El método de las imágenes

Antonio González FernándezDpto. de Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla

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2

Sinopsis de la presentación

El teorema de unicidad permite encontrar soluciones por analogías con problemas conocidos

El método de las imágenes es una aplicación de este teorema. Consiste en sustituir distribuciones de carga frente a conductores por otras cargas equivalentes (imágenes)

Lo aplicaremos al caso de un plano conductor y de una esfera conductora

Su aplicabilidad es limitada (planos, esferas y poco más) pero de gran importancia en la práctica

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El teorema de unicidad garantiza la existencia de soluciones

En el problema general del potencial

Puede demostrarse que existe solución y que ésta es única

También hay solución única si lo que se conocen son las Qk

Esto autoriza a proponer soluciones. Sólo hay que comprobar que:

Se cumple la ecuaciónSe satisfacen las condiciones de contorno

V1

Q2

V3

Q4

ρ

2

0

ρ∇ φ = −

ε( )k kV Sφ = ∈r

( )0 rφ→ →∞

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Una carga frente a un plano conductor a tierra. Planteamiento y solución para z < 0

Supongamos una superficie conductora plana de gran extensión puesta a tierra. Frente a ella se encuentra una carga puntual q. ¿Cuánto vale el potencial en todo el espacio?

El plano divide el espacio en dos regiones, z < 0(donde no está la carga) y z > 0 (donde sí está).Las soluciones están desacopladas.

En la región z < 0 la solución es trivial:

( )2 0 0z∇ φ = <

( ) ( )0 0 0z rφ = = φ→ →∞

( )0

0zφ =

<=E 0

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Una carga frente a un plano conductor a tierra. Planteamiento para z > 0

En el semiespacio superior (z > 0) tenemos la ecuación

con r0 = a uz

Las condiciones de contorno son

( )20

0

q∇ φ = − δ −

εr r

( )( )

0 0

0

z

r

φ = =

φ→ →∞

La solución no es la misma que la de una sola carga debido a las cargas procedentes del infinito que se acumulan en la superficie del plano conductor.

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Un sistema diferente: dos cargas de signo opuesto enfrentadas

Sea el sistema formado por dos cargas +q y −q situadas en r0 = a uz y r1 = −a uz. El potencial que crean es

Este potencial cumple la ecuación de Poisson ∀z

Pero en z > 0, δ(r − r1) = 0

( ) ( )( )20 1

0

1q q∇ φ = − δ − − δ −

εr r r r ( )0 rφ→ →∞

Este potencial cumple que

y sobre el plano z = 0

0 0 1

1

4

q q⎛ ⎞φ = −⎜ ⎟⎜ ⎟πε − −⎝ ⎠r r r r

( ) ( )20

0

0q

z∇ φ = − δ − >ε

r rs 0 s 1− = −r r r r

( )0 0zφ = =

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Comparando los dos problemas: las dos cargas resuelven el problema original

En el caso de una carga frente a un plano a tierra, en z > 0 φ debe cumplir

Con las c.c

( ) ( )20

0

0q

z∇ φ = − δ − >ε

r r

( ) ( )0 0 0z rφ = = φ→ →∞

El potencial de dos cargas opuestas cumple, en z > 0

Es la solución del otro problema para z > 0

( ) ( )20

0

0q

z∇ φ = − δ − >ε

r r

( ) ( )0 0 0z rφ = = φ→ →∞

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Interpretación física: el plano se comporta “como si” hubiera una carga tras él

La solución para el potencial en todo el espacio es

Por debajo del plano es nulo (apantallamiento)Por encima se comporta como si tras el plano hubiera una carga puntual de signo opuesto situada simétricamente (carga imagen)

0 0 1

10

4

0 0

q qz

z

⎧ ⎛ ⎞− >⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟φ = πε − −⎨ ⎝ ⎠

⎪ <⎩

r r r r

La carga imagen NOexiste.Son las cargas de la superficie del plano las que producen el campo equivalente al de una carga puntual

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Aplicaciones del método de las imágenes: fuerza sobre la carga puntual

Las cargas almacenadas en la superficie del plano producen una fuerza sobre la carga puntualPor aplicación de la ley de Coulomb

( ) ( )03

0 00

'' d '

4 'q s

z

qS

=

−= σ

πε −

⌠⎮⌡

r rF r

r r

La fuerza sobre la carga también puede calcularse con el campo eléctrico

( ) 20 1

3 20 00 1

( )1

4 16z

q

q q q

a

− −= = −

πε πε−

r r uF

r r

Pero el campo que producen las cargas superficiales es el mismo que produciría la carga imagen. Por tanto

La fuerza es atractiva( )0q q σ=F E r( ) ( )0 0q qq qσ −= =F E r E r

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Aplicaciones del método de las imágenes: densidad de carga superficial

Conocido el campo podemos determinar la densidad de carga superficial en el planoEl campo en z < 0 es nulo

El campo en z > 0 es el de dos cargas puntuales

La densidad superficial vale

( ) ( )0 13 3

0 0 1

1

4

q q⎛ ⎞− −= ⎜ − ⎟

⎜ ⎟πε − −⎝ ⎠

r r r rE

r r r r

=E 0

[ ]( )0 3/20 2 2

·2

s z

qa

a+=

σ = ε = −π ρ +

n E

Coincide con la carga imagen ya que

0

0

·d

·d

s

q

q

q

σ

−

= ε =

= ε = −

∫∫

E S

E S

La carga total en z = 0 es

0ds sz

q S q=

= σ = −∫

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Aplicaciones del método de las imágenes: trabajo para acercar la carga

Las cargas superficiales atraen a la carga puntualPor ello, el trabajo para traer la carga desde el infinito es negativoEste trabajo NO es igual a la carga por el potencial

No coincide porque al acercar la carga, se mueven las cargas del plano y φ es una función del tiempo.

( )0qW q −≠ φ r

1

2eW U QV= = ( )

( )

0

2

0 0

1'

2

1

2 4 2 16

q

q qq

a a

+ φ =

⎛ ⎞−= = −⎜ ⎟⎜ ⎟πε πε⎝ ⎠

r

Puede calcularse a partir de la energía almacenada

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Extendiendo el método de las imágenes:una carga a cada lado

¿Qué ocurre si tenemos un plano conductor a tierra y hay una carga a cada lado, no enfrentadas, ni a la misma distancia?El plano funciona como Jaula de FaradayCada carga “ve” sólo a su imagen

Las imágenes siempre deben estar en el otro semiespacio

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Extendiendo el método de las imágenes:dos cargas del mismo lado

¿Por qué se estudia el problema de una sola carga? ¿Qué ocurre si hay dos cargas puntuales del mismo lado?

El potencial en z > 0 es la suma de los de todas las cargas reales más el de sus respectivas imágenesTambién se aplica a distribuciones de volumen, superficiales o lineales

En ese caso puede aplicarse el principio de superposición

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Extendiendo el método de las imágenes:la imagen de un dipolo

Supongamos un dipolo situado frente a un plano. ¿Cuánto vale el potencial en z > 0 si…1) apunta perpendicularmente al

plano?2) apunta paralelamente al plano?3) forma un ángulo arbitrario con el

plano?

El potencial es el del dipolo real más el de un dipolo imagen que1) apunta en el mismo sentido

que el dipolo real2) apunta en sentido

contrario al real3) es la superposición de los

otros dos casos

(1) (2) (3)

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Extendiendo el método de las imágenes:una carga y varios conductores

Si tenemos una carga en un cuadrante formado por dos planos conductores, ¿cuánto vale el potencial en el interior del cuadrante?

En este caso, necesitamos tres cargas imagen:

Dos cargas opuestas, simétricasUna carga del mismo signo, opuesta diagonalmente

¿Y si tenemos una carga entre dos placas?

Cada carga imagen tiene su propia imagen, por lo que obtenemos una secuencia de infinitas imágenesEs análogo al caso de espejos enfrentados

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Una carga frente a una esfera a tierra: planteamiento del problema

Supongamos una esfera de radio R, puesta a tierra. Frente a ella se encuentra una carga puntual q, situada a una distancia r0

del centro de la esfera.¿Cuánto vale el potencial en todo el espacio?¿Cuánto vale la carga almacenada en la esfera?¿Cuánto vale la fuerza sobre la carga puntual?¿Cómo cambia el problema si la esfera no está a tierra?

En el interior de la esfera

En el exterior se cumple

( ) ( )20

0

qr R∇ φ = − δ − >

εr r

( ) ( )0 0r R rφ = = φ→ →∞

( )0 r Rφ = <

con las c.c.

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Un sistema de dos cargas resuelve el problema de la carga y la esfera

Cuando se tienen dos cargas puntuales q1 y –q2, de signo opuesto y distinta magnitud

La equipotencial φ = 0 es esféricaEsta es la única equipotencial esférica. El resto posee otras formasLa esfera envuelve a la carga de menor magnitudEsta esfera no es concéntrica con la carga que envuelve

En el problema de la carga y la esfera conductora ya tenemos una de las cargas y la equipotencial esférica φ = 0. Se trata de ver cuánto debe valer una imagen q′ y dónde hay que situarla para que resulte la esfera

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Cálculo de la carga imagen que produce la equipotencial esférica

Tenemos la esfera de radio Ry la carga q a una distancia r0

del centro. ¿Dónde debería estar y cuánto debería valer una carga q’ que haga de la esfera la equipotencial φ = 0?

Dentro de la esfera, sobre la línea que va del centro a la carga realDebe ser menor que q

( )

( )

0 0 0

0 0 0

1 '0

4 '

1 '0

4 '

q qA

r R R r

q qB

r R R r

⎛ ⎞= φ = +⎜ ⎟πε − −⎝ ⎠

⎛ ⎞= φ = +⎜ ⎟πε + +⎝ ⎠

Como sabemos que hay solución nos basta con imponer el potencial en dos puntos A y B

0

'R

q qr

= −

2 2

0 0 020 0

' ó 'R R

rr r

= =r r

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Propiedades de la carga imagen y del potencial eléctrico en el sistema

En el sistema de la esfera conductora a tierra y la carga puntual q

El potencial en el interior de la esfera es nuloEn el exterior, equivale al de la carga real q más el de una carga imagen ficticia, q’ de valor

situada en la posición0

'R

q qr

= −

2

0 020

'R

r=r r ( )

( )

( )0 0 0

0

1 '

4 '

r R

q qr R

⎧ <⎪

φ = ⎛ ⎞⎨+ >⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟πε − −⎝ ⎠⎩

r

r r r r

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¿Qué ocurre si la esfera no está a tierra? Se aplica la superposición de soluciones

Supongamos una esfera a potencial V0 frente a la que se encuentra una carga puntual q, ¿cuánto vale el potencial en todo el espacio?Con una carga sola carga imagen no se puede conseguir que la esfera sea equipotencial (la única es φ = 0)

El problema se descompone en dos:

La esfera a tierra con carga

φ0

La esfera a V0 sin carga

φ1

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La esfera a potencial V0 y la carga puntual. Solución completa

φ0

( )( )

( )0

0 0 0

0

1

4

r R

q qr R

⎧ <⎪

φ = ⎛ ⎞′⎨+ >⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟′πε − −⎝ ⎠⎩

r

r r r r

La solución del primer problema ya la conocemos

( )( )

( )

( )

( )

00

1 0

0

''

4

''

4

qr RV r R R

V Rqr R r Rr r

⎧ <⎧ < ⎪ πε⎪ ⎪φ = =⎨ ⎨>⎪ ⎪ >⎩ ⎪ πε⎩

r

0 0'' 4q RV= πεφ1La solución del segundo problema también es conocida

( )( )

( )

0

0 0 0

''

4

1 ' ''

4 '

qr R

R

q q qr R

r

⎧ <⎪ πε⎪φ = ⎨ ⎛ ⎞⎪ + + >⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ πε − −⎝ ⎠⎩

r

r r r r

El potencial exterior equivale al de tres cargas puntuales, q (real), q’ y q” (imágenes)

Sumando las dos

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La carga y la esfera: fuerza sobre la carga puntual

La fuerza equivale a la de la ley de Coulomb sobre cargas puntuales

( )0 0 03 3

0 00 0

1

4

qq qq

r

⎛ ⎞′ ′− ′′= ⎜ + ⎟

⎜ ⎟πε ′−⎝ ⎠

r r rF

r r

Si la esfera está a tierra (q″=0) la fuerza es siempre atractiva (q′ es de signo opuesto a q)

El método de las imágenes nos permite calcula la fuerza sobre la carga real qLa fuerza sobre una carga puntual es

Eσ es el campo producido por las cargas de la superficie esféricaEste campo coincide con el de las dos cargas imagen

( )0q σ=F E r( ) ( ) ( )( )0 ' 0 '' 0q qq qσ= = +F E r E r E r

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( )int 0 0·d ·dqQ σ= ε = ε +∫ ∫E S E E S

Cálculo de la carga almacenada en la esfera conductora

En el caso de la carga qfrente a la esfera conductora a potencial V0, ¿cuánto vale la carga almacenada en la esfera?

Podemos hallarla por aplicación de la ley de Gauss

La carga total coincide con la suma de las cargas imagen, pero no es porque dentro de la esfera haya dos cargas q′ y q″, sino porque el campo exterior es el mismo que producirían dos cargas ficticias q′ y q″

( )( )

int 0 0

0 ' '' 0 00

·d ·d

·d 0 ' '' 4

q

q q q

Q

Rq q q RV

r

σ= ε = ε + =

= ε + + = + + = − + πε

∫ ∫

∫

E S E E S

E E E S

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Una carga puntual frente a una esfera aislada y cargada

Supongamos ahora que la esfera conductora no está a potencial constante, sino que se conoce su carga Q

La solución de este problema se reduce al anteriorSuponemos un potencial desconocido V0

Resolvemos y calculamos la carga de la esfera

0 00

' '' 4R

Q q q q RVr

= + = − + πε

Despejamos V0 00 0

1

4

q QV

r R

⎛ ⎞= +⎜ ⎟πε ⎝ ⎠

0

'R

q qr

= −

0

''R

q Q qr

= +

2

00

'R

rr

=

0 '' 0r =

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Fuerza entre una esfera cargada y una carga puntual

Si tenemos una carga qfrente a una esfera aislada con carga Q la fuerza es

( )0 0 03 3

0 00 0

' ' ''1

4 '

qq qq

r

⎛ ⎞−= ⎜ + ⎟

⎜ ⎟πε −⎝ ⎠

r r rF

r r Si Q es de signo opuesto a qla fuerza es siempre atractivaSi la esfera está descargada, la fuerza es atractivaSi Q es del mismo signo que q

Repulsiva a grandes distanciasAtractiva a pequeñas (dominan las cargas opuestas más próximas)

F

r

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El caso de varias cargas en el exterior de una esfera

Si en vez de una sola carga q frente a una esfera a tierra, tenemos una distribución de carga, aplicamos el principio de superposición.

Para cargas puntuales, se halla la imagen de cada unaPara una distribución, se halla la imagen de cada elemento dq.

Un anillo concéntrico

Un anillo interior

Una recta

Otro anillo interior (no uniforme)

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Dándole la vuelta al problema: una carga dentro de un hueco esférico

Supongamos una carga qdentro de un hueco esférico de radio R. La pared del hueco está a potencial V0

Separamos el problema en dos:

La carga imagen está fuera del hueco y es mayor que la real

0

'R

q qr

= −2

0 020

'R

r=r r

En un hueco vacío a potencial V0 el potencial es

( )0V r Rφ = <

Para un hueco a tierra el método de las imágenes da el mismo resultado:

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Y ahora todo junto: una carga dentro y otra fuera de una corteza esférica

Una corteza esférica, aislada y descargada, tiene en su interior a una carga q1 y en su exterior a una carga q2, ¿cuánto vale φ?

Primero, suponemos la esfera a potencial V, que habrá que calcular más tarde.Esto separa el problema en dos:

Una carga frente a una esfera Una carga en un hueco

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La corteza y las dos cargas: solución de los dos problemas

( ) ( )2 2 2

0 2 2

1

4

q q qr R

r

⎛ ⎞′ ′′φ = + + >⎜ ⎟⎜ ⎟′πε − −⎝ ⎠

rr r r r

2 22

Rq q

r′ = − 2 04q RV′′ = πε

El problema interior se resuelve con una carga imagen y una constante

( ) ( )1 1

0 1 1

1

4

q qV r R

⎛ ⎞′φ = + + <⎜ ⎟⎜ ⎟′πε − −⎝ ⎠

rr r r r

1 11

Rq q

r′ = −

El problema exterior se resuelve con dos cargas imagen

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La corteza y las dos cargas: cálculo de V y solución completa

Por aplicación de la ley de Gauss

0 int·dS

Q Qε = =∫ E S 1 1q q+ =

Pero el flujo se calcula empleando el campo exterior

( )2 2 20 ext 0 2 2·d ·dq q qS S

q q′ ′′ ′ ′′ε = ε + + = +∫ ∫E S E E E S

Igualando hallamos V

1 2 2 2 02

4R

q q q q RVr

′ ′′= + = − + πε 1 2

0 2

1

4

q qV

R r

⎛ ⎞= +⎜ ⎟πε ⎝ ⎠

Ya tenemos el potencial completo

( )

( ) ( )

( )

1 22 2

0 2 2

1 1 1 2

0 1 1 2

1

4

1

4

q qq qr R

r

q q q qr R

R r

⎧ ⎛ ⎞′−′+ + >⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟′πε − −⎪ ⎝ ⎠φ = ⎨

⎛ ⎞′⎪ + + + <⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟′πε − −⎝ ⎠⎩

r r r rr

r r r r

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Resumen de la presentación

El teorema de unicidad permite encontrar soluciones por analogías con problemas conocidos

El método de las imágenes es una aplicación de este teorema. Consiste en sustituir distribuciones de carga frente a conductores por otras cargas equivalentes (imágenes)

Lo aplicaremos al caso de un plano conductor y de una esfera conductora

Su aplicabilidad es limitada (planos, esferas y poco más) pero de gran importancia en la práctica

Sevilla, Enero de 2008