos y en la vertical están los grados y la muestra;
para el análisis de la gráfica se hablara en términos de ítems.
La mediana de cuarto grado es casi igual al límite superior del primer cuartil de
la muestra, lo que indica que cuarto grado tuvo bajas calificaciones con
respecto al total de los niños. Y si se compara el límite superior del primer
cuartil de los de sexto se observa que es superior al límite superior del tercer
cuartil de cuarto, es decir las calificaciones del 75% de cuarto es inferior al de
25% de los de sexto. El 75% de los alumnos de cuarto obtuvo una calificación
reprobatoria.
Si se compara quinto con sexto grado, la mediana de quinto es inferior al
primer cuartil de sexto y el límite superior del tercer cuartil de quinto es casi
igual a la mediana de sexto grado, casi el 50% de los alumnos de quinto grado
reprueban.
Se puede detectar en sexto que el límite superior del primer cuartil y el límite
superior del tercer cuartil abarcan un rango de calificaciones superior al de
cuarto, quinto y la muestra total. Se puede decir que poco más del 75% de los
alumnos de sexto obtuvo una calificación aprobatoria. De la muestra total más
del 50% de los alumnos tienen calificación aprobatoria.
Rangos por aciertos
El número de aciertos por cada alumno de cada uno de los tres grados se
agruparon en cinco rangos, en el primero están los alumnos que contestaron
de 1 a 10 ítems, en el segundo los que contestaron de 11 a 20, en el tercero de
21 a 30, en el cuarto de 31 a 40 y en el ultimo rango están los que contestaron
de 41 a 50. En seguida se presentan las tablas con los resultados de cada uno
de los tres grados y de la muestra total, su respectiva gráfica y análisis, con el
fin de hacer un comparativo de los tres grados con la muestra total.
70
Muestra total
Tabla IV-4
RANGOS Muestra
Total
1 – 10 3
11 – 20 19
21 – 30 29
31 – 40 24
41 – 50 15
total 90
Gráfica de rangos de la muestra total
De la muestra general se afirma que casi el 40% de los alumnos se ubica en
los dos últimos rangos lo que indica que este porcentaje representa a los
alumnos que obtendrán una calificación aprobatoria si a todos los ítems les
diéramos el mismo peso. Cabe destacar que la mayor concentración de
alumnos, aproximadamente un tercio de toda la muestra, se encuentra en el
rango de 21-30 lo que indica que contestan entre un 42% y un 60% de
preguntas del instrumento.
71
Cuarto grado
Tabla IV-5
En cuarto grado hay dos porcentajes iguales, el primero se encuentra en el
rango de 1-10 y el segundo en el rango de 31-40 , es decir que casi un 7% de
alumnos contestó menos del 20% del instrumento y el otro 7% contestó entre
62% y 80% del instrumento. Casí la mitad de los alumnos se ubica en el tercer
rango lo que indica que respondieron entre un 41% y 60% del instrumento.Y un
poco más de la tercera parte del alumnado está en el segundo rango. Es de
subrayarse que el 90% tendría una calificacion no aprobatoria.
Tabla IV-6
Quinto grado
RANGOS % Alumnos
1-10 3.40% 1
11-20 24.10% 7
21 - 30 27.60% 8
31 - 40 27.60% 8
41 - 50 17.20% 5
total 100.00% 29
RANGOS % Alumnos
1-10 6.70% 2
11-20 36.70% 11
21 - 30 46.70% 14
31 - 40 6.70% 2
41 - 50 3.30% 1
total 100.00% 30
72
Gráfica de rangos de quinto grado
En quinto grado los porcentajes de los últimos cuatro rangos son semejantes y
no hay una diferencia tan marcada como con los alumnos de cuarto grado. El
75% de los alumnos se encuentra en el rango de 11-40
Una cuarta parte de los alumnos se ubicó en el segundo rango y casi una sexta
parte se encuentra en el último rango, lo que señala que solo 5 alumnos
contestaron casi por completo el instrumento. Y solo un alumno contestó
menos del 20% del instrumento. Aproximadamente el 45 % de los alumnos
tendrá una calificación aprobatoria. Es decir más de la mitad del alumnado
menos del 60% de aciertos.
Sexto grado
Tabla IV-7
RANGOS % Alumnos
1-10 0.00% 0
11-20 3.20% 1
21 - 30 22.60% 7
31 - 40 45.20% 14
41 - 50 29.00% 9
total 100.00% 31
73
Gráfica de rangos de sexto grado
En sexto grado, es satisfactorio que el 3.2% se ubica en los dos primeros
rangos, únicamente un alumno contestó menos del 40% y ninguno se ubicó en
el primer rango. Un 45.2% de los alumnos se ubicó en el cuarto rango lo que
señala que la mayor parte de los alumnos contestó entre un 61% y 80% del
instrumento, casi una tercera parte contestó más del 80% del instrumento, poco
menos de la cuarta parte contestó entre 41% y 60%. Es posible enfatizar que
alrededor del 75% de los alumnos tendría una calificación aprobatoria.
Comparativo de rangos entre grados y la muestra total
Tabla IV-8
ALUMNOS
RANGOS 4° 5° 6° MT
1 - 10 2 1 0 3
11 - 20 11 7 1 19
21 - 30 14 8 7 29
31 - 40 2 8 14 24
41 - 50 1 5 9 15
totales 30 29 31 90
74
Tabla IV-9
Gráfica del comparativo de rangos entre grados y la muestra total
Con respecto al primer rango 1-10 cuarto grado fue el que obtuvo el porcentaje
más alto, le sigue quinto grado con un menor porcentaje y en sexto grado
ningún alumno se coloca en este rango, es decir los porcentajes decrecen
hasta reducirse a cero. Y el porcentaje de la muestra total es inferior al del
cuarto grado y casi igual al de quinto grado.
En el segundo rango los porcentajes decrecen en la medida que aumentan el
grado y van desde 37% al 3% esto es que el porcentaje de sexto grado es poco
más de la décima parte de cuarto grado y la séptima parte de quinto grado, se
observa que la diferencia más marcada en los porcentajes es de quinto a sexto
PORCENTAJES
RANGOS 4° 5° 6° MT
1 - 10 6.7% 3.4% 0.0% 3.3%
11 - 20 36.7% 24.1% 3.2% 21.1%
21 - 30 46.7% 27.6% 22.6% 32.2%
31 - 40 6.7% 27.6% 45.2% 26.7%
41 - 50 3.3% 17.2% 29.0% 16.7%
totales 100% 100% 100% 100%
75
grado. En la muestra total el porcentaje es inferior al de cuarto y quinto grado
pero superior al de sexto grado.
En el tercer rango decrecen los porcentajes, el de quinto grado disminuye en
una proporción de un poco más del 50% con respecto al porcentaje de cuarto
grado y el porcentaje de sexto grado disminuye solo un 5% con respecto al de
quinto grado.
En el cuarto rango los porcentajes van aumentando conforme se aumenta de
grado. El porcentaje de quinto grado es lo cuádruple al de cuarto grado y el
porcentaje de sexto es poco menos del doble de quinto. El porcentaje de la
muestra total es inferior al de sexto grado casi igual al de quinto grado y
superior al de cuarto grado.
En el quinto rango de manera similar al cuarto rango los porcentajes ascienden
de cuarto a sexto grado. El porcentaje de quinto grado es casi seis veces el
porcentaje de cuarto grado y el de sexto grado es 12% mayor al de quinto
grado.
Desempeño de la muestra total
Con la información de la tabla de desempeño general se clasificaron las
preguntas como difíciles, regulares o fáciles dependiendo del porcentaje de
niños que contestaron acertadamente.
Las preguntas difíciles son aquellas que no las contestó nadie o un menos del
50%.Las preguntas regulares son las que contestó de un 50 a 70% de los
alumnos y las preguntas fáciles son aquellas que contestó de un 70% en
adelante.
Preguntas Difíciles (De 0 a50%)
Preguntas fáciles (De 70 a 100%)
Preguntas Regulares (De 50 a 70%)
76
Gráfica del examen
A continuación se presenta una gráfica que tiene en el eje horizontal las
preguntas de todo el instrumento y en el eje vertical indica los porcentajes de
preguntas contestadas en los tres grados.
A partir de la tabla y la gráfica anterior se advierte que los resultados de los tres
grados no fueron alentadores, el grado con mejor desempeño fue sexto grado
le sigue quinto y en último lugar cuarto. El bajo desempeño de cuarto grado se
debe en gran medida a que parte de los contenidos que se presentaron en el
instrumento no los habían visto y sexto grado ya estaba próximo por entrar a
secundaria lo que significa que ya habían visto los contenidos, aunado a esto,
estos alumnos por su edad ya presentaban un mayor grado de maduración.
Otro dato importante que nos da la gráfica es el desfase que tiene cuarto grado
con respecto a quinto y sexto grado en las preguntas 3.1 a 3.3, en el inciso D
de la pregunta 4.1 y 4.2 y en las preguntas que proceden a la pregunta 12, que
es la parte derecha de la gráfica.
En cambio, en las preguntas anteriores a la pregunta 12 se observa que hubo
algunas en las que la diferencia de porcentajes entre los tres grados no difería
por tanto. Un ejemplo son los incisos D de la pregunta 4.1 y 4.2 en los que
quinto y cuarto grado tienen porcentajes muy similares y sexto los rebasa pero
no por mucho.
77
78
Desempeño por bloques y por grado
Desempeño de los alumnos de 4° grado en el bloque de áreas y recta
numérica
Este bloque está integrado por 19 ítems. De acuerdo a los resultados de los
alumnos de cuarto grado se obtuvo lo que se presenta en la tabla siguiente.
Tabla IV-10
En la categoría de preguntas difíciles que corresponden al color amarillo se
observa que fueron 10 ítems. Dentro de este grupo, las que menos aciertos
obtuvieron fueron en las preguntas que se les pidió justificar su respuesta y en
la categoría de regulares se les dificultó el ítem en el que tenían que comparar
dos áreas iguales pero de distinta forma, donde se les pedía escribir la fracción
que representaba ciertas figuras y las relacionadas con una fracción impropia.
Solo un ítem les resultó fácil en el cual se les solicito dibujar una figura de área
equivalente a una dada y la respuesta fue dibujar la misma figura en otra
posición a la original. Los ítems 4.1a, 4.1b, 4.2a, 4.2b, y 12.1, no están
relacionadas con el tema de equivalencia sino con el de parte-todo y están
ubicadas en la categoría regular, en estos ítems se les pedía a los alumnos
escribir la fracción que representaba la parte sombreada de ciertas figuras, esto
se hizo para que en estos ítems no se entrara súbitamente con preguntas, en
los incisos c y d de estas mismas preguntas se les pidió responder a dos
preguntas relacionadas con la equivalencia.
En las entrevistas (Consultar Anexo 4), se les preguntó a algunos niños de
cuarto grado porqué se les había dificultado más contestar el inciso D de la
pregunta 4.1 y 4.2 que la pregunta 2.1, a lo que contestaron que eran más
difíciles porque ya tenían que escribir fracciones y en cambio en la pregunta 2.1
no.
2 4 4 4 4 2 7 12 15 2 4 4 12 4 7 4 16.1 16.2 16.3
ALUMNOS 2.3 4.1 4.1 4.2 4.2 2.1 7.1 12.1 15 2.2 4.2 4.1 12.2 4.2 7.2 4.1 16 16 16
4º 2.3 4,a 4,b 4,a 4,b 2.1 7.1 12.1 15 2.2 4,c 4,c 12 4.d 7.2 4.d 16 16 16
ACIERTOS 27 20 20 20 20 19 17 17 16 14 13 10 10 7 5 4 4 4 1
79
La dificultad para estos niños empezó por la forma en que estaban planteadas
las preguntas por ejemplo en la pregunta 2.1 al niño se le pregunta qué figura
de las cuatro que se le muestran tiene una parte obscura igual que la de la
figura P y en cambio en la pregunta 4.1 (inciso d), el niño para contestarla
primero tiene que escribir las dos fracciones que representan los dos pasteles,
y es aquí donde pudiera estar el problema para el niño, si se le hubiera
preguntado únicamente si era cierto que los dos pasteles tenían la “misma área
iluminada”, existe la posibilidad de que un mayor número de niños
respondieran que en efecto los dos pasteles tenían la misma parte iluminada
pero al incluir las fracciones los niños pensaban en 9/12 hay más divisiones
que en 6/8 por ende ambas fracciones no son iguales.
Los porcentajes indican que las preguntas de este bloque resultaron ser
difíciles para un poco más de la mitad de los alumnos de este grado y que para
4 de cada 10 alumnos fueron regulares y que solo un ítem les resultó fácil.
La diferencia de los porcentajes es notoria de las fáciles y regulares con más
del 35% y con 10% de las regulares y difíciles.
80
Desempeño de los alumnos de 5° grado en el bloque de áreas y recta
numérica
Tabla IV-11
Para los alumnos de quinto grado se observa lo siguiente: En la categoría de
los ítems difíciles tuvo 8 ítems en común con cuarto grado pero 2 ítems que
eran difíciles en cuarto grado (2.2, 12.2), en quinto grado pasaron a ser
regulares. Lo cual indica que los alumnos de quinto grado ya empiezan a
justificar algunas de sus respuestas en específico cuando tenían que dar como
respuesta que dos figuras sí tienen una misma área sombreada aunque estén
divididas en diferente número de partes. En la categoría de ítems regulares
quinto grado tuvo en común con cuarto grado los siguientes ítems (2.1, 12.1, 15
y 7.1) el primer ítem tenía que ver con comparar dos áreas iguales pero de
distinta forma, el segundo con escribir la fracción que representaban ciertas
figuras, el tercero con una fracción impropia y el ultimo con comparar dos áreas
iguales pero de distinta forma.
Y en la categoría de preguntas fáciles compartió con cuarto el ítem 2.3 pero a
diferencia de cuarto los incisos a y b de la pregunta 4.1 y 4.2 para quinto grado
resultaron fáciles mientras que para cuarto grado fueron regulares. Estos ítems
resultaron fáciles para quinto grado porque tenían que ver con escribir la
fracción que representaban ciertas figuras.
2 4 4 4 4 2 12 15 12 2 7 4 16 7 4 16 16 4 4
ALUMNOS 2.3 4.1 4.1 4.2 4.2 2.1 12.1 15 12.2 2.2 7.1 4.2 16.1 7.2 4.1 16.2 16.3 4.1 4.2
5º 2.3 4,a 4,b 4,b 4,a 2.1 12 15 12.2 2.2 7.1 4,c 16 7.2 4,c 16 16 4.d 4.d
ACIERTOS 27 24 24 24 23 20 19 15 15 18 17 14 14 12 11 11 6 5 3
81
En cuanto a los porcentajes de cada categoría, en la gráfica podemos constatar
que en quinto grado el porcentaje de las fáciles es casi la mitad de las
preguntas difíciles y es un poco superior al porcentaje de preguntas regulares.
La diferencia de porcentajes entre las categorías regulares y fáciles, así como
de fáciles a regulares es menor al 6% y al 11% respectivamente.
Desempeño de los alumnos de 6° grado en el bloque de áreas y recta
numérica
Tabla IV-12
En el caso de sexto grado se obtuvo lo siguiente: Siete preguntas se ubicaron
en la categoría de difíciles, cuatro en la categoría de regulares y 8 les
resultaron fáciles. Hubo ítems de la categoría de difíciles que resultaron difíciles
para los tres grados, (,4.1D, 4.2D, 16.1 a la 16.3 y la 7.2) pero sexto grado tuvo
un ítem mas que fue el 7.1, en el cual se les pedía negar o afirmar si la mitad
sombreada de dos figuras era lo mismo que 2/4. Cabe mencionar que este ítem
2 4 4 4 4 12 15 2 2 4 12 4 7 16 7 16 16 4 4
ALUMNOS 2.3 4.2 4.1 4.1 4.2 12.1 15 2.1 2.2 4.1 12.2 4.2 7.1 16.1 7.2 16.2 16.3 4.1 4.2
6º 2.3 4,a 4,a 4,b 4,b 12.1 15 2.1 2.2 4,c 12.2 4,c 7.1 16.1 7.2 16.2 16.3 4.d 4.d
ACIERTOS 29 29 28 28 28 27 23 22 21 20 20 19 15 15 13 13 12 10 10
82
resultó para cuarto y quinto grado regular aunque la diferencia del desempeño
en este ítem difirió muy poco en los tres grados.
En la categoría de los ítems regulares, sexto grado no tuvo ningún ítem en
común con cuarto grado pero con quinto grado tuvo en común los ítems 2.2 y el
12.2 que demandan la justificación de sus respuestas. Y en la categoría de
preguntas fáciles en comparación con cuarto se observa que para los alumnos
de sexto grado ya resulta fácil escribir las fracciones que representaban las
partes sombreadas de ciertas figuras, así como también la identificación de una
fracción impropia.
Es importante señalar que al 37% les resulto difíciles más de un tercio de las
preguntas y que 4 de cada 10 resultaron fáciles. El porcentaje de fáciles en
sexto grado fue superior al de los dos grados anteriores.
83
Al considerar la proporción de los niveles de dificultad de los tres grados se
puede advertir que la categoría de difíciles para los alumnos de cuarto y quinto
grado hay una diferencia de 10%, y en sexto grado es 1/3 de diferencia con los
grados anteriores, y el predominante en sexto grado son las preguntas fáciles,
para cuarto y quinto grado los predominantes son los difíciles y regulares.
En la muestra total, el porcentaje dominante es el de la categoría de los ítems
difíciles debido a que para cuarto y quinto grado las preguntas difíciles
resultaron para más de la mitad de los estudiantes y un poco más de un tercio
84
para los de sexto grado. Para los grados de cuarto y quinto grado el mayor
porcentaje de los ítems se ubican en las difíciles y para sexto grado en las
fáciles.
En relación a los regulares casi un tercio de las preguntas resultó a este nivel
para toda la muestra y un quinto del número de pregunta resultó regular en el
nivel de dificultad y cuatro de cada pregunta resultaron de este nivel para los de
cuarto grado. Un poco más de la cuarta parte de la pregunta resultó fácil para
toda la muestra y para los alumnos de quinto grado, cuatro de cada diez
resultaron fáciles para sexto grado, y alrededor de la vigésima parte de las
preguntas para los de cuarto grado. Los porcentajes de los regulares de cuarto
a sexto grado va disminuyendo en un 10 % y sexto grado representa la mitad
de cuarto grado.
En contraste a los porcentajes anteriores, los correspondientes a los ítems
fáciles son crecientes y los de 6º son aproximadamente ocho veces los de 4º.
Lo anterior muestra una notable mejoría, sin embargo el desempeño no es
satisfactorio.
Desempeño de los alumnos de 4º grado en el bloque numérico
Este bloque lo conforman 13 ítems, se le pedía a los alumnos que a partir de
diversas fracciones obtuvieran otras que fueran equivalentes. De la pregunta
14.1 a la 14.4 el alumno tenía que encontrar el número faltante entre dos
fracciones por ejemplo 2 / =14/35. De estas preguntas la más difícil fue la
14.4 porque a diferencia de las otras en esta no se mostraba el numerador de
la primera fracción /5=32/40.
Tabla IV-13
En la categoría de preguntas difíciles en este grado están 11 ítems. Y en la
categoría de regulares fueron dos (5.1b y 5.2 b) en el primer ítem se solicitaba
5 5 5 1 5 5 3 3 3 14 14 14 14
ALUMNOS 5.2 5.1 5.2 1 5.1 5.2 3.3 3.1 3.2 14.1 14.3 14.2 14.4
4º 5,a 5,b 5,b 1 5,a 5,c 3.3 3.1 3.2 14.1 14.3 14.2 14
ACIERTOS 20 16 15 8 7 7 5 4 3 2 2 1 1
85
establecer una igualdad entre 6/12 y 3/6 y en el segundo entre 1/3 y 2/6.
Ninguna pregunta de este bloque resultó fácil para cuarto grado.
Los resultados pueden responder a que en ninguna lección de cuarto grado se
enseña la manera de sacar fracciones equivalentes utilizando el algoritmo de la
multiplicación.
En esta gráfica se observa que a cuarto grado, 8 de cada 10 estudiantes se les
dificulto los ítems de este bloque. Y que el porcentaje de los ítems difíciles es
más del quíntuple que en los regulares. En este bloque no hubo preguntas
fáciles para cuarto grado.
Desempeño de los alumnos de 5º grado en el bloque numérico
Tabla IV-14
5 5 5 5 14 5 3 14 14 3 3 14 1
ALUMNOS 5.2 5.1 5.2 5.2 14.1 5.1 3.3 14.4 14.3 3.1 3.2 14.2 1
5º 5,b 5,b 5,a 5,c 14.1 5,a 3.3 14.4 14.3 3.1 3.2 14.2 1
ACIERTOS 25 22 17 16 15 14 13 13 12 9 9 9 8
En la categoría de preguntas difíciles son 8 preguntas comunes de cuarto
grado con quinto grado, lo que significa que los alumnos de quinto grado
presentan problemas para encontrar fracciones equivalentes en fracciones
86
dadas y determinar el número faltante entre dos fracciones para que estas
resulten equivalentes.
Hubo una pregunta que fue difícil para cuarto grado y para quinto grado paso a
ser regular y fue la 5.2c en este ítem tenían que identificar a 4/12 como
equivalente a 1/3. La mejoría puede deberse en parte a que en el libro de
matemáticas de quinto grado tiene una lección en la que se les pide identificar
de entre un conjunto de 10 fracciones las que son iguales a 1/3.
La pregunta 5.2a, para cuarto y quinto grado resultó ser regular lo que indica
que para ambos grados no resulta fácil identificar una fracción equivalente que
sea menor a la ya planteada, se esperaba que encerraran la fracción de 1/2
como igual a 3/6. Otras dos preguntas resultaron ser difíciles para cuarto grado
y para quinto grado pasaron a fáciles estas fueron la 5.1b y 5.2b, lo que indica
que en comparación con cuarto grado a quinto grado le fue más fácil identificar
que 6/12, 3/6,2/6 y 1/3 son equivalentes.
Observando la proporción de cada categoría se afirma que el porcentaje de las
preguntas fáciles fue el más bajo, y casi una cuarta parte de estos ítems fueron
regulares para quinto grado pero lo predominante fue la categoría de preguntas
difíciles.
87
Desempeño de los alumnos de 6º grado en el bloque numérico
Tabla IV-15
En este grado en la categoría de preguntas difíciles se ubica solo la pregunta
14.4 y que también es difícil en cuarto y quinto grado.
Hubo 8 preguntas que en quinto grado fueron difíciles y que en sexto grado
pasaron a la categoría de regulares estas son (3.1 a 3.3, 14.2 y 14.3, 1 y la
5.1a), sexto grado tuvo una mejoría al obtener fracciones equivalentes a partir
de otras, y donde se ubica a 6/12 como equivalente a 3/6. Para este grado solo
una pregunta resultó difícil fue la 14.4, que resultó de gran dificultad para los
otros dos grados.
En la categoría de preguntas fáciles hay dos que compartió quinto grado con
sexto grado (5.1B y 5.2B), lo que quiere decir que para los dos grados fue fácil
ubicar a 6/12 como equivalente a 3/6 y a 2/6 como equivalente a 1/3, pero en
sexto grado también resultó fácil identificar a 4/12 como igual a 1/3 hecho que
no sucedió en quinto grado.
88
La gráfica anterior nos muestra una notable mejoría de sexto grado, aumentó
considerablemente el porcentaje de ítems regulares y fáciles, el de difíciles
disminuyo notoriamente incluso fue el menor de las tres categorías.
Esta gráfica muestra que para sexto grado más de un quinto de los ítems
resultaron fáciles, a 7 de cada 10 alumnos les resultaron regulares y a muy
pocos difíciles. Quinto y sexto grado tienen dos porcentajes altos iguales en
quinto grado son las preguntas difíciles y sexto grado las regulares. Cuarto y
quinto grado obtuvieron un bajo porcentaje en las preguntas fáciles. En cuarto
grado en este bloque más del 80% le resultó difícil y lo restante le resultó
regular.
89
En la gráfica de la muestra total, se observa que el porcentaje más alto es el de
los ítems difíciles con un poco más del 50%, esto se debe a que cuarto y quinto
grado tuvieron porcentajes altos en esta categoría. En la categoría de regulares
la muestra total presenta un poco más de la tercera parte. Y de las fáciles un
poco más del 10% un porcentaje bajo debido a que en cuarto grado no se
encontraron preguntas fáciles.
En base a las entrevistas nos dimos cuenta que el inciso A de la pregunta 5.1
salieron bajos los tres grados y esto se debe en parte a que cuando piensan en
sacar una fracción equivalente a 3/6 están pensando en multiplicar pero no en
dividir o simplemente creían que 1/2 no era equivalente a 3/6 porque era menor
a 3/6.
Desempeño de los alumnos de 4º grado en el bloque de problemas
Este bloque está conformado por 12 ítems La tabla muestra el desempeño de
los alumnos de cuarto grado y se puede advertir que la mayoría de las
preguntas se colocó en la categoría de difíciles.
Tabla IV-16
6 9 6 11 11 10 11 6 13 13 13 13
ALUMNOS 6.1 9 6.3 11.1 11.2 10 11.3 6.2 13.1 13.2 13.3 13.4
4º 6.1 9 6.3 11.1 11.2 10 11.3 6.2 13.1 13.2 13.3 13.4
ACIERTOS 23 16 14 14 13 12 12 11 11 11 10 9
90
Lo que indica que es de gran dificultad establecer la equivalencia con
fracciones en el contexto de conjuntos discretos, en la conversión de una
fracción a otras, la justificación de sus respuestas y en obtener una fracción de
un entero.
Solo una pregunta les fue fácil y fue una de respuesta cerrada pero por las
entrevistas realizadas a algunos alumnos se pudo corroborar que no pudieron
justificar su respuesta o si lo hacían daban una explicación errónea.
En la pregunta 9 se les pedía convertir a fracción una serie de fracciones
iterativas. Esta pregunta fue la única que les resultó regular aun cuando en el
libro de cuarto de matemáticas vienen tres lecciones en las que se trata este
tema.
En la gráfica se muestra que cuarto grado obtuvo un desempeño muy bajo en
este bloque y que el porcentaje de preguntas fáciles y regulares es el mismo,
de 12 ítems solo una les resultó fácil y otra regular.
Desempeño de los alumnos de 5º grado en el bloque de problemas
Tabla IV-17
6 6 13 13 13 13 6 11 11 11 9 10
ALUMNOS 6.1 6.3 13.4 13.1 13.2 13.3 6.2 11.3 11.1 11.2 9 10
5º 6.1 6.3 13.4 13.1 13.2 13.3 6.2 11.3 11.1 11.2 9 10
ACIERTOS 26 22 21 20 20 20 19 17 15 15 13 13
91
En la categoría de preguntas difíciles se encuentra la pregunta 9 en la que se
les pedía a los alumnos convertir a una fracción una serie de fracciones, este
mismo ítem resultó ser regular para cuarto grado.
En el ítem 10 se tenía que convertir una fracción mixta a otra que fuera
equivalente. Este ítem resultó difícil para cuarto y quinto grado.
Lo anterior indica que para quinto grado en comparación con cuarto grado, se
le dificultó menos justificar sus respuestas, la conversión de una fracción en
otras y la equivalencia en conjuntos discretos.
En la categoría de preguntas fáciles en quinto grado fueron: 6.1, 6.3 y la 13.4.
La 6.1 también fue fácil para cuarto grado porque se trataba de una respuesta
de opción múltiple y el ítem 13.4 resultó fácil.
En cambio la pregunta 6.3 que fue difícil para cuarto grado resultó fácil para
quinto grado, lo que quiere decir que quinto obtuvo un mejor desempeño en el
ítem donde se les pide obtener cuántos pesos representa 1/5 de 20 pesos.
Como se puede observar en la gráfica, en quinto grado 5 de cada 10 alumnos
observó como regulares las preguntas de este bloque mientras que una tercera
parte de los alumnos percibió estos ítems como difíciles y una sexta parte de
los ítems resultaron fáciles.
92
Desempeño de los alumnos de 6º grado en el bloque de problemas
Tabla IV-18
Este grado fue el mejor comparado con los otros dos grados, todos los ítems
les fueron fáciles, a excepción de un ítem que les resultó regular, este ítem fue
el 11.2 que se relaciona con la conversión de una fracción a otras.
La gráfica muestra claramente que para sexto este bloque fue el más fácil dado
que más del 90% de estos ítems les fueron fáciles.
93
En esta gráfica al hacer la comparación entre los grados se aprecia que el
porcentaje de las preguntas regulares para cuarto grado y sexto grado es el
mismo aunque, claro, como se expuso anteriormente eso no implica que las
preguntas que resultaron regulares para cuarto grado sean las mismas que
para sexto grado. El porcentaje de preguntas difíciles en cuarto grado es de
83.3%, para este grado casi todos los ítems resultaron difíciles. Y para quinto
grado una tercera parte de estos ítems les resultaron difíciles. En este bloque
se manifiesta una notable mejoría y los alumnos de sexto grado son capaces
de resolver problemas de este tipo.
Debido a que cuarto grado tuvo un porcentaje considerablemente alto en la
categoría de difíciles y quinto grado tuvo una tercera parte en esta categoría en
la gráfica de la muestra total la mayor proporción está en esta categoría. Con
respecto a la categoría de ítems regulares la muestra total abarca casi una
tercera parte y en la categoría de fáciles resultó ser un poco más de la quinta
parte, el alto porcentaje de sexto grado en esta categoría ayudo a aumentar el
porcentaje en la muestra total de no haber sido así el porcentaje hubiera sido
mínimo.
Desempeño en el bloque de expresión de 4º, 5º y 6º grado
Este bloque lo integran 6 ítems que se relacionan con la temática de la
conversión de fracciones con denominador en potencia de 10.
94
Para sexto resultaron fáciles, pero para cuarto y quinto grado hubo dos ítems
que resultaron regulares y fueron el 8.1 B y el 8.3 B, en estos ítems se les pidió
a los alumnos escribir una fracción equivalente a 35/100 y 200/1000.
Tabla IV-19
Tabla IV-20
Tabla IV-21
Taxonomía de Errores
De la revisión de la literatura, que trata sobre los errores que cometen los
alumnos en el tema de la equivalencia de fracciones y de las respuestas de los
alumnos en los exámenes, fue como llegamos a la siguiente taxonomía de
errores. En el anexo 4 se pueden consultar las entrevistas que se hicieron a
dieciocho alumnos.
Del libro “Las fracciones: aspectos conceptuales y didácticos” de Fandiño
(2010), la autora cita las diferentes dificultades que presentan los alumnos para
la resolución de fracciones y de las cuales tomamos solo dos para la
clasificación de errores: “Dificultad en la gestión de equivalencia “y la
“Dificultad en la gestión de Igualdad”, todos los demás errores se clasificaron
8 8 8 8 8 8
ALUMNOS 8.2 8.3 8.2 8.1 8.1 8.3
4º 8,a 8,a 8,b 8,a 8,b 8,b
ACIERTOS 30 29 28 26 20 19
8 8 8 8 8 8
ALUMNOS 8.2 8.3 8.1 8.2 8.3 8.1
6º 8,a 8,a 8,a 8,b 8,b 8,b
ACIERTOS 30 30 29 26 26 25
8 8 8 8 8 8
ALUMNOS 8.2 8.1 8.3 8.2 8.1 8.3
5º 8,a 8,a 8,a 8,b 8,b 8,b
ACIERTOS 29 27 27 23 19 16
95
de acuerdo a lo observado en las respuestas del instrumento. En total se
encontraron 21 errores, a continuación se expone la descripción y el respectivo
ejemplo de cada uno de estos.
E1.-Este error se presenta cuando el alumno no logra establecer la
equivalencia en fracciones presentadas en figura.
E2.- Se presenta cuando el niño da una respuesta muy alejada de lo que se
les solicitó, a este error también se le llama en la literatura de impulsividad
dado que el niño responde sin fijarse en lo que realmente se le pide.
E3.-Este tipo de error consiste en considerar que un entero por tener más
divisiones tiene mayor área sombreada que otro entero con menos divisiones.
E4.-En este error el alumno considera que el entero debe de estar dividido en
las partes que señala el denominador de la fracción que se le plantea y no
considera la equivalencia.
96
E5.-Es de descuido lo que implica que el alumno responde erróneamente no
precisamente porque no sepa lo que se le pide.
E6.-Este tipo de error se da cuando el alumno no contesta.
E7.-Se comete cuando el alumno piensa que la fracción que tiene números
mayores es la fracción mayor.
97
E8.- Dada una fracción gráficamente, el alumno para obtener la fracción
equivalente recurre solamente a operaciones.
E9.-Da como respuesta una fracción inversa.
E10.-Ante el grafico de una fracción impropia, no considera el entero o cuenta
mal las partes.
98
E11.- Se refiere a cuando el alumno elabora el cociente con las partes
sombreadas entre las no sombreadas.
E12.- Toma en cuenta la parte no sombreada del entero. Entre el número de
partes en que está dividida la unidad.
E13.-Ante un segmento unidad dividido en n partes, el alumno no toma en
cuenta las partes en que está dividida la unidad y solo hace un conteo de las
99
marcas del 0 al punto solicitado y del punto solicitado al 1 y establece de esta
manera un cociente.
E14.- Ante un segmento unidad dividido en n partes, en lugar de considerar las
marcas considera los espacios entre las marcas e incluye el espacio a la
izquierda del cero.
E15.-Dado un segmento que contiene la unidad, toma en cuenta la parte del
segmento a la izquierda del cero o bien la parte que está a la derecha del 1.
R. 3/7 o 2/7
E16.- Dada la recta numérica considera los espacios entre las marcas que
están antes del punto indicado y de las que están después de tal punto. Toma
en cuenta el espacio que esta antes del cero.
100
E17.- Divide el número de marcas a la derecha del punto solicitado entre las
marcas que están ala izquierda del punto solicitado, pero incluye los extremos.
E18.- Dada una recta numérica le asocia a un punto en esta contando las
marcas y al resultado le agrega el punto decimal.
E19.- Considera que dos fracciones son equivalentes si las dos tienen los
mismos números no importando el orden.
E20.- Incongruencia entre el inciso elegido y la explicación que se da.
101
E21.-Se equivoca en la conversión al establecer una fracción equivalente a otra
en fracciones impropias.
102
Resultados de errores de la muestra total y por grado
En las 4500 respuestas de los alumnos se encontraron 1910 errores lo que
indica que en un poco más de la tercera parte de las respuestas se presentaron
errores. En seguida se muestra la tabla con los 21 tipos de error que están en
la taxonomía antes descrita y con sus respectivas las frecuencias.
Tabla IV-22
MUESTRA TOTAL
TIPO DE ERRORES
FRECUENCIA TOTAL %
E6 129 1155 60.5%
E2 37 220 11.5%
E5 30 98 5.1%
E7 6 67 3.5%
E21 11 65 3.4%
E3 5 53 2.8%
E1 6 48 2.5%
E19 3 41 2.1%
E4 3 41 2.1%
E20 4 34 1.8%
E15 3 17 0.9%
E16 2 16 0.8%
E17 2 13 0.7%
E8 4 11 0.6%
E13 3 8 0.4%
E10 3 7 0.4%
E14 3 6 0.3%
E11 2 4 0.2%
E9 2 3 0.2%
E18 1 2 0.1%
E12 1 1 0.1%
TOTALES 260 1910 1
Como se puede advertir en la tabla los 5 errores más frecuentes son: E6, E2,
E5, E7 y E21, que corresponden al 84% del total de errores.
Lo anterior pone de manifiesto que más del 60% de los estudiantes no
contestaron los ítems, el E2 indica que los niños dan respuestas sin sentido y
no corresponden a lo que se les solicitó, en este error incurren más del 10% de
la muestra, el error E7 consiste en que el alumno piensa que la fracción que
103
tiene números mayores es la fracción mayor, el E21 se da cuando el alumno
tiene fallas al encontrar una o más fracciones equivalentes a una dada. El E5
surgió en más en cinco preguntas de la 9 hasta la 11.3, las que se refieren al
tema de suma de fracciones dimensionadas.
Los 3 primeros errores son comportamientos generales ante cuestionarios de
matemáticas y los dos últimos errores sí son propios del tópico de interés de
este trabajo.
Conviene destacar que alumnos de los tres grados consideren que el valor de
una fracción depende solo del tamaño del numerador y denominador y no de la
relación que hay entre ellos y también la incapacidad para encontrar una o más
fracciones equivalentes a una dada.
Cuarto Grado
Errores del bloque de área y recta numérica
Tabla IV-23
Tipo error Preguntas
donde presentó el
error
Frecuencia total
%Bloque %Grado %Muestra
Total
E6 17 156 48.60% 18.40% 8.20%
E7 2 39 12.10% 4.60% 2.00%
E3 2 32 10.00% 3.80% 1.70%
E2 2 22 6.90% 2.60% 1.20%
E1 2 18 5.60% 2.10% 0.90%
E4 1 17 5.30% 2.00% 0.90%
E16 1 13 4.00% 1.50% 0.70%
E15 1 7 2.20% 0.80% 0.40%
E13 1 5 1.60% 0.60% 0.30%
E10 1 4 1.20% 0.50% 0.20%
E14 1 4 1.20% 0.50% 0.20%
E9 1 2 0.60% 0.20% 0.10%
E5 1 1 0.30% 0.10% 0.10%
E12 1 1 0.30% 0.10% 0.10%
E8 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E11 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
104
E17 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E18 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E19 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E20 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E21 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
De ahora en adelante para el análisis de los errores que cometió cada grado en
cada uno de los bloques que conforman el instrumento, se utilizan tablas
semejantes a la anterior.
De los 21 errores considerados en la taxonomía, para este bloque solamente
se detectaron 16.
Los cinco errores más frecuentes en este bloque son: E1, E2, E3, E6 y E7. En
común con la muestra general está el E2, E6 y E7 pero con diferentes
frecuencias. Los errores E1 y E3 son parte de los cinco más frecuentes de este
bloque.
Como se advierte en la tabla el error E6 es el más frecuente en este bloque, el
segundo más frecuente es E7 con un 12%, le sigue el E3 con la décima parte
de los errores y con un porcentaje menor E2 y E1.
El error E6 representa el 18.4% de los errores que cometen los alumnos de
cuarto grado, y el 8.2% de los errores de toda la muestra. En el caso del error
E7 representa el 5% de los errores que cometen los alumnos de cuarto grado y
el E3 representa el 4%.
Errores del bloque numérico
Tabla IV-24
Tipo error
Preguntas donde
presentó el error
Frecuencia total
%bloque %grado %muestra
total
E6 12 236 78.90% 27.80% 12.40%
E2 5 40 13.40% 4.70% 2.10%
E5 4 9 3.00% 1.10% 0.50%
E19 1 14 4.70% 1.70% 0.70%
E7 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E8 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
105
E9 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E10 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E11 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E12 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E13 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E14 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E15 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E16 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E17 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E18 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E20 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E21 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E3 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E4 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
De los 21 errores considerados en, para este bloque solamente se detectaron
4, el que tuvo más frecuencia fue el error E6 que representa casi un 80% en los
errores totales de este bloque, es decir que la mayor parte de los alumnos de
este grado no contestó los ítems de este bloque. Y con respecto al porcentaje
de los errores del grado este error representa un poco más de la cuarta parte.
Le sigue el error E2 el cual se presenta cuando el niño da respuestas. Este
error tiene un poco más del 10% en el total de errores del bloque, con respecto
a cuarto grado solo representa un 5% y en la muestra total solo un 2%.
Finalmente el error E19 represento un 5% del los errores del bloque y de los
errores del grado represento un 2% y menos del 1% de la muestra total.
Cuarto Grado
Errores del bloque de problemas
Tabla IV-25
Tipo error Preguntas donde
se presentó el error Frecuencia total %Bloque %Grado
%Muestra Total
E6 9 95 47.50% 11.20% 5.00%
E5 8 35 17.50% 4.10% 1.80%
E21 5 34 17.00% 4.00% 1.80%
E20 2 29 14.50% 3.40% 1.50%
E3 1 7 3.50% 0.80% 0.40%
106
E4 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E7 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E8 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E9 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E10 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E11 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E12 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E13 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E14 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E15 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E16 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E17 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E18 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E19 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E20 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E21 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
En este bloque solo se presentaron 5 errores del total de la taxonomía.
Así como en el bloque anterior, en este el error E6 es el más frecuente lo que
indica que una gran parte de los alumnos no contestó los ítems, le sigue el
error E5 que tiene casi un 18% de los errores del bloque y se presentó en 8
preguntas. El error E21 tuvo un porcentaje casi igual al del error E5 y el error
E20 solo se presentó en dos ítems de este bloque con una proporción del 14·%
en los errores del bloque y en menos del 4% en los errores de todo el grado.
Quinto Grado
Errores del bloque de área y recta numérica
Tabla IV-26
Tipo error
Preguntas donde
presentó el error
Frecuencia total
%Bloque %Grado %Muestra
Total
E6 15 134 52.30% 21.90% 7.00%
E2 3 30 11.70% 4.90% 1.60%
E1 2 14 5.50% 2.30% 0.70%
E7 2 13 5.10% 2.10% 0.70%
E4 1 12 4.70% 2.00% 0.60%
E8 2 11 4.30% 1.80% 0.60%
E3 1 11 4.30% 1.80% 0.60%
107
E5 1 11 4.30% 1.80% 0.60%
E9 1 6 2.30% 1.00% 0.30%
E10 1 3 1.20% 0.50% 0.20%
E11 1 3 1.20% 0.50% 0.20%
E12 1 2 0.80% 0.30% 0.10%
E13 1 2 0.80% 0.30% 0.10%
E14 1 2 0.80% 0.30% 0.10%
E15 1 1 0.40% 0.20% 0.10%
E16 1 1 0.40% 0.20% 0.10%
E17 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E18 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E19 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E20 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E21 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
Quinto grado en este bloque presentó 15 de los 21 errores que hay en la
taxonomía.
De acuerdo con la tabla el error más frecuente fue el E6 con más del 50% en
los errores del bloque y con un poco más de la quinta parte de los errores del
grado. Sigue el error E2 con casi un 12% en los errores del bloque, un 5% en
los errores del grado y un muy bajo porcentaje en la muestra total. Después
esta el E1 con un poco más del 5% y el E4 con 5%.
Quinto grado
Errores del bloque numérico
Tabla IV-27
Tipo error
Preguntas donde
presentó el error
Frecuencia total
% Bloque %Grado %Muestra
Total
E6 12 134 68.70% 21.90% 7.00%
E2 8 32 16.40% 5.20% 1.70%
E19 1 20 10.30% 3.30% 1.00%
E5 4 9 4.60% 1.50% 0.50%
E3 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E7 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E8 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
108
E9 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E10 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E11 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E12 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E13 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E14 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E15 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E16 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E17 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E18 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E19 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E20 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E21 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
En este bloque se presentaron 5 errores del total de la taxonomía.
El error E6 se presentó con mayor incidencia con un 70%, después esta el E2
con un poco más del 16%, el E19 con un porcentaje del 10% y el E5 con un
5%.
Los errores con mayor frecuencia fueron el E6 que se presentó con incidencia
en casi todas la preguntas de este bloque el E2 con un poco más del 16% E2 y
E19.
Quinto Grado
Errores del bloque de problemas
Tabla IV-28
Tipo error
Preguntas en las que se presentó el
error
Frecuencia total
%Bloque %Grado %Muestra
Total
E6 10 71 55.50% 11.60% 3.70%
E2 6 21 16.40% 3.40% 1.10%
E21 2 19 14.80% 3.10% 1.00%
E5 2 12 9.40% 2.00% 0.60%
E20 2 5 3.90% 0.80% 0.30%
E3 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E4 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E9 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
109
E10 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E11 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E12 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E13 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E14 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E15 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E16 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E17 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E18 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E19 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E7 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E8 0 0 0.00% .00% 0.00%
De los errores que cometen los niños en el bloque de problemas, se
encontraron 5 errores, el que tuvo más porcentaje fue el error E6, es el de
mayor frecuencia en los grados y en los bloques, en este caso hubo una
incidencia del 55.5%, el otro error con menor frecuencia fue el E2 con el
16.4%, este error se presenta por impulsividad, el siguiente error es el E21 con
el 14.8%,este error se da cuando no sabe realizar una conversión de una
fracción a otra equivalente, en este error se puede observar que fue menos de
la cuarta parte de los alumnos los que tuvieron este error en lo que respecta al
bloque de problemas.
El error E5 tuvo un porcentaje de 9.4%, este error se refiere a la falta de
concentración de los alumnos o un descuido por lo que el porcentaje de niños
con este error es muy poco, y el último error con un porcentaje de 3.9% es
E20 que se refiere a la falta de congruencia entre lo que se contesta y la
explicación que se da, este error es de los más bajos en este grado y en este
bloque.
110
Sexto Grado
Errores del bloque de área y recta numérica
Tabla IV-29
Tipo error
Preguntas donde se presentó este error
Frecuencia total
%Bloque %Grado %Muestra
Total
E6 18 110 54.70% 24.40% 5.80%
E2 3 24 11.90% 5.30% 1.30%
E1 2 16 8.00% 3.60% 0.80%
E7 2 15 7.50% 3.30% 0.80%
E3 2 10 5.00% 2.20% 0.50%
E4 1 12 6.00% 2.70% 0.60%
E5 1 1 0.50% 0.20% 0.10%
E8 1 1 0.50% 0.20% 0.10%
E9 1 2 1.00% 0.40% 0.10%
E10 1 1 0.50% 0.20% 0.10%
E11 1 1 0.50% 0.20% 0.10%
E12 1 4 2.00% 0.90% 0.20%
E13 1 2 1.00% 0.40% 0.10%
E14 1 2 1.00% 0.40% 0.10%
E15 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E16 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E17 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E18 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E19 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E20 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E21 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
En este grado y bloque se encontraron 5 errores más frecuentes, el primero de ellos
es el E6 con un porcentaje de 54.7% y son más de la mitad los que incurrieron en este
error, este error se ve más frecuente entre los grados de quinto y sexto, el siguiente
error es el E2 este error se comete cuando contestan por impulsividad o responde sin
fijarse, el porcentaje que comete este error es el 12% , le sigue el error E1 con un
porcentaje de 8% este error se comete por falta de observación, le sigue el error E7
con un porcentaje de 7.5% este error se comete cuando se considera que la fracción
que tiene números mayores corresponde a la fracción mayor. Como se puede
observar en este bloque y en este grado los alumnos cometen errores por descuido o
por falta de observación.
111
Sexto Grado
Errores del bloque numérico
Tabla IV-30
Tipo error
Preguntas en las que se
presentó este error
Frecuencia total
%Bloque %Grado %Muestra
Total
E6 12 104 70.30% 23.10% 5.40%
E2 7 34 23.00% 7.60% 1.80%
E19 1 7 4.70% 1.60% 0.40%
E5 3 3 2.00% 0.70% 0.20%
E3 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E7 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E8 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E9 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E10 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E11 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E12 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E13 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E14 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E15 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E16 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E17 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E18 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E4 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E20 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E21 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
En este bloque se cometen 4 errores con mayor incidencia y son el E6 con un
porcentaje de 70.3% este error es el que se da con mayor frecuencia, el
siguiente error con el 23% es el error E2 que se refiere al error de impulsividad,
el siguiente error es el E19 con un porcentaje de 4.7% este error se debe a
cuando se piensa que las fracciones son equivalentes cuando tienen los
mismos números sin importar el orden, el último error con solo 2% es el error
E5 este error se comete por descuido.
112
Sexto Grado
Errores del bloque de problemas
Tabla IV-31
Tipo error
Preguntas en las que
se presentó el error
Frecuencia total
%Bloque %Grado %Muestra
Total
E2 8 34 42.00% 7.60% 1.80%
E3 4 25 30.90% 5.60% 1.30%
E4 4 12 14.80% 2.70% 0.60%
E5 2 10 12.30% 2.20% 0.50%
E6 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E7 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E8 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E9 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E10 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E11 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E12 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E13 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E14 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E15 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E16 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E17 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E18 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E19 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E20 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
E21 0 0 0.00% 0.00% 0.00%
En este bloque nuevamente el error dominante es el E6, aunque con mayor
frecuencia en los grados de 5º y 6º grado, le sigue en frecuencia el error E5 con
un porcentaje de 30.9% este error se atribuye a la falta de concentración o
descuido, conviene destacar que posiblemente se deba a premura al contestar
lo que los lleve a los alumnos a cometer este error, el E21 con un porcentaje de
14.8% este error se comete por no lograr encontrar una fracción equivalente a
una dada y por último el E2 con un porcentaje del 12.3% este error se comete
por impulsividad.
113
Tabla comparativa de errores por bloque y por grado
Tabla IV-32
BLOQUE DE ÁREA Y RECTA
NUMÉRICA
4º 5º 6º
% Error % Error % Error
49 E6 52 E6 54 E6
12 E7 11 E2 12 E2
10 E3 5.5 E1 8 E1
6 E2 5.1 E7 7.5 E7
No. de errores por bloque
321 256 201
BLOQUE NUMÉRICO
79 E6 67 E6 70 E6
13.4 E2 16.4 E2 23 E2
7 E19 10.3 E19 4.7 E19
3 E5 4.6 E5 2 E5
No. de errores por bloque
299 195 148
BLOQUE DE PROBLEMAS
47 E6 55.5 E6 42 E6
17.5 E5 16.4 E2 31 E5
17 E21 15 E21 15 E21
14.5 E20 9.4 E5 12.3 E2
No. de errores por bloque
200 128 81
Esta tabla muestra los cuatro errores más frecuentes con sus respectivos
porcentajes de cada uno de los tres grados, así como también el total de
errores por grado y por bloque.
En el bloque de área y recta numérica el error E6 es el que tiene la mayor
ponderación en los tres grados lo que indica que gran parte de los ítems de
este bloque no fueron contestados por los alumnos. Aun así se puede ver que
sexto fue quien tuvo el porcentaje más alto (54%).En segundo lugar quinto y
sexto grado tienen otro error en común es el E2 que lo comete un poco más del
10%de los alumnos y solo el 6% en cuarto grado, tal error se da cuando el
alumno contesta impulsivamente y da como respuesta algo muy alejado de lo
solicitado.
114
El E7 es otro error común en los tres grados, se comete cuando el alumno
piensa que la fracción que tiene números mayores es la fracción mayor.
El error común en tercera posición solo en quinto y sexto grado es el E1 el cual
se presenta cuando hay dificultad de percepción para la identificación de áreas
equivalentes, en estos grados se presenta con un porcentaje menor al 10%.Y
en la misma posición en cuarto se encuentra el E3 con un 10%.
En cuarto lugar en quinto y sexto grado esta el error E7 y el error E2 en cuarto.
En este bloque cuarto grado es quien tiene el mayor número total de errores
321 y va descendiendo en un en un 20% en los grados siguientes llegando
alrededor de 200.
En el bloque numérico los cuatro errores más frecuentes y comunes en los tres
grados fueron el E6 y E2 lo que indica que la mayor parte de los alumnos en
los tres grados no contestaron los ítems de este bloque o bien contestaban
algo erróneo. Los porcentajes en E6 son mayores al 65% y al 13% los del E2.
El tercer lugar en los tres grados lo ocupa el error E19 que se da cuando el
alumno piensa que dos fracciones son equivalentes si las dos tienen los
mismos números no importando si son numeradores o denominadores. Cabe
aclarar que este error tuvo baja incidencia ya que solo 1 o 2 niños por grado
cometieron este error. También otro error con muy baja frecuencia fue el E5
que se da cuando el niño contesta erróneamente por descuido.
En el bloque de problemas tres de los cuatro más frecuentes son comunes a
los tres grados, el error con mayores porcentajes es el E6 aunque cabe señalar
que en sexto grado fue donde hubo menos alumnos que no contestaron los
ítems de este bloque después le sigue cuarto y al final quinto que fue el grado
en donde hubo más alumnos que incurrieron en este tipo de error.
El error E5 cometido por descuido se da con mayor frecuencia en los alumnos
de sexto la frecuencia es más del triple que los de quinto y el doble que los de
cuarto.
115
En tercer lugar está el E21 que tiene casi el mismo porcentaje en los 3 grados,
alrededor del 15% este error se refiere a cuando el alumno no logra obtener
una fracción equivalente a otra dada.
No se hizo una tabla concerniente al bloque de expresión ya que en este
bloque hubo muy pocos errores en los tres grados y los alumnos que
cometieron el error E6 no contestaron.
116
CONCLUSIONES
En este apartado final se presentan los resultados relevantes relacionados con
los objetivos de la tesis, los cuales se refieren a la indagación de los
conocimientos que los alumnos de cuarto hasta sexto grado de primaria
poseen respecto al tema de la equivalencia de fracciones en diferentes
contextos y conocer el tratamiento del tema en la propuesta curricular de
1993.Para alcanzar los objetivos planteados en este trabajo fue necesaria la
elaboración de un instrumento que consta de 50 ítems y que considera el tema
de las fracciones equivalentes en los contextos: Área y Recta Numérica;
Numérico, Resolución de Problemas y Expresión de Decimales.
A partir del análisis de las respuestas al instrumento aplicado, se detectó que
40% de la muestra de alumnos tuvo el 60% o más de aciertos, es decir en
términos de calificaciones, el resto de los alumnos obtuvo calificación
reprobatoria. El desempeño de toda la muestra es menos satisfactorio que lo
encontrado en los resultados a nivel nacional en la evaluación de las pruebas
EXCALE, al comparar los resultados en los reactivos relacionados con la
equivalencia de fracciones se tiene que los alumnos de 6º de primaria en la
prueba del 2005 obtuvieron porcentajes de aciertos a nivel nacional de un
43% y 53% y en este mismo grado en la prueba del 2009 obtuvo 47% y 56%
sin embargo al considerar no toda la muestra y si nos constreñimos a la parte
de la muestra correspondiente a los alumnos de sexto estos obtuvieron un 70%
de aciertos.
Los resultados de este trabajo y los que arrojan las pruebas de EXCALE ponen
de manifiesto el bajo desempeño de los alumnos. Este trabajo aporta mayores
elementos a las proporcionadas por las pruebas de EXCALE respecto a las
fallas en la preparación de los alumnos en relación al tema de equivalencia de
fracciones. Ambos resultados hacen notorio que los propósitos plasmados en
los programas de estudio de educación primaria no se han alcanzado con
respecto al tema.
En los ítems relativos al contexto de áreas y recta numérica en la muestra total,
el porcentaje dominante corresponde a la categoría de difíciles ya que para los
117
alumnos de 4° y 5° grados las preguntas resultaron difíciles para más de la
mitad de los estudiantes y para un poco más de un tercio para los de 6° grado.
Para cuarto grado la mitad de los ítems de los contextos mencionados les
resultó difícil en aquellos donde tenían que justificar su respuesta y los de
equivalencia con figuras y en la recta numérica y la otra mitad regulares fueron
los correspondientes a representación en fracciones de figuras con áreas
sombreadas. En quinto alrededor de las dos terceras partes de los ítems les
resultaron fáciles y regulares y un poco más de una tercera parte difícil. Cabe
señalar que los ítems fáciles para quinto fueron aquellos en los que se
solicitaba solamente representar en fracción la parte sombreada de
determinadas figuras, a diferencia de los alumnos de cuarto justifican algunas
de sus respuestas pero siguen teniendo dificultades.
Los alumnos de sexto ya justifican la mayoría de sus respuestas pero aun así
tienen dificultades en establecer equivalencias, su desempeño no fue
notoriamente superior al de los alumnos 4° y 5° grados.
En el contexto Numérico para la muestra total se observa que a los ítems
difíciles le corresponde el porcentaje más alto, un poco más del 50%, esto
obedece a que para la mayoría de los alumnos de cuarto y quinto grado los
reactivos se ubican en esta categoría.
Para los alumnos de cuarto grado, más del 90% de estos ítems resultó difícil
solo un ítem se ubica en regular, en los de quinto más ítems se hallan en la
categoría de regular que en cuarto pero la mejora es poco significativa y en
sexto si hay una marcada mejoría la mayor parte de estos ítems les resultaron
regulares un 70% y un 20% fáciles.
En el contexto numérico y de problemas, la diferencia fue más marcada en
sexto grado que consiguió un desempeño mucho más significativo que los
otros grados porque alcanzó un mayor porcentaje de respuestas acertadas en
preguntas de respuesta cerrada y en preguntas donde se les solicitaba una
justificación.
En el contexto de Problemas con respecto a la categoría de ítems regulares
para la muestra total abarca casi una tercera parte y la categoría de ítems
118
fáciles resultó ser un poco más de la quinta parte esto obedece al alto
porcentaje en esta categoría obtenido de las respuestas de los alumnos de
sexto grado. Para cuarto casi todos los ítems les fueron difíciles, en quinto
grado un poco más de 2/3 de estos ítems resultan regulares, a diferencia de
cuarto grado los alumnos no solo contestan acertadamente más preguntas sino
también justifican sus respuestas y en sexto grado a excepción de un ítem, lo
demás les resulta fácil.
Dado que las clasificaciones de errores existentes en la bibliografía revisada
resultaron ineficientes, al no permitir tipificar los equívocos cometidos por los
alumnos fue necesario establecer una taxonomía de errores para este tema, se
encontraron 21 tipos de error para este tópico algunos de ellos considerados en
la literatura consultada.
De la muestra total los 3 errores más frecuentes fueron: el primero cuando el
alumno no contesta, el segundo cuando el niño da una respuesta muy alejada
de lo que se les solicitó en la pregunta, este error suele llamarse en la literatura
de impulsividad dado que el alumno responde sin fijarse en lo que se les pide y
el tercero se da cuando el alumno responde erróneamente no precisamente
porque no sepa lo que se le pide. Conviene destacar que estos errores los
alumnos suelen cometerlos en cualquier instrumento no importando la materia
de la que trate. los errores que los alumnos cometen más frecuentemente y
que son propios de las fracciones resultaron: El considerar que la fracción que
tiene números mayores es la fracción mayor; que un entero por tener más
divisiones tiene mayor área sombreada que otro entero con menos divisiones y
la conversión al establecer una fracción equivalente a otra en fracciones
impropias.
Más del 60% de los estudiantes no contestaron los ítems, los alumnos dan
respuestas sin sentido y no corresponden a lo que se les solicitó, en este error
incurren más del 10% de la muestra y el 5% de los alumnos cometió error por
descuido este tipo de error solo se presentó en ítems referentes al tema de
suma de fracciones dimensionadas.
Los errores más frecuentes de los alumnos de cuarto grado corresponden a la
falta de respuesta, es decir, el alumno no contesta; el alumno piensa que la
119
fracción que tiene números mayores es la fracción mayor, y el último se refiere
a respuestas muy alejadas de lo solicitado, error de impulsividad; otro error es
cuando el alumno por falta de concentración o descuido no resuelve con la
debida atención el problema; problemas en la conversión de una fracción a otra
equivalente.
En quinto grado los errores más comunes son los siguientes: el alumno no
contesta, el siguiente error es cuando el niño da una respuesta muy alejada de
lo que se les solicito; otro error frecuente se da cuando considera que dos
fracciones son equivalentes si las dos tienen los mismos números no
importando el orden y se equivoca al establecer una fracción equivalente a otra
dada.
En sexto grado los errores más comunes fueron los siguientes: el primero se
da cuando el alumno no contesta; el segundo se refiere a cuando el niño da
una respuesta muy alejada de lo que se les solicitó; el tercero es un error de
descuido lo que implica que el alumno responde erróneamente no
precisamente porque no sepa lo que se le pide y el último error es cuando se
equivoca al establecer una fracción equivalente a otra dada.
De acuerdo a lo anterior se percibe que en los tres grados hubo un número
significativo de alumnos que no contestaron los ítems, o bien consignaron
respuestas sin sentido y no correspondían a lo que se les solicitó. En quinto
grado a parte de estos errores presento cuando se considera que dos
fracciones son equivalentes si las dos tienen los mismos números no
importando el orden y cuando el alumno no sabe hacer una conversión de una
fracción a otra equivalente.
Los errores más frecuentes en el contexto de área y recta numérica fueron los
siguientes: el primero se da cuando el alumno no contesta, el segundo se da
cuando el niño da una respuesta muy alejada de lo que se les solicito, este
error también se le llama de impulsividad dado que responde sin fijarse en lo
que se le pide, el tercero se comete cuando el alumno piensa que la fracción
que tiene números mayores es la fracción mayor, el cuarto error lo comete el
alumno cuando tiene la idea de que un entero por tener más divisiones tiene
mayor área sombreada que otro entero que tiene menos divisiones y el último
120
se presenta cuando el alumno no logra establecer la equivalencia en fracciones
presentadas en figuras.
Los errores más frecuentes en el contexto numérico fueron: el primero se
presenta cuando el alumno no contesta, el segundo cuando el niño da una
respuesta muy alejada de lo que se les solicito, y el tercer error cuando
considera que dos fracciones son equivalentes si las dos tienen los mismos
números no importando el orden.
Los errores más frecuentes en el contexto de problemas fueron los siguientes:
el primero cuando el alumno no contesta, el segundo error es de descuido, el
tercer error se presenta cuando el niño da una respuesta muy alejada de lo que
se les solicito, el cuarto error es deincongruencia entre el inciso elegido y la
explicación que se da y el último error es cuando se equivoca al establecer
una fracción equivalente a otra dada.
Enfocándonos en los errores más frecuentes para cada contexto se tiene que
los dos errores más comunes en los tres bloques son los siguientes, cuando el
alumno no contesta y el otro error cuando el niño da una respuesta muy alejada
de lo que se les solicito.
En el contexto de área y recta numérica los errores frecuentes fueron
considerar que la fracción que tiene números mayores corresponde a la
fracción mayor, el consistente en considerar que una figura por tener más
divisiones tiene mayor área sombreada que otro la misma figura con menos
divisiones y cuando el alumno no logra establecer la equivalencia en fracciones
presentadas en figura.
En el contexto numérico el error más frecuente se da cuando considera que
dos fracciones son equivalentes si las dos tienen los mismos números no
importando el orden.
En el contexto de problemas se presentó frecuentemente el error de establecer
equivocadamente una fracción equivalente a otra dada.
En general los alumnos de los tres grados presentaron serias dificultades en
reactivos donde tenían que obtener una fracción equivalente a una fracción
121
dada (a/b), uno de los errores más comunes fue considerar que dos fracciones
eran equivalentes si las dos fracciones tenían los mismos números (a/b= b/a)
otro error frecuente fue sumar uno o dos al numerador y denominador de la
fracción (a+1/b+1), la fracción resultante era considerada equivalente. También
se les dificulto de manera especial a los alumnos de cuarto y quinto grado
encontrar el numero faltante de dos fracciones equivalentes (a/b= c/?).
Ya hemos mencionado sobre los errores más comunes a nivel general en
relación a los ítems de la parte numérica. ahora mencionaremos los tipos de
error que tuvieron en la parte de área y recta numérica cuando se les
presentaba figuras con una determinada área sombreada, en esa parte el error
más común fue el de percepción ya que no pudieron distinguir que dos figuras
con n partes sombreadas solo “aparentemente” tenían la misma área cubierta.
Otro problema que contestó solo un 21% fue el relacionado con la fracción
impropia, es decir la mayor parte de los alumnos se les dificulta identificar la
unidad aun cuando tienen el apoyo de la parte gráfica.
De igual manera otro problema en donde obtuvieron un muy bajo porcentaje de
respuestas correctas (12%),es cuando se les presento dos figuras divididas de
distinta manera pero con la misma área coloreada, y esto sucedió por el hecho
de que estuvieran divididas de distinta manera las figuras.
Dado este resultado creemos que gran parte de los alumnos presento este tipo
de dificultad debido al arraigado concepto de igualdad, pues apoyando lo que
dice Fandiño (2010) cuando el adulto propone al niño dividir al rectángulo o la
figura que sea en partes “iguales“, este término podría y debería ser
interpretado como congruentes que se pueden sobreponer ( y muchos
maestros de primaria y de secundaria lo interpretan así y obligan al estudiante
a interpretarlo así), lo cual precisamente hace que el alumno posteriormente
tenga dificultades de esta índole.
Otro problema en el que el desempeño de los alumnos de los tres grados fue
deficiente fue la localización en una recta dividida en seis segmentos dos
fracciones propias y que identificaran si tales fracciones representaban una
122
distancia equivalente. Entonces de estos resultados se afirma que los alumnos
no saben en su mayoría localizar fracciones en la recta y mucho menos
establecer equivalencias.
En cuanto a las preguntas donde tuvieron más dificultad los alumnos por cada
grado se observó lo siguiente: en cuarto grado hubo más niños, que en quinto y
sexto grado, que en las preguntas de la parte aéreas y recta numérica, cuando
se les mostraba dos figuras con la misma área sombreada pero divididas en
diferente número de partes, contestaban que si estaba una figura divida en
“más” partes pues tenía más área iluminada.
En cambio en quinto y sexto aunque también presentaron este tipo de
dificultad, también se dieron varios casos en que le daban más peso a la parte
operativa ya que si no se cumplía la regla de (a x 2/ b x 2 = c/d) entonces
aunque las figuras tuvieran la misma área sombreada ya decidían que no eran
equivalentes las fracciones.
De lo anterior se concluye que los alumnos de cuarto tienen problemas para
entender la noción de equivalencia en el contexto de área, los alumnos de
quinto y sexto no superan considerablemente a los de cuarto grado.
Otras dificultades que presentaron en mayor proporción grado los alumnos de
cuarto fue la identificación de una fracción en conjuntos discretos (n pesos
representa a/b de n pesos) y tampoco la equivalencia en dichos conjuntos.
Incluso descubrimos gracias a las entrevistas que varios niños habían
contestado que las fracciones de 2/4 y 4/8 eran equivalentes pero cuando se
les cuestiono del porqué, no lograron dar respuestas satisfactorias o bien no
sabían que decir a pesar de que estas fracciones son las más comunes en los
libros de texto de primaria cuando se trata la equivalencia. Lo anterior indica
que no se logra la comprensión y que esta cuestión se convirtió en algo
memorístico.
Los problemas que estaban relacionados con la suma iterativa de fracciones
para conformar la unidad (1/n+1/n+…=1) cuarto y quinto tuvieron un
desempeño muy similar ya que en los dos grupos contestaron entre un 50% o
menos este tipo de ítems, aun tomando en cuenta que fueron algunos los
123
alumnos que cometieron error en estos problemas por distracción, aun así fue
un resultado que no se esperaba en especial de los alumnos de cuarto porque
es precisamente en este grado donde aparecen más lecciones en el libro de
texto relacionadas con esta temática, en sexto hay una mejoría ya que contesta
bien más del 80%. Hay otro ítem que contestó menos del 50% de los alumnos
de cuarto y quinto grados en el que tenían que obtener una fracción
equivalente a partir de una fracción mixta (1 1/n = a/b) para resolver el
problema planteado.
La mayoría de los alumnos se desempeñan satisfactoriamente la obtención de
fracciones equivalentes a partir de una expresión decimal y escribir las
fracciones que representaban los distintos gráficos que se les presentaron en el
instrumento.
En lo tocante al tratamiento de la equivalencia de fracciones en programas y
libros de texto de la educación primaria se encontró que se plantean
problemas de distancias, áreas y capacidades, así como la conversión de
fracciones a distintas unidades de medida y la aplicación de la equivalencia
para suma y resta de fracciones con denominadores no mayores a 12.
Cabe mencionar que si bien se utiliza la equivalencia de fracciones para
efectuar sumas y restas de fracciones a los alumnos no se les presenta
explícitamente un algoritmo para la realizarlas, es importante señalar que en
cuarto solo 7 lecciones están destinadas al tema de equivalencia con
fracciones, en quinto 6 y en sexto son 8.
Si bien el tratamiento de la equivalencia con fracciones a lo largo de la primaria
se encuentra en diferentes contextos se deja al profesor o al alumno articular
estas diferentes situaciones y usos de las fracciones equivalentes.
124
RECOMENDACIONES
En la aplicación del instrumento es menester contar con tiempo
suficiente y tratar de evitar que los alumnos entreguen el examen con
preguntas sin contestar.
Las preguntas que resultaron fáciles para los tres grados que en este
caso fueron las de conversión de decimales se pueden sustituir por
problemas de equivalencia en conjuntos discretos.
Se recomienda que el instrumento sea aplicado a una muestra aleatoria
y representativa de alumnos con esto se podrá aportar información
adicional acerca del conocimiento de los alumnos de primaria sobre el
tema.
Se sugiere que el instrumento se aplique a alumnos que estén cursando
primero de secundaria o a egresados de la primaria.
125
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ext(15-Noviembre-2011)
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http://www.inee.edu.mx/archivosbuscador/2007/01/INEE-20070164-
comparativocompleto.pdf
128
ANEXO 1
Apéndices y tablas descriptivas de las lecciones de fracciones por grado
Apéndice de tercer grado
No. De Lección
Título Bloque Página
3 Banderas de colores 1 12
8 Las trenzas de Mónica 1 22
14 El calendario 1 34
22 Un paseo en el zoológico 2 54
29 El gato 2 68
38 El establo 3 90
39 Quesos y crema 3 92
58 Miel y fruta seca 4 134
60 Juguetes de madera 4 138
62 Compartir con los amigos 4 142
65 La ardilla el chapulín y el sapo. 4 148
66 Los envases 4 150
88 Lo que cabe en una caja 5 186
En total son 89 lecciones que componen el libro de matemáticas de tercer
grado, de las cuales 13 tratan el tema de fracciones (15%).
Apéndice de equivalencia de tercer grado
El punto del programa Diversos recursos para encontrar la equivalencia entre
algunas fracciones del litro se encuentran en las siguientes 4 lecciones (5%):
No. De Lección
Título Bloque Página
38 El establo 3 90-
65 La ardilla, el chapulín y el sapo. 4 148
66 Los envases 4 150
88 Lo que cabe en una caja 5 186
129
Bloques y lecciones del eje 1 de cuarto grado
Tercer grado
Propósitos de aprendizaje
1. Resolver problemas que impliquen el uso de unidades de medida no convencionales, aproximándose a la noción de unidad de medida convencional al utilizar el metro, el kilogramo, el centímetro cuadrado y el litro para medir longitudes, pesos, superficies y capacidades con fracciones.
2. Resolver problemas con diversos significados entre estos el de la división (reparto y tasativos, es decir, ver cuántas veces cabe una cantidad en otra).
*Debajo del nombre de casi todas las lecciones esta una P1 o una P2, la P1 se refiere a que tal lección cumple con el propósito 1 y la P2 se refiere a que la lección cumple con el propósito 2
TERCER GRADO EJE I. LOS NÚMEROS SUS RELACIONES Y SUS OPERACIONES. TOTAL DE LECCIONES:58
NO. DE LECCIONES DE NÚMEROS FRACCIONARIOS:13
BLOQUE I Lecciones de fracciones: 3
BLOQUE II Lecciones de fracciones: 2
BLOQUE III Lecciones de fracciones: 2
BLOQUE IV Lecciones de fracciones: 5
BLOQUE V Lecciones de fracciones: 1
3.Banderas de colores
22.Un paseo en el zoológico
38.El establo 58.Miel y fruta seca 82. Lo que cabe en
una caja.
8.Las trenzas de Mónica
29.El gato 39.Quesos y crema 60.Juguetes de
madera
14.El calendario 62.Compartir con
los amigos
65.La ardilla, el chapulín y el sapo
66.Los envases
130
TERCERO CONTENIDO DEL LIBRO CONTENIDO MATEMÁTICO
Lección 3
Bloque 1
Banderas de
colores
p.12
En esta lección únicamente se ve la
equidivisión de un entero; Se presentan tres
enteros y se les pide a los alumnos que el
primero lo dividan en dos partes, el segundo en
cuatro y el último en ocho.
* Uso de fracciones para
expresar medidas de superficies.
Lección 8
Bloque 1
Las trenzas de
Mónica
p.22
P1
Se ve el significado de parte/todo con
fracciones continuas.
Ya no solo se fracciona la unidad sino que se
pide tomar una parte de la unidad fraccionada y
escribirla en forma de fracción. Sólo se ve 1/2 y
1/4
En esta lección se usa el material recortable
No. 4 para comprobar cuáles son mitades y
cuáles no.
A partir del metro ven medios. Se usa material
recortable para comprobar la equidad de áreas.
* Uso de fracciones para
expresar medidas de longitud.
Noción de la mitad.
Lección 14
Bloque 1
El calendario
p. 35
De 24 alumnos se saca la mitad y 1/4
24 X 1/2 = 12
24 X 1/4 = 6
* Significado de operador.
Lección 22
Bloque 2
Un paseo en el
zoológico.
p. 54
P2
Se reparte en cuartos y se trabaja con
fracciones discretas y continuas ej. 9
mandarinas se tienen que repartir entre cuatro
niños y un pastel se tiene que repartir entre 4
niños. Se representa en dibujo y en símbolo la
fracción de 1/4.En esta lección también se ve la
fracción mixta pues como se puede observar en
el ejemplo de las mandarinas a cada niño le
toca 2 1/4 de mandarina. Este problema resulta
un tanto complejo para el niño que apenas se
está iniciando en las fracciones. Se incluyen
dos problemas de división y uno de suma. Al
final de la lección aparece una actividad para
reforzar el significado de parte-todo, se pide
repartir un chocolate en cuatro niños, es decir
con este problema ya viene implícito el
concepto de numerador y denominador.
* Significado de cociente de la
fracción.
Lección 29
Bloque 2
El gato.
p.68
P2
Significado de cociente. Se ve una situación de
reparto en la que 3 caramelos se tienen que
repartir entre 4 niños (3/4). Se ve el significado
de cociente de la fracción y el numerador de la
fracción es mayor a 1 a diferencia de las
lecciones anteriores.
* Fracciones en situación de
reparto.
131
Lección 38
Bloque 3
El establo
p.90
P1
Se ve el significado de parte/todo. La unidad se
puede dividir en partes iguales y al juntar tales
partes se conforma la unidad.
Con la unidad de medida del litro los niños
identifican con cuantos medios y cuartos se
necesitan para reunir un litro. Es decir se
descompone la unidad en medios y cuartos y
de acuerdo con los problemas planteados el
niño tiene que descubrir que una fracción mixta
no es más que una manera de abreviar la suma
de varias fracciones con un mismo
denominador.
En esta lección el problema de mayor
complejidad es en el que se pregunta:
¿Qué cantidad de crema hay sumando la de
todos los frascos?
En la ilustración aparecen cinco frascos con 1
litro de crema, 5 frascos de ½ litro de crema y 8
cuartos de litro crema.
5l
1 + 1 + 1+ 1 +1 = 5 = 2 1/2 l
2 2 2 2 2 2
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1 + 1 = 8 = 2l.
4 4 4 4 4 4 4 4 4
La suma queda de la siguiente manera:
5 + 2 1 +2 = 9 1/2
2
Aquí aumenta la dificultad a diferencia del
problema que se planteo en la lección 22 en
relación a la fracción mixta.
* Las fracciones como medida de
capacidad.
Lección 39
Bloque 3
Quesos y crema
p. 92
P1
En esta lección se ve el significado de
parte/todo y de operador
A partir de números naturales se sacan medios
y cuartos. Ej. Si un queso grande vale $24
¿Cuánto cuesta 1/4 de este queso?
24 X 1 = 6
4
O bien a partir del significado de operador se
hace una suma:
Queso mediano $ 16
Queso grande $ 24
Queso chico $ 8
Un queso mediano y un cuarto de queso
mediano
1/4 X 16 = 4 16 + 4 = 20
Un queso grande y un cuarto de queso chico
1/4 X 8 = 2 24 + 2 = 26
* Fracciones de cantidades
discretas y continuas. Uso de la
escritura convencional.
Lección 47
Bloque 2
Escucha y corre
p. 108
P1
Significado de medida.
Necesitan:
- Un pedazo de cuerda de un poco más de un
metro de largo.
- Tres tiras de cartoncillo. Una de un metro de
largo, otra de medio metro y otra de un cuarto
de metro.
Se pide a los niños que calculen a “ojo” las
distancias anteriormente mencionadas.
* Fracciones del metro.
132
Lección 58
Bloque 4
Miel y fruta seca.
p. 134
P2
Se trabaja con el litro y el kilo el significado de operador .Ej. Si el litro de miel cuesta $16
cuánto vale 1/2l y 1/4 de l. Esta lección también abarca el significado de equivalencia se hace ver al niño la igualdad que hay de 1/2 litro de miel con 2/4 de litro y 1/2 kilo y 2/4 de kilo.
*Fracciones de cantidades continuas y discretas.
Lección 60 Bloque 4
Juguetes de madera.
p.138 P2
Se ve el significado parte/todo. Se usa el material recortable número 15 y se ve
el significado de medida con la fracción. Se pide que con la tira roja los niños midan las demás tiras que aparecen en la ilustración. Se
hacen preguntas como: ¿Cuántas veces cabe la tira amarilla en la
verde? 2 veces.
* La fracción como parte de unidad o como parte que cabe
un cierto número de veces.
Lección 62
Bloque 4
Compartir con los
amigos
p.142
P1
Se trabajan situaciones de reparto con
fracciones continuas y discretas ej: De 20
nueces se tienen que repartir entre 4 niños, en
este caso es fácil encontrar la respuesta. Pero a
diferencia de la lección 22 en donde se
presenta solo un situación en la que se tiene
que hacer un reparto utilizando una fracción
mixta 2 1/4 en esta lección se manejan 3
problemas y son de mayor complejidad y lo que
se pretende es inducir a los niños en las
situaciones de reparto de tal manera que ellos
puedan llegar a expresar un reparto con una
fracción mixta. Ejemplo:
1. 5 obleas / 4 niños. R. 1 1/4
2. 15 jarros “ “. R. 3 3/4
3. 50 piñones “ “ R.12 1/2
En el caso de los tres primeros problemas
habrá niños que puedan llegar a estas
respuestas sin la necesidad de ayuda del
docente pero si no ocurre así el docente tendría
hacer diferentes preguntas para que los niños
lleguen a la respuesta deseada. El problema
dos aparte de ser un problema de fracción
discreta para llegar a su solución se hace uso
del significado de cociente pues a cada niño le
vienen tocando 3 3/4 de jarro.
De hecho no se pueden aceptar las respuestas
en las que se diga que sobro algo porque la
instrucción que se da en la lección es de que
las cosas que llevaron los niños deben
repartirse en partes iguales entonces si se hace
tal cosa todas las cosas se pueden repartir sin
que haya algún sobrante.
* Situaciones de reparto
exhaustivo y no exhaustivo.
Lección 65
Bloque 4
La ardilla, el
chapulín y el
sapo.
p. 148
P1
Esta lección es similar a la lección 38 solo que
en lugar de utilizar el litro se utiliza el metro y
este igualmente se fragmenta en medios y
cuartos es decir se ve el significado de parte/
todo.
Se espera que el niño entienda que 2/2 y 4/4
conforman la unidad. Y también se hace uso de
*Comparación entre fracciones y
números enteros.
133
la multiplicación ejem: ¿Cuántos saltos tienen
que dar el chapulín y la rana para recorrer
18m?
chapulín 2 saltos= 1m 36
rana 4saltos= 1m 72
Lección 66
Bloque 4
Los envases
p.150
P1
Con la unidad de medida del litro los niños
reconocen gráficamente y escriben las
siguientes capacidades: 1 1/2, 1l, 2 1/2 ,1/4, 3/4
y 1/2l (fracciones mixtas).
En esta lección se incluye un problema con un
considerable grado de dificultad, está
relacionado con la fracción mixta y la
equivalencia.
A diferencia de los problemas de la lección 38
en donde se tenían que sumar fracciones con
un mismo denominador para sacar una fracción
mixta en esta lección es lo inverso se tiene que
convertir una fracción mixta a una impropia y
esta a su vez transformarla en una fracción
equivalente para que a partir de esta se pueda
hacer un reparto equitativo esto se ejemplifica
con el siguiente problema.
Itzel compro una botella de agua natural de 1
1/2 litro y le dio la mitad a su amiga Nora ¿Qué
cantidad de agua le toco a cada una?
Para esto el niño tendría que saber que 1 1/2 =
3/2 =6/4 y la mitad de 6/4 es 3/4
* Primeras aproximaciones a la
suma de fracciones mediante el
cálculo mental.
Lección 82
Lo que cabe en
una caja
p. 186
P1
Se ve el significado de parte/todo pero con la
unidad de medida de el litro y también se ve la
equivalencia que hay entre una fracción y una
subunidad del litro.
1/4 l = 250 ml.
250ml = 0.250
Así como la expresión escrita en decimal.
En esta lección se utilizan cartulinas para
construir cajas de 1l, 1/2l y 1/4l.
Y se ven suma de fracciones con un mismo
numerador y denominador.
*Solución y comparación de
escrituras aditivas con
fracciones.
134
Apéndice de cuarto grado
No. de
Lección Título Bloque Página
4 La tienda del pueblo 1 14
6 En partes iguales sin doblar 1 18
10 Cuerdas resistentes 1 26
19 Lección de repaso 1 44
21 El día de la ONU 2 48
29 Tarjetas de papel 2 64
36 La vuelta al mundo 2 78
38 Galletas redondas 2 82
40 Lección de repaso 2 86
44 Más galletas y más niños 3 94
48 Adornos para el festival 3 102
52 Las golosinas 3 110
53 La vuelta al mundo en 360 grados 3 112
56 La paloma de la paz 3 118
60 Juegos y actividades 3 126
64 Animales que saltan 4 134
65 Esferas de plastilina 4 136
67 Particiones decimales 4 140
69 Datos interesantes 4 144
75 Lección de repaso 4 156
82 La polilla indiscreta 5 170
84 Los quelites 5 174
En total son 91 lecciones que componen el libro de matemáticas de cuarto
grado de las cuales 15 es decir el 17% del total de lecciones están
relacionadas con fracciones y decimales.
En el punto del programa Diversos recursos para encontrar la equivalencia
entre algunas fracciones se encuentra en las siguientes 7 lecciones (8%) un
porcentaje bajo si se toma en cuenta que en cuarto grado es donde más
lecciones hay relacionadas con tal temática.
135
Apéndice de equivalencia de cuarto grado
Bloques y lecciones del eje 1 de cuarto grado
No. De
Lección Título Bloque Página
29 Tarjetas de papel 2 64
36 La vuelta al mundo 2 78
44 Más galletas y más niños 3 94
48 Adornos para el festival 3 102
56 La paloma de la paz 3 118
60 Juegos y actividades 3 126
64 Animales que saltan 4 134
EJE I. LOS NÚMEROS SUS RELACIONES Y SUS OPERACIONES. TOTAL DE LECCIONES:48
NO. DE LECCIONES DE NÚMEROS FRACCIONARIOS:20
BLOQUE I Lecciones de fracciones: 4
BLOQUE II Lecciones de fracciones:5
BLOQUE III Lecciones de fracciones:5
BLOQUE IV Lecciones de fracciones:4
BLOQUE V Lecciones de fracciones:2
4. La tienda del pueblo. Las
fracciones 1/2, 1/4 y 1/8 y 1/16 en
situaciones de medición de longitudes.
1. El día de la ONU. Las fracciones en
situaciones de partición.
3. Más galletas y más niños.
Comparación de fracciones.
4. Animales que saltan. Relación entre décimos, centésimos y milésimos.
6. La polilla indiscreta. Orden entre los números
decimales.
6. En partes iguales sin doblar. Uso de
rectas paralelas para dividir un segmento en partes iguales.
9. Tarjetas de papel. Las fracciones en
situaciones de reparto.
7. Adornos para el festival. Décimos y
centésimos.
5. Esferas de plastilina.
Procedimientos informales para
sumar fracciones.
8. Los quelites. Situaciones de
proporcionalidad con fracciones y decimales.
10. Cuerdas resistentes.
Fracciones del metro.
16. La vuelta del mundo. Noción de
ángulo.
11. Las golosinas. Fracciones para el
kilógramo.
7. Particiones decimales. La
notación decimal.
19. Lección de repaso.
18. Galletas redondas. Comparación de
fracciones.
12. La vuelta al mundo en 360
grados. El grado como unidad de
medida de ángulos
9. Datos interesantes. La notación decimal
en diferentes contextos.
20. Lección de repaso. 15. La paloma de la
paz. Fracciones equivalentes.
19. Juegos y actividades.
136
Cuarto grado
Propósitos de aprendizaje
1. Resuelva problemas que impliquen el uso de fracciones en situaciones de
reparto, medición, comparación, equivalencia u orden.
2. Resuelva problemas que impliquen el uso y equivalencia de unidades de
longitud, peso, superficie, capacidad y tiempo para profundizar en el estudio del
Sistema Métrico Decimal.
3. Adquiera, a través de la comparación de giros, la noción de ángulo y la
capacidad para medirlos en fracciones de vuelta o en grados.
*Debajo del nombre de casi todas las lecciones esta una P1 o una P2 la P1 se
refiere a que tal lección cumple con el propósito 1 y la P2 se refiere a que la
lección cumple con el propósito 2 y lo mismo sucede con la P3.
En este grado además de trabajar con las fracciones cuyo denominador es dos,
cuatro y ocho; se incluyen también los tercios, los quintos y las fracciones
decimales.
CUARTO CONTENIDO DEL LIBRO CONTENIDO MATEMÁTICO
Lección 4 Bloque 1
La tienda del pueblo
p.14 P1
En esta lección se presenta una unidad de medida con la cual deben medirse clavos de distintos tamaños. La
unidad no siempre va coincidir con los diferentes clavos solo si se fracciona ya sea en medios, cuartos, quintos, octavos y dieciseisavos. Para medir se hace uso de las
fracciones mixtas (2 2/4, 2 1/4, 1 1/4).
*Las fracciones 1/2.1/4. 1/8 y 1/16 situación de medición de
longitudes.
Lección 6 Bloque 1
En partes iguales sin doblar.
p. 18 P1
En esta lección se combinan 2 significados el de parte/todo y el de medición. Se les pide a los niños
recortar 5 tiras de cartoncillo y dividir una tira en 8cm partes iguales y las demás en el número de partes que
quieran. Después con la tira divida en 8 se miden segmentos de recta de diferentes tamaños. En otra
actividad se pide trazar tres segmentos con las siguientes medidas: 3/8, 1+ 1/2, 1+2/8.
* Uso de rectas paralelas para dividir un segmento en partes
iguales.
Lección 10 Bloque 1 Cuerdas
resistentes p. 26 P2
Se ve el significado de parte/todo y la equivalencia que hay entre una fracción de metro y las subunidades del
metro. 1/2 metro es igual a 5 decímetros.
1 decímetro es igual a 10 centímetros.
1 metro es igual 100 centímetros.
1/4 metro es igual a 25 centímetros.
1/2 metro es igual a 50 centímetros.
* Fracciones del metro.
137
3/4 es igual a 75 centímetros.
Lección 19 Bloque 1
De repaso. p. 45 P1
Se hace algo similar a la lección 6 ya que el niño construye una unidad de medida y con esta mide
distintos segmentos de recta. Así como también se le pide que dibuje 3 segmentos
con las siguientes medidas: 1+3/4, 7/8,5/4.
Lección 21 Bloque 2
El día de la ONU p.48 P1
Se ve el significado de parte/todo. Aparece la imagen de 16 banderas, cada una de ellas está dividida en un
diferente número de partes (2,3 ,4 ,5 y 6). A diferencia de la lección 3 del libro de texto de tercer grado en esta aparecen las fracciones simbólica y en dibujo y viene
implícitamente el significado de numerador y denominador.
*Las fracciones en situaciones de partición.
Lección 29 Bloque 2
Tarjetas de papel p.64 P1
Se ve el significado de cociente. Se busca que los niños entiendan que una fracción
puede cuantificar el resultado de repartir equitativamente cierto número de enteros (hojas de
papel) entre cierto número de niños (que a cada uno de los niños le toque la misma cantidad de papel.
La maestra formó equipos de dos niños, de cuatro niños y de ocho niños.
Después entrego algunas hojas a cada equipo para que se las repartieran en partes iguales.
*Las fracciones en situaciones de reparto.
Lección 36 Bloque 2
La vuelta al mundo p. 78 P3
En esta lección aparece el dibujo de un círculo dividido en ocho partes y cada parte representa a una capital de
un país.
Puntos Giros
. 1/8 de vuelta
. . 1/4 de vuelta
. . . 3/8 de vuelta
. . . . 1/2 de vuelta
. . . . . 5/8 de vuelta
. . . . . . 3/4 de vuelta
1. En la primera tirada que hizo Raúl el dado marcó un punto, ¿Cuánto giró? 1/8
2. ¿A qué ciudad llegó? Sao Luis 3. En la segunda tirada Raúl giró 1/4 de vuelta,
¿Cuántos puntos marcó el dado? 2 4. Raúl estaba en Pukapuka, lanzó el dado y llegó a
Dacca ¿Cuánto giró? 3/8 5. Si Raúl está en Dacca ¿Cuánto le falta para
completar una vuelta? 2/8 Se ve el significado parte/todo y de manera informal se empiezan a ver fracciones equivalentes esto se ve en la
pregunta tres en la que se espera que el niño vea la igualdad entre 1/4 y 2/8.
El docente podría hacer preguntas adicionales como las siguientes:
Es cierto que si Raúl recorrió 1/2 vuelta es lo mismo que si hubiera recorrido 4/8?
¿Si Raúl recorre 1/4 es lo mismo que si recorriera, qué fracción?
* Noción de ángulo.
Lección 18 B(2)
Galletas redondas
p.82 P1
En esta lección se ve el significado de cociente el niño tiene que representar en dibujo y en símbolo la fracción de galleta que le tocara a cada niño. Ej.: Se reparten 5
galletas entre 4 niños. También se ve la conversión de las fracciones impropias
en mixtas. Ej.:
138
5/4 = 1 1/4 4/3 = 1 1/3
Y se ordenan distintas fracciones de menor a mayor:1/4 menor a 1 menor 1/4
Lección 20 B(2) De repaso
p.86
Se repasa el significado de parte todo. Se pide dibujar 1/3 del rectángulo.
Lección 3 B(3) Más galletas y
más niños p. 94 P1
Se ve el significado de cociente, suma de fracciones con un mismo denominador y con diferente denominador,
se hace comparación de fracciones para averiguar cuáles son mayores que otras e informalmente se ven la
equivalencia de tales fracciones: 1/2 2 /4 4/8
En la primera actividad aparece el dibujo de una galleta y dos niños (dibujo de Sonia), después se le pide al niño hacer otros dos dibujos en el primero tiene que dibujar el doble de galletas y el doble de niños que en el dibujo
de Sonia y después dibujar el doble de galletas y de niños de los que hay en el dibujo de Yoatzin.
Al realizar sus repartos, Sonia encontró que a cada niño le toca 1/2 de galleta.
Yoatzin encontró que a cada niño le toca 1/4 + 1/4 de galleta.
Raúl encontró que a cada niño le toca 1/8+1/8 +1/8+1/8 de galleta.
Julián dice que el reparto de Sonia, Yoatzin y Raúl, le toca la misma cantidad de galleta a cada niño. ¿Estás
de acuerdo con lo que dice Julián? ¿Por qué?
La comparación se hace con las siguientes fracciones para identificar la menor:
1 + 1 5 2 4 4 3 3 5 6 4 8 5 10 3 4 4 5
Lección 7 B(3) Adornos para el
festival p. 102
P2
Se muestra el dibujo de una cuerda dividida en 10 partes y de una segunda cuerda dividida en 100 partes.
Esta lección es una iniciación para el tema de los decimales, estos los ven en fracciones 6/10 ó 90/100
aunque todavía no se ve la equivalencia entre fracción y decimal ej. 3/100= .03
Lección 11 B(3)
Las golosinas
p. 110
P2
1. El paquete de galletas trae 12 piezas y pesa 180 gramos. ¿Cuántos gramos pesa una galleta? 180/12= 15 2. ¿Cuántas galletas pesan lo mismo que el contenido de una lata de cacahuates? 60/15= 4 3. Un kilogramo es igual a 1000 gramos. ¿Cuántas cajas de chocolates se necesitan para tener un kilogramo? 10 100X10 = 1000 4. ¿Cuál de las golosinas dibujadas pesa ¼ de kg?
139
Pulpa de tamarindo. 1000 X 1/4 = 1000/4= 250gr 5. ¿Cuántas bolsas de dulces pesan un kilogramo? 125+125+125+125 = 1000gr = 1kg. 6. La bolsa de chicles trae 4 paquetes y cada uno contiene 5 chicles. ¿Cuánto pesa un chicle? 4X5 = 20 130/20= 6.5gr. 7. ¿Cuántos gramos pesa un caramelo? 200/10 = 20 En el primer y segundo problema se observa que se resuelven mediante una división. El tercer problema se resuelve con una multiplicación directa o bien con una suma de iteración de cantidades. El cuarto problema se resuelve utilizando como operador racional a ¼ Con este se pretende que el niño entienda la relación entre el significado de operador y la iteración de una cantidad (250). El quinto problema se puede resolver mediante la multiplicación directa o la suma iterativa de 125gr. El sexto problema se resuelve con una multiplicación directa y una división. El séptimo problema se resuelve con una división. Y aquí lo que se esperaría es que el niño entienda esa inherente relación entre multiplicación y división. 200 = 20gr. Y 20 X10= 200
10 Finalmente se le recuerda al alumno que:
1kg = 1000g 1/2 kg= 500g 1/4 kg = 250g.
Lección 12 B(3)
La vuelta al
mundo en 360
grados.
p. 112
P3
Se ve el significado de parte-todo, de operador
utilizando grados y la equivalencia que hay 2/8 y ¼.
5. Cuando se hace un giro, se describe un ángulo. Anota en cada dibujo qué fracción de vuelta se giró para
formar el ángulo. Puedes ayudarte con el círculo de arriba.
6. Los ángulos también se miden en grados. Un giro de vuelta completa mide 360° ¿Cuántos grados miden un
giro de 1/8 de vuelta? 360 X 1/8 = 360/8 =45°
Lección 15 B(3)
La paloma de la
paz.
p. 118
P1
Se ven las fracciones equivalentes. En esta lección se presenta el dibujo de una paloma y la actividad que se propone es medir con las tiras que hay
en el material recortable cada una de las líneas que conforman el dibujo de la paloma.
Son ocho las tiras que vienen en el material recortable una está dividida en dos partes, la segunda en 3, la
140
tercera en 4, la cuarta en 5, la quinta en 8, la sexta en 9, la octava en 12 partes.
El objetivo es que el niño por medio de las tiras identifique que cuando una línea del dibujo tiene 2 ó 4 cuadritos significa que se puede medir con 2 ó 4 tiras. De tal forma que si una línea mide 1/3,2/6,4/12 y 3/9 cada una de estas fracciones de tira miden la misma
distancia. Todavía no se ve la forma algorítmica para que a partir de una fracción se saquen fracciones equivalentes sino que lo que se pretende es que el alumno manipule las distintas tiras y comprenda porque fracciones distintas
les corresponde a todas una misma distancia. En la última actividad se pide utilizar las tiras para
completar las siguientes expresiones: 3/4 = 6/8 2/3 = 4/6 1/3 = 3/9 6/8 = 3/4
Lección 19 B(3) Juegos y
actividades p.126
P1
En esta lección los niños utilizan las mismas tiras que utilizaron en la lección “La paloma de la paz” p. 118.
Esta lección es especialmente importante ya que propone actividades por medio de las cuales el niño va poder entender porque es posible sumar fracciones con
diferente denominador de tal manera que las dos se convierten en fracciones equivalentes como en el
siguiente ejemplo: 1/2+1/8 = 5/8 ó lo que es lo mismo
4/8+1/8 = 5/8 Con las tiras el niño identifica la equivalencia de
fracciones.
Lección 64 B(4) Animales que
saltan p. 134
P2
En una recta se localizan los décimos, centésimos y milésimos y se escriben en forma fraccionaria.
También se ve la forma en que se puede descomponer en dos fracciones una valiéndose de la equivalencia. Ej.:
25 o bien 2 + 5 ya que 2 = 20 100 10 100 10 100
Lección 5 B(4) Esferas de plastilina
p. 136 P2
En esta lección se ve el significado de operador para que el niño pueda resolver situaciones en las que se le
pide saber a cuántos gramos equivale ¾ de kg. Se ven procedimientos informales para la suma de fracciones con denominadores iguales y diferentes. 2. En el dibujo de abajo están todas las esferas de
plastilina que hicieron los amigos de Flor. ¿Cuántos gramos pesan en total? 2.350g
4. Observa las pesas que uso Juan para pesar la fruta. ¿Cuántas esferas de 1/4 de kg pesan lo mismo que una
esfera de 1/2kg? 2 Si Juan usará sólo esferas de 1/4 de kg, ¿Cuántas
tendría que poner en el platillo? 3 Usando la suma de fracciones se tiene :
1 + 1= 3 2 4 4
5. ¿Cuánto pesan los zapatos de Ramón? 1/2 kg
Escribe la suma de fracciones que corresponde a este problema:
1/4 + 1/4 = 2/4 6. La caja de gises pesa 1/4 de kg más 100 gramos
¿Cuántos gramos pesa en total? 350gr.
7.Juan y Ramón comparan el peso de la fruta con el peso de los zapatos
141
Apéndice de quinto grado
No. De Lección Título Bloque Página
9 ¿Cuántas veces cabe? 1 26
14 Adornos con listones 1 36
23 Rectas y números 2 56
28 ¿Cuántos centésimos y milésimos? 2 66
31 Reparto de galletas 2 72
33 La escuela de Pablo 2 76
35 Más sobre decimales 2 80
37 Las apariencias engañan 3 86
44 Las fracciones en la recta 3 100
47 Tornillos y clavos 3 106
49 El grosor de la madera 3 110
52 El tamaño real 3 116
53 ¿Cómo cuanto resulta? 4 120
55 Cuadros mágicos 4 124
57 Descuentos y recargos 4 128
58 La tienda de regalos 4 130
64 La tienda de pinturas 4 142
68 Las fotocopias 4 150
70 El circuito 5 156
73 El deporte favorito 5 162
74 Cálculo de impuestos 5 164
79 Las unidades de capacidad 5 174
82 El costo de los boletos 5 180
83 La papelería 5 182
86 Las unidades de peso 5 188
¿Qué pesa más? Fruta ¿Qué esfera tiene que poner en el platillo para que la
balanza se equilibre? ¼
Lección 7 B(4) Particiones decimales
p. 140 P2
En esta lección aparece una recta en la cual el alumno debe ubicar décimos y centésimos la escritura de los decimales se ve en fracción y en decimal. También hay una comparación de decimales y finalmente se ve un caso sencillo de suma y otro de resta con decimales.
Lección 6 B(5) La polilla indiscreta
p. 171 P2
En esta lección se busca que el alumno ordene una serie de números decimales de menor a mayor.
Lección 8 B(5) Los quelites
p. 174
Se ven situaciones en las que se hace uso de la proporcionalidad con fracciones y decimales.
142
En total son 87 lecciones del libro de matemáticas de quinto, de las cuales 25
corresponden a diferentes significados de los números fraccionarios.
El punto del programa Utilización de diversos recursos para mostrar la
equivalencia de algunas fracciones se encuentran en las siguientes 6
lecciones (7%). En comparación con cuarto son menos las lecciones que tratan
este tema.
Apéndice de equivalencia de quinto grado
Bloques y lecciones del eje 1 de quinto grado
QUINTO GRADO EJE I. LOS NÚMEROS SUS RELACIONES Y SUS OPERACIONES. TOTAL DE LECCIONES: 25
NO. DE LECCIONES DE NÚMEROS FRACCIONARIOS:
BLOQUE I Lecciones de fracciones: 2
BLOQUE II Lecciones de fracciones: 3
BLOQUE III Lecciones de fracciones: 2
BLOQUE IV Lecciones de fracciones: 1
BLOQUE V Lecciones de fracciones: 0
9. ¿Cuántas veces cabe?
23. Rectas y números
37 .Las apariencias engañan
53. ¿Cómo cuanto resulta?
70. El circuito
14. Adornos con listones
28. ¿Cuántos centésimos y milésimos?
44. Las fracciones en la recta
55. Cuadros mágicos
73. El deporte favorito
31. Repartos de
galletas 47. Tornillos y clavos
58. Descuentos y recargos
74. Cálculo de impuestos
33. La escuela de
Pablo 49. El grosor de la
madera 64. La tienda de
regalos 79. Las unidades
de capacidad
35. Más sobre
decimales 52. El tamaño real
66. La tienda de pinturas
82 .El costo de los boletos
68. Las fotocopias 83. La papelería
86. Las unidades
de peso
No. De Lección Título Bloque Página
31 Repartos de galletas 2 72
33 La escuela de Pablo 2 76
35 Más sobre decimales 2 80
49 El grosor de la madera 3 110
53 ¿Cómo cuánto resulta? 4 120
64 La tienda de pinturas 4 142
143
Quinto grado
Propósitos de aprendizaje
1. Resolver problemas de suma y resta de fracciones asociadas a contextos y
significados diferentes que les permitan comprender y usar las fracciones en
esos contextos y con esos significados.
2. Resolver problemas que incluyan números decimales en operaciones de
suma, resta y multiplicación.
3. Desarrollar habilidades para estimar y hacer cálculos mentales al resolver
problemas que incluyan números naturales, fraccionarios y decimales.
*Debajo del nombre de casi todas las lecciones esta una P1 o una P2 la P1 se
refiere a que tal lección cumple con el propósito 1 y la P2 se refiere a que la
lección cumple con el propósito 2 y la P3 con el propósito 3.
QUINTO CONTENIDO DEL LIBRO CONTENIDO TEMÁTICO
Lección 9 Bloque 1 lección ¿Cuántas veces
cabe? P3
En esta lección se trata de que los chicos vean como pueden sacar el área de
polígonos regulares. Las fracciones solo las ven en las
conversiones las fichas que corresponden a esta lección hablan del perímetro y el área
por lo que fracciones solo se ve muy ligeramente.
*Cálculo del área del rectángulo, el cuadrado y otras figuras.
Lección 14 Bloque 1
Adornos con listones
P3
Esta lección da la introducción del significado parte todo de la fracción de una manera fácil
para el alumno Los ejercicios son sencillos y fáciles para el
alumno entendibles En la ficha 10 se les introduce a la suma de fracciones con igual denominador al igual
que la ficha 11 los alumnos juegan con ficha para adivinar cuanto falta o cuanto sobra
para completar la unidad
*Ubicación de números fraccionarios en una recta
Lección 23 Bloque 2 Rectas y números
P3
Esta lección va e complemento de la lección anterior pero ya con un poco más de
dificultad y con la ficha 10 empiezan a ver fracciones impropias con igual denominador, las actividades de las fichas que se proponen
van subiendo de dificultad.
*Representación de fracción en la recta
numérica
Lección 28 Bloque 2
¿Cuántos centésimos y milésimos?
P2
Como los niños ya conocen los números decimales desde cuarto año se les hace este
ejercicio como repaso y observar que también los decimales se pueden escribir en
forma de fracción Las fichas son un complemento del esta
lección trabajan el numero posicional y las equivalencias entre unidades de peso
*Establecimiento de equivalencias entre,
decimos, centésimos y milésimos
144
longitudes y capacidades.
Lección 31: Bloque 2, 14a
lección Reparto de
galletas P3
Esta lección es un introducción a la fracción como cociente, la manera de plantear el
ejercicio es buena solo que el material que piden a los niños que dividan son galletas
que si se hiciera con material manipulable no se podría hacer realmente se debería tratar con otro tipo de material ejemplo un pastel
una gelatina o una naranja.
*Equivalencia de fracciones con base en el
resultado de reparto
Lección 33 Bloque 2
La escuela de Pablo
P3
Con esta lección se demuestra la equivalencia de las fracciones utilizando
diversos recursos como lo son la distancia la repartición
Las fichas son un complemento y los ejercicios son muy fáciles en descubre lo que
falta los niños tienen que llenar una tabla donde la fracción que le toca a cada niño es
de 5/4. Es una introducción a las fracciones
equivalentes
*Uso de diversos recursos para mostrar la
equivalencia entre fracciones
Lección 35 Bloque 2
Más sobre los decimales
P3
Se les da un repaso de decimales pero comparando las cantidades equivalentes los ejercicios son sencillos, para que los niños entiendan los decimales son con un poco
más de dificultad.
*Equivalencia entre fracciones con
denominador 10, 100 y 1000 y su escritura
utilizando el punto decimal
Lección 37 Bloque 3
Las apariencias engañan
P3
Esta lección es un repaso para que los niños vean como los números engañan y vean el valor posicional de los decimales en la recta numérica, al igual que la ficha pero ahí se ve
el valor posicional de las fracciones.
*Ampliar el conocimiento sobre los decimales
Lección 44 Bloque 3
Las fracciones en la recta
P1
Estas lecciones solo son de repaso para observar el valor posicional de las fracciones en la recta numérica al igual que las fichas son complementos y se ven las fracciones impropias la ficha 31 ya se había trabajado
en una lección anterior. Por lo que les servirá de repaso y tal vez sea más fácil resolverlo.
*Uso de recursos visuales para ordenar fracciones
Lección 47 Bloque 3
Tornillos y clavos
P1
Esta lección les sirve a los niños para identificar en donde podemos ocupar las fracciones en la medición, se ocupa la
pulgada. Con la ficha 5 se introduce a los niños los
cuartos octavos tercios y novenos. La demás fichas son de repaso ya que en
las lecciones anteriores se habían utilizado.
*Problemas con la suma y resta de fracciones
utilizando la pulgada
Lección 49 Bloque 3
El grosor de la madera
P1
En esta lección se ven las sumas y las restas de fracciones pero con un grado más de
dificultad Las fichas que se ven en esta lección son de
repaso porque ya se habían visto en las lecciones anteriores
*Medición de madera en pulgadas o pies y la
equivalencia entre estas medidas.
Lección 52 Bloque 3
El tamaño real P3
Esta lección es una introducción a las fracciones como razón.
Los niños tienen que calcular el tamaño real de diferentes objetos.
*Uso de fracciones con denominador 10, 100 y 1000 en problemas de escala
Lección 53 Bloque 4
¿Cómo cuánto
En esta lección los alumnos realizan sumas y restas conociendo los diversos significados
que se les pueden dar a la fracción.
*Diferentes significados de la fracción.
145
resulta? P1
Lección 55 Bloque4
Cuadrados mágicos
P1
Esta lección es muy interesante y ayuda a los niños a realizar sumas con fracciones con
igual denominador.
*Técnica para sumar o restar fracciones
Lección 57 Bloque4
Descuentos y recargos
P1
Al niño se le introduce al concepto de porcentaje y se ve la fracción como
operador.
*Introducción al concepto de porcentajes
Lección 58 Bloque 4
La tienda de regalos
P1
La lección propone ver a la fracción como cociente.
*Las fracciones como cocientes de dos números
enteros
Lección 64 Bloque 4
La tienda de pinturas
P1
La lección es un refuerzo a la fracción como razón ya se habían visto antes pero ahora es
ya el concepto.
*Fracciones como relaciones o razones
Lección 68 Bloque 4 lección
Las fotocopias P1
En esta lección los niños siguen viendo porcentaje pero con la diferencia que ahora tienen que aumentar o disminuir ya no se
quedan solo en disminuir.
*Cálculo de porcentajes con
base a la idea de aumentar
Lección 70 Bloque 5
El circuito P1
Realizan operaciones sencillas utilizando las fracciones con lo cual se dan una idea de
cómo se utilizan las fracciones en diferentes momentos
*La fracción como operador.
Lección 73: Bloque 5, 4a
lección El deporte
favorito P1
Las fracciones como razón se ven en operaciones como la multiplicación y la
división.
*Operadores fraccionarios en situaciones sencillas
Lección 74 Bloque 5
Cálculo de impuestos
Se les enseña a los niños a sacar porcentajes, con ejemplos de la vida
cotidiana.
*Cálculo de porcentajes mediante distintos
procedimientos
Lección 79 Bloque 5
Las unidades de capacidad
P1
Se hacen comparaciones de unidades de capacidad, en la lección 72 se les enseñaron
cuanto equivale un galón y ahora se les enseña cuanto equivale un galón en litros.
*Relación entre las unidades de capacidad
Lección 82 Bloque 5
El costo de los boletos
Se les dan problemas en los cuales pueden utilizar los porcentajes
*Problemas que implican cálculo de porcentajes
Lección 83 Bloque 5
La papelería P2
Se les enseñan las divisiones de centésimos con ejemplos en los cuales se utilizan estas
operaciones.
*La división con cociente hasta centésimos
Lección 86 Bloque
Las unidades de peso P1
Se les sigue enseñando la relación que existe entre las unidades de peso tales como
centigramo, decagramo, entre otras y en que situaciones se utiliza cada una de estas.
*Relación entre las unidades de peso
146
Apéndice de sexto grado
No. de Lección
Título Bloque Página
6 Matemáticas en la música. 1 20
8 Listones para los moños 1 24
22 Tacitas y tazones 2 54
25 El grosor de una hoja de papel 2 60
28 El grosor de una hoja de papel II 2 66
39 Móviles con fracciones 3 90
43 Bebidas preparadas 3 98
66 Grandes retos con números pequeños 4 146
El libro de sexto lo componen 86 lecciones de las cuales 8 o 9% son de
fracciones y en todas se ve la equivalencia ya sea con fracciones o con
decimales.
Bloques y lecciones del eje 1 de quinto grado
SEXTO GRADO EJE I. LOS NÚMEROS SUS RELACIONES Y SUS OPERACIONES. TOTAL DE LECCIONES:33
NO. DE LECCIONES DE NÚMEROS FRACCIONARIOS:8
BLOQUE I Lecciones de fracciones: 2
BLOQUE II Lecciones de fracciones: 3
BLOQUE III Lecciones de fracciones: 2
BLOQUE IV Lecciones de fracciones: 1
BLOQUE V Lecciones de fracciones: 0
6. Matemáticas en la música
22. Tacitas y tazones 39. Móviles con
fracciones
66. Grandes retos con números
pequeños
8. Listones para los moños
25. El grosor de una hoja de papel
43. Bebidas preparadas
25. El grosor de una
hoja de papel
147
Sexto grado
Propósitos de aprendizaje
1. Desarrollar habilidades para utilizar y entender el significado de los números naturales, fracciones y números decimales y sus operaciones.
2. Comprender y manejar las fracciones con diferentes significados: medida, cociente y razón, y resolver problemas sencillos que impliquen las operaciones de adición o sustracción de fracciones.
3. Desarrollar habilidades en las que empleen diversas estrategias para estimar y hacer cálculos mentales al resolver problemas que incluyan números naturales, fraccionarios y decimales.
*Debajo del nombre de casi todas las lecciones esta una P1 o una P2 la P1 se refiere a que tal lección cumple con el propósito 1 y la P2 se refiere a que la lección cumple con el propósito 2 y la P3 con el propósito 3.
SEXTO
CONTENIDO DEL LIBRO CONTENIDO TEMÁTICO
Lección 6 Bloque 1
Matemáticas en la música
P1
Esta lección se ven las equivalencias y la suma de estas, representadas en forma de notas
musicales.
*Comparación y equivalencia, suma de fracciones.
Lección 8 Bloque 1
Listones para los moños
P1
En esta lección se ven las equivalencias en la recta numérica y la forma práctica es con el uso de
listón.
*Equivalencia u orden entre números fraccionarios. Uso de la
recta numérica.
Lección 22 Bloque 2
Tacitas y tazones P1
Se les ponen problemas en base al uso fracciones mixtas para realizar
recetas
*Problemas que implican operaciones con números mixtos
Lección 25 Bloque 2
El grosor de una hoja de papel
P2 y P3
Se les explica en base al grosor de una hoja de papel la fracción como
cociente
*El significado de la fracción como cociente.
*Decimales
Lección 28 Bloque 2
El grosor de una hoja de papel II
P2 y P3
En esta se ven la escritura de las fracciones en decimales en base al
grosor de una hoja de papel anteriormente ya habían hecho la demostración de igual manera, se utiliza este mismo ejemplo de las
hojas para demostrar los decimales
*Escritura decimal de algunas fracciones y viceversa
Lección 39 Bloque 3
Móviles con fracciones
P1
Se les demuestra las equivalencias con respecto a un móvil, este
ejercicio es interesante porque ellos mismos descubren las
equivalencias.
*Uso de operaciones con fracciones
Lección 43 Bloque 3
Ahora en esta lección se les da la inversa primero aprendieron a
*Escritura en forma de fracción de números decimales
148
Bebidas preparadas
P3
convertir fracciones en decimales y ahora lo hacen al revés escribir en
forma de fracción los números decimales y lo hacen utilizando una
receta.
Lección 66 Bloque 4
Grandes retos con números
pequeños P3
Se les aplican problemas que se resuelven utilizando las fracciones y una vez más utilizan el móvil para
que ellos lo completen,
*Uso de las operaciones con fracciones
149
EXAMEN PILOTO
Nombre: ____________________________________ Fecha: _______________
Grupo y grado: __________
Edad: _________
1. Joanna y Aranza hacen CADA UNA un pastel con los siguientes ingredientes y
CANTIDADES en kilogramos:
Ingredientes Joanna Aranza
Harina 3/4 2/4
Azúcar 2/3 4/6
Mantequilla 4/6 4/3
Huevo 6/3 3/6
¿De cuál ingrediente usaron la misma cantidad?
A. Azúcar
B. Harina
C. Mantequilla
D. Huevo
2. Observa el siguiente pastel:
¿Cuál de los siguientes pasteles tiene una parte obscura que es igual que la del primer
pastel?
A C
B D
150
¿Por qué piensas que el área sombreada del primer pastel es idéntica a la parte
sombreada del pastel que escogiste?
Podrías dibujar otro pastel e iluminarle un área que represente la misma área
iluminada que tiene el primer pastel.
3. Contesta a estas preguntas:
1/3 es igual que... 3/9, , ,
2/5 es igual que... 4/10, , ,
2/4 es igual que... , , ,
4. Observa que en cada rectángulo hay dos pasteles, debajo de cada pastel vas a
escribir la fracción que está representada, y a lado del rectángulo escribe si esas dos
fracciones que escribiste son iguales o no.
151
5. Encierra en un círculo las fracciones que representen lo mismo que las que están en
el rectángulo amarillo.
6. Cinco niños recogieron hojas del patio de Don Javier en la tarde del viernes y ganaron $20 los cuales se los repartieron en partes iguales. Ahora bien de las fracciones de abajo ¿cuáles crees que no representan la PARTE que cada uno recibió?
a. 4/20
b. 3/15
c. 2/10
d. 1/5
e. 1/4
Explica porque escogiste tal respuesta
7. La semana próxima Beto dijo que él no tomaría la parte que le toca por su trabajo, así que los otros cuatro niños se repartieron los $20 en partes iguales. Ahora bien de las fracciones de abajo ¿cuáles crees que no representan la PARTE que cada uno recibió?
a. 4/16
b. 3/12
c. 2/8
d. 1/5
e. 1/4
Explica porque escogiste tal respuesta
152
8. Completa la siguiente tabla:
Expresión de una fracción
en letra
Fracción en términos
numéricos
Otra fracción que
represente la misma
cantidad
Cinco décimos 5/10 50/100
Treintaicinco centésimos
8/10
Doscientos milésimos
9. Alma tiene en su refrigerador 5 refrescos de 1litro, 5 refrescos de 1/2 litro y 8
refrescos de 1/4 de litro.
Refrescos de litro Refrescos de 1/2
Refrescos de 1/4
Llega Lucía la amiga de Alma y le dice que tendrá una fiesta que si le haría el favor de
prestarle unos refrescos. Alma decide prestarle todos los refrescos de su refri
entonces, ¿Cuántos litros en total le prestó Alma a Lucía?
153
10. Itzel compro una botella de agua natural de 1 1/2 litro y le dio la mitad a su amiga
Paty ¿Qué cantidad de agua le toco a cada una?
11. Laura trabaja en una peletería y un día Fabián su amigo le pidió 4 1/2 litros de
helado. Solo que Laura no tenía envases de 1litro. Únicamente tenía envases de 1/4
de litro y de 1/2 litro.
¿Cuántos envases de 1/4 de litro tendría que reunir Laura para lograr obtener la
cantidad que le pidió Fabián?
¿Con cuántos envases de 1/2 litro también podría despachar Laura a Fabián?
12. Observa la imagen, ¿qué fracciones están representadas?
¿Cuál de los dos triángulos tiene más área iluminada?
154
13. Karina va a la tienda a comprar 24 dulces los cuales piensa repartir a Pedro y
Paola. A Pedro le da 2 /4 de los dulces y a Paola 4/8. Ahora bien, ¿Cuantos dulces le
tocan a Pedro y a Paola? Y a quien le tocaron más dulces.
155
EXAMEN DEFINITIVO
Nombre: _________________________________ Fecha: _______________
Grupo y grado: __________
Edad: _________
1. Joanna y Aranza hacen CADA UNA un pastel con los siguientes ingredientes y
CANTIDADES en kilogramos:
¿De cuál ingrediente usaron la misma cantidad?
A. Azúcar
B. Harina
C. Mantequilla
D. Huevo
2. Observa la siguiente figura
Figura P
2.1 ¿Cuál de las siguientes figuras tiene una parte obscura que es igual a la parte de
la figura P?
A C
B D
Ingredientes Joanna Aranza
Harina 3/4 2/4
Azúcar 2/3 4/6
Mantequilla 4/6 4/3
Huevo 6/3 3/6
156
2.2 Explica por qué crees que son iguales
2.3 Dibuja una figura cualquiera y sombrea una parte que represente la misma fracción
que la figura P anterior.
3. Observa el ejemplo y completa la tabla:
1 / 2 es igual a…… 2/4, 16/32, 4/8, 32/64
1/3 es igual a…. 3/9, , ,
2/5 es igual a…. 4/10, , ,
2/4 es igual a…. , , ,
4. Observa el ejemplo y debajo de cada pastel escribe la fracción que está
representada, y a lado del rectángulo escribe si esas dos fracciones son iguales o no y
explica tu respuesta.
Observa el ejemplo:
4.1
Sí son iguales
157
4.2
5. Encierra en un rectángulo las fracciones que representen lo mismo que las que
están en el rectángulo sombreado, como se muestra en el ejemplo
Ejemplo:
1 1 3 4 2 1 3
5 10 15 8 10 3 4
6. Cinco niños recogieron hojas del patio de Don Javier en la tarde del viernes y ganaron $20 los cuales se los repartieron en partes iguales. Ahora bien de las fracciones de abajo
6.1 ¿Cuál fracción crees que representa la PARTE que cada uno recibió?
a. 4/20
b. 3/15
c. 2/10
d. 1/5
e. 1/4
6.2 ¿Por qué escogiste tal respuesta?
6.3 ¿Cuánto dinero recibió cada niño? ______________
158
7.- A continuación se te presentan 2 figuras A y B cada una de estas tiene una parte sombreada ¿Alam cree que las partes sombreadas de cada figura son igual a 2/4?
Di por qué estas o no de acuerdo con Alam
8. Completa la siguiente tabla:
Expresión de una
fracción en letra
Fracción en términos
numéricos
Otra fracción que
represente la misma
cantidad
Cinco décimos 5/10 50/100
Treinta y cinco centésimos
8/10
Doscientos milésimos
9. Alma tiene en su refrigerador 5 refrescos de 1litro, 5 refrescos de 1/2 litro y 8
refrescos de 1/4 de litro.
Refrescos de 1 litro Refrescos de 1/2 litro
159
Refrescos de 1/4 de litro
Llega Lucía la amiga de Alma y le dice que tendrá una fiesta que si le haría el favor de
prestarle unos refrescos. Alma decide prestarle todos los refrescos de su refrigerador
entonces, ¿Cuántos litros en total le prestó Alma a Lucía?
10. Itzel compro una botella de agua natural de 1 1/2 litro y le dio la mitad a su amiga
Paty ¿Qué cantidad de agua le toco a cada una?
11. Laura trabaja en una paletería y un día Fabián su amigo le pidió 4 1/2 litros de
helado. Solo que Laura no tenía envases de 1litro. Únicamente tenía envases de 1/4
de litro y de 1/2 litro.
11.1 ¿Cuántos envases de 1/4 de litro tendría que reunir Laura para lograr obtener la
cantidad que le pidió Fabián?
11.2 ¿Con cuántos envases de1/2 litro también podría despachar Laura a Fabián?
11.3 Laura solo tiene 6 envases de 1/2 litro y 10 de 1/4 litro ¿Cómo podría despachar
3 1/2 litros de helado?
12. Observa las imágenes y contesta
160
12.1 ¿Qué fracción representa la parte iluminada de gris en cada uno de los
triángulos?
12.2 ¿Cuál de los dos triángulos tiene más área iluminada y porque?
13. Karina va a la tienda a comprar 24 dulces los cuales piensa repartir a Pedro y
Paola. A Pedro le da 2 /4 de los dulces y a Paola 4/8.
13.1 ¿Cuantos dulces le tocan a Pedro?
13.2 ¿Cuantos dulces le tocan a Paola?
13.3 ¿A quién le tocaron más dulces?
13.4 Encierra y señala la parte que toca a cada uno
14. Encuentra el número que corresponde al cuadrado.
161
15. Observa el dibujo. Si el entero es este rectángulo
15.1 Entonces que fracción le corresponde a la parte sombreada ________
16. Del parque a la escuela hay un kilómetro de distancia. Laura vive a 4/6 de
distancia entre el parque y la escuela, Sara vive a 2/3.marca en la recta los puntos y
contesta
16.1 ¿Quién de la dos vive más lejos?
16.2 Pedro vive en el punto naranja que fracción representa ese punto
16.3 Marca en la recta 3/4 y 4/6 ¿Cuál de estas dos fracciones es mayor?
162
ANEXO 4
ENTREVISTAS
BRENDA HERNÁNDEZ BÉJAR. 4° Calificación general: 3.2
1.
E. ¿Por qué creíste que la mantequilla fue el ingrediente del que usaron la misma cantidad?
La conteste al azar.
2.1
E. ¿Por qué contestaste el inciso B?
Es el inciso B porque esa figura es la misma que la figura P solo que esta volteada.
E. Supongamos que la Figura P y la figura del inciso B son dos pasteles entonces a mi me dan la parte sombreada de la figura P y a ti la de la B ¿a quién le dan más pastel?
A ti, si ya me di cuenta es la C, porque acomodas los pedacitos y ya te da la misma parte sombreada.
4.1
E. ¿Por qué 6/8 y 9/12 no son iguales?
Cuando los multiplique el numerador y denominador de 6/8 por un número no me dio esa fracción de 9/12.
E. Entonces ¿no tomaste en cuenta la parte sombreada?
No.
E. Imagina que son dos pasteles y a mí me dan tres pedazos de este pastel (3/12) y a ti dos de este (2/8) ¿a quién le dieron más pastel?
A mí, porque mis pedazos están más grandes.
4.2.
E. Observa bien y dime si 1/5 y 3/10 son iguales.
Sí.
E. ¿Estás segura?
Ya vi 3/10 es más grande que 1/5.
E. Saca una fracción equivalente a 1/5.
Multiplico el 1 y el 5 por 3 y da 3/15.
E. ¿Qué harías para comprobar que 1/5 es igual a 3/15?
Empieza a dividir pero divide en nueve partes.
163
E. Recuerda que se tiene que dividir en 15 partes no en 9.
E. ¿En cuántas partes tenemos que dividir cada pedazo si son 5 y queremos dividir el entero en 15 partes?
En 3.
E. Hago las divisiones.
E. Entonces esto es 1/5 pues acuérdate que anteriormente estaba dividido en 5 partes y lo que queremos comprobar es que 1/5 es lo mismo que 3/15
E. Ahora ilumina 3 /15.
E. Ya te diste cuenta que si iluminas 1/5 y 3/15 estás iluminando la misma área, es decir el quinto lo divides en tres partes pero el quinto no es más grande ni más pequeño que 3/15.
Sí.
E. Y no crees que sería lo mismo en el ejercicio 4.1?
Si.
5.1
E. No contestaste esta pregunta pero ahorita la resolveremos.
E. Sí ya sabes que aquí en el ejemplo 1/5 se multiplico por 3 para sacar 3/15 y también pos dos para sacar 2/10 entonces que harás con 3/6?
Encierra 6/12.
E. ¿Cuál otra?
3/12
E. Tres por tres da 3 y seis por tres da 12.
No.
E. Entonces no es esa.
E. Dibújame 3/6 y 1/2.
E. Retomamos lo de los pasteles a mí me dan 1/2 pastel y a ti 3/6 ¿a quién le dan más pastel?
Nos dan igual.
6.
E. ¿Por qué crees que 1/5 parte es lo que le toca a cada niño?
El entero son los 20 pesos (dibuja un entero dividido en cuatro) y si le tocara 1/4 a cada niño no alcanzaría.
164
E. ¿Si fueran 4 niños cuánto dinero le tocaría a cada uno?
5 pesos.
E. Pero a cada niño le tocan 4 pesos entonces esos 4 pesos ¿qué fracción representa?
1/5.
7.
E. ¿Qué divisiones hiciste en la figura A y B para que te diera el resultado?
A la a figura B le dibuja una línea vertical y así queda dividida en cuatro y a la figura A le dibuja una línea horizontal y otra vertical para que quede divida en cuatro.
E. ¿Se puede dividir de otra manera la figura A?
Le dibuja una diagonal a la figura A
E. Ahora sí ya quedan divididas en 4 partes ambas figuras y la parte sombreada en las dos ¿qué fracción representa?
2/4.
10.
E. ¿Cómo llegaste a la conclusión de que le tocaba medio litro a Itzel y a Paty?
Hace el dibujo de la botella de medio litro y la de litro y explica que pensó que a cada una le tocaba de a medio litro pues así las dos tenían la misma cantidad ya que en problema no decía que se tenía que repartir todo lo de la botella.
E. Pero ahora ya sabes que sí.
Hace otro dibujo pero la botella de 1/2 litro la divide en cuatro entonces dice entonces a cada una le toca 3/4 de litro.
12.
E. ¿Qué fracción representa cada parte sombreada de los 2 triángulos?
2/3 y 4/6.
E. ¿Cuál de los 2 triángulos tiene más parte sombreada?
El de 2/3 porque esta fracción es mayor que 4/6.
E. Porqué?
E. Saca una fracción equivalente a 2/3
Escribe 4/6.
E. Ya viste que 2/3 y 4/6 si son equivalentes ahora hay que comprobarlo, crees que un pedazo de este triángulo es lo mismo que 2 del otro.
Si.
165
E. Entonces 6 pedazos de este triángulo es lo mismo que dos de este (hago divisiones en el triángulo de 2/3.
E. ¿Porqué no contestaste esta pregunta si la 3 si la hiciste bien?
Es diferente.
E. ¿En qué?
Contesta todo correctamente.
FERNANDA RODRÍGUEZ CASTILLO4° Calificación general: 4.8
4.1
E. Aquí tienes que poner la fracción sombreada del pastel y pusiste que era 8/6 ¿estás segura?
Sí.
E. ¿Y por qué no son iguales?
Porque acá están iluminadas ocho y acá doce y los números son diferentes.
E. Si fueran pasteles y a ella le doy dos rebanadas y a ti tres ¿a quién le di más?
A mí.
E. Pero si en cambio a mi me dan estos dos pedazos (2/8) y a ti tres de estos 3/12) ¿a quién le toco más pastel?
A ti porque cada pedazo que a ti te dieron equivale a 2 de los míos.
5.1
E. ¿Cómo supiste que 3/6 era igual a 6/12?
Multiplique por 2 el 3 y el 6.
E. Eso mismo hiciste para resolver la pregunta 3¿cierto?
Si.
E. ¿Crees que 1/2 es igual a 3/6?
Si.
E. Porqué?
E. Si quieres haz un dibujo.
Hace varios círculos pero los divide de manera desigual, hasta que logra dibujar
3/6 y 1/2.
E. Ahora viendo el dibujo crees que 3/6 es igual a 1/2.
No.
166
E. Olvídate de las fracciones, esta área coloreada es igual a esta, o imagina que a mí
me dan 3 rebanadas de este pastel y a ti la mitad de este ¿crees que nos están dando
lo mismo?
Si.
E. Ah entonces ya viste que es lo mismo.
6.
E. En este problema ¿crees que era necesario poner estas fracciones o nada más era suficiente con 4/20?
No.
7.
E. ¿Le leo el problema?
E. Tú dices que estás de acuerdo con Alam porque las dos están sombreadas a la mitad pero eso ya lo sabemos pero la pregunta ¿es por qué piensas que las partes sombreadas es lo mismo que si estuvieran 2/4 sombreados?
No contesta.
E. ¿Qué fracción está sombreada en las figuras?
1/2
E. Y ¿1/2 es igual a 2/4?
Si.
E. Entonces ¿qué explicación pondrías ahora?
Porque lo dividiría a la mitad y me da 2/4.
E. Hazlo aquí mismo en el examen.
En la figura a hace una diagonal y en la b una línea vertical.
E. Ahora si ya te quedo claro porque 1/2 es igual a 2/4.
CHRISTIAN DANIEL GONZÁLEZ NOGUERA. 4° Calificación general: 6
1.
E. ¿Por qué creíste que el huevo fue el ingrediente del que usaron la misma cantidad?
Porque tienen los mismos números.
E. Ah ¿entonces 6/3 es igual a 3/6?
No.
E. Dibuja bien 3/6 pero a la hora de dibujar 6/3 se queda pensativo.
167
E. En 6/3 en cuantas partes está dividido el entero
En 3.
Dibuja otro círculo dividido en tres partes.
E. Sí iluminas los tres son tres tercios pero.
No se puede. Por eso porque solo son 3.
E. Ah crees que no te alcanza entonces dibuja otro círculo dividido en tres partes e ilumina todas sus partes entonces ¿ya serían los 6/3 no crees?
Si.
E. Y si a mí me dan 6/3 de pastel y a ti te dan 3/6 a ¿quién le dieron más?
A ti.
5.
(Primero explica el ejemplo)
E. ¿Cómo le hiciste para contestar aquí?
Porque 5X3 daría 15 y 5X2 es 10.
E. ¿Y en esta como supiste que 1/2 era lo mismo que 3/6?
Porque 3 es la mitad de6 y 6 la mitad de 12.
E. Entonces ahí ya no recurres a la multiplicación.
E. No contestaste la 3 hazla.
Empieza a resolver la tabla.
E. ¿Por qué después de 4/10 pones 12/18?
E. De donde salen el 12 y el 18.
Porque 4 para 10 son 6 entonces puse 12 para 18 son 6.
E. Y aquí después de 3/9 pones 2/6 ¿cómo le hiciste?
Porque el 3 cabe 3 veces en el 9 y el 2 cabe 3 veces en el 6.
Pero acá no porque 4 no da lo mismo que 10.
E. Se refiere a que el 4 solo cabe 2 veces en el 10.
7.
E. Tu respondes que estás de acuerdo con Alam porque las dos figuras tienen sombreada una mitad pero aquí en el problema se te está preguntando ¿por qué crees que 2/4 es lo mismo que esta parte sombreada?
Porque 1/2 es igual a 2/4.
168
ALEJANDRO ABRAHAM ESPINO.4° Calificación general: 9
1.
E. Haber Abraham ¿por qué piensas que el inciso A es la respuesta correcta?
Mí maestra me enseño a sumar para que fueran iguales entonces aquí a esta (2/3) le sume dos veces más y me salió el resultado de esta (4/6).
2.
E. Si un compañero contestará el inciso B ¿por qué le dirías que está mal?
Porque aquí si vemos esta figura está dividida en tres partes iguales, una, dos y tres entonces como no es la mitad como esta en la figura P.
Y tu como le hiciste para saber ¿cuál era la correcta?
Porque junte los cachos y ya me salió la parte de la figura.
3.
E. Y aquí ¿cómo le hiciste para sacar las fracciones?
Aquí puse el 3 y aquí le iba sumando o restando 1 y luego este si le restaba le quitaba 3 y si le sumaba le agregaba otros 3.
E. Haber escríbelo acá nada más con esta (3/9).
Digamos que le quito 1 al 3 y se convierte en 2 y luego aquí ya le quito 3 al 9 y ya da 6.
E. Y luego al 2 le sumaste la misma cantidad igual al 6 y ya te dio 4/12 y así le hiciste con las demás.
E. En el ejemplo de 4/10 lo que hace es sacar lo doble del 4 y del 10, lo que da 8/20 pero para sacar la siguiente fracción ya no hace lo mismo si no lo que hace es sumarle 4 al 8 y 10 al 20 lo que le da 12/30 y esto lo hace así porque está tomando en cuenta la fracción de 4/10 y lo mismo hace con la siguiente fracción a 12 le suma 4 y al 30 10 y da 16/40, solo que el pone 15/40, pero fue un error de distracción. El niño en ningún momento menciona a la multiplicación el todo lo resuelve ya sea sumando o restando.
4.1
E. ¿Aquí me llamo la atención porque piensas que no son iguales?
No yo creo que aquí si me equivoque.
E. ¿Por qué?
Porque es el mismo espacio en blanco en este lado y en el otro.
E. ¿Y el mismo espacio en qué?
En negro.
E. Ah digamos que tu ahorita no tomas en cuenta las fracciones si no.
169
Si porque antes había tomado en cuenta las fracciones pero ahorita esto (lo iluminado).
5.1
E. En esta pregunta como supiste que 7/9 no era equivalente a 3/6?
Ah no es.
E. Aja porque en esta pregunta tenias que encerrar las fracciones equivalentes a 3/6 entonces aquí tú encerraste estas dos pero ¿cómo le hiciste para saber que 7/9 no era una fracción que representaba lo mismo?
Porque aquí eran 3 y 6 y aquí eran 7 entonces a fuerzas no podría quedar aquí el 9 porque apenas si son 6 y aquí son 7 no quedaría bien.
E. ¿Pero no haces ningún dibujo para comprobar u otra cosa?
No es que ya lo hago mentalmente.
E. Y para sacar 6/12?
Lo mismo que le conté la otra vez al 3 le sumo el doble y al 6 también.
E. Pero aquí como sacaste ½?
Porque a 3/6 le reste 2 y si salió este resultado este mismo.
E. A 3 le restaste 2 y sale 1 y a 6.
Y luego sale a 2 porque 2, 4 y 6.
6.
E. Aquí qué hiciste para saber que le tocaba ¼?
E. Si quieres lee el problema para que te acuerdes
Me equivoque porque aquí son 4 y en el problema son 5.
E. Entonces no les pudo haber tocado 1/4 si no ¿un qué?
1/5.
E. Y para ti ¿si se te hace lógico que se relacionen las fracciones con este problema?
Si porque es como si tradujéramos lo que ganan los niños en fracciones.
E. Y una quinta parte ¿qué representa en dinero?
4 pesos.
E. ¿Crees que las demás fracciones se relacionan con 1/5?
Esta no creo (4/20) y esta porque aquí están divididos lo 20 entre 4 y no quedaría porque son 5 niños.
E. ¿Y las demás?
Tampoco creo.
170
7.
E. Tenemos duda con tu respuesta aquí nos pones que si es cierto lo que dice Alam de que las partes sombreadas son igual a 2/4 pero tu explicas que aunque son diferentes fracciones el resultado es el mismo, explícanos ¿cómo está eso?
Está mal.
E. ¿Por qué?
E. O sea 2/4 ¿es lo mismo que esto?
Sí, porque 1/2 es igual a 2/4.
E. Es decir para ti no importa la posición de estas partes sombreadas.
Si importa pero abarca el mismo cacho esto parte y la otra, aunque este en diferente forma, así como teníamos en el primero (pregunta 2)
E. Lo mismo que acá (pregunta 12) aquí lo contestaste bien.
13.
¿Cómo le hiciste para saber que les tocaba 12 dulces, cuando leíste el problema que fue lo primero que hiciste?
Primero pensé si tenía que ver si eran iguales las fracciones para sacar porque aquí no puedo definir esto porque ella se quedaría con un cacho más grande que el si no veo primero las fracciones y luego eran las mismas (se refiere a que eran equivalentes), entonces dividí 24 entre 12 y me salió 12.
E. ¿Se te complico al principio?
Si pero ya después al ver las fracciones ya no.
14.
¿Y aquí como lo resolviste?
Aquí (2/5) le sume los que faltaban los sume 5 veces y así.
E. ¿Pero aquí para que te diera el 35 a poco sumaste qué operación hiciste porque sumándole 2 no sale el 35 verdad entonces?
Vi el 2 cuantas veces cabe en el 14 y luego el número que salió lo multiplique por 5.
E. ¿Y en la siguiente?
Hice casi lo mismo pero al revés día gamos que estos estuvieran abajo.
E. Haber cuántas veces tienes que sumar el 15 para que te de 45?
4 veces.
E. Seguro vuélvelo hacer no te pongas nervioso.
Tres veces.
E. Entonces el 3 lo tuviste que haber qué para que aquí te diera.
171
E. Porque estás de acuerdo que 15 por 3 da 45 ¿no? Es que multiplique el 15 por 1 por 2 y no salía hasta que salió con 3.
E. Y el 2 lo tenías que multiplicar ¿por qué entonces?
No a fuerzas se tiene que multiplicar el 3 ya no tiene que hacer ninguna operación con el 2.
E. Ya entendí por eso pones el 3.
Y aquí en la C es lo mismo que en la A.
15.
E. ¿Y si esta figura estuviera unida qué fracción sería esta?
10/7.
E. No te pongas nervioso vuelve a hacerlo.
Si 10/7.
E. Es al revés 7/10.
16.
E. ¿Cómo supiste que Laura y Sara vivían a la misma distancia?
Porque es lo mismo que acá que en el ejerció 3 le sume y ya.
E. Divídeme este segmento en 6 partes y márcame ahí 4/6 y ahora divídelo en 3 partes y cuál sería 2/3.
E. Estas seguro que ahí son 2/3?
Si.
E. Yo creo que 2/6 es igual a 1/3¿tengo razón?
Si porque es lo mismo que acá aquí le quito 1 y ya da.
VICTOR MIGUEL MORENO LOPEZ. 4° Calificación general: 7
1.
E. Nos podrías decir ¿por qué escogiste el azúcar?
Dividí el entero como en el azúcar y así sale lo mismo, las mismas partes.
E. Aquí haz los dibujos que hiciste.
2.
E. ¿Cómo les explicarías a un compañero que contestó la B que no es la correcta?
172
Porque aún así juntando si es que puso más partes porque no tiene el mismo relleno que la otra figura. La B tiene un poco menos.
3.
E. Aquí ¿cómo sacaste las fracciones?
E. Por ejemplo de 3/9 ¿cómo sacaste el 3/8?
Pues este le sumo 3 y da 6.
E. Y si le sumas 3 al 9 te da 12 entonces crees que 3/9 es lo mismo que 6/12?
E. Hazlo como tú lo haces solo te estoy preguntando.
E. Lo que yo veo aquí es que tu pusiste un 2 es decir ya no sumaste.
E. sí quieres escribe.
E. Dibuja 3/9 y 2/6.
E. Entonces así le hiciste con los demás pero ¿dónde hiciste los dibujos?
Atrás de mi examen.
4.1
E. Aquí ¿por qué sí son iguales?
Porque esta la misma área coloreada.
5.
E. Como supiste que 7/9 y 2/8 representaba lo mismo que 3/6?
Hice dibujos.
E. haber hazlos.
E. dibuja 3/6 y 6/8.
No me da la misma parte.
E. Entonces ¿qué otra podría ser?
1/2
6.
E. En este problema ¿por qué 4/20?
Porque dividí 20 entre 5 y me dio ese resultado.
E. ¿Y tú crees que esos 4 pesos tienen que ver con estas fracciones?
No.
7.
E. En esta pregunta respondes que estás de acuerdo con Alam pero tenemos duda en tu explicación
173
Porque aún así si estuvieran divididos así (señala una línea vertical en la fig. B y una línea diagonal en la fig. A) Saldría lo mismo 2/4.
E. Entonces ni importa la forma de la parte sombreada de todas maneras siguen siendo 2/4.
13.
E. ¿Qué hiciste para resolver este problema?
Si el 24 lo dividimos entre daría 12 y 2/4 es lo mismo que 4/8 entonces a los dos le dieron lo mismo.
14.
E. ¿Cómo socaste el 7 en el inciso a?
Hice los dibujos de 2/5 y 14/7.
E. Hazlos.
E. En lugar de dibujar 14/7 dibuja 7/14.
No me sale.
E. ¿Y en los demás también hiciste dibujos?
No lo hice mentalmente.
E. ¿Cuál lo hiciste así?
El inciso d, porque 5 por 8 es 40 y 8 por 4 da 32.
E. Entonces ¿qué número iba aquí?
El 4.
E. Creo que lo mismo te paso aquí en el primero pusiste el 7 porque 2 por 7 da 14 ¿sí hiciste eso?
No sume 5 más 2.
15.
E. ¿Qué fracción representa la parte sombreada?
7/10.
16.
E. Pienso que 2/6 es igual a 1/3 ¿sí crees eso?
No es igual.
E. Haber dibújalo en una recta, una divídela en 6 partes y la otra en 3.
E. Ahora localiza 2/6 y en la otra 1/3.
E. ¿Es lo mismo?
Sí.
174
E. ¿Y esto lo han visto con tu maestra?
No. Yo me guio con los círculos.
FAUSTO BARRAZA SAAVEDRA.4° Calificación general: 3.4
1.
E. ¿Por qué contestaste que el huevo fue el ingrediente del que usaron la misma cantidad?
Es un pastel no, entonces para hacerlo lo que más se utiliza es el huevo lo dice mi abuela.
Ah, no ya sé es que pienso que 3/6 es igual a 6/3 y estas cantidades son las mayores de todas las que están aquí.
E. Ah y como tú crees que el huevo es lo que más se usa para hacer pastel por eso escogiste las fracciones mayores.
2.
E. ¿Por qué contestaste el inciso B?
Esta figurita se parece a la de arriba y en ninguna de estas hay una que tenga la misma cantidad que la de arriba.
E. Supongamos que la Figura P y la figura del inciso B son dos pasteles entonces a ti te dan la parte sombreada de la figura P y a un amigo le dan la B a ¿quién le dan más pastel?
A mi amigo.
E. Estas seguro.
Por un poquito.
E. Entonces no son iguales.
Pero tampoco a una de estas le hayo lo mismo.
E. Observa bien.
Si es la C.
E. ¿Por qué?
Porque juntas y se hace la misma raya llenas la mitad del de arriba.
3.
E. ¿Qué hiciste aquí?
Lo que normalmente hago que siempre la cantidad que ya está la vuelvo a sumar por ejemplo si a 3/9 le agrego 3 a la parte de abajo le agrego lo de arriba y ya me da 3/12, 3/15 etc.
4.1
175
E. Explícame tu respuesta en esta pregunta
Porque fui contando esta la fui contando a la mitad y acá hice lo mismo lo fui contando de poco a poco como si fuera esta y me dio más resultado este que este.
E. ¿Qué fracción está representada en este círculo?
12/3, porque a 12 le quitas 3.
E. Pero a poco aquí son 12 partes sombreadas no eran 9?
E. Fíjate en el ejemplo de arriba.
Pues por eso es 12/3.
E. Son 9/12 y el 12 son las partes en las que está dividido el círculo y 9 están sombreadas.
E. Si a mí me dan tres pedazos de este pastel (3/12) y a ti dos pedazos de este pastel (2/8) ¿a quién le dan más pastel?
A mí porque 2 trozos (2/12) de este equivalen a un trozo (1/8) del otro pastel.
5.2
E. Aquí encerraste 4/12 vamos a comprobar que es lo mismo que 1/3.
E. Represento en dibujo 1/3 y 4/12 .Ahora bien no crees que estos 4/12 es lo mismo que 1/3.
Sí estoy bien.
E. Y no piensas que esto es algo similar al ejercicio 4.1. Estos 3 pedazos es lo mismo que 2 pedazos de estos ya te diste cuenta.
¡Ay! sí es cierto.
E. Supongamos que son cuartos y que aquí en este círculo lo dividiste en 2 partes pero en este otro lo dividiste en 3 partes no por eso va ser más pastel este cuarto que lo dividiste en 3, es lo mismo. De hecho este lo puedo dividir en 10 partes si quieres y aún así, sí me dan este pedazo es lo mismo que te darían a ti ya te diste cuenta.
7.
E. Le leo el problema.
E. Tu respondes que estás de acuerdo con Alam porque las dos figuras tienen sombreada una mitad pero aquí en el problema no se te está preguntando eso si no porque 2/4 es lo mismo que las partes sombreadas que tienen estas dos figuras.
Porque es como si esto lo dividiéramos en cuatro partes y tomamos 2 y queda otra vez la mitad es lo mismo.
E. Yo creo que 1/2es igual a 2/4 ¿estás de acuerdo conmigo?
Si.
176
10.
E. Aquí contestaste que le tocaba a Paty e Itzel 2/6 ¿cómo llegaste a esa conclusión?
Dibuja la botella de 1l y le pone una raya a la mitad. Entonces a cada una le toca medio litro.
E. Pero recuerda que se tienen que repartir 1 ½ litro.
Dibuja la botella de medio litro, y dice esta la partimos en un cuarto y la otra a la mitad entonces a cada quien le toca 1/2 + 1/4 lo que da 2/6.
12.
De a cuerdo con lo que ya vimos ¿qué fracción está representada aquí?
3/12.
E. ¿En cuántas partes está dividido el triángulo?
En tercios.
¿Y la parte sombreada que representa?
Ah 2/3.
E. Escríbelo.
E. Y acá.
4/6.
E. Está bien.
E. ¿Crees que 2/3 es igual a 4/6?
Si.
E. ¿Por qué?
No mas lo sumo 2/3+ 1/3 da 4/6.
E. Aquí respondes que el primer triángulo porque tiene cantidad de fracción más grandes, aunque no pusiste las fracciones, pero ahora te pregunto ¿cuál de los dos triángulos tiene más área iluminada?
¡Ah! Es igual porque esta la agarro y la desdoblo así y la pongo aquí y me da eso y este ya no mas lo pongo aquí.
E. Muy bien.
15.
Lee el problema.
E. Este es el entero y aquí están sombreadas ¿cuántas partes?
Todas.
E. Y ¿cuantas partes tiene el entero?
177
5.
E. ¿Qué fracción sería?
5/5.
E. ¿Y en el otro rectángulo?
2/5.
E. ¿Y entre los dos rectángulos que fracción representan?
Al entero.
E. Si pero con una sola fracción dime ¿qué parte esta sombreada entre los dos?
7/10.
E. Pero ¿por qué si el entero cuantos tiene?
Ah sí 7/5.
16.
E. Ubícame 4/6 en la recta.
Toma en cuenta el segmento de recta que antecede al cero y ubica 4/6 en 3/6.
E. Ahí, pero desde acá empieza.
Ah sí, es aquí.
E. Ahora esta recta divídela en tres partes y ubícame 2/3.
E. Pienso que 2/3 y 4/6 es lo mismo ¿tengo razón?
Si hago lo mismo sumo.
E. Ah pero ¿en distancia?
Ah sí es lo mismo.
JOSE MIGUEL VALLE TOSCANO. 5° Calificación general: 10
3.
E. ¿Cómo fuiste sacando las fracciones?
Primero fui sacando la tercera parte de cada una por ejemplo 3 cabe 3 veces en el 9 y 4 cabe 3 en el 12 y 6 para 18 son 3 veces el 6.
E. Haber encuéntrame 2 fracciones equivalentes a 3/12.
Lo que hago es ir multiplicando por 2 el numerador y denominador tiene que ser multiplicado por el mismo número.
5.1
178
E. Cómo supiste que 7/9 no era igual a 3/6?
Porque no es la mitad el 9 es exactamente la mitad por ejemplo aquí es 3 de 6, 1 de 2 y 6 de 12.
6. E. ¿Crees que las otras fracciones se relacionan con 4/20?
Si 2/10.
E. Haber acá escribe ¿cuáles son equivalentes?
E. Escribe 4/20, 2/10 y 1/5.
E. Aplicas la multiplicación.
Si.
13.
¿Cómo resolviste este problema?
4/8 es equivalente a 2/4 lo que significa que si dividimos los 24 dulces entre 2 personas da 12.
E. Nada mas hiciste eso haber pero explícame es decir los 24 dulces los convertiste a 2/4.
No los 4/8 los convertí a cuartos entonces ya al sumar estos me sale 24 lo que significa que si divides 24 entre 2 te da 12.
E. De estos 24 dulces señálame cuantos dulces equivalen a 3/8?
E. Hace la división de 24 entre 8.
Pues 1/8 son 3 dulces, son 9 dulces.
14.
E. Y aquí ¿cómo sacaste los números?
Si calculamos por cuantas veces esta multiplicado este y este para que de este resultado nada más multiplicamos este número por el de abajo.
E. Entonces ¿aquí multiplicaste por 7 y acá por 8?
15.
E. ¿Aquí que fracción está representada por la parte coloreada en estos dos rectángulos?
En este rectángulo son 5/5 o un entero y en este son 2/5.
E. Si pero ¿si los juntamos?
7/5 o un entero y dos quintos.
16.
E. ¿Qué fue lo que hiciste primero?
Si convertimos 2/3 a cuartos.
179
E. ¿Cuartos?
Ah sextos.
E. Ah tu primero multiplicaste y ¿así supiste que vivían a la misma distancia?
Sí.
E. ¿Y después?
Y ahora dividí la línea e hice una división y entonces ya puse la cantidad en el segmento.
E. Pienso que 1/3 es igual a 2/6 ¿tengo razón?
Sí.
E. Haber hazlo aquí.
1/3 se ubica exactamente en 2/6.
AXAYACATL AYAPIN NAVA M. 5° Calificación general: 8.2
1.
E. E. Nos podrías decir ¿por qué escogiste el azúcar?
Haber déjeme leerlo. Lo primero que hice es ver si eran equivalentes. Es que me pone nervioso la cámara dame una paletita.
E. Tenemos dulces.
No importa con tal de que me tranquilice. Aquí 2/4 y 3/4 no son iguales porque 3/4 es más que 2/4 y así me fui con cada una hasta ver que el azúcar es equivalente porque mire primero lo multiplicas por dos y te sale este.
E. Ah multiplicaste 2 por 2 y 3 por 2.
Pues digamos que las personas lo hacen así pero yo solo vi y ya.
E. Pero si fuiste multiplicando todas.
Bueno si pero yo si razone.
2.
E. Si alguien contesta la D ¿cómo le dirías que está mal?
Pues yo le diría así no es porque si pones este acá y este acá pues no sería la mitad. En cambio con la C si se puede.
3.
E. Porque no contestaste esta y si.
No lo conteste.
E. Pero lo ¿puedes contestar ahorita?
180
A 3/9 podría ser 6/18, 2/6 también puede ser 2/6.
E. Pero ¿cómo sacaste 2/6?
Lo dividí entre 4 y como no estaba aquí anotado pues dije si se puede.
E. ¿Qué dividiste entre cuatro?
El 6.
E. 18 entre 4 no da 2.
Jaja no he cierto. Haber da 6/18 porque multiplique por 2 esto (3/9) y 2/6 porque multiplique por dos 1/3.
Aquí en 2/5 si hicieron lo mismo que yo de multiplicar por 2 y podemos ir multiplicando por 2 por 2.
E. O ¿por otro número?
Por mil o también podría ser así por 100.
4.1
E. ¿Por qué piensas que si son iguales?
Porque mire son 6/8 y 9/12 lo divides entre 2 y te da 3/4 y aquí le sumas 3/4 a 6/8 y ya te da esto (9/12), pero yo no hice tanta operación lo único que hice fue.
E. ¿Qué fue lo primero que viste?
Porque vi esta línea que es igual a esta nada más que esta tiene 3 y esta 2.
E. Ah porque tenían lo mismo en blanco.
Si y también igual lo negro y son igual.
E. Haber aquí se me fue explícame ¿porque 6/8 es o no equivalente a 9/12?
Pues no se podrías sumar cualquier número y te da equivalente no.
E. Haber pon 6/8.
Y lo que hice fue esto a 6/8 lo dividí entre 2 y me dio 3/4 y eso es un equivalente y luego el equivalente lo sume y da esto (9/12) o fácil lo pude contar todo y ya podría haber hecho eso. Y sume esto y dio 9/12.
E. Pero aquí el 3/4lo multiplicas por 2.
No lo divido. Creo que no me entiendes.
E. No si te entiendo que 6/8 lo divides pero la suma no. Ah ya sumas el 6 y el 3 y el 4 y el 8 vaya que original ya entendí de donde sacas tu 9/12.
4.2
E. ¿Y aquí qué?
No le entiendo a estos números.
E. Tú los hiciste yo solo los copie.
181
Ah bueno entonces me saque 10 en mi examen.
E. No todavía no te vamos a decir.
Aquí 1/5 porque se supone que ustedes trajeron las fracciones iguales pero aquí como eran poquitas lo único que hice fue ver las cinco líneas y son quintos y como vi un lado coloreado y dije es 1/5 y vi que 1/5 es igual a 2/10 y después aquí lo único que hice fue dividirlo a la mitad y después dividí así como en la otra página.
E. En ¿cuál página?
Ay ya me confundiste bueno conté y eran 5 y del otro lado también y la parte coloreada eran 3/10 y no era equivalente de 1/5.
5.1
E. ¿Cómo supiste que 7/9 no era igual a 3/6?
Primero supe esto porque 1 es la mitad de 2 y 3 es la mitad de 6 y es fácil saberlo y pues 7/9 no es la mitad.
E. ¿Usaste decimales para contestar esto?
No había necesidad.
6.
E. ¿Por qué 3/15 si es equivalente?
Porque a 2/10 le sume 1/5 y dio 3/15 y ya.
E. Y ¿cómo puedes comprobar que 3/15 es igual a 2/10 por ejemplo’?
Pues como yo casi no corrijo mis cosas porque me da flojera y aparte porque voy bien.
E. Como convencerías a un compañero que no entiende.
Le digo réstale 1/5 a 4/20 y ya.
E. ¿Crees que 4 pesos es igual a 1/5?
Haber son 20 pesos y 5 niños.
E. Lo que quise decir es que ¿si crees que 4 pesos representa una quinta parte y por qué?
Si porque 4 y 4 dan 8 y ya llevamos 2 monedas de 4 bueno si existieran y mas 4 pesos dan 12 y mas 4 da 16 y mas 4 dan 20 así que a cada niño le tocan 4 pesos porque son 5 y esos 4 pesos es 1/5.
13.
E. ¿Cómo resolviste el problema?
Lo único que hice fue esto (4/8) hacerlo en cuartos y si ponemos un por ciento sería el 25 % bueno eso no tiene nada que ver pero bueno y resulta que los cuartos eran 6, si el 25% o el cuarto era 6 y a Pedro le tocaron 2/4 así que eran 12 dulces y ya.
182
E. Y con la otra fracción ¿también dividiste?
No solo multiplique por 2 este por este y ya vi que eran iguales.
E. Ahora dime ¿cuantos dulces representan 3/8?
A ver si los octavos son 3 son 6 digo nueve dulces.
14.
E. ¿Cómo resolviste esto?
Lo único que hice fue dividir el numerador por el numerador y el denominador por el denominador y el número que me daba lo multiplicaba por este.
E. El 14 lo dividiste entre 2 te dio 7 y este lo multiplicaste por 5 y ya pusiste el 35.
Si.
15.
E. ¿Qué fracción representa la parte sombreada en los dos triángulos?
Pues aquí representa un entero y aquí 2/5.
E. Pero quiero que me des una sola fracción para que represente la parte sombreada en los dos rectángulos
Pues se puede hacer de dos formas la correcta la más correcta podríamos decir que un entero dos quintos porque si no podría ser 7/5 y ya, y nos podríamos ir hasta el infinito.
16.
E. ¿Cómo contestaste esta?
Lo bueno que pusieron esta porque si no hubiera podido oye debo usar regla para esto.
E. Le dibujo un segmento.
Sería mejor con regla.
E. Se la damos y le digo ¿que si es cierto que 1/3 y 2/6 son iguales?
Si porque son equivalentes.
E. Si pero demuéstramelo en el segmento.
Porque si aquí lo dividimos entre 3 sería un, dos y tres y aquí donde está 2/6 es 1/3.
RICARDO ALTAMIRANO FLORES. 5° Calificación general: 6.4
E. Esto por qué no lo contestaste ¿por qué? esto es lo que tú hiciste, es una copia de tu examen, no te dimos tu examen porque ya está calificado.
3.
183
1/3 =3/9, 3/6, 6/12, 9/18
E. Le vas multiplicando y sacando equivalencias, ¿sabes que es una fracción equivalente?
Si
E. ¿Qué es?
Es la misma ah no sería primero se multiplica 12/3 da 1/3
4.1
E. Lo que quiere decir es que, por ejemplo aquí dice que son iguales son fracciones equivalentes pero que observas de de estas dos figuras.
Que tienen diferentes partes.
E. Que tienen las mismas partes, es la misma área pero dividido de diferente manera, aquí tu nada mas le pusiste 6/8 y 9/12 pero no le pusiste porque son iguales.
5.
E. Aquí ¿cómo encontraste 6/12?
Multiplicando.
E. Y por ejemplo ¿cómo sabes que 2/8 no es equivalente?
Porque no da 6+6.
E. ¿Y un medio?
Si se puede.
E. ¿Cómo?
Se divide.
6.
E. Muy bien y de estas fracciones que tenemos aquí ¿tú crees que alguna otra sea equivalente?
Mmm pero de qué número.
E. Aquí tú le pusiste 1/4¿Cómo sabes que le toca 1/4 a cada niño?
Mmm son 5 porque 5 este bueno aquí serian 5 x 4 = 20 a cada niño le toco 4.
E. Y no sería esa la fracción que representa 4/20 cuatro pesos de 20 es lo que le toca, aquí lo que te está diciendo es que los 20 pesos se divide en 5 y a cada niño le toca 1/5.
Ya le entendí.
E. Entonces cuales crees que son las fracciones correctas
4/20, 1/5 y 2/10.
184
E. Entonces ya viste porque estas mal aquí, tu lo tomaste 4 porque 4 pesos le toca a cada niño pero la fracción dice que se divide en 4 y se divide en 5 partes estás de acuerdo
10.
E. Aquí tu lo que trataste de hacer es dividirlo hacer una división porque 1.5.
Porque medio litro equivale a 500 litros serian 1500 entre 5.
E. Nada más que aquí te falto 2 por 7 = 14 para 15 una y aquí pones otro cero y entonces
Mmm es 700.
E. 5 por 2
10.
E. Para 10
Nada.
E. Tú crees ¿que esto lo puedas convertir a fracción?
750/1000.
E. En fracción 250ml ¿cuánto representa de 1000?
Cuartos.
E. ¿Y 750 cuantos tiene?
2
E. ¿Dos?
Son este, podrían ser.
E. 250 ml representa un cuarto ¿Cuanto representa 750ml?
3/4
E. ¿Cómo se te hace más difícil hacerlo, como tú lo hiciste o como lo hicimos?
Más difícil.
E. Para que sea más fácil mira de un litro cuanto le vas a dar la mitad y de 1/2 cuanto es la mitad 1/4 para convertirlo ¿cuántos cuartos tienes en un litro?
4.
E. Mas los dos del medio son 6 y si les vas a dar la mitad y la mitad ¿cuántos es? le tocan 3/4
13.
E. A aquí ¿cómo hiciste la repartición de dulces?
Serian 8 por 3 y de aquí serian 4 por 6.
185
E. ¿4 por 6 pero de aquí 8 por 3 y si tomas 4/8 cuánto es?
Son este 12.
E. ¿Y de aquí?
De aquí son 13 no son 12.
E. Si te das cuenta en estas dos fracciones ¿qué son?
Equivalentes.
14.
E. Aquí ¿cómo sacaste estas fracciones?
Aquí porque dos por 7 da 14 y 5 por 7 da 35.
15.
E. Y aquí ¿por qué no lo hiciste que no le entendiste, dice que este es el entero cuanto representa la parte sombreada?
Un entero.
E. ¿Y este?
2/5.
E. Y ¿si los quieres juntar?
7/5
16.
E. Escríbelo, a ver aquí dice que Sara vive a 2/3 y Laura 4/6 ¿cómo le hiciste para sacarlo?
Porque.
E. Mira aquí dice que vive a 4/6 esta línea divídela en 3 partes iguales.
Pero que aquí se equivocaron pusieron 2/3 y luego 3/4
E. No mira fíjate aquí esta es otra y dice marque con una flecha 3/4 y 4/6 no entiendo porque pusiste 4.6
Mmmm.
E. No te acuerdas, entonces vuélvelo hacer, este punto ¿qué fracción representa en la recta?
2/6.
E. Si te fijas está dividida en 6 y estas tomando 2 entonces es 2/6 entonces ya viste aquí dice representa 3/4 y 4/6, a donde queda 3/4?
3/4
E. Pero porque ahí mira 1,2, 3, 4
186
Pero estaría faltando.
E. No la recta está dividida en 4 partes aquí empieza y aquí termina lo que no entiendo porque la pones aquí, tú la estas dividiendo en 4 partes y tomas esto no está dividido en 4 partes aquí está un pedazo, 2 pedazos, 3 pedazos y 4 pedazos tu de esta recta vas a tomar 3 pedazos entonces ¿hasta dónde llegarías?
Hasta acá.
E. Hasta acá donde está la línea y ahí son 3/4 estas tomando 3 pedazos de 4 si fuera un pastel sería así y yo te digo te voy a dar 3 pedazos ¿hasta dónde te daría?
Hasta acá.
E. Exactamente es lo mismo en la recta y aquí dice cuanto es 4/6, aquí ya está dividida en 6 ¿hasta dónde tomarías?
Acá.
E. Una dos tres y 4, ¿se te hace muy complicado?
Se me complica.
E. ¿Porque? ¿Cómo es más fácil así en figura o en la recta?
Me confundía porque pensaba que empezaba desde 0 y no empieza uno dos tres y cuatro.
E. Bueno eso es todo Rubén, muchas gracias.
ARANZA MILLÁN HDZ. 5° Calificación general: 3.3
1.
E. ¿Por qué creíste que el huevo fue el ingrediente del que usaron la misma cantidad?
Porque las fracciones tienen los mismos números.
2.1
E. Y aquí ¿por qué piensas que el inciso correcto es la B?
Bueno porque es la que más se parece.
E. Ah entonces no es igual lo que quiero es que escojas una figura que tenga la misma parte sombreada que tiene la figura P, observa bien.
Creo que es mmm la c.
E. Si esa es.
3.
E. Y aquí ¿seguiste una fórmula para sacar las equivalencias?
Al principio si iba aumentando el número de arriba de 2 en 2 pero ya en las demás escribí cualquier fracción.
4.1
187
E. Tu respuesta en esta pregunta es que si son iguales porque es el doble pero no te entendemos explícanos
Porque arriba en el ejemplo el pedazo de la derecha (2/8) es el doble del de la izquierda (1/4) y yo pensé que abajo era lo mismo.
E. Pero mira en la pregunta 12.2 respondes muy bien diciendo que los dos triángulos tienen la misma área iluminada si acomodas dos pedazos del triángulo de la derecha en un pedazo del triángulo de la izquierda, entonces ¿no crees que en este caso es algo similar?
Ah sí creo que si estos tres pedazos (3/12) caben en estos dos pedazos de este pastel.
E. Muy bien.
7.
E. Aquí están dos cuadrados en uno de ellos ilumina ½ y en el otro 2/4.
Ya.
E. Ahora bien el área iluminada en ambos cuadrados crees ¿qué es la misma?
Si.
E. Entonces ahora ya sabes que 1/2 y 2/4 si son iguales y que no importa la forma del área iluminada en los cuadrados porque de hecho si divides la figura A y B en cuatro partes y les iluminas 2/4 entonces es lo mismo que si les iluminaras 1/2.
9.
E. En esta pregunta porque pusiste que eran nueve medios, recuerda que se te está preguntando ¿cuántos litros son y no cuántos medios litros?
Ah sí me equivoque son 9 litros y medio.
11.1
E. Lee el problema y ahora bien con ¿cuántos envases de 1/4 de litro podría despachar Laura a Fabián?
Mmmm un litro tiene 4 cuartos entonces (hace dibujos) si son 18 envases.
E. Muy bien.
13.
E. Lee el problema, y ahora ¿qué fue lo primero que se te ocurrió para resolverlo?
La verdad no le entendí y lo que hice es sumar en 2/4 el 2 y el 4 y me dio 6 y en la otra ya no me acuerdo porque puse 5.
BRENDA CELINE ISLAS F. 5° Calificación general: 3.6
1.
188
E. ¿Por qué contestaste que el huevo fue el ingrediente del que usaron la misma cantidad?
Las dos fracciones tienen los mismos números.
E. Ah pero mejor comprobemos con dibujos sí son iguales, dibújame 3/6 y 6/3.
Ya veo en 3/6 es medio entero y acá en 6/3 son dos estoy mal.
E. Si pero ya te diste cuenta del error.
3.
E. Y aquí en esta tabla ¿qué hiciste?
Lo hice al aventón sabes no soy buena en matemáticas de hecho me gusta más el español.
4.1
E. ¿Por qué sí son iguales 6/8 y 9/12?
Tienen lo mismo en gris.
5.2
E. Aquí pusiste que 1/3 es igual a 2/6 haber ve si es cierto dibuja las fracciones.
Ya vi que un pedazo de este es lo mismo que un pedazo del otro círculo.
E. A esto se le llama fracciones equivalentes y son fracciones que aunque tiene distintos números representan la misma cantidad, cuando se trata de fracciones pequeñas se puede comprobar si son iguales con dibujos pero cuando se trata de fracciones más grandes así como las que vienen en la pregunta 14 se puede aplicar una regla y es la de multiplicar numerador y denominador por el mismo número.
6.
E. En este problema pones que es 1/5 lo que le toca a cada niño, pero cuando se te pregunta cuánto dinero le toca a cada uno tu pusiste que $4.50, ¿estás segura de eso?
Ehh es que te digo que no se me da mucho esto haber 4 más 4 más 4.
E. Mejor haz la división.
Ah sí son 4 pesos.
E. Y esos 4 pesos representan 1/5¿cierto?
Si.
7.
E. Lee este problema ¿ahora sigues pensando lo mismo acerca de lo que respondiste?
No porque si le pongo una línea cruzada a la figura entonces ya serían cuartos y lo sombreado serian 2/4 y en la figura B es lo mismo.
189
E. Ahora si ya viste que aunque las partes sombreadas de las figuras no tengan la misma forma ambas representan 2/4.
10.
E. Y en este problema ¿qué hiciste?
No le entendí y puse cualquier fracción.
E. Aquí te dicen que 1 1/2 se debe repartir entre dos personas, ¿Cuántos cuartos tiene un litro?
Mmm cuatro.
E. Y en medio litro ¿cuántos cuartos hay?
Dos.
E. Entonces ¿cuántos cuartos son en total?
Seis.
E. Y la mitad de 6?
Le toco 3/4 a cada una.
13.
E. ¿Qué fue lo primero en lo que te fijaste para resolver el problema?
Las fracciones pensé que 4/8 es mayor a 2/4 y por eso a Paola le tocaron más dulces.
ITZEL MALVERDE MEJÍA. 5° Calificación general: 6
E. ¿Por qué contestaste que la mantequilla fue el ingrediente del que usaron la misma cantidad?
La mitad de 6 es 3 entonces quiere decir que el 3 se multiplico por 2.
E. Pero el cuatro quedo igual.
Está mal entonces tenía que ser 2 para que fuera porque la mitad de 4 es 2.
E. Y ¿cuál es la correcta?
La azúcar.
3.
E. Aquí sacaste bien dos fracciones de 1/3 pero ¿qué paso después?
Me hice bolas y por eso puse muchos números encimados.
E. Si para sacar 9/27 de 1/3 multiplicaste por tres no crees que lo mismo se tiene que hacer con las demás fracciones por ejemplo en 4/10 multiplicaste 10 por 10 y dio 100 pero 4 por 10 no da 50 corrígelo.
190
Es 40.
E. Las contestó bien.
4.1
E. ¿Por qué piensas que 8/6 y 9/12 son iguales?
Tienen lo mismo negro digo gris.
6.
E. Aquí supongo hiciste una división para saber que les tocaba 4 pesos a cada niño pero ¿tú crees que las demás fracciones se puedan relacionar con los 4/20?
No creo.
7.
E. ¿Cómo conviertes la figura A y B en cuartos? ¿Iluminada y esta otra son lo mismo?
Una línea la pongo así y la otra así.
E. Y lo iluminado ¿qué fracción es?
2/4.
E. Así se concluye que las partes sombreadas si son igual a 2/4, aunque lo sombreado no tenga la misma forma.
9.
E. Resolviste este problema con suma de fracciones pero fíjate bien ahí hay 5 litros más 8/4 pero ¿A poco ahí hay solo un refresco de medio litro?
No son 5.
E. Ahora ¿cuánto es medio litro más medio litro?
1 litro.
E. Y si aquí hay 5 medios litros ¿cuántos litros hay en total?
2 y medio.
E. Y ¿cuántos cuartos tiene el litro?
4.
E. si son 8 botellas de 1/4 ¿cuántos litros hay?
2.
E. ¿Y en total juntando todos?
9 y medio litros.
13.
E. ¿Qué fue lo primero que se te ocurrió para resolver este problema, primero léelo?
191
Vi las fracciones y dije son iguales entonces le toca lo mismo a cada quién.
MARIANA QUINTERO PACHECO 6° Calificación general: 7.2
1.
E. ¿Por qué contestaste que el azúcar es el ingrediente del que usaron la misma cantidad?
Pues la operación que creo que hice pues me salió eso.
E. ¿Qué operación hiciste?
Creo una multiplicación.
E. Es decir ¿multiplicaste por dos?
Sí y dio 4/6.
E. Haz aquí la operación.
2.
E. En esta pregunta contestaste la opción B ¿por qué?
Porque son la mitad y la mitad.
E. Supongamos que la Figura P y la figura del inciso B son dos pasteles entonces a mi me dan la parte sombreada de la figura P y a ti la de la B ¿tú crees que a las dos nos tocaría igual cantidad?
No.
E. Entonces de aquí ¿cuál crees que sería igual a esta?
La A.
E. No.
E. Pero si juntas esto para acá y esto para acá ¿no es lo mismo?
Ah sí.
E. Si te das cuenta para que una fracción, aquí dice que tiene una parte obscura que es igual o sea que es igual en tamaño aunque no sea en forma tiene que ser igual, aunque la figura C tiene sombreados cuatro pedazos y la figura P la mitad, si juntas los pedazos ya da la mitad de la figura P.
3.
E. Y aquí ¿cómo sacaste las equivalencias?
Porque en el primero viene 1/2 y aquí vienen 2/4 que dos por dos cuatro.
E. Así de que fuiste multiplicando por dos y así hiciste con las demás fracciones.
Si.
192
4.1
E. Aquí tú pones que 6/8 y 9/12 no son iguales ¿por qué dices que te falta más para tener un entero? o sea tú lo estás viendo en porción de pedazos
No porque si 9/12 los (se queda pensativa) no si son los mismos pedazos los mismos tres pedazos que lo que esta acá.
E. O sea tú viste que aquí era mayor la cantidad aunque no te diste que estos 3 pedazos eran iguales en cantidad a dos pedazos de este, pero ya te diste cuenta que estabas mal y eso es lo importante.
4.2
E. Y aquí tú dices que no son iguales igual por la misma razón entonces en lo que debes de darte cuenta es en el tamaño de las porciones aquí este pedazo es más pequeño que este, además para que sean equivalentes en 1/5 tendrías que multiplicar el 1 el 5 por dos y si es así no daría 3/10.
5.1
E. Cómo le hiciste para saber que 6/12 era equivalente a 3/6?
El 3 y el 6 los multiplique por 2.
E. Y la de 1/2 ¿crees que pudiera ser equivalente?
No porque una por dos da dos y es equivalente, bueno es que yo me guíe por esas dos.
E. Haber dibuja un circulo y divídelo en seis partes ahora ilumina 3/6 y ahora dibuja 1/2.
E. Ya te diste cuenta que son iguales porque es la misma cantidad que está iluminada y que no siempre se tiene que hacer una multiplicación para saber si dos fracciones son iguales.
Si porque la mitad de 6 es 3 y la mitad de 12 es 6.
6.
E. ¿Por qué dices que es 4/20 la respuesta?
Porque dividí 20 entre 5 y dio 4 y como es sobre 20 pues 4/20.
E. Y de las demás fracciones ¿no crees que pueda haber otra u otras que sean equivalentes?
Si 1/5 porque es la mitad de 2 y la mitad de 10.
E. Y ¿cuál otra?
1/4
E. ¿Por qué?
Ah no una sobre cuatro porque 1 peso les toca a cuatro niños.
E. Pero son 5 niños.
193
Esta también 3/15 no, porque 3, 6, 9, 12 mmm pues si esta sería (duda de su respuesta)
E. Esta respuesta que da esta niña es muy interesante porque cree que a cada niño le toca una quinta parte por eso es que va contado de tres en tres pero es algo que no lo tiene muy consciente ya que la otra respuesta que da es errónea.
E. Y ¿1/5 no sería?
No porque sobraría un peso.
E. Es decir piensas que el 5 es el dinero que le toca a cada niño y como le tocan 4 pesos a cada uno ¿sobraría 1 peso?
Si.
E. Y no el 20 se divide en 5 partes y a cada niño le toca 1/5, porque si te fijas en el problema está preguntando por la fracción que representa la parte que cada niño recibió.
7.
E. Le leo el problema.
E. Tú en este problema contestaste que no estás de acuerdo con Alam y en la explicación pones que porque a penas sería un cuarto o sea 1/2, no entendí explícame.
Ah no es que 2/4 es la mitad y 2/4 es 1/2.
E. Entonces está mal tú respuesta pero porque te distrajiste.
Si.
12.2
En esta pregunta tú respondes que el triángulo de 2/3 porque sus pedazos son más grande o sea tú nada mas te guías por los pedazos no vez la fracción, entonces piensas ¿qué son o no son iguales?
Si son iguales porque estos cuatro los paso acá y ya es lo mismo.
13.
E. Le leo el problema.
E. ¿Por qué respondiste que a cada quién le tocan 12? y aquí hiciste una división pero no entiendo.
A Pedro si le tocan porque son 2/4 es la mitad no y a Paola si no la hice solo copie lo mismo.
E. Haber aquí haz lo de Paola.
Dividí 24entre 4.
E. De estos 24 dulces tú solo vas a tomar 4/8 ¿cómo le vas a hacer? No sé. Mmm.. La mitad de 8 es 4 también lo vi como 1/2 porque es equivalente de 4/8 y 1/2 son 12 dulces.
194
14.
E. Aquí ¿cómo le hiciste para sacar el seis cuarenta?
Creo que me guíe por esta.
E. Haber ¿cómo harías esta del inciso a?
Multiplicaría 14 por 5 entre 2.
E. Hazlo.
E. ¿Cuánto te dio?
35.
E. Y para sacar esta ¿cómo le harías?
45 por 2 entre 7.
E. Hazlo.
E. Y ¿cómo compruebas que estas fracciones son equivalentes?
Bueno es que yo tengo una tablita y así lo haría pero así pones dos quinceavos y catorce cuarenta y no sé qué y 14 y 45.
E. Y ¿para encontrar la de este lado?
E. En esta aquí te dice que este es el entero y aquí vez un entero que son 5/5 más 2/5 ¿cómo podrías hacerle para que con una sola fracción este representada esa cantidad?
7/10
E. Cuando el entero es este en ¿cuántas partes está dividido el entero?
5.
E. Entonces de ¿qué otra forma podrías representar esto?
Un entero dos quintos.
E. ¿Hay otra?
No.
16.
E. En esta pregunta tú dices que Sara vive más lejos y marcaste 4/6 acá y donde marcaste 2/3?
Aquí.
E. Porqué?
Están igual porque este es de 6 y aquí ya son 2/3.
E. Entonces ya te diste cuenta que viven a la misma distancia 2/3 y 4/6 son equivalentes.
195
E. En esta otra pregunta te piden marcar 3/4 y 4/6, ¿cómo le hiciste para marcar 3/4?
Ah está mal pero no sé cómo hacerla.
E. Haber en ¿cuántas partes la tienes que dividir?
En 4.
E. Ahora marca 4/6.
E. Ahora si estás de acuerdo que 3/4 es mayor que 4/6 y aunque los números de esta fracción son más no por eso va ser mayor que la primera fracción.
Sí porque en 3/4 los pedazos son más grandes.
MARÍA FERNANDA VALENCIA CADENA6° Calificación general: 9
1.
E. ¿En esta pregunta respondiste el inciso A que es la azúcar como supiste que 2/3 era igual a 4/6?
Es que yo hice un dibujo y lo dividí en mitades y fui rayando las partes con las que ¡ay! mmm….
E. A ver si uno de tus compañeros hubiera puesto la harina como respuesta buena ¿qué le dirías?
Pues que está mal porque falta un pedacito.
E. Un pedacito igual a este así le dirías.
Si.
E. ¿Qué hiciste aquí?
Mmm..
Aquí lo que no entiendo es ¿por qué pusiste 3/8?
No me acuerdo.
E. Entonces ¿cómo sacaste las equivalencias de estas fracciones?
Fui viendo los números mayores y los fui poniendo a la mitad, se supone que aquí 1/2 es igual a 2/4 entonces.
E. Copiaste esto.
Más o menos.
E. Y aquí ¿qué hiciste?
E. O sea fuiste viendo que a la mitad del número grande de abajo le podías sacar la mitad y hacer la equivalencia.
Mmm, Pues sí.
E. Por eso sacaste 30/70.
196
E. Entonces así lo fuiste haciendo, y aquí igual pero aquí ya viste que eso no sale 3/8 y 5/12, y aquí tampoco, aquí si está bien lo multiplicaste por 2, pero acá.
Es que creí que era la mitad de diez pero le quitaba un número.
E. Porqué?
No sé.
E. Pero si le quitamos al diez dos números te sale ocho y a este lo que le quitas se lo pones a este o como.
No o sea es que primero vi que la mitad de diez era cinco y como era cuatro entonces pensé que le quitaban un numero nada mas a ese, o sea ponía ocho y la mitad de ocho son cuatro pero yo le quitaba un número.
E. Ah ya entendí.
6.
E. Haber de aquí qué otra fracción es equivalente a 4/20.
2/10.
E. Y ¿cuál otra?
1/4
E. ¿Estas segura?
E. O nada más una.
11.1
E. Respondiste mal en esta pregunta se la leo.
E. Tú dices que con 17 envases de 1/4 ¿estás bien?
Ah son 18 envases.
13.
E. ¿Cómo le hiciste para saber que a Pedro le tocaban 12 dulces y a Karina igual?
Primero vi cuantos dulces eran y la mitad de ocho es cuatro y la mitad de cuatro dos y ya lo dividí el 24 y dio doce.
14.
E. Y aquí ¿cómo le hiciste?
Una niña me dijo y no le entendí.
E. ¿Tú no podrías sacar el número que va en el cuadrito de aquí abajo?
Es que no le entiendo.
E. Lo que tienes que hacer es buscar una cantidad para que estos 2/5 sea igual a tal cantidad y sean fracciones equivalentes con figuritas no, porque te tardarías mucho tiempo, entonces como i para sacar la equivalencia lo vas multiplicando.
197
Si algo así le entendí me dijo que algo de la tabla del doce, ay no sé.
E. Si dividieras 45/15.
Hace la división.
E. Se te complica mucho porque son números más grandes cosa que no te sucede con los medios, tercios y novenos ¿porque ya no puedes hacer figuritas cierto?
Es que si puedo hacerla pero me hago bolas haciendo las divisiones porque no entiendo si esta se divide o algo de aquí se multiplica.
E. Este de acá lo divides entre este número y lo multiplicas por el de arriba.
16.3
E. En esta pregunta tú pones que 3/4 y 4/6 es la misma fracción ¿por qué?
Bueno es que no entendí bien.
E. Haber aquí señala 4/6.
E. Y en donde quedaría 3/4
LUIS ESPINOZA PONTIGO 6° Calificación general: 4
1.
E. A ver Luis ¿porque pusiste que b es la figura que tiene la misma parte?
Porque es la mitad E. ¿Y eso es la mitad?
Bueno no pero yo suponía que era la mitad
E. Esta no es la mitad esto es 1/3 si tú lo divides aquí te da un tercio entonces no es la misma cantidad que esta ¿sabes que es una fracción equivalente?
Si.
E. ¿Qué es?
Por ejemplo es mmm como te diré es que sean iguales.
E. Es una figura, una manzana
Son las mismas cantidades.
E. Estas son las mismas cantidades aunque repartidas de diferente manera
3.
E. ¿Por qué no las contestaste, a caso no le entendiste?
No las entendí muy bien
E. Aquí lo que tenias que hacer era sacar equivalencias ¿sabes cómo sacar equivalencias?
Más o menos.
198
E. ¿Cómo se hacen?
Este por ejemplo como dice aquí 1/2 es igual a 2/4 hacen la suma de 1/2+ 1/2 es igual a 2/4.
E. Y aquí ¿cómo le tendrías que hacer como sacaron que 3/9 es igual a 1/3?
Le sumas 3 veces 1/3.
5.
E. Y que no es más fácil que lo multiplique por 3 entonces aquí que tienes que hacer
Hacer las equivalencias de 1/5
E. Porque numero tienes que multiplicarlo
Multiplicar por 5.
E. No necesariamente por 5 lo puedes hacer, pero recuerda que por el numero que lo multipliques arriba lo tendrás que hacer abajo, porque si tú multiplicas arriba uno y abajo 2 ya no son equivalentes. Aquí por ejemplo tú dices que no son iguales ¿por qué dices que no son iguales?
4.1
No son equivalentes porque aquí son 6/8 y aquí 9/11, entonces este es más que este
E. Pero ¿porque dices que es más, por las rebanadas?
Si.
E. Si, aquí por ejemplo si yo te diera este pedazo y yo me quedo con este pedazo ¿quién tienen más?
Es lo mismo.
E. Acuérdate que tú mismo me dijiste que las fracciones equivalentes eran lo mismo pero partidos de diferente manera entonces cualquier parte que yo tome es lo mismo y aquí ¿por qué dices que son iguales?
Porque si como dices si yo tomo este pedazo es equivalente a este.
E. ¿Este pedazo es igual a este?
No, si no, no es igual.
E. No es igual le sobra este pedazo para que sea equivalente.
5.1
E. Entonces aquí dime como sacaste estas equivalencias 6/30 es igual 3/6.
Porque como te dije lo sume.
E. Viste que la mitad de 6 es 3 y aquí este es equivalente a un 1/2
Si.
199
E. Y aquí esta pues ya la viste y ¿qué otra fracción puede ser igual a 1/3? por ejemplo esta 2/6 ¿crees que sea igual?
Si.
E. ¿Por qué?
Porque sumas 1/3 + 1/3.
5.2
E. ¿Y aquí 4/12?
Lo multiplico por 4 no 1/3 por 4.
6.
E. A ver aquí pusiste que la parte que recibió cada niño es 4/20 ¿Por qué a cada niño le toca $20?
Porque aquí dice que ganaron $ 20.
E. Entre todos
Ahhh sí.
E. Entonces ¿cuánto le toca a cada niño?
Le toca 4 pesos a cada uno.
7.
E. Yo creo que fue error de lectura aquí mira dice a continuación se le presentan dos figuras a y b una de estas tiene una parte sombreada, Alam cree que la parte sombreada es igual a 2/4 tu le pusiste que no porque cada parte es 1/2 ¿Pero lo que está preguntando es si esta parte sombreada es igual a 2/4?
Si
E. ¿Por qué?
Porque como te digo ½ + ½ es igual a dos cuartos lo divido a la mitad.
10.
E. A ver Luis aquí dice Itzel compro un agua natural de litro y medio y le dio la mitad a su amiga Paty ¿cuánta cantidad le toco a cada una? ¿Por qué pusiste un litro 1/4?
Porque dice que compro un agua natural de litro y medio y le compartió a su amiga Paty la mitad entonces a ella le toco, le debía haber tocado medio litro a cada quien
E. Medio litro y la mitad de medio litro es un cuarto ¿Cuantos cuartos caben en un litro?
4
E. Vamos a tomar estas botellas de cuarto y de medio ¿cuántas serían?
6
200
E. Entonces ¿si les va a tocar la mitad cuantos cuartos le toca?
3/4
12.
E. Si le entiendes, pero tal vez fue error de lectura ¿Porqué pusiste 2/4 aquí?
Porque yo conté las bases una cara, 2 caras pero entonces ya sería la base
E. Y ¿entonces cuanto es?
2/3
E. Y aquí ¿Cuánto es?
4/4
E. No en cuantas partes está dividido
En 6.
E. ¿Entonces cuánto es?
4/6
E. Aquí dice ¿Cuál de los dos triángulos tiene más área iluminada? tu pusiste que el primero, ahora bien ¿tú crees que este tenga más área iluminada que este?
No serian equivalentes.
E. Tienen la misma área si tú pasas este para o este para acá tienen la misma área.
13.
E. ¿Cómo hiciste la repartición de los dulces?
24 dulces entre 3 porque son 3 niños.
E. no
Ah sí es entre 2.
E. ¿En qué te fijaste para poder resolverlo?
En las fracciones.
E. Y ¿qué te dicen las fracciones?
Son equivalentes.
E. Tú me dices que son equivalentes si son equivalentes entonces ¿Cuántos dulces le tocan a cada niño?
A cuatro dulces.
E. ¿A 4 dulces?
O a dos.
E. Ya no veas esto tú me dices que estas fracciones son equivalentes 2/4 ¿qué es?
201
Es la mitad de 4/8 y 1/2 es la mitad de 2/4.
E. Entonces ¿cuántos dulces le toca a cada niño?
12
14.
E. Ahora estas fracciones no las entendiste ¿no te las han enseñado?
No, no les entendí.
E. A estas fracciones tenias que hacer lo mismo que las otras sacar equivalencias para que esta fracción y esta otra sean iguales deben de tener aquí por ejemplo en esta ¿Qué tienes que hacer? acuérdate que tienes que multiplicar las dos partes por el mismo número.
Sacarle tercia.
E. En esta no tienes nada tú tienes que encontrar este número si lo multiplicas.
MITZY MIRANDA CONSUELO C. 6° Calificación general: 5
1.
E. Este es tú examen esto es lo que tú hiciste, a ver Mitzy ¿por qué dices que el huevo es el producto del cual usaron la misma cantidad?
Pues.
E. Tú en ¿qué te basas en decir que es el huevo?
Porque aquí van 2, 3 y 4 y aquí van 2,3 y 4.
E. O sea tú dices que 3/6 y 6/3 son iguales
Si.
E. Mitzy aquí dibuja 6/3 y aquí 3/6.
E. De aquí vas a tomar 3/6 y de aquí 6/3.
6/3!!
2.
E. Tú sabes que es una fracción equivalente
Si.
E. ¿Qué es?
2.
E. Porque encerraste la b ¿a poco este es igual a este?
E. Y esta ¿tú crees que es igual (inciso c)?
202
No.
E. Si tú acomodas estas partes ¿aquí te da lo mismo?
E. Ahora aquí como sacaste estos números no te pongas nerviosa
Lo que tú creas contesta
No eso no lo hice mmm.
E. ¿Por qué dices que 1/5 y 3/6 don iguales?
Porque si.
E. ¿Es la misma área esta y esta?
E. Dibuja 1/2 y 3/6 esta mitad es igual a los 3/6.
E. ¿Cómo encontraste?
Porque lo multiplique por tres.
PAMELA B. MORENO HERNÁNDEZ. 6° Calificación general: 9
2.
E. ¿Porque dices que esta figura es igual a esta?
Porque es más o menos el mismo tamaño.
E. ¿Tiene la misma área sombreada?
No.
E. Entonces no puede ser igual ¿estás de acuerdo? ¿entonces cuál de estas figuras tiene la misma área sombreada?
La c.
E. ¿Por qué?
Porque está dividida en 8 pedazos y son cuatro los que están sombreados que equivalen a la mitad.
E. Entonces tú dices que es esta, entonces si sabes ¿qué es una fracción equivalente?
Es cuando es cuando es algo que, que es como la misma cantidad pero no es igual.
E. Dividida.
5.2
E. Como le hiciste para sacar estas fracciones
Pues fui multiplicando esto si 1/3 es igual a 4/12, porque uno por cuatro es cuatro y 3 por cuatro es doce.
203
E. Y así las fuiste multiplicando todas si mira Pamela si entiendes muy bien lo que son las fracciones te gustan las fracciones a ver de estas fracciones que tienes aquí ¿tú crees que otras pueden ser equivalentes a 1/5?
La b 3/15.
E. ¿Por qué?
Porque uno por 3 y 5 por 3 da 15.
6.
E. Pero fíjate bien si es equivalente en ese sentido que tú lo dices pero estamos viendo que 20 pesos que ganaron se repartieron entre 5 entonces tú crees que esta pueda ser, entonces ¿cuál de estas puede ser?
La a, porque igual son equivalentes y si se puede dividir entre 5 niños.
E. ¿Cuánto le toca a cada niño?
4.
10.
E. Que hiciste aquí para sacar los 3/4?
Primero dibuje el litro y medio y lo dividí en cuartos para que lo pudiera dividir a la mitad y entonces me salió 3/4 para cada una y es la mitad de 1 1/2.
13.
E. A ver aquí ¿cómo le hiciste para sacar cuanto le tocaba de dulces a cada uno?
Mmmm pues aquí primero dividí 24 entre 4 para saber cuánto era un cuarto de 24 y como me pide dos cuartos entonces lo multiplique por 2 y me salió 12.
E.Y aquí ¿hiciste lo mismo?
24 entre 8 para saber cuánto era un octavo y lo multiplique por 4 porque me pide 4/8.
E. Y esa forma de sacar estos resultados ¿cómo la aprendiste?
Yo lo aprendí.
14.
E. Y aquí en esta como sacaste las equivalencias
Ah pues use la regla de tres multiplique esto por esto y medio el resultado.
15.
E. Y aquí te dice que el entero es esto ¿tú podrías escribir esto en una sola fracción?
Mmm eh 7/5.
E. Yo veo que si entiendes muy bien las fracciones en donde te las pongas no veo que tengas problemas.
204
1.
E. Si uno de tus compañeros te dice que el huevo es la misma cantidad que usaron ¿qué le dirías?
Que está mal porque 6/3 no es lo mismo que 3/6,6/3 es equivalente a 2 enteros y 3/6 es la mitad de un entero y es todo lo contrario.
E. Muy bien Pamela, si uno de tus compañeros te dijera que no puede resolver estos como le explicarías
Pues yo le diría que fuera duplicando las cantidades o dividiéndolas equivalentemente por ejemplo si esta la multiplica por 3 esta la debe multiplicar por 3 o dividirla por el mismo número.
E. Si la multiplica abajo por el mismo número arriba debe hacer lo mismo ¿verdad?
Si.
E. Muy bien Pamela eso es todo y muchas gracias.
RUBÉN A. DELGADO OLVERA 6° Calificación general: 9
Este es tú examen esto es lo que tu contestaste, te vamos a hacer algunas preguntas sobre tus respuestas, ¿por qué contestaste que el azúcar fue el ingrediente que usaron la misma cantidad?
No me acuerdo.
1.
E. Lee tu examen, no te acuerdas porque 2/3 es igual a 4/6?
Son equivalentes.
E. Y ¿cómo sabes que son equivalentes?
Porque 2 es la mitad de 4 y 3 es la mitad de 6.
E. Y para sacar estos números Rubén ¿cómo le hiciste?
Multiplicándolas.
E. Multiplicándolas por ejemplo aquí ¿qué hiciste?
Multiplique por 2.
5.1
E. 3/6 con ¿cuál otra crees que sea equivalentes?
También por los doble.
E. Y 1/2 ¿crees que sea equivalente de 3/6?
Si.
E. Tú en que te fijas que son equivalentes ¿por los números o por las figuras?
Por los números.
205
7.
E. Aquí dice a continuación se representan dos figuras a y b, cada una de estas figuras tiene una parte sombreada, Alam cree que las partes sombreadas son iguales a 2/4. Esta figura dice Alam que son igual a 2/4 tú le pusiste que sí que las dos están llenas a la mitad ¿qué quisiste decir con eso?
Que 2/4 es igual a 1/2.
10.
E. Muy bien Rubén solo que no lo explicaste. A ver para encontrar que a cada una le tocaba ¾ ¿cómo le hiciste?
Porque la mitad de 1 con un medio es 3/4.
E. Y ¿cómo le hiciste?
La mitad de un entero es medio y la mitad de medio es un cuarto.
E. hiciste una suma
Si.
13.
E. A ver ¿cómo le hiciste para saber que le toca la mitad y la mitad de dulces a cada uno?
Porque se supone que le toca la mitad de dulces porque 2/4 es igual a 1/2 y también 4/8 y la mitad de 24 es doce.
14.
E. Para hacer estas Rubén aquí tenias que encontrar el número de abajo para que fueran equivalentes
No me acuerdo que hice.
E. Y ¿cómo las sacaste?
Multiplicando.
15.
E. En esto tenemos una duda porque le pusiste 0?
Porque dice que la parte sombreada era lo que se ponía.
E. Nada más que fíjate que dice la pregunta si el rectángulo es un entero entonces ¿qué fracción le corresponde a la parte sombreada?
Cero enteros.
E. Lo estás viendo como el blanco y aquí como está obscuro no es nada no, recuerda que si yo te digo esta es una galleta la parto en cinco partes iguales y te la doy toda a ti ¿cuánto te di?
5.
206
E. Entonces ¿cuántas tenias que poner aquí?
5/5.
E. Y ¿aquí?
2/5.
E. Y si juntas todo ¿cuánto tienes?
7/5.
16.
E. A ver ¿qué hiciste aquí para encontrar el 3/4?
Dividí la recta en cuatro.
2.
E. Si uno de tus compañeros hubiera puesto esta figura como buena ¿qué le hubieras dicho?
¿Que está mal?
E. ¿Porque?
Porque aquí solo esta relleno como 1/3 y esta es la mitad.
E. Pues eso es todo, muchas gracias Rubén.
