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Módulo de Modelización y Simulación de Plantas de Tratamiento de Agua Prohibida toda reproducción parcial o total de este documento sin autorización Página 1 de 47

El creciente desarrollo de la modelización, simulación y optimización de sistemas físicos ha hecho posible una implantación y un control más eficientes de las plantas depuradoras de aguas residuales

Las plantas depuradoras son sistemas dinámicos que cada vez tienen procesos más complejos, que hacen difícil su diseño, control y gestión

Se llevan a cabo una amplia variedad de procesos, que se clasifican en procesos físicos, químicos y biológicos. La combinación de varios tipos de procesos en una misma etapa hacen más compleja la situación. Además existe la dificultad añadida de la variabilidad en la composición en la corriente de entrada a la planta, lo que confiere un comportamiento dinámico al sistema.

Los procesos se pueden estudiar en términos científicos mediante:

• Balances de materia y energía • Equilibrios termodinámicos • Cinética química y bioquímica

Fenómenos de transporte



El empleo de la informática en la manipulación de modelos que representen el sistema supone una importante ayuda para la simulación de la planta y la consiguiente optimización del diseño y la gestión, así como el control de la operación

La simulación de estos modelos a través del ordenador permite una aplicación posterior de los métodos de optimización al diseño, la anticipación a los problemas de explotación, la realización de estudios de mejora y modificación de la planta, la comparación entre distintas propuestas de tratamiento, etc.

El último eslabón en la cadena para una implantación y gestión más eficientes de una planta depuradora es la optimización. Mediante la simulación se tiene la posibilidad de barajar entre distintas alternativas y, aplicando las técnicas de optimización, se puede determinar la más conveniente de todas

Otro aspecto fundamental que está estrechamente relacionado con el trinomio modelización - simulación - optimización es el control de la operación. Mediante un control adecuado se asegura el correcto funcionamiento de la planta

La fiabilidad de los resultados, la facilidad de tantear alternativas y el bajo coste relativo de la hora de máquina hacen de la modelización y la simulación informática una opción más ventajosa que la utilización de técnicas tradicionales como la modelización física a escala de planta piloto en los laboratorios

Durante siglos para el estudio científico de los diversos fenómenos que ocurrían se recurría al enfoque analítico. El enfoque analítico parte del principio de considerar con gran detalle una porción muy reducida de la realidad



El enfoque analítico analiza los detalles con intensidad, perdiendo la visión de conjunto. Es un método desintegrador que propicia la formación de especialistas que trabajan de manera aislada. Esto conducía a una enseñanza por disciplina y una acción programada en detalles

Pero en la actualidad, aunque el enfoque analítico sigue teniendo gran interés científico y es ampliamente utilizado, los fenómenos cada vez más complejos hacen que este enfoque sea insuficiente para darles una explicación. Por ello surgió el enfoque sistemático o sistemática científica

El enfoque sistemático o sistemática estudia la realidad anteponiendo el todo, o la globalidad, al análisis de los detalles. Es un método integrador que propicia el trabajo en equipo. Esto conducía a una enseñanza pluridisciplinar y una acción programada por objetivos

Es importante tener en cuenta que ambos enfoques no tienen que ser contrapuestos; por el contrario, si se utilizan combinadamente, pueden proporcionar muy brillantes resultados

La sistemática científica es la ciencia que estudia o describe los sistemas. A continuación pasaremos a definir que el concepto de sistema

Lo primero que se debe definir es el "sistema" sobre el cual se van a aplicar las operaciones de modelización, control y simulación. Un sistema es una colección de entes o elementos que de manera ordenada actúan o interaccionan para la consecución de un determinado fin



Pongamos un ejemplo, sobre el cuerpo humano se pueden considerar múltiples sistemas. Así el sistema locomotor tiene:

1. Elementos o cosas (entes): los huesos 2. Están ordenados: relaciones entre huesos

(esqueleto) Sirven o contribuyen a un fin: el soporte global del organismo (la movilidad)

El estado de un sistema viene determinado por un conjunto de elementos (variables) necesarios para describirlo en un instante de tiempo determinado. Cada una de estas variables recibe el nombre de "Variables de Estado"

Los sistemas se clasifican atendiendo a la variación de sus variables de estado en función del tiempo en:

• Sistemas Discretos o Estáticos: Aquellas en las que sus variables de estado cambian en un conjunto de instantes de tiempo que es contable. Sistemas Continuos o Dinámicos: Aquellos en las que sus variables de estado cambian de manera continua a lo largo del tiempo

Un mismo observador científico definirá sobre una realidad diferentes sistemas, según sea la finalidad de su estudio. Diferentes observadores científicos definirán sobre una realidad en estudio diferentes sistemas, según sea su entrenamiento y conocimientos previos. Se concluye, por tanto, que sobre una misma realidad se pueden definir numerosos sistemas

Los sistemas son representados mediante modelos construidos con el propósito de estudiarlos. Dependiendo de los medios disponibles y de la finalidad, un sistema puede ser representado por múltiples modelos



En esta sección se van desarrollar las características estructurales (aquellas que permanecen inmutables en el tiempo) y funcionales (aquellas que hacen referencia a cuestiones de funcionamiento) de los sistemas, así como ver las correspondencias operativas entre sistema y modelo

Las características estructurales son: los elementos, los límites y las redes de comunicación.Los elementos ya definidos anteriormente son los componentes del sistema y representan o conceptualizan alguna característica de la realidad. Estos elementos tienen sus equivalencias en los modelos: las variables y los parámetros

Los límites señalan la barrera o frontera que separa al sistema del resto de la realidad. Una vez decidido sin ambigüedad si un elemento pertenece al sistema objeto de estudio, se denominaran elementos endógenos a los que queden dentro del sistema y exógenos a los que quedando fuera influyen de manera decisiva en el comportamiento del sistema

Las redes de comunicación o canales representan las relaciones o interacciones entre los elementos. De la misma manera, una función matemática (modelo) es la formalización de manera precisa y operativa de una red de comunicación, representando la relación existente entre las variables y los parámetros que explican su comportamiento

Las características funcionales del sistema son: los flujos, los retardos y los bucles de realimentación. Los flujos se refiere a la circulación de elementos (material, información o energía) a lo largo del tiempo, es decir, representan el comportamiento del sistema a lo largo del tiempo

Los retardos son las discrepancias entre las unidades de tiempo y de velocidad de circulación de los flujos, es decir, cuando un flujo se produce en un tiempo superior a la unidad temporal utilizada, se dice que hay un retardo en la transmisión o circulación



Los bucles de realimentación son las cadenas de causalidad, dependencia o influencia entre elementos que se cierran sobre si mismas. Es frecuente llamarlos feed-back, relaciones de causalidad circular o hacia atrás

Los bucles de realimentación se le añade signos (+) o (-) para indicar el sentido en el que se mueven las magnitudes. El comportamiento del bucle es explosivo o positivo (+) cuando se mueven en el mismo sentido (si una aumenta la otra aumenta o viceversa). El bucle es estable o negativo (-) cuando se mueven en sentidos contrarios (si una aumenta la otra disminuye o viceversa).

En los sistemas dinámicos (las estaciones depuradoras de aguas residuales lo son), la trayectoria (flujos) nos muestra la evolución temporal del sistema. La representación de una trayectoria, conjunto de valores que toma un elemento a lo largo del tiempo, se puede hacer de varias formas: por medio de una tabla o cuadro, por medio de una función (modelo) o por medio de un gráfico

La creencia generalizada de que cada sistema genera una sola trayectoria, es falsa. Puede suceder que con cambios infinitesimales en el sistema se produzcan respuestas totalmente diferentes. Estos cambios lo estudia la teoría de las bifurcaciones y se denomina catástrofe cuando se producen comportamiento contra-intuitivos o no esperados en la trayectoria del sistema. Esta palabra no tiene porque tener connotación negativa, por ejemplo, un cambio genético que mejore la cualidad de un ser vivo es una catástrofe positiva o beneficiosa

Las características funcionales de los modelos son las mismas que las de los sistemas, sin embargo, en el paso de sistema a modelo hay que precisar al máximo cómo son tales características (definir de manera precisa y operativa como son los flujos, retardos y bucles de realimentación). Proceso que se verá en detalle en el próximo capítulo



Los sistemas se pueden representar según sea su grado de formalización más o menos detallado mediante representaciones geométricas (mapas y planos de CAD), diagramas (causales, de Forrester, MDS,...), Ecuaciones matemáticas (modelos), etc..

La manera más común de representar sistemas es mediante diagramas. Los diagramas son una representación formalizada de las interrelaciones de un sistema, en donde se hacen explicitas las relaciones de dependencia o causalidad entre las diferentes variables

Los diagramas causales o de flujos de un sistema es en si un modelo del sistema, representando las relaciones entre los variables y los parámetros. En el diagrama causal cada elemento (variable o parámetro) se representa por un concepto y las relaciones de influencia o causalidad se representan por medio de flechas con signos más (si se mueven en el mismo sentido) o menos (sentidos contrarios) en el extremo

Dentro de los diagrama causales un caso especial son los diagramas de Forrester. En estos diagramas causales dinámicos se han clasificado las magnitudes y relaciones atendiendo a una simbología propia de los sistemas dinámicos

J. Forrester estableció un símil hidrodinámico para ilustrar el comportamiento del sistema y a partir de ahí, elige unos símbolos determinados para representar las distintas características funcionales y estructurales de los sistemas. Estos símbolos se explican en la tabla de la figura



El paso a los diagramas de Forrester supone una formalización mayor que los diagramas causales simples, ya que por un lado es preciso catalogar o clasificar las magnitudes (niveles, flujos, variables, parámetros, etc.) y por otro lado establecer la estructura de retardo entre ellas (componente temporal). Esto nos permite ya un conocimiento de las ecuaciones del sistema

Más adelante se verán ejemplos de la construcción de estos diagramas. No hay que olvidar que a veces se establecen relaciones no lineales entre la variable de entrada y la de salida, para eliminar esta imprecisión, siempre que sea posible debe hacerse explícita gráficamente. A estos diagramas se les denomina MDS (Más desarrollo del sistema)

En primer lugar hay que definir la palabra "modelo". Podemos definirlo como: Una simplificación de la realidad pensada para promover su comprensión. A menudo tratamos con sistemas tan complejos que se encuentran más allá de los límites de nuestra comprensión intuitiva. Por ello construimos los modelos, simplificaciones de la realidad, que nos permiten entender el sistema estudiado

Un modelo es una representación física, matemática o de otra manera lógica de un sistema, de una entidad, de un fenómeno o de un proceso. Los modelos de proceso traducen la información y acontecimientos generalmente a ecuaciones matemáticas

Un modelo matemático se utiliza para calcular un resultado, los símbolos matemáticos usados en el modelo identifican o definen las variables que intervienen en el proceso, lo cual implica un conocimiento exhaustivo del proceso



La extensión en la que ayuda el modelo, al desarrollo de la comprensión del proceso, es la base para decidir lo bueno que es. El modelo tiene que incluir los componentes precisos, si se excluyen éste será demasiado sencillo en su naturaleza y no sostendrá el desarrollo de la comprensión deseada. Por otro lado, si incluye mucho detalle el modelo puede llegar a ser tan complejo que falla al promover el desarrollo de los niveles de comprensión profunda buscada

Los modelos matemáticos que nos definen los sistemas se pueden resolver de manera exacta buscando una solución analítica (obtención de una solución que valdrá para cualquier momento y para obtener cualquier parámetro) o cuando esto no es posible de forma aproximada mediante simulación del sistema (estimación de comportamiento del sistema bajo una determina situación)

Muchas actividades se basan en el uso de modelos: Descripción y estudio de un proceso, Diseño, Control, Entrenamiento Personal, Predicción, Optimización, etc..

La función básica de un modelo es contribuir a la mejora de la gestión en la que participa con el objetivo fundamental de alcanzar un punto óptimo de funcionamiento

Los modelos suelen proporcionar distintas informaciones, como por ejemplo la concentración de contaminantes en el efluente, lo cual permite determinar si el proceso es el adecuado para la calidad que queremos obtener o bien el impacto que éste tendrá sobre el cuerpo receptor.

Los modelos deben de cumplir una serie de requisitos para que sean efectivos: serán precisos y fiables al nivel de información deseado y además estarán adaptados al sistema y serán flexibles



Atendiendo a las bases sobre las que se construye el modelo se distinguen modelos fundamentales o de primeros principios y modelos empíricos. El fundamento de los primeros son relaciones físico-químicas conocidas mientras que los segundos se obtienen mediante ajustes de datos experimentales

En cuanto al régimen de funcionamiento del sistema de estudio los modelos se clasifican en modelos de estado estacionario y modelos dinámicos. En los primeros sólo se considera operación estática mientras que en los segundos las variables cambian con el tiempo

Se hace otra caracterización en términos de modelos de parámetros localizados y modelos de parámetros distribuidos. Los primeros implican que la variable de interés cambia sólo con una variable independiente. Los segundos poseen más de una variable independiente

Atendiendo a la naturaleza matemática del modelo, se distinguen modelos lineales y no lineales. El modelo de un sistema lineal está representado por ecuaciones y condiciones límite lineales, mientras que para uno no lineal son no lineales

De acuerdo a la fluctuación de los valores de los parámetros se clasifican en modelos determinísticos y estocásticos. El modelo determinístico tiene todos sus parámetros definidos, mientras que los estocásticos sus parámetros fluctúan dependiendo de variables estadísticas



La modelización matemática es una técnica cuyo objetivo es obtener ecuaciones (modelos) que describan el comportamiento del sistema

Los modelos se pueden obtener mediante:

• razonamientos o teorías (usando leyes físicas, químicas etc.)

• experimentación y análisis de datos

Mezcla de ambas cosas

La Modelización Teórica se obtiene mediante razonamientos y la aplicación de principios de conservación de masa, energía, momento, etc. y otras leyes particulares del dominio de aplicación. La modelización se hace generalmente en base a dos estrategias: modelos en ecuaciones algebraicas para procesos estáticos y modelos en ecuaciones diferenciales para procesos dinámicos

La construcción de estos modelos se asienta en las leyes que rigen el proceso a modelizar, así como los parámetros de funcionamiento. Para ello se precisa de un conocimiento exhaustivo del sistema y de la fijación lo más acertada posible de las variables más relevantes que intervienen en el mismo

Estos modelos teóricos son muy útiles para distintos fines pero son difíciles de manejar matemáticamente por lo que se suelen resolver mediante simulación

La modelización empírica se basa generalmente en el análisis de los datos experimentales ajustándolos a distintas ecuaciones: polinomios de distinto grado, cubic splines, potencias, etc.. Esto supone ya una cuantificación que siempre es mejor que una interpretación cualitativa y que permite aspectos operacionales como la calibración, predicción y la simulación



Es importante recordar que los datos se pueden ajustar bien a distintas ecuaciones, e incluso el aumento en el número de parámetros mejora el ajuste, pero conviene elegir aquélla que tenga el menor número de parámetros

Otro aspecto a tener en cuenta a la hora de elegir la ecuación como modelo es comprobar que el tipo de curva que predice dicha ecuación concuerda con el comportamiento cualitativo de los datos experimentales: ¿Pasa la curva por el origen o está desplazada un cierto valor constante? ¿La curva es monótona creciente o decreciente? ¿Tiene máximo, mínimo, punto de inflexión? ¿Cierran todas esas singularidades con la tendencia observadas en nuestros datos experimentales?

En esencia, este procedimiento consiste en encontrar, mediante algún criterio, los valores de los parámetros que mejor ajustan la ecuación a los datos. Estrictamente hablando, debiera decirse "ajuste de la ecuación a los datos" y no "ajuste de los datos a la ecuación" ya que lo que se trata de "amoldar" (ajustar) es la ecuación (moviendo los valores de los parámetros) y no los datos que son invariantes

Así el primer paso para desarrollar un control más eficiente es la modelización de la planta. La modelización de este proceso consistirá en un conjunto de ecuaciones (modelos de proceso unidos para la obtención de un único modelo unitario), incluyendo los datos de entrada necesarios para resolver las ecuaciones, que nos permitan predecir el comportamiento del sistema



La modelización se ha descrito como una sucesión de etapas, aunque no existen reglas fijas, interviene bastante la intuición del que decide, y es un proceso abierto a la reformulación en cualquiera de sus etapas

La primera etapa es la descripción del sistema.En esta etapa se trata de precisar el esqueleto básico del modelo, la selección de sus elementos y las relaciones fundamentales. De acuerdo con los fines y los límites, es preciso señalar y seleccionar aquellos elementos de la realidad que parezca a priori, más interesante de retener. Esta etapa es sumamente delicada; ya que del acierto mayor o menor al hacerla depende en buena medida el éxito final

La definición precisa de cada magnitud es la segunda etapa. En esta etapa se trata de definir, codificar, dar unidades y valores iniciales tanto a las variables como a las restricciones del sistema. A la sistematización de las variables dentro de un cuadro suele denominarse Código de Variables

La Representación del sistema.Es una formalización de las etapas anteriores, mediante los diagramas se identifican los elementos y las interrelaciones entre ellos, así como su signo. No hay inconveniente en repetir los elementos del diagrama si este se hace confuso y en este caso puede seguirse la norma de dibujar el símbolo incompleto

El Sistema de ecuaciones.La representación del diagrama de Forrester suele suministrar la información necesaria para especificar el sistema de ecuaciones asociado. Hay otras múltiples manera dependiendo de si se realiza modelización teórica o experimental de obtener el sistema de ecuaciones. Solo quedaría concretar las no linealidades entre ecuaciones, lo cual a veces es una labor ardua

La siguiente etapa es la calibración del modelo.En esta etapa hay que definir cómo se miden los parámetros y cuáles son sus valores. El calibrado supone diseñar experimentos, a veces complicados y costosos, para la obtención de estas constantes. Estas acciones sólo pueden ser abordadas por expertos en el tema



El análisis de sensibilidad del modelo.En esta etapa se estudia como varían las variables endógenas ante pequeñas variaciones de los parámetros. Si las trayectorias son muy semejantes, ante estas variaciones, se dice que el modelo es poco sensible al parámetro en cuestión, en caso contrario, es muy sensible. La sensibilidad puede cambiar a lo largo del tiempo

Otra etapa es la evaluación del modelo.En esta etapa se pretende contrastar o validar el modelo. Se estudia si el modelo es capaz de dar respuesta a cuestiones concretas, es decir, si los resultados obtenidos con él se ajustan razonablemente a las observaciones realizadas. Generalmente la bondad de un modelo se cuantifica por medio de la variable estadística Chi ( ) cuadrado

En esencia la modelización debe conducir a la última etapa que es la utilización del modelo.La utilización del modelo debe llevarnos a una compresión exhaustiva del sistema representado, sobre el cual se llevaran operaciones de control, simulación, optimización, etc. Estas operaciones siempre son un viaje de ida y vuelta entre los datos de partida y los resultados obtenidos, que deberán explicar las condiciones iniciales del sistema

La. modelización presenta grandes ventajas:

• Descripción y estudio de un proceso (Diseño y dimensionamiento)

• Entrenamiento Personal (aprendizaje y conocimiento) Simulación, Control, Optimización, etc

La modelización gracias al mundo de la informática abre grandes posibilidades, haciendo que los modelos sean ampliamente utilizados en gran variedad de ramas: Aeronáutica, Refinerías, Economía y Gestión, etc



También presenta desventajas. El desconocimiento de sus posibilidades y la falta de formación sobre sus herramientas son una de las dificultades para obtener modelos, esto unido al alto grado de complejidad de algunos modelos, la necesidad de personal especializado, los largos tiempos de desarrollo o el alto coste hace que en algunas ocasiones no sean utilizados

Muchos modelos no se pueden validar fácilmente y el modelo depende de una correcta elección y decisión tanto de las variables que definen el sistema como de las condiciones subyacentes usadas para definir el modelo. Una incorrecta elección dará lugar a que los resultados puedan ser engañosos, o peor aún contradictorios a lo que sucedería en un mundo verdadero dado en condiciones semejantes

Por último, no hay que olvidar los problemas de fiabilidad y legalidad que conllevan, limitando su uso en la formación, diseño y toma de decisiones. Es deseable mantener un equilibrio entre la operatividad del modelo y la representatividad del sistema real limitando también su uso

En este capítulo se verán ejemplos de la creación, uso y utilización de los modelos. Se pretende tener un conocimiento sin entrar en detalle de alguna de las técnicas utilizadas para obtener el resultado deseado



Una de las técnicas más empleadas para el ajuste de los datos experimentales a una función matemática (modelo) es la REGRESIÓN. Esta técnica relaciona las variables experimentales que se consideran significativas por medio de unos coeficientes ajustables o parámetros.

Los modelos pueden ser estáticos o dinámicos en función de la variable temporal. Las técnicas de modelización son diferentes en cada caso, aunque muchos procesos dinámicos se hacen estáticos mediante una técnica conocida como aproximación al estado estacionario

Son muchos los modelos tienen relaciones no lineales entre sus variables, por ello se utilizan técnicas de linealización por las cuales las ecuaciones no lineales que representan el modelo del proceso se transforman en ecuaciones lineales, con solución analítica general

El método de ajuste de una ecuación matemática a los datos experimentales mediante el criterio de los mínimos cuadrados se denomina REGRESIÓN.Este conjunto de técnicas matemáticas tiene como fin obtener el valor de aquellos parámetros que minimizan el sumatorio de los residuales al cuadrado, así como establecer el intervalo de confianza de los mismos para evaluar la bondad del ajuste conseguido

Hay dos tipos de regresión : Lineal y No Lineal, según la ecuación a ajustar sea lineal o no lineal en los parámetros (no lineal: cuando considerada x como constante, la relación de y con los parámetros no es combinación de sumas y rectas). En ambos casos el objetivo es el mismo: encontrar las mejores estimas de los parámetros y cuantificar la precisión de los mismos



La regresión lineal la solución es única y el método exacto. Para discernir sobre la bondad del ajuste se utilizan diferentes criterios unos se refieren a los residuales y otro a los parámetros.Con respecto a los residuales tenemos: Sumatorio de los residuales al cuadrado, la varianza del ajuste, el coeficiente de correlación, la distribución gráfica de los residuales, etc..

Con respecto a los parámetros tendremos: los valores de la varianza de los parámetros, los límites de confianza, los coeficientes de variación de los parámetros, redundancia de un parámetro (su valor es tan próximo a cero que puede despreciarse ya que es redundante), etc..

En la regresión no lineal la solución es aproximada y el método es iterativo (de búsqueda, de gradiente,...).Debido a esto se acepta como aproximada la estadística de regresión lineal anteriormente expuesta, lo cual sólo sería cierto en condiciones asintóticas de infinito número de puntos, por ello se suelen admitir amplios coeficientes de variación de los parámetros

El criterio de los mínimos cuadrados asume que el error en las variables es constante (todos los errores son aditivos y siguen una distribución de media cero y varianza constante). A este tipo de regresión se le denomina regresión sin pesos estadísticos. La mayoría de las veces esta suposición no es cierta, es necesario darle mayor importancia (peso) a los datos que tienen menos error frente a los que tienen mayor error (menos peso). Esto se consigue mediante un factor llamado peso estadístico

Por ejemplo muchos modelos usados para analizar procesos biológicos (fangos activos, lechos bacterianos, etc.) sus ecuaciones no son lineales en los parámetros y es ampliamente utilizado el método de linealizarla con transformaciones lineales (dobles inversos, logaritmos,...) utilizando una regresión lineal (mínimos cuadrados) sin pesos estadísticos. Esto es erróneo ya que no considera la propagación del error dando lugar a una estima de los parámetros de la ecuación con mayor grado de error



Otro factor importante es la discriminación entre modelos, ya que muchas veces se ajustan distintas ecuaciones a los datos experimentales. Esta discriminación suele hacerse comparando la bondad de los distintos ajustes y en base al "test estadístico F", que valora si es estadísticamente significativa la mejora que experimenta habitualmente el sumatorio de residuales al cuadrado al pasar de una ecuación de menos parámetros a otra de más parámetros

Por último, hay que destacar que otro criterio para la discriminación del ajuste de los datos a modelos es la superposición de ajustes respectivos, seguida de una inspección visual de los residuales (puntos), es decir si los puntos presentan una tendencia de situarse al azar en ambos lados de la curva o recta ajustada (buen ajuste) o si se presentan tendencias a las rachas (mal ajuste)

Los modelos determinísticos o teóricos se basan generalmente en ecuaciones de balance de los distintos componentes del sistema en estudio

Las ecuaciones de balance a los componentes del sistema en estado estacionario (tiempo =t) se representan de la siguiente forma:La acumulación de masa o energía dentro de un sistema es igual a la que entra en el sistema menos la que sale. Dentro de los términos de entrada y salida se pueden englobar múltiples entradas o salidas parciales que corresponderían a la generación o degradación de los componentes por reacción química



Estos balances en forma dinámica se pueden representar mediante ecuaciones diferenciales, así el ritmo de acumulación de la masa en un sistema tiene la forma dM/dt donde M es la masa total del sistema

Veamos con un ejemplo la construcción de estos modelos. Consideremos un efluente que es periódicamente contaminado por un vertido nocivo y variable, en el cual es conocido que la velocidad de descomposición del elemento contaminante es proporcional a la concentración. Tenemos que diseñar un reactor que trate el vertido

La primera etapa sería describir el sistema. El sistema será un tanque de mezcla completa, debemos definir las variables del sistema (Q, C, V y ) y sus limitaciones así consideramos que las densidades (

)en la entrada y salida del sistema son iguales porque el tanque realiza una mezcla homogénea en todos los puntos

Definidas las variables con sus unidades y representado del sistema, pasamos a especificar el sistema de ecuaciones asociado. En esta situación el sistema de ecuaciones esta compuesto por un balance de materia del componente tóxico cuya salida del sistema engloba una ecuación cinética de descomposición del compuesto dentro del tanque

Podemos expresamos estas ecuaciones en términos de caudales, densidades ( ) y volumen

Al balance de materia del componente tóxico hay que añadirle la velocidad de degradación dentro del reactor



Si tenemos en cuenta la limitación de mezcla homogénea, impuesta en un principio, las ecuaciones que definen al sistema serían las que aparecen en la imagen

Podemos simplificar el sistema mediante la suposición al estado estacionario, es decir, el tanque inicialmente estaba vacío, pero cuando el tanque esta lleno podemos considerar que el caudal que entra en el tanque es igual al que sale, entonces se puede cumplir la condición de volumen constante y resolver fácilmente la ecuación diferencial

Una vez obtenidos los modelos del sistema, se deben calibrar, es decir ajustar todas las constantes (parámetros) estequiométricas y cinéticas asignadas por defecto a nuestros modelos con los datos reales de nuestra planta en funcionamiento

Generalmente se realizan campañas de calibración, consistentes en la realización de analíticas, en diferentes puntos estratégicos de la planta, a diferentes horas del día y en periodos estaciónales distintos

Alcanzado este punto del estudio, es imprescindible la validación o comprobación y verificación de que nuestro modelo se ajusta al régimen de funcionamiento de la planta, es decir los datos obtenidos del modelo son semejantes a los reales

Es imprescindible que la validación de los modelos se lleve a cabo en una campaña analítica distinta a la empleada en la calibración del modelo. Esta etapa es necesaria no sólo para profundizar en los objetivos propuestos y ver el comportamiento del modelo sino también para asegurarse de la validez de los resultados dados por el modelo

El fin último es reducir las diferencias entre los resultados dados por los modelos y los resultados reales. Esto debe permitirnos conseguir unos resultados con un porcentaje de error conforme al propósito que tengamos del uso del modelo. El modelo esta listo para su utilización



El siguiente ejemplo analizaremos un sistema dinámico sencillo construyendo los diagramas causales y de Forrester de los cuales extraeremos de manera similar a la sección anterior las ecuaciones matemáticas modelos que describen al sistema

Nuestro sistema a estudiar (modelar) será el vertido de un contaminante a un río. Este contaminante se elimina por el proceso natural de autodepuración del río

Los elementos del sistema estarían comprendidos por la fuente de generación del contaminante (fabrica, ciudad, etc.), un canal de salida del vertido y el río que actúa como elemento depurador

La caracterización funcional del sistema se resume en: 1º La fuente generadora del contaminante vierte unas determinadas cantidades de este cada cierto tiempo (velocidad de vertido al río).2º El río actúa como contenedor del contaminante (nivel del contaminante en el río).3º Y también como depurador de este contaminante que dependerá del tiempo que tarda el río en degradarlo (velocidad de eliminación del contaminante)

Definido el sistema se construye el diagrama causal que nos relacione las características funcionales del sistema (el nivel de contaminante del río, velocidad de eliminación del contaminante y la velocidad de vertido)



Dibujamos el diagrama de Forrester en el que ya establecemos la componente dinámica, de relación temporal entre las variables, introduciendo el tiempo de adsorción del contaminante

El siguiente paso será describir con lenguaje matemático el funcionamiento del sistema. De manera similar a los balances explicados en la sección anterior extraemos del diagrama el sistema de ecuaciones asociadas al sistema

Por último, la utilización del modelo (simulación) variando los distintos parámetros de entrada y obteniendo diferentes respuestas

El concepto de linealidad y no linealidad de un modelo matemático se puede referir bien a las variables o a los parámetros. Una ecuación se dice que es lineal en las variables cuando su representación de "y" frente a "x" es una recta. Una ecuación se dice que es lineal en los parámetros cuando considerada "x" como una constante, la dependencia de "y" con los parámetros es una combinación de sumas y rectas.La no linealidad es justo lo contrario de lo expuesto

Tratemos el caso de no lineal en las variables. El modelo matemático es no lineal cuando las ecuaciones diferenciales que lo constituyen contienen términos que son funciones no lineales de las variables dependientes o de estado, control o salida. Incluso para procesos aparentemente simples, el modelo suele ser no lineal



Las técnicas de simulación para tratar sistemas no lineales son generales y existen numerosas rutinas de ordenador para implementarlas, pero la solución que con ellas se obtiene es sólo una solución particular, justamente la correspondiente a los valores numéricos introducidos como datos de entrada

La linealización es un procedimiento por el cual las ecuaciones no lineales que representan el modelo del proceso se transforman en ecuaciones lineales, con solución analítica general.

La mayoría de los modelos de los procesos que tienen lugar en una depuradora son no lineales. Pero se linealizan para llevar a cabo un análisis de estabilidad. Además, los modelos lineales son más fáciles de entender y son necesarios para la mayoría de los métodos de diseño de los sistemas de control

La linealización del modelo se efectuará en torno al régimen nominal de operación, por lo que las soluciones que se obtengan sólo serán válidas para estudiar el comportamiento dinámico del proceso en ese entorno

Se indican a continuación las etapas fundamentales que es necesario seguir para efectuar la linealización de un modelo multiestado general

a) Se buscan no linealidades en las ecuaciones del modelo, tales como productos de variables; potencias, raíces cuadradas, exponenciales o logaritmos en los que intervengan variables; etc

b) Los elementos de las matrices de linealización se obtienen derivando las distintas funciones con respecto a variables de estado y control y aplicadas al régimen nominal de operación



c) Se expresa el modelo en el espacio de estados, pues se dispone de las matrices de linealización, obtenidas en el apartado anterior. Las variables representan variaciones en torno al régimen nominal de funcionamiento. Se indica con la notación (') pero se suele obviar

Se denomina control al conjunto de operaciones y trabajos de la explotación, tendientes a conocer los parámetros de proceso y de la instalación

Un sistema de control es aquél que permite que un proceso o sistema alcance unos determinados objetivos de funcionamiento. De acuerdo con estos objetivos, el controlador generará señales que serán aplicadas al sistema controlado para que éste se comporte de una forma predeterminada

Se dice que el control se efectúa en lazo abierto si el controlador no dispone de información sobre el comportamiento real del sistema o la variable controlada. En este caso, la existencia de perturbaciones puede provocar que el sistema no alcance los objetivos de control y el controlador no tendría la capacidad de modificar su actuación sobre el proceso para mejorar su funcionamiento

El control por realimentación o a lazo cerrado, tiene lugar cuando el controlador utiliza la diferencia, o señal de error, entre el comportamiento deseado y el real del sistema que se está controlando para actuar y corregir dicha diferencia. Con este tipo de control se puede, entre otros aspectos, minimizar el efecto de las perturbaciones sobre el proceso



En la mayoría de los procesos es necesario controlar diversas variables físicas, como velocidad, posición, caudal, nivel, humedad, etc. así como controlar el orden de ejecución de tareas relacionadas entre sí, tal como ocurre en procesos de manufactura. A los primeros se les asocia un control llamado regulación y a los segundos, el denominado control secuencial

Los controladores pueden realizarse empleando diversas tecnologías: hidráulica, neumática, mecánica, eléctrica y electrónica, tanto analógica como digital. No obstante, actualmente y en la mayoría de los casos, se utilizan sistemas basados en computador para el control de los procesos, tanto para tareas de regulación como de control secuencial, por las ventajas que presentan frente a otros sistemas

Los computadores utilizados en tareas de regulación de variables físicas constituyen los denominados Sistemas de Control Digital. Como los computadores trabajan con señales en tiempo discreto y las señales a controlar son continuas en el tiempo, es necesario realizar conversiones de datos de señales continuas a digitales y viceversa, por medio de conversores analógico-digital y digital-analógico, respectivamente

Para el control secuencial, se suelen utilizar sistemas basados en microprocesador denominados autómatas programables (PLCs). En este tipo de dispositivo de control, principalmente las señales que se manejan con el proceso son del tipo todo/nada, que se conocen como señales digitales

En una planta de depuradora de aguas residuales, el objetivo general es la reducción de la contaminación contenida en el agua bruta que recibe. Para lograrlo, los equipos que integran la planta deben operarse correctamente, definiéndose las actividades que se deben realizar en cada etapa del proceso

Durante el período de funcionamiento la planta está sometida a perturbaciones o influencias externas que obligan a ejercer una vigilancia continua sobre el proceso y a actuar constantemente sobre las diversas variables que se manipulan, con el objeto de corregir las desviaciones que se detecten en las variables de interés



En cualquier proceso controlado o de operación automatizada, se efectúan acciones de vigilancia y actuación correctiva del proceso mediante la instalación de un conjunto de instrumentos de medida, llamados sensores, y de manipulación de las variables, llamados actuadores

En todo sistema de control debe haber una serie de objetivos a cumplirse. Los objetivos básicos que debe satisfacer el sistema de control de una EDAR son alcanzar una operación de la planta segura, estable y óptima en tiempo real, así como adecuar el proceso de acuerdo a las especificaciones de calidad final requeridas (cumplimiento de la normativa de protección medioambiental)

El régimen más habitual de funcionamiento de una EDAR es del tipo continuo donde se implementan sistemas de control continuos, aunque se deben tener en cuenta las operaciones de arranque y parada de la planta que por su naturaleza son del tipo secuencial. Estas condiciones se pueden dar debido a un corte en el suministro eléctrico, tareas de reparación y mantenimiento, etc.

Con el fin de obtener una idea clara de lo que es un sistema de control, vamos a concentrar nuestra atención en un proceso que efectúan algunas estaciones depuradoras: la digestión anaerobia. Más concretamente nos fijaremos en un equipo: el intercambiador de calor

La operación que se lleva a cabo es muy sencilla. Se dispone de una caldera de agua caliente, funcionando en continuo, y un serpentín de calentamiento del fango



El fango se alimenta a través de una válvula de regulación automática, esto es, una válvula que modifica su grado de abertura de acuerdo con la señal de control que le llega

En la tubería del fluido calefactor existe otra válvula de regulación automática, cuya abertura la establece otra señal de control

Los objetivos que se persiguen con el sistema de control:

* Mantener la temperatura del fango saliente en el valor deseado (TR = punto de consigna)* Mantener el nivel de agua en el tanque a una altura tal que no haya posibilidad de que el tanque rebose o de que los tubos del serpentín se queden al descubierto

Existen perturbaciones exteriores que tienden a desviar la temperatura y el nivel de los valores de referencia deseados. Influencias externas claras son la temperatura del fango de entrada al serpentín, Te, y el caudal de fluido calefactor, Qe'

En el gráfico de la izquierda se observa cómo influiría, sin sistema de control, un cambio en la temperatura de entrada del fango en el serpentín, Te , sobre la temperatura de salida del fango, Ts , y el nivel de fluido calefactor en el tanque, l. En la parte derecha se aprecia la repercusión de una disminución del caudal del agua caliente sobre las mismas variables

Se pueden utilizar diferentes de sistemas de control para implementar el proceso, entre ellos están:

- Control por realimentación - Control anticipativo



Existen varias modalidades de control entre ellas destacaremos: el control por realimentación, el control anticipativo o feedforward, control override y el control selectivo

El control por realimentación se basa en la actuación sobre el proceso para compensar el efecto de las variables de perturbación se basa en el error, esto es, la diferencia observada entre el valor medido de la variable a controlar y el valor deseado (punto de consigna)

El control anticipativo, o control feedforward, se utiliza cuando tenemos perturbaciones medibles pero no controlables que afectan al sistema. Se actúa sobre el proceso en función de las perturbaciones existentes para compensarlas antes de que se propaguen a la salida

En el diseño denominado de cancelación perfecta, el efecto de las perturbaciones se elimina por completo si GF =(GP/G), y además se introduce también un control feedback para que la salida del sistema (y) sigua una determinada referencia (w). Este planteamiento es válido para sistemas lineales y siempre que GP sea más lenta que G

Como ejemplo considérese el intercambiador de calor de la figura, en el cual las perturbaciones medibles son el caudal de agua calefactora y la temperatura del fango que se introduce en el serpentín

El sistema de control anticipativo actúa sobre la válvula de entrada de agua calefactora (A) en función de las perturbaciones en el caudal de dicha agua para controlar el nivel. Además, para compensar el efecto de variaciones en la temperatura del fango influente, actúa sobre su válvula de entrada (B), manteniendo así constante la



temperatura del fango que se está calentando

Para tener controlado el nivel en el tanque bastaría entonces con manipular la válvula de forma que el caudal de entrada de agua fuese igual al caudal de salida

Para compensar el efecto de una disminución en la temperatura del fango suministrado al intercambiador, el sistema de control anticipativo ordenaría a la válvula de entrada de fango cerrar para aportar menos caudal, sin que disminuya la temperatura del fango calentado

Otro tipo de control es el denominado control override, en el que varios reguladores con objetivos diferentes comparten un mismo actuador o variable manipulada. De acuerdo con un criterio de selección, se utiliza uno de ellos

En el siguiente ejemplo tenemos que asegurar un caudal constante al proceso, pero además tenemos que mantener un nivel de líquido en el tanque (entre h1 y h2) para evitar desbordamiento o descebado de la bomba. Mediante el control override el regulador de caudal actúa siempre que el nivel sea adecuado. En caso contrario comenzará a actuar el regulador de nivel

Por último, el control selectivo se utiliza cuando el número de variables controladas es superior al de manipuladas, y es necesario utilizar un selector para escoger en cada momento la variable del proceso más adecuada. Todas las magnitudes deben tener la misma naturaleza

Ejemplo: reactor químico tubular. Se trata de regular la temperatura máxima en el reactor, por lo que el criterio de selección es tomar la variable Ti mayor en cada instante. El efecto de la conmutación sobre la sintonía del regulador será despreciable porque todas las magnitudes tienen la misma naturaleza.



La actuación sobre el proceso para compensar el efecto de las variables de perturbación se basa en el error, esto es, la diferencia observada entre el valor medido de la variable a controlar y el valor deseado (punto de consigna)

Consiste en actuar sobre el proceso en función de las perturbaciones observadas (control anticipativo o feed forward). En el intercambiador de calor, tanto el caudal de agua calefactora como la temperatura del fango que se introduce en el serpentín, son fáciles de medir

Para tener controlado el nivel en el tanque bastaría entonces con manipular la válvula de forma que el caudal de entrada de agua fuese igual al caudal de salida

Para compensar el efecto de una disminución en la temperatura del fango suministrado al intercambiador, el sistema de control anticipativo ordenaría a la válvula de entrada de fango cerrar para aportar menos caudal, sin que disminuya la temperatura del fango calentado



En el ambiente industrial es común la utilización de sistemas automáticos para controlar los diversos procesos que se llevan a cabo y que se basan en la incorporación de un elemento denominado Sistema de Control, el cual recibe información del estado del sistema a través de los sensores y maneja los actuadores por medio de las señales de control

El esquema de control más común es el denominado esquema de control por realimentación de la salida o sistema de control a lazo cerrado. En este caso un elemento (sensor) mide el valor de la variable a controlar o variable de proceso (VP) y lo compara con el valor deseado de dicha variable (referencia), generando un valor para el controlador llamado señal de error (e(t)). Con esta información el algoritmo de control genera la señal que se envía al actuador para corregir las diferencias entre la variable de proceso (VP) y la señal de referencia

El algoritmo de control más ampliamente utilizado en la industria es el denominado controlador Proporcional - Integral - Derivativo o PID.

Como en un esquema de control por realimentación, el PID tiene como entrada la señal de error e(t) y a través de sus tres componentes calcula la señal de control u(t) que va al actuador o a la variable manipulada del proceso

El controlador PID realiza operaciones de multiplicación (P), integración (I) y derivación (D) de la señal de error e(t), que en todos los casos tienen un parámetro de peso KP, KI y KD, que permiten modificar las características del sistema para cumplir con los requerimientos de operación del lazo que se esté controlando



El control Proporcional P consiste en una factor de ganancia pura, denominado Constante Proporcional KP, que se ajusta para manejar el valor que se envía al proceso a través del actuador.El termino Proporcional P del controlador PID, generalmente se utiliza para ajustar la velocidad de respuesta del sistema controlado

El control Integral I realiza la integración en el tiempo de la señal de error que entra al controlador. Este control Integral generalmente se utiliza para obtener mayor precisión en el valor de la variable del sistema que se está controlando y su acción se ajusta a través de la Constante Integral KI

El control Derivativo D generalmente se utiliza para incrementar el amortiguamiento del sistema y así obtener respuestas menos oscilatorias de la señal controlada. A través de la Constante Derivativa KD se modifica su efecto.

El efecto Derivativo tiene el inconveniente de que puede introducir problemas de inestabilidad y de ruido en el lazo de control

Generalmente el controlador PID aparece en forma de la representación denominada Función de Transferencia. La Función de Transferencia es una representación matemática especial que refleja la relación entre la señal de salida y la señal de entrada de un elemento dinámico, que en el caso del controlador PID, está dado por las señales u(t) y e(t) respectivamente

El algoritmo o controlador PID puede utilizarse según la necesidad, tomando los términos que se consideren necesarios en cada caso en particular, pudiéndose tener controladores P, PI, PD o PID.

Para obtener cualquiera de las opciones, es necesario anular a través de las Constantes KI y KD el o los factores que no se deseen implementar en cada caso

Para obtener un controlador Proporcional P se debe hacer los parámetros KI=KD=0. En este caso solo es necesario encontrar el valor de la constante Proporcional KP tal que se cumplan los requerimientos de operación del lazo de control.

Este controlador es el más simple de todos los posibles y se puede ver que es una ganancia ajustable



El controlador Proporcional-Integral PI se obtiene haciendo la constante derivativa KD=0. Es importante observar que la ecuación del controlador puede aparecer también en función los parámetros conocidos como tiempo integral tI y tiempo derivativo tD, siendo esta una representación equivalente del PID. En este segundo caso habría que hacer tD=0 en el PID para obtener la ecuación mostrada

El controlador Proporcional-Derivativo PD se logra colocando en el PID la constante integral KI=0 o en el segundo caso, el tiempo integral TI=0 al valor más alto permitido por el sistema. El controlador PD no influye sobre la precisión del sistema y se utiliza generalmente en procesos de respuesta rápida con tendencia a muchas oscilaciones

En la utilización de controladores PID o sus combinaciones P, PI y PD, un aspecto fundamental es encontrar los valores de los parámetros del controlador (KP, KI o TI, KD o TD) para satisfacer los requerimientos de operación del lazo controlado. Este procedimiento de obtención de parámetros se conoce como sintonía del controlador y para ello existen múltiples métodos, tanto empíricos como analíticos

Unos de los aspectos fundamentales relacionados con la utilización de controladores PID tiene que ver con la determinación de los valores de las constantes del controlador KP, KI y KD. Este procedimiento se conoce como Sintonía del controlador.

Es importante destacar que siendo el controlador PID un sistema dinámico que forma parte del lazo de control, los valores de dichos parámetros tienen una influencia muy apreciable sobre el comportamiento total del sistema que se está controlando



Existen diversas metodologías para el cálculo de los parámetros del controlador PID. Por su amplio uso a nivel industrial, se han desarrollado una gran cantidad de técnicas de búsqueda de parámetros, que se basan procedimientos empíricos y analíticos. Igualmente se han desarrollado algoritmos que buscan dichos parámetros de forma automática y que se conocen como auto-sintonizados

La selección del tipo de controlador (P, PI, PD o PID) a utilizarse y los valores de los parámetros de dicho controlador están asociados al tipo de proceso que se va a controlar y a las condiciones de operación que se imponen en cada caso.

Por ejemplo, aspectos tales como velocidad de la respuesta, pocas oscilaciones y elevada precisión son comúnmente tomados en cuenta a la hora de diseñar un sistema de control basado en un PID. Adicionalmente consideraciones de buen rechazo a las perturbaciones externas en el proceso también pueden ser tomadas en cuenta

Existen múltiples procedimientos para sintonizar un controlador PID. Algunos se basan en el estudio de la respuesta temporal del proceso ante señales tipo salto. Esta respuesta se puede aproximar a modelos bien conocidos, para los cuales existen métodos de obtención de los parámetros del controlador ante algún criterio en particular.

La mayoría de los procesos industriales presentan una respuesta temporal similar a la y(t) que se muestra en la figura. Para procesos con este tipo de respuesta se han desarrollado numerosos métodos de diseño de controladores PID.

Para obtener la respuesta temporal o curva de reacción de un proceso, es necesario ejecutar una serie de pasos de forma de tener información correcta sobre el comportamiento dinámico del sistema que se va a controlar. Como generalmente existe un controlador instalado, el procedimiento empieza con la colocación del controlador en su modo manual, de forma de tener acceso a la variable manipulada. En este momento se debe colocar el sistema en un punto de operación, lo que se logra dándole, en el controlador, un valor a la señal u(t). Luego se debe esperar un tiempo para que la variable de proceso VP se estabilice en un valor inicial y1



En estas condiciones se debe hacer un nuevo cambio en el valor de la variable manipulada u(t) en un tiempo determinado to, lo que haría que esta señal sea tipo salto. Posteriormente al tiempo en que se introduce el cambio de la entrada al proceso, to, debe registrarse el cambio de la variable de proceso VP hasta que se estabilice nuevamente en un valor

De la información obtenida con el procedimiento señalado, debe realizarse un estudio para ver a que modelo puede aproximarse mejor la respuesta obtenida de la planta o proceso. Como ya se mencionó, existen modelos conocidos que se pueden aplicar a una gran cantidad de los tipos de respuestas de los procesos. Si esta aproximación de la curva de reacción se realiza, el paso siguiente es calcular los parámetros necesarios de la respuesta, para obtener los valores del controlador

Si la respuesta temporal o curva de reacción de un proceso ante un cambio tipo salto, presenta la forma mostrada en la figura, señalada con el color rojo, es válido asegurar que este sistema se puede aproximar a un modelo conocido como sistema de primer orden con retardo.

Para hallar los parámetros de dicho modelo, se puede trazar una recta tangente a la curva de reacción en su punto de cambio de pendiente. Esta recta aparece cercano al valor T de la grafica. Realizando las consideraciones mostradas en la figura nos interesa calcular los valores denominados retardo D, constante de tiempo T y la ganancia K

La curva de reacción sería aproximada por el modelo señalado, cuya ecuación se muestra en la figura. Como se observa, los parámetros de interés sacados de la respuesta van a ser parte del modelo. Es importante destacar que en la bibliografía relacionada existen una gran cantidad de técnicas para diseñar controladores PID basados en este modelo, por lo que una vez obtenida la aproximación de la curva de reacción, se abre un gran abanico de posibilidades para obtener los parámetros del controlador PID, basados en múltiples criterios de diseño



De los parámetros del modelo, solo la ganancia K no puede ser obtenida directamente de la respuesta gráfica del proceso. La ganancia es la relación numérica que existe entre la salida y la entrada del sistema. Se puede calcular como la relación entre el tamaño de la salida entre el tamaño de la entrada cuando las señales se estabilizan en un valor. Como se ve en la ecuación estos valores se pueden determinar tomando la diferencia entre el valor de la salida del proceso antes del salto y después del salto, y el valor del tamaño del cambio de la propia señal salto u(t)

Existe un procedimiento desarrollado por Ziegler y Nichols que se basa en la respuesta tipo primer orden con retardo de un proceso, para calcular los parámetros de controladores PID. Este controlador garantiza una respuesta estable del sistema, con un máximo pico (o primer sobre impulso) de aproximadamente el 25%. En el caso de que el controlador a implementarse sea solo Proporcional, en la tabla se muestra el valor de los parámetros que cumplen con este método, en función de los parámetros de un sistema de primer orden con retardo (T, K, D)

Para un controlador Proporcional Integral, se tienen los parámetros del controlador en función de los datos de la curva de reacción. Es importante destacar que como los datos de la curva se obtienen mediante una aproximación gráfica, los parámetros del controlador darán una respuesta aproximada a la indicada (con 25% de sobre impulso). Siempre es posible afinar la sintonía modificando los primeros valores del controlador obtenidos, teniendo en cuenta como afecta la respuesta cada componente del PID

El controlador PID es el más completo y según el método de Ziegler - Nichols, los valores de los parámetros se aprecian en la tabla. Por tener todos sus componentes, este controlador debe permitir manejar de forma más completa la velocidad de respuesta (P), aumentar la precisión (I) y incrementar el amortiguamiento (D)



La simulación es una disciplina ideada para desarrollar el nivel de comprensión del sistema en su globalidad así como conocer como actúan cada una de sus partes dentro del sistema

Simular consiste en estudiar los comportamientos alternativos de un sistema ante diferentes circunstancias, es decir, el fin último es proyectar en el tiempo y/o en el espacio cuáles pueden ser las situaciones del sistema, según cuales sean las causas que incidan sobre el mismo y las condiciones iniciales de las que parte

En este proceso tiene gran importancia las decisiones a tomar, por lo que se debe elegir bien los diferentes conjuntos coherentes de circunstancias en las que se desarrollará el sistema dando lugar a las futuras y posibles situaciones del mismo. Cada conjunto de circunstancias corresponderá una nueva situación

Así este proceso, generalmente informático, se lleva a cabo mediante una relación causa-efecto entre los datos de entrada al sistema y las respuestas que éste suministra, siendo muy críticos con las leyes (modelos) que dan lugar a la citada relación y con el proceso de evaluación de las decisiones a tomar

La simulación es una herramienta muy útil ya que nos permite la realización de estudios de mejora y resolución de problemas de explotación, prediseño, diseño y modificación de las plantas de tratamiento, así como comparación de propuestas de tratamiento de aguas desde un ordenador y con gran fiabilidad



En el diagrama de flujo se resume todo lo explicado anteriormente. Estas técnicas suministran herramientas muy potentes pues sintetizan todo el conocimiento del funcionamiento de la depuradora y cuestionan el "modus operandi" de la misma gestión

La simulación puede ser analógica o digital. La simulación analógica consiste en construir un modelo físico (planta piloto, simulador de vuelo, circuitos, ...) que tenga comportamiento semejante al sistema que se quiere estudiar. Cada variable del modelo físico tiene su correspondiente variable en el sistema real, debidamente escalada, proporcionando su funcionamiento el valor de las variables del sistema

La simulación digital es una técnica para imitar o "simular" en un ordenador el comportamiento de un sistema ante determinados cambios o estimulos

Según la aplicación del modelo de comportamiento, ésta puede ser de dos tipos:

* Descriptiva * Prescriptiva

La simulación descriptiva consiste en suministrar respuestas a las distintas entradas, incluso aquellas entradas aleatorias, pseudoaleatorias y no aleatorias que son las que influyen en la toma de decisiones para la mejora del sistema y del modelo



La simulación prescriptiva, conduce a las acciones a tomar para obtener resultados óptimos y contiene a la anterior, pues es necesaria una predicción de las distintas alternativas posibles para poder establecer cuál es la óptima

La simulación puede ser continua o discontinua. La simulación discontinuo es una técnica donde la simulación avanza en incrementos de tiempo del acontecimiento. La simulación en continuo es cuando hay un flujo continuo de tiempo, solo puede ser analógica, aunque mediante un ordenador podemos hacer el paso de tiempo lo suficientemente pequeño que parezca que no hay transiciones dentro del sistema

La simulación puede ser también estocástica o determinista. La simulación estocástica introduce acontecimientos al azar dentro de la simulación, así no se obtiene igual respuesta introduciendo las mismas condiciones y decisiones de entrada en la reproducción de la simulación. La simulación Determinista no infunde la variación del azar dentro de la simulación

Por último un concepto nuevo es la Simulación Distribuida, esto implica la conexión conjunta de simulaciones independientes (Estocásticas y Deterministas), separadas geográficamente (Digitales y Analógicas) o de simuladores

La simulación tiene múltiples ventajas. En primer lugar sirve para el entrenamiento personal profundizando en la comprensión del sistema, así como de las variables que interfieren en él. Esto facilita el aprendizaje y conocimiento del proceso



La simulación permite realizar pruebas de funcionamiento y cambio en los procesos que de otra manera serían peligrosos, difíciles, costosos o lentos. Así permite operar sobre sistemas, cuyo ensayo directo conduciría a su destrucción, reproduciéndolo cuantas veces se desee

Permite hacer pruebas antes de transferir un diseño a un proceso real, seleccionando de varias alternativas de funcionamiento de un proceso la más adecuada. Así permite alterar la escala de tiempo real, acortando o alargando el tiempo

La simulación digital presenta grandes ventajas:

• Ahorra tiempo. • Bajo coste relativo de la hora de máquina. • Es seguro, robusto y presenta gran

sensibilidad frente a los cambios Es fiable (Validez jurídica en muchos países)

La simulación también presenta desventajas. La principal desventaja es que por muy buena que sea la simulación que hagamos, siempre se cumplirá que la calidad de la simulación es inferior a la calidad del modelo. Si el modelo no representa suficientemente bien el sistema, las conclusiones inferidas de los resultados de las simulaciones no servirán, por lo que siempre hay que validar el modelo de simulación

El diseño de los programas de simulación son a menudo muy caros y/o consume un gran tiempo en su desarrollo, teniendo un alto costo de NO utilización

Lo más aconsejable es utilizar modelos analíticos que nos den soluciones exactas a nuestras decisiones. La utilización de modelos de simulación sobre todo si son estocásticos, no son los más recomendables para la optimización de sistemas



Los lenguajes de simulación, programas de ordenador, surgen para facilitar la resolución y reutilización de los modelos. Estos programas permiten el uso de la simulación

Mediante estos programas se describen los experimentos a realizar, ejecutan la resolución numérica del sistema de ecuaciones resultante, ofreciendo la visualización del resultado

Las clasificaciones de los lenguajes de programación son múltiples, la principal clasificación son los lenguajes orientados a bloques y los lenguajes orientados a expresiones

En los lenguajes orientados a bloques, cada bloque o modulo contiene la descripción matemática de un proceso calculando su salida en función de sus entradas. La salida de un bloque es la entrada del siguiente. Un modelo se compone usando módulos predefinidos interconectados entre si.

Los lenguajes orientados a bloques son sencillos e intuitivos, aunque a veces tiene gran dificultad de construcción y depuración por el alto número de bloques. Son construcciones jerárquicas y modulares con causalidad computacional fija

Hay múltiples programas orientados a bloques. En el WEBCD encontrara alguno de los programas de la figura en su versión de aprendizaje



Los lenguajes orientados a expresiones son una declaración directa de las ecuaciones mediante generadores de código, son más rápidos y el modulo está estructurado temporalmente

Este lenguaje define las condiciones iniciales una vez al inicio, describe las ecuaciones mediante código próximo al lenguaje matemático dando lugar a un solo resultado final

Estos lenguajes presentan grandes ventajas:

• Abren el campo a los no expertos en informática permitiendo concentrarse en el problema y no en la programación.

• Proporcionan un entorno natural, debido a su especialización, de desarrollo para los modelos de simulación, facilitando la detección de errores, la minimización y su eliminación.

Proporcionan la mayoría de características necesarias para el uso de los modelos permitiendo ahorro de tiempo y una más fácil modificación de estos

También presentan desventajas:

• Requiere un esfuerzo de aprendizaje, ya que mucha gente conoce algún lenguaje de propósito general, pero no uno de simulación.

• Suelen ser programas caros que no están disponibles para todos los sistemas operativos.

Son poco flexibles y no permiten resolver problemas o necesidades diferentes a las comunes



El objetivo general de la optimización es determinar la solución más eficiente y rentable de un problema determinado mediante el uso de métodos matemáticos específicos. Se selecciona automáticamente la mejor solución entre todas las posibles.

Una gran variedad de problemas en diseño, construcción, operación y análisis de plantas pueden ser resueltos mediante optimización. Se trata de obtener soluciones óptimas que compaginen objetivos incompatibles, como por ejemplo la obtención de máximos beneficios frente a mínimo uso de energía o reducción de contaminantes

La optimización puede tener lugar a distintos niveles en una planta: desde la supervisión general de la planta y cómo combinar las distintas unidades (síntesis), hasta el diseño del propio proceso químico o de piezas concretas del equipamiento

En todo problema de optimización nos encontraremos con tres elementos esenciales: una función objetivo o función de coste, el modelo del proceso a optimizar y las restricciones del problema. La función de coste representa factores como los beneficios, costes, rendimiento, etc. en función de las variables clave del proceso. El modelo y las restricciones representan las relaciones entre dichas variables



Matemáticamente, el problema de la optimización se plantea como aparece en la figura superior, y su resolución se realiza de forma iterativa mediante métodos ya establecidos que dependen de si el problema es lineal o no lineal, del número y naturaleza de las variables involucradas, etc

Los pasos generales que hay que seguir a la hora de resolver un problema de optimización son los siguientes:

1. Analizar el proceso, hacer una lista de las variables involucradas y de otras características de interés.

2. Determinar el criterio de optimización, la función de coste que se tratará de minimizar, en términos de las variables definidas en el primer paso

3. Desarrollar un modelo matemático basado en primeros principios como balances de masa y energías, etc. que relacione variables de entrada y de salida. Incluir aquí las restricciones.

4. Si la formulación del problema es muy extensa, dividirla en partes, o bien simplificar el modelo o la función de coste.

5. Aplicar una técnica de optimización adecuada al enunciado matemático del problema para calcular la solución óptima. En general, se requerirá el uso de ordenadores para obtener resultados numéricos.

6. Verificar los resultados, viendo como varían ante cambios en los distintos parámetros del problema (coeficientes del modelo, etc.)

Ejemplo 1: Planteamiento gráfico del problema de optimización para el cálculo del grosor de aislante óptimo en un reactor químico.

El objetivo en este caso es ahorrar costes en el mantenimiento de la temperatura del reactor. La adición de aislante evita las pérdidas de calor con el exterior con el consiguiente ahorro, pero por otro lado el material aislante puede ser caro



En la gráfica se puede ver el efecto del grosor del aislante en el coste total, así como la evolución del coste del aislante y del coste de las pérdidas de energía con el exterior por separado. El grosor óptimo es x*

Si la función objetivo y las restricciones son sencillas, la optimización no presenta muchas dificultades. No obstante, existen situaciones en las cuales hay problemas a la hora de calcular la solución óptima: existencia de fuertes no linealidades, múltiples mínimos locales en la función de coste, zonas casi planas en la función de coste, discontinuidades, etc

Mediante el proceso de fangos activados se degrada la materia orgánica que viene disuelta en el agua de entrada a la planta. Las reacciones biológicas tienen lugar en un reactor aireado mecánicamente donde se mantiene una población de microrganismos encargados de realizar dicha degradación. Después el agua pasa a un decantador donde se separa el agua limpia de los fangos que son recirculados de nuevo al reactor

El diseño del proceso tiene como objeto determinar las dimensiones del reactor y del decantador así como un punto de trabajo estacionario del mismo. Para ello se plantea un problema de optimización en el que los datos de entrada son el caudal medio del agua que se desea tratar y las concentraciones medias de sustrato y biomasa disueltas en la misma.

La función a minimizar refleja los costes tanto de construcción de la planta como de operación. Se trata de obtener la planta más barata en ambos sentidos.

En el ejemplo los costes de construcción se incluyen a través del volumen del reactor (V) y de la sección del decantador (A). Los gastos de operación están considerados a través del caudal de recirculación (qr) que representa los gastos energéticos en las



bombas

En la resolución del problema hay que considerar conjunto de restricciones que han de verificarse.

Las restricciones de operación garantizan que la planta que diseñemos estará preparada para que las reacciones biológicas de degradación de la materia orgánica tengan lugar adecuadamente

Algunas variables del problema han de ser cantidades positivas debido a consideraciones de tipo físico meramente.

Esto sucede con el volumen del reactor, el área del decantador, todos los caudales de agua y fango y las concentraciones de sustrato y biomasa en toda la planta

Finalmente, han de cumplirse las leyes físicas que rigen el comportamiento del proceso, como son los balances de masa de sustrato y de la biomasa en el reactor, el decantador y en todos los puntos de bifurcación de la planta

Las perturbaciones de caudal y sustrato del agua que llega a la planta van a hacer que el valor del sustrato de salida se aleje del valor de referencia que marca la ley. El funcionamiento del proceso puede mejorarse notablemente si se incluye un sistema de control en el mismo que mide el sustrato disuelto en el agua de salida, lo compara con un valor de referencia y genera una señal de control que fija el caudal de recirculación.

El diseño diseño del regulador puede plantearse como un problema de optimización con restricciones

Las constantes del regulador (ganancia proporcional, ganancial integral y ganancia derivativa) influyen de manera directa en la respuesta del sistema frente a la acción de perurbaciones. En la figura vemos representados gráficamente posibles registros temporales del caudal de entrada de agua a depurar (qi) y dos posibles respuestas de la planta con dos reguladores diferentes, uno con ganancia Kp1 y otro con ganancia Kp2, siendo mejor indudablemente la respuesta que ofrece el primero.



Una posibilidad para seleccionar los valores de los parámetros del regulador para una planta dada es resolver un problema de optimización. Los datos de partida son las dimensiones y parámetros de la planta que se quiere controlar así como el valor de referencia de la variable controlada (sustrato disuelto en el agua de salida). Las incógnitas serán las tres constantes principales del regulador PID y la forma de cálculo es mediante la optimización de una función f(x).

Una posible manera de definir la función de coste a minimizar es considerar las desviaciones entre la variable controlada (sustrato de salida) y sus valores de referencia en cada instante de tiempo. En este caso se hace un suma ponderada de estos errores elevados al cuadrado y sobre un horizonte temporal (tf) definido en el índice a minimizar

En la función de coste se consideran los valores en distintos instantes de tiempo de la salida del proceso s(j). Estos valores dependen de cual sea el modelo matemático del proceso (Leyes de la Física que rigen el mismo) y este hecho se introduce en el problema de optimización considerando como restricciones sobre las variables, las ecuaciones dinámicas de balance de masa de cada componente en la planta.

Las ecuaciones han de ser dinámicas porque trabajamos con perfiles temporales en la función a minimizar

El sustrato de salida además depende de la ley de control ya que ésta va a fijar como va a ser la evolución del caudal de recirculación qr(t) en función de cómo sea la señal de error e(t).

La ley de control interviene también como una restricción del problema de optimización

El tiempo integral y el derivativo han ser positivos por el sentido físico que ambos poseen

FIN DE LA UNIDAD

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