El Ejemplo Del Cuerpo Rígido Engeometría. Francisco Javier Cervigon Ruckauer

7/25/2019 El Ejemplo Del Cuerpo Rgido Engeometra. Francisco Javier Cervigon Ruckauer

1/26

Mdulo 2: Ms ejemplos

Geometra diferencial y Mecnica: Una introducci n

(Modulo 2) Mas ejemplos 1 / 12


2/26

Un mtodo para construir variedades diferenciables

Ejemplos de variedades en R3

Imagen de una curva : I R R3

Imagen de una aplicacin u: R2 R3



3/26


Ejemplos de variedades en R3



NO TODAS INDUCEN VARIEDADES DIFERENCIABLES



4/26




RESTRICCIONES



5/26




RESTRICCIONES

No hayan autointersecciones

la aplicacin (resp. u) debe ser inyectiva



6/26




RESTRICCIONES

No hayan autointersecciones

la aplicacin (resp. u) debe ser inyectiva

No aparezcan picos

la derivada de (resp. el jacobiano de u) sea distinta de cero para todopunto (resp. tenga rango 2 en todo punto)



7/26


METODO DE CONSTRUCCION

Aplicaci n diferenciable : Rk Rn, kn

es inyectiva

El jacobiano de tiene rango kpara todo x



8/26




es inyectiva


M=() es una variedad de dimensi n k



9/26




es inyectiva


M=() es una variedad de dimensi n k

Caso particular:

M={(x, f(x)) | x}

f: Rk

Rnk

aplicaci n diferenciable

(x) = (x, f(x))

M=()



10/26


Un subconjunto M de Rn es una variedad diferenciable de dimensi n k

Para todo xMexiste un entorno abierto U de xtal que M Ues elgrafo de una aplicaci n diferenciable expresando (n k) de las coordenadasen trmino de las otras k

M={(x1, . . . xk, (x1, . . . , xk))}

: Rk Rnk



11/26


La esfera S2 como unin de imgenes de grafos:

f: {(x, y) R2 | x2 +y2


12/26


La esfera S2 como unin de imgenes de grafos:

f: {(x, y) R2 | x2 +y2


13/26


OTRO METODO PARA CONSTRUIR VARIEDADES DIFERENCIABLES

Idea: Ver las variedades diferenciables como un conjunto de Rn dado por variasecuaciones



14/26




S2 ={(x, y, z) R3/x2 +y2 +z2 = 1}

S2 =F1(1), F: R3 R, F(x, y, z) =x2 +y2 +z2



15/26




S2 ={(x, y, z) R3/x2 +y2 +z2 = 1}

S2 =F1(1), F: R3 R, F(x, y, z) =x2 +y2 +z2

En Mecnica:los espacios de configuraci n estn definidos por una o ms ligaduras ( ecuaciones)

que limitan el movimiento



16/26




S2 ={(x, y, z) R3/x2 +y2 +z2 = 1}

S2 =F1(1), F: R3 R, F(x, y, z) =x2 +y2 +z2

En Mecnica:los espacios de configuraci n estn definidos por una o ms ligaduras ( ecuaciones)

que limitan el movimiento

f1 =c1, . . . , fk= ck, f1 : Rn R, . . . , fk: R

n R funciones diferenciables

{x Rn |F(x) = (c1, . . . , ck)}= F1(c1, . . . , ck)

F : Rn Rk, F(x) = (f1(x), . . . , fk(x))



17/26


Ejemplo: f:R

2

R

, f(x, y) =xy



18/26


Ejemplo: f:R

2

R

, f(x, y) =xySi c= 0 f(x, y) =ces la hiprbola y=c/x

f(x, y) =c variedad diferenciable



19/26


Ejemplo: f:R

2

R

, f(x, y) =xySi c= 0 f(x, y) =ces la hiprbola y=c/x


Si c= 0 f(x, y) = 0 no es una variedad



20/26


Ejemplo: f

:R

2

R

, f

(x,y

) =xy

Si c= 0 f(x, y) =ces la hiprbola y=c/x


Si c= 0 f(x, y) = 0 no es una variedad

El gradiente de f: f = ( fx

, fy

) = (y, x) = (0, 0) (x, y) = (0, 0)



21/26


f1, . . . , fk: Rn R funciones diferenciables

F = (f1, . . . , fk) : Rk

Los gradientes de las funciones fison las filas de la matriz jacobiana DF(x)



22/26


f1, . . . , fk: Rn R funciones diferenciables

F = (f1, . . . , fk) : Rk

Los gradientes de las funciones fison las filas de la matriz jacobiana DF(x)

c Rk es unvalor regularsi DF(x) tiene rango kpara todo xF1(c)



23/26


24/26


TEOREMA DE LA FUNCION IMPLICITA

Consideremos una funci n F: Rn Rk una aplicacin diferenciable.Sea x0 y c=F(x0). Si el rango de DF(x) es kentonces existe unentorno U de xtal que F1(c) U es el grafo de una funci n diferenciable

expresando kde las variables estndar en trmino de las otras

F: Rn Rk aplicaci n diferenciable

c Rk valor regular

el conjunto de nivel F1(c) es una variedad diferenciable de dimensin n k



25/26


EJEMPLOSLA ESFERA

f: Rn+1 R, f(x1, . . . , xn+1) = (x1)2 +. . .+ (xn+1)

2

f es una aplicaci n diferenciablef = (2x1, . . . , 2xn+1)

c= 1 es un valor regular de f

f1(1) =Sn es una variedad diferenciable



26/26


EJEMPLOS

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS

f: R3 R f(x, y, z) =x2 +y2 z2

f es una aplicaci n diferenciable

f = (2x,

2y,

2z)c= 0 es un valor regular de f

{(x, y, z) R3

/f(x, y, z) =c} el hiperboloide de dos hojas

es una variedad diferenciable


Documents

El Ejemplo Del Cuerpo Rígido Engeometría. Francisco Javier Cervigon Ruckauer