EL GEOESPACIO, UN RECURSO PARA LA ENSEANZA DE LA GEOMETRA

Licenciado en Matemticas y Maestro en Planeacin Educativa

Manuel Vara Orozco

Revisaron esta obra: Santiago Valiente Barderas y Santiago Rubio Ramrez

CONTENIDO Introduccin.............................................................................................. VII 1. La enseanza de las Matemticas en la Escuela Secundaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. Propsitos en los Programas de Matemticas en la Escuela Secundaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3. La enseanza de la Geometra en la Escuela Secundaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 4. Caractersticas de las actividades para la enseanza de la Geometra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5. El geoespacio como recurso didctico. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 6. Caractersticas del cuaderno de actividades con el geoespacio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

a) Postura psicopedaggica sobre el aprendizaje. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .21 b) Enfoque metodolgico del cuaderno de actividades con el geoespacio. . . . . . . . . . . . . .23

c) Descripcin de la secuencia didctica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 7. Dialctica herramienta-objeto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

a) Antigua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 b) Nueva bsqueda implcita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 c) Explicitacin e institucionalizacin local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 d) Institucionalizacin-estatuto de objeto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 e) Familiarizacin-reinversin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 f) La tarea o el nuevo problema se hace ms complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 Observaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

8. Juegos de marcos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

1) Transferencia e interpretacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2) Correspondencias imperfectas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 3) Mejora de las correspondencias y progreso del conocimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4) Elementos para el anlisis de la secuencia didctica. Contenidos y grados de dificultad. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 9. El uso del geoespacio como apoyo en la enseanza de la Geometra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Actividades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1. Un tringulo de dos unidades de base. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43 2. Pirmide hexagonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46 3. Prisma triangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4. Prisma cuadrangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5. Prisma pentagonal. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6. Prisma hexagonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 7. Prisma octagonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70 8. Tetraedro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78 9. Cubo-octaedro de Arqumedes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 10. Pirmide cuadrangular, en dos geoespacios unidos por una cara. . . . . . . . . . . . . 83 11. Octaedro, auxilindose de una estructura de cuatro geoespacios. . . . . . . . . . . . . 85

12. Otras de las actividades que se sugieren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 CONCLUSIONES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93 BIBLIOGRAFA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95

Introduccin Uno de los propsitos que se persigue con la enseanza de la Matemtica, a nivel secundaria, es desarrollar la imaginacin espacial del alumno a travs de la representacin plana de slidos, el clculo de volmenes y capacidades, as como aplicaciones sencillas de los teoremas de semejanza y de Pitgoras en la solucin de problemas en el espacio.

El Libro para el Maestro de educacin secundaria propone que el alumno obtenga frmulas para calcular el volumen de un slido compuesto y si se pretende que se desarrolle la reversibilidad del pensamiento, entonces se pueden dirigir actividades donde no slo se sumen volmenes, sino tambin se resten.

En el desarrollo de este trabajo se presentan actividades que buscan que el alumno aprenda geometra con el apoyo del geoespacio. Se describe el geoespacio y su uso en la enseanza de la geometra, as como la postura psicopedaggica en la que se apoya. Los temas que se presentan son susceptibles de trabajarse con este material didctico.

Una de las propuestas del nuevo enfoque es la integracin, tanto al interior de las Matemticas, como en su relacin con otras asignaturas. As, al interior de las Matemticas, podemos relacionar geometra con aritmtica; una forma es pedirle al alumno que suponga que va llenado con cubos pequeos el geoespacio ya que con esta actividad el alumno aplica el concepto de fracciones; relacionamos tambin la geometra con el lgebra cuando dirigimos al alumno para demostrar el cuadrado de un binomio, por procedimientos algebraicos y con la demostracin por reas. Por otra parte, en pginas adelante mostraremos actividades que relacionan a la geometra con la Trigonometra y con la Presentacin y Tratamiento de la Informacin. Adems, la relacin de las Matemticas con otras asignaturas, se da claramente con la Fsica y la Qumica. Por ejemplo, cuando suponemos que vamos colocando cubitos llenos de algn lquido (agua, gasolina, ter, petrleo,...) dentro del geoespacio y, valindonos de las tablas de densidad de los lquidos, calculamos el peso de los cubitos y graficamos el nmero de stos en relacin con su peso en un plano cartesiano.

El geoespacio es un material (y recurso didctico) que est comprobado puede ayudar en el desarrollo de habilidades matemticas, especialmente la imaginacin espacial y de ello trata este fascculo, adems de proponerlo como modelo del que se pueden desprender actividades para el aula que tienen que ver con la geometra de los slidos.

La gran ventaja del geoespacio es que incluye, por construccin, al geoplano como un recurso en el que se pueden materializar diversas y verstiles actividades geomtricas en el plano.

Es conveniente referir al lector que estas actividades que a lo largo del fascculo propongo son resultado de su aplicacin con alumnos de la escuela secundaria.

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CAPTULO 1 La enseanza de las Matemticas en la Escuela Secundaria Las Matemticas se usan en todas las reas del quehacer humano, bien sea en lo cotidiano o en la investigacin cientfica. El ama de casa aplica las Matemticas al ir al mercado a comprar los alimentos y el nio hace lo mismo al comprar sus dulces en la tienda; los ingenieros y los arquitectos las aplican en la construccin de puentes, carreteras, edificios, maquinarias, e incluso en el diseo de computadoras y en la planeacin de los viajes espaciales y los astrnomos en la observacin del universo.

Las Matemticas contribuyeron al desarrollo de la Fsica desde la Antigedad y durante el Renacimiento, con conocimientos retomados de los griegos; hoy son una herramienta importante para otras disciplinas cientficas y tcnicas, como la Biologa y la Economa. En la cruza de especies se aplica el diagrama de rbol y la probabilidad; la estadstica se aplica para observar la produccin de bienes y servicios de diversos pases. En la prestacin de servicios y en la industria se recurre a las Matemticas; por ejemplo, una persona que arregla autos debe tener en cuenta el dinero que paga por las refacciones que coloca al carro que compone, adems de considerar que sus herramientas sufren desgaste y que en cierto tiempo deben ser sustituidas. Tambin tendr presente que le debe quedar ganancia para pagar la renta del local donde tiene su negocio establecido y para llevar el alimento a su familia.

En la industria se invierte dinero en diseo, en mercadotecnia, en importacin de materia prima o en la compra de insumos a otras empresas, ello lo toma en cuenta el productor al momento en que fija un precio a su mercanca. Las computadoras ayudan a las empresas para llevar el estado financiero del negocio, cobrar y pagar, hacer nminas o inventarios. Actualmente las Matemticas aparecen en casi todas las actividades de las sociedades desarrolladas.

El ser humano necesita reforzar sus conocimientos matemticos, sea un pro