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Geoplanos primaria
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El descubrimiento guiado: del punto en la superficie a la superficie de puntos.
1.- El punto: situación y localización
Actividad 1.1: Situación de un punto
Planteamiento: Se realiza por parejas. Cada alumno tiene un geoplano. Uno de los compañeros sitúa una arandela en un punto del geoplano que mantendrá en una posición que evite ser vista por su compañero. Tras emitir un mensaje, su compañero ha de ser capaz de colocar otra arandela en su geoplano, en el punto que ocupe esa misma posición. Objetivos:
• Familiarizarse con la estructura cuadriculada del geoplano. • Encontrar un lenguaje común para trabajar con esta herramienta. • Facilitar el trabajo cooperativo.
Estrategia: Dejar que el alumnado invente sus propios códigos de comunicación y prestar atención a los mismos. Posiblemente opten por “contar clavos” estableciendo previamente la esquina por la que van a comenzar y la orientación a seguir, estrategia que emana tanto de su escaso grado de dificultad, como de las numerosas acciones similares que ya han realizado en otras actividades bien sean escolares, en sus juegos, vida cotidiana, etc. También podrían algunos de ellos utilizar un sistema de coordenadas cartesianas (desplazamiento en el eje “X” y en el eje “Y”), mediante mensajes tipo; 2-4, o con letras: B-4. Esta última opción es bastante interesante y en caso de que no saliese, deberíamos ayudarles a que llegasen a ella:
• Colocar nosotros una arandela en aquellos lugares que les obligasen a contar entre el 20 y 25 clavos. Preguntar ¿no podemos encontrar un método mejor?.
• Juego de los barcos. ¿Podemos jugar a los barcos con el geoplano?. • Llegaremos a concluir que el contar clavos, no es una buena estrategia ya
que hay ocasiones en las que tendremos que contar muchos, siendo más rápido el utilizar el sistema de tabla de doble entrada o de ejes cartesianos.
NOTAS:
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Actividad 1.2: Juego de los barcos Planteamiento: Es una actividad similar a la anterior, pero ahora ya no se trata de inventar una estrategia de comunicación para que nuestro compañero coloque una arandela en el mismo lugar en el que la teníamos nosotros, sino que cada compañero coloca una arandela en uno de los clavos, e intenta adivinar el lugar en el que la ha colocado su compañero. Para ello utilizarán el sistema acordado como más eficaz en la actividad anterior, es decir (x-y), bien con dos números o combinando números y letras, es decir, el punto 3-4, o el C-4, etc. Deberán así mismo señalar en papel los puntos que haya enumerado para evitar repetirlos y también que le pueda “hacer trampa” su compañero de juego. Objetivos:
• Familiarizarse con la estructura cuadriculada del geoplano. • Practicar un código que posteriormente se utilizará en otros contenidos:
representaciones gráficas, diagramas de doble entrada, representaciones estadísticas, etc.
• Favorecer la representación escrita de secuencias de investigación. Estrategia: Podemos dejar que el alumnado establezca sus propias normas de juego: quién empieza, cuántas tiradas seguidas, etc. En esta actividad ya se acompañan de “lápiz y papel”, y las anotaciones pertinentes en las cuadrículas que previamente les hayamos entregado. Con esto no solamente estamos reforzando por duplicado la utilización del sistema cartesiano, sino que estamos trabajando zonas intermedias entre la manipulación de un objeto real, como es el geoplano, y su representación gráfica en papel. Además, el que estén “anotando” los puntos es un buen mecanismo para sistematizar estas pautas de trabajo (pensar-ver-anotar) y nos puede ayudar a inculcar algunos hábitos de trabajo, ya que están utilizando constantemente sus propias anotaciones, por lo que el orden y claridad en las mismas es más que conveniente.
NOTAS:
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Actividad 1.3: Variantes sobre el Juego de los barc os
Planteamiento: Sobre la actividad anterior se pueden hacer muchas modificaciones que permitirán seguir afianzando estos conceptos, sin caer en la rutina. Señalamos algunas a modo de ejemplo.
• Cada compañero coloca varias arandelas (de una a cinco). • Cada jugador hace varias jugadas seguidas. • Cada vez que nombramos un punto, el otro jugador ha de quitar la arandela
que esté situada en ese punto o y también las que estén situadas en las posiciones anexas a él. (Esta variante es muy interesante, pues inicia a alumnado en el establecimiento de estrategias: ¿Qué punto resultan los más adecuados por cubrir una mayor superficie?).
• Que cada pareja invente una norma, variante o limitación de juego.
Objetivos:
• Adquirir soltura en la descripción de puntos en el geoplano. • Representar sobre la cuadrícula de papel situaciones de un entorno real. • Establecimiento de estrategias adecuadas para resolver un problema.
Estrategia:
Hemos de dejar que el alumnado juegue con toda libertad y establezca sus propias pautas de juego, previamente acordadas entre ambos. El intercambio de compañeros, la rotación de los mismos, el cambio o modificaciones de las normas de juego, etc., son recursos que puede utilizar el profesorado con el fin de potenciar la motivación, sociabilización, grado de dificultad, intercambio de estrategias, etc.
NOTAS:
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2.- Los segmentos Actividad 2.1: Construyendo caminos
Planteamiento: La podemos realizar individualmente o por grupos. Hay que construir diferentes “caminos” para ir desde un punto cualquiera del geoplano hasta otro, utilizando siempre los pivotes contiguos. Estos caminos los representarán también sobre la cuadrícula. La situación o separación de los dos puntos va determinar la dificultad del ejercicio. A continuación contestar a las siguientes preguntas: Objetivos:
• Adquisición del concepto de segmento. • Representar sobre la cuadrícula de papel segmentos diferentes. • Establecimiento de estrategias adecuadas para resolver un problema. • Representación gráfica de la propiedad conmutativa.
Estrategia: Podemos dejar que ellos mismos establezcan diferentes pautas para la construcción de los caminos. Suelen dar como implícito que los caminos serán lo más cortos posibles, cosa que al menos en principio nosotros no habíamos planteado. A partir de ahí, después de que estén durante algún tiempo haciendo diferentes caminos, si algunos optan por construir algunos que no nos lleven directamente al punto final, podemos aprovechar para comentar la gran dificultad para construir todos los caminos posibles (volveremos sobre este tema en el ejercicio siguiente). Al mismo tiempo, si se permite “cruzar en diagonal” el camino más corto es demasiado evidente. Si no necesitamos ni tanta sencillez ni tanta complicación, se pueden establecer algunas limitaciones, pero después de que ellos hayan tanteado el problema durante algún tiempo:
• Los posibles tramos siempre nos acercan al punto final, nunca nos alejan. • No es posible retorcer (“ir hacia atrás”) por el mismo camino. • No es posible hacer segmentos “cruzados”, a los que en cuanto podamos les
daremos el nombre de diagonales para ir acostumbrándoles a manejar ese concepto.
La propiedad conmutativa la estaremos trabajando cuando situamos el punto inicial y el final en la diagonal de un cuadrado.
NOTAS:
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Actividad 2.2: Construyendo todos los caminos posib les
Planteamiento: Esta actividad la podemos considerar como una variante de la anterior, pero donde vamos a reforzar el razonamiento lógico y el establecimiento de estrategias lógicas que les permitan obtener buenos resultados. Se puede realizar individualmente o por grupos. Hay que construir todos los caminos posibles para ir de un punto del geoplano a otro, utilizando siempre los pivotes contiguos. Podemos establecer el grado de dificultad que deseemos mediante la limitación de la zona por donde se puede transitar. Así empezaremos haciendo una especie de “subgeoplano” de 2X2 y nos moveremos dentro de él, con lo que el número de posibilidades no es excesivo. Estos caminos los representarán también sobre la cuadrícula. Si queremos aumentar la dificultad, no tenemos más que aumentar la zona permitida, bien haciendo un cuadrado mayor o un rectángulo. Objetivos:
• Representar sobre la cuadrícula de papel segmentos concatenados. • Establecimiento de estrategias adecuadas para resolver un problema.
Estrategia: Debemos dejar que ellos intenten encontrar secuencias lógicas que les permitan agotar todas las posibilidades, es decir, recorrer todos los caminos. El descubrimiento, la representación y la interiorización de estas estrategias, nos van a ayudar mucho en un futuro en la resolución de problemas. NOTAS:
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Actividad 2.3: Construyendo segmentos
Planteamiento:
Por parejas , cada uno de ellos con un geoplano. Uno de los compañeros hace en el geoplano un segmento e intenta que su compañero, que no puede ver el segmento construido, haga otro igual en su geoplano siguiendo las indicaciones que le vaya dando.
Objetivos:
• Concepto de segmento • Utilización de estrategias aprendidas con anterioridad a situaciones nuevas
Estrategia: Debemos dejar que ellos descubran diferentes códigos o formas distintas de comunicación pero poco a poco iremos estableciendo como pauta el hacer segmentos indicando el punto en el que empieza y en el que finaliza el mismo, es decir nombrando dos puntos, los cuales nombraremos utilizando los códigos que trabajamos en el capítulo correspondiente. Surgen aquí algunas cuestiones interesantes como las clases de equivalencia de los segmentos, ya que podemos girar el geoplano y cambiar así la orientación y posición del segmento (no son vectores), pero no su longitud. En realidad para describir a un segmento solamente necesitamos dos números, el intervalo x e y desde el origen del segmento hasta el punto donde finaliza, teniendo en cuenta además que podemos intercambiar los valores x-y e y-x ya que el segmento será equivalente al anterior. Llegados a este punto y , una vez que ya se tenga clara la idea de segmento, los nombraremos simplemente indicando el desplazamiento en horizontal y en vertical desde el punto origen hasta el punto final.
NOTAS:
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Actividad 2.4: Construyendo segmentos diferentes.
Planteamiento:
Se trata de hacer y nombrar todos los segmentos diferentes que se pueden hacer en un geoplano. Empezaremos con el "subgeoplano" 2 x 2, es decir, que limitamos la zona de trabajo para facilitar la resolución del ejercicio, hasta llegar a realizar la actividad en el geoplano 5 X 5. Al igual que en los ejercicios anteriores, también dibujarán estos segmentos en la cuadrícula y procederán a nombrarlos.
Objetivos:
• Concepto de segmento: clases de equivalencia • Utilización de estrategias aprendidas con anterioridad a situaciones nuevas
Estrategia: Se plantea la actividad en forma cooperativa, intentando que los miembros del grupo aporten sus ideas al respecto. Hay que descartar los segmentos equivalentes, es decir, el 2-3, será equivalente al 3-2, así que emplearemos uno de ellos. Se pueden medir para comprobar que son equivalentes, recortarlo en cartulina, etc. Dependiendo de la soltura que nos muestren en la resolución del ejercicio, ampliaremos las dimensiones del geoplano (3x3), (4X4), etc. También se puede intentar que aprovechen el trabajo realizado en el geoplano (2x2) cuando se pongan a hacer los segmentos diferentes en (3X3) y así sucesivamente.
NOTAS:
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3.- Los cuadriláteros Actividad 3.1: Construyendo cuadrados
Planteamiento: Se trata de encontrar todos los cuadrados diferentes que se pueden hacer en un geoplano de 5 x 5. Dependiendo del alumnado, podemos hacerlo en un geoplano de 4X4, simplemente subdividiendo la zona o simplemente diciendo que no se pueden tocar los pivotes exteriores del geoplano de 5x5. Dibujaremos cada cuadrado en papel, utilizando la cuadricula y anotando su perímetro. Objetivos:
• Características del cuadrado (necesario para encontrar todos los cuadrados posibles)
• Concepto de perímetro. Estrategia: Dejaremos que intenten encontrar todos lo cuadrados posibles y al mismo tiempo que anoten sus perímetros, al menos de los “más fáciles”, para comprobar que, efectivamente, son cuadrados diferentes, ya que podemos tener el mismo cuadrado pero en diferentes posiciones. Otra forma de comprobar que son cuadrados diferentes consiste en recortar los cuadrados en cartulina y comprobar que no coinciden.
NOTAS:
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4. Dibujar todos los rectángulos posibles que se pueden hacer en el geoplano de
5 x 5.
a. Diferencias y similitudes entre el rectángulo y el cuadrado.
b. ¿Cuántos rectángulos diferentes puedes dibujar que tengan de
perímetro 10?.
5. Dibujar un rombo atendiendo a alguna definición que tengamos en el libro de
texto, diccionario, etc.
a. Diferencias y similitudes entre el cuadrado, rectángulo y rombo:
(ángulos, lados y diagonales).
6. Dibuja un rectángulo en el geoplano.
a. Mueve el lado superior un cuadro a la derecha.
b. Describe la nueva figura: lados, ángulos y diagonales.
c. Busca esa figura en el libro de texto y escribe su nombre.
d. Realiza un estudio comparativo de esa figura en relación a las
anteriormente estudiadas atendiendo a:
i. Lados: igual que.........., diferente a........
ii. Ángulos: igual que........, diferente a...........
iii. Diagonales: igual que............., diferente a..............
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Triángulos
7. Dibuja todos los triángulos diferentes que se pueden hacer en el geoplano de
5 x 5, que tengan de base dos unidades.
a. Clasificación de triángulos en atención a:
i. Lados (en este geoplano no se pueden hacer equiláteros.
Esta limitación hay que convertirla en recurso haciendo
preguntas como ¿puedes hacer en el geoplano un triángulo
con los tres lados iguales?. Compruébalo.
ii. Ángulos. ¿Tienes o puedes hacer un triángulo que tenga los
tres ángulos iguales..?
8. Dibuja una figura geométrica a tu gusto, del número de lados que desees.
a. ¿Serías capaz de descomponerla en triángulos?
b. ¿Crees hay algún tipo de polígono que no se puede descomponer en triángulos?. Experimenta y comprueba la respuesta. (¿El triángulo?)
9. Descompón en triángulos las siguientes figuras:
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Áreas: Concepto
10. Calcula el área de las siguientes figuras, tomando como base la cuadrícula:
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Áreas: Cuadrados.
11. Analiza los cuadrados situados en la parte inferior y completa la tabla.
LADOS (cm.)
ÁREA (cm 2)
12. Fijándote en la tabla superior, ¿Podrías completar la tabla siguiente?.
LADOS (cm.) 6 14 35
ÁREA (cm 2) 100
13. A la vista de los resultados obtenidos, podemos concluir que para calcular el
área de un cuadrado tendremos que .................................................................
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14. Del mismo modo, si conocemos el área, podemos saber la longitud de su
lado, encontrando un número que: ..................................................................
.........................................................................................................................
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Áreas: Rectángulos
15. Analiza los rectángulos situados en la parte inferior y completa la tabla.
LADO (cm.)
LADO (cm.)
ÁREA (cm 2)
16. Fijándote en la tabla superior, ¿Podrías completar la tabla siguiente?.
LADO (cm.) 3 13 12
LADO (cm.) 6 24
ÁREA (cm 2) 120 36
17. A la vista de los resultados obtenidos, podemos concluir que para calcular el
área de un rectángulo tendremos que ...............................................................
..........................................................................................................................
18. Del mismo modo, si conocemos el área y uno de sus lados, podemos saber la
longitud del otro .............................................................................................
.........................................................................................................................
19. Conociendo únicamente el área, ¿podemos saber cuánto miden sus lados?
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Áreas: Triángulos
20. Analiza los triángulos situados en la parte inferior y completa la tabla.
BASE (cm.)
ALTURA (cm.)
ÁREA (cm 2)
21. Fijándote en la tabla superior, ¿Podrías completar la tabla siguiente?.
BASE (cm.) 8 12 12
ALTURA (cm.) 8 24
ÁREA (cm 2) 120 80
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22. A la vista de los resultados obtenidos, podemos concluir que para calcular el
área de un triángulo tendremos que ...............................................................
..........................................................................................................................
23. Del mismo modo, si conocemos el área y la base, podemos saber la longitud
de la altura ....................................................................................................
......................................................................................................................
24. Conociendo únicamente el área, ¿podemos saber cuánto miden la base y la
altura? .............................................................................................................
........................................................................................................................
José Ignacio Miguel Díaz.
http://platea.pntic.mec.es/~jmigue1/
