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EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS:
Una Introducción
Zeferino A. da Fonseca Lopes
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS:
Una Introducción
Universidad Rafael Urdaneta
Autoridades Rectorales
Dr. Jesús Esparza Bracho, Rector
Ing. Maulio Rodríguez, Vicerrector Académico
Ing. Salvador Conde, Secretario
Lic. Nancy Villarroel M.L.S. Directora de Biblioteca
2011© Fondo Editorial Biblioteca Universidad Rafael Urdaneta
Portada: Luz Elena Hernández
Universidad Rafael Urdaneta, Fondo Editorial Biblioteca
Vereda del Lago, Maracaibo, Venezuela.
ISBN: 978-980-7131-12-4
Deposito Legal: lfi2382011510516
A mis Hijas:
Marianella
Rosibel
Patricia
xi
PREFACIO
El método de los elementos finitos (mef), se ha constituido con el transcurrir de los años,
en una herramienta numérica indispensable, no sólo en el área de la ingeniería de diseño, si no
también en muchas otras áreas de las ciencias en general. Los programas de computación basados
en esta técnica numérica, son ampliamente usados en la investigación y en la solución de
innumerables problemas relacionados con la mecánica del medio continuo.
La motivación fundamental que me condujo a escribir este libro, fue la de presentar a los
estudiantes de los últimos semestres ingeniería y de los cursos de maestría, un texto sobre el mef
en el cual los conceptos básicos del mismo fuesen tratados del modo más simple posible. Así, aun
cuando no se omiten los aspectos fundamentales, desde el punto de vista matemático, asociados
al método, se hace énfasis tanto en su interpretación física como en su implementación
computacional.
El texto está dividido en seis capítulos, en los cuales se presenta el mef tal como éste se
desarrolló, históricamente, a través de los años. En el capítulo 1 se hace una breve reseña
histórica del método y se introducen los principios básicos del mismo.
En el capítulo 2, se desarrolla la formulación del mef vía el método directo. Para abordar
este capítulo, al lector le bastará tener los conocimientos básicos del álgebra matricial y la
mecánica de materiales. Los ejemplos que se resuelven al final de este capítulo, están
relacionados con el área antes mencionada, así como también con la mecánica de los fluidos y
transferencia de calor. La resolución de dichos problemas se hace en forma detallada y paso a
paso, siguiendo el mismo procedimiento sistemático de un programa computacional basado en el
mef.
En el capítulo 3, se deducen las funciones de interpolación de algunos elementos finitos
tanto unidimensionales como bidimensionales, y se resumen los aspectos relacionados con la
integración numérica.
En el capítulo 4, se estudia la formulación variacional del mef asociada a la teoría lineal
de la elasticidad. Puesto que esta formulación está íntimamente ligada al cálculo variacional, al
inicio de este capítulo se presenta, en forma resumida, las nociones fundamentales de dicho
cálculo. Al final de este capítulo se resuelven algunos problemas relacionados con la mencionada
teoría.
En el capítulo 5, se muestra la solución de algunos problemas conocidos con el nombre de
campo escalar. Las correspondientes ecuaciones de los elementos finitos, se deducen a partir del
funcional que gobierna este tipo de problemas, y se resuelven algunos problemas que
frecuentemente aparecen en la práctica, tales como los asociados a la conducción de calor, torsión
en barras prismáticas, flujo de fluidos a través de medios porosos y campos electrostáticos.
En el capítulo 6, se presenta la formulación general del mef vía residuos pesados, y se
deducen las ecuaciones de los elementos finitos correspondientes a la teoría lineal de la
elasticidad y a la mecánica de los fluidos, mediante el método de Galerkin. Al final de este
capítulo se muestra la solución numérica de algunos problemas relacionados con esta última área
de la mecánica, específicamente los asociados con la entrada y salida de flujos de fluidos
viscosos a través de boquillas planas y circulares, y también se presenta una solución al
fenómeno del hinchamiento.
Es importante destacar que el único motivo por el cual el capítulo 4 está enfocado en
exclusiva, a la teoría lineal de la elasticidad, y el capítulo 6 fundamentalmente al campo de la
mecánica de los fluidos, se debe al hecho que se quiso mantener la secuencia del texto en el orden
cronológico del desarrollo histórico del mef pero, por supuesto, las formulaciones presentadas en
ambos capítulos se pueden aplicar, en general, indistintamente a ambas ramas de la ciencia.
xii
Para facilitar la implementación computacional de las ecuaciones de los elementos finitos,
en el texto se ha privilegiado la escritura por extenso de la sintaxis matemática de dichas
ecuaciones, y no se ha hecho uso de la escritura compacta que usualmente acompaña los libros
que abordan este método.
Agradezco al Dr Agustín Torres de la empresa Investigación y Desarrollo (INDESCA),
del Complejo Petroquímico Ana María Campos del Estado Zulia, Venezuela, y al Prof. Juan
Damia, Ph.D. de la Escuela de Ingeniería Mecánica de la Universidad del Zulia, la lectura de
algunos capítulos del presente texto y sus valiosos comentarios y sugerencias. Deseo enfatizar,
sin embargo, que cualesquiera inexactitudes o errores que se encuentren en el mismo es de mi
entera y única responsabilidad.
Zeferino A. Da Fonseca Lopes
v
CONTENIDO
Prefacio xi
Capítulo I____________________________________________________________________1
Conceptos básicos del método de los elementos finitos
1.1 Introducción 1
1.2 Antecedentes históricos 2
1.3 Etapas básicas en la formulación del método de los elementos finitos 3
1.3.1 Definición del problema y su dominio 4
1.3.2 Discretización del dominio 4
1.3.3 Identificación de la(s) variable(s) 5
1.3.4 Formulación del problema 5
1.3.5 Establecimiento de los sistemas de referencia 5
1.3.6 Construcción de las funciones de aproximación de los
elementos 6
1.3.7 Determinación de las ecuaciones de los elementos 7
1.3.8 Transformación de coordenadas 8
1.3.9 Ensamblaje de las ecuaciones de los elementos 8
1.3.10 Introducción de las condiciones de contorno 8
1.3.11 Solución del sistema de ecuaciones resultante 8
1.3.12 Interpretación de los resultados 8
1.4 Ejemplo 1.1. Determinación del valor de 9
1.5 Implementación computacional del método de los elementos finitos 12
1.6 Métodos y formulaciones de las ecuaciones de los elementos 12
1.6.1 El método directo 13
1.6.2 El método variacional 13
1.6.3 El método de los residuos pesados 13
1.7 Modelos de elementos finitos en la mecánica de los sólidos 14
1.8 Modelos de elementos finitos en la mecánica de los fluidos 14
Capítulo II__________________________________________________________________ 17
Formulación del método de los elementos finitos vía el método directo
2.1 Introducción 17
2.2 Sistemas de resortes lineales 17
2.3 Elementos simples de la mecánica estructural 19
2.3.1 Elemento unidimensional sometido a carga axial 19
2.3.2 Elemento de armadura plana 20
2.3.3 Elemento de viga de eje recto 21
2.4 Formulación general del método directo 24
2.4.1 Elemento unidimensional sometido a carga axial 24
2.4.2 Elemento de viga de eje recto 27
2.4.3 Elemento bidimensional 31
2.4.4 Estado plano de tensiones 33
vi
2.4.5 Estado plano de deformaciones 39
2.5 Transformación de coordenadas 40
2.5.1 Formulación directa 40
2.5.2 Formulación vía matrices de rotación 42
2.6 Ensamblaje de las matrices de rigidez 47
2.6.1 Reglas del ensamblaje 47
2.6.2 Procedimiento general del ensamblaje 51
2.6.3 Características de la matriz ensamblada 51
2.7 Introducción de las condiciones de contorno 54
2.8 Vector de cargas nodales equivalente en el método directo 55
2.9 Ejemplos de la mecánica estructural 57
2.9.1 Ejemplo 2.1. Elemento unidimensional sometido a
carga axial 57
2.9.2 Ejemplo 2.2 Elemento de armadura plana 60
2.9.3 Ejemplo 2.3. Elemento de viga de eje recto 66
2.9.4 Ejemplo 2.4. Placa en estado plano de tensiones 71
2.10 El método directo en problemas no estructurales 75
2.10.1 Flujo de redes en tuberías 76
2.10.1.1 Ejemplo 2.5. Red de tuberías 77
2.10.2 Flujo de redes eléctricas 80
2.10.2.1 Ejemplo 2.6. Red eléctrica 80
2.10.3 Conducción de calor unidimensional 84
2.10.3.1 Ejemplo 2.7. Flujo de calor unidimensional 85
Capítulo III_________________________________________________________________91
Elementos y funciones de interpolación
3.1 Introducción 91
3.2 Elementos unidimensionales 91
3.2.1 Elementos de Lagrange 91
3.2.1.1 Coordenadas naturales 93
3.2.1.2 Ejemplo 3.1. Distribución de temperatura en un elemento
unidimensional 96
3.2.2 Elementos de Hermite 97
3.3 Elementos bidimensionales 99
3.3.1 Funciones de interpolación de elementos
bidimensionales 99
3.3.2 Funciones de interpolación del elemento triangular
lineal 100
3.3.2.1 Ejemplo 3.2. Distribución de presiones en un elemento
bidimensional 102
3.3.3 Coordenadas naturales para elementos
triangulares 104
3.3.4 Elementos triangulares de orden superior 105
3.3.5 Funciones de interpolación del elemento rectangular
lineal 107
3.3.6 Elementos rectangulares de orden superior 110
vii
3.3.7 Coordenadas naturales de los elementos
rectangulares 113
3.3.8 Elementos serendipity 115
3.3.9 Elementos isoparamétricos 121
3.3.10 Cálculo de las derivadas de las funciones de
interpolación 123
3.3.10.1 Elementos triangulares 123
3.3.10.2 Ejemplo 3.3. Cálculo de las derivadas de las funciones de
interpolación de un elemento triangular 124
3.3.10.3 Elementos rectangulares 126
3.3.10.4 Ejemplo 3.4. Cálculo de las derivadas de las funciones de
interpolación de un elemento rectangular 127
3.3.11 Integración numérica 129
3.3.11.1 Cuadratura numérica sobre un elemento triangular
patrón 130
3.3.11.2 Cuadratura numérica sobre un elemento rectangular
patrón 131
Capítulo IV________________________________________________________________133
Formulación variacional del método de los elementos finitos
4.1 Introducción. 133
4.2 El problema de brachistochrone 133
4.3 La primera variación de un funcional 135
4.4 Funciones con varias variables dependientes 139
4.5 Funciones con varias variables independientes 140
4.6 Funciones con varias variables dependientes y varias variables
Independientes 141
4.7 El método de Rayleigh-Ritz 142
4.7.1 Ejemplo de aplicación del método de Ritz 144
4.8 Relación entre el método de Ritz y el método de los
elementos finitos 145
4.9 Deducción de las ecuaciones de los elementos finitos a partir
de un principio variacional 145
4.9.1 Solución de un problema de valor de contorno mediante
un enfoque variacional 147
4.10 Formulación variacional de problemas de la mecánica
de los sólidos 151
4.10.1 Ecuaciones básicas de la mecánica de los sólidos 152
4.10.1a Ecuaciones de equilibrio externo 152
4.10.1b Ecuaciones de equilibrio interno 153
4.10.1c Relaciones deformación-desplazamiento 155
4.10.1d Ecuaciones de compatibilidad 156
4.10.1e Ecuaciones constitutivas 157
4.10.1f Condiciones de contorno 159
4.10.2 Principio de la mínima energía potencial 160
4.10.3 Elasticidad tridimensional 161
viii
4.10.3a Energía de deformación 161
4.10.3b Trabajo realizado por las fuerzas externas 164
4.10.4 Elasticidad axisimétrica 165
4.10.4a Energía de deformación 165
4.10.4b Trabajo realizado por las fuerzas externas 166
4.11 Deducción de las ecuaciones de los elementos finitos, asociadas
al principio de la mínima energía potencial 167
4.11.1 Elasticidad tridimensional 167
4.11.2 Elasticidad axisimétrica 170
4.12 Evaluación de los coeficientes de las matrices locales de rigidez y de los
vectores de cargas nodales equivalente de los elementos 172
4.12.1 Coeficientes de la matriz de rigidez 173
4.12.2 Coeficientes del vector de cargas nodales equivalente 173
4.13 Solución de problemas de la mecánica de los sólidos vía el principio
de la mínima energía potencial 175
4.13.1 Ejemplo 4.1. Barra unidimensional sometida a
carga axial 176
4.13.2 Ejemplo 4.2. Placa delgada sometida a un estado de
carga uniforme 177
4.13.3 Ejemplo 4.3. Placa delgada sometida a una
compresión uniforme 180
4.13.4 Ejemplo 4.4. Cilindro sometido a presión interna:
solución bidimensional 182
4.13.5 Ejemplo 4.5. Cilindro sometido a presión interna: solución
axisimétrica 185
Capítulo V__________________________________________________________________189
Problemas de campo escalar
5.1 Introducción 189
5.2 Problemas tridimensionales 190
5.3 Discretización en el tiempo 193
5.4 Problemas axisimétricos 193
5.5 Conducción de calor 194
5.6 Torsión de barras prismáticas 196
5.7 Flujo a través de medios porosos 197
5.8 Campos electrostáticos 199
5.9 Solución de algunos problemas de campo escalar 200
5.9.1 Ejemplo 5.1. Conducción de calor en una aleta
Trapezoidal 200
5.9.2 Ejemplo 5.2. Conducción de calor en una placa rectangular con
condiciones esenciales de contorno: caso permanente 204
5.9.3 Ejemplo 5.3. Conducción de calor en una placa bidimensional
con condiciones naturales de contorno 206
5.9.4 Ejemplo 5.4. Conducción de calor en una pared adiabática:
ix
caso no permanente 208
5.9.5 Ejemplo 5.5. Torsión de una barra prismática de sección transversal
cuadrada 210
5.9.6 Ejemplo 5.6. Torsión de una barra prismática de sección transversal
circular 212
5.9.7 Ejemplo 5.7. Torsión de una barra prismática de sección transversal
elíptica 214
5.9.8 Ejemplo 5.8. Torsión de una barra prismática de sección transversal
triangular 215
5.9.9 Ejemplo 5.9. Flujo subterráneo de agua en un acuífero
Homogéneo 217
5.9.10 Ejemplo 5.10. Zona acuífera delimitada por los ríos Boconó
y Masparro 219
5.9.11 Ejemplo 5.11. Cable coaxial rectangular 220
Capítulo VI________________________________________________________________223
Formulación del método de los elementos finitos vía residuos pesados
6.1 Introducción 223
6.2 Formulación general del método de los residuos pesados 223
6.2.1 Método de la colocación 224
6.2.2 Método de los subdominios. 225
6.2.3 Método de los mínimos cuadrados 225
6.2.4 Método de Galerkin 226
6.3 Aplicación del método de los residuos pesados a un problema
de valor de contorno 226
6.4 Aplicación del método de los residuos pesados a un problema
de conducción de calor unidimensional 229
6.5 Formulación Galerkin/(mef) de problemas de la mecánica de los sólidos:
caso tridimensional 232
6.6 Formulación Galerkin/(mef) de problemas de la mecánica de los sólidos:
caso axisimétrico 236
6.7 El método de Galerkin/(mef) aplicado a la mecánica de los fluidos.
6.7.1 Ecuaciones básicas asociadas a la mecánica de los fluidos 239
6.7.1a Ecuación de continuidad: caso
tridimensional 239
6.7.1b Ecuación de continuidad:
caso axisimétrico 240
6.7.1c Ecuaciones de movimiento: caso
tridimensional 240
6.7.1d Ecuaciones de movimiento: caso
axisimétrico 240
6.7.1e Ecuaciones constitutivas 240
6.7.1f Condiciones de contorno 242
6.7.2 Formulación Galerkin/(mef) de las ecuaciones de conservación:
modelo U-V-P
6.7.2a Caso tridimensional 243
x
6.7.2b Caso axisimétrico 248
6.7.3 Formulación Galerkin/(mef) de las ecuaciones de conservación:
modelo penalti 251
6.7.3a Caso tridimensional 251
6.7.3b Caso axisimétrico 254
6.8 Solución de problemas de la mecánica de los fluidos
mediante el método de Galerkin/(mef) 255
6.8.1 Fluidos newtonianos 256
6.8.1a Ejemplo 6.1 Fluidos de Couette y Poiseuille 256
6.8.1b Ejemplo 6.2 Flujo deslizante entre dos placas
paralelas 259
6.8.1c Ejemplo 6.3 Cojinete hidrodinámico 261
6.8.1d Ejemplo 6.4 Flujo a través de una contracción
suave (4:1) 264
6.8.1e Ejemplo 6.5 Flujo a través de una contracción
abrupta (10:1) 266
6.8.2 Fluidos no-newtonianos 267
6.8.2a.- Ejemplo 6.6. . Contracción plana abrupta: Relación 10:1 268
6.8.3 Hinchamiento de fluidos viscosos 270
6.8.3a Mecanismo del fenómeno del hinchamiento 270
6.8.3b Cálculo de la superficie libre 271
6.8.1c Ejemplo 6.7. Hinchamiento de fluidos newtonianos
a través de boquillas planas 272
6.8.1d Ejemplo 6.8. Hinchamiento de fluidos no-newtonianos
a través de boquillas planas 274
6.8.1e Ejemplo 6.9. Hinchamiento a través de boquillas
circulares 274
Bibliografía 277
Índice 283
