El Metodo de Cross. Estructuras Intraslacionales

7/24/2019 El Metodo de Cross. Estructuras Intraslacionales

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Antonio Vargas Yez

Arquitecto, profesor asociado

Curso 2012-13

EL MTODO DECROSS.ESTRUCTURASINTRASLACIONA-LES

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ESTRUCTURASRETICULADAS

Hardy Cross, 1!-1!"


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Antonio Vargas Yez


Curso 2012-13

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#n este $%du&o, e& a&u$no aprender &os funda$entos de& $'todo de

Cross en e& caso de &as estructuras intras&aciona&es(

)e esta*&ecern &os criterios de signos a seguir a& referirnos a giros y

$o$entos(

)e deter$inar e& +a&or de &os $o$entos en &os etre$os articu&ados y

e$potrados $ediante &a ecuaci%n de& $o$ento en e& etre$o e$potrado(

eter$inare$os e& coeficiente de rigidez para &as *arras apoyadas-

e$potradas y +a&or de& giro en &os nudos(

.ina&$ente, a partir de &a definici%n de &a esencia de una estructura de

nudos r/gidos, deter$inare$os dos condiciones de co$pro*aci%n de&

c&cu&o efectuado(



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#& $'todo de Cross es un $'todo reiterati+o de aproi$aciones

sucesi+as $ediante e& cua&, *&oqueando e& giro en &os nudos de $anera

que se o*tengan e$potra$ientos perfectos y &i*erndo&os despu's, nos

aproi$a$os tanto co$o desea$os a &os +a&ores de &os $o$entos en &os

etre$os de &as *arras de &a estructura(



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Ante una estructura so$etida a un conunto

de acciones eternas

)e considera que &os nudos se encuentran

fios y sin posi*i&idad de giro(

#n estas circunstancias, los momentos de las

acciones exteriores aplicadas sore cada arraser!n los momentos sore "na arra con dosempotramientos per#ectossin posi*i&idad de giroa&guna(

El momento de empotramiento per#ecto s$lo aparecer! en las arras %"e

est& sometidas a acciones exteriores. Si el '(nc"lo es "n apo)o* elmomento corresponder! al de "na arra apo)ada-empotrada(


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Arquitecto, profesor asociadoCurso 2012-13

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)i ana&iza$os &a situaci%n que se genera en cada

nudo o*ser+a$os que cada uno de e&&os estar

afectado por e& $o$ento de e$potra$iento perfecto

de cada una de &as *arras que for$an e& nudo y estn

so$etidas a cargas eternas y e& $o$ento eterno

que act4e so*re '&(

e este $odo, so*re cada uno de &os nudos actuar un $o$ento su$a de &os

$o$entos eternos que act4an so*re '& y &os $o$entos de e$potra$iento perfecto

originados por &as *arras que &o for$an(

5a diferencia entre &os pri$eros y &a su$a de &os segundos constituir &o que

deno$inare$os co$o 6momento de desequilibrio, el momento que intenta hacer

girar al nudo. =

0

ijext

I

desq MMM

#& $o$ento de e$potra$iento

perfecto en e& nudo es igua& a&

$o$ento de e$potra$iento en

&a *arra con signo contrario(


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)i &i*era$os a8ora &os +/ncu&os

ficticios que 8a*/a$os considerado

en &os nudos y que i$ped/an su

giro, e& nudo girar o no en funci%n

de &os $o$entos ap&icados so*re

'&9 &os $o$entos de &os etre$os

de &as *arras 6de e$potra$iento

perfecto: y e& $o$ento eterno

que 8aya ap&icado so*re '&(

=

ij

ijij

KK

)ern a8ora &as *arras &asque se opongan a& $is$o(

ic8o de otra for$a, elmomento dedese%"ilirio resu&tante encada nudo se repartir!tendr que ser

equi&i*rado, entre cada"na de las arra %"e lo#orman en #"nci$n de loscoe#icientes de reparto,

ij

, de cada una de &as

*arras que for$an(


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Co$o 8a*/a$os +isto anterior$ente, un $o$ento

ap&icado en e& etre$o apoyado de una *arra

apoyada-e$potrada induce &a aparici%n de otro

$o$ento en e& etre$o e$potrado(

122 MM =

#n este punto, 8e$os ter$inado &a pri$era interacci%n de& $'todo de Cross(

A& &i*erar cada uno de &os nudos, se produce encada *arra que &o for$a &a situaci%n descrita9 una

*arra apoyada-e$potrada con un $o$ento

ap&icado en su etre$o apoyado que induce &a

for$aci%n de un $o$ento en e& etre$o

e$potrado(


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#& procedi$iento continua 8asta que e& grado de precisi%n en e& resu&tado es

suficiente( #n ese $o$ento no +o&+e$os a rea&izar &a tras$isi%n de &os $o$entos

de reparto que se originan a partir de &os $o$entos de desequi&i*rio de &os nudos(

El momento en cada

extremo de las arras esi+"al a la s"ma de todoslos momentos %"e ,an

aparecido en cadaextremo d"rante este

proceso9 e& $o$ento de

e$potra$iento perfectogenerado por &as cargas

eternas que act4an so*re

e&&a, &os $o$entos de

reparto y &os $o$entos de

tras$isi%n(

#& orden de $agnitud que $anea$os a& e+a&uar &os esfuerzos f&ectores de una

estructura son &os mT. Carece de sentido continuar e& proceso de c&cu&o cuando

&as aportaciones de una nue+a interacci%n no aportan $s de una d'ci$a de $B((


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=o$entos9

ositi+os9 sentido anti8orario

ositi+os9 sentido 8orario

#e$p&o9

ue podre$os o*tener de a&g4n for$u&ario9

#& criterio de signos es e& ya conocido, no de*iendo confundir&o con e& criterio de

signos de &os esfuerzos f&ectores(


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Diros9

ositi+os9 sentido anti8orario

Eegati+os9 sentido 8orario

#e$p&o9


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#& $o$ento en &os apoyos puede ca&cu&arse directa$ente a partir de una epresi%n

que deter$ina e& $o$ento en un etre$o e$potrado(

5a uni%n de un etre$o de una *arra de &a estructura a un e$potra$iento perfecto

supone &a uni%n de &a estructura, de& etre$os de esa *arra, a un e&e$ento de rigidez

infinita(0

21

2121 =

+=K

K=empK


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#cuaci%n de& $o$ento en e& etre$o

e$potrado

Antonio Vargas Yez


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)i ana&iza$os e& c&cu&o de& $o$ento en e& e$potra$iento o*tene$os9

...)(0

++++= IIIopII

op

I

op MMMMM ...)(0

++++= IIIopII

op

I

opopop MMMMM

...)(0

+++= IIIopII

op

I

opopop MMMMM

)(

00

opop MMMM ++=


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5uego, co$o e& o*eti+o de& $'todo de Cross es ca&cu&ar &os $o$entos en &os

etre$os de &as *arras, y a 'stos &os puedo conocer en e& caso de &os apoyos

e$potrados por $edio de &a ecuaci%n anterior, &o que 8ace$os es no considerareste apoyo en &a reso&uci%n de &a estructura en e& c&cu&o por Cross y &uego

deter$inar e& $o$ento ap&icando &a ecuaci%n(

Y para e& c&cu&o de &a estructura por Cross, e$peza$os por ca&cu&ar e& $o$entode e$potra$iento perfecto en e& etre$o opuesto a& e$potra$iento considerando

&a *arra co$o *ie$potrada(


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de1! !



#n e& caso de que e& apoyo de &a estructura sea un apoyo si$p&e, &a rigidez de&

e&e$ento a& que se une se considera nu&a(

0=simpleapoyoK 1021

2121 =

+=K

K


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)i ana&iza$os e& +a&or de& $o$ento en e& apoyo o*tene$os9

e nue+o, co$o e& pri$er o*eti+o de& $'todo de Cross es deter$inar &os

$o$entos en &os etre$os de &as *arras y por definici%n, y co$o aca*a$os de

co$pro*ar, el momento en "n apo)o simple es cero, ignora$os este etre$oen su reso&uci%n(

ara e& c&cu&o de &os

$o$entos de e$potra$iento

perfecto, se considerar &a

*arra apoyada-e$potrada


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5a rigidez en de &as *arras depende de& tipo de apoyos de sus etre$os, y as/

co$o en e& caso de una *arra *ie$potrada es9

L

EI

K

4

=

#n e& caso de que &a *arra sea apoyada- e$potrada, es9

L

EIK

3=

EI

ML

3=

L

EI

EI

ML

MKart

3

3

==


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Conocidas &as &eyes de $o$entos f&ectores, &as &eyes de esfuerzos cortantes se

o*tiene a partir de &a re&aci%n entre &as dos &eyes de esfuerzos(

5as &eyes de esfuerzos ai&es se deter$inarn esta*&eciendo &a condici%n de

equi&i*rio en &os nudos entre &os esfuerzos cortantes y ai&es de &as *arras que

&&egan e&&os(

5os giros de &os nudos se ca&cu&an a partir de &as ecuaciones de estado de &a *arra

sustituyendo &os $o$entos por su +a&or(


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de1" 21



artiendo de &a ecuaci%n de estado de &a *arra9

)(0 opopKMM ++=

#n e& etre$o 19 )(0

opopKMM ++=

#n e& etre$o 29 )(

0

++=

opopopop KMM

=u&tip&icando &a segunda epresi%n por :

)(0 ++= opopopop KMM

)(0 ++= opopopop KMM

[ ]1

[ ]2

[ ]3


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de20 21



artiendo de &a ecuaci%n de estado de &a *arra9

)(0 opopKMM ++=

#n e& etre$o 19 )(0

opopKMM ++= [ ]1

)(0

++= opopopop KMM [ ]3


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de21 21



or &a definici%n de una estructura de nudos r/gidos, pode$os esta*&ecer doscondiciones de co$pro*aci%n de &a correcci%n de& c&cu&o efectuado9

or equi&i*rio de fuerzas en &os nudos, la s"ma de todos

los momentos aplicados en cada "no de los n"dos deeser cero

or &a definici%n de nudo r/gido* el +iro de los extremos detodas las arras %"e #orman cada n"do tiene %"e ser elmismo(

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