EL LÍMIT DE ROCHE

Edouard Albert Roche (1820-

1883)Astrònom, matemàtic i

geofísic francès, nascut a

Montpeller.

Vegem dues fotos dels anells de Saturn. Per a l’estudi del seu origen, Roche va fer els seus estudis matemàtics sobre els efectes de la gravitació.

La gravetat del planeta situat a l’esquerra actua amb més força sobre la part del satèl·lit més pròxima que

no pas sobre la part del satel·lit més allunyada.

Aquesta diferència d’atracció entre les dues cares del satèl·lit equival a una força de separació entre

elles que és el que s’anomena força de marea.

Aquesta figura il·lustra el fet que dues partícules tenen una diferent atracció del planeta però que també s’atreuen gravitacionalment entre elles.

Més lluny del límit de Roche predomina l’atracció entre les partícules i és possible la formació de satèl·lits, mentre que més endins d’aquest límit

predominen les diferències d’atracció per part del planeta i les partícules es dispersen en forma d’anells.

Considerem un cos fluid que manté la seva estructura per la seva gravetat interna i que orbita al voltant d’un objecte major. Lluny del límit de

Roche el fluid té una forma esfèrica.

Més a prop del límit de Roche el cos fluid és deformat per l’acció de les forces de marea.

Dins del límit de Roche la gravetat del cos fluid no és suficient per mantenir la seva forma i el cos

es disgrega per l’acció de les forces de marea.

Les fletxes vermelles representen la velocitat orbital de les restes disgregades del satèl·lit. Les partícules internes orbiten més de pressa que les

exteriors.

Finalment el satèl·lit disgregat dóna origen a un anell format per partícules més petites.

Aquesta figura repeteix el que es deia a la figura anterior però afegeix que el límit de Roche està situat a una distància aproximada de 2,5 vegades el radi del

planeta. Ja veurem que això no sempre és veritat.

Si el planeta i el cos exterior, cometa o satèl·lit, tenen la mateixa densitat, el límit de Roche és de

2,446 (*) vegades el radi del planeta. (*) Diferents fonts consultades donen altres valors d'aquest

coeficient, p. ex. 2,423 - 2,44 - 2,446 - 2,45 - 2,4554 - 2,456, etc.

En el cas que les densitats del planeta i del satèl·lit siguin diferents, el límit de Roche ve donat per

l'expressió:

2,44*R*3(p/ s) (arrel cúbica de p/ s)

En aquesta figura ja es parla que el límit de Roche depèn de la relació de densitats entre el planeta i el satèl·lit. Partint de la densitat de la Terra de 5.500 kg/m3, es veu la situació del límit de Roche segons

diferents valors de la densitat del satèl·lit.

Aquestes dues figures representen el mateix moviment circular uniforme. En la de l’esquerra hi figuren les velocitats lineal i angular i l’acceleració centrípeta. La de la dreta representa el moviment d’un satèl·lit amb òrbita circular al voltant d’un

planeta i hi figuren les mateixes velocitats però a més a més les masses respectives i la força centrípeta.

En un moviment circular uniforme tenim:v = *da centrípeta ac = v2/d = 2*d

Unitats:v = velocitat lineal en m/s = velocitat angular en radiants/sac = acceleració centrípeta en m/s2

Càlcul de la distància d'un satèl·lit al seu planeta:F centrípeta Fc = m*ac = m*v2/d = m*2*d

Però en el cas d'un satèl·lit, Fc també és l'atracció

gravitatòria donada per la Llei de NewtonFc = G*M*m/d2

Igualant les dues expresions tenim: G*M*m/d2= m*2*d

d'on resulta:d = [(G*M)/2]1/3 (arrel cúbica)o bé = [(G*M)/d3]1/2 (arrel quadrada)

Fixem-nos que en aquestes expressions no hi figura la massa del satèl·lit.

Vegem ara dos exemples d'aplicació d'aquestes fórmules:

1/ Calcular el període de la ISS, sabent que l'alçada mitjana de la seva òrbita és de 354 km.

Prenent els valors de MTerra= 6*1024kg

G= 6,67*10-11 N*m2/kg2

d = 354.000 + 6.378.100 (radi Terra) = 6.732.100 m

aplicant la fórmula resulta un període de 5.486 seg = 1h 31m 26 seg 15,75 voltes cada dia.

2/ Calcular l'alçada d'un satèl·lit geoestacionari.

Té un període igual al de rotació de la Terra = 3h 56m 4s = 86.164 s per girar 2 radiants.

d'on = 2/86.164 rad/s.

aplicant la fórmula resulta un valor d = 42.220.465 m = 42.220,645 km.

i restant-hi el radi de la Terra resulta una alçada sobre el sòl de 35.488,365 km.

Estudi de la força de marea que exerceix un planeta sobre una massa puntual situada sobre el punt més allunyat del satèl·lit. Veurem que en aquest cas, i

tenint en compte únicament l’atracció gravitatòria del planeta, el límit de Roche assoleix un valor meitat del

que diuen els llibres i que hem vist al principi.

La gravetat del planeta al centre i al punt més allunyat del satèl·lit és respectivament,a = G*M/d2 i a' = G*M/(d+r)2

a - a' = G*M*[(1/d2)-(1/(d+r)2)]

El segon terme de dintre els claudàtors el podem aproximar a partir dels dos primers termes del desenvolupament en sèrie de la funcióf(r) = 1/(d+r)2

per la fórmula de Taylor f(r) = f(0) + f '(0)*rTenim f(0) = 1/d2

f '(r) = -2/(d+r)3 d'on f '(0) = -2/d3

aleshores,f(r) 1/d2 - 2r/d3

i per tant,a - a' = G*M*[(1/d2) - (1/d2) + (2r/d3)] = 2G*M*r/d3

En el límit de Roche aquesta diferència de gravitació deguda al planeta s'iguala amb la gravitació del propi satèl·lit que val,G*m/r2

Per tant,G*m/r2 = 2G*M*r/d3

Posant les masses M i m en funció dels radis R i r del planeta i del satèl·lit i de les seves densitats p i s

tenim,M = (4/3)*R3*p i m = (4/3)*r3*s

Substituint i simplificant resulta,(d/R)3 = 2p/s

Aquest és un cas particular de l'expressió general de Roche,(d/R)3 = k*p/s

on el coeficient k pren diferents valors segons les hipòtesis considerades. En el cas que hem vist, de només tenir en compte la força de marea en el pla equatorial del satèl·lit tangent a la seva òrbita, tenim k = 2, i el valor del límit de Roche serà,

d = 1,259921R*(p/s)1/3 (arrel cúbica)

En el cas que la massa puntual estigui posada en el punt del satèl·lit més pròxim al planeta, el resultat és el mateix que en el cas anterior perquè les relacions(d-r)/d o d/(d+r) són pràcticament iguals quan r <<

d.

Estudi del cas d’un satèl·lit format per dues petites esferes tangents en un punt situat a

una distància d del planeta.

Tenim, atracció entre els dos satèl·lits,G*m2/(2r)2 = G*m2/4r2

atracció entre el planeta i un satèl·lit situat a la distància d,G*M*m/d2

i derivant respecte a d tenim,-2G*M*m/d3

Multiplicant per la diferència en posició 2r resulta -4G*M*m*r/d3

Aquesta és la força de marea que s'ha d'equilibrar amb l'atracció entre els dos satèl·lits, de manera que tenim,4G*M*m*r/d3 = G*m2/4r2

d'on simplificant resulta,(d/R)3 = 16p/s

id = 2,519842(p/s)

1/3 (arrel cúbica)

Aquest valor és doble del que hem calculat abans i ja s’assembla més amb el que diuen els llibres.

Si es té el compte la deformació del satèl·lit per acció de la gravetat del planeta s'arriba a un valor de k = 14,22526, o sigui a les expressions,(d/R)3 = 14,22526p/s

id = 2,423(p/s)

1/3 (arrel cúbica)

Una millor aproximació encara ve donada per l'expressió,

on c/R és un factor que expressa el grau de deformació del planeta = radi polar/radi equatorial.

CosDensitat (kg/m3)

Radi (km)

Sol 1.400 695.000

Júpiter 1.330 71.500

Terra 5.515 6.376,5

Lluna 3.340 1.737,4

(taula dels valors considerats per al càlcul del límit de Roche)

Dels casos d’una massa solta posada a la perifèria del satèl·lit o bé de les dues meitats del satèl·lit definides pel pla equatorial

tangent a la seva òrbita, una de les fonts consultades en diu respectivament límit de Roche per als cossos rígids i límit de

Roche per als cossos no rígids. Dóna les següents taules per al Sistema Solar i explica que el veritable límit de Roche estarà

en algun punt intermedi entre els dos límits expressats.

L. de Roche (rígid)

L. de Roche (no rígid)

Cos Satèl·litDistància

(km)Radis

Distància (km)

Radis

Terra Lluna 9.495,7 1,49 18.261,5 2,86

Terra Cometa 17.883,4 2,80 34.392,3 5,39

Sol Terra 554.441,4 0,80 1.066.266 1,53

Sol Cometa 1.234.187 1,78 2.373.509 3,42

En les dues primeres files els radis són terrestres i en les dues últimes són radis solars.

Radi orbital / Límit de Roche

Cos central Satèl·lit (rígid) (no rígid)

Sol Mercuri 104:1 54:1

Terra Lluna 41:1 21:1

MartFobos 171 % 89 %

Deimos 456 % 237 %

Júpiter

Metis 191 % 99 %

Adrastea 192 % 100 %

Amaltea 178 % 93 %

Tebe 331 % 172 %

Radi orbital / Límit de Roche

Cos central Satèl·lit (rígid) (no rígid)

Saturn

Pan 177 % 92 %

Atlas 182 % 95 %

Prometeu 185 % 96 %

Pandora 188 % 98 %

Epimeteu 198 % 103 %

Urà

Cordèlia 155 % 81 %

Ofèlia 168 % 87 %

Bianca 184 % 96 %

Cressida 193 % 100 %

Radi orbital / Límit de Roche

Cos central Satèl·lit (rígid) (no rígid)

Neptú

Nàiade 144 % 75 %

Zàlassa 149 % 78 %

Despina 157 % 82 %

Galatea 184 % 96 %

Làrissa 219 % 114 %

Plutó Caront 13:1 6,8:1

En el cas que s'ha estudiat de les forces de marea que actuen en el pla equatorial tangent a l'òrbita del satèl·lit, a l'acceleració de marea s'hi ha d'afegir la difèrència entre l'acceleració centrípeta que hi ha al centre del satèl·lit (a una distància d del planeta) i la que hi ha al punt del satèl·lit més allunyat (a una distància d+r).

La velocitat angular del satèl·lit al voltant del planeta s'ha vist que era de,

= [(G*M)/d3]1/2

o sigui que:2 = (G*M)/d3

i l'acceleració centrípeta en els dos punts expressats val:b = 2*d i b' = 2*(d+r)

d'onb' - b = 2*(d+r-d) = 2*r = (G*M*r)/d3

Aquesta acceleració és la que cal sumar a l'acceleració de marea s'ha vist abans,

2G*M*r/d3

i la seva suma és la que s'ha d'igualar a la gravitació del propi satèl·lit,

G*m/r2

Per tant resulta:[(G*M*r)/d3] + [2G*M*r/d3] = 3G*M*r/d3 = G*m/r2

Posant també les masses M i m en funció dels radis R i r i de les densitats p i s i simplificant, resulta aquesta vegada l'expressió,

(d/R)3 = 3p/s i d = 1,44225R*(p/s)1/3 (arrel cúbica)

O sigui en aquest cas resulta la mateixa expressió general de Roche però amb un valor de k = 3.

El sistema Terra-Lluna és un bon exemple de satèl·lit amb rotació capturada degut a

l’atracció del seu planeta.

I acabem amb l’espaguetifició d’un malaventurat astronauta que es volia ficar allà on no el demanaven.

Gràcies per la vostra atenció i fins a un altre dia.