El Método Elementos Finitos - Universidad Agraria La Molina

El Método de los Elementos Finitos

aplicado al análisis de

vigas Euler-Bernoulli y Timoshenko

Carlos Felipe Piedra Cáceda

María del Pilar Salazar Dávila

Departamento Académico de Matemática

El Método de los Elementos Finitos aplicado al análisis de vigas

Euler-Bernoulli y Timoshenko

Carlos Felipe Piedra Cáceda

María del Pilar Salazar Dávila

Lima - Perú2020

Universidad Nacional Agraria La Molina

Departamento Academico de Matematica

El Metodo de los Elementos Finitosaplicado al analisis de vigas Euler-Bernoulli

y Timoshenko

Autor: MSc. Carlos Felipe Piedra CacedaCo-autor: MSc. Maria del Pilar Salazar Davila

Lima-Peru2020

Universidad Nacional Agraria La Molina

Departamento Academico de Matematica

El Metodo de los Elementos Finitosaplicado al analisis de vigas Euler-Bernoulli

y Timoshenko

Autor: MSc. Carlos Felipe Piedra CacedaCo-autor: MSc. Maria del Pilar Salazar Davila

Lima-Peru2020

Indice

Prologo 2

1. Preliminares 31.1. Algunos conceptos de Resistencia de Materiales . . . . . . . . . . 41.2. Metodo de los elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3. El Metodo de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4. Funciones base o funciones de forma . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5. Modelos para la deflexion de vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2. Formulacion y aplicacionde Elementos Finitos 452.1. Formulacion variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2. Existencia y unicidad de la solucion del problema variacional . . . 512.3. Formulacion via Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.4. Resultados Numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Referencias 163

Apendice A 167

Carlos Felipe Piedra Cáceda - María del Pilar Salazar Dávila

El Método de los Elementos Finitos aplicado al análisis de vigas Euler-Bernoulli y Timoshenko

Lima: 2020; 196 p.

© Carlos Felipe Piedra Cáceda© María del Pilar Salazar Dávila

© Universidad Nacional Agraria La MolinaAv. La Molina s/n La Molina

Derechos reservadosISBN: N° 978-612-4387-64-7

Primera edición digital: noviembre de 2020

Queda terminantemente prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, químico, óptico, incluyendo sistema

de fotocopiado, sin autorización escrita del autor.Todos los conceptos expresados en la presente obra son

responsabilidad de los autores.

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA

Ph.D. Enrique Ricardo Flores MariazzaRector

Ph.D. Jorge Alfonso Alarcón NovoaVicerrector Académico

Dra. Carmen Eloísa Velezmoro SánchezVicerrectora de InvestigaciónJosé Carlos Vilcapoma

Jefe del Fondo Editorial

Indice

Prologo 2

1. Preliminares 31.1. Algunos conceptos de Resistencia de Materiales . . . . . . . . . . 41.2. Metodo de los elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3. El Metodo de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4. Funciones base o funciones de forma . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5. Modelos para la deflexion de vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2. Formulacion y aplicacionde Elementos Finitos 452.1. Formulacion variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2. Existencia y unicidad de la solucion del problema variacional . . . 512.3. Formulacion via Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.4. Resultados Numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Referencias 163

Apendice A 167

PrologoEl presente libro trata especıficamente y detalladamente de la aplicacion del Meto-do de los Elementos Finitos al analisis de vigas. Esta dirigido a estudiantes tantode pregrado como de posgrado de Ingenierıa de Estructuras, Civil y Mecanica, te-niendo conocimientos previos de Resistencia de Materiales, Metodos Numericos yOctave. Ası mismo para estudiantes de Matematica Aplicada, con conocimientosbasicos de Analisis Numerico, Analisis Funcional y Octave. Ademas para docen-tes universitarios que ensenan Introduccion al Metodo de los Elementos Finitos.El estudiante de Ingenierıa de pregrado o posgrado, puede abordar el libro, di-rigiendose directamente a las secciones 2.3 y 2.4. En cambio el estudiante deMatematica Aplicada de posgrado o pregrado puede analizar el libro, en cualquierpunto que desee.Nuestro libro se concibe ante la necesidad de literatura en nuestro medio y la ne-cesidad de un libro en idioma espanol, de Elementos Finitos aplicado al analisis devigas. El libro muestra y motiva el uso de la Matematica en la Ingenierıa, en for-ma analıtica y computacional. Por lo tanto nuestra obra se diferencia de muchosotros y ademas es unica cuando se aplica y detalla Elementos Finitos al analisisde vigas.El contenido del libro se ha estructurado en dos capıtulos. En el primer capıtulo semuestra la deduccion de los modelos matematicos de la deflexion de vigas segunlas Teorıas de Euler-Bernoulli y de Timoshenko, cabe resaltar que el modelo deTimoshenko casi no es conocido por la bibliografıa existente de Ingenierıa Civily Matematica.En el segundo capıtulo nos atrevemos a presentar, ya que no hay bibliografıa ennuestro medio que lo presente; la formulacion variacional de los modelos de de-flexion de vigas Euler-Bernoulli y de Timoshenko; tambien un detalle de la de-mostracion de la existencia y unicidad de la solucion debil para los problemasvariacionales de las vigas en cuestion. Luego se obtiene la Formulacion en Ele-mentos Finitos de las vigas Euler-Bernoulli y Timoshenko; resaltamos aquı tam-bien que la formulacion vıa elementos finitos de la viga de Timoshenko, no esmuy conocida en nuestro medio. Seguidamente se aplica paso a paso el Metodode los Elementos Finitos a vigas de uno y de varios tramos y con diferentes tiposde carga y apoyo. Ası como tambien se brindan programas computacionales pa-ra calcular deflexiones y giros de vigas Euler-Bernoulli y de Timoshenko; cuyosprogramas podemos encontrarlos en el Apendice.Finalmente, nuestro inmenso agradecimiento a nuestras familias que nos moti-van en todo momento para seguir adelante y nos muestran su infinita paciencia.Ası mismo un agradecimiento especial a la Editorial de la Universidad NacionalAgraria La Molina, por la publicacion de nuestra obra.

2

CAPITULO

1

Preliminares

Leonhard Euler

Daniel Bernoulli

S. Timoshenko (1878-1972) Von Kármán (1881-1963) G. Housner (1910-)

En el presente capıtulo, se define viga, deflexion, tipos de viga y se describe lascaracterısticas de la viga. Ası como tambien tipos de carga y fuerzas que actuanen la viga. Seguidamente se describe el Metodo de los Elementos Finitos, luegose detalla el Metodo de Galerkin y se presentan las funciones base o de forma.Ademas se obtienen los modelos de deflexion de vigas de Euler-Bernoulli y deTimoshenko.

PrologoEl presente libro trata especıficamente y detalladamente de la aplicacion del Meto-do de los Elementos Finitos al analisis de vigas. Esta dirigido a estudiantes tantode pregrado como de posgrado de Ingenierıa de Estructuras, Civil y Mecanica, te-niendo conocimientos previos de Resistencia de Materiales, Metodos Numericos yOctave. Ası mismo para estudiantes de Matematica Aplicada, con conocimientosbasicos de Analisis Numerico, Analisis Funcional y Octave. Ademas para docen-tes universitarios que ensenan Introduccion al Metodo de los Elementos Finitos.El estudiante de Ingenierıa de pregrado o posgrado, puede abordar el libro, di-rigiendose directamente a las secciones 2.3 y 2.4. En cambio el estudiante deMatematica Aplicada de posgrado o pregrado puede analizar el libro, en cualquierpunto que desee.Nuestro libro se concibe ante la necesidad de literatura en nuestro medio y la ne-cesidad de un libro en idioma espanol, de Elementos Finitos aplicado al analisis devigas. El libro muestra y motiva el uso de la Matematica en la Ingenierıa, en for-ma analıtica y computacional. Por lo tanto nuestra obra se diferencia de muchosotros y ademas es unica cuando se aplica y detalla Elementos Finitos al analisisde vigas.El contenido del libro se ha estructurado en dos capıtulos. En el primer capıtulo semuestra la deduccion de los modelos matematicos de la deflexion de vigas segunlas Teorıas de Euler-Bernoulli y de Timoshenko, cabe resaltar que el modelo deTimoshenko casi no es conocido por la bibliografıa existente de Ingenierıa Civily Matematica.En el segundo capıtulo nos atrevemos a presentar, ya que no hay bibliografıa ennuestro medio que lo presente; la formulacion variacional de los modelos de de-flexion de vigas Euler-Bernoulli y de Timoshenko; tambien un detalle de la de-mostracion de la existencia y unicidad de la solucion debil para los problemasvariacionales de las vigas en cuestion. Luego se obtiene la Formulacion en Ele-mentos Finitos de las vigas Euler-Bernoulli y Timoshenko; resaltamos aquı tam-bien que la formulacion vıa elementos finitos de la viga de Timoshenko, no esmuy conocida en nuestro medio. Seguidamente se aplica paso a paso el Metodode los Elementos Finitos a vigas de uno y de varios tramos y con diferentes tiposde carga y apoyo. Ası como tambien se brindan programas computacionales pa-ra calcular deflexiones y giros de vigas Euler-Bernoulli y de Timoshenko; cuyosprogramas podemos encontrarlos en el Apendice.Finalmente, nuestro inmenso agradecimiento a nuestras familias que nos moti-van en todo momento para seguir adelante y nos muestran su infinita paciencia.Ası mismo un agradecimiento especial a la Editorial de la Universidad NacionalAgraria La Molina, por la publicacion de nuestra obra.

2

CAPITULO

1

Preliminares

Leonhard Euler

Daniel Bernoulli

S. Timoshenko (1878-1972) Von Kármán (1881-1963) G. Housner (1910-)

En el presente capıtulo, se define viga, deflexion, tipos de viga y se describe lascaracterısticas de la viga. Ası como tambien tipos de carga y fuerzas que actuanen la viga. Seguidamente se describe el Metodo de los Elementos Finitos, luegose detalla el Metodo de Galerkin y se presentan las funciones base o de forma.Ademas se obtienen los modelos de deflexion de vigas de Euler-Bernoulli y deTimoshenko.


1.1. Algunos conceptos de Resistencia de MaterialesLa Resistencia de Materiales estudia y establece las relaciones entre las cargasexteriores aplicadas y sus efectos en el interior de los solidos. Aquı las deforma-ciones por pequenas que sean, tiene gran interes. Las propiedades del material delcual se construye una estructura o una maquina afectan tanto a la estructura mismacomo a su diseno, ya que se deben satisfacer las condiciones de resistencia y derigidez.

ResistenciaCapacidad de un elemento estructural para resistir esfuerzos y fuerzas aplicadassin romperse, adquirir deformaciones permanentes o deteriorarse de algun modo.

RigidezEs una medida cualitativa de la resistencia a las deformaciones elasticas produci-das por un material, que contempla la capacidad de un elemento estructural parasoportar esfuerzos sin adquirir grandes deformaciones. Capacidad de resistenciade un cuerpo a doblarse o torcerse por la accion de fuerzas exteriores que actuansobre su superficie.

EstructuraLa estructura es un sistema compuesto de una o mas piezas (estructurales), co-nectadas entre sı y al medio exterior para formar un conjunto estable, es decir, unconjunto capaz de recibir fuerzas externas, absorberlas internamente y transmitir-las hasta sus apoyos, donde estas fuerzas externas encontraran un sistema estaticoen equilibrio.

La Ingenierıa Estructural utiliza diversos tipos de elementos estructurales, quevarıan dependiendo de la funcion y necesidad. Uno de ellos es el: Elemento debarra que es una pieza estructural donde una dimension es mucho mayor que lasdemas. Como por ejemplo las columnas y las vigas, que son indispensables en lamayorıa de las actividades de la Ingenierıa Estructural.

Analisis de fuerzas internasConsideremos un solido de forma cualquiera en el que actua una serie de fuerzas,como se representa en la Figura (1.1). En Mecanica, se determina la resultante delas fuerzas aplicadas para averiguar si el solido se encuentra o no en equilibrio.

4

Si la resultante es nula existe equilibrio estatico, condicion que, en general, ha deexistir en las estructuras.

Figura 1.1. Seccion de exploracion a − a a traves de un solido sometido a la accion devarias fuerzas

La resistencia de materiales estudia la distribucion interna de esfuerzos que pro-duce un sistema de fuerzas exteriores aplicadas. Para ello, se suele hacer un corteideal en el solido por una seccion de exploracion, buscando que fuerzas debenactuar en esta seccion para mantener el equilibrio de cuerpo libre en cada una delas dos partes en que ha quedado dividido el cuerpo. En general, el sistema defuerzas internas equivale a una fuerza y un par resultantes que, por conveniencia,se descomponen segun la normal y la tangente a la seccion, como se muestra enla Figura (1.2).

Figura 1.2. Componentes de los efectos internos en la seccion de exploracion a− a

El origen del sistema de ejes coordenados se considera siempre en el centroide,que es el punto de referencia de la seccion. Si el eje X es normal a la seccion,esta se denomina superficie o cara X . La orientacion de los ejes Z y Y en el planode la seccion se suele elegir de manera que coindidan con los ejes principales deinercia de la misma.

5

Carlos Felipe Piedra Cáceda & María del Pilar Salazar Dávila

1.1. Algunos conceptos de Resistencia de MaterialesLa Resistencia de Materiales estudia y establece las relaciones entre las cargasexteriores aplicadas y sus efectos en el interior de los solidos. Aquı las deforma-ciones por pequenas que sean, tiene gran interes. Las propiedades del material delcual se construye una estructura o una maquina afectan tanto a la estructura mismacomo a su diseno, ya que se deben satisfacer las condiciones de resistencia y derigidez.

ResistenciaCapacidad de un elemento estructural para resistir esfuerzos y fuerzas aplicadassin romperse, adquirir deformaciones permanentes o deteriorarse de algun modo.

RigidezEs una medida cualitativa de la resistencia a las deformaciones elasticas produci-das por un material, que contempla la capacidad de un elemento estructural parasoportar esfuerzos sin adquirir grandes deformaciones. Capacidad de resistenciade un cuerpo a doblarse o torcerse por la accion de fuerzas exteriores que actuansobre su superficie.

EstructuraLa estructura es un sistema compuesto de una o mas piezas (estructurales), co-nectadas entre sı y al medio exterior para formar un conjunto estable, es decir, unconjunto capaz de recibir fuerzas externas, absorberlas internamente y transmitir-las hasta sus apoyos, donde estas fuerzas externas encontraran un sistema estaticoen equilibrio.

La Ingenierıa Estructural utiliza diversos tipos de elementos estructurales, quevarıan dependiendo de la funcion y necesidad. Uno de ellos es el: Elemento debarra que es una pieza estructural donde una dimension es mucho mayor que lasdemas. Como por ejemplo las columnas y las vigas, que son indispensables en lamayorıa de las actividades de la Ingenierıa Estructural.

Analisis de fuerzas internasConsideremos un solido de forma cualquiera en el que actua una serie de fuerzas,como se representa en la Figura (1.1). En Mecanica, se determina la resultante delas fuerzas aplicadas para averiguar si el solido se encuentra o no en equilibrio.

4

Si la resultante es nula existe equilibrio estatico, condicion que, en general, ha deexistir en las estructuras.

Figura 1.1. Seccion de exploracion a − a a traves de un solido sometido a la accion devarias fuerzas

La resistencia de materiales estudia la distribucion interna de esfuerzos que pro-duce un sistema de fuerzas exteriores aplicadas. Para ello, se suele hacer un corteideal en el solido por una seccion de exploracion, buscando que fuerzas debenactuar en esta seccion para mantener el equilibrio de cuerpo libre en cada una delas dos partes en que ha quedado dividido el cuerpo. En general, el sistema defuerzas internas equivale a una fuerza y un par resultantes que, por conveniencia,se descomponen segun la normal y la tangente a la seccion, como se muestra enla Figura (1.2).

Figura 1.2. Componentes de los efectos internos en la seccion de exploracion a− a

El origen del sistema de ejes coordenados se considera siempre en el centroide,que es el punto de referencia de la seccion. Si el eje X es normal a la seccion,esta se denomina superficie o cara X . La orientacion de los ejes Z y Y en el planode la seccion se suele elegir de manera que coindidan con los ejes principales deinercia de la misma.

5


La notacion empleada en la Figura (1.2) identifica tanto la seccion de exploracioncomo la direccion de las componentes de la fuerza y del momento. El primersubindice indica la cara sobre la que actuan las componentes, y el segundo ladireccion de cada una de ellas. Por tanto, Pxy es la fuerza que actua sobre la caraX en la direccion de Y .Cada componente representa un efecto distinto de las fuerzas aplicadas sobre elsolido, en esta seccion, y recibe un nombre especial, que se indica a continuacion.

Fuerza axial Pxx: Esta componente corresponde a la accion de tirar (ode empujar) sobre la seccion. Tirar (o jalar) representa una fuerza de ex-tension o traccion que tiende a alargar el solido, mientras que empujarrepresenta una fuerza de compresion que tiende a acortarlo. Se representageneralmente por P .

Fuerzas cortantes Pxy y Pxz: Son componentes de la resistencia total aldeslizamiento de la porcion del solido a un lado de la seccion de exploracionrespecto de la otra porcion. La fuerza cortante total se suele representar porV y sus componentes, Vy y Vz determinan su direccion.

Momento torsionante Mxx: Esta componente mide la resistencia a la tor-sion del solido considerado, y se suele representar por T .

Momentos flexionantes Mxy,Mxz: Estas componentes miden la resistenciadel cuerpo a curvarse o flexionarse respecto de los ejes Y o Z, y se suelenexpresar, simplemente, por My y Mz, respectivamente.

De todo lo anterior, se deduce que el efecto interno de un sistema de fuerzasexteriores dado depende de la eleccion y orientacion de la seccion de exploracion.En particular, si las cargas actuan en un plano, que se suele considerar como elplano XY , las seis componentes de la Figura (1.2) se reducen a tres. La fuerzaaxial Pxx(oP ), la fuerza cortante Pxy(oV ) y el momento flexionante Mxz(oM).El fin que persigue la resistencia de materiales es asegurar que las estructuras pue-dan soportar los maximos efectos internos que puedan producirse por cualquiercombinacion de carga.

6

VigaCuando una viga, miembros estructurales que soportan cargas que se aplican per-pendiculares a su eje longitudinal; se somete a un esfuerzo de flexion, la viga sedeforma curvandose. A la cantidad numerica de ese desplazamiento vertical deleje longitudinal (o eje de simetrıa) se le llama deflexion. En general, las vigas sonbarras largas y rectas que tienen un area de seccion transversal constante.

Figura 1.3. Curva elastica y deflexion

La viga tiene mas de una deflexion, que por lo general, dependera: del material,tipo de carga y tipo de apoyo. En consecuencia, al comparar todas las deflexiones,se puede determinar la maxima deflexion de una viga.

El material de estudio son las vigas Euler-Bernoulli, es decir aquellas donde lassecciones planas de la viga siguen siendo perpendiculares al eje de la viga despuesde la deformacion; y las vigas de Timoshenko, donde las secciones planas de laviga no siguen perpendiculares al eje de la viga despues de la deformacion.

Ademas consideramos las vigas con las siguientes caracterısticas:

Elastica: Porque tienen la capacidad de recobrar su forma y dimensionesprimitivas cuando cesa el esfuerzo que habıa determinado su deformacion.

Lineal: Cuando la relacion entre las tensiones y deformaciones es lineal.

Homogenea: Aquellas que tiene las mismas propiedades elasticas en todoslos puntos de la viga.

Isotropica: Que tiene las mismas propiedades elasticas en todas las direc-ciones en cada punto de la viga.

7


La notacion empleada en la Figura (1.2) identifica tanto la seccion de exploracioncomo la direccion de las componentes de la fuerza y del momento. El primersubindice indica la cara sobre la que actuan las componentes, y el segundo ladireccion de cada una de ellas. Por tanto, Pxy es la fuerza que actua sobre la caraX en la direccion de Y .Cada componente representa un efecto distinto de las fuerzas aplicadas sobre elsolido, en esta seccion, y recibe un nombre especial, que se indica a continuacion.

Fuerza axial Pxx: Esta componente corresponde a la accion de tirar (ode empujar) sobre la seccion. Tirar (o jalar) representa una fuerza de ex-tension o traccion que tiende a alargar el solido, mientras que empujarrepresenta una fuerza de compresion que tiende a acortarlo. Se representageneralmente por P .

Fuerzas cortantes Pxy y Pxz: Son componentes de la resistencia total aldeslizamiento de la porcion del solido a un lado de la seccion de exploracionrespecto de la otra porcion. La fuerza cortante total se suele representar porV y sus componentes, Vy y Vz determinan su direccion.

Momento torsionante Mxx: Esta componente mide la resistencia a la tor-sion del solido considerado, y se suele representar por T .

Momentos flexionantes Mxy,Mxz: Estas componentes miden la resistenciadel cuerpo a curvarse o flexionarse respecto de los ejes Y o Z, y se suelenexpresar, simplemente, por My y Mz, respectivamente.

De todo lo anterior, se deduce que el efecto interno de un sistema de fuerzasexteriores dado depende de la eleccion y orientacion de la seccion de exploracion.En particular, si las cargas actuan en un plano, que se suele considerar como elplano XY , las seis componentes de la Figura (1.2) se reducen a tres. La fuerzaaxial Pxx(oP ), la fuerza cortante Pxy(oV ) y el momento flexionante Mxz(oM).El fin que persigue la resistencia de materiales es asegurar que las estructuras pue-dan soportar los maximos efectos internos que puedan producirse por cualquiercombinacion de carga.

6

VigaCuando una viga, miembros estructurales que soportan cargas que se aplican per-pendiculares a su eje longitudinal; se somete a un esfuerzo de flexion, la viga sedeforma curvandose. A la cantidad numerica de ese desplazamiento vertical deleje longitudinal (o eje de simetrıa) se le llama deflexion. En general, las vigas sonbarras largas y rectas que tienen un area de seccion transversal constante.

Figura 1.3. Curva elastica y deflexion

La viga tiene mas de una deflexion, que por lo general, dependera: del material,tipo de carga y tipo de apoyo. En consecuencia, al comparar todas las deflexiones,se puede determinar la maxima deflexion de una viga.

El material de estudio son las vigas Euler-Bernoulli, es decir aquellas donde lassecciones planas de la viga siguen siendo perpendiculares al eje de la viga despuesde la deformacion; y las vigas de Timoshenko, donde las secciones planas de laviga no siguen perpendiculares al eje de la viga despues de la deformacion.

Ademas consideramos las vigas con las siguientes caracterısticas:

Elastica: Porque tienen la capacidad de recobrar su forma y dimensionesprimitivas cuando cesa el esfuerzo que habıa determinado su deformacion.

Lineal: Cuando la relacion entre las tensiones y deformaciones es lineal.

Homogenea: Aquellas que tiene las mismas propiedades elasticas en todoslos puntos de la viga.

Isotropica: Que tiene las mismas propiedades elasticas en todas las direc-ciones en cada punto de la viga.

7


Clases de viga:

a). Viga simplemente Apoyada: Con apoyos solo del tipo rodillo y pasador.

Figura 1.4. Viga simplemente apoyada

b). Viga en voladizo o cantilever o mensula: Se sujeta en un solo extremo, enun empotramiento que impide el giro en dicho extremo.

Figura 1.5. Viga en voladizo

c). Viga continua: Con mas de un tramo y cualquier tipo de apoyo.

Figura 1.6. Viga continua

8

Carga:

Las cargas en una estructura son las fuerzas que actuan en ella y producen cam-bios en el estado de tensiones y deformaciones de los elementos que conformanedificacion. Los efectos de las cargas son similares a los efectuados por los asen-tamientos, efectos de temperatura, reologıa, etc.

Tipos de carga:

Carga puntual o concentrada: Es la que actua sobre una longitud tan pe-quena de la viga que puede suponerse que lo hace sobre un punto.

P

Figura 1.7. Viga con carga puntual

Carga distribuida: Es la que actua sobre una longitud finita de la viga.Puede ser uniformemente distribuida en toda su longitud o sobre una partede ella, como se muestra en la Figura(1.8).

Figura 1.8. Vigas con carga distribuida

9


Clases de viga:

a). Viga simplemente Apoyada: Con apoyos solo del tipo rodillo y pasador.

Figura 1.4. Viga simplemente apoyada

b). Viga en voladizo o cantilever o mensula: Se sujeta en un solo extremo, enun empotramiento que impide el giro en dicho extremo.

Figura 1.5. Viga en voladizo

c). Viga continua: Con mas de un tramo y cualquier tipo de apoyo.

Figura 1.6. Viga continua

8

Carga:

Las cargas en una estructura son las fuerzas que actuan en ella y producen cam-bios en el estado de tensiones y deformaciones de los elementos que conformanedificacion. Los efectos de las cargas son similares a los efectuados por los asen-tamientos, efectos de temperatura, reologıa, etc.

Tipos de carga:

Carga puntual o concentrada: Es la que actua sobre una longitud tan pe-quena de la viga que puede suponerse que lo hace sobre un punto.

P

Figura 1.7. Viga con carga puntual

Carga distribuida: Es la que actua sobre una longitud finita de la viga.Puede ser uniformemente distribuida en toda su longitud o sobre una partede ella, como se muestra en la Figura(1.8).

Figura 1.8. Vigas con carga distribuida

9


Las cargas distribuidas tambien pueden ser variables, uniformemente o no.En una carga uniformemente variable su intensidad crece o decrece en unaproporcion constante, como se muestra en la Figura(1.9).

Figura 1.9. Vigas con carga distribuida variables

Fuerza cortante y Momento flexionante

R2

x

R1 Vr

Mr

b

Vr

Mr

P

R2

L - x

c

a

a

Y

X

P

aR1 L

x

Figura 1.10. Equilibrio de las partes de una viga a la izquierda y a la derecha de unaseccion a− a

En la Figura (1.10(a)) se representa una viga simplemente apoyada, en equilibriobajo la accion de una fuerza concentrada P y de sus reacciones R1 y R2. Por elmomento, se desprecia el peso propio de la viga y solamente se tiene en cuentael efecto de la carga P . Supongamos que se corta la viga por una seccion a − auna distancia x de R1, quedando la viga dividida en dos partes. En el diagramade cuerpo libre de la porcion izquierda, Figura (1.10(b)), se observa que la fuerza

10

exterior aplicada es R1. Para mantener el equilibrio, en la seccion de corte a − adeben aparecer unas fuerzas resistentes, necesarias para satisfacer las condicionesde la estatica, fuerzas que representan la accion de la parte derecha suprimidasobre la porcion izquierda considerada. En este caso, y como la fuerza exterioraplicada es vertical, se satisface directamente la condicion ΣX = 0, siendo el ejeX horizontal. Para satisfacer la condicion ΣY = 0, las fuerzas interiores en laseccion a−a deben originar una fuerza resistente que se oponga a R1. Esta fuerzaes Vr de la Figura (1.10(b)), a la que se puede llamar fuerza resistente cortante.

R1Vr

P1 P2

Mr

B

A

Figura 1.11. Fuerzas verticales aplicadas entre R1 y la seccion

R1Vr

P1 P2

Mr

Figura 1.12. Fuerzas oblıcuas aplicadas entre R1 y la seccion

En el caso que se considera, Vr es numericamente igual a R1, pero si hubieseotras fuerzas aplicadas entre R1 y la seccion, como en las Figuras (1.11) y (1.12),la resultante no equilibrada de todas ellas (que es igual y opuesta a la fuerza re-sistente cortante), se obtendrıa como suma de sus componentes verticales. Estaresultante no equilibrada de las fuerzas exteriores es la que se define como fuer-za cortante en una seccion y se representa por V , siendo su valor la suma de lascompontes verticales de las fuerzas exteriores que actuan a uno u otro lado de laseccion. Sin embargo, es sencillo sumar las fuerzas que actuan en la porcion deviga a la izquierda de la seccion. Esta definicion y determinacion del valor de lafuerza cortante, o fuerza de corte vertical o simplemente, cortante conduce ala expresion analıtica:

V = (ΣY )izq

11


Las cargas distribuidas tambien pueden ser variables, uniformemente o no.En una carga uniformemente variable su intensidad crece o decrece en unaproporcion constante, como se muestra en la Figura(1.9).

Figura 1.9. Vigas con carga distribuida variables

Fuerza cortante y Momento flexionante

R2

x

R1 Vr

Mr

b

Vr

Mr

P

R2

L - x

c

a

a

Y

X

P

aR1 L

x

Figura 1.10. Equilibrio de las partes de una viga a la izquierda y a la derecha de unaseccion a− a

En la Figura (1.10(a)) se representa una viga simplemente apoyada, en equilibriobajo la accion de una fuerza concentrada P y de sus reacciones R1 y R2. Por elmomento, se desprecia el peso propio de la viga y solamente se tiene en cuentael efecto de la carga P . Supongamos que se corta la viga por una seccion a − auna distancia x de R1, quedando la viga dividida en dos partes. En el diagramade cuerpo libre de la porcion izquierda, Figura (1.10(b)), se observa que la fuerza

10

exterior aplicada es R1. Para mantener el equilibrio, en la seccion de corte a − adeben aparecer unas fuerzas resistentes, necesarias para satisfacer las condicionesde la estatica, fuerzas que representan la accion de la parte derecha suprimidasobre la porcion izquierda considerada. En este caso, y como la fuerza exterioraplicada es vertical, se satisface directamente la condicion ΣX = 0, siendo el ejeX horizontal. Para satisfacer la condicion ΣY = 0, las fuerzas interiores en laseccion a−a deben originar una fuerza resistente que se oponga a R1. Esta fuerzaes Vr de la Figura (1.10(b)), a la que se puede llamar fuerza resistente cortante.

R1Vr

P1 P2

Mr

B

A

Figura 1.11. Fuerzas verticales aplicadas entre R1 y la seccion

R1Vr

P1 P2

Mr

Figura 1.12. Fuerzas oblıcuas aplicadas entre R1 y la seccion

En el caso que se considera, Vr es numericamente igual a R1, pero si hubieseotras fuerzas aplicadas entre R1 y la seccion, como en las Figuras (1.11) y (1.12),la resultante no equilibrada de todas ellas (que es igual y opuesta a la fuerza re-sistente cortante), se obtendrıa como suma de sus componentes verticales. Estaresultante no equilibrada de las fuerzas exteriores es la que se define como fuer-za cortante en una seccion y se representa por V , siendo su valor la suma de lascompontes verticales de las fuerzas exteriores que actuan a uno u otro lado de laseccion. Sin embargo, es sencillo sumar las fuerzas que actuan en la porcion deviga a la izquierda de la seccion. Esta definicion y determinacion del valor de lafuerza cortante, o fuerza de corte vertical o simplemente, cortante conduce ala expresion analıtica:

V = (ΣY )izq

11


en donde el subindice izq pone de manifiesto que en la suma de las componentesverticales solo se consideran las fuerzas o cargas que actuan en la porcion de laviga a la izquierda de la seccion en estudio.

Fuerza cortante positiva Fuerza cortante negativa

Figura 1.13. Movimientos relativos que corresponden al signo de la fuerza cortante

La fuerza resistente cortante Vr producida en cualquier seccion por los esfuerzosinteriores, es siempre igual y opuesta a la fuerza cortante V . Al calcular V , lasfuerzas que actuan hacia arriba se consideran positivas. De acuerdo con estos sig-nos convencionales, en la Figura (1.13) se observa el efecto de una fuerza cortantepositiva que tiende a hacer resbalar hacia arriba la porcion izquierda de la vigarespecto de la porcion derecha, y viceversa cuando es negativa.Para completar el equilibrio en el diagrama de cuerpo libre de la Figura (1.10(b)),la suma de momentos tambien deber ser nula. En este caso R1 y Vr son iguales yde sentido contrario, por lo que producen un par M igual a R1 × x que se llamamomento flexionante, porque tiende a curvar o flexionar la barra. Los esfuerzosinteriores en la seccion a − a deben originar un par resistente igual y opuestoque, actuando como se indica en la Figura (1.10(b)), restablezca el equilibrio demomentos. En la mayorıa de casos, el diagrama de cuerpo libre tiene varias fuerzasexteriores aplicadas como se observa en la Figura (1.11) por lo que es necesariauna definicion mas completa del momento flexionante y su determinacion.

Definicion de momento flexionante

El momento flexionante es la suma de los momentos de todas las fuerzas queactuan en la porcion de viga a la izquierda o a la derecha de una seccion, respectoal eje perpendicular al plano de las fuerzas y que pasa por el centro de gravedad(centroide) de la seccion considerada. Analıticamente viene dado por:

M = (ΣM)izq = (ΣM)der

en donde el subındice izq pone en manifiesto que el momento se evalua con lasfuerzas de la izquierda y el subındice der que se refiere a la fuerza de la derecha.Por el momento, observese que si las fuerzas exteriores son perpendiculares ala viga, como en la Figura (1.11), es indiferente que el eje respecto del cual secalculan los momentos sea el que pase por A o el que pase por B o por cualquierotro punto de la seccion. Sin embargo, si las fuerzas aplicadas estan inclinadasrespecto a la viga, como en la Figura (1.12), el brazo de palanca de las mismas

12

no queda determinado mas que si se fija la posicion del eje respecto del cual sevan a tomar los momentos, en una determinada seccion. Estas fuerzas inclinadasproducen, efectos combinados axiales y de flexion.

Signos del momento flexionante

El criterio mas extendido es que el momento flexionante es positivo si la flexionque produce en la viga presenta la concavidad hacia arriba, como se observa en laFigura (1.14).

Flexión positiva Flexión negativa

Figura 1.14. Curvaturas correspondientes al signo del momento flexionante

Un criterio equivalente es que las fuerzas que actuan hacia arriba respecto decualquier seccion producen momentos flexionantes positivos y las fuerzas queactuan hacia abajo dan lugar a momentos flexionantes negativos. Consideran-do la porcion izquierda de la viga, Figura (1.10(b)), esta conveniencia equivale aque los momentos en el sentido del reloj sean positivos, como el producido por R1

pero considerando la porcion derecha, como en la Figura (1.10(c)), la convencionindica que el momento de la reaccion R2 es positivo, en sentido contrario al delreloj. Este criterio tiene la ventaja de que permite calcular el momento flexionantesin posibilidad de confusion de signos, en funcion de las fuerzas a la izquierda, o laderecha, de la seccion, segun donde sea mas comodo o facil el calculo, por habermenos fuerzas, o por ser estas mas sencillas, por ejemplo. No se necesita pensarsi el momento tiene el sentido del reloj o el contrario, y solo hay que recordar quelas fuerzas positivas, hacia arriba, producen momento flexionante positivo, ya seaque actuen a la izquierda o a la derecha de la seccion.

13


en donde el subindice izq pone de manifiesto que en la suma de las componentesverticales solo se consideran las fuerzas o cargas que actuan en la porcion de laviga a la izquierda de la seccion en estudio.

Fuerza cortante positiva Fuerza cortante negativa

Figura 1.13. Movimientos relativos que corresponden al signo de la fuerza cortante

La fuerza resistente cortante Vr producida en cualquier seccion por los esfuerzosinteriores, es siempre igual y opuesta a la fuerza cortante V . Al calcular V , lasfuerzas que actuan hacia arriba se consideran positivas. De acuerdo con estos sig-nos convencionales, en la Figura (1.13) se observa el efecto de una fuerza cortantepositiva que tiende a hacer resbalar hacia arriba la porcion izquierda de la vigarespecto de la porcion derecha, y viceversa cuando es negativa.Para completar el equilibrio en el diagrama de cuerpo libre de la Figura (1.10(b)),la suma de momentos tambien deber ser nula. En este caso R1 y Vr son iguales yde sentido contrario, por lo que producen un par M igual a R1 × x que se llamamomento flexionante, porque tiende a curvar o flexionar la barra. Los esfuerzosinteriores en la seccion a − a deben originar un par resistente igual y opuestoque, actuando como se indica en la Figura (1.10(b)), restablezca el equilibrio demomentos. En la mayorıa de casos, el diagrama de cuerpo libre tiene varias fuerzasexteriores aplicadas como se observa en la Figura (1.11) por lo que es necesariauna definicion mas completa del momento flexionante y su determinacion.

Definicion de momento flexionante

El momento flexionante es la suma de los momentos de todas las fuerzas queactuan en la porcion de viga a la izquierda o a la derecha de una seccion, respectoal eje perpendicular al plano de las fuerzas y que pasa por el centro de gravedad(centroide) de la seccion considerada. Analıticamente viene dado por:

M = (ΣM)izq = (ΣM)der

en donde el subındice izq pone en manifiesto que el momento se evalua con lasfuerzas de la izquierda y el subındice der que se refiere a la fuerza de la derecha.Por el momento, observese que si las fuerzas exteriores son perpendiculares ala viga, como en la Figura (1.11), es indiferente que el eje respecto del cual secalculan los momentos sea el que pase por A o el que pase por B o por cualquierotro punto de la seccion. Sin embargo, si las fuerzas aplicadas estan inclinadasrespecto a la viga, como en la Figura (1.12), el brazo de palanca de las mismas

12

no queda determinado mas que si se fija la posicion del eje respecto del cual sevan a tomar los momentos, en una determinada seccion. Estas fuerzas inclinadasproducen, efectos combinados axiales y de flexion.

Signos del momento flexionante

El criterio mas extendido es que el momento flexionante es positivo si la flexionque produce en la viga presenta la concavidad hacia arriba, como se observa en laFigura (1.14).

Flexión positiva Flexión negativa

Figura 1.14. Curvaturas correspondientes al signo del momento flexionante

Un criterio equivalente es que las fuerzas que actuan hacia arriba respecto decualquier seccion producen momentos flexionantes positivos y las fuerzas queactuan hacia abajo dan lugar a momentos flexionantes negativos. Consideran-do la porcion izquierda de la viga, Figura (1.10(b)), esta conveniencia equivale aque los momentos en el sentido del reloj sean positivos, como el producido por R1

pero considerando la porcion derecha, como en la Figura (1.10(c)), la convencionindica que el momento de la reaccion R2 es positivo, en sentido contrario al delreloj. Este criterio tiene la ventaja de que permite calcular el momento flexionantesin posibilidad de confusion de signos, en funcion de las fuerzas a la izquierda, o laderecha, de la seccion, segun donde sea mas comodo o facil el calculo, por habermenos fuerzas, o por ser estas mas sencillas, por ejemplo. No se necesita pensarsi el momento tiene el sentido del reloj o el contrario, y solo hay que recordar quelas fuerzas positivas, hacia arriba, producen momento flexionante positivo, ya seaque actuen a la izquierda o a la derecha de la seccion.

13


1.2. Metodo de los elementos finitosEl Metodo de los elementos finitos comprende los siguientes pasos:

1. Discretizacion del dominio:

El dominio es subdividido en pequenos dominios, estos subdominios soninterpretados como elementos. Para un dominio unidimensional, el cual esuna lınea recta, los elementos son pequenos segmentos interconectados queforman la lınea original.

2. Discretizacion de la variable:

Se selecciona una funcion de interpolacion que provee una aproximacion dela incognita en un elemento. Esta funcion generalmente esta constituida poruna combinacion de funciones base polinomiales, llamadas tambien fun-ciones forma. Una vez que el orden del polinomio se selecciono, podemosobtener una expresion para la incognita w en un elemento.

3. Discretizacion de la ecuacion:

Se discretiza la ecuacion diferencial hasta formular un sistema de ecuacio-nes algebraicas. Para este paso, se usa el metodo de Galerkin. Este procesotransforma las ecuaciones diferenciales en un sistema de ecuaciones alge-braicas, que se pueden escribir en forma matricial. Este proceso tiene tressubpasos:

3.1. Formulacion de las ecuaciones elemento: Estas se obtiene utilizandolas funciones forma locales y usando Galerkin sobre cada elemento.Con esto se obtendra la matriz de rigidez, el vector frontera, el vectorde carga uniforme y el vector de carga puntual de cada elemento.

3.2. Ensamblaje de las ecuaciones elemento: usando la matriz de conectivi-dad, se suma apropiadamente todos los sistemas elemento obteniendoun sistema de ecuaciones global. Con esto se obtendra la matriz derigidez global y el vector de fuerza global

3.3. Imposicion de las condiciones de contorno: el sistema obtenido, essingular mientras no se incorpore las condiciones de contorno, cuyaimplementacion genera un sistema viable para resolverse.

4. Solucion del sistema discreto(Implementacion computacional): El paso fi-nal en el proceso del elemento finito es resolver el sistema de ecuacionesalgebraico, como la matriz de rigidez es rala (tipo sparse), es decir la ma-yorıa de entradas son ceros; generalmente son matrices banda, el metodoque usaremos sera de gran utilidad si mejora la complejidad computacio-nal.

14

Un poquito de Analisis FuncionalEntendemos por un dominio Ω, un subconjunto de Rn medible Lebesgue coninterior no vacıo (generalmente abierto o cerrado). Sea f : Ω → R una funcionmedible-Lebesgue e integrable, cuya integral se denota por

∫

Ω

f(x)dx

donde dx denota la medida de Lebesgue.Una funcion medible, se dice que es esencialmente acotada si y solo si existeuna constante K tal que |f(x)| ≤ K, esencialmente acotada sobre Ω.El supremo esencial de tal funcion es el ınfimo de todas las cotas esenciales K,y se escribe

‖f‖∞ = supx∈Ωess|f |

El espacio de funciones:

L(Ω) = f : Ω → R, integrable segun Lebesgue

Para 1 ≤ p ≤ ∞, f ∈ L(Ω) se define

‖f‖p = ‖f‖Lp(Ω) :=

(∫

Ω

|f(x)|pdx)1/p

Si p = ∞, escribimos

‖f‖L∞(Ω) := supx∈Ωess|f(x)|

Con estas notaciones se define los conjuntos

Lp(Ω) = f : Ω → R/‖f‖Lp(Ω) < ∞

Observar que ‖.‖Lp(Ω) es solamente una semi-norma, pues muchas funciones nonulas, tendran por ejemplo, ‖f‖Lp(Ω) = 0. Entonces se puede identificar funcionesusando la siguiente relacion: en Lp(Ω) por f ∼ g si y solo si el conjunto x ∈Ω/f(x) = g(x) tiene medida nula. Ası se define el espacio de Lebesgue

Lp(Ω) = Lp(Ω)/ ∼

el espacio de funciones Lp en el cual ‖.‖Lp(Ω) es una norma, con esta identificacionse dira que todas las funciones que pertenecen a la misma clase de equivalencia serepresentan por una sola y se dira que f = g esencialmente acotada, y de ello setiene que

∫Ωf(x)dx =

∫Ωg(x)dx y en general ‖f‖Lp(Ω) = ‖g‖Lp(Ω).

15


1.2. Metodo de los elementos finitosEl Metodo de los elementos finitos comprende los siguientes pasos:

1. Discretizacion del dominio:

El dominio es subdividido en pequenos dominios, estos subdominios soninterpretados como elementos. Para un dominio unidimensional, el cual esuna lınea recta, los elementos son pequenos segmentos interconectados queforman la lınea original.

2. Discretizacion de la variable:

Se selecciona una funcion de interpolacion que provee una aproximacion dela incognita en un elemento. Esta funcion generalmente esta constituida poruna combinacion de funciones base polinomiales, llamadas tambien fun-ciones forma. Una vez que el orden del polinomio se selecciono, podemosobtener una expresion para la incognita w en un elemento.

3. Discretizacion de la ecuacion:

Se discretiza la ecuacion diferencial hasta formular un sistema de ecuacio-nes algebraicas. Para este paso, se usa el metodo de Galerkin. Este procesotransforma las ecuaciones diferenciales en un sistema de ecuaciones alge-braicas, que se pueden escribir en forma matricial. Este proceso tiene tressubpasos:

3.1. Formulacion de las ecuaciones elemento: Estas se obtiene utilizandolas funciones forma locales y usando Galerkin sobre cada elemento.Con esto se obtendra la matriz de rigidez, el vector frontera, el vectorde carga uniforme y el vector de carga puntual de cada elemento.

3.2. Ensamblaje de las ecuaciones elemento: usando la matriz de conectivi-dad, se suma apropiadamente todos los sistemas elemento obteniendoun sistema de ecuaciones global. Con esto se obtendra la matriz derigidez global y el vector de fuerza global

3.3. Imposicion de las condiciones de contorno: el sistema obtenido, essingular mientras no se incorpore las condiciones de contorno, cuyaimplementacion genera un sistema viable para resolverse.

4. Solucion del sistema discreto(Implementacion computacional): El paso fi-nal en el proceso del elemento finito es resolver el sistema de ecuacionesalgebraico, como la matriz de rigidez es rala (tipo sparse), es decir la ma-yorıa de entradas son ceros; generalmente son matrices banda, el metodoque usaremos sera de gran utilidad si mejora la complejidad computacio-nal.

14

Un poquito de Analisis FuncionalEntendemos por un dominio Ω, un subconjunto de Rn medible Lebesgue coninterior no vacıo (generalmente abierto o cerrado). Sea f : Ω → R una funcionmedible-Lebesgue e integrable, cuya integral se denota por

∫

Ω

f(x)dx

donde dx denota la medida de Lebesgue.Una funcion medible, se dice que es esencialmente acotada si y solo si existeuna constante K tal que |f(x)| ≤ K, esencialmente acotada sobre Ω.El supremo esencial de tal funcion es el ınfimo de todas las cotas esenciales K,y se escribe

‖f‖∞ = supx∈Ωess|f |

El espacio de funciones:

L(Ω) = f : Ω → R, integrable segun Lebesgue

Para 1 ≤ p ≤ ∞, f ∈ L(Ω) se define

‖f‖p = ‖f‖Lp(Ω) :=

(∫

Ω

|f(x)|pdx)1/p

Si p = ∞, escribimos

‖f‖L∞(Ω) := supx∈Ωess|f(x)|

Con estas notaciones se define los conjuntos

Lp(Ω) = f : Ω → R/‖f‖Lp(Ω) < ∞

Observar que ‖.‖Lp(Ω) es solamente una semi-norma, pues muchas funciones nonulas, tendran por ejemplo, ‖f‖Lp(Ω) = 0. Entonces se puede identificar funcionesusando la siguiente relacion: en Lp(Ω) por f ∼ g si y solo si el conjunto x ∈Ω/f(x) = g(x) tiene medida nula. Ası se define el espacio de Lebesgue

Lp(Ω) = Lp(Ω)/ ∼

el espacio de funciones Lp en el cual ‖.‖Lp(Ω) es una norma, con esta identificacionse dira que todas las funciones que pertenecen a la misma clase de equivalencia serepresentan por una sola y se dira que f = g esencialmente acotada, y de ello setiene que

∫Ωf(x)dx =

∫Ωg(x)dx y en general ‖f‖Lp(Ω) = ‖g‖Lp(Ω).

15


De esta manera, se puede pensar que Lp(Ω) es un conjunto de clases de equi-valencia de funciones respecto a la identificacion vista anteriormente. Pero en lapractica no se pensara que los elementos de Lp son clases de equivalencia de fun-ciones, mas sı como funciones definidas esencialmente acotadas.

Desigualdad de Schwarz:Si f, g ∈ L2(Ω), entonces fg ∈ L1(Ω) y ademas

‖fg‖L1(Ω) ≤ ‖f‖L2(Ω)‖g‖L2(Ω).

Si se denota en L2(Ω) el producto interno como

〈f, g〉L2(Ω) :=

∫

Ω

f(x)g(x)dx

la desigualdad de Cauchy-Schwarz se expresa como

|〈f, g〉L2(Ω)| ≤ ‖f‖L2(Ω)‖g‖L2(Ω).

Dado un dominio Ω, el conjunto de funciones localmente integrables se definepor

L1loc(Ω) := f : f ∈ L1(K), ∀ compactoK ⊂ intΩ

De acuerdo a esta notacion se tiene que el conjunto C0(Ω) esta contenido enL1loc(Ω).

Notaciones de Laurent Schwarz:Dado un vector x con componentes (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn. Un multiındice es unvector, α = (α1, α2, ..., αn) ∈ (Z+

0 )n; la longitud de α se define por

|α| =n∑

i=1

αi.

Para φ ∈ C∞, se denota por

Dαφ, Dαxφ,

(∂

∂x

)α

φ, φ(α) y ∂αxφ

a la derivada parcial usual(

∂

∂x1

)α1

...

(∂

∂xn

)αn

φ =∂|α|

∂xα11 ...∂xαn

n

φ. (♣)

16

Tambien se tienexα = xα1

1 .xα22 ...xαn

n .

Observe que si x es reemplazado formalmente por ∂∂x

=(

∂∂x1

, ..., ∂∂xn

)entonces

la notacion de xα es compatible con (§). Notar tambien que el orden de la derivadaes dado por |α|.

Soporte de una funcionSea φ : Ω ⊂ Rn → R una funcion, el soporte de una funcion es la clausura delconjunto de puntos donde φ no se anula, y se denota por sop(φ), es decir

sop(φ) = x ∈ Ω/ φ(x) = 0

Si este conjunto es compacto y esta en el interior de Ω, entonces se dice que lafuncion tiene “soporte compacto”, con respecto a Ω. Si ademas, Ω es acotado sedice que φ se anula en una vecindad de ∂Ω = Γ.

Conjunto de funciones con soporte compactoSea Ω ⊂ Rn, un dominio con Γ = ∂Ω. Se denota el conjunto de funciones C∞(Ω)con soporte compacto en Ω por D(Ω) o C∞

0 (Ω) es decir

D(Ω) = φ : Ω → R/φ es diferenciable y de soporte compacto en Ω

La derivada clasica es la que se estudia en el Calculo que es una definicionque puede ser interpretada como definida en el sentido local, pues da informacionacerca del comportamiento de f localmente cerca del punto x. Por ejemplo lasderivadas usadas en los modelos de deflexion de vigas: Euler-Bernoulli (1.50) yde Timoshenko (2.40) y (1.84).Se tiene necesidad de trabajar con funciones en el espacio de Lebesgue Lp(Ω),pero en este espacio, los comportamientos puntuales de las funciones no son tanimportantes, pues se les interpreta o se tiene informacion de su comportamientoglobal, de esto podemos entender que hay necesidad de hablar de la nocion dederivada “global” de una funcion, apropiada para los espacios de Lebesgue. Paraesto, se hace uso del concepto de dualidad de espacios, definiendo derivadas parafunciones que no son suaves, pero comparandolas con funciones suaves.

Definicion:Dada una funcion f ∈ L1

loc(Ω), se dice que f tiene derivada debil o generalizadaDαf , si y solo si existe una funcion g ∈ L1

loc(Ω) tal que∫

Ω

g(x)φ(x)dx = (−1)|α|∫

Ω

f(x)Dαφ(x)dx, ∀φ ∈ D(Ω).

17


De esta manera, se puede pensar que Lp(Ω) es un conjunto de clases de equi-valencia de funciones respecto a la identificacion vista anteriormente. Pero en lapractica no se pensara que los elementos de Lp son clases de equivalencia de fun-ciones, mas sı como funciones definidas esencialmente acotadas.

Desigualdad de Schwarz:Si f, g ∈ L2(Ω), entonces fg ∈ L1(Ω) y ademas

‖fg‖L1(Ω) ≤ ‖f‖L2(Ω)‖g‖L2(Ω).

Si se denota en L2(Ω) el producto interno como

〈f, g〉L2(Ω) :=

∫

Ω

f(x)g(x)dx

la desigualdad de Cauchy-Schwarz se expresa como

|〈f, g〉L2(Ω)| ≤ ‖f‖L2(Ω)‖g‖L2(Ω).

Dado un dominio Ω, el conjunto de funciones localmente integrables se definepor

L1loc(Ω) := f : f ∈ L1(K), ∀ compactoK ⊂ intΩ

De acuerdo a esta notacion se tiene que el conjunto C0(Ω) esta contenido enL1loc(Ω).

Notaciones de Laurent Schwarz:Dado un vector x con componentes (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn. Un multiındice es unvector, α = (α1, α2, ..., αn) ∈ (Z+

0 )n; la longitud de α se define por

|α| =n∑

i=1

αi.

Para φ ∈ C∞, se denota por

Dαφ, Dαxφ,

(∂

∂x

)α

φ, φ(α) y ∂αxφ

a la derivada parcial usual(

∂

∂x1

)α1

...

(∂

∂xn

)αn

φ =∂|α|

∂xα11 ...∂xαn

n

φ. (♣)

16

Tambien se tienexα = xα1

1 .xα22 ...xαn

n .

Observe que si x es reemplazado formalmente por ∂∂x

=(

∂∂x1

, ..., ∂∂xn

)entonces

la notacion de xα es compatible con (§). Notar tambien que el orden de la derivadaes dado por |α|.

Soporte de una funcionSea φ : Ω ⊂ Rn → R una funcion, el soporte de una funcion es la clausura delconjunto de puntos donde φ no se anula, y se denota por sop(φ), es decir

sop(φ) = x ∈ Ω/ φ(x) = 0

Si este conjunto es compacto y esta en el interior de Ω, entonces se dice que lafuncion tiene “soporte compacto”, con respecto a Ω. Si ademas, Ω es acotado sedice que φ se anula en una vecindad de ∂Ω = Γ.

Conjunto de funciones con soporte compactoSea Ω ⊂ Rn, un dominio con Γ = ∂Ω. Se denota el conjunto de funciones C∞(Ω)con soporte compacto en Ω por D(Ω) o C∞

0 (Ω) es decir

D(Ω) = φ : Ω → R/φ es diferenciable y de soporte compacto en Ω

La derivada clasica es la que se estudia en el Calculo que es una definicionque puede ser interpretada como definida en el sentido local, pues da informacionacerca del comportamiento de f localmente cerca del punto x. Por ejemplo lasderivadas usadas en los modelos de deflexion de vigas: Euler-Bernoulli (1.50) yde Timoshenko (2.40) y (1.84).Se tiene necesidad de trabajar con funciones en el espacio de Lebesgue Lp(Ω),pero en este espacio, los comportamientos puntuales de las funciones no son tanimportantes, pues se les interpreta o se tiene informacion de su comportamientoglobal, de esto podemos entender que hay necesidad de hablar de la nocion dederivada “global” de una funcion, apropiada para los espacios de Lebesgue. Paraesto, se hace uso del concepto de dualidad de espacios, definiendo derivadas parafunciones que no son suaves, pero comparandolas con funciones suaves.

Definicion:Dada una funcion f ∈ L1

loc(Ω), se dice que f tiene derivada debil o generalizadaDαf , si y solo si existe una funcion g ∈ L1

loc(Ω) tal que∫

Ω

g(x)φ(x)dx = (−1)|α|∫

Ω

f(x)Dαφ(x)dx, ∀φ ∈ D(Ω).

17


Si tal g existe, se define Dαf := g en el sentido generalizado.

Definicion: Espacio de SobolevSea Ω ⊂ Rd un conjunto abierto, k ≥ 1 un entero positivo y 1 ≤ p < ∞. Se defineW k,p(Ω) = f ∈ Lp(Ω) : Dαf existe y pertenence a Lp(Ω) ∀α, |α| ≤ kPara 1 ≤ p < ∞ la norma ‖.‖k,p es definida como:

‖f‖k,p =

∫

Ω

∑|α|≤k

|Dαf |pdx

1/p

=

∑

|α|≤k

‖Dαf‖pp

1/p

Para p = ∞, se tiene‖f‖k,∞ = max|α|≤k‖Dαf‖∞

En el caso especial p = 2 se abrevia W k,p(Ω) = Hk(Ω).

En el espacio W k,p(Ω) se usa la siguiente seminorma estandar

|f |k,p =

∫

Ω

∑|α|=k

|Dαf |pdx

1/p

=

∑

|α|=k

‖Dαf‖pp

1/p

para 1 ≤ p < ∞, y|f |k,∞ = max|α|=k‖Dαf‖∞

Teorema:Sea Ω ⊂ Rd abierto, k ≥ 1 un entero positivo. Entonces el espacio de SobolevHk(Ω) = W k,2(Ω), dotado del producto interno,

(f, g)k,2 =

∫

Ω

∑|α|≤k

DαfDαgdx =∑|α|≤k

(Dαf,Dαg)L2(Ω)

es un espacio de Hilbert.

Algunos ejemplos de espacios de Sobolev:

H1(Ω) = v ∈ L2(Ω) : v, v′ ∈ L2(Ω)

con norma:‖v‖H1(Ω) = (

∫

Ω

[v2 + (v′)2]dx)1/2,

el espacio:H1

0 (Ω) = v ∈ H1(Ω) : v(0) = v(L) = 0

18

con la misma norma.El espacio

H2(Ω) = v ∈ L2(Ω) : v′, v′′ ∈ L2(Ω)con norma:

‖v‖H2(Ω) = (

∫

Ω

[v2 + (v′)2 + (v′′)2]dx)1/2,

y el espacio:

H20 (Ω) = v ∈ H2(Ω) : v(0) = v(L) = v′(0) = v′(L) = 0

con la misma norma.

Desigualdad de Poincare:Sea v ∈ H1

0 (Ω), entonces existe una constante C > 0 tal que

‖v‖2L2(Ω) ≤ C‖∇v‖2L2(Ω).

donde: ‖∇v‖2L2(Ω) =∑d

i=1

∫Ω| ∂v∂xi

|2dx.

Como v(0) = 0 para v ∈ H10 (Ω) donde Ω = (0, 1), tenemos:

v(x) = v(0) +

∫ x

0

v′(y)dy =

∫ x

0

v′(y)dy,

|v(x)| = |∫ 1

0

v′(y)dy| ≤∫ 1

0

|v′(y)|dy

Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwartz

|v(x)| ≤∫ 1

0

|v′(y)|dy ≤(∫ 1

0

dy

) 12(∫ 1

0

(v′)2dy

) 12

|v(x)| ≤(∫ 1

0

(v′)2dy

) 12

Elevando al cuadrado la desigualdad obtenida y luego integrando sobre Ω, se tiene:∫

Ω

(v)2dx ≤∫

Ω

(v′)2dx para todo v ∈ H10 (Ω)

Por lo tanto tambien para v ∈ H20 (Ω), se tiene:

∫

Ω

(v)2dx ≤∫

Ω

(v′)2dx ≤∫

Ω

(v′′)2dx (♠)

puesto que v(0) = v′(0) = 0.

19


Si tal g existe, se define Dαf := g en el sentido generalizado.

Definicion: Espacio de SobolevSea Ω ⊂ Rd un conjunto abierto, k ≥ 1 un entero positivo y 1 ≤ p < ∞. Se defineW k,p(Ω) = f ∈ Lp(Ω) : Dαf existe y pertenence a Lp(Ω) ∀α, |α| ≤ kPara 1 ≤ p < ∞ la norma ‖.‖k,p es definida como:

‖f‖k,p =

∫

Ω

∑|α|≤k

|Dαf |pdx

1/p

=

∑

|α|≤k

‖Dαf‖pp

1/p

Para p = ∞, se tiene‖f‖k,∞ = max|α|≤k‖Dαf‖∞

En el caso especial p = 2 se abrevia W k,p(Ω) = Hk(Ω).

En el espacio W k,p(Ω) se usa la siguiente seminorma estandar

|f |k,p =

∫

Ω

∑|α|=k

|Dαf |pdx

1/p

=

∑

|α|=k

‖Dαf‖pp

1/p

para 1 ≤ p < ∞, y|f |k,∞ = max|α|=k‖Dαf‖∞

Teorema:Sea Ω ⊂ Rd abierto, k ≥ 1 un entero positivo. Entonces el espacio de SobolevHk(Ω) = W k,2(Ω), dotado del producto interno,

(f, g)k,2 =

∫

Ω

∑|α|≤k

DαfDαgdx =∑|α|≤k

(Dαf,Dαg)L2(Ω)

es un espacio de Hilbert.

Algunos ejemplos de espacios de Sobolev:

H1(Ω) = v ∈ L2(Ω) : v, v′ ∈ L2(Ω)

con norma:‖v‖H1(Ω) = (

∫

Ω

[v2 + (v′)2]dx)1/2,

el espacio:H1

0 (Ω) = v ∈ H1(Ω) : v(0) = v(L) = 0

18

con la misma norma.El espacio

H2(Ω) = v ∈ L2(Ω) : v′, v′′ ∈ L2(Ω)con norma:

‖v‖H2(Ω) = (

∫

Ω

[v2 + (v′)2 + (v′′)2]dx)1/2,

y el espacio:

H20 (Ω) = v ∈ H2(Ω) : v(0) = v(L) = v′(0) = v′(L) = 0

con la misma norma.

Desigualdad de Poincare:Sea v ∈ H1

0 (Ω), entonces existe una constante C > 0 tal que

‖v‖2L2(Ω) ≤ C‖∇v‖2L2(Ω).

donde: ‖∇v‖2L2(Ω) =∑d

i=1

∫Ω| ∂v∂xi

|2dx.

Como v(0) = 0 para v ∈ H10 (Ω) donde Ω = (0, 1), tenemos:

v(x) = v(0) +

∫ x

0

v′(y)dy =

∫ x

0

v′(y)dy,

|v(x)| = |∫ 1

0

v′(y)dy| ≤∫ 1

0

|v′(y)|dy

Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwartz

|v(x)| ≤∫ 1

0

|v′(y)|dy ≤(∫ 1

0

dy

) 12(∫ 1

0

(v′)2dy

) 12

|v(x)| ≤(∫ 1

0

(v′)2dy

) 12

Elevando al cuadrado la desigualdad obtenida y luego integrando sobre Ω, se tiene:∫

Ω

(v)2dx ≤∫

Ω

(v′)2dx para todo v ∈ H10 (Ω)

Por lo tanto tambien para v ∈ H20 (Ω), se tiene:

∫

Ω

(v)2dx ≤∫

Ω

(v′)2dx ≤∫

Ω

(v′′)2dx (♠)

puesto que v(0) = v′(0) = 0.

19


Teoremas fundamentalesTeorema 1.1. Lax-MilgramSe hace las siguientes hipotesis:

1. Se V un espacio de Hilbert dotado con un producto escalar 〈., .〉V y lanorma asociada ‖.‖V .

2. Sea a(., .) una forma bilineal V-elıptica o coerciva, si existe una constantek1 > 0 tal que a(v, v) ≥ k1‖v‖2V .

3. a(., .) es continua definida sobre V 2, si existe una constante k2 > 0 tal quea(u, v) ≤ k2‖u‖V ‖v‖V .

4. Sea L(.) una forma lineal continua sobre V , si existe una constante k3 > 0tal que L(v) ≤ k3‖v‖V .

Entonces, existe una unica u en V solucion del problema variacional:

(PV )

Encuentre u ∈ V tal quea(u, v) = L(v), para todo v ∈ V.

La demostracion del Teorema 1.1 se obtiene de [30].

Teorema 1.2. Babuska-BrezziSean V y Q espacios de Hilbert, y sean a : V × V −→ R , b : V × Q −→ R,formas bilineales acotadas.Defina K := (τ, ζ) ∈ V : b((τ, ξ), (η, v)) = 0, ∀(η, v) ∈ Q.Suponga que(i). a es V-elıptica en K, es decir existe una constante α > 0 tal que

a((τ, ξ), (τ, ξ)) ≥ α‖(τ, ξ)‖2V para todo(τ, ξ) ∈ K.

(ii). b satisface la condicion de Babuska-Brezzi:Existe una constante C > 0 tal que

sup(τ,ξ)∈V(τ,ξ)=0

b((τ, ξ), (η, υ))‖(τ, ξ)‖V

≥ C‖(η, υ)‖Q para todo (η, υ) ∈ Q.

Entonces, existe una unica solucion ((σ, γ), (φ,w)) ∈ V ×Q tal que

a((σ, γ), (τ, ξ)) + b((τ, ξ), (φ,w)) = 0 ∀(τ, ξ) ∈ V,

b((σ, γ), (η, v)) = F (η, v) ∀(η, υ) ∈ Q.

Ademas existe C > 0 tal que se satisface la siguiente dependencia contınua delos datos:

‖((σ, γ), (φ,w))‖V×Q ≤ C‖p‖L2(Ω).


20

1.3. El Metodo de GalerkinSea V un espacio de Hilbert, B(., .) : V ×V → R una forma bilineal, procedente,por ejemplo de la formulacion debil de EDO y L ∈ V ′, representando el ladoderecho de la EDO. Entonces se quiere encontrar u ∈ V tal que

B(u, v) = L(v) ∀v ∈ V (1.1)

Aquı hay una dificultad para resolver (1.1) ya que V es un espacio infinito dimen-sional, resultando imposible crear un procedimiento para encontrar la solucion. Elmetodo de Galerkin, se basa en una sucesion de subespacios de dimension finitaVn∞n=1 ⊂ V , que converge a V , tal que

∞⋃i=1

Vi = V (1.2)

donde Vn ⊂ Vn+1 ⊂ V , y dim(Vn) = Nn < ∞ para todo n = 1, 2, ... Cadasubespacio Vn es generado seleccionando un conjunto de funciones linealmenteindependientes φiNn

i=1 en V y representa al mismo tiempo un espacio de Hilbert(Hilbert es cerrado).

Teniendo definido el espacio Vn, se plantea el problema (1.1) sobre Vn en lugar deV . Esto es, se busca una funcion un ∈ Vn que satisfaga

B(un, v) = L(v) ∀v ∈ Vn (1.3)

Este problema se denomina problema discreto o aproximacion de Galerkin. Semostrara que bajo hipotesis apropiadas la sucesion de soluciones un∞n=1, un ∈V , calculadas exactamente, converge a la solucion exacta del problema (1.1).

Lema:(Unicidad) El problema variacional discreto (1.3) tiene una unica solucionun ∈ Vn.

Demostracion: La forma B(., .), restringida a Vn × Vn, obviamente, sigue siendobilineal, acotada y V -elıptica. La forma lineal L(v), restringida a Vn, sigue siendolineal y por tanto L ∈ V ′

n. Ası, las hipotesis del Teorema de Lax-Milgram se si-guen cumpliendo y por tanto existe una unica solucion de (1.3).

La esencia del metodo de Galerkin se debe a que la solucion un ∈ Vn para el pro-blema discreto, se puede encontrar explıcitamente como una combinacion linealde las funciones base de Vn con coeficientes desconocidos. Por consiguiente, para

21


Teoremas fundamentalesTeorema 1.1. Lax-MilgramSe hace las siguientes hipotesis:

1. Se V un espacio de Hilbert dotado con un producto escalar 〈., .〉V y lanorma asociada ‖.‖V .

2. Sea a(., .) una forma bilineal V-elıptica o coerciva, si existe una constantek1 > 0 tal que a(v, v) ≥ k1‖v‖2V .

3. a(., .) es continua definida sobre V 2, si existe una constante k2 > 0 tal quea(u, v) ≤ k2‖u‖V ‖v‖V .

4. Sea L(.) una forma lineal continua sobre V , si existe una constante k3 > 0tal que L(v) ≤ k3‖v‖V .

Entonces, existe una unica u en V solucion del problema variacional:

(PV )

Encuentre u ∈ V tal quea(u, v) = L(v), para todo v ∈ V.


Teorema 1.2. Babuska-BrezziSean V y Q espacios de Hilbert, y sean a : V × V −→ R , b : V × Q −→ R,formas bilineales acotadas.Defina K := (τ, ζ) ∈ V : b((τ, ξ), (η, v)) = 0, ∀(η, v) ∈ Q.Suponga que(i). a es V-elıptica en K, es decir existe una constante α > 0 tal que


(ii). b satisface la condicion de Babuska-Brezzi:Existe una constante C > 0 tal que


b((τ, ξ), (η, υ))‖(τ, ξ)‖V


Entonces, existe una unica solucion ((σ, γ), (φ,w)) ∈ V ×Q tal que

a((σ, γ), (τ, ξ)) + b((τ, ξ), (φ,w)) = 0 ∀(τ, ξ) ∈ V,

b((σ, γ), (η, v)) = F (η, v) ∀(η, υ) ∈ Q.

Ademas existe C > 0 tal que se satisface la siguiente dependencia contınua delos datos:

‖((σ, γ), (φ,w))‖V×Q ≤ C‖p‖L2(Ω).


20

1.3. El Metodo de GalerkinSea V un espacio de Hilbert, B(., .) : V ×V → R una forma bilineal, procedente,por ejemplo de la formulacion debil de EDO y L ∈ V ′, representando el ladoderecho de la EDO. Entonces se quiere encontrar u ∈ V tal que

B(u, v) = L(v) ∀v ∈ V (1.1)

Aquı hay una dificultad para resolver (1.1) ya que V es un espacio infinito dimen-sional, resultando imposible crear un procedimiento para encontrar la solucion. Elmetodo de Galerkin, se basa en una sucesion de subespacios de dimension finitaVn∞n=1 ⊂ V , que converge a V , tal que

∞⋃i=1

Vi = V (1.2)

donde Vn ⊂ Vn+1 ⊂ V , y dim(Vn) = Nn < ∞ para todo n = 1, 2, ... Cadasubespacio Vn es generado seleccionando un conjunto de funciones linealmenteindependientes φiNn

i=1 en V y representa al mismo tiempo un espacio de Hilbert(Hilbert es cerrado).

Teniendo definido el espacio Vn, se plantea el problema (1.1) sobre Vn en lugar deV . Esto es, se busca una funcion un ∈ Vn que satisfaga

B(un, v) = L(v) ∀v ∈ Vn (1.3)

Este problema se denomina problema discreto o aproximacion de Galerkin. Semostrara que bajo hipotesis apropiadas la sucesion de soluciones un∞n=1, un ∈V , calculadas exactamente, converge a la solucion exacta del problema (1.1).

Lema:(Unicidad) El problema variacional discreto (1.3) tiene una unica solucionun ∈ Vn.

Demostracion: La forma B(., .), restringida a Vn × Vn, obviamente, sigue siendobilineal, acotada y V -elıptica. La forma lineal L(v), restringida a Vn, sigue siendolineal y por tanto L ∈ V ′

n. Ası, las hipotesis del Teorema de Lax-Milgram se si-guen cumpliendo y por tanto existe una unica solucion de (1.3).

La esencia del metodo de Galerkin se debe a que la solucion un ∈ Vn para el pro-blema discreto, se puede encontrar explıcitamente como una combinacion linealde las funciones base de Vn con coeficientes desconocidos. Por consiguiente, para

21


un existen escalares aj y, para cualquier vn ∈ Vn escalares bj , tales que

un =Nn∑j=1

ajφj, v =Nn∑i=1

biφi (1.4)

Sustituyendo (1.4) en (1.3), se obtiene

B

(∑j

ajφj,∑i

biφi

)= L

(∑i

biφi

)(1.5)

Usando el hecho que B es bilineal y L lineal

∑i

bi

(∑j

B(φj, φi)aj − L(φi)

)= 0 (1.6)

o, mas concisamente

Nn∑i=1

bi

(Nn∑j=1

Kijaj − Fi

)= 0 (1.7)

dondeKij := B(φi, φj) , Fi := L(φi) (1.8)

son, respectivamente una matriz Nn × Nn (matriz de rigidez) y un vector de di-mension Nn (vector carga). Note que Kij y Fi pueden ser evaluadas puesto quelas φi son funciones conocidas y tanto B como L estan dadas explıcitamente.Como los coeficientes bi son arbitrarios, se sigue que (1.7) se cumple solo si laparte interna del parentesis es cero, lo cual reduce el problema a resolver el sistemade ecuaciones:

Nn∑j=1

Kijaj = Fi , i = 1, 2, ..., Nn (1.9)

Una vez resuelto este sistema de ecuaciones, la solucion aproximada un se puedeencontrar a partir de (1.4).

22

1.4. Funciones base o funciones de formaLas funciones base deben tener las siguientes caracterısticas:

(i) La funciones φi son continuas, esto es, φi ∈ C(Ω).

(ii) Hay un total de m funciones base, y cada funcion φi es distinta de cero soloen aquellos elementos que estan conectados por el nodo i.

(iii) φi es igual a 1 en el nodo i, e igual a cero en los otros nodos:

φi(xj) =

1, i = j;0, en los otros casos.

(iv) ϕ(e)i se define como la restriccion de φi al elemento Ωe, es decir:

ϕ(e)i = φi|Ωe ;

entonces ϕ(e)i es una funcion polinomial.

De (iii) y (iv) se deduce que la funcion ϕ(e)i define un elemento e con las carac-

terısticas

ϕ(e)i (xj) =


con los ındices i y j recorriendo todos los nodos de Ωe. Desde ahora ϕ(e)i se llamara

funcion de base local. Estas funciones son fundamentales en el Metodo de losElementos Finitos. Las funciones locales tambien se conocen con el nombre defunciones de forma. La eleccion de las funciones de base local dependen no solode la geometrıa de los elementos finitos, sino tambien, del tipo de problema quese intenta resolver.Las condiciones (i) y (iv) aseguran que las funciones ϕi pertenecen a un espaciode Hilbert. En consecuencia, se van a definir funciones base las cuales son poli-nomiales a trozos, y con la propiedad adicional que tengan soporte pequeno, esdecir, que sean distintas de cero solo en una region pequena del dominio.Recuerde que las funciones base definen un subespacio Vn de V , ası que estas fun-ciones deben ser funciones que pertenecen a un espacio de Hilbert, satisfaciendolas condiciones de frontera esenciales.

23


un existen escalares aj y, para cualquier vn ∈ Vn escalares bj , tales que

un =Nn∑j=1

ajφj, v =Nn∑i=1

biφi (1.4)

Sustituyendo (1.4) en (1.3), se obtiene

B

(∑j

ajφj,∑i

biφi

)= L

(∑i

biφi

)(1.5)

Usando el hecho que B es bilineal y L lineal

∑i

bi

(∑j

B(φj, φi)aj − L(φi)

)= 0 (1.6)

o, mas concisamente

Nn∑i=1

bi

(Nn∑j=1

Kijaj − Fi

)= 0 (1.7)

dondeKij := B(φi, φj) , Fi := L(φi) (1.8)

son, respectivamente una matriz Nn × Nn (matriz de rigidez) y un vector de di-mension Nn (vector carga). Note que Kij y Fi pueden ser evaluadas puesto quelas φi son funciones conocidas y tanto B como L estan dadas explıcitamente.Como los coeficientes bi son arbitrarios, se sigue que (1.7) se cumple solo si laparte interna del parentesis es cero, lo cual reduce el problema a resolver el sistemade ecuaciones:

Nn∑j=1

Kijaj = Fi , i = 1, 2, ..., Nn (1.9)

Una vez resuelto este sistema de ecuaciones, la solucion aproximada un se puedeencontrar a partir de (1.4).

22

1.4. Funciones base o funciones de formaLas funciones base deben tener las siguientes caracterısticas:

(i) La funciones φi son continuas, esto es, φi ∈ C(Ω).

(ii) Hay un total de m funciones base, y cada funcion φi es distinta de cero soloen aquellos elementos que estan conectados por el nodo i.

(iii) φi es igual a 1 en el nodo i, e igual a cero en los otros nodos:

φi(xj) =


(iv) ϕ(e)i se define como la restriccion de φi al elemento Ωe, es decir:

ϕ(e)i = φi|Ωe ;

entonces ϕ(e)i es una funcion polinomial.

De (iii) y (iv) se deduce que la funcion ϕ(e)i define un elemento e con las carac-

terısticas

ϕ(e)i (xj) =


con los ındices i y j recorriendo todos los nodos de Ωe. Desde ahora ϕ(e)i se llamara

funcion de base local. Estas funciones son fundamentales en el Metodo de losElementos Finitos. Las funciones locales tambien se conocen con el nombre defunciones de forma. La eleccion de las funciones de base local dependen no solode la geometrıa de los elementos finitos, sino tambien, del tipo de problema quese intenta resolver.Las condiciones (i) y (iv) aseguran que las funciones ϕi pertenecen a un espaciode Hilbert. En consecuencia, se van a definir funciones base las cuales son poli-nomiales a trozos, y con la propiedad adicional que tengan soporte pequeno, esdecir, que sean distintas de cero solo en una region pequena del dominio.Recuerde que las funciones base definen un subespacio Vn de V , ası que estas fun-ciones deben ser funciones que pertenecen a un espacio de Hilbert, satisfaciendolas condiciones de frontera esenciales.

23


1.5. Modelos para la deflexion de vigasPara construir los modelos de vigas, se considera las ecuaciones de campo exactas:equilibrio, cinematica y relacion constitutiva. Ademas las condiciones de frontera.Ası como tambien se hacen suposiciones cinematicas para reformular el problemade la deflexion de vigas en una dimension. Se toma como referencia [26,28,35].

Modelo de Euler-BernoulliSea una viga con area de seccion transversal A(x), la cual es simetrica respectoel plano xz. El eje x es dirigido en la direccion axial y la carga transversal q(x)es medida como positiva en la direccion z. Esta carga q es la fuerza por unidadde longitud, es decir que tiene la dimension [N/m]. Ademas, considere solo car-gas normales al plano xy y localizadas simetricamente respecto al plano xz. Estoimplica que la deflexion ω de la viga ocurre en el plano xz y ω es medida comopositiva en la direccion z. Todo esto se aprecia en la siguiente Figura (1.15).

Sección tranversal

Longitud Axial

Sección Tranversal A(x) z

y

q(x)

L

Figura 1.15. Configuracion y carga de la viga

Deformaciones:La deformacion se manifiesta como un cambio de distancia entre dos puntos ve-cinos del material y como un cambio de angulo entre dos lıneas que se intersecan.Antes de la deformacion, un punto en la viga es descrito por las coordenadas(x, y, z). Despues de la deformacion, este punto se ha movido para que ahora tengalas coordenadas (x+ ux, y + uy, z + uz). Los cambios ux, uy, uz causados por ladeformacion se denominan componentes de desplazamiento y estos componentesse expresan en el vector de desplazamiento u dado por

u =

ux

uy

uz

Los desplazamientos de un punto (x, y, z) estan dados por u = u(x, y, z). Paraun punto vecino (x + dx, y + dy, z + dz), los desplazamientos se convierten en

24

u + du. Usando la regla de la cadena, du se expresa como

dux = ∂ux

∂xdx+ ∂ux

∂ydy + ∂ux

∂zdz

dux = ∂uy

∂xdx+ ∂uy

∂ydy + ∂uy

∂zdz

dux = ∂uz

∂xdx+ ∂uz

∂ydy + ∂uz

∂zdz.

(1.10)

La derivada como ∂ux

∂xse llama gradiente de desplazamiento.

Antes de cualquier deformacion, considere la siguiente lınea AB paralela al ejex (Figura (1.16)). Despues de la deformacion, esta lınea toma la posicion A′B′.Refiriendose a esta Figura (1.16), la longitud |AB| de AB es

|AB| = dx (1.11)

Del mismo modo, la longitud |A′B′| de A′B′ se convierte en

|A′B′| = [(x+ dx+ ux + dux − x− ux)2 + (y + uy + duy − y − uy)

2 +

(z + uz + duz − z − uz)2]1/2

es decir|A′B′| = [(dx+ dux)

2 + (duy)2 + (duz)

2]1/2 (1.12)

Figura 1.16. Deformacion de la lınea AB en la lınea A′B′

Como la lınea AB es paralela al eje x, tenemos que dy = dz = 0, es decir (1.10)da

dux =∂ux

∂xdx ; duy =

∂uy

∂xdx ; duz =

∂uz

∂xdx

25


1.5. Modelos para la deflexion de vigasPara construir los modelos de vigas, se considera las ecuaciones de campo exactas:equilibrio, cinematica y relacion constitutiva. Ademas las condiciones de frontera.Ası como tambien se hacen suposiciones cinematicas para reformular el problemade la deflexion de vigas en una dimension. Se toma como referencia [26,28,35].

Modelo de Euler-BernoulliSea una viga con area de seccion transversal A(x), la cual es simetrica respectoel plano xz. El eje x es dirigido en la direccion axial y la carga transversal q(x)es medida como positiva en la direccion z. Esta carga q es la fuerza por unidadde longitud, es decir que tiene la dimension [N/m]. Ademas, considere solo car-gas normales al plano xy y localizadas simetricamente respecto al plano xz. Estoimplica que la deflexion ω de la viga ocurre en el plano xz y ω es medida comopositiva en la direccion z. Todo esto se aprecia en la siguiente Figura (1.15).

Sección tranversal

Longitud Axial

Sección Tranversal A(x) z

y

q(x)

L

Figura 1.15. Configuracion y carga de la viga

Deformaciones:La deformacion se manifiesta como un cambio de distancia entre dos puntos ve-cinos del material y como un cambio de angulo entre dos lıneas que se intersecan.Antes de la deformacion, un punto en la viga es descrito por las coordenadas(x, y, z). Despues de la deformacion, este punto se ha movido para que ahora tengalas coordenadas (x+ ux, y + uy, z + uz). Los cambios ux, uy, uz causados por ladeformacion se denominan componentes de desplazamiento y estos componentesse expresan en el vector de desplazamiento u dado por

u =

ux

uy

uz

Los desplazamientos de un punto (x, y, z) estan dados por u = u(x, y, z). Paraun punto vecino (x + dx, y + dy, z + dz), los desplazamientos se convierten en

24

u + du. Usando la regla de la cadena, du se expresa como

dux = ∂ux

∂xdx+ ∂ux

∂ydy + ∂ux

∂zdz

dux = ∂uy

∂xdx+ ∂uy

∂ydy + ∂uy

∂zdz

dux = ∂uz

∂xdx+ ∂uz

∂ydy + ∂uz

∂zdz.

(1.10)

La derivada como ∂ux

∂xse llama gradiente de desplazamiento.

Antes de cualquier deformacion, considere la siguiente lınea AB paralela al ejex (Figura (1.16)). Despues de la deformacion, esta lınea toma la posicion A′B′.Refiriendose a esta Figura (1.16), la longitud |AB| de AB es

|AB| = dx (1.11)

Del mismo modo, la longitud |A′B′| de A′B′ se convierte en

|A′B′| = [(x+ dx+ ux + dux − x− ux)2 + (y + uy + duy − y − uy)

2 +

(z + uz + duz − z − uz)2]1/2

es decir|A′B′| = [(dx+ dux)

2 + (duy)2 + (duz)

2]1/2 (1.12)

Figura 1.16. Deformacion de la lınea AB en la lınea A′B′

Como la lınea AB es paralela al eje x, tenemos que dy = dz = 0, es decir (1.10)da

dux =∂ux

∂xdx ; duy =

∂uy

∂xdx ; duz =

∂uz

∂xdx

25


El uso de estas expresiones en (1.12) se obtiene

|A′B′| = dx

[(1 +

∂ux

∂x

)2

+

(∂uy

∂x

)2

+

(∂uz

∂x

)2]1/2

(1.13)

Esta expresion es exacta. Sin embargo, en la mayorıa de las aplicaciones de in-genierıa, los gradientes de desplazamiento son pequenos en comparacion con launidad, y, como ejemplos, se tiene

∣∣∣∣∂ux

∂x

∣∣∣∣ 1 ;

∣∣∣∣∂uy

∂x

∣∣∣∣ 1 ;

∣∣∣∣∂uz

∂x

∣∣∣∣ 1 (1.14)

El supuesto de pequenos gradientes de desplazamiento implica que

(∂uy

∂x

)2

+

(∂uz

∂x

)2

(1 +

∂ux

∂x

)2

lo que simplifica (1.13) en

|A′B′| = dx

(1 +

∂ux

∂x

)(1.15)

donde 1 + ∂ux

∂xes positivo (1.14). Ahora se esta en condiciones de calcular el

alargamiento relativo de la lınea infinitesimal AB. De (1.11) y (1.15) se deduceque

|A′B′| − |AB||AB|

=∂ux

∂x(1.16)

Esta relacion (1.16) se obtuvo para una lınea paralela al eje x y, de acuerdo con laterminologıa habitual, se denota este alargamiento relativo como la deformacionnormal εxx en la direccion x, es decir, εxx = ∂ux

∂x. Tratando las lıneas paralelas

a los ejes y y z de la misma manera, se obtienen las siguientes deformacionesnormales:

εxx =∂ux

∂x, εyy =

∂uy

∂y, εzz =

∂uz

∂z. (1.17)

A continuacion se calcula los cambios de angulos. Antes de la deformacion, seconsideran dos lıneas ortogonales AB y AC paralelas a los ejes de coordenadas(Figura (1.17)). Debido a la deformacion, los puntos A, B y C se mueven a A′,B′ y C ′, respectivamente, como se muestra en la Figura (1.17).Como solo interesan los cambios de angulos, y como se suponen gradientes dedesplazamiento pequenos, podemos ignorar los cambios en la longitud de AB y

26

Figura 1.17. Distorsion del angulo recto CAB por deformacion

AC, es decir, |A′B′| = |AB| e |A′C ′| = |AC|. Por lo tanto, la Figura (1.17)proporciona que

Senθ1 =duy

|A′B′|=

duy

dx, Senθ2 =

dux

|A′C ′|=

dux

dy(1.18)

A lo largo de AB, dy = dz = 0 se mantiene, es decir, (1.10) produce duy =

(∂uy

∂x)dx. Del mismo modo, a lo largo de AC, dx = dz = 0 se cumple, lo que

implica que dux = (∂ux

∂y)dy. El uso de estas expresiones en (1.18) da

θ1 =∂uy

∂x, θ2 =

∂ux

∂y

donde el Senθ ≈ θ para pequenos angulos. De ello se deduce que el anguloortogonal CAB ha disminuido debido a la deformacion en la cantidad

θ1 + θ2 =∂uy

∂x+

∂ux

∂y(1.19)

Esta cantidad se llama la deformacion de cortante γxy donde los subındices indicanque las lıneas AB y AC son paralelas a los ejes x y y, respectivamente. Tratandolos cambios de angulos entre las otras direcciones de coordenadas de la mismamanera, se obtienen las siguientes deformaciones cortantes:

γxy =∂ux

∂y+

∂uy

∂x, γxz =

∂ux

∂z+

∂uz

∂x, γyz =

∂uy

∂z+

∂uz

∂y. (1.20)

27


El uso de estas expresiones en (1.12) se obtiene

|A′B′| = dx

[(1 +

∂ux

∂x

)2

+

(∂uy

∂x

)2

+

(∂uz

∂x

)2]1/2

(1.13)

Esta expresion es exacta. Sin embargo, en la mayorıa de las aplicaciones de in-genierıa, los gradientes de desplazamiento son pequenos en comparacion con launidad, y, como ejemplos, se tiene

∣∣∣∣∂ux

∂x

∣∣∣∣ 1 ;

∣∣∣∣∂uy

∂x

∣∣∣∣ 1 ;

∣∣∣∣∂uz

∂x

∣∣∣∣ 1 (1.14)

El supuesto de pequenos gradientes de desplazamiento implica que

(∂uy

∂x

)2

+

(∂uz

∂x

)2

(1 +

∂ux

∂x

)2

lo que simplifica (1.13) en

|A′B′| = dx

(1 +

∂ux

∂x

)(1.15)

donde 1 + ∂ux

∂xes positivo (1.14). Ahora se esta en condiciones de calcular el

alargamiento relativo de la lınea infinitesimal AB. De (1.11) y (1.15) se deduceque

|A′B′| − |AB||AB|

=∂ux

∂x(1.16)

Esta relacion (1.16) se obtuvo para una lınea paralela al eje x y, de acuerdo con laterminologıa habitual, se denota este alargamiento relativo como la deformacionnormal εxx en la direccion x, es decir, εxx = ∂ux

∂x. Tratando las lıneas paralelas

a los ejes y y z de la misma manera, se obtienen las siguientes deformacionesnormales:

εxx =∂ux

∂x, εyy =

∂uy

∂y, εzz =

∂uz

∂z. (1.17)

A continuacion se calcula los cambios de angulos. Antes de la deformacion, seconsideran dos lıneas ortogonales AB y AC paralelas a los ejes de coordenadas(Figura (1.17)). Debido a la deformacion, los puntos A, B y C se mueven a A′,B′ y C ′, respectivamente, como se muestra en la Figura (1.17).Como solo interesan los cambios de angulos, y como se suponen gradientes dedesplazamiento pequenos, podemos ignorar los cambios en la longitud de AB y

26

Figura 1.17. Distorsion del angulo recto CAB por deformacion

AC, es decir, |A′B′| = |AB| e |A′C ′| = |AC|. Por lo tanto, la Figura (1.17)proporciona que

Senθ1 =duy

|A′B′|=

duy

dx, Senθ2 =

dux

|A′C ′|=

dux

dy(1.18)

A lo largo de AB, dy = dz = 0 se mantiene, es decir, (1.10) produce duy =

(∂uy

∂x)dx. Del mismo modo, a lo largo de AC, dx = dz = 0 se cumple, lo que

implica que dux = (∂ux

∂y)dy. El uso de estas expresiones en (1.18) da

θ1 =∂uy

∂x, θ2 =

∂ux

∂y

donde el Senθ ≈ θ para pequenos angulos. De ello se deduce que el anguloortogonal CAB ha disminuido debido a la deformacion en la cantidad

θ1 + θ2 =∂uy

∂x+

∂ux

∂y(1.19)

Esta cantidad se llama la deformacion de cortante γxy donde los subındices indicanque las lıneas AB y AC son paralelas a los ejes x y y, respectivamente. Tratandolos cambios de angulos entre las otras direcciones de coordenadas de la mismamanera, se obtienen las siguientes deformaciones cortantes:

γxy =∂ux

∂y+

∂uy

∂x, γxz =

∂ux

∂z+

∂uz

∂x, γyz =

∂uy

∂z+

∂uz

∂y. (1.20)

27


a). Condiciones de equilibrioPara una seccion normal al eje x, se tiene los componentes de esfuerzoσxx, σxy y σxz. Debido a la simetrıa y carga respecto del plano xz, se puederestringir y considerar el efecto de los componentes de esfuerzo σxx y σxz

por el cual se toma:σxx = 0 y σxz = 0. (1.21)

Con estas componentes de esfuerzo definimos un momento flexionante My una fuerza cortante vertical V como:

M =

∫

A

zσxxdA ; V =

∫

A

σxzdA. (1.22)

donde M es el momento respecto del eje y. De acuerdo con las direccionespositivas para σxx y σxz (Figura 1.18), las direcciones positivas de M y Vson mostradas en la Figura (1.19).

xz

σ

xyσ

xxσ

z

x

y

yzσ

yyσ

yxσ

zzσ

zxσ

zyσ

Figura 1.18. Componentes de esfuerzo

Figura 1.19. Direcciones positivas para el momento flexionante M y fuerza cortante V

Se observa que la componente de esfuerzo σxx resulta una fuerza normal Nen la direccion x dada por:

N =

∫

A

σxxdA. (1.23)

28

Como no hay fuerzas actuando en la direccion x (solo considere cargasnormales al plano xy), el equilibrio horizontal implica que:

N = 0. (1.24)

Para una parte infinitamente pequena de la viga, las fuerzas y momentoscausados por σxx y σxz son mostradas en la Figura (1.20). El equilibriovertical requiere que:

qdx− V + (V + dV ) = 0

es decir:dV

dx= −q. (1.25)

Figura 1.20. Una parte infinitamente pequena de la viga

Evaluando el momento en equilibrio, por ejemplo al extremo izquierdo dela parte infinitamente pequena mostrada en la Figura (1.20), se tiene:

M + qdxdx

2+ (V + dV )dx− (M + dM) = 0

es decir:1

2qdx+ V + dV − dM

dx= 0

como dx y dV son cantidades infinitesimales,se concluye que:

dM

dx= V. (1.26)

29


a). Condiciones de equilibrioPara una seccion normal al eje x, se tiene los componentes de esfuerzoσxx, σxy y σxz. Debido a la simetrıa y carga respecto del plano xz, se puederestringir y considerar el efecto de los componentes de esfuerzo σxx y σxz

por el cual se toma:σxx = 0 y σxz = 0. (1.21)

Con estas componentes de esfuerzo definimos un momento flexionante My una fuerza cortante vertical V como:

M =

∫

A

zσxxdA ; V =

∫

A

σxzdA. (1.22)

donde M es el momento respecto del eje y. De acuerdo con las direccionespositivas para σxx y σxz (Figura 1.18), las direcciones positivas de M y Vson mostradas en la Figura (1.19).

xz

σ

xyσ

xxσ

z

x

y

yzσ

yyσ

yxσ

zzσ

zxσ

zyσ

Figura 1.18. Componentes de esfuerzo

Figura 1.19. Direcciones positivas para el momento flexionante M y fuerza cortante V

Se observa que la componente de esfuerzo σxx resulta una fuerza normal Nen la direccion x dada por:

N =

∫

A

σxxdA. (1.23)

28

Como no hay fuerzas actuando en la direccion x (solo considere cargasnormales al plano xy), el equilibrio horizontal implica que:

N = 0. (1.24)

Para una parte infinitamente pequena de la viga, las fuerzas y momentoscausados por σxx y σxz son mostradas en la Figura (1.20). El equilibriovertical requiere que:

qdx− V + (V + dV ) = 0

es decir:dV

dx= −q. (1.25)

Figura 1.20. Una parte infinitamente pequena de la viga

Evaluando el momento en equilibrio, por ejemplo al extremo izquierdo dela parte infinitamente pequena mostrada en la Figura (1.20), se tiene:

M + qdxdx

2+ (V + dV )dx− (M + dM) = 0

es decir:1

2qdx+ V + dV − dM

dx= 0

como dx y dV son cantidades infinitesimales,se concluye que:

dM

dx= V. (1.26)

29


b). Relaciones cinematicasLa caracterıstica esencial de la teorıa de vigas es que se hacen ciertas supo-siciones cinematicas.

La suposicion cinematica fundamental para ingenerıa en teorıa de vigas, lacual es respaldada por Euler y Bernoulli, es:

Las secciones transversales normales al eje de la viga permanecenplanas y normales al eje de la viga despues de la deformacion.

Para investigar las consecuencias de las suposiciones de Euler-Bernoulli,consideremos una seccion plana normal para el eje x antes de la deforma-cion (Figura (1.21)).

Figura 1.21. Deformacion de la Viga de Euler-Bernoulli

Los dos puntos P y Q son localizados sobre este plano y el punto Q eslocalizado sobre el eje x. Debido a la deformacion, los puntos P y Q sedesplazan a las posiciones P ′ y Q′, siguiendo con las suposiciones de Ber-noulli, el plano definido por P ′Q′ es normal al eje de deformacion de laviga. Puesto que P es localizado debajo del eje x, la distancia (una cantidadpositiva) entre P y Q y entre P ′ y Q′ es dada por −z. En la Figura (1.21) setiene:

La curva elastica es muy llana y su pendiente en cualquier punto tambienes muy pequena. El valor de esta pendiente, tan θ = dw

dx, puede hacerse sin

error apreciable, igual a θ, es decir θ = dwdx

.

Longitud de arco = r · θ

30

m

PP ′ = −zdw

dx.

Luego los desplazamientos ux y uz en las direcciones x y z del punto P sondados por:

ux = u0 − zdw

dx; uz = w (1.27)

donde u0 es el desplazamiento en la direccion x del punto Q. Ademas asu-mir que:

uy = 0 (1.28)

y que u0 y la deflexion w solo depende de x, es decir:

u0 = u0(x) ; w = w(x). (1.29)

Ahora con (1.27) y (1.28), en (1.17) y (1.20), las deformaciones llegan aser:

εxx =du0

dx− z

d2w

dx2, (1.30)

εyy = εzz = γxy = γyz = 0 (1.31)

es decir solo las componentes de deformacion: normal εxx y cortante γxzson diferente de cero.

c). Relacion constitutiva

Asumir elasticidad lineal en terminos de la ley de Hooke para materialesisotropicos. De la Ley de Hooke generalizada:

σ = Dε (1.32)

donde: D es la matriz constitutiva. Si E es el modulo de Young, v es la

31


b). Relaciones cinematicasLa caracterıstica esencial de la teorıa de vigas es que se hacen ciertas supo-siciones cinematicas.

La suposicion cinematica fundamental para ingenerıa en teorıa de vigas, lacual es respaldada por Euler y Bernoulli, es:

Las secciones transversales normales al eje de la viga permanecenplanas y normales al eje de la viga despues de la deformacion.

Para investigar las consecuencias de las suposiciones de Euler-Bernoulli,consideremos una seccion plana normal para el eje x antes de la deforma-cion (Figura (1.21)).

Figura 1.21. Deformacion de la Viga de Euler-Bernoulli

Los dos puntos P y Q son localizados sobre este plano y el punto Q eslocalizado sobre el eje x. Debido a la deformacion, los puntos P y Q sedesplazan a las posiciones P ′ y Q′, siguiendo con las suposiciones de Ber-noulli, el plano definido por P ′Q′ es normal al eje de deformacion de laviga. Puesto que P es localizado debajo del eje x, la distancia (una cantidadpositiva) entre P y Q y entre P ′ y Q′ es dada por −z. En la Figura (1.21) setiene:

La curva elastica es muy llana y su pendiente en cualquier punto tambienes muy pequena. El valor de esta pendiente, tan θ = dw

dx, puede hacerse sin

error apreciable, igual a θ, es decir θ = dwdx

.

Longitud de arco = r · θ

30

m

PP ′ = −zdw

dx.

Luego los desplazamientos ux y uz en las direcciones x y z del punto P sondados por:

ux = u0 − zdw

dx; uz = w (1.27)

donde u0 es el desplazamiento en la direccion x del punto Q. Ademas asu-mir que:

uy = 0 (1.28)

y que u0 y la deflexion w solo depende de x, es decir:

u0 = u0(x) ; w = w(x). (1.29)

Ahora con (1.27) y (1.28), en (1.17) y (1.20), las deformaciones llegan aser:

εxx =du0

dx− z

d2w

dx2, (1.30)

εyy = εzz = γxy = γyz = 0 (1.31)

es decir solo las componentes de deformacion: normal εxx y cortante γxzson diferente de cero.

c). Relacion constitutiva

Asumir elasticidad lineal en terminos de la ley de Hooke para materialesisotropicos. De la Ley de Hooke generalizada:

σ = Dε (1.32)

donde: D es la matriz constitutiva. Si E es el modulo de Young, v es la

31


razon de Poisson, entonces la ecuacion (1.32) en forma matricial es:

σxxσyyσzzσxyσxzσyz

=

E

(1 + v)(1− 2v)

1 − v v v 0 0 0v 1 − v v 0 0 0v v 1 − v 0 0 0

0 0 0 12(1 − 2v) 0 0

0 0 0 0 12(1 − 2v) 0

0 0 0 0 0 12(1 − 2v)

εxxεyyεzzγxyγxzγyz

(1.33)

De acuerdo con (1.30) y (1.31) solo las deformaciones, normal εxx y cor-tante γxz, son diferente de cero. Pero para la viga de Euler-Bernoulli no haygiro de la seccion transversal en la direccion de z, es decir, la deformacioncortante γxz igual a cero. Entonces (1.33), ahora es:

σxx

σyy

σzz

=

Eεxx(1 + v)(1− 2v)

1− vvv

. (1.34)

yσxy = σxz = σyz = 0. (1.35)

Una comparacion de (1.35) con (1.21) revela una contradiccion, puesto que(1.35) predice que el esfuerzo cortante σxz es igual a cero aunque en realidadesto debe ser diferente de cero para tener una fuerza cortante V diferente decero. Por lo tanto se sostiene y acepta la contradiccion σxz = 0 y γxz = 0. 1

Como el material es isotropico, es decir: −1 < v < 1/2, en lugar de lasecuaciones (1.34), se asume un estado de esfuerzo uniaxial; es decir, se tienela relacion:

σxx = Eεxx . (1.36)

d). Seleccion de la posicion del eje xReemplazando (1.30) en (1.36) obtiene:

σxx = Eduo

dx− Ez

d2w

dx2(1.37)

1Esta bondad de inconsistencia es tıpico de simplificacion en la teorıa de ingenierıa la cualintenta reformular problemas que estan actualmente en tres dimensiones en una forma simple.

32

y usando (1.22), el momento flexionante M es determinado por:

M =du0

dx

∫

A

EzdA− d2w

dx2

∫

A

Ez2dA (1.38)

donde uo y w solo depende de la coordenada x (observe 1.29). Hasta ahorano se tiene especificado la localizacion del eje x - se tiene precisamenteque el eje x esta en la direccion axial de la viga. Para obtener la posibleformulacion simple, ahora elija la posicion vertical al eje x de modo que:

∫

A

EzdA = 0. (1.39)

Si E es constante dentro de la seccion transversal, este requerimiento im-plica que: ∫

A

zdA = 0

es decir el eje x puede ser posicionado en el centroide de la seccion trans-versal. La ecuacion (1.39) puede por lo tanto ser interpretado de manera queel eje x sea localizado por el centroide de la seccion transversal cargada conel parametro del material E. Usando (1.39), (1.38) llega a ser:

M = −d2w

dx2

∫

A

Ez2dA. (1.40)

Si E es constante sobre la seccion transversal, (1.40) se reduce a:

M = −EId2w

dx2; I =

∫

A

z2dA (1.41)

donde I es el momento de inercia respecto al eje y. El termino EI esllamado la rigidez a la flexion y si E varıa a traves de la seccion transversalse puede por conveniencia introducir la notacion:

EI =

∫

A

Ez2dA (1.42)

donde EI es otra vez la rigidez a la flexion. Con esta notacion en (1.40) sepuede escribir:

M = −EId2w

dx2(1.43)

33


razon de Poisson, entonces la ecuacion (1.32) en forma matricial es:

σxxσyyσzzσxyσxzσyz

=

E

(1 + v)(1− 2v)

1 − v v v 0 0 0v 1 − v v 0 0 0v v 1 − v 0 0 0

0 0 0 12(1 − 2v) 0 0

0 0 0 0 12(1 − 2v) 0

0 0 0 0 0 12(1 − 2v)

εxxεyyεzzγxyγxzγyz

(1.33)

De acuerdo con (1.30) y (1.31) solo las deformaciones, normal εxx y cor-tante γxz, son diferente de cero. Pero para la viga de Euler-Bernoulli no haygiro de la seccion transversal en la direccion de z, es decir, la deformacioncortante γxz igual a cero. Entonces (1.33), ahora es:

σxx

σyy

σzz

=

Eεxx(1 + v)(1− 2v)

1− vvv

. (1.34)

yσxy = σxz = σyz = 0. (1.35)

Una comparacion de (1.35) con (1.21) revela una contradiccion, puesto que(1.35) predice que el esfuerzo cortante σxz es igual a cero aunque en realidadesto debe ser diferente de cero para tener una fuerza cortante V diferente decero. Por lo tanto se sostiene y acepta la contradiccion σxz = 0 y γxz = 0. 1

Como el material es isotropico, es decir: −1 < v < 1/2, en lugar de lasecuaciones (1.34), se asume un estado de esfuerzo uniaxial; es decir, se tienela relacion:

σxx = Eεxx . (1.36)

d). Seleccion de la posicion del eje xReemplazando (1.30) en (1.36) obtiene:

σxx = Eduo

dx− Ez

d2w

dx2(1.37)

1Esta bondad de inconsistencia es tıpico de simplificacion en la teorıa de ingenierıa la cualintenta reformular problemas que estan actualmente en tres dimensiones en una forma simple.

32

y usando (1.22), el momento flexionante M es determinado por:

M =du0

dx

∫

A

EzdA− d2w

dx2

∫

A

Ez2dA (1.38)

donde uo y w solo depende de la coordenada x (observe 1.29). Hasta ahorano se tiene especificado la localizacion del eje x - se tiene precisamenteque el eje x esta en la direccion axial de la viga. Para obtener la posibleformulacion simple, ahora elija la posicion vertical al eje x de modo que:

∫

A

EzdA = 0. (1.39)

Si E es constante dentro de la seccion transversal, este requerimiento im-plica que: ∫

A

zdA = 0

es decir el eje x puede ser posicionado en el centroide de la seccion trans-versal. La ecuacion (1.39) puede por lo tanto ser interpretado de manera queel eje x sea localizado por el centroide de la seccion transversal cargada conel parametro del material E. Usando (1.39), (1.38) llega a ser:

M = −d2w

dx2

∫

A

Ez2dA. (1.40)

Si E es constante sobre la seccion transversal, (1.40) se reduce a:

M = −EId2w

dx2; I =

∫

A

z2dA (1.41)

donde I es el momento de inercia respecto al eje y. El termino EI esllamado la rigidez a la flexion y si E varıa a traves de la seccion transversalse puede por conveniencia introducir la notacion:

EI =

∫

A

Ez2dA (1.42)

donde EI es otra vez la rigidez a la flexion. Con esta notacion en (1.40) sepuede escribir:

M = −EId2w

dx2(1.43)

33


es decir es posible expresar el momento M en terminos de la deflexion w.

La fuerza normal N es dada por (1.23) el cual con (1.37) y (1.39) llega aser:

N =du0

dx

∫

A

EdA. (1.44)

En la presente situacion se asumio que N = 0 en la Ecuacion (1.24). Laecuacion (1.44) entonces da:

du0

dx= 0 (1.45)

es decir no hay elongacion del eje x. Sin embargo, igual en la situaciondonde la fuerza normal N = 0, se obseva de (1.43) y (1.44) que, puesto queel momento flexionante M es regulado por el termino d2w

dx2 , la fuerza nomales determinada por la cantidad du0

dx.

Por tanto se concluye que el fenomeno de flexion y elongacion de la vigaes un fenomeno independiente, es decir, ellos pueden ser tratados separada-mente.

Se recalca que estas ventajas independientes es un resultado de seleccionarla posicion vertical al eje x como dado por (1.39).

e). Ecuaciones diferenciales para la teorıa de vigas de BernoulliEn la presente situacion donde la fuerza normal N es cero, (1.45) es valido.Ası (1.30) y (1.37) se reduce a:

εxx = −zd2w

dx2; σxx = −zE

d2w

dx2(1.46)

es decir la deformacion axial (o normal) y el esfuerzo axial (o normal) soncero a lo largo del eje x. El eje neutral es en general definido como aquelque no ocurre esfuerzo axial a lo largo del eje. Con la localizacion del ejex definido por (1.39) y con la fuerza normal N = 0, el eje llega a ser ejeneutral.

Ahora para evaluar el termino d2wdx2 presentado en (1.43) y (1.46), se tiene la

curvatura k de la curva w(x) es definido por:

k =d2wdx2

[1 + (dwdx)2]3/2

.

34

Como la pendiente dwdx

es asumida muy pequena, se obtiene aproximada-mente, que:

k =d2w

dx2(1.47)

es decir se puede escribir (1.43) como:

M = −EIk. (1.48)

Se obtiene de (1.43) que esto es posible para expresar el momento flexio-nante M en terminos de la deflexion w.

Sin embargo, el esfuerzo cortante σxz no puede ser determinado usando larelacion constitutiva puesto que la deformacion cortante γxz es asumido co-mo cero. Consecuentemente, la fuerza cortante V no puede ser expresadapor cantidades cinematicas. El presente objetivo es obtener la ecuacion di-ferencial para el comportamiento de la viga expresado en terminos de ladeflexion w. Para este proposito recuerde las condiciones de equilibrio da-das por (1.25) y (1.26). Como solo el momento M puede ser relacionado ala deflexion w, se reemplaza (1.26) en (1.25), es decir se elimina la fuerzacortante V de (1.25) y (1.26) para obtener:

d2M

dx2+ q = 0. (1.49)

Estas condiciones de equilibrio son validos de asumir la constitutiva y ci-nematica. El uso de (1.43) en (1.49) produce la ecuacion diferencial

d2

dx2

(EI

d2w

dx2

)− q = 0 , para 0 < x < L; (1.50)

donde w es la deflexion de la viga, L es la longitud de la viga, E es elmodulo de Young, I es el momento de inercia y q es la carga transversaldistribuida.Las condiciones de frontera naturales:

[d

dx

(EI

d2w

dx2

)]|x=0 = V1 , [EI

d2w

dx2]|x=0 = M1 ,

[d

dx

(EI

d2w

dx2

)]|x=L = V2 , [EI

d2w

dx2]|x=L = M2.

Las condiciones de frontera esenciales:

w(0) = u1 , (dwdx)x=0 = u2 , w(L) = u3 , (dw

dx)x=L = u4.

35


es decir es posible expresar el momento M en terminos de la deflexion w.

La fuerza normal N es dada por (1.23) el cual con (1.37) y (1.39) llega aser:

N =du0

dx

∫

A

EdA. (1.44)

En la presente situacion se asumio que N = 0 en la Ecuacion (1.24). Laecuacion (1.44) entonces da:

du0

dx= 0 (1.45)

es decir no hay elongacion del eje x. Sin embargo, igual en la situaciondonde la fuerza normal N = 0, se obseva de (1.43) y (1.44) que, puesto queel momento flexionante M es regulado por el termino d2w

dx2 , la fuerza nomales determinada por la cantidad du0

dx.

Por tanto se concluye que el fenomeno de flexion y elongacion de la vigaes un fenomeno independiente, es decir, ellos pueden ser tratados separada-mente.

Se recalca que estas ventajas independientes es un resultado de seleccionarla posicion vertical al eje x como dado por (1.39).

e). Ecuaciones diferenciales para la teorıa de vigas de BernoulliEn la presente situacion donde la fuerza normal N es cero, (1.45) es valido.Ası (1.30) y (1.37) se reduce a:

εxx = −zd2w

dx2; σxx = −zE

d2w

dx2(1.46)

es decir la deformacion axial (o normal) y el esfuerzo axial (o normal) soncero a lo largo del eje x. El eje neutral es en general definido como aquelque no ocurre esfuerzo axial a lo largo del eje. Con la localizacion del ejex definido por (1.39) y con la fuerza normal N = 0, el eje llega a ser ejeneutral.

Ahora para evaluar el termino d2wdx2 presentado en (1.43) y (1.46), se tiene la

curvatura k de la curva w(x) es definido por:

k =d2wdx2

[1 + (dwdx)2]3/2

.

34

Como la pendiente dwdx

es asumida muy pequena, se obtiene aproximada-mente, que:

k =d2w

dx2(1.47)

es decir se puede escribir (1.43) como:

M = −EIk. (1.48)

Se obtiene de (1.43) que esto es posible para expresar el momento flexio-nante M en terminos de la deflexion w.

Sin embargo, el esfuerzo cortante σxz no puede ser determinado usando larelacion constitutiva puesto que la deformacion cortante γxz es asumido co-mo cero. Consecuentemente, la fuerza cortante V no puede ser expresadapor cantidades cinematicas. El presente objetivo es obtener la ecuacion di-ferencial para el comportamiento de la viga expresado en terminos de ladeflexion w. Para este proposito recuerde las condiciones de equilibrio da-das por (1.25) y (1.26). Como solo el momento M puede ser relacionado ala deflexion w, se reemplaza (1.26) en (1.25), es decir se elimina la fuerzacortante V de (1.25) y (1.26) para obtener:

d2M

dx2+ q = 0. (1.49)

Estas condiciones de equilibrio son validos de asumir la constitutiva y ci-nematica. El uso de (1.43) en (1.49) produce la ecuacion diferencial

d2

dx2

(EI

d2w

dx2

)− q = 0 , para 0 < x < L; (1.50)

donde w es la deflexion de la viga, L es la longitud de la viga, E es elmodulo de Young, I es el momento de inercia y q es la carga transversaldistribuida.Las condiciones de frontera naturales:

[d

dx

(EI

d2w

dx2

)]|x=0 = V1 , [EI

d2w

dx2]|x=0 = M1 ,

[d

dx

(EI

d2w

dx2

)]|x=L = V2 , [EI

d2w

dx2]|x=L = M2.


w(0) = u1 , (dwdx)x=0 = u2 , w(L) = u3 , (dw

dx)x=L = u4.

35


Modelo de TimoshenkoSea un elemento infinitesimal de viga rectangular ABCD, como se muestra enla Figura (1.22), la cual se deforma bajo exposicion del esfuerzo cortante. Aquıocurre un cambio de los angulos rectos originales ası como tambien un cambioen la longitud de sus extremos. La deformacion del punto A puede ser descritavıa los campos de desplazamiento ux(x, y) y uy(x, y). Estas dos funciones de dosvariables pueden ser expandidas en Series de Taylor de primer orden alrededor deA para calcular las deformaciones de los puntos B y D aproximadamente:

ux,B(x, y) = ux(x+ dx, y) = ux(x, y) +∂ux

∂xdx+

∂ux

∂ydy (1.51)

uy,B(x, y) = uy(x+ dx, y) = uy(x, y) +∂uy

∂xdx+

∂uy

∂ydy (1.52)

o alternativamente:

ux,D(x, y) = ux(x, y + dy) = ux(x, y) +∂ux

∂xdx+

∂ux

∂ydy (1.53)

uy,D(x, y) = uy(x, y + dy) = uy(x, y) +∂uy

∂xdx+

∂uy

∂ydy (1.54)

en las ecuaciones de (1.51) hasta (1.54), ux(x, y) y uy(x, y) representan el despla-zamiento de cuerpo rıgido.Si se considera que el punto B tiene las coordenadas (x, y + dy) y D las coorde-nadas (x, y + dy), se obtiene:

ux,B = ux(x, y) +∂ux

∂xdx (1.55)

uy,B = uy(x, y) +∂uy

∂xdx (1.56)

o alternativamente:ux,D = ux(x, y) +

∂ux

∂ydy (1.57)

uy,D = uy(x, y) +∂uy

∂ydy (1.58)

La deformacion cortante total γxy del elemento de viga deformada A′B′C ′D′ re-sulta, segun la Figura (1.22), de la suma de los angulos α y β, los cuales sonidentificados en el rectangulo, que se deforma como un rombo. Bajo la conside-racion de los dos angulos rectos en los triangulos A′D∗D′ y A′B∗B′ estos dosangulos son expresados vıa:

Tanα =∂uy∂x

dx

dx+ ∂ux∂x

dxy Tanβ =

∂ux∂y

dy

dy+∂uy∂y

dy, (1.59)

36

Figura 1.22. Deformacion cortante γxy en el plano xy para un elemento de viga infinite-simal

Para las deformaciones pequenas aproximadamente se hace que: Tanα ≈ α yTanβ ≈ β o alternativamente: ∂ux

∂x 1 y ∂uy

∂y 1, de modo que para la defor-

macion cortante [15], resulta la siguiente expresion:

γxy =∂uy

∂x+

∂ux

∂y(1.60)

El signo de la deformacion cortante necesariamente se explica en la Figura (1.23)para el caso especial de que solo una fuerza cortante actua en paralelo al eje y. Siuna fuerza cortante actua en direccion del eje y positivo en la cara de la derecha- tiene una distribucion de la fuerza cortante positiva se asume en ese punto -,de acuerdo a la Figura (1.23a) bajo consideracion de la Ecuacion (1.60) la defor-macion cortante resulta positiva. En consecuencia, una distribucion de la fuerzacortante es negativa, de acuerdo a la Figura (1.23b) la deformacion cortante llegaa ser negativa.Se sabe que la distribucion del esfuerzo cortante es alterable a traves de la secciontransversal. Como un ejemplo, en la Figura(1.24), se puede apreciar la distribuciondel esfuerzo cortante en una seccion transversal rectangular.

37


Modelo de TimoshenkoSea un elemento infinitesimal de viga rectangular ABCD, como se muestra enla Figura (1.22), la cual se deforma bajo exposicion del esfuerzo cortante. Aquıocurre un cambio de los angulos rectos originales ası como tambien un cambioen la longitud de sus extremos. La deformacion del punto A puede ser descritavıa los campos de desplazamiento ux(x, y) y uy(x, y). Estas dos funciones de dosvariables pueden ser expandidas en Series de Taylor de primer orden alrededor deA para calcular las deformaciones de los puntos B y D aproximadamente:

ux,B(x, y) = ux(x+ dx, y) = ux(x, y) +∂ux

∂xdx+

∂ux

∂ydy (1.51)

uy,B(x, y) = uy(x+ dx, y) = uy(x, y) +∂uy

∂xdx+

∂uy

∂ydy (1.52)

o alternativamente:

ux,D(x, y) = ux(x, y + dy) = ux(x, y) +∂ux

∂xdx+

∂ux

∂ydy (1.53)

uy,D(x, y) = uy(x, y + dy) = uy(x, y) +∂uy

∂xdx+

∂uy

∂ydy (1.54)

en las ecuaciones de (1.51) hasta (1.54), ux(x, y) y uy(x, y) representan el despla-zamiento de cuerpo rıgido.Si se considera que el punto B tiene las coordenadas (x, y + dy) y D las coorde-nadas (x, y + dy), se obtiene:

ux,B = ux(x, y) +∂ux

∂xdx (1.55)

uy,B = uy(x, y) +∂uy

∂xdx (1.56)

o alternativamente:ux,D = ux(x, y) +

∂ux

∂ydy (1.57)

uy,D = uy(x, y) +∂uy

∂ydy (1.58)

La deformacion cortante total γxy del elemento de viga deformada A′B′C ′D′ re-sulta, segun la Figura (1.22), de la suma de los angulos α y β, los cuales sonidentificados en el rectangulo, que se deforma como un rombo. Bajo la conside-racion de los dos angulos rectos en los triangulos A′D∗D′ y A′B∗B′ estos dosangulos son expresados vıa:

Tanα =∂uy∂x

dx

dx+ ∂ux∂x

dxy Tanβ =

∂ux∂y

dy

dy+∂uy∂y

dy, (1.59)

36

Figura 1.22. Deformacion cortante γxy en el plano xy para un elemento de viga infinite-simal

Para las deformaciones pequenas aproximadamente se hace que: Tanα ≈ α yTanβ ≈ β o alternativamente: ∂ux

∂x 1 y ∂uy

∂y 1, de modo que para la defor-

macion cortante [15], resulta la siguiente expresion:

γxy =∂uy

∂x+

∂ux

∂y(1.60)

El signo de la deformacion cortante necesariamente se explica en la Figura (1.23)para el caso especial de que solo una fuerza cortante actua en paralelo al eje y. Siuna fuerza cortante actua en direccion del eje y positivo en la cara de la derecha- tiene una distribucion de la fuerza cortante positiva se asume en ese punto -,de acuerdo a la Figura (1.23a) bajo consideracion de la Ecuacion (1.60) la defor-macion cortante resulta positiva. En consecuencia, una distribucion de la fuerzacortante es negativa, de acuerdo a la Figura (1.23b) la deformacion cortante llegaa ser negativa.Se sabe que la distribucion del esfuerzo cortante es alterable a traves de la secciontransversal. Como un ejemplo, en la Figura(1.24), se puede apreciar la distribuciondel esfuerzo cortante en una seccion transversal rectangular.

37


Figura 1.23. Deformacion cortante en el plano xy : (a) una positiva y otra (b) negativa

Figura 1.24. Diferente distribucion de esfuerzos para la viga flexionada usando el ejemplode una seccion rectangular para un material elastico lineal: (a) esfuerzo normal(cortanterıgida) (b) esfuerzo cortante(cortante flexible)

A traves de la Ley de Hooke para un estado de esfuerzo cortante unidimensional,se puede obtener que el esfuerzo cortante ha de exhibir un curso parabolico 2 comose aprecia en la Figura (1.24(b)), [28]. A partir de la distribucion del esfuerzocortante en el area de la seccion transversal en la posicion del eje x de la viga, setiene:

Qy =

∫

A

τxy(y, z)dA (1.61)

Se hace la suposicion para la viga de Timoshenko, que actuan un equivalenteesfuerzo y deformacion cortante constante:

τxy(y, z) → τxy. (1.62)

Este esfuerzo cortante constante resulta de la fuerza cortante, la cual actua en un

2De [28]: La distribucion de tensiones tangenciales en una seccion rectangular de base b yaltura h, sometida a esfuerzo cortante vertical es parabolica en funcion de la ordenada y, es nulaen las fibras extremas (y = ±h/2), y tiene su valor maximo en los puntos del eje z (y = 0).

38

area de seccion transversal equivalente, llamada area cortante As:

τxy =Qy

As

, (1.63)

luego la relacion entre el area cortante As y el area de la seccion transversal A esreferida como el factor de correccion cortante Ks:

Ks =As

A. (1.64)

Por supuesto el esfuerzo cortante constante equivalente puede alterar a lo largo dela lınea central de la viga, en caso de que la fuerza cortante a lo largo de la lıneacentral de la viga cambie. El atributo constante”solo se refiere al area de la secciontransversal en la posicion x y por tanto esfuerzo cortante constante equivalente esen general una funcion de la coordenada de longitud para esta viga:

τxy = τxy(x). (1.65)

Otra suposicion cinematica fundamental para ingenerıa en teorıa de vigas, fue da-da por Timoshenko:

Las secciones transversales normales al eje de la viga permanecenplanas pero no necesariamente normales al eje de la viga despuesde la deformacion.

Se observa en la Figura (1.25) que las secciones transversales planas tambien per-manecen planas despues de la deformacion, sin embargo una seccion transversal,que se situo en angulo recto en el eje de la viga antes de la deformacion, no estaen angulo recto en el eje de la viga, cualquier tiempo despues de la deformacion.A la viga con estas caracterısticas se le llama viga de Timoshenko.

39


Figura 1.23. Deformacion cortante en el plano xy : (a) una positiva y otra (b) negativa

Figura 1.24. Diferente distribucion de esfuerzos para la viga flexionada usando el ejemplode una seccion rectangular para un material elastico lineal: (a) esfuerzo normal(cortanterıgida) (b) esfuerzo cortante(cortante flexible)

A traves de la Ley de Hooke para un estado de esfuerzo cortante unidimensional,se puede obtener que el esfuerzo cortante ha de exhibir un curso parabolico 2 comose aprecia en la Figura (1.24(b)), [28]. A partir de la distribucion del esfuerzocortante en el area de la seccion transversal en la posicion del eje x de la viga, setiene:

Qy =

∫

A

τxy(y, z)dA (1.61)

Se hace la suposicion para la viga de Timoshenko, que actuan un equivalenteesfuerzo y deformacion cortante constante:

τxy(y, z) → τxy. (1.62)

Este esfuerzo cortante constante resulta de la fuerza cortante, la cual actua en un

2De [28]: La distribucion de tensiones tangenciales en una seccion rectangular de base b yaltura h, sometida a esfuerzo cortante vertical es parabolica en funcion de la ordenada y, es nulaen las fibras extremas (y = ±h/2), y tiene su valor maximo en los puntos del eje z (y = 0).

38

area de seccion transversal equivalente, llamada area cortante As:

τxy =Qy

As

, (1.63)

luego la relacion entre el area cortante As y el area de la seccion transversal A esreferida como el factor de correccion cortante Ks:

Ks =As

A. (1.64)

Por supuesto el esfuerzo cortante constante equivalente puede alterar a lo largo dela lınea central de la viga, en caso de que la fuerza cortante a lo largo de la lıneacentral de la viga cambie. El atributo constante”solo se refiere al area de la secciontransversal en la posicion x y por tanto esfuerzo cortante constante equivalente esen general una funcion de la coordenada de longitud para esta viga:

τxy = τxy(x). (1.65)

Otra suposicion cinematica fundamental para ingenerıa en teorıa de vigas, fue da-da por Timoshenko:

Las secciones transversales normales al eje de la viga permanecenplanas pero no necesariamente normales al eje de la viga despuesde la deformacion.

Se observa en la Figura (1.25) que las secciones transversales planas tambien per-manecen planas despues de la deformacion, sin embargo una seccion transversal,que se situo en angulo recto en el eje de la viga antes de la deformacion, no estaen angulo recto en el eje de la viga, cualquier tiempo despues de la deformacion.A la viga con estas caracterısticas se le llama viga de Timoshenko.

39


Figura 1.25. Giro γxy de la seccion transversal en el plano xy

a). CinematicaSiguiendo un procedimiento parecido a lo realizado con la cinematica dela viga de Euler-Bernoulli. Tome en cuenta la Figura (1.25). La siguientesrelaciones son obtenidas:

senφz =ux

y≈ φz o ux = −yφz, (1.66)

de donde, via la relacion general para la deformacion, εx = dux

dx, la relacion

cinematica resulta a traves de diferenciacion:

εx = −ydφz

dx. (1.67)

Observe que φz −→ duy

dxresulta de depreciar la deformacion cortante. Ademas,

la siguiente conexion entre los angulos pueden ser obtenidos de la Figura(1.25)

φz =duy

dx− γxy (1.68)

las cuales completan el conjunto de relaciones cinematicas. Se ha de sub-rayar que la lınea de flexion se considero a uy y por tanto el campo dedesplzamiento es solo una funcion de una variable: uy = uy(x).

b). EquilibrioLas condiciones de equilibrio se obtienen de un elemento de viga infinitesi-mal con la longitud dx, que se somete a una carga distribuida constante qy,

40

Figura (1.26) . Las reacciones internas estan marcadas en la ubicacion x yx+ dx.

Figura 1.26. Elemento infinitesimal en el plano xy (rectangulo de color anaranjado).Reacciones internas Qy y Mz . Carga distribuida constante qy

El equilibrio respecto a las fuerzas verticales: Suponiendo que las fuerzasen la direccion del eje y positivo se aplican positivamente, se obtiene losiguiente:

−Qy(x) +Qy(x+ dx) + qydx = 0. (1.69)

Si la fuerza cortante en la cara derecha se expande en una serie de Taylor deprimer orden, lo que significa

Qy(x+ dx) ≈ Qy(x) +dQy(x)

dxdx, (1.70)

Reemplazando (1.70) en la Ecuacion (1.69), resulta:

−Qy(x) +Qy(x) +dQy(x)

dxdx+ qydx = 0,

entonces se tiene:dQy(x)

dx= −qy. (1.71)

Para el caso especial en el que no se produce una carga distribuida qy = 0,la Ecuacion (1.71) se reduce a:

dQy(x)

dx= 0.

El equilibrio de los momentos alrededor del punto de referencia en x + dxda:

Mz(x+ dx)−Mz(x) +Qy(x)dx− 1

2qydx

2 = 0.

41


Figura 1.25. Giro γxy de la seccion transversal en el plano xy

a). CinematicaSiguiendo un procedimiento parecido a lo realizado con la cinematica dela viga de Euler-Bernoulli. Tome en cuenta la Figura (1.25). La siguientesrelaciones son obtenidas:

senφz =ux

y≈ φz o ux = −yφz, (1.66)

de donde, via la relacion general para la deformacion, εx = dux

dx, la relacion

cinematica resulta a traves de diferenciacion:

εx = −ydφz

dx. (1.67)

Observe que φz −→ duy

dxresulta de depreciar la deformacion cortante. Ademas,

la siguiente conexion entre los angulos pueden ser obtenidos de la Figura(1.25)

φz =duy

dx− γxy (1.68)

las cuales completan el conjunto de relaciones cinematicas. Se ha de sub-rayar que la lınea de flexion se considero a uy y por tanto el campo dedesplzamiento es solo una funcion de una variable: uy = uy(x).

b). EquilibrioLas condiciones de equilibrio se obtienen de un elemento de viga infinitesi-mal con la longitud dx, que se somete a una carga distribuida constante qy,

40

Figura (1.26) . Las reacciones internas estan marcadas en la ubicacion x yx+ dx.

Figura 1.26. Elemento infinitesimal en el plano xy (rectangulo de color anaranjado).Reacciones internas Qy y Mz . Carga distribuida constante qy

El equilibrio respecto a las fuerzas verticales: Suponiendo que las fuerzasen la direccion del eje y positivo se aplican positivamente, se obtiene losiguiente:

−Qy(x) +Qy(x+ dx) + qydx = 0. (1.69)

Si la fuerza cortante en la cara derecha se expande en una serie de Taylor deprimer orden, lo que significa

Qy(x+ dx) ≈ Qy(x) +dQy(x)

dxdx, (1.70)

Reemplazando (1.70) en la Ecuacion (1.69), resulta:

−Qy(x) +Qy(x) +dQy(x)

dxdx+ qydx = 0,

entonces se tiene:dQy(x)

dx= −qy. (1.71)

Para el caso especial en el que no se produce una carga distribuida qy = 0,la Ecuacion (1.71) se reduce a:

dQy(x)

dx= 0.

El equilibrio de los momentos alrededor del punto de referencia en x + dxda:

Mz(x+ dx)−Mz(x) +Qy(x)dx− 1

2qydx

2 = 0.

41


Si el momento de flexion en la cara derecha se expande en una serie deTaylor de primer orden segun la Ecuacion (1.70) y considerando que eltermino 1

2qdx2 como tamano infinitesimal pequeno de orden superior se

puede ignorar, finalmente se obtine:

dMz(x)

dx= −Qy(x). (1.72)

La combinacion de las Ecuaciones (1.71) y (1.72) conduce a la relacionentre el momento de flexion y la carga distribuida:

d2Mz(x)

dx2= −dQy(x)

dx= qy.

c). Ecuacion constitutivaPara la relacion constitutiva ley de Hooke para un estado de esfuerzo normalunidimensional y para un estado de esfuerzo cortante se usa:

σx = Eεx , (1.73)

τxy = Gγxy , (1.74)

donde el modulo cortante G es calculado a traves del modulo de elasticidadE y la razon de Poisson ν:

G =E

2(1 + ν). (1.75)

(a) (b)

Figura 1.27. (a) Representacion esquematica la distribucion de esfuerzo normal σx =σx(y) de la viga flexionada; (b) definicion y posicion de un elemento de superficie infi-nitesimal para la derivacion del efecto resultante de los momentos de la distribucion delesfuerzo normal

42

Tomando en cuenta lo que se observa en la Figura (1.27), la conexion entreel momento interno y el esfuerzo de flexion se pueden usar para la viga deTimoshenko:

dMz = (+y)(−σx)dA, (1.76)

o alternativamente, despues de la integracion bajo el uso de la ecuacionconstitutiva (1.73), la relacion (1.67) y el momento de inercia Iz =

∫Ay2dA,

se obtiene:

Mz(x) = EIzdφz(x)

dx. (1.77)

La conexion entre la fuerza cortante y la rotacion de la seccion transversalresulta via la relacion de equilibrio (1.72) en:

Qy(x) = −dMz(x)

dx= −EIz

d2φz(x)

dx2. (1.78)

Observe que el esfuerzo normal y la deformacon son funciones coordena-das del espacio x e y, sin embargo el esfuerzo cortante y la deformacionsolo depende de x, ya que un esfuerzo cortante constante equivalente se haintroducido via la seccion transversal como una aproximacion de la viga deTimoshenko.

d). Ecuacion diferencial de la lınea de flexionEn la seccion anterior la relacion entre el momento interno y la rotacion dela seccion transversal se obtiene del esfuerzo normal con la ayuda de la leyde Hooke. La diferenciacion de (1.77) conduce a la siguiente relacion:

dMz

dx=

d

dx(EIz

dφz

dx), (1.79)

la cual es transformada con la ayuda de la relacion de equilibrio (1.72) y larelacion para el esfuerzo cortante de acuerdo con (1.63) y (1.64) para:

d

dx(EIz

dφz

dx) = −KsGAγxy. (1.80)

Si la relacion cinematica (1.68) es considerada en la ecuacion (1.80), resultala ecuacion diferencial de flexion:

d

dx(EIz

dφz

dx) +KsGA(

duy

dx− φz) = 0. (1.81)

Si ahora para el esfuerzo cortante de acuerdo a (1.74) tomamos en conside-racion a (1.63) y (1.64), de acuerdo a la ley de Hooke, se obtiene:

Qy = KsGAγxy. (1.82)

43


Si el momento de flexion en la cara derecha se expande en una serie deTaylor de primer orden segun la Ecuacion (1.70) y considerando que eltermino 1

2qdx2 como tamano infinitesimal pequeno de orden superior se

puede ignorar, finalmente se obtine:

dMz(x)

dx= −Qy(x). (1.72)

La combinacion de las Ecuaciones (1.71) y (1.72) conduce a la relacionentre el momento de flexion y la carga distribuida:

d2Mz(x)

dx2= −dQy(x)

dx= qy.

c). Ecuacion constitutivaPara la relacion constitutiva ley de Hooke para un estado de esfuerzo normalunidimensional y para un estado de esfuerzo cortante se usa:

σx = Eεx , (1.73)

τxy = Gγxy , (1.74)

donde el modulo cortante G es calculado a traves del modulo de elasticidadE y la razon de Poisson ν:

G =E

2(1 + ν). (1.75)

(a) (b)

Figura 1.27. (a) Representacion esquematica la distribucion de esfuerzo normal σx =σx(y) de la viga flexionada; (b) definicion y posicion de un elemento de superficie infi-nitesimal para la derivacion del efecto resultante de los momentos de la distribucion delesfuerzo normal

42

Tomando en cuenta lo que se observa en la Figura (1.27), la conexion entreel momento interno y el esfuerzo de flexion se pueden usar para la viga deTimoshenko:

dMz = (+y)(−σx)dA, (1.76)

o alternativamente, despues de la integracion bajo el uso de la ecuacionconstitutiva (1.73), la relacion (1.67) y el momento de inercia Iz =

∫Ay2dA,

se obtiene:

Mz(x) = EIzdφz(x)

dx. (1.77)

La conexion entre la fuerza cortante y la rotacion de la seccion transversalresulta via la relacion de equilibrio (1.72) en:

Qy(x) = −dMz(x)

dx= −EIz

d2φz(x)

dx2. (1.78)

Observe que el esfuerzo normal y la deformacon son funciones coordena-das del espacio x e y, sin embargo el esfuerzo cortante y la deformacionsolo depende de x, ya que un esfuerzo cortante constante equivalente se haintroducido via la seccion transversal como una aproximacion de la viga deTimoshenko.

d). Ecuacion diferencial de la lınea de flexionEn la seccion anterior la relacion entre el momento interno y la rotacion dela seccion transversal se obtiene del esfuerzo normal con la ayuda de la leyde Hooke. La diferenciacion de (1.77) conduce a la siguiente relacion:

dMz

dx=

d

dx(EIz

dφz

dx), (1.79)

la cual es transformada con la ayuda de la relacion de equilibrio (1.72) y larelacion para el esfuerzo cortante de acuerdo con (1.63) y (1.64) para:

d

dx(EIz

dφz

dx) = −KsGAγxy. (1.80)

Si la relacion cinematica (1.68) es considerada en la ecuacion (1.80), resultala ecuacion diferencial de flexion:

d

dx(EIz

dφz

dx) +KsGA(

duy

dx− φz) = 0. (1.81)

Si ahora para el esfuerzo cortante de acuerdo a (1.74) tomamos en conside-racion a (1.63) y (1.64), de acuerdo a la ley de Hooke, se obtiene:

Qy = KsGAγxy. (1.82)

43


Via la relacion de equilibrio (1.72) y la relacion cinematica (1.68) resulta losiguiente:

dMz

dx= −KsGA(

duy

dx− φz). (1.83)

Despues de la diferenciacion y la consideracion de la relacion de equilibriode acuerdo a (1.71) y (1.72) finalmente, resulta la ecuacion diferencial decortante:

d

dx[KsGA(

duy

dx− φz)] = −qy(x) , 0 < x < L (1.84)

Por lo tanto la viga de Timoshenko de flexion cortante se describe atraves de las ecuaciones (1.81) y (1.84), las cuales son dos ecuacionesdiferenciales acopladas de segundo orden; donde u es la deflexion, φ esla rotacion, q es la carga transversal distribuida, G es el modulo de cortante,A es el area de la seccion transversal, Ks es el factor de correcion cortante,E es el modulo de Young, I es el momento de inercia.


w(0) = u1, φ(0) = u2, w(L) = u3, φ(L) = u4.

Las condiciones de frontera naturales:

[GAKs

(duy

dx− φz

)]|x=0 = Q1,

(EI

dφz

dx

)|x=0 = M1,

[GAKs

(duy

dx− φz

)]|x=L = Q2,

(EI

dφz

dx

)|x=L = M2 .

44

CAPITULO

2Formulacion y aplicacion

de Elementos Finitos

B. Galerkin (1871-1945) I. G. Bubnov (1872-1919) W. Prager (1903-1980)

Charles Hermite

En este capıtulo, se realiza la formulacion variacional de los modelos de vigasde Euler-Bernoulli y Timoshenko. Se demuestra la existencia y unicidad, de lasolucion del problema variacional de las vigas de Euler-Bernoulli y Timoshenko.Tambien se contruye la formulacion vıa elementos finitos de los modelos de vi-gas Euler-Bernoulli y Timoshenko, usando funciones de forma de Hermite y deLagrange en el metodo de Galerkin. Seguidamente se presentan ejemplos que sonresueltos aplicando elementos finitos y usando programas en Octave.

Via la relacion de equilibrio (1.72) y la relacion cinematica (1.68) resulta losiguiente:

dMz

dx= −KsGA(

duy

dx− φz). (1.83)

Despues de la diferenciacion y la consideracion de la relacion de equilibriode acuerdo a (1.71) y (1.72) finalmente, resulta la ecuacion diferencial decortante:

d

dx[KsGA(

duy

dx− φz)] = −qy(x) , 0 < x < L (1.84)

Por lo tanto la viga de Timoshenko de flexion cortante se describe atraves de las ecuaciones (1.81) y (1.84), las cuales son dos ecuacionesdiferenciales acopladas de segundo orden; donde u es la deflexion, φ esla rotacion, q es la carga transversal distribuida, G es el modulo de cortante,A es el area de la seccion transversal, Ks es el factor de correcion cortante,E es el modulo de Young, I es el momento de inercia.


w(0) = u1, φ(0) = u2, w(L) = u3, φ(L) = u4.

Las condiciones de frontera naturales:

[GAKs

(duy

dx− φz

)]|x=0 = Q1,

(EI

dφz

dx

)|x=0 = M1,

[GAKs

(duy

dx− φz

)]|x=L = Q2,

(EI

dφz

dx

)|x=L = M2 .

44

CAPITULO

2Formulacion y aplicacion

de Elementos Finitos

B. Galerkin (1871-1945) I. G. Bubnov (1872-1919) W. Prager (1903-1980)

Charles Hermite

En este capıtulo, se realiza la formulacion variacional de los modelos de vigasde Euler-Bernoulli y Timoshenko. Se demuestra la existencia y unicidad, de lasolucion del problema variacional de las vigas de Euler-Bernoulli y Timoshenko.Tambien se contruye la formulacion vıa elementos finitos de los modelos de vi-gas Euler-Bernoulli y Timoshenko, usando funciones de forma de Hermite y deLagrange en el metodo de Galerkin. Seguidamente se presentan ejemplos que sonresueltos aplicando elementos finitos y usando programas en Octave.


2.1. Formulacion variacional

Para la ecuacion diferencial de Euler-BernoulliExprese (1.50) como:

(PC)

Encuentre w ∈ C4([0, L]) que satisfaga

(EIw′′)′′ = f , x ∈ (0, L) = Ω , f ∈ C([0, L])

w(0) = w(L) = w′(0) = w′(L) = 0.

(2.1)

Multiplique a (2.1) por una funcion peso v con v(0) = v(L) = v′(0) = v′(L) = 0e integre sobre [0, L]:

∫ L

0

((EIw′′)′′)vdx =

∫ L

0

fvdx (2.2)

Aplique integracion por partes en el primer termino de (2.2):

Haciendo:m = v dn = (EIw′′)′′dx

dm = v′dx n = (EIw′′)′

Entonces se tiene:

(EIw′′)′v|L0 −∫ L

0

(EIw′′)′v′dx =

∫ L

0

fvdx (2.3)

Con v(0) = v(L) = 0 en (2.3), se obtiene:

−∫ L

0


∫ L

0

fvdx (2.4)

Nuevamente aplique integracion por partes en el primer termino de (2.4):

Haciendo:m = v′ dn = (EIw′′)′dx

dm = v′′dx n = EIw′′

Luego se tiene:

−(EIw′′)v′|L0 +

∫ L

0

EIw′′v′′dx =

∫ L

0

fvdx (2.5)

46

Con v′(0) = v′(L) = 0 en (2.5), resulta:∫ L

0


∫ L

0

fvdx (2.6)

Observe que en (2.6), w ∈ C2([0, L]) mientras que, en (2.1), w ∈ C4([0, L]), esdecir se ha debilitado progresivamente los requerimientos sobre la solucion clasi-ca o fuerte w. Por lo tanto:

Encontrar w ∈ V tal que∫ L

0


∫ L

0

fvdx , ∀v ∈ V (2.7)

donde:V = v : v ∈ C([0, L]), v′′ continua y acotada a trozos en[0, L] yv(0) = v(L) = v′(0) = v′(L) = 0.

El conjunto V es llamado la clase de funciones admisibles para el problema (2.7),ya que este contiene solo las funciones que satisfacen las condiciones de frontera yson suficientemente regulares para que las integrales en (2.7) tengan sentido. Dadoque v puede ser una funcion en el conjunto de funciones admisibles, se debe tomarla posibilidad que v = w. Ası, sera necesario que (v′′)2 sea lo suficientementesuave para que su integral pueda ser calculada. Por lo tanto, se debe definir elconjunto de funciones admisibles V como:

H20 (Ω) = v ∈ H2(Ω) : v(0) = v(L) = v′(0) = v′(L) = 0 (2.8)

yH2(Ω) = v ∈ L2(Ω) : v′, v′′ ∈ L2(Ω)

los cuales son espacios de Sobolev, con sus respectivas normas:

‖v‖H20 (Ω) = (

∫

Ω

[v2 + (v′)2 + (v′′)2]dx)1/2. (2.9)

‖v‖H2(Ω) = (

∫

Ω

[v2 + (v′)2 + (v′′)2]dx)1/2.

En consecuencia la formulacion debil o formulacion variacional del (PC) dadoen (2.1) es:

(PV )

Hallar w ∈ H20 (Ω) tal que

a(w, v) = L(v) para todo v ∈ H20 (Ω),

donde : a(w, v) =∫ L

0EIw′′v′′dx, L(v) =

∫ L

0fvdx.

(2.10)

47


2.1. Formulacion variacional

Para la ecuacion diferencial de Euler-BernoulliExprese (1.50) como:

(PC)

Encuentre w ∈ C4([0, L]) que satisfaga

(EIw′′)′′ = f , x ∈ (0, L) = Ω , f ∈ C([0, L])

w(0) = w(L) = w′(0) = w′(L) = 0.

(2.1)

Multiplique a (2.1) por una funcion peso v con v(0) = v(L) = v′(0) = v′(L) = 0e integre sobre [0, L]:

∫ L

0

((EIw′′)′′)vdx =

∫ L

0

fvdx (2.2)

Aplique integracion por partes en el primer termino de (2.2):

Haciendo:m = v dn = (EIw′′)′′dx

dm = v′dx n = (EIw′′)′

Entonces se tiene:

(EIw′′)′v|L0 −∫ L

0


∫ L

0

fvdx (2.3)

Con v(0) = v(L) = 0 en (2.3), se obtiene:

−∫ L

0


∫ L

0

fvdx (2.4)

Nuevamente aplique integracion por partes en el primer termino de (2.4):

Haciendo:m = v′ dn = (EIw′′)′dx

dm = v′′dx n = EIw′′

Luego se tiene:

−(EIw′′)v′|L0 +

∫ L

0


∫ L

0

fvdx (2.5)

46

Con v′(0) = v′(L) = 0 en (2.5), resulta:∫ L

0


∫ L

0

fvdx (2.6)

Observe que en (2.6), w ∈ C2([0, L]) mientras que, en (2.1), w ∈ C4([0, L]), esdecir se ha debilitado progresivamente los requerimientos sobre la solucion clasi-ca o fuerte w. Por lo tanto:

Encontrar w ∈ V tal que∫ L

0


∫ L

0

fvdx , ∀v ∈ V (2.7)

donde:V = v : v ∈ C([0, L]), v′′ continua y acotada a trozos en[0, L] yv(0) = v(L) = v′(0) = v′(L) = 0.

El conjunto V es llamado la clase de funciones admisibles para el problema (2.7),ya que este contiene solo las funciones que satisfacen las condiciones de frontera yson suficientemente regulares para que las integrales en (2.7) tengan sentido. Dadoque v puede ser una funcion en el conjunto de funciones admisibles, se debe tomarla posibilidad que v = w. Ası, sera necesario que (v′′)2 sea lo suficientementesuave para que su integral pueda ser calculada. Por lo tanto, se debe definir elconjunto de funciones admisibles V como:

H20 (Ω) = v ∈ H2(Ω) : v(0) = v(L) = v′(0) = v′(L) = 0 (2.8)

yH2(Ω) = v ∈ L2(Ω) : v′, v′′ ∈ L2(Ω)


‖v‖H20 (Ω) = (

∫

Ω

[v2 + (v′)2 + (v′′)2]dx)1/2. (2.9)

‖v‖H2(Ω) = (

∫

Ω

[v2 + (v′)2 + (v′′)2]dx)1/2.


(PV )

Hallar w ∈ H20 (Ω) tal que

a(w, v) = L(v) para todo v ∈ H20 (Ω),

donde : a(w, v) =∫ L


∫ L

0fvdx.

(2.10)

47


Para el sistema de ecuaciones diferenciales de Timoshenko

Exprese (1.81) y (1.84) como:

(PC)

Encuentre w, φ ∈ C2([0, L]) que satisfaga

GKsA[(w′ − φ)]′ = −f , x ∈ (0, L) = Ω , f ∈ C([0, L])

(EIφ′)′ + [GKsA(w′ − φ)] = 0.

w(0) = w(L) = φ(0) = φ(L) = 0.(2.11)

-Multiplique a la primera ecuacion de (2.11) por una funcion peso v1(x) conv1(0) = v1(L) = 0 e integre sobre [0, L]:

∫ L

0

[GKsA(w′ − φ)]′v1dx = −

∫ L

0

fv1dx (2.12)

Aplique integracion por partes en el primer miembro de (2.12):Haciendo:

m = v1 dn = [GKsA(w′ − φ)]′dx

dm = v′1dx n = GKsA(w′ − φ)

Entonces se tiene:

GKsA(w′ − φ)v1|L0 +

∫ L

0

GKsA(w′ − φ)v′1dx = −

∫ L

0

fv1dx

Tenga en cuenta v1(0) = v1(L) = 0, entonces se obtiene:

∫ L

0


∫ L

0

fv1dx (2.13)

-Multiplique a la segunda ecuacion de (2.11) por una funcion peso v2(x) conv2(0) = v2(L) = 0 e integre sobre [0, L]:

∫ L

0

(EIφ′)′ + [GKsA(w′ − φ)]v2dx =

∫ L

0

0v2dx

∫ L

0

(EIφ′)′v2dx+

∫ L

0

[GKsA(w′ − φ)]v2dx = 0 (2.14)

48

Aplique integracion por partes en el primer termino de (2.14):Haciendo:

m = v2 dn = (EIφ′)′dx

dm = v′2dx n = EIφ′

Entonces se tiene:

EIφ′v2|L0 +

∫ L

0

EIφ′v′2dx+

∫ L

0

GKsA(w′ − φ)v2dx = 0


∫ L

0

(EIφ′v′2 +GKsA(w′ − φ)v2)dx = 0 (2.15)

Luego con (2.13) y (2.15) se obtiene:

∫ L

0

[EIφ′v′2 +GKsA(w′ − φ)(v′1 − v2)]dx =

∫ L

0

fv1dx (2.16)

Observe que en (2.11), w, φ ∈ C2([0, L]) mientras que, en (2.16), w, φ ∈ C([0, L]),es decir se ha debilitado progresivamente los requerimientos sobre la solucionclasica o fuerte w, φ. Por lo tanto:

Encontrar w, φ ∈ V tal que

∫ L

0

[EIφ′v′2+GKsA(w′−φ)(v′1−v2)]dx =

∫ L

0

fv1dx , ∀v1, v2 ∈ V (2.17)

donde:V = v : v ∈ C([0, L]), v′ continua y acotada a trozos en[0, L] yv(0) = v(L) = 0.

El conjunto V es llamado la clase de funciones admisibles para el problema (2.17),ya que este contiene solo las funciones que satisfacen las condiciones de fronteray son suficientemente regulares para que las integrales en (2.17) tengan sentido.Dado que v puede ser una funcion en el conjunto de funciones admisibles, se debetomar la posibilidad que v = w y v = φ. Ası, sera necesario que (v′)2 sea losuficientemente suave para que su integral pueda ser calculada. Por lo tanto, sedebe definir el conjunto de funciones admisibles V como:

H10 (Ω) = v ∈ H1(Ω) : v(0) = v(L) = 0 (2.18)

49


Para el sistema de ecuaciones diferenciales de Timoshenko

Exprese (1.81) y (1.84) como:

(PC)

Encuentre w, φ ∈ C2([0, L]) que satisfaga

GKsA[(w′ − φ)]′ = −f , x ∈ (0, L) = Ω , f ∈ C([0, L])

(EIφ′)′ + [GKsA(w′ − φ)] = 0.

w(0) = w(L) = φ(0) = φ(L) = 0.(2.11)

-Multiplique a la primera ecuacion de (2.11) por una funcion peso v1(x) conv1(0) = v1(L) = 0 e integre sobre [0, L]:

∫ L

0

[GKsA(w′ − φ)]′v1dx = −

∫ L

0

fv1dx (2.12)

Aplique integracion por partes en el primer miembro de (2.12):Haciendo:

m = v1 dn = [GKsA(w′ − φ)]′dx

dm = v′1dx n = GKsA(w′ − φ)

Entonces se tiene:

GKsA(w′ − φ)v1|L0 +

∫ L

0


∫ L

0

fv1dx


∫ L

0


∫ L

0

fv1dx (2.13)

-Multiplique a la segunda ecuacion de (2.11) por una funcion peso v2(x) conv2(0) = v2(L) = 0 e integre sobre [0, L]:

∫ L

0

(EIφ′)′ + [GKsA(w′ − φ)]v2dx =

∫ L

0

0v2dx

∫ L

0

(EIφ′)′v2dx+

∫ L

0

[GKsA(w′ − φ)]v2dx = 0 (2.14)

48

Aplique integracion por partes en el primer termino de (2.14):Haciendo:

m = v2 dn = (EIφ′)′dx

dm = v′2dx n = EIφ′

Entonces se tiene:

EIφ′v2|L0 +

∫ L

0

EIφ′v′2dx+

∫ L

0

GKsA(w′ − φ)v2dx = 0


∫ L

0

(EIφ′v′2 +GKsA(w′ − φ)v2)dx = 0 (2.15)

Luego con (2.13) y (2.15) se obtiene:

∫ L

0

[EIφ′v′2 +GKsA(w′ − φ)(v′1 − v2)]dx =

∫ L

0

fv1dx (2.16)

Observe que en (2.11), w, φ ∈ C2([0, L]) mientras que, en (2.16), w, φ ∈ C([0, L]),es decir se ha debilitado progresivamente los requerimientos sobre la solucionclasica o fuerte w, φ. Por lo tanto:

Encontrar w, φ ∈ V tal que

∫ L

0

[EIφ′v′2+GKsA(w′−φ)(v′1−v2)]dx =

∫ L

0

fv1dx , ∀v1, v2 ∈ V (2.17)

donde:V = v : v ∈ C([0, L]), v′ continua y acotada a trozos en[0, L] yv(0) = v(L) = 0.

El conjunto V es llamado la clase de funciones admisibles para el problema (2.17),ya que este contiene solo las funciones que satisfacen las condiciones de fronteray son suficientemente regulares para que las integrales en (2.17) tengan sentido.Dado que v puede ser una funcion en el conjunto de funciones admisibles, se debetomar la posibilidad que v = w y v = φ. Ası, sera necesario que (v′)2 sea losuficientemente suave para que su integral pueda ser calculada. Por lo tanto, sedebe definir el conjunto de funciones admisibles V como:

H10 (Ω) = v ∈ H1(Ω) : v(0) = v(L) = 0 (2.18)

49


yH1(Ω) = v ∈ L2(Ω) : v, v′ ∈ L2(Ω)


‖v‖H10 (Ω) = (

∫

Ω

[v2 + (v′)2]dx)1/2, . (2.19)

‖v‖H1(Ω) = (

∫

Ω

[v2 + (v′)2]dx)1/2,


(PV )

Hallar w, φ ∈ H10 (Ω) tal que

a((w, φ), (v1, v2)) = L(v1, v2) para todo v1, v2 ∈ H10 (Ω),

donde : a((w, φ), (v1, v2)) =

∫ L

0[EI dφ

dxdv2dx

+GKsA(dwdx

− φ)(dv1dx

− v2)]dx,

L(v1, v2) =∫ L

0fv1dx.

(2.20)

50

2.2. Existencia y unicidad de la solucion del proble-ma variacional

Para la viga Euler-BernoulliSe tiene el problema variacional (2.10):

(PV )

Hallar w ∈ V = H20 (Ω) tal que

a(w, v) = L(v) para todo v ∈ V ,

donde : a(w, v) =∫ 1


∫ 1

0fvdx.

Para verificar la existencia y unicidad de la solucion del (PV ) se verificara lashipotesis del Teorema 1.1 de Lax-Milgram. Se cumplen sin dificultad que:L : V −→ R es una forma lineal y que a : V × V −→ R es una forma bilineal.Solo se muestra la prueba de las siguientes hipotesis:

(i). a es V-elıptica o coerciva:Si existe k1 > 0 tal que a(w,w) ≥ k1‖w‖2H2

0 (Ω), para todo w ∈ H2

0 (Ω).En efecto:

‖v‖2H2(Ω) =∫ 1

0[v2 + (v′)2 + (v′′)2]dx

=∫ 1

0v2dx+

∫ 1

0(v′)2dx+

∫ 1

0(v′′)2dx

Aplicando la desigualdad (♠), se tiene que:∫ 1

0

v2dx+

∫ 1

0

(v′)2dx+

∫ 1

0

(v′′)2dx ≤ 3

∫ 1

0

(v′′)2dx

Entonces:

‖v‖2H2(Ω) ≤ 3∫ 1

0(v′′)2dx

13‖v‖2H2(Ω) ≤

∫ 1

0(v′′)2dx

13‖v‖2

H20 (Ω)

≤ a(v, v)

Entonces existe k1 =13> 0 tal que a(v, v) ≥ k1‖v‖2H2

0 (Ω), para todo v ∈ H2

0 (Ω).

51


yH1(Ω) = v ∈ L2(Ω) : v, v′ ∈ L2(Ω)


‖v‖H10 (Ω) = (

∫

Ω

[v2 + (v′)2]dx)1/2, . (2.19)

‖v‖H1(Ω) = (

∫

Ω

[v2 + (v′)2]dx)1/2,


(PV )

Hallar w, φ ∈ H10 (Ω) tal que

a((w, φ), (v1, v2)) = L(v1, v2) para todo v1, v2 ∈ H10 (Ω),

donde : a((w, φ), (v1, v2)) =

∫ L

0[EI dφ

dxdv2dx

+GKsA(dwdx

− φ)(dv1dx

− v2)]dx,

L(v1, v2) =∫ L

0fv1dx.

(2.20)

50

2.2. Existencia y unicidad de la solucion del proble-ma variacional

Para la viga Euler-BernoulliSe tiene el problema variacional (2.10):

(PV )


a(w, v) = L(v) para todo v ∈ V ,

donde : a(w, v) =∫ 1


∫ 1

0fvdx.

Para verificar la existencia y unicidad de la solucion del (PV ) se verificara lashipotesis del Teorema 1.1 de Lax-Milgram. Se cumplen sin dificultad que:L : V −→ R es una forma lineal y que a : V × V −→ R es una forma bilineal.Solo se muestra la prueba de las siguientes hipotesis:

(i). a es V-elıptica o coerciva:Si existe k1 > 0 tal que a(w,w) ≥ k1‖w‖2H2

0 (Ω), para todo w ∈ H2

0 (Ω).En efecto:

‖v‖2H2(Ω) =∫ 1

0[v2 + (v′)2 + (v′′)2]dx

=∫ 1

0v2dx+

∫ 1

0(v′)2dx+

∫ 1

0(v′′)2dx

Aplicando la desigualdad (♠), se tiene que:∫ 1

0

v2dx+

∫ 1

0

(v′)2dx+

∫ 1

0

(v′′)2dx ≤ 3

∫ 1

0

(v′′)2dx

Entonces:

‖v‖2H2(Ω) ≤ 3∫ 1

0(v′′)2dx

13‖v‖2H2(Ω) ≤

∫ 1

0(v′′)2dx

13‖v‖2

H20 (Ω)

≤ a(v, v)

Entonces existe k1 =13> 0 tal que a(v, v) ≥ k1‖v‖2H2

0 (Ω), para todo v ∈ H2

0 (Ω).

51


(ii). a es continua: Si existe k2 > 0 tal que |a(u, v)| ≤ k2‖u‖H20 (Ω)‖v‖H2

0 (Ω)

para todo u, v ∈ H20 (Ω).

En efecto:| a(u, v) | = |

∫ΩEIu′′v′′dx |

= | EI ||∫Ωu′′v′′dx |

= EI | (u′′, v′′)L2(Ω) |Aplicando la Desigualdad de Cauchy-Schwartz:

| a(u, v) |= EI | (u′′, v′′)L2(Ω) | ≤ EI‖u′′‖L2(Ω)‖v′′‖L2(Ω)

≤ EI‖u‖H20 (Ω)‖v‖H2

0 (Ω)

⇒| a(u, v) |≤ EI‖u‖H20 (Ω)‖v‖H2

0 (Ω)

Entonces existe k2 = EI > 0 tal que |a(u, v)| ≤ k2‖u‖H20 (Ω)‖v‖H2

0 (Ω)


(iii). L es continua: Si existe k3 > 0 tal que |L(v)| ≤ k3‖v‖H20 (Ω)

para todo v ∈ H20 (Ω).

En efecto:

| L(v) |=|∫Ωf.vdx |

=| (f, v)L2(Ω) |

Aplicando la Desigualdad de Cauchy-Schwartz:

| L(v) |=| (f, v)L2(Ω) |≤ ‖f‖L2(Ω)‖v‖L2(Ω)

⇒ | L(v) |≤ ‖f‖L2(Ω)‖v‖L2(Ω)

Como ‖f‖L2(Ω) ≤ k3 y ‖v‖L2(Ω) ≤ ‖v‖H20 (Ω)

Entonces existe k3 = ‖f‖L2(Ω) > 0 tal que |L(v)| ≤ k3‖v‖H20 (Ω).

Por lo tanto se cumplen las hipotesis del Teorema de Lax-Milgram, entonces lasolucion del problema variacional (2.10) existe y es unica.

52

Para la viga de TimoshenkoEs bien conocido que en los elementos finitos estandar, las formulaciones como(2.20) para estructuras delgadas, llevan a un bloqueo numerico 1 [25]. El trabajoadecuado para analizar este problema [3,19], es reescalar la formulacion (2.20)para ası identificar una familia de problemas con un lımite bien puesto a medidaque el espesor tiende a cero. Con este objetivo, introducimos el siguiente parame-tro adimensional, asociado al grosor de la viga:

t2 :=1

L

∫ L

0

I(x)

A(x)L2dx

el cual asumimos puede tomar valores en el intervalo (0; 1].Definimos:

p(x) := q(x)t3

, I(x) := I(x)t3

, A(x) := A(x)t,

E(x) := E(x)I(x) y k(x) := G(x)A(x)Ks(x).

De esta manera, el problema (2.20) donde Ω = (0, L), es equivalente con el si-guiente:

Hallar (w, φ) ∈ H10 (Ω)×H1

0 (Ω) tal que

∫ L

0E(x)φ′(x)v′2(x)dx+ 1

t2

∫ L

0k(x)(φ(x)− w′(x))(v2(x)− v′1(x))dx =

∫ L

0p(x)v1(x)dx

(2.21)para todo (v1, v2) ∈ H1

0 (Ω)×H10 (Ω).

Ahora, se asume que existen constantes E;E; k; k ∈ R+ tales que

E ≥ E(x) ≥ E ∀x ∈ Ω,

k ≥ k(x) ≥ k ∀x ∈ Ω,(2.22)

para cada t > 0. Se pretende reformular el modelo clasico (1.81 y 1.84). Coneste fin, se introduce el momento flector σ(x) := E(x)φ′(x) y el esfuerzo cor-tante escalado γ(x) := t−2k(x)(φ(x) − w′(x)) como nuevas incognitas en el

1a medida que el coeficiente de esbeltez de la viga λ = Longitudaltura aumenta la solucion de

elementos finitos se rigidiza mas y mas con relacion a la solucion exacta, es decir es incapaz dereproducir en el lımite la solucion exacta.

53


(ii). a es continua: Si existe k2 > 0 tal que |a(u, v)| ≤ k2‖u‖H20 (Ω)‖v‖H2

0 (Ω)


En efecto:| a(u, v) | = |

∫ΩEIu′′v′′dx |

= | EI ||∫Ωu′′v′′dx |

= EI | (u′′, v′′)L2(Ω) |Aplicando la Desigualdad de Cauchy-Schwartz:

| a(u, v) |= EI | (u′′, v′′)L2(Ω) | ≤ EI‖u′′‖L2(Ω)‖v′′‖L2(Ω)

≤ EI‖u‖H20 (Ω)‖v‖H2

0 (Ω)

⇒| a(u, v) |≤ EI‖u‖H20 (Ω)‖v‖H2

0 (Ω)

Entonces existe k2 = EI > 0 tal que |a(u, v)| ≤ k2‖u‖H20 (Ω)‖v‖H2

0 (Ω)


(iii). L es continua: Si existe k3 > 0 tal que |L(v)| ≤ k3‖v‖H20 (Ω)

para todo v ∈ H20 (Ω).

En efecto:

| L(v) |=|∫Ωf.vdx |

=| (f, v)L2(Ω) |

Aplicando la Desigualdad de Cauchy-Schwartz:

| L(v) |=| (f, v)L2(Ω) |≤ ‖f‖L2(Ω)‖v‖L2(Ω)

⇒ | L(v) |≤ ‖f‖L2(Ω)‖v‖L2(Ω)

Como ‖f‖L2(Ω) ≤ k3 y ‖v‖L2(Ω) ≤ ‖v‖H20 (Ω)

Entonces existe k3 = ‖f‖L2(Ω) > 0 tal que |L(v)| ≤ k3‖v‖H20 (Ω).

Por lo tanto se cumplen las hipotesis del Teorema de Lax-Milgram, entonces lasolucion del problema variacional (2.10) existe y es unica.

52

Para la viga de TimoshenkoEs bien conocido que en los elementos finitos estandar, las formulaciones como(2.20) para estructuras delgadas, llevan a un bloqueo numerico 1 [25]. El trabajoadecuado para analizar este problema [3,19], es reescalar la formulacion (2.20)para ası identificar una familia de problemas con un lımite bien puesto a medidaque el espesor tiende a cero. Con este objetivo, introducimos el siguiente parame-tro adimensional, asociado al grosor de la viga:

t2 :=1

L

∫ L

0

I(x)

A(x)L2dx

el cual asumimos puede tomar valores en el intervalo (0; 1].Definimos:

p(x) := q(x)t3

, I(x) := I(x)t3

, A(x) := A(x)t,

E(x) := E(x)I(x) y k(x) := G(x)A(x)Ks(x).

De esta manera, el problema (2.20) donde Ω = (0, L), es equivalente con el si-guiente:

Hallar (w, φ) ∈ H10 (Ω)×H1

0 (Ω) tal que

∫ L

0E(x)φ′(x)v′2(x)dx+ 1

t2

∫ L

0k(x)(φ(x)− w′(x))(v2(x)− v′1(x))dx =

∫ L

0p(x)v1(x)dx

(2.21)para todo (v1, v2) ∈ H1

0 (Ω)×H10 (Ω).

Ahora, se asume que existen constantes E;E; k; k ∈ R+ tales que

E ≥ E(x) ≥ E ∀x ∈ Ω,

k ≥ k(x) ≥ k ∀x ∈ Ω,(2.22)

para cada t > 0. Se pretende reformular el modelo clasico (1.81 y 1.84). Coneste fin, se introduce el momento flector σ(x) := E(x)φ′(x) y el esfuerzo cor-tante escalado γ(x) := t−2k(x)(φ(x) − w′(x)) como nuevas incognitas en el

1a medida que el coeficiente de esbeltez de la viga λ = Longitudaltura aumenta la solucion de

elementos finitos se rigidiza mas y mas con relacion a la solucion exacta, es decir es incapaz dereproducir en el lımite la solucion exacta.

53


modelo (1.81 y 1.84). Luego sabiendo que: σ′(x) := E(x)φ′′(x) y γ′(x) :=t−2k(x)(φ′(x)− w′′(x)), el problema (2.21) se reescribe como sigue:

σ(x) = E(x)φ′(x) en Ω,−σ′(x) + γ(x) = 0 en Ω,

γ′(x) = p(x) en Ω,γ(x) = t−2k(x)(φ(x)− w′(x)) en Ω,

w(0) = φ(0) = w(L) = φ(L) = 0.

(2.23)

Luego multiplique a la primera ecuacion de (2.23) por una funcion peso τ(x) eintegre en Ω: ∫ L

0

(σ − Eφ′)τdx = 0 (2.24)

Aplique integracion por partes en el segundo termino de (2.24), para ello hacer:

m = τ dn = φ′dxdm = τ ′dx n = φ

Entonces se tiene:∫ L

0

στdx− E(τφ|L0 −∫ L

0

φτ ′dx) = 0

Tenga en cuenta las condiciones de (2.23), entonces se obtiene:

∫ L

0

στ

Edx+

∫ L

0

φτ ′dx = 0 (2.25)

Seguidamente multiplique a la cuarta ecuacion de (2.23) por una funcion pesoξ(x) e integre en Ω: ∫ L

0

[γ − t−2k(φ− w′)]ξdx = 0

∫ L

0

γξdx−∫ L

0

t−2kφξdx+

∫ L

0

t−2kw′ξdx = 0 (2.26)

Aplique integracion por partes al tercer termino de (2.26), para ello hacer:

m = ξ dn = w′dxdm = ξ′dx n = w


0

γξdx−∫ L

0

t−2kφξdx+ t−2k(ξw|L0 −∫ L

0

wξ′dx) = 0

54


t2

k

∫ L

0

γξdx−∫ L

0

φξdx−∫ L

0

wξ′dx = 0 (2.27)

Sumando las expresiones (2.25) y (2.27) resulta:∫ L

0

στ

Edx+

∫ L

0

φτ ′dx+ t2∫ L

0

γξ

kdx−

∫ L

0

φξdx−∫ L

0

wξ′dx = 0 (2.28)

Finalmente, en la segunda y tercera ecuacion de (2.23) multiplique por la funcionpeso η y υ respectivamente e integrando a ambas en Ω , nos da como resultado:

−∫ L

0

(σ′ − γ)ηdx = 0 (2.29)

∫ L

0

γ′υdx =

∫ L

0

pυdx (2.30)

Sumando las expresiones (2.29) y (2.30) se obtiene:

−∫ L

0

(σ′ − γ)ηdx+

∫ L

0

γ′υdx =

∫ L

0

pυdx (2.31)

En consecuencia con las expresiones (2.28) y (2.31) se obtiene la siguiente for-mulacion variacional, donde ahora se omite la dependencia de la variable x:

Hallar ((σ, γ), (φ,w)) ∈ V ×Q tal que∫ L

0

στ

Edx+ t2

∫ L

0

γξ

kdx+

∫ L

0

φ(τ ′ − ξ)dx−∫ L

0

wξ′dx = 0 ∀(τ, ξ) ∈ V,

(2.32)∫ L

0

(σ′ − γ)ηdx−∫ L

0

γ′υdx = −∫ L

0

pυdx ∀(η, υ) ∈ Q,

donde:V := H1(Ω)×H1(Ω) y Q := L2(Ω)× L2(Ω),cada uno dotado con su correspondiente norma.

Ahora, se dota a V × Q con la correspondiente norma del espacio producto. Sereescribe el problema variacional (2.32) de la siguiente manera:

Hallar ((σ, γ), (φ,w)) ∈ V ×Q tal que

a((σ, γ), (τ, ξ)) + b((τ, ξ), (φ,w)) = 0 ∀(τ, ξ) ∈ V, (2.33)

55


modelo (1.81 y 1.84). Luego sabiendo que: σ′(x) := E(x)φ′′(x) y γ′(x) :=t−2k(x)(φ′(x)− w′′(x)), el problema (2.21) se reescribe como sigue:

σ(x) = E(x)φ′(x) en Ω,−σ′(x) + γ(x) = 0 en Ω,

γ′(x) = p(x) en Ω,γ(x) = t−2k(x)(φ(x)− w′(x)) en Ω,

w(0) = φ(0) = w(L) = φ(L) = 0.

(2.23)

Luego multiplique a la primera ecuacion de (2.23) por una funcion peso τ(x) eintegre en Ω: ∫ L

0

(σ − Eφ′)τdx = 0 (2.24)

Aplique integracion por partes en el segundo termino de (2.24), para ello hacer:

m = τ dn = φ′dxdm = τ ′dx n = φ


0

στdx− E(τφ|L0 −∫ L

0

φτ ′dx) = 0


∫ L

0

στ

Edx+

∫ L

0

φτ ′dx = 0 (2.25)

Seguidamente multiplique a la cuarta ecuacion de (2.23) por una funcion pesoξ(x) e integre en Ω: ∫ L

0

[γ − t−2k(φ− w′)]ξdx = 0

∫ L

0

γξdx−∫ L

0

t−2kφξdx+

∫ L

0

t−2kw′ξdx = 0 (2.26)

Aplique integracion por partes al tercer termino de (2.26), para ello hacer:

m = ξ dn = w′dxdm = ξ′dx n = w


0

γξdx−∫ L

0

t−2kφξdx+ t−2k(ξw|L0 −∫ L

0

wξ′dx) = 0

54


t2

k

∫ L

0

γξdx−∫ L

0

φξdx−∫ L

0

wξ′dx = 0 (2.27)

Sumando las expresiones (2.25) y (2.27) resulta:∫ L

0

στ

Edx+

∫ L

0

φτ ′dx+ t2∫ L

0

γξ

kdx−

∫ L

0

φξdx−∫ L

0

wξ′dx = 0 (2.28)

Finalmente, en la segunda y tercera ecuacion de (2.23) multiplique por la funcionpeso η y υ respectivamente e integrando a ambas en Ω , nos da como resultado:

−∫ L

0

(σ′ − γ)ηdx = 0 (2.29)

∫ L

0

γ′υdx =

∫ L

0

pυdx (2.30)

Sumando las expresiones (2.29) y (2.30) se obtiene:

−∫ L

0

(σ′ − γ)ηdx+

∫ L

0

γ′υdx =

∫ L

0

pυdx (2.31)

En consecuencia con las expresiones (2.28) y (2.31) se obtiene la siguiente for-mulacion variacional, donde ahora se omite la dependencia de la variable x:

Hallar ((σ, γ), (φ,w)) ∈ V ×Q tal que∫ L

0

στ

Edx+ t2

∫ L

0

γξ

kdx+

∫ L

0

φ(τ ′ − ξ)dx−∫ L

0

wξ′dx = 0 ∀(τ, ξ) ∈ V,

(2.32)∫ L

0

(σ′ − γ)ηdx−∫ L

0

γ′υdx = −∫ L

0

pυdx ∀(η, υ) ∈ Q,

donde:V := H1(Ω)×H1(Ω) y Q := L2(Ω)× L2(Ω),cada uno dotado con su correspondiente norma.

Ahora, se dota a V × Q con la correspondiente norma del espacio producto. Sereescribe el problema variacional (2.32) de la siguiente manera:

Hallar ((σ, γ), (φ,w)) ∈ V ×Q tal que

a((σ, γ), (τ, ξ)) + b((τ, ξ), (φ,w)) = 0 ∀(τ, ξ) ∈ V, (2.33)

55


b((σ, γ), (η, v)) = F (η, v) ∀(η, υ) ∈ Q, (2.34)

donde las formas bilineales a : V × V −→ R , b : V × Q −→ R y el funcionallineal F : Q −→ R estan definidos por:

a((σ, γ), (τ, ξ)) :=∫ L

0

στ

Edx+ t2

∫ L

0

γξ

kdx, (2.35)

b((τ, ξ), (φ,w)) :=∫ L

0

φ(τ ′ − ξ)dx−∫ L

0

wξ′dx, (2.36)

y

F (η, v) := −∫ L

0

pυdx,

para todo (σ, γ), (τ, ξ) ∈ V y (η, v) ∈ Q.

A continuacion se mostrara que el problema (2.33)-(2.34) satisface las hipote-sis del Teorema 1.2 de Babuska-Brezzi, y por lo tanto tiene una unica solu-cion, ademas de depender contınuamente de los datos de esta formulacionvariacional.

Observe primero que las formas bilineales a y b y el funcional lineal F estanacotados con constantes independientes del espesor t de la viga. En efecto:

| a((σ, γ), (τ, ξ)) |=|∫ L

0

στ

Edx+ t2

∫ L

0

γξ

kdx |

≤|∫ L

0

στ

Edx | + | t2

∫ L

0

γξ

kdx |

≤ 1E‖σ‖L2(Ω)‖τ‖L2(Ω) +

t2

k‖γ‖L2(Ω)‖ξ‖L2(Ω)

≤ 1E‖σ‖L2(Ω)‖τ‖L2(Ω) +

1k‖γ‖L2(Ω)‖ξ‖L2(Ω)

≤ max 1E ,

1k(‖σ‖L2(Ω)‖τ‖L2(Ω) + ‖γ‖L2(Ω)‖ξ‖L2(Ω))

≤ max 1E ,

1k(‖σ‖2L2(Ω) + ‖γ‖2L2(Ω))

1/2(‖τ‖2L2(Ω) + ‖ξ‖2L2(Ω))1/2

≤ C1‖(σ, γ)‖V ‖(τ, ξ)‖Vdonde la constante C1 = max 1

E ,1k es independiente de t.

Por otro lado:

| b((τ, ξ), (φ,w)) |=|∫ L

0

φ(τ ′ − ξ)dx−∫ L

0

wξ′dx |

56

≤|∫ L

0

φ(τ ′ − ξ)dx | + |∫ L

0

wξ′dx |

≤ ‖φ‖L2(Ω)‖τ ′ − ξ‖L2(Ω) + ‖w‖L2(Ω)‖ξ′‖L2(Ω)

≤ ‖φ‖L2(Ω)(‖τ ′‖L2(Ω) + ‖ξ‖L2(Ω)) + ‖w‖L2(Ω)‖ξ′‖L2(Ω)

≤ ‖φ‖L2(Ω)‖τ ′‖L2(Ω) + ‖φ‖L2(Ω)‖ξ‖L2(Ω) + ‖w‖L2(Ω)‖ξ′‖L2(Ω)

≤ (2‖φ‖2L2(Ω) + ‖w‖2L2(Ω))1/2(‖τ ′‖2L2(Ω) + ‖ξ‖2L2(Ω) + ‖ξ′‖2L2(Ω))

1/2

≤√2(‖φ‖2L2(Ω) + ‖w‖2L2(Ω))

1/2(‖τ‖2H1(Ω) + ‖ξ‖2H1(Ω))1/2

≤ C2‖(τ, ξ)‖V ‖(φ,w)‖Qdonde la constante C2 =

√2.

Finalmente

|F (η, v)| = | −∫ L

0

pυdx| ≤ ‖p‖L2(Ω)‖υ‖L2(Ω) = C3‖υ‖L2(Ω) ≤ C3‖(η, v)‖Q,

donde la constante C3 = ‖p‖L2(Ω).De esta manera se ha visto que las formas bilineales y el funcional estan acotadoscon constantes independientes del espesor t.

Se define:

K := (τ, ζ) ∈ V : b((τ, ξ), (η, v)) = 0, ∀(η, v) ∈ Q

el nucleo contınuo de la forma bilineal b(·, ·), se tiene

K = (τ, ξ) ∈ V : τ ′ − ξ = 0 y ξ′ = 0 en Ω = (τ, τ ′) : τ ∈ P1(Ω)

Seguidamente se muestra que la forma bilineal a es V-elıptica en K, es decirexiste una constante α > 0, independiente de t tal que


En efecto: Dado (τ, ξ) ∈ K, de (2.35) y (2.22) se obtiene

a((τ, ξ), (τ, ξ)) =∫ L

0

τ 2

Edx+ t2

∫ L

0

ξ2

kdx ≥ 1

E‖τ‖2L2(Ω) +

t2

k‖ξ‖2L2(Ω)

≥ 1

E‖τ‖2L2(Ω) ≥ C‖τ‖2H1(Ω)

57


b((σ, γ), (η, v)) = F (η, v) ∀(η, υ) ∈ Q, (2.34)

donde las formas bilineales a : V × V −→ R , b : V × Q −→ R y el funcionallineal F : Q −→ R estan definidos por:

a((σ, γ), (τ, ξ)) :=∫ L

0

στ

Edx+ t2

∫ L

0

γξ

kdx, (2.35)

b((τ, ξ), (φ,w)) :=∫ L

0

φ(τ ′ − ξ)dx−∫ L

0

wξ′dx, (2.36)

y

F (η, v) := −∫ L

0

pυdx,

para todo (σ, γ), (τ, ξ) ∈ V y (η, v) ∈ Q.

A continuacion se mostrara que el problema (2.33)-(2.34) satisface las hipote-sis del Teorema 1.2 de Babuska-Brezzi, y por lo tanto tiene una unica solu-cion, ademas de depender contınuamente de los datos de esta formulacionvariacional.

Observe primero que las formas bilineales a y b y el funcional lineal F estanacotados con constantes independientes del espesor t de la viga. En efecto:

| a((σ, γ), (τ, ξ)) |=|∫ L

0

στ

Edx+ t2

∫ L

0

γξ

kdx |

≤|∫ L

0

στ

Edx | + | t2

∫ L

0

γξ

kdx |

≤ 1E‖σ‖L2(Ω)‖τ‖L2(Ω) +

t2

k‖γ‖L2(Ω)‖ξ‖L2(Ω)

≤ 1E‖σ‖L2(Ω)‖τ‖L2(Ω) +

1k‖γ‖L2(Ω)‖ξ‖L2(Ω)

≤ max 1E ,

1k(‖σ‖L2(Ω)‖τ‖L2(Ω) + ‖γ‖L2(Ω)‖ξ‖L2(Ω))

≤ max 1E ,

1k(‖σ‖2L2(Ω) + ‖γ‖2L2(Ω))

1/2(‖τ‖2L2(Ω) + ‖ξ‖2L2(Ω))1/2

≤ C1‖(σ, γ)‖V ‖(τ, ξ)‖Vdonde la constante C1 = max 1

E ,1k es independiente de t.

Por otro lado:

| b((τ, ξ), (φ,w)) |=|∫ L

0

φ(τ ′ − ξ)dx−∫ L

0

wξ′dx |

56

≤|∫ L

0

φ(τ ′ − ξ)dx | + |∫ L

0

wξ′dx |

≤ ‖φ‖L2(Ω)‖τ ′ − ξ‖L2(Ω) + ‖w‖L2(Ω)‖ξ′‖L2(Ω)

≤ ‖φ‖L2(Ω)(‖τ ′‖L2(Ω) + ‖ξ‖L2(Ω)) + ‖w‖L2(Ω)‖ξ′‖L2(Ω)

≤ ‖φ‖L2(Ω)‖τ ′‖L2(Ω) + ‖φ‖L2(Ω)‖ξ‖L2(Ω) + ‖w‖L2(Ω)‖ξ′‖L2(Ω)

≤ (2‖φ‖2L2(Ω) + ‖w‖2L2(Ω))1/2(‖τ ′‖2L2(Ω) + ‖ξ‖2L2(Ω) + ‖ξ′‖2L2(Ω))

1/2

≤√2(‖φ‖2L2(Ω) + ‖w‖2L2(Ω))

1/2(‖τ‖2H1(Ω) + ‖ξ‖2H1(Ω))1/2

≤ C2‖(τ, ξ)‖V ‖(φ,w)‖Qdonde la constante C2 =

√2.

Finalmente

|F (η, v)| = | −∫ L

0

pυdx| ≤ ‖p‖L2(Ω)‖υ‖L2(Ω) = C3‖υ‖L2(Ω) ≤ C3‖(η, v)‖Q,

donde la constante C3 = ‖p‖L2(Ω).De esta manera se ha visto que las formas bilineales y el funcional estan acotadoscon constantes independientes del espesor t.

Se define:

K := (τ, ζ) ∈ V : b((τ, ξ), (η, v)) = 0, ∀(η, v) ∈ Q

el nucleo contınuo de la forma bilineal b(·, ·), se tiene

K = (τ, ξ) ∈ V : τ ′ − ξ = 0 y ξ′ = 0 en Ω = (τ, τ ′) : τ ∈ P1(Ω)

Seguidamente se muestra que la forma bilineal a es V-elıptica en K, es decirexiste una constante α > 0, independiente de t tal que


En efecto: Dado (τ, ξ) ∈ K, de (2.35) y (2.22) se obtiene

a((τ, ξ), (τ, ξ)) =∫ L

0

τ 2

Edx+ t2

∫ L

0

ξ2

kdx ≥ 1

E‖τ‖2L2(Ω) +

t2

k‖ξ‖2L2(Ω)

≥ 1

E‖τ‖2L2(Ω) ≥ C‖τ‖2H1(Ω)

57


donde esta ultima desigualdad se obtiene debido a la equivalencia entre ‖.‖L2(Ω) y‖.‖H1(Ω), con una constante independiente de t en K ∼= P1(Ω). Ademas, usandola definicion de K, y de que

‖(τ, ξ)‖2V = ‖τ‖2H1(Ω) + ‖τ ′‖L2(Ω) para todo (τ, ξ) ∈ K

se tienea((τ, ξ), (τ, ξ)) ≥ C‖τ‖2H1(Ω) =

= C

(‖τ‖2L2(Ω) +

1

2‖τ ′‖2L2(Ω) +

1

2‖ξ‖2L2(Ω) + ‖ξ′‖2L2(Ω)

)≥ α‖(τ, ξ)‖2V

Por lo tanto existe una constante α > 0, independiente de t tal que


Ahora, se mostrara que existe una constante C > 0 independiente de t tal que


b((τ, ξ), (η, υ))‖(τ, ξ)‖V


En efecto: Sea (η, υ) ∈ Q y τ(r) :=∫ r

0η(s)ds, 0 ≤ r ≤ L. Se tiene que τ ′ = η ∈

L2(Ω). Por lo tanto τ ∈ H1(Ω), ademas

|τ(r)| =∣∣∣∣∫ r

0

η(s)ds

∣∣∣∣ ≤(∫ r

0

1ds

)1/2 (∫ r

0

η(s)2ds

)1/2

≤ r1/2‖η‖L2(Ω)

luego

‖τ‖2L2(Ω) =

∫ L

0

|τ(r)|2dr ≤ ‖η‖2L2(Ω)

∫ L

0

rdr =L2

2‖η‖2L2(Ω)

y como ‖τ ′‖L2(Ω) = ‖η‖L2(Ω) se tiene que

‖τ‖2L2(Ω) + ‖τ ′‖2L2(Ω) ≤L2

2‖η‖2L2(Ω) + ‖η‖2L2(Ω)

entonces

‖τ‖H1(Ω) ≤(L2 + 2

2

)1/2

‖η‖L2(Ω)

de esta manera


b((τ, ξ), (η, υ))‖(τ, ξ)‖V

≥ b((τ , 0), (η, v))‖τ‖H1(Ω)

(2.37)

58

=‖η‖2L2(Ω)

‖τ‖H1(Ω)

≥(

2

L2 + 2

)1/2

‖η‖L2(Ω).

En consecuencia, sea ξ(r) := −∫ r

0v(s)ds, 0 ≤ r ≤ L. Se usa los mismos argu-

mentos anteriores para mostrar que

‖ξ‖H1(Ω) ≤(L2 + 2

2

)1/2

‖v‖L2(Ω).

Ası, se sigue que


b((τ, ξ), (η, υ))‖(τ, ξ)‖V

≥ b((0, ξ), (η, v))

‖ξ‖H1(Ω)

(2.38)

=‖v‖2L2(Ω) −

∫Ωηξ

‖ξ‖H1(Ω)

≥(

2

L2 + 2

)1/2

‖v‖L2(Ω) − ‖η‖L2(Ω). (2.39)

Con (2.39) y (2.38), se obtiene que


b((τ, ξ), (η, υ))‖(τ, ξ)‖V

≥ 2√L2 + 2(

√L2 + 2 +

√2)‖v‖L2(Ω). (2.40)

Por lo tanto, de (2.40) y (2.37) queda demostrado que existe una constante C > 0independiente de t tal que


b((τ, ξ), (η, υ))‖(τ, ξ)‖V


Finalmente aplicando el Teorema 1.2 se tiene que:Existe una unica solucion ((σ, γ), (φ,w)) ∈ V × Q del problema variacional(2.33)-(2.34) que satisface la siguiente dependencia contınua de los datos:

‖((σ, γ), (φ,w))‖V×Q ≤ C‖p‖Ω,

donde C es independiente t.

59


donde esta ultima desigualdad se obtiene debido a la equivalencia entre ‖.‖L2(Ω) y‖.‖H1(Ω), con una constante independiente de t en K ∼= P1(Ω). Ademas, usandola definicion de K, y de que

‖(τ, ξ)‖2V = ‖τ‖2H1(Ω) + ‖τ ′‖L2(Ω) para todo (τ, ξ) ∈ K

se tienea((τ, ξ), (τ, ξ)) ≥ C‖τ‖2H1(Ω) =

= C

(‖τ‖2L2(Ω) +

1

2‖τ ′‖2L2(Ω) +

1

2‖ξ‖2L2(Ω) + ‖ξ′‖2L2(Ω)

)≥ α‖(τ, ξ)‖2V

Por lo tanto existe una constante α > 0, independiente de t tal que


Ahora, se mostrara que existe una constante C > 0 independiente de t tal que


b((τ, ξ), (η, υ))‖(τ, ξ)‖V


En efecto: Sea (η, υ) ∈ Q y τ(r) :=∫ r

0η(s)ds, 0 ≤ r ≤ L. Se tiene que τ ′ = η ∈

L2(Ω). Por lo tanto τ ∈ H1(Ω), ademas

|τ(r)| =∣∣∣∣∫ r

0

η(s)ds

∣∣∣∣ ≤(∫ r

0

1ds

)1/2 (∫ r

0

η(s)2ds

)1/2

≤ r1/2‖η‖L2(Ω)

luego

‖τ‖2L2(Ω) =

∫ L

0

|τ(r)|2dr ≤ ‖η‖2L2(Ω)

∫ L

0

rdr =L2

2‖η‖2L2(Ω)

y como ‖τ ′‖L2(Ω) = ‖η‖L2(Ω) se tiene que

‖τ‖2L2(Ω) + ‖τ ′‖2L2(Ω) ≤L2

2‖η‖2L2(Ω) + ‖η‖2L2(Ω)

entonces

‖τ‖H1(Ω) ≤(L2 + 2

2

)1/2

‖η‖L2(Ω)

de esta manera


b((τ, ξ), (η, υ))‖(τ, ξ)‖V

≥ b((τ , 0), (η, v))‖τ‖H1(Ω)

(2.37)

58

=‖η‖2L2(Ω)

‖τ‖H1(Ω)

≥(

2

L2 + 2

)1/2

‖η‖L2(Ω).

En consecuencia, sea ξ(r) := −∫ r

0v(s)ds, 0 ≤ r ≤ L. Se usa los mismos argu-

mentos anteriores para mostrar que

‖ξ‖H1(Ω) ≤(L2 + 2

2

)1/2

‖v‖L2(Ω).

Ası, se sigue que


b((τ, ξ), (η, υ))‖(τ, ξ)‖V

≥ b((0, ξ), (η, v))

‖ξ‖H1(Ω)

(2.38)

=‖v‖2L2(Ω) −

∫Ωηξ

‖ξ‖H1(Ω)

≥(

2

L2 + 2

)1/2

‖v‖L2(Ω) − ‖η‖L2(Ω). (2.39)

Con (2.39) y (2.38), se obtiene que


b((τ, ξ), (η, υ))‖(τ, ξ)‖V

≥ 2√L2 + 2(

√L2 + 2 +

√2)‖v‖L2(Ω). (2.40)

Por lo tanto, de (2.40) y (2.37) queda demostrado que existe una constante C > 0independiente de t tal que


b((τ, ξ), (η, υ))‖(τ, ξ)‖V


Finalmente aplicando el Teorema 1.2 se tiene que:Existe una unica solucion ((σ, γ), (φ,w)) ∈ V × Q del problema variacional(2.33)-(2.34) que satisface la siguiente dependencia contınua de los datos:

‖((σ, γ), (φ,w))‖V×Q ≤ C‖p‖Ω,

donde C es independiente t.

59


2.3. Formulacion via Elementos Finitos

Para la deflexion de viga Euler-BernoulliLa viga es dividida en un numero finito de partes, cada una de estas partes son lla-madas elementos finitos y los extremos de estos elementos se denominan nodos,y por medio de estos nodos se conectan los elementos. Los desplazamientos queocurren en cada nodo, son los grados de libertad: ue

1, ue3 para las deflexiones y

ue2, u

e4 para los giros. A cada elemento finito (Figura (2.1)) que se hace referencia

aquı, tambien se llama elemento viga o elemento de Hermite.

Figura 2.1. Elemento finito

El elemento viga posee cuatro incognitas y estas incognitas son las constantesu1, u2, u3 y u4 mostradas en la (Figura 2.2). Aquı u1 y u3 son los desplazamientosnodales en la direccion z, donde u2 y u4 son las pendientes en los nodos medidacomo positiva en la direccion contrarias a las manecillas del reloj.

Figura 2.2. Elemento de viga

Es necesario hacer el analisis teniendo en cuenta condiciones de contorno arbitra-rias, es por ello que con (2.3) y (2.5) sin aplicar condiciones esenciales, se tiene:

∫ xe2

xe1

EIw′′v′′dx = EIw′′v′|xe2

xe1− (EIw′′)′v|x

e2

xe1+

∫ xe2

xe1

fvdx (2.41)

60

De (2.41) se define:

a(w, v) =∫ xe

2

xe1

EId2w

dx2

d2v

dx2dx (2.42)

y

(v) =[vV

]xe2

xe1

−[dvdx

M]xe

2

xe1

+

∫ xe2

xe1

vqdx (2.43)

Por lo tanto:

(PV )


a(w, v) = (v) para todo v ∈ V = H20 (Ω),

(2.44)

Sea Vn una sucesion de subespacios de dimension finita tal que Vn ⊂ V , dondecada subespacio de dimension finita es generado por un numero finito de funcionesbase φi; entonces se plantea el problema aproximado al P.V. como:

(PV A)

Hallar wn ∈ Vn tal que

a(wn, v) = (v) para todo v ∈ Vn(2.45)

Se elige aproximar a w en Ωe a traves de una funcion polinomica de grado 3,como:

wen(x) = N e

1 (x)ue1 +N e

2 (x)ue2 +N e

3 (x)ue3 +N e

4 (x)ue4 (2.46)

donde las funciones base locales son:

φi|Ωe = N ei

las cuales se definen como polinomios a trozos y que tienen soporte pequeno, esdecir, que sean diferentes de cero solo en una region pequena del dominio.El espacio generado por N e

i es:

P3(Ωe) = Ni ∈ C1(Ωe); ∀i = 1, 4;Ni|Ωe ∈ P3

donde Ωe es un subdominio de Ω = [a; b]; ademas las constantes ui son desplaza-mientos de la viga.

61


2.3. Formulacion via Elementos Finitos

Para la deflexion de viga Euler-BernoulliLa viga es dividida en un numero finito de partes, cada una de estas partes son lla-madas elementos finitos y los extremos de estos elementos se denominan nodos,y por medio de estos nodos se conectan los elementos. Los desplazamientos queocurren en cada nodo, son los grados de libertad: ue

1, ue3 para las deflexiones y

ue2, ue

4 para los giros. A cada elemento finito (Figura (2.1)) que se hace referenciaaquı, tambien se llama elemento viga o elemento de Hermite.


El elemento viga posee cuatro incognitas y estas incognitas son las constantesu1, u2, u3 y u4 mostradas en la (Figura 2.2). Aquı u1 y u3 son los desplazamientosnodales en la direccion z, donde u2 y u4 son las pendientes en los nodos medidacomo positiva en la direccion contrarias a las manecillas del reloj.

Figura 2.2. Elemento de viga

Es necesario hacer el analisis teniendo en cuenta condiciones de contorno arbitra-rias, es por ello que con (2.3) y (2.5) sin aplicar condiciones esenciales, se tiene:

∫ xe2

xe1

EIw′′v′′dx = EIw′′v′|xe2

xe1− (EIw′′)′v|x

e2

xe1+

∫ xe2

xe1

fvdx (2.41)

60

De (2.41) se define:

a(w, v) =∫ xe

2

xe1

EId2w

dx2

d2v

dx2dx (2.42)

y

(v) =[vV

]xe2

xe1

−[dvdx

M]xe

2

xe1

+

∫ xe2

xe1

vqdx (2.43)

Por lo tanto:

(PV )


a(w, v) = (v) para todo v ∈ V = H20 (Ω),

(2.44)

Sea Vn una sucesion de subespacios de dimension finita tal que Vn ⊂ V , dondecada subespacio de dimension finita es generado por un numero finito de funcionesbase φi; entonces se plantea el problema aproximado al P.V. como:

(PV A)

Hallar wn ∈ Vn tal que

a(wn, v) = (v) para todo v ∈ Vn(2.45)

Se elige aproximar a w en Ωe a traves de una funcion polinomica de grado 3,como:

wen(x) = N e

1 (x)ue1 +N e

2 (x)ue2 +N e

3 (x)ue3 +N e

4 (x)ue4 (2.46)

donde las funciones base locales son:

φi|Ωe = N ei

las cuales se definen como polinomios a trozos y que tienen soporte pequeno, esdecir, que sean diferentes de cero solo en una region pequena del dominio.El espacio generado por N e

i es:

P3(Ωe) = Ni ∈ C1(Ωe); ∀i = 1, 4;Ni|Ωe ∈ P3

donde Ωe es un subdominio de Ω = [a; b]; ademas las constantes ui son desplaza-mientos de la viga.

61


Por lo tanto se escoge los Polinomios de Hermite:

N e1 (x) = 1− 3 x2

(Le)2+ 2 x3

(Le)3

N e2 (x) = x(1− 2 x

Le +x2

(Le)2)

N e3 (x) =

x2

(Le)2(3− 2 x

Le )

N e4 (x) =

x2

Le (xLe − 1)

(2.47)

donde: Le = xe2 − xe

1, ademas estos polinomios satisfacen las siguientes propie-dades de interpolacion:

N e1 (x

e1) = 1, N e

1 (xe2) = 0;

N e2 (x

e1) = 0, N e

2 (xe2) = 0;

N e3 (x

e1) = 0, N e

3 (xe2) = 1;

N e4 (x

e1) = 0, N e

4 (xe2) = 0;

(2.48)

ilustradas en la Figura (2.3).

x1=0 x2=L

1 eN3

x2=L x1=0

eN2 12

dxdN e

x2=L

x1=0 eN4 14

dxdN e

1

x1=0 x2=L

eN1

Figura 2.3. Funciones de Hermite del elemento

Sustituyendo (2.46) en (2.45):

a

(4∑

i=1

ueiN

ei , v

)= (v) para todo v ∈ Vn

62

4∑i=1

ueia (N

ei , v) = (v) para todo v ∈ Vn (2.49)

El Metodo de Galerkin exige que se elija v = N ej , para todo j = 1, 2, 3, 4. Es

decir (2.49) ahora es:

4∑i=1

ueia

(N e

i , Nej

)= (v) para todo v ∈ Vn (2.50)

Con la expresion (2.50) se obtienen:

Para j = 1 −→4∑

i=1

ueia (N

ei , N

e1 ) = (N e

1 )

Para j = 2 −→4∑

i=1

ueia (N

ei , N

e2 ) = (N e

2 )

Para j = 3 −→4∑

i=1

ueia (N

ei , N

e3 ) = (N e

3 )

Para j = 4 −→4∑

i=1

ueia (N

ei , N

e4 ) = (N e

4 )

Se denota:

keij = a

(N e

i , Nej

), f e

j = (N ej ), para todo i, j = 1, 2, 3, 4. (2.51)

Entonces se tiene el sistema:

ue1k

e11 + ue

2ke12 + ue

3ke13 + ue

4ke14 = f e

1

ue1k

e21 + ue

2ke22 + ue

3ke23 + ue

4ke24 = f e

2

ue1k

e31 + ue

2ke32 + ue

3ke33 + ue

4ke34 = f e

3

ue1k

e41 + ue

2ke42 + ue

3ke43 + ue

4ke44 = f e

4

En forma matricial:ke11 ke

12 ke13 ke

14

ke21 ke

22 ke23 ke

24

ke31 ke

32 ke33 ke

34

ke41 ke

42 ke43 ke

44

ue1

ue2

ue3

ue4

=

f e1

f e2

f e3

f e4

(2.52)

63


Por lo tanto se escoge los Polinomios de Hermite:

N e1 (x) = 1− 3 x2

(Le)2+ 2 x3

(Le)3

N e2 (x) = x(1− 2 x

Le +x2

(Le)2)

N e3 (x) =

x2

(Le)2(3− 2 x

Le )

N e4 (x) =

x2

Le (xLe − 1)

(2.47)

donde: Le = xe2 − xe

1, ademas estos polinomios satisfacen las siguientes propie-dades de interpolacion:

N e1 (x

e1) = 1, N e

1 (xe2) = 0;

N e2 (x

e1) = 0, N e

2 (xe2) = 0;

N e3 (x

e1) = 0, N e

3 (xe2) = 1;

N e4 (x

e1) = 0, N e

4 (xe2) = 0;

(2.48)


x1=0 x2=L

1 eN3

x2=L x1=0

eN2 12

dxdN e

x2=L

x1=0 eN4 14

dxdN e

1

x1=0 x2=L

eN1

Figura 2.3. Funciones de Hermite del elemento

Sustituyendo (2.46) en (2.45):

a

(4∑

i=1

ueiN

ei , v

)= (v) para todo v ∈ Vn

62

4∑i=1

ueia (N

ei , v) = (v) para todo v ∈ Vn (2.49)

El Metodo de Galerkin exige que se elija v = N ej , para todo j = 1, 2, 3, 4. Es

decir (2.49) ahora es:

4∑i=1

ueia

(N e

i , Nej

)= (v) para todo v ∈ Vn (2.50)

Con la expresion (2.50) se obtienen:

Para j = 1 −→4∑

i=1

ueia (N

ei , N

e1 ) = (N e

1 )

Para j = 2 −→4∑

i=1

ueia (N

ei , N

e2 ) = (N e

2 )

Para j = 3 −→4∑

i=1

ueia (N

ei , N

e3 ) = (N e

3 )

Para j = 4 −→4∑

i=1

ueia (N

ei , N

e4 ) = (N e

4 )

Se denota:

keij = a

(N e

i , Nej

), f e

j = (N ej ), para todo i, j = 1, 2, 3, 4. (2.51)

Entonces se tiene el sistema:

ue1k

e11 + ue

2ke12 + ue

3ke13 + ue

4ke14 = f e

1

ue1k

e21 + ue

2ke22 + ue

3ke23 + ue

4ke24 = f e

2

ue1k

e31 + ue

2ke32 + ue

3ke33 + ue

4ke34 = f e

3

ue1k

e41 + ue

2ke42 + ue

3ke43 + ue

4ke44 = f e

4

En forma matricial:ke11 ke

12 ke13 ke

14

ke21 ke

22 ke23 ke

24

ke31 ke

32 ke33 ke

34

ke41 ke

42 ke43 ke

44

ue1

ue2

ue3

ue4

=

f e1

f e2

f e3

f e4

(2.52)

63


Keae = f e (2.53)

donde Ke es la matriz de rıgidez y f e es el vector de fuerza para un elemento.

La ecuacion (2.53), considerando (2.51) y (2.52), es la Formulacion de Elemen-tos Finitos para la viga de Euler-Bernoulli.

Las condiciones de frontera para este sistema de ecuaciones son descritas unas porcondiciones de estatica, es decir el momento M y la fuerza cortante V (condicionesde frontera natural) o por condiciones de cinematica, es decir la deflexion w yla pendiente dw

dx(condiciones de frontera esenciales).

Se deduce que las condiciones de frontera para un elemento son desconocidasexcepto donde un elemento frontera coincide con la frontera de la viga.

Se puede definir las siguientes matrices:

Ke =∫ xe

2

xe1EI dNeT

dxdNe

dxdx

f eb =

[N eTV e

]xe2

xe1

−[dNeT

dxM e

]xe2

xe1

f eq =

∫ xe2

xe1N eT qedx

(2.54)

Observe que el vector fuerza es:

f e = f eb + f e

q (2.55)

Con (2.55), el sistema (2.53) se expresa de la siguiente forma:

Keae = f eb + f e

q (2.56)

donde Ke es la matriz de rıgidez, f eb el vector de frontera y f e

q el vector de cargapara un elemento.

64

Matriz rigidez para un elemento

Considere que xe1 = 0 y xe

2 = Le, ademas asuma que la rigidez a la flexion EIno varıa a lo largo del eje de la viga; y como:

keij = a

(N e

i , Nej

), ∀i, j = 1, 2, 3, 4.

entonces:

keij = EI

∫ Le

0

d2N ei d

2N ej

dx2dx2dx, ∀i, j = 1, 2, 3, 4.

por ejemplo, para el componente ke43 se obtiene:

ke43 = EI

∫ Le

0

d2N e4d

2N e3

dx2dx2dx.

considerando (2.47) se sigue que:

ke43 = EI

∫ Le

0

(6x

L2− 2

L

)(6

L2− 12x

L3

)dx = − 6EI

(Le)2.

Evaluando todas las componentes de la matriz Ke en (2.53), se llega a:

Ke =

12EI(Le)3

6EI(Le)2

− 12EI(Le)3

6EI(Le)2

6EI(Le)2

4EILe − 6EI

(Le)22EILe

− 12EI(Le)3

− 6EI(Le)2

12EI(Le)3

− 6EI(Le)2

6EI(Le)2

2EILe − 6EI

(Le)24EILe

. (2.57)

Observe que Ke es una matriz simetrica de dimension 4x4.

65


Keae = f e (2.53)

donde Ke es la matriz de rıgidez y f e es el vector de fuerza para un elemento.

La ecuacion (2.53), considerando (2.51) y (2.52), es la Formulacion de Elemen-tos Finitos para la viga de Euler-Bernoulli.

Las condiciones de frontera para este sistema de ecuaciones son descritas unas porcondiciones de estatica, es decir el momento M y la fuerza cortante V (condicionesde frontera natural) o por condiciones de cinematica, es decir la deflexion w yla pendiente dw

dx(condiciones de frontera esenciales).

Se deduce que las condiciones de frontera para un elemento son desconocidasexcepto donde un elemento frontera coincide con la frontera de la viga.

Se puede definir las siguientes matrices:

Ke =∫ xe

2

xe1EI dNeT

dxdNe

dxdx

f eb =

[N eTV e

]xe2

xe1

−[dNeT

dxM e

]xe2

xe1

f eq =

∫ xe2

xe1N eT qedx

(2.54)

Observe que el vector fuerza es:

f e = f eb + f e

q (2.55)

Con (2.55), el sistema (2.53) se expresa de la siguiente forma:

Keae = f eb + f e

q (2.56)

donde Ke es la matriz de rıgidez, f eb el vector de frontera y f e

q el vector de cargapara un elemento.

64

Matriz rigidez para un elemento

Considere que xe1 = 0 y xe

2 = Le, ademas asuma que la rigidez a la flexion EIno varıa a lo largo del eje de la viga; y como:

keij = a

(N e

i , Nej

), ∀i, j = 1, 2, 3, 4.

entonces:

keij = EI

∫ Le

0

d2N ei d

2N ej

dx2dx2dx, ∀i, j = 1, 2, 3, 4.

por ejemplo, para el componente ke43 se obtiene:

ke43 = EI

∫ Le

0

d2N e4d

2N e3

dx2dx2dx.

considerando (2.47) se sigue que:

ke43 = EI

∫ Le

0

(6x

L2− 2

L

)(6

L2− 12x

L3

)dx = − 6EI

(Le)2.

Evaluando todas las componentes de la matriz Ke en (2.53), se llega a:

Ke =

12EI(Le)3

6EI(Le)2

− 12EI(Le)3

6EI(Le)2

6EI(Le)2

4EILe − 6EI

(Le)22EILe

− 12EI(Le)3

− 6EI(Le)2

12EI(Le)3

− 6EI(Le)2

6EI(Le)2

2EILe − 6EI

(Le)24EILe

. (2.57)

Observe que Ke es una matriz simetrica de dimension 4x4.

65


Vector frontera para un elemento

Considere el vector frontera del elemento f eb dado en (2.54)

f eb =

[N eTV

]Le

0−[dN eT

dx·M

]Le

0

Evaluando este vector para el elemento de viga simple mostrado en la Figura (2.2),se obtiene:

f eb =

(N e1V )x=Le − (N e

1V )x=0 − (dNe

1

dxM)x=Le + (

dNe1

dxM)x=0


2V )x=0 − (dNe

2

dxM)x=Le + (

dNe2

dxM)x=0


3V )x=0 − (dNe

3

dxM)x=Le + (

dNe3

dxM)x=0


4V )x=0 − (dNe

4

dxM)x=Le + (

dNe4

dxM)x=0

.

La matriz f eb es de orden 4 × 1 ya que de (2.54) se tiene que N eT y dNeT

dxes de

orden n× 1.Considerando las propiedades (2.48) de las funciones de prueba del elemento yevaluando sus primeras derivadas en xe

1 = 0 y xe2 = Le, se sigue que:

f eb =

−Vx=0

Mx=0

Vx=L

−Mx=L

. (2.58)

Las direcciones positivas de V y M son dadas en la Figura (1.19). Por lo tanto,cuando todos los componentes del vector frontera f e

b del elemento son positivos,estas componentes conducen a la forma mostrada en la Figura (2.4). Las direccio-nes mostradas en la Figura (2.4) estan en conformidad con las direcciones de lascantidades de cinematica mostradas en la Figura (2.2).

e

bf 1

e

bf 2

e

bf 3

e

bf 4

L

Figura 2.4. Componentes del vector frontera f eb del elemento

66

Elemento de viga con carga no distribuida

Considere el elemento de viga simple con la carga no distribuida, es decir q = 0.Esto implica que f e

q = 0 y que (2.53) se reduce a:

Keae = f eb (2.59)

donde f eb esta dado por (2.58) y las direcciones positivas de los componentes f e

b

son mostradas en la Figura (2.4). Asumir ahora que la rigidez a la flexion EI novaria a lo largo del eje de la viga, es decir Ke es dado por (2.57).De (2.59) se puede obtener algunos resultados interesantes.Recuerde que los componentes de ae son los desplazamientos en los nodos.Asumir que:

ae =

1000

. (2.60)

Con los componentes ae dados por la Figura (2.2) los valores de (2.60) correspon-de a la deflexion del elemento de viga como mostramos en la Figura (2.5-(a)).

Usando (2.60) en (2.59) con Ke dado por (2.57) se obtiene:

f eb =

12EIL3

6EIL2

−12EIL3

6EIL2

. (2.61)

Estas componentes son ilustradas en la Figura (2.5-(b)). En seguida se eligeu2 = 1 y u1 = u3 = u4 = 0, se obtiene los resultados mostrados en la Figura(2.5-(c) y (d)). Procediendo de este modo, se llega a todos los resultados mostradosen la Figura (2.5).

67


Vector frontera para un elemento

Considere el vector frontera del elemento f eb dado en (2.54)

f eb =

[N eTV

]Le

0−[dN eT

dx·M

]Le

0

Evaluando este vector para el elemento de viga simple mostrado en la Figura (2.2),se obtiene:

f eb =


1V )x=0 − (dNe

1

dxM)x=Le + (

dNe1

dxM)x=0


2V )x=0 − (dNe

2

dxM)x=Le + (

dNe2

dxM)x=0


3V )x=0 − (dNe

3

dxM)x=Le + (

dNe3

dxM)x=0


4V )x=0 − (dNe

4

dxM)x=Le + (

dNe4

dxM)x=0

.

La matriz f eb es de orden 4 × 1 ya que de (2.54) se tiene que N eT y dNeT

dxes de

orden n× 1.Considerando las propiedades (2.48) de las funciones de prueba del elemento yevaluando sus primeras derivadas en xe

1 = 0 y xe2 = Le, se sigue que:

f eb =

−Vx=0

Mx=0

Vx=L

−Mx=L

. (2.58)

Las direcciones positivas de V y M son dadas en la Figura (1.19). Por lo tanto,cuando todos los componentes del vector frontera f e

b del elemento son positivos,estas componentes conducen a la forma mostrada en la Figura (2.4). Las direccio-nes mostradas en la Figura (2.4) estan en conformidad con las direcciones de lascantidades de cinematica mostradas en la Figura (2.2).

e

bf 1

e

bf 2

e

bf 3

e

bf 4

L

Figura 2.4. Componentes del vector frontera f eb del elemento

66

Elemento de viga con carga no distribuida

Considere el elemento de viga simple con la carga no distribuida, es decir q = 0.Esto implica que f e

q = 0 y que (2.53) se reduce a:

Keae = f eb (2.59)

donde f eb esta dado por (2.58) y las direcciones positivas de los componentes f e

b

son mostradas en la Figura (2.4). Asumir ahora que la rigidez a la flexion EI novaria a lo largo del eje de la viga, es decir Ke es dado por (2.57).De (2.59) se puede obtener algunos resultados interesantes.Recuerde que los componentes de ae son los desplazamientos en los nodos.Asumir que:

ae =

1000

. (2.60)

Con los componentes ae dados por la Figura (2.2) los valores de (2.60) correspon-de a la deflexion del elemento de viga como mostramos en la Figura (2.5-(a)).

Usando (2.60) en (2.59) con Ke dado por (2.57) se obtiene:

f eb =

12EIL3

6EIL2

−12EIL3

6EIL2

. (2.61)

Estas componentes son ilustradas en la Figura (2.5-(b)). En seguida se eligeu2 = 1 y u1 = u3 = u4 = 0, se obtiene los resultados mostrados en la Figura(2.5-(c) y (d)). Procediendo de este modo, se llega a todos los resultados mostradosen la Figura (2.5).

67


Figura 2.5. Deformaciones y correspondientes fuerzas y momentos

Vector de carga uniforme de un elemento

Asumir que el elemento de viga simple de la Figura (2.2) es sometida a una cargauniforme q como en la Figura (2.6).

Figura 2.6. Carga uniforme q y equivalentes fuerzas y momentos en los nodos

68

Considerando a la carga q constante y en direccion positiva; de (2.54) se ob-tiene el vector de carga del elemento:

f eq =

∫ Le

0

N eT qdx = q

∫ Le

0

N e1

N e2

N e3

N e4

dx

y el uso de (2.47) implica que:

f eq =

12qLe

112q(Le)2

12qLe

− 112q(Le)2

. (2.62)

Estas equivalencias de fuerzas nodales y momentos nodales son ilustrados en Fi-gura (2.6).

Vector de fuerza concentrada y de momento para un elemento

Se evalua el vector de carga f eq para un elemento arbitrario de viga cuando la carga

q toma la forma de una fuerza concentrada P ; (Figura 2.7). La dimension de P es[N ] y P es medida como positiva en la direccion z. Usamos la Funcion Delta deDirac y se escribe q como:

q = Pδ(x− a) ;

es decir: ∫ Le

0

qdx =

∫ Le

0

Pδ(x− a)dx = P.

Esto implica que f eq dado por (2.56) llega ser:

f eq =

∫ Le

0

N eT qdx =

∫ Le

0

N eTPδ(x− a)dx = P

∫ Le

0

N eT δ(x− a)dx

69


Figura 2.5. Deformaciones y correspondientes fuerzas y momentos

Vector de carga uniforme de un elemento

Asumir que el elemento de viga simple de la Figura (2.2) es sometida a una cargauniforme q como en la Figura (2.6).

Figura 2.6. Carga uniforme q y equivalentes fuerzas y momentos en los nodos

68

Considerando a la carga q constante y en direccion positiva; de (2.54) se ob-tiene el vector de carga del elemento:

f eq =

∫ Le

0

N eT qdx = q

∫ Le

0

N e1

N e2

N e3

N e4

dx

y el uso de (2.47) implica que:

f eq =

12qLe

112q(Le)2

12qLe

− 112q(Le)2

. (2.62)

Estas equivalencias de fuerzas nodales y momentos nodales son ilustrados en Fi-gura (2.6).

Vector de fuerza concentrada y de momento para un elemento

Se evalua el vector de carga f eq para un elemento arbitrario de viga cuando la carga

q toma la forma de una fuerza concentrada P ; (Figura 2.7). La dimension de P es[N ] y P es medida como positiva en la direccion z. Usamos la Funcion Delta deDirac y se escribe q como:

q = Pδ(x− a) ;

es decir: ∫ Le

0

qdx =

∫ Le

0

Pδ(x− a)dx = P.

Esto implica que f eq dado por (2.56) llega ser:

f eq =

∫ Le

0

N eT qdx =

∫ Le

0

N eTPδ(x− a)dx = P

∫ Le

0

N eT δ(x− a)dx

69


es decir:

f eq = PN eT

x=a = P

N e1 (a)

N e2 (a)

N e3 (a)

N e4 (a)

. (2.63)

Considerando el elemento de viga simple, los componentes de f eq son como se

ilustra en la Figura (2.7).

Figura 2.7. Fuerza concentrada P y equivalentes fuerzas y momentos en los nodos

En general, la fuerza P dada surge para ambas fuerzas y momentos en los nodos.Como se muestra en (2.63) y la Figura (2.3), la situacion solo donde la fuerza Pcrea fuerzas en los nodos pero momentos en los nodos igual a cero es cuando lafuerza es localizada en uno de los puntos extremos del elemento de viga simple.

Otra situacion la cual a menudo ocurre en la practica es la aplicacion de un mo-mento M .Para un elemento de viga arbitrario se evalua el vector de carga del elemento f e

q

para la carga puntual. El momento M con la dimension [Nm] es medida comopositiva en la direccion contraria a las manecillas del reloj (Figura 2.8).Esto es obvio que el efecto de este momento es equivalente al par de fuerzasmostrada en la Figura (2.8). Aqui la distancia b entre las dos fuerzas opuestasinmediatas es asumida infinitamente pequena.Refiriendose a (2.63) el vector de carga f e

q del elemento para el par de fuerzas dela Figura (2.8) es:

f eq = −PN eT

x=a + PN eTx=a+b. (2.64)

Como b denota una distancia infinitesimal, una aproximacion de Taylor de N eT al

70

Figura 2.8. Equivalencia entre momento M y el par de fuerzas

rededor del punto x = a dado:

N eTx=a+b ≈ N eT

x=a + (dN eT

dx)x=ab.

El uso de esta expresion en (2.64) produce:

f eq = M(

dN eT

dx)x=a =

M(dNe

1

dx)x=a

M(dNe

2

dx)x=a

...

M(dNen

dx)x=a

. (2.65)

donde M = Pb (Figura 2.8).Considerado el elemento de viga, los componentes de f e

q son como ilustran en laFigura (2.9).

Figura 2.9. Momento M y equivalentes fuerzas y momentos en los nodos

El momento M , en general, surge para ambas fuerzas y momentos en los nodos.Como se muestra en (2.65) y la Figura (2.9), la unica situacion donde solo el mo-mento M crea momentos en los nodos pero fuerzas en los nodos igual a cero es

71


es decir:

f eq = PN eT

x=a = P

N e1 (a)

N e2 (a)

N e3 (a)

N e4 (a)

. (2.63)

Considerando el elemento de viga simple, los componentes de f eq son como se

ilustra en la Figura (2.7).

Figura 2.7. Fuerza concentrada P y equivalentes fuerzas y momentos en los nodos

En general, la fuerza P dada surge para ambas fuerzas y momentos en los nodos.Como se muestra en (2.63) y la Figura (2.3), la situacion solo donde la fuerza Pcrea fuerzas en los nodos pero momentos en los nodos igual a cero es cuando lafuerza es localizada en uno de los puntos extremos del elemento de viga simple.

Otra situacion la cual a menudo ocurre en la practica es la aplicacion de un mo-mento M .Para un elemento de viga arbitrario se evalua el vector de carga del elemento f e

q

para la carga puntual. El momento M con la dimension [Nm] es medida comopositiva en la direccion contraria a las manecillas del reloj (Figura 2.8).Esto es obvio que el efecto de este momento es equivalente al par de fuerzasmostrada en la Figura (2.8). Aqui la distancia b entre las dos fuerzas opuestasinmediatas es asumida infinitamente pequena.Refiriendose a (2.63) el vector de carga f e

q del elemento para el par de fuerzas dela Figura (2.8) es:

f eq = −PN eT

x=a + PN eTx=a+b. (2.64)

Como b denota una distancia infinitesimal, una aproximacion de Taylor de N eT al

70

Figura 2.8. Equivalencia entre momento M y el par de fuerzas

rededor del punto x = a dado:

N eTx=a+b ≈ N eT

x=a + (dN eT

dx)x=ab.

El uso de esta expresion en (2.64) produce:

f eq = M(

dN eT

dx)x=a =

M(dNe

1

dx)x=a

M(dNe

2

dx)x=a

...

M(dNen

dx)x=a

. (2.65)

donde M = Pb (Figura 2.8).Considerado el elemento de viga, los componentes de f e

q son como ilustran en laFigura (2.9).

Figura 2.9. Momento M y equivalentes fuerzas y momentos en los nodos

El momento M , en general, surge para ambas fuerzas y momentos en los nodos.Como se muestra en (2.65) y la Figura (2.9), la unica situacion donde solo el mo-mento M crea momentos en los nodos pero fuerzas en los nodos igual a cero es

71


cuando el momento es aplicado para uno de los puntos extremos del elemento deviga simple.

Formulacion de elementos finitos con coordenadas na-turales

Considere un sistema coordenado natural o intrıseco:

ξ =2

x2 − x1

(x− x1)− 1 (2.66)

Vemos que ξ = −1 en el nodo x1 y ξ = 1 en el nodo x2. La longitud de unelemento se cubre cuando ξ cambia de −1 a 1.

x =1− ξ

2x1 +

1 + ξ

2x2

x =x1 + x2

2+

x2 − x1

2ξ (2.67)

Como: le = x2 − x1 es la longitud del elemento, entonces: dxdξ

= le

2.

Ahora se define funciones de Hermite, que satisfacen valores nodales y requisitosde continuidad de pendiente. Cada una de las funciones de prueba son de ordencubico:

Ni = ai + biξ + ciξ2 + diξ

3 (2.68)

donde: i = 1, 2, 3, 4. Estas funciones deben satisfacer:

N1N1dξ N2

N2dξ N3

N3dξ N4

N4dξ

ξ = −1 1 0 0 1 0 0 0 0ξ = 1 0 0 0 0 1 0 0 1

Los coeficientes ai, bi, ci, di son calculados a traves de la imposicion de las condi-ciones de la Tabla, obteniendo las funciones de prueba de Hermite.Por ejemplo para obtener los coeficientes de N1(ξ), se procede de la siguientemanera:

N1(ξ) = a1 + b1ξ + c1ξ2 + d1ξ

3

N1(ξ)dξ

= b1 + 2c1ξ + 3d1ξ2

72

Evaluando en −1 y 1 se tiene:

N1(−1) = a1 − b1 + c1 − d1

N1(−1)dξ

= b1 − 2c1 + 3d1

N1(1) = a1 + b1 + c1 + d1

N1(1)dξ

= b1 + 2c1 + 3d1

Imponiendo las condiciones de la Tabla:

1 = a1 − b1 + c1 − d1

0 = b1 − 2c1 + 3d1

0 = a1 + b1 + c1 + d1

0 = b1 + 2c1 + 3d1

En forma matricial: 1000

=

1 −1 1 −10 1 −2 31 1 1 10 1 2 3

a1b1c1d1

Entonces: a1b1c1d1

=

1/2 1/4 1/2 −1/4−3/4 −1/4 3/4 −1/40 −1/4 0 1/41/4 1/4 −1/4 1/4

1000

Resolviendo el sistema matricial, se tiene que: a1 = 1/2, b1 = −3/4, c1 = 0,d1 = 1/4. Por lo tanto: N1(ξ) =

12− 3

4ξ + 1

4ξ3.

De la misma manera se procede, para encontrar los coeficientes de N2(ξ), N3(ξ)y N4(ξ).Entonces las funciones de Hermite son:

N1(ξ) =14(2− 3ξ + ξ3)

N2(ξ) =14(1− ξ − ξ2 + ξ3)

N3(ξ) =14(2 + 3ξ − ξ3)

N4(ξ) =14(−1− ξ + ξ2 + ξ3)

(2.69)

73


cuando el momento es aplicado para uno de los puntos extremos del elemento deviga simple.

Formulacion de elementos finitos con coordenadas na-turales

Considere un sistema coordenado natural o intrıseco:

ξ =2

x2 − x1

(x− x1)− 1 (2.66)

Vemos que ξ = −1 en el nodo x1 y ξ = 1 en el nodo x2. La longitud de unelemento se cubre cuando ξ cambia de −1 a 1.

x =1− ξ

2x1 +

1 + ξ

2x2

x =x1 + x2

2+

x2 − x1

2ξ (2.67)

Como: le = x2 − x1 es la longitud del elemento, entonces: dxdξ

= le

2.

Ahora se define funciones de Hermite, que satisfacen valores nodales y requisitosde continuidad de pendiente. Cada una de las funciones de prueba son de ordencubico:

Ni = ai + biξ + ciξ2 + diξ

3 (2.68)

donde: i = 1, 2, 3, 4. Estas funciones deben satisfacer:

N1N1dξ N2

N2dξ N3

N3dξ N4

N4dξ

ξ = −1 1 0 0 1 0 0 0 0ξ = 1 0 0 0 0 1 0 0 1

Los coeficientes ai, bi, ci, di son calculados a traves de la imposicion de las condi-ciones de la Tabla, obteniendo las funciones de prueba de Hermite.Por ejemplo para obtener los coeficientes de N1(ξ), se procede de la siguientemanera:

N1(ξ) = a1 + b1ξ + c1ξ2 + d1ξ

3

N1(ξ)dξ

= b1 + 2c1ξ + 3d1ξ2

72

Evaluando en −1 y 1 se tiene:

N1(−1) = a1 − b1 + c1 − d1

N1(−1)dξ

= b1 − 2c1 + 3d1

N1(1) = a1 + b1 + c1 + d1

N1(1)dξ

= b1 + 2c1 + 3d1

Imponiendo las condiciones de la Tabla:

1 = a1 − b1 + c1 − d1

0 = b1 − 2c1 + 3d1

0 = a1 + b1 + c1 + d1

0 = b1 + 2c1 + 3d1

En forma matricial: 1000

=

1 −1 1 −10 1 −2 31 1 1 10 1 2 3

a1b1c1d1

Entonces: a1b1c1d1

=

1/2 1/4 1/2 −1/4−3/4 −1/4 3/4 −1/40 −1/4 0 1/41/4 1/4 −1/4 1/4

1000

Resolviendo el sistema matricial, se tiene que: a1 = 1/2, b1 = −3/4, c1 = 0,d1 = 1/4. Por lo tanto: N1(ξ) =

12− 3

4ξ + 1

4ξ3.

De la misma manera se procede, para encontrar los coeficientes de N2(ξ), N3(ξ)y N4(ξ).Entonces las funciones de Hermite son:

N1(ξ) =14(2− 3ξ + ξ3)

N2(ξ) =14(1− ξ − ξ2 + ξ3)

N3(ξ) =14(2 + 3ξ − ξ3)

N4(ξ) =14(−1− ξ + ξ2 + ξ3)

(2.69)

73


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Polinomios de Hermite

N1

N2

N3

N4

Figura 2.10. Polinomios de Hermite

Usando estas funciones de Hermite, se puede expresar la interpolacion para eldesplazamiento transversal, en:

w(ξ) = N1(ξ)w1 +N2(ξ)(dwdξ

)1+N3(ξ)w2 +N4(ξ)

(dwdξ

)2

(2.70)

Por la regla de la cadena:dw

dξ=

dw

dx

dx

dξ

Como: dxdξ

= le

2

dw

dξ=

le

2

dw

dx

Por lo tanto la aproximacion para la deflexion de una viga, esta dado por:

w(ξ) = N1(ξ)u1 +l

2N2(ξ)u2 +N3(ξ)u3 +

l

2N4(ξ)u4 (2.71)

Luego (2.71) se expresa como:

w(ξ) = N(ξ)a (2.72)

donde:N(ξ) = [N1(ξ)

l

2N2(ξ) N3(ξ)

l

2N4(ξ)] (2.73)

Se sabe que:dw(ξ)

dx=

dw

dξ

dξ

dx=

2

ledN(ξ)

dξa

74

d2w(ξ)

dx2=

4

(le)2d2N(ξ)

dξ2︸︷︷︸B

a

donde:

d2N(ξ)

dξ2=

[d2N1(ξ)

dξ2l

2

d2N2(ξ)

dξ2d2N3(ξ)

dξ2l

2

d2N4(ξ)

dξ2

]

entoncesB =

4

(le)2

[32ξ

−1 + 3ξ

2

l

2

−3

2ξ

1 + 3ξ

2

l

2

]

En consecuencia la formulacion via elementos finitos para la deflexion de vigasEuler-Bernoulli con coordenadas naturales, es:

(∫ +1

−1

BTEIBle

2dξ)

︸︷︷︸Ke

a = q

∫ +1

−1

NT le

2dξ + f e

b . (2.74)

donde:

Ke =EI

(le)3

12 6le −12 6le

6le 4(le)2 −6le 2(le)2

−12 −6le 12 −6le

6le 2(le)2 −6le 4(le)2

, (2.75)

75


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Polinomios de Hermite

N1

N2

N3

N4

Figura 2.10. Polinomios de Hermite

Usando estas funciones de Hermite, se puede expresar la interpolacion para eldesplazamiento transversal, en:

w(ξ) = N1(ξ)w1 +N2(ξ)(dwdξ

)1+N3(ξ)w2 +N4(ξ)

(dwdξ

)2

(2.70)

Por la regla de la cadena:dw

dξ=

dw

dx

dx

dξ

Como: dxdξ

= le

2

dw

dξ=

le

2

dw

dx

Por lo tanto la aproximacion para la deflexion de una viga, esta dado por:

w(ξ) = N1(ξ)u1 +l

2N2(ξ)u2 +N3(ξ)u3 +

l

2N4(ξ)u4 (2.71)

Luego (2.71) se expresa como:

w(ξ) = N(ξ)a (2.72)

donde:N(ξ) = [N1(ξ)

l

2N2(ξ) N3(ξ)

l

2N4(ξ)] (2.73)

Se sabe que:dw(ξ)

dx=

dw

dξ

dξ

dx=

2

ledN(ξ)

dξa

74

d2w(ξ)

dx2=

4

(le)2d2N(ξ)

dξ2︸︷︷︸B

a

donde:

d2N(ξ)

dξ2=

[d2N1(ξ)

dξ2l

2

d2N2(ξ)

dξ2d2N3(ξ)

dξ2l

2

d2N4(ξ)

dξ2

]

entoncesB =

4

(le)2

[32ξ

−1 + 3ξ

2

l

2

−3

2ξ

1 + 3ξ

2

l

2

]

En consecuencia la formulacion via elementos finitos para la deflexion de vigasEuler-Bernoulli con coordenadas naturales, es:

(∫ +1

−1

BTEIBle

2dξ)

︸︷︷︸Ke

a = q

∫ +1

−1

NT le

2dξ + f e

b . (2.74)

donde:

Ke =EI

(le)3

12 6le −12 6le

6le 4(le)2 −6le 2(le)2

−12 −6le 12 −6le

6le 2(le)2 −6le 4(le)2

, (2.75)

75


Aplicando el Metodo de los Elementos Finitos a vigas Euler-Bernoulli con mas de un tramoSi se toma dos o mas elementos, es necesario hacer un ensamble de la matriz ri-gidez global y del vector fuerza global. Tengase en cuenta que un elemento nonecesariamente es un tramo, pues este se considera de apoyo a apoyo; mientrasque el elemento es de nodo a nodo. Y este nodo se puede considerar en un apoyo,en una carga puntual, en cualquier punto de una carga distribuida o en cualquierpunto elegido de la viga. A continuacion se describen los siguientes pasos paraanalizar un problema de este tipo.

Primer paso: Discretizacion del dominio

• Suponga que se elige cuatro elementos viga: e = 1, 2, 3, 4.• Cada elemento viga con dos nodos: xe

1 y xe2.

• Cada elemento viga con cuatro grados de libertad o desplazamientos: ue1, ue

3 parala deflexion y ue

2, ue4 para el giro.

• Cada elemento viga con longitud: Le = xe2 − xe

1 para todo e = 1, 2, 3, 4.

La Figura (2.11) muestra una viga con cuatro elementos, con cinco nodos i paratodo i = 1, 2, 3, 4, 5 y con diez desplazamientos globales ui para todo i = 1, 10 .

u6

u9

u10

u7

u8

e3 e4 3 54

u1

u2

u5 u3

u4

e1 e2 1 2

Figura 2.11. Numeracion global de la viga

76

En la numeracion local de la viga cada elemento tiene dos nodos locales y cuatrodesplazamientos locales, como se muestra en la Figura (2.12).

L1

1

1u

1

2u

1

3u

1

4u

1 2 L2

2

1u

2

2u

2

3u

2

4u

1 2

L3

3

1u

3

2u

3

3u

3

4u

1 2 L4

4

1u

4

2u

4

3u

4

4u

1 2

Figura 2.12. Numeracion local de la viga

La correspondencia de desplazamientos de elemento y desplazamientos globalesasignados a la viga, es mostrada en la Tabla (2.1) que describe las relaciones deconectividad.

Tabla 2.1. Correspondencia de desplazamientos nodalesMATRIZ DE CONECTIVIDAD

Desplazamientos DesplazamientosGlobales Elemento 1 Elemento 2 Elemento 3 Elemento 4

1 12 23 3 14 4 25 3 16 4 27 3 18 4 29 3

10 4

La continuidad de la deflexion y la pendiente implica la siguiente relacion entre losgrados de libertad local y los grados de libertad global, observe la Figura (2.15):

77


Aplicando el Metodo de los Elementos Finitos a vigas Euler-Bernoulli con mas de un tramoSi se toma dos o mas elementos, es necesario hacer un ensamble de la matriz ri-gidez global y del vector fuerza global. Tengase en cuenta que un elemento nonecesariamente es un tramo, pues este se considera de apoyo a apoyo; mientrasque el elemento es de nodo a nodo. Y este nodo se puede considerar en un apoyo,en una carga puntual, en cualquier punto de una carga distribuida o en cualquierpunto elegido de la viga. A continuacion se describen los siguientes pasos paraanalizar un problema de este tipo.


• Suponga que se elige cuatro elementos viga: e = 1, 2, 3, 4.• Cada elemento viga con dos nodos: xe

1 y xe2.

• Cada elemento viga con cuatro grados de libertad o desplazamientos: ue1, u

e3 para

la deflexion y ue2, u

e4 para el giro.


1 para todo e = 1, 2, 3, 4.

La Figura (2.11) muestra una viga con cuatro elementos, con cinco nodos i paratodo i = 1, 2, 3, 4, 5 y con diez desplazamientos globales ui para todo i = 1, 10 .

u6

u9

u10

u7

u8

e3 e4 3 54

u1

u2

u5 u3

u4

e1 e2 1 2

Figura 2.11. Numeracion global de la viga

76

En la numeracion local de la viga cada elemento tiene dos nodos locales y cuatrodesplazamientos locales, como se muestra en la Figura (2.12).

L1

1

1u

1

2u

1

3u

1

4u

1 2 L2

2

1u

2

2u

2

3u

2

4u

1 2

L3

3

1u

3

2u

3

3u

3

4u

1 2 L4

4

1u

4

2u

4

3u

4

4u

1 2

Figura 2.12. Numeracion local de la viga

La correspondencia de desplazamientos de elemento y desplazamientos globalesasignados a la viga, es mostrada en la Tabla (2.1) que describe las relaciones deconectividad.

Tabla 2.1. Correspondencia de desplazamientos nodalesMATRIZ DE CONECTIVIDAD

Desplazamientos DesplazamientosGlobales Elemento 1 Elemento 2 Elemento 3 Elemento 4

1 12 23 3 14 4 25 3 16 4 27 3 18 4 29 3

10 4

La continuidad de la deflexion y la pendiente implica la siguiente relacion entre losgrados de libertad local y los grados de libertad global, observe la Figura (2.15):

77


e3 e4 3 54

1

11uu

1

22uu

e1 e2 1 2

2

1

1

33uuu 3

1

2

35uuu

3

2

2

46uuu 4

2

3

48uuu 4

410uu

4

1

3

37uuu 4

39uu

2

2

1

44uuu

Figura 2.13. Relacion entre los grados de libertad local y global

Ahora observe la Figura (2.14) que muestra las fuerzas en los nodos, para loscuatro elementos de la viga, numeracion global fbi, donde i = 1, 10 y numeracionlocal f e

bi, para todo i = 1, 4.

1

2bf

1

1bf

1

1

3bf

1

4bf

2

2

2bf

2

1bf

1

2

3bf

2

4bf

2

3

2bf

3

1bf

1

3

3bf

3

4bf

2

4

2bf

4

1bf

1

4

3bf

4

4bf

2

L1 L2

L3 L4

5bf

6bf

9bf

10bf

3

7bf

8bf

4 5 e3 e4

1bf

2bf

1

3bf

4bf

2 e1 e2

Figura 2.14. Componentes del vector frontera f eb en cada elemento

Pero si existe carga uniformemente distribuida q constante en los cuatro elementosde viga, entonces la numeracion local es como se muestra en la Figura (2.15).

78

e1 e2

q

1 2 3 e3 e4 4 5

1

3

2

1qL

2

3

12

1qL

2L3

3

2

1qL

2

3

12

1qL

4

2

1qL

2

4

12

1qL

1

4

2

1qL

2

4

12

1qL

2L4

e2

e3 e4

2

2

1qL

2

2

12

1qL

1

2

2

1qL

2

2

12

1qL

2L2

e1

1

1

2

1qL

2

1

12

1qL

2L1

1

2

1qL

2

1

12

1qL

Figura 2.15. Carga uniformemente distribuida q y equivalentes fuerzas nodales y momen-tos nodales

Segundo paso: Matriz rigidez y vector fuerza para cada elemento

La matriz rigidez es como la obtenida en (2.57), el vector de desplazamientoscomo en (2.52), el vector frontera como (2.58), y el vector carga uniformementedistribuida como (2.61). Pero aquı se expresa en forma general la matriz rigidezpara un elemento:

Ke =

12EeIe

L3e

6EeIe

L2e

−12EeIe

L3e

6EeIe

L2e

6EeIe

L2e

4EeIe

Le−6EeIe

L2e

2EeIe

Le

−12EeIe

L3e

−6EeIe

L2e

12EeIe

L3e

−6EeIe

L2e

6EeIe

L2e

2EeIe

Le−6EeIe

L2e

4EeIe

Le

⇒ Ke =

ke11 ke

12 ke13 ke

14

ke21 ke

22 ke23 ke

24

ke31 ke

32 ke33 ke

34

ke41 ke

42 ke43 ke

44

,

79


e3 e4 3 54

1

11uu

1

22uu

e1 e2 1 2

2

1

1

33uuu 3

1

2

35uuu

3

2

2

46uuu 4

2

3

48uuu 4

410uu

4

1

3

37uuu 4

39uu

2

2

1

44uuu


Ahora observe la Figura (2.14) que muestra las fuerzas en los nodos, para loscuatro elementos de la viga, numeracion global fbi, donde i = 1, 10 y numeracionlocal f e

bi, para todo i = 1, 4.

1

2bf

1

1bf

1

1

3bf

1

4bf

2

2

2bf

2

1bf

1

2

3bf

2

4bf

2

3

2bf

3

1bf

1

3

3bf

3

4bf

2

4

2bf

4

1bf

1

4

3bf

4

4bf

2

L1 L2

L3 L4

5bf

6bf

9bf

10bf

3

7bf

8bf

4 5 e3 e4

1bf

2bf

1

3bf

4bf

2 e1 e2

Figura 2.14. Componentes del vector frontera f eb en cada elemento

Pero si existe carga uniformemente distribuida q constante en los cuatro elementosde viga, entonces la numeracion local es como se muestra en la Figura (2.15).

78

e1 e2

q

1 2 3 e3 e4 4 5

1

3

2

1qL

2

3

12

1qL

2L3

3

2

1qL

2

3

12

1qL

4

2

1qL

2

4

12

1qL

1

4

2

1qL

2

4

12

1qL

2L4

e2

e3 e4

2

2

1qL

2

2

12

1qL

1

2

2

1qL

2

2

12

1qL

2L2

e1

1

1

2

1qL

2

1

12

1qL

2L1

1

2

1qL

2

1

12

1qL

Figura 2.15. Carga uniformemente distribuida q y equivalentes fuerzas nodales y momen-tos nodales


La matriz rigidez es como la obtenida en (2.57), el vector de desplazamientoscomo en (2.52), el vector frontera como (2.58), y el vector carga uniformementedistribuida como (2.61). Pero aquı se expresa en forma general la matriz rigidezpara un elemento:

Ke =

12EeIe

L3e

6EeIe

L2e

−12EeIe

L3e

6EeIe

L2e

6EeIe

L2e

4EeIe

Le−6EeIe

L2e

2EeIe

Le

−12EeIe

L3e

−6EeIe

L2e

12EeIe

L3e

−6EeIe

L2e

6EeIe

L2e

2EeIe

Le−6EeIe

L2e

4EeIe

Le

⇒ Ke =

ke11 ke

12 ke13 ke

14

ke21 ke

22 ke23 ke

24

ke31 ke

32 ke33 ke

34

ke41 ke

42 ke43 ke

44

,

79


el vector de desplazamientos para un elemento es:

ae =

ue1

ue2

ue3

ue4

,

el vector frontera para un elemento:

f eb =

V e1

M e1

V e2

M e2

⇒ f e

b =

f eb1

f eb2

f eb3

f eb4

y el vector carga uniformemente distribuida para un elemento:

f eq =

12qLe

112qL2

e

12qLe

− 112qL2

e

⇒ f e

q =

f eq1

f eq2

f eq3

f eq4

.

Tercer paso: Ensamblaje de las ecuaciones elemento:

Para este proceso de ensamble tengase en cuenta los dos grados de libertad (des-plazamientos) de cada nodo, como se aprecia en la Tabla de conectividad (2.1) yconsidere tambien:

La continuidad de la deflexion y la pendiente en cada nodo comun entre loselementos.

El equilibrio de las fuerzas cortantes y de los momentos flexionanates paracada nodo.

80

Los sistemas para los cuatro elementos son:∑e

[Ke][ae] =∑e

[f eb ] +

∑e

[f eq ] ⇒

∑e

[Ke][ae] =∑e

[F e].

Para el elemento 1:

k111 k1

12 k113 k1

14

k121 k1

22 k123 k1

24

k131 k1

32 k133 k1

34

k141 k1

42 k143 k1

44

u11

u12

u13

u14

=

f 1b1

f 1b2

f 1b3

f 1b4

+

f 1q1

f 1q2

f 1q3

f 1q4

Para el elemento 2:

k211 k2

12 k213 k2

14

k221 k2

22 k223 k2

24

k231 k2

32 k233 k2

34

k241 k2

42 k243 k2

44

u21

u22

u23

u24

=

f 2b1

f 2b2

f 2b3

f 2b4

+

f 2q1

f 2q2

f 2q3

f 2q4

Para el elemento 3:

k311 k3

12 k313 k3

14

k321 k3

22 k323 k3

24

k331 k3

32 k333 k3

34

k341 k3

42 k343 k3

44

u31

u32

u33

u34

=

f 3b1

f 3b2

f 3b3

f 3b4

+

f 3q1

f 3q2

f 3q3

f 3q4

Para el elemento 4:

k411 k4

12 k413 k4

14

k421 k4

22 k423 k4

24

k431 k4

32 k433 k4

34

k441 k4

42 k443 k4

44

u41

u42

u43

u44

=

f 4b1

f 4b2

f 4b3

f 4b4

+

f 4q1

f 4q2

f 4q3

f 4q4

81


el vector de desplazamientos para un elemento es:

ae =

ue1

ue2

ue3

ue4

,

el vector frontera para un elemento:

f eb =

V e1

M e1

V e2

M e2

⇒ f e

b =

f eb1

f eb2

f eb3

f eb4

y el vector carga uniformemente distribuida para un elemento:

f eq =

12qLe

112qL2

e

12qLe

− 112qL2

e

⇒ f e

q =

f eq1

f eq2

f eq3

f eq4

.


Para este proceso de ensamble tengase en cuenta los dos grados de libertad (des-plazamientos) de cada nodo, como se aprecia en la Tabla de conectividad (2.1) yconsidere tambien:

La continuidad de la deflexion y la pendiente en cada nodo comun entre loselementos.

El equilibrio de las fuerzas cortantes y de los momentos flexionanates paracada nodo.

80

Los sistemas para los cuatro elementos son:∑e

[Ke][ae] =∑e

[f eb ] +

∑e

[f eq ] ⇒

∑e

[Ke][ae] =∑e

[F e].

Para el elemento 1:

k111 k1

12 k113 k1

14

k121 k1

22 k123 k1

24

k131 k1

32 k133 k1

34

k141 k1

42 k143 k1

44

u11

u12

u13

u14

=

f 1b1

f 1b2

f 1b3

f 1b4

+

f 1q1

f 1q2

f 1q3

f 1q4

Para el elemento 2:

k211 k2

12 k213 k2

14

k221 k2

22 k223 k2

24

k231 k2

32 k233 k2

34

k241 k2

42 k243 k2

44

u21

u22

u23

u24

=

f 2b1

f 2b2

f 2b3

f 2b4

+

f 2q1

f 2q2

f 2q3

f 2q4

Para el elemento 3:

k311 k3

12 k313 k3

14

k321 k3

22 k323 k3

24

k331 k3

32 k333 k3

34

k341 k3

42 k343 k3

44

u31

u32

u33

u34

=

f 3b1

f 3b2

f 3b3

f 3b4

+

f 3q1

f 3q2

f 3q3

f 3q4

Para el elemento 4:

k411 k4

12 k413 k4

14

k421 k4

22 k423 k4

24

k431 k4

32 k433 k4

34

k441 k4

42 k443 k4

44

u41

u42

u43

u44

=

f 4b1

f 4b2

f 4b3

f 4b4

+

f 4q1

f 4q2

f 4q3

f 4q4

81


Ahora segun la Tabla de conectividad (2.1), se tiene:

k111 k112 k113 k114 0 0 0 0 0 0

k121 k122 k123 k124 0 0 0 0 0 0

k131 k132 k133 k134 0 0 0 0 0 0

k141 k142 k143 k144 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

u1

u2

u3

u4

u5

u6

u7

u8

u9

u10

=

f1b1

f1b2

f1b3

f1b4

0

0

0

0

0

0

+

f1q1

f1q2

f1q3

f1q4

0

0

0

0

0

0

Como: u3 = u13 = u2

1 , u4 = u14 = u2

2, entonces:

k111 k112 k113 k114 0 0 0 0 0 0

k121 k122 k123 k124 0 0 0 0 0 0

k131 k132 k133 + k211 k134 + k212 k213 k214 0 0 0 0

k141 k142 k143 + k221 k144 + k222 k223 k224 0 0 0 0

0 0 k231 k232 k233 k234 0 0 0 0

0 0 k241 k242 k243 k244 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

u1

u2

u3

u4

u5

u6

u7

u8

u9

u10

=

f1b1

f1b2

f1b3 + f2

b1

f1b4 + f2

b2

f2b3

f2b4

0

0

0

0

+

f1q1

f1q2

f1q3 + f2

q1

f1q4 + f2

q2

f2q3

f2q4

0

0

0

0

82

Com

o:u5=

u2 3=

u3 1

,u6=

u2 4=

u3 2,e

nton

ces:

k1 11

k1 12

k1 13

k1 14

00

00

00

k1 21

k1 22

k1 23

k1 24

00

00

00

k1 31

k1 32

k1 33+

k2 11

k1 34+

k2 12

k2 13

k2 14

00

00

k1 41

k1 42

k1 43+

k2 21

k1 44+

k2 22

k2 23

k2 24

00

00

00

k2 31

k2 32

k2 33+

k3 11

k2 34+

k3 12

k3 13

k3 14

00

00

k2 41

k2 42

k2 43+

k3 21

k2 44+

k3 22

k3 23

k3 24

00

00

00

k3 31

k3 32

k3 33

k3 34

00

00

00

k3 41

k3 42

k3 43

k3 44

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

u1

u2

u3

u4

u5

u6

u7

u8

u9

u10

=

f1 b1

f1 b2

f1 b3+

f2 b1

f1 b4+

f2 b2

f2 b3+

f3 b1

f2 b4+

f3 b2

f3 b3

f3 b4 0 0

+

f1 q1

f1 q2

f1 q3+

f2 q1

f1 q4+

f2 q2

f2 q3+

f3 q1

f2 q4+

f3 q2

f3 q3

f3 q4 0 0

83


Ahora segun la Tabla de conectividad (2.1), se tiene:

k111 k112 k113 k114 0 0 0 0 0 0

k121 k122 k123 k124 0 0 0 0 0 0

k131 k132 k133 k134 0 0 0 0 0 0

k141 k142 k143 k144 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

u1

u2

u3

u4

u5

u6

u7

u8

u9

u10

=

f1b1

f1b2

f1b3

f1b4

0

0

0

0

0

0

+

f1q1

f1q2

f1q3

f1q4

0

0

0

0

0

0

Como: u3 = u13 = u2

1 , u4 = u14 = u2

2, entonces:

k111 k112 k113 k114 0 0 0 0 0 0

k121 k122 k123 k124 0 0 0 0 0 0

k131 k132 k133 + k211 k134 + k212 k213 k214 0 0 0 0

k141 k142 k143 + k221 k144 + k222 k223 k224 0 0 0 0

0 0 k231 k232 k233 k234 0 0 0 0

0 0 k241 k242 k243 k244 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

u1

u2

u3

u4

u5

u6

u7

u8

u9

u10

=

f1b1

f1b2

f1b3 + f2

b1

f1b4 + f2

b2

f2b3

f2b4

0

0

0

0

+

f1q1

f1q2

f1q3 + f2

q1

f1q4 + f2

q2

f2q3

f2q4

0

0

0

0

82

Com

o:u5=

u2 3=

u3 1

,u6=

u2 4=

u3 2,e

nton

ces:

k1 11

k1 12

k1 13

k1 14

00

00

00

k1 21

k1 22

k1 23

k1 24

00

00

00

k1 31

k1 32

k1 33+

k2 11

k1 34+

k2 12

k2 13

k2 14

00

00

k1 41

k1 42

k1 43+

k2 21

k1 44+

k2 22

k2 23

k2 24

00

00

00

k2 31

k2 32

k2 33+

k3 11

k2 34+

k3 12

k3 13

k3 14

00

00

k2 41

k2 42

k2 43+

k3 21

k2 44+

k3 22

k3 23

k3 24

00

00

00

k3 31

k3 32

k3 33

k3 34

00

00

00

k3 41

k3 42

k3 43

k3 44

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

u1

u2

u3

u4

u5

u6

u7

u8

u9

u10

=

f1 b1

f1 b2

f1 b3+

f2 b1

f1 b4+

f2 b2

f2 b3+

f3 b1

f2 b4+

f3 b2

f3 b3

f3 b4 0 0

+

f1 q1

f1 q2

f1 q3+

f2 q1

f1 q4+

f2 q2

f2 q3+

f3 q1

f2 q4+

f3 q2

f3 q3

f3 q4 0 0

83


Com

o:u7=

u3 3=

u4 1

,u8=

u3 4=

u4 2,e

nton

ces

elsi

stem

aen

sam

blad

opa

racu

atro

elem

ento

sde

viga

es:

k1 11

k1 12

k1 13

k1 14

00

00

00

k1 21

k1 22

k1 23

k1 24

00

00

00

k1 31

k1 32

k1 33+k2 11

k1 34+k2 12

k2 13

k2 14

00

00

k1 41

k1 42

k1 43+k2 21

k1 44+k2 22

k2 23

k2 24

00

00

00

k2 31

k2 32

k2 33+k3 11

k2 34+k3 12

k3 13

k3 14

00

00

k2 41

k2 42

k2 43+k3 21

k2 44+k3 22

k3 23

k3 24

00

00

00

k3 31

k3 32

k3 33+k4 11

k3 34+k4 12

k4 13

k4 14

00

00

k3 41

k3 42

k3 43+k4 21

k3 44+k4 22

k4 23

k4 24

00

00

00

k4 31

k4 32

k4 33

k4 34

00

00

00

k4 41

k4 42

k4 43

k4 44

u1

u2

u3

u4

u5

u6

u7

u8

u9

u10

=

f1 b1 f1 b2

f1 b3+f2 b1

f1 b4+f2 b2

f2 b3+f3 b1

f2 b4+f3 b2

f3 b3+f4 b1

f3 b4+f4 b2

f4 b3 f4 b4

+

f1 q1

f1 q2

f1 q3+f2 q1

f1 q4+f2 q2

f2 q3+f3 q1

f2 q4+f3 q2

f3 q3+f4 q1

f3 q4+f4 q2

f4 q3

f4 q4

(2.7

6)

84

Luego el vector frontera ensamblado para los cuatro elementos viga, esta dadopor:

fb =

f1b1

f1b2

f1b3 + f2

b1

f1b4 + f2

b2

f2b3 + f3

b1

f2b4 + f3

b2

f3b3 + f4

b1

f3b4 + f4

b2

f4b3

f4b4

⇒ fb =

V 11

M11

V 12 + V 2

1

M12 +M2

1

V 22 + V 3

1

M22 +M3

1

V 32 + V 4

1

M32 +M4

1

V 42

M42

.

En este caso analizado el vector fuerza esta conformado por el vector frontera dela viga:

f = fb.

Pero si se supone que existe carga uniformemente distribuida q constante en loscuatro elementos, entonces el ensamble del vector de carga uniformemente distri-buida para los cuatro elementos de viga, es:

fq =

f1q1

f1q2

f1q3 + f2

q1

f1q4 + f2

q2

f2q3 + f3

q1

f2q4 + f3

q2

f3q3 + f4

q1

f3q4 + f4

q2

f4q3

f4q4

⇒ fq =

− 12qL1

− 112

qL21

− 12qL1 − 1

2qL2

112

qL21 − 1

12qL2

2

− 12qL2 − 1

2qL3

112

qL22 − 1

12qL2

3

− 12qL3 − 1

2qL4

112

qL23 − 1

12qL2

4

− 12qL4

112

qL24

.

Por lo tanto el vector fuerza para este caso esta dado como:

f = fq

85

Com

o:u7=

u3 3=

u4 1

,u8=

u3 4=

u4 2,e

nton

ces

elsi

stem

aen

sam

blad

opa

racu

atro

elem

ento

sde

viga

es:

k1 11

k1 12

k1 13

k1 14

00

00

00

k1 21

k1 22

k1 23

k1 24

00

00

00

k1 31

k1 32

k1 33+k2 11

k1 34+k2 12

k2 13

k2 14

00

00

k1 41

k1 42

k1 43+k2 21

k1 44+k2 22

k2 23

k2 24

00

00

00

k2 31

k2 32

k2 33+k3 11

k2 34+k3 12

k3 13

k3 14

00

00

k2 41

k2 42

k2 43+k3 21

k2 44+k3 22

k3 23

k3 24

00

00

00

k3 31

k3 32

k3 33+k4 11

k3 34+k4 12

k4 13

k4 14

00

00

k3 41

k3 42

k3 43+k4 21

k3 44+k4 22

k4 23

k4 24

00

00

00

k4 31

k4 32

k4 33

k4 34

00

00

00

k4 41

k4 42

k4 43

k4 44

u1

u2

u3

u4

u5

u6

u7

u8

u9

u10

=

f1 b1 f1 b2

f1 b3+f2 b1

f1 b4+f2 b2

f2 b3+f3 b1

f2 b4+f3 b2

f3 b3+f4 b1

f3 b4+f4 b2

f4 b3 f4 b4

+

f1 q1

f1 q2

f1 q3+f2 q1

f1 q4+f2 q2

f2 q3+f3 q1

f2 q4+f3 q2

f3 q3+f4 q1

f3 q4+f4 q2

f4 q3

f4 q4

(2.7

6)

84


Com

o:u7=

u3 3=

u4 1

,u8=

u3 4=

u4 2,e

nton

ces

elsi

stem

aen

sam

blad

opa

racu

atro

elem

ento

sde

viga

es:

k1 11

k1 12

k1 13

k1 14

00

00

00

k1 21

k1 22

k1 23

k1 24

00

00

00

k1 31

k1 32

k1 33+k2 11

k1 34+k2 12

k2 13

k2 14

00

00

k1 41

k1 42

k1 43+k2 21

k1 44+k2 22

k2 23

k2 24

00

00

00

k2 31

k2 32

k2 33+k3 11

k2 34+k3 12

k3 13

k3 14

00

00

k2 41

k2 42

k2 43+k3 21

k2 44+k3 22

k3 23

k3 24

00

00

00

k3 31

k3 32

k3 33+k4 11

k3 34+k4 12

k4 13

k4 14

00

00

k3 41

k3 42

k3 43+k4 21

k3 44+k4 22

k4 23

k4 24

00

00

00

k4 31

k4 32

k4 33

k4 34

00

00

00

k4 41

k4 42

k4 43

k4 44

u1

u2

u3

u4

u5

u6

u7

u8

u9

u10

=

f1 b1 f1 b2

f1 b3+f2 b1

f1 b4+f2 b2

f2 b3+f3 b1

f2 b4+f3 b2

f3 b3+f4 b1

f3 b4+f4 b2

f4 b3 f4 b4

+

f1 q1

f1 q2

f1 q3+f2 q1

f1 q4+f2 q2

f2 q3+f3 q1

f2 q4+f3 q2

f3 q3+f4 q1

f3 q4+f4 q2

f4 q3

f4 q4

(2.7

6)

84

Luego el vector frontera ensamblado para los cuatro elementos viga, esta dadopor:

fb =

f1b1

f1b2

f1b3 + f2

b1

f1b4 + f2

b2

f2b3 + f3

b1

f2b4 + f3

b2

f3b3 + f4

b1

f3b4 + f4

b2

f4b3

f4b4

⇒ fb =

V 11

M11

V 12 + V 2

1

M12 +M2

1

V 22 + V 3

1

M22 +M3

1

V 32 + V 4

1

M32 +M4

1

V 42

M42

.

En este caso analizado el vector fuerza esta conformado por el vector frontera dela viga:

f = fb.

Pero si se supone que existe carga uniformemente distribuida q constante en loscuatro elementos, entonces el ensamble del vector de carga uniformemente distri-buida para los cuatro elementos de viga, es:

fq =

f1q1

f1q2

f1q3 + f2

q1

f1q4 + f2

q2

f2q3 + f3

q1

f2q4 + f3

q2

f3q3 + f4

q1

f3q4 + f4

q2

f4q3

f4q4

⇒ fq =

− 12qL1

− 112

qL21

− 12qL1 − 1

2qL2

112

qL21 − 1

12qL2

2

− 12qL2 − 1

2qL3

112

qL22 − 1

12qL2

3

− 12qL3 − 1

2qL4

112

qL23 − 1

12qL2

4

− 12qL4

112

qL24

.

Por lo tanto el vector fuerza para este caso esta dado como:

f = fq

85

Com

o:u7=

u3 3=

u4 1

,u8=

u3 4=

u4 2,e

nton

ces

elsi

stem

aen

sam

blad

opa

racu

atro

elem

ento

sde

viga

es:

k1 11

k1 12

k1 13

k1 14

00

00

00

k1 21

k1 22

k1 23

k1 24

00

00

00

k1 31

k1 32

k1 33+k2 11

k1 34+k2 12

k2 13

k2 14

00

00

k1 41

k1 42

k1 43+k2 21

k1 44+k2 22

k2 23

k2 24

00

00

00

k2 31

k2 32

k2 33+k3 11

k2 34+k3 12

k3 13

k3 14

00

00

k2 41

k2 42

k2 43+k3 21

k2 44+k3 22

k3 23

k3 24

00

00

00

k3 31

k3 32

k3 33+k4 11

k3 34+k4 12

k4 13

k4 14

00

00

k3 41

k3 42

k3 43+k4 21

k3 44+k4 22

k4 23

k4 24

00

00

00

k4 31

k4 32

k4 33

k4 34

00

00

00

k4 41

k4 42

k4 43

k4 44

u1

u2

u3

u4

u5

u6

u7

u8

u9

u10

=

f1 b1 f1 b2

f1 b3+f2 b1

f1 b4+f2 b2

f2 b3+f3 b1

f2 b4+f3 b2

f3 b3+f4 b1

f3 b4+f4 b2

f4 b3 f4 b4

+

f1 q1

f1 q2

f1 q3+f2 q1

f1 q4+f2 q2

f2 q3+f3 q1

f2 q4+f3 q2

f3 q3+f4 q1

f3 q4+f4 q2

f4 q3

f4 q4

(2.7

6)

84


En particular si ocurre que existe una carga uniformemente distribuida q constanteen los dos ultimos tramos de la viga, es decir, solo en los elementos 3 y 4, entoncesen la Figura (2.18) se muestra el analisis de estas fuerzas:

L1L4L3

L2

e3 e4 3 54e1 e2 1 2

3

2

1qL

2

3

12

1qL

43

2

1

2

1qLqL

2

4

12

1qL2

4

2

3

12

1

12

1qLqL

3

2

1qL

Figura 2.16. Analisis de las fuerzas en los nodos debido a la carga q

Ahora si en la viga existen fuerzas aplicadas en algun nodo y carga uniformementedistribuida en ciertos elementos de la viga, entonces el vector fuerza es:

f = fb + fq

f =

V 11 − 1

2qL1

M11 − 1

12qL2

1

V 12 + V 2

1 − 12qL1 − 1

2qL2

M12 +M2

1 + 112

qL21 − 1

12qL2

2

V 22 + V 3

1 − 12qL2 − 1

2qL3

M22 +M3

1 + 112

qL22 − 1

12qL2

3

V 32 + V 4

1 − 12qL3 − 1

2qL4

M32 +M4

1 + 112

qL23 − 1

12qL2

4

V 42 − 1

2qL4

M42 + 1

12qL2

4

⇒ f =

V1 − 12qL1

M1 − 112

qL21

V2 − 12qL1 − 1

2qL2

M2 + 112

qL21 − 1

12qL2

2

V3 − 12qL2 − 1

2qL3

M3 + 112

qL22 − 1

12qL2

3

V4 − 12qL3 − 1

2qL4

M4 + 112

qL23 − 1

12qL2

4

V5 − 12qL4

M5 + 112

qL24

. (2.77)

Luego observando la Figura (2.15), que es consecuencia de aplicar la matriz deconectividad dada en la Tabla (2.1), el vector de desplazamientos para los cuatroelementos de viga esta dado por:

a =[u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9 u10

]T

86

Entonces el sistema ensamblado es: Ka = f

k111 k112 k113 k114 0 0 0 0 0 0

k121 k122 k123 k124 0 0 0 0 0 0

k131 k132 k133 + k211 k134 + k212 k213 k214 0 0 0 0

k141 k142 k143 + k221 k144 + k222 k223 k224 0 0 0 0

0 0 k231 k232 k233 + k311 k234 + k312 k313 k314 0 0

0 0 k241 k242 k243 + k321 k244 + k322 k323 k324 0 0

0 0 0 0 k331 k332 k333 + k411 k334 + k412 k413 k414

0 0 0 0 k341 k342 k343 + k421 k344 + k422 k423 k424

0 0 0 0 0 0 k431 k432 k433 k434

0 0 0 0 0 0 k441 k442 k443 k444

u1

u2

u3

u4

u5

u6

u7

u8

u9

u10

=

f1

f2

f3

f4

f5

f6

f7

f8

f9

f10

(2.78)

donde los terminos del vector fuerza global (ensamblado) fi , para todo i =1, 10 son los terminos del vector dado en (2.77). Debido a los 10 desplazamien-tos globales, la matriz de riguidez ensamblada es de 10 × 10. Recuerde que Kes una matriz en banda y tambien es simetrica. La matriz rigidez ensamblada essingular, por lo tanto el sistema de ecuaciones no tiene solucion unica.

De lo analizado para la viga considerada con mas de dos elementos y con cuatrodesplazamientos por elemento, se puede deducir que el ensamble graficamente escomo se muestran en la Figura (2.17).

* * * * 0 0 … … 0 0* * * * 0 0 … 0

* * * *

…

* * * *

0 0 * *0 0 * *

…

…

K = * *

* *

* * * *

* * * *

* *

* *

…

…

…

…

* * 0 0

* * 0 0* * * *

…

* * * *

…

0 … 0 0 * * * *0 0 … … 0 0 * * * *

*

*

…

F =

…

*

*

Figura 2.17. Ensamble de matrices rigidez y vectores fuerza

87


En particular si ocurre que existe una carga uniformemente distribuida q constanteen los dos ultimos tramos de la viga, es decir, solo en los elementos 3 y 4, entoncesen la Figura (2.18) se muestra el analisis de estas fuerzas:

L1L4L3

L2

e3 e4 3 54e1 e2 1 2

3

2

1qL

2

3

12

1qL

43

2

1

2

1qLqL

2

4

12

1qL2

4

2

3

12

1

12

1qLqL

3

2

1qL

Figura 2.16. Analisis de las fuerzas en los nodos debido a la carga q

Ahora si en la viga existen fuerzas aplicadas en algun nodo y carga uniformementedistribuida en ciertos elementos de la viga, entonces el vector fuerza es:

f = fb + fq

f =

V 11 − 1

2qL1

M11 − 1

12qL2

1

V 12 + V 2

1 − 12qL1 − 1

2qL2

M12 +M2

1 + 112

qL21 − 1

12qL2

2

V 22 + V 3

1 − 12qL2 − 1

2qL3

M22 +M3

1 + 112

qL22 − 1

12qL2

3

V 32 + V 4

1 − 12qL3 − 1

2qL4

M32 +M4

1 + 112

qL23 − 1

12qL2

4

V 42 − 1

2qL4

M42 + 1

12qL2

4

⇒ f =

V1 − 12qL1

M1 − 112

qL21

V2 − 12qL1 − 1

2qL2

M2 + 112

qL21 − 1

12qL2

2

V3 − 12qL2 − 1

2qL3

M3 + 112

qL22 − 1

12qL2

3

V4 − 12qL3 − 1

2qL4

M4 + 112

qL23 − 1

12qL2

4

V5 − 12qL4

M5 + 112

qL24

. (2.77)

Luego observando la Figura (2.15), que es consecuencia de aplicar la matriz deconectividad dada en la Tabla (2.1), el vector de desplazamientos para los cuatroelementos de viga esta dado por:

a =[u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9 u10

]T

86

Entonces el sistema ensamblado es: Ka = f

k111 k112 k113 k114 0 0 0 0 0 0

k121 k122 k123 k124 0 0 0 0 0 0

k131 k132 k133 + k211 k134 + k212 k213 k214 0 0 0 0

k141 k142 k143 + k221 k144 + k222 k223 k224 0 0 0 0

0 0 k231 k232 k233 + k311 k234 + k312 k313 k314 0 0

0 0 k241 k242 k243 + k321 k244 + k322 k323 k324 0 0

0 0 0 0 k331 k332 k333 + k411 k334 + k412 k413 k414

0 0 0 0 k341 k342 k343 + k421 k344 + k422 k423 k424

0 0 0 0 0 0 k431 k432 k433 k434

0 0 0 0 0 0 k441 k442 k443 k444

u1

u2

u3

u4

u5

u6

u7

u8

u9

u10

=

f1

f2

f3

f4

f5

f6

f7

f8

f9

f10

(2.78)

donde los terminos del vector fuerza global (ensamblado) fi , para todo i =1, 10 son los terminos del vector dado en (2.77). Debido a los 10 desplazamien-tos globales, la matriz de riguidez ensamblada es de 10 × 10. Recuerde que Kes una matriz en banda y tambien es simetrica. La matriz rigidez ensamblada essingular, por lo tanto el sistema de ecuaciones no tiene solucion unica.

De lo analizado para la viga considerada con mas de dos elementos y con cuatrodesplazamientos por elemento, se puede deducir que el ensamble graficamente escomo se muestran en la Figura (2.17).

* * * * 0 0 … … 0 0* * * * 0 0 … 0

* * * *

…

* * * *

0 0 * *0 0 * *

…

…

K = * *

* *

* * * *

* * * *

* *

* *

…

…

…

…

* * 0 0

* * 0 0* * * *

…

* * * *

…

0 … 0 0 * * * *0 0 … … 0 0 * * * *

*

*

…

F =

…

*

*

Figura 2.17. Ensamble de matrices rigidez y vectores fuerza

87


Cuarto paso: Imposicion de las condiciones de contorno:

El tipo de condiciones de frontera esenciales w, dwdx

o condiones de cinematica(tambien condiciones geometricas) para un problema especıfico de viga depen-de de la naturaleza del soporte geometrico. La Tabla (2.2) muestra una lista desoportes geometricos para la viga usados comunmente, tambien se incluye losdesplazamientos axiales u.Las condiciones de frontera naturales o condiciones de estatica (tambien condi-ciones de fuerza ) involucra la especificacion de las fuerzas.

Tabla 2.2. Apoyos, desplazamientos y reaccionesAPOYOS PARA VIGAS

Tipo de apoyo Desplazamientos u Reacciones fbApoyo Empotrado

∆z = 0 Vz = 0∆x = 0 Vx = 0θ = 0 M = 0

Apoyo Simple o Rodillo

∆z = 0 Vz = 0∆x = 0 Vx no existeθ = 0 M no existe

Apoyo Fijo o Pasador

∆z = 0 Vz = 0∆x = 0 Vx = 0θ = 0 M no existe

88

Ahora para mostrar el proceso de imposicion de las condiciones de fronteraconsidere una viga contınua, de tres tramos, con una carga puntual en el primertramo y carga uniformemente distribuida en los dos ultimos tramos, como semuestra en la Figura (2.18).

P q

L1 L2 L3 L4

Figura 2.18. Viga de tres tramos o viga continua

Tomese cinco nodos, un nodo donde se aplica una fuerza puntual y cuatro nodosen los apoyos. Entonces se tiene cuatro elementos de viga y diez desplazamientosglobales, como se observa en la Figura (2.11) y los desplazamientos locales en laFigura (2.12). Tambien observe las fuerzas para los cuatro elementos de la viga,como se muestra en la Figura (2.14).

Primero:Analizamos las fuerzas en la viga, segun la Tabla (2.2) donde se muestran lasfuerzas segun tipo de apoyo:

Para el nodo global 1:

f 1b1 = 0 ∧ f 1

b2 no existe.

Para el nodo global 2:Se aplica una fuerza cortante y ocurre un momento flexionante, por lo tanto:

f 1b3 + f 2

b1 = −P ∧ f 1b4 + f 2

b2 = M2.

En el nodo global 3:

f 2b3 + f 3

b1 = 0 ∧ f 2b4 + f 3

b2 no existe.


f 3b3 + f 4

b1 = 0 ∧ f 3b4 + f 4

b2 no existe.

89



El tipo de condiciones de frontera esenciales w, dwdx

o condiones de cinematica(tambien condiciones geometricas) para un problema especıfico de viga depen-de de la naturaleza del soporte geometrico. La Tabla (2.2) muestra una lista desoportes geometricos para la viga usados comunmente, tambien se incluye losdesplazamientos axiales u.Las condiciones de frontera naturales o condiciones de estatica (tambien condi-ciones de fuerza ) involucra la especificacion de las fuerzas.

Tabla 2.2. Apoyos, desplazamientos y reaccionesAPOYOS PARA VIGAS

Tipo de apoyo Desplazamientos u Reacciones fbApoyo Empotrado

∆z = 0 Vz = 0∆x = 0 Vx = 0θ = 0 M = 0

Apoyo Simple o Rodillo

∆z = 0 Vz = 0∆x = 0 Vx no existeθ = 0 M no existe

Apoyo Fijo o Pasador

∆z = 0 Vz = 0∆x = 0 Vx = 0θ = 0 M no existe

88

Ahora para mostrar el proceso de imposicion de las condiciones de fronteraconsidere una viga contınua, de tres tramos, con una carga puntual en el primertramo y carga uniformemente distribuida en los dos ultimos tramos, como semuestra en la Figura (2.18).

P q

L1 L2 L3 L4

Figura 2.18. Viga de tres tramos o viga continua

Tomese cinco nodos, un nodo donde se aplica una fuerza puntual y cuatro nodosen los apoyos. Entonces se tiene cuatro elementos de viga y diez desplazamientosglobales, como se observa en la Figura (2.11) y los desplazamientos locales en laFigura (2.12). Tambien observe las fuerzas para los cuatro elementos de la viga,como se muestra en la Figura (2.14).

Primero:Analizamos las fuerzas en la viga, segun la Tabla (2.2) donde se muestran lasfuerzas segun tipo de apoyo:

Para el nodo global 1:

f 1b1 = 0 ∧ f 1

b2 no existe.

Para el nodo global 2:Se aplica una fuerza cortante y ocurre un momento flexionante, por lo tanto:

f 1b3 + f 2

b1 = −P ∧ f 1b4 + f 2

b2 = M2.


f 2b3 + f 3

b1 = 0 ∧ f 2b4 + f 3

b2 no existe.


f 3b3 + f 4

b1 = 0 ∧ f 3b4 + f 4

b2 no existe.

89


En el nodo global 5:f 4b3 = 0 ∧ f 4

b4 = 0.

Segundo:Se analiza e impone la especificacion de los desplazamientos globales. Segun laTabla (2.2) que muestra los tipos de apoyos, se tiene que los desplazamientos son:

En el nodo global 1:El apoyo es fijo, entonces:

u1 = u11 = 0 , u2 = u1

2 = 0.

En el nodo global 2:Tenemos una carga puntual, entonces:

u3 = u21 = u1

3 = 0 , u4 = u14 = u2

2 = 0.

En el nodo global 3:El apoyo es rodillo, entonces:

u5 = u31 = u2

3 = 0 , u6 = u32 = u2

4 = 0.

En el nodo global 4:El apoyo tambien es rodillo, entonces:

u7 = u41 = u3

3 = 0 , u8 = u42 = u3

4 = 0.

En el nodo global 5:El apoyo es empotrado, entonces:

u9 = u43 = 0 , u10 = u4

4 = 0.

Ahora se impone las condiciones de frontera (especificacion de los desplazamien-tos globales), es decir si:

u1 = u5 = u7 = u9 = u10 = 0,

entonces en el sistema matricial (2.78) se eliminan las filas y columnas 1,5,7,9 y10. Por lo tanto el sistema (2.78) se reduce a:

90

Ka = f

k122 k1

23 k124 0 0

k132 k1

33 + k211 k1

34 + k212 k2

14 0

k142 k1

43 + k221 k1

44 + k222 k2

24 0

0 k241 k2

42 k244 + k3

22 k324

0 0 0 k342 k3

44 + k422

u2

u3

u4

u6

u8

=

M1

V2

M2

M3 − 112qL2

3

M4 +112qL2

3 − 112qL2

4

.

(2.79)

En (2.79) la matriz K es obtenida de la matriz rigidez global K pero eliminandolas filas y columnas 1,5,7,9 y 10. El det K = 0, es decir no singular por lo tantoel sistema matricial reducido (2.79) tiene solucion unica. Considere que xe

1 = 0 yxe2 = Le. Ademas recuerde que:

keij = a

(N e

i , Nej

), ∀i, j = 1, 2, 3, 4.

keij =

∫ Le

0

d2N ei

dx2EeIe

d2N ej

dx2dx, ∀i, j = 1, 2, 3, 4.

Si la rigidez a la flexion EI no varıa a lo largo del eje de la viga, entonces:

keij = EI

∫ Le

0

d2N ei

dx2

d2N ej

dx2dx, ∀i, j = 1, 2, 3, 4. (2.80)

De esta manera se obtienen los terminos de K en (2.79). En consecuencia:

Ka = f

91


En el nodo global 5:f 4b3 = 0 ∧ f 4

b4 = 0.

Segundo:Se analiza e impone la especificacion de los desplazamientos globales. Segun laTabla (2.2) que muestra los tipos de apoyos, se tiene que los desplazamientos son:

En el nodo global 1:El apoyo es fijo, entonces:

u1 = u11 = 0 , u2 = u1

2 = 0.

En el nodo global 2:Tenemos una carga puntual, entonces:

u3 = u21 = u1

3 = 0 , u4 = u14 = u2

2 = 0.

En el nodo global 3:El apoyo es rodillo, entonces:

u5 = u31 = u2

3 = 0 , u6 = u32 = u2

4 = 0.

En el nodo global 4:El apoyo tambien es rodillo, entonces:

u7 = u41 = u3

3 = 0 , u8 = u42 = u3

4 = 0.

En el nodo global 5:El apoyo es empotrado, entonces:

u9 = u43 = 0 , u10 = u4

4 = 0.

Ahora se impone las condiciones de frontera (especificacion de los desplazamien-tos globales), es decir si:

u1 = u5 = u7 = u9 = u10 = 0,

entonces en el sistema matricial (2.78) se eliminan las filas y columnas 1,5,7,9 y10. Por lo tanto el sistema (2.78) se reduce a:

90

Ka = f

k122 k1

23 k124 0 0

k132 k1

33 + k211 k1

34 + k212 k2

14 0

k142 k1

43 + k221 k1

44 + k222 k2

24 0

0 k241 k2

42 k244 + k3

22 k324

0 0 0 k342 k3

44 + k422

u2

u3

u4

u6

u8

=

M1

V2

M2

M3 − 112qL2

3

M4 +112qL2

3 − 112qL2

4

.

(2.79)

En (2.79) la matriz K es obtenida de la matriz rigidez global K pero eliminandolas filas y columnas 1,5,7,9 y 10. El det K = 0, es decir no singular por lo tantoel sistema matricial reducido (2.79) tiene solucion unica. Considere que xe

1 = 0 yxe2 = Le. Ademas recuerde que:

keij = a

(N e

i , Nej

), ∀i, j = 1, 2, 3, 4.

keij =

∫ Le

0

d2N ei

dx2EeIe

d2N ej

dx2dx, ∀i, j = 1, 2, 3, 4.

Si la rigidez a la flexion EI no varıa a lo largo del eje de la viga, entonces:

keij = EI

∫ Le

0

d2N ei

dx2

d2N ej

dx2dx, ∀i, j = 1, 2, 3, 4. (2.80)

De esta manera se obtienen los terminos de K en (2.79). En consecuencia:

Ka = f

91


4E

(1)I(1

)

L1

−6E

(1)I(1

)

L2 1

2E

(1)I(1

)

L1

00

−6E

(1)I(1

)

L2 1

12E

(1)I(1

)

L3 1

+12E

(2)I(2

)

L3 2

−6E

(1)I(1

)

L2 1

+6E

(2)I(2

)

L2 2

6E

(2)I(2

)

L2 2

0

2E

(1)I(1

)

L1

−6E

(1)I(1

)

L2 1

+6E

(2)I(2

)

L2 2

4E

(1)I(1

)

L1

+4E

(2)I(2

)

L2

2E

(2)I(2

)

L2

0

06E

(2)I(2

)

L2 2

2E

(2)I(2

)

L2

4E

(2)I(2

)

L2

+4E

(3)I(3

)

L3

2E

(3)I(3

)

L3

00

02E

(3)I(3

)

L3

4E

(3)I(3

)

L3

+4E

(4)I(4

)

L4

u2

u3

u4

u6

u8

=

0 −P

M2

−1 12qL

2 3

1 12qL

2 3−

1 12qL

2 4

92

Quinto paso: Solucion del sistema discreto

Para obtener la solucion del sistema reducido:

Ka = f

suponga que se elige aplicar Eliminacion Gaussiana, de esta manera se hallan losdesplazamientos verticales y giros en los nodos: u2, u3, u4, u6 y u8.

Sexto paso: Deflexiones en cualquier punto de la viga

Como en el paso cinco ya se hallaron las deflexiones en los nodos (desplazamien-tos verticales), ahora para obtener las deflexiones entre los nodos y por tanto encualquier punto de la viga, se reemplaza estos valores obtenidos en (2.46), es deciren el polinomio de aproximacion de cada elemento:

we(x) = N e1 (x)u

e1 +N e

2 (x)ue2 +N e

3 (x)ue3 +N e

4 (x)ue4 . (2.81)

para luego aplicar el criterio de la primera derivada y ası obtener las deflexionesentre los nodos.

Por lo tanto al comparar las deflexiones en los nodos y entre los nodos, se obtienenlas maximas deflexiones en cualquier punto de la viga Euler-Bernoulli con masde un tramo.

93


4E

(1)I(1

)

L1

−6E

(1)I(1

)

L2 1

2E

(1)I(1

)

L1

00

−6E

(1)I(1

)

L2 1

12E

(1)I(1

)

L3 1

+12E

(2)I(2

)

L3 2

−6E

(1)I(1

)

L2 1

+6E

(2)I(2

)

L2 2

6E

(2)I(2

)

L2 2

0

2E

(1)I(1

)

L1

−6E

(1)I(1

)

L2 1

+6E

(2)I(2

)

L2 2

4E

(1)I(1

)

L1

+4E

(2)I(2

)

L2

2E

(2)I(2

)

L2

0

06E

(2)I(2

)

L2 2

2E

(2)I(2

)

L2

4E

(2)I(2

)

L2

+4E

(3)I(3

)

L3

2E

(3)I(3

)

L3

00

02E

(3)I(3

)

L3

4E

(3)I(3

)

L3

+4E

(4)I(4

)

L4

u2

u3

u4

u6

u8

=

0 −P

M2

−1 12qL

2 3

1 12qL

2 3−

1 12qL

2 4

92


Para obtener la solucion del sistema reducido:

Ka = f

suponga que se elige aplicar Eliminacion Gaussiana, de esta manera se hallan losdesplazamientos verticales y giros en los nodos: u2, u3, u4, u6 y u8.


Como en el paso cinco ya se hallaron las deflexiones en los nodos (desplazamien-tos verticales), ahora para obtener las deflexiones entre los nodos y por tanto encualquier punto de la viga, se reemplaza estos valores obtenidos en (2.46), es deciren el polinomio de aproximacion de cada elemento:

we(x) = N e1 (x)u

e1 +N e

2 (x)ue2 +N e

3 (x)ue3 +N e

4 (x)ue4 . (2.81)

para luego aplicar el criterio de la primera derivada y ası obtener las deflexionesentre los nodos.

Por lo tanto al comparar las deflexiones en los nodos y entre los nodos, se obtienenlas maximas deflexiones en cualquier punto de la viga Euler-Bernoulli con masde un tramo.

93


Para la deflexion de vigas Timoshenko:La viga es dividida en un numero finito de partes, cada una de estas partes son lla-madas elementos finitos y los extremos de estos elementos se denominan nodos,y por medio de estos nodos se conectan los elementos. Los desplazamientos queocurren en cada nodo, son los grados de libertad: ue

1, φe1 para las deflexiones y

ue2, φ

e2 para los giros. A cada elemento finito (Figura (2.19)) que se hace referencia

aquı, tambien se llama elemento viga.


El elemento de viga se define como un cuerpo prismatico con la lınea central x yel eje y perpendicularmente a la lınea central. Los nodos, en los cuales se definenlos desplazamientos y rotaciones, asi como tambien, las fuerzas y los momen-tos, se introduciran en ambos extremos del elemento de viga. Los parametros dedeformacion y carga son positivos en la direccion mostrada en la Figura (2.20).

Figura 2.20. Definicion de la direccion positiva para el elemento en el plano xy: a)parametros de deformacion b) parametros de carga

94

Para la formulacion del elemento finito, es necesario hacer el analisis teniendo encuenta condiciones de contorno arbitrarias, es por ello que al multiplicar a (1.84)y (1.81) por una funcion peso e integrar por partes, sin considerar condicionesesenciales, se tiene:

−GKsA(dw

dx− φ)v1|

xe2

xe1+

∫ xe2

xe1

GKsA(dw

dx− φ)

dv1dx

dx =

∫ xe2

xe1

qv1dx (2.82)

y

EIdφ

dxv2|

xe2

xe1−∫ xe

2

xe1

EIdφ

dx

dv2dx

dx+

∫ xe2

xe1

GKsA(dw

dx− φ)v2dx = 0 (2.83)

Sumando (2.82) y (2.83), la formulacion debil del sistema de ecuaciones diferen-ciales acopladas (1.81) y (1.84) es:

∫ xe2

xe1EI dφ

dxdv2dx

dx+∫ xe

2

xe1GKsA(

dwdx

− φ)(dv1dx

− v2)dx =

∫ xe2

xe1qv1dx+GKsA(

dwdx

− φ)v1|xe2

xe1+ EI dφ

dxv2|

xe2

xe1

(2.84)

Se define

a((w, φ), (v1, v2)) =∫ xe

2

xe1

EIdφ

dx

dv2dx

dx+

∫ xe2

xe1

GKsA(dw

dx− φ)(

dv1dx

− v2)dx

y

(v1, v2) = GKsA(dw

dx− φ)v1|

xe2

xe1+ EI

dφ

dxv2|

xe2

xe1+

∫ xe2

xe1

qv1dx

Por lo tanto:

(PV )

Hallar w, φ ∈ V = H10 (Ω) tal que

a((w, φ), (v1, v2)) = (v1, v2) para todo v1, v2 ∈ V = H10 (Ω)

(2.85)Sea Vn una sucesion de subespacios de dimension finita tal que Vn ⊂ V , dondecada subespacio de dimension finita es generado por un numero finito de funcionesbase φi; entonces se plantea el problema aproximado al P.V. como:

(PV A)

Hallar wn, φn ∈ Vn tal que

a((wn, φn), (v1, v2)) = (v1, v2) = (v) para todo v1, v2 ∈ Vn

(2.86)

95


Para la deflexion de vigas Timoshenko:La viga es dividida en un numero finito de partes, cada una de estas partes son lla-madas elementos finitos y los extremos de estos elementos se denominan nodos,y por medio de estos nodos se conectan los elementos. Los desplazamientos queocurren en cada nodo, son los grados de libertad: ue

1, φe1 para las deflexiones y

ue2, φe

2 para los giros. A cada elemento finito (Figura (2.19)) que se hace referenciaaquı, tambien se llama elemento viga.


El elemento de viga se define como un cuerpo prismatico con la lınea central x yel eje y perpendicularmente a la lınea central. Los nodos, en los cuales se definenlos desplazamientos y rotaciones, asi como tambien, las fuerzas y los momen-tos, se introduciran en ambos extremos del elemento de viga. Los parametros dedeformacion y carga son positivos en la direccion mostrada en la Figura (2.20).

Figura 2.20. Definicion de la direccion positiva para el elemento en el plano xy: a)parametros de deformacion b) parametros de carga

94

Para la formulacion del elemento finito, es necesario hacer el analisis teniendo encuenta condiciones de contorno arbitrarias, es por ello que al multiplicar a (1.84)y (1.81) por una funcion peso e integrar por partes, sin considerar condicionesesenciales, se tiene:

−GKsA(dw

dx− φ)v1|

xe2

xe1+

∫ xe2

xe1

GKsA(dw

dx− φ)

dv1dx

dx =

∫ xe2

xe1

qv1dx (2.82)

y

EIdφ

dxv2|

xe2

xe1−∫ xe

2

xe1

EIdφ

dx

dv2dx

dx+

∫ xe2

xe1

GKsA(dw

dx− φ)v2dx = 0 (2.83)

Sumando (2.82) y (2.83), la formulacion debil del sistema de ecuaciones diferen-ciales acopladas (1.81) y (1.84) es:

∫ xe2

xe1EI dφ

dxdv2dx

dx+∫ xe

2

xe1GKsA(

dwdx

− φ)(dv1dx

− v2)dx =

∫ xe2

xe1qv1dx+GKsA(

dwdx

− φ)v1|xe2

xe1+ EI dφ

dxv2|

xe2

xe1

(2.84)

Se define

a((w, φ), (v1, v2)) =∫ xe

2

xe1

EIdφ

dx

dv2dx

dx+

∫ xe2

xe1

GKsA(dw

dx− φ)(

dv1dx

− v2)dx

y

(v1, v2) = GKsA(dw

dx− φ)v1|

xe2

xe1+ EI

dφ

dxv2|

xe2

xe1+

∫ xe2

xe1

qv1dx

Por lo tanto:

(PV )

Hallar w, φ ∈ V = H10 (Ω) tal que

a((w, φ), (v1, v2)) = (v1, v2) para todo v1, v2 ∈ V = H10 (Ω)

(2.85)Sea Vn una sucesion de subespacios de dimension finita tal que Vn ⊂ V , dondecada subespacio de dimension finita es generado por un numero finito de funcionesbase φi; entonces se plantea el problema aproximado al P.V. como:

(PV A)

Hallar wn, φn ∈ Vn tal que

a((wn, φn), (v1, v2)) = (v1, v2) = (v) para todo v1, v2 ∈ Vn

(2.86)

95


Como la deflexion w y la rotacion φ son independientes y de clase C0 , se puedeaproximar por separado cada una de ellas, como:

w(x) = Nw1(x)u1 +Nw2(x)u2 (2.87)

φ(x) = Nφ1(x)φ1 +Nφ2(x)φ2 (2.88)

we = Newue (2.89)

φe = Neφue (2.90)

donde:

New =

[N e

w1 0 N ew2 0

]; ue =

ue1

φe1

ue2

φe2

(2.91)

Neφ =

[0 N e

φ1 0 N eφ2

]; ue =

ue1

φe1

ue2

φe2

(2.92)

Las funciones base local o funciones de forma Nwi y Nφi pertenecen a

P1(Ωe) = Nwi, Nφi ∈ C0(Ωe); ∀i = 1, 2, k ≥ 1;Nwi|Ωe , Nφi|Ωe ∈ P1

donde Ωe es un subdominio de Ω = [a; b]. Ademas los parametros ui y φi son losvalores nodales y n es el numero de incognitas.Por lo tanto se escogen los polinomios lineales que pertenecen a P1(Ω

e), loscuales son Polinomios de Lagrange, para el elemento de viga de Timoshenko.

Nw1(x) = Nφ1(x) = 1− x

L, (2.93)

Nw2(x) = Nφ2(x) =x

L(2.94)

y sus derivadas son respectivamente:

dNw1

dx=

dNφ1

dx= − 1

L, (2.95)

dNw2

dx=

dNφ2

dx=

1

L. (2.96)

En la Figura(2.21) se muestra las graficas de los polinomios lineales de Lagrange

96

NØi

NØ1(x) NØ2(x)

0 L

1

x

Figura 2.21. Funciones de forma lineales

Luego:dNe

w

dx=

[dNe

w1

dx0

dNew2

dx0]

(2.97)

ydNe

φ

dx=

[0

dNeφ1

dx0

dNeφ2

dx

](2.98)

De (2.89) y (2.90) se sigue que:

dw

dx=

dNw(x)

dxu , (2.99)

dφ

dx=

dNφ(x)

dxu. (2.100)

Por el metodo de Galerkin, la funcion de peso arbitraria v es:

v1 = Nwδu , (2.101)

v2 = Nφδu. (2.102)

Con la existencia de las funciones arbitrarias v1 y v2, los parametros dados por δuson tambien arbitrarios.Como v1 = vT1 y v2 = vT2 , (2.101) y (2.102) pueden ser reescritas como:

v1 = δuTNTw , (2.103)

v2 = δuTNTφ . (2.104)

lo cual conduce a:dv1dx

= δuT dNTw(x)

dx, (2.105)

dv2dx

= δuTdNT

φ (x)

dx. (2.106)

97


Como la deflexion w y la rotacion φ son independientes y de clase C0 , se puedeaproximar por separado cada una de ellas, como:

w(x) = Nw1(x)u1 +Nw2(x)u2 (2.87)

φ(x) = Nφ1(x)φ1 +Nφ2(x)φ2 (2.88)

we = Newue (2.89)

φe = Neφue (2.90)

donde:

New =

[N e

w1 0 N ew2 0

]; ue =

ue1

φe1

ue2

φe2

(2.91)

Neφ =

[0 N e

φ1 0 N eφ2

]; ue =

ue1

φe1

ue2

φe2

(2.92)

Las funciones base local o funciones de forma Nwi y Nφi pertenecen a

P1(Ωe) = Nwi, Nφi ∈ C0(Ωe); ∀i = 1, 2, k ≥ 1;Nwi|Ωe , Nφi|Ωe ∈ P1

donde Ωe es un subdominio de Ω = [a; b]. Ademas los parametros ui y φi son losvalores nodales y n es el numero de incognitas.Por lo tanto se escogen los polinomios lineales que pertenecen a P1(Ω

e), loscuales son Polinomios de Lagrange, para el elemento de viga de Timoshenko.

Nw1(x) = Nφ1(x) = 1− x

L, (2.93)

Nw2(x) = Nφ2(x) =x

L(2.94)

y sus derivadas son respectivamente:

dNw1

dx=

dNφ1

dx= − 1

L, (2.95)

dNw2

dx=

dNφ2

dx=

1

L. (2.96)

En la Figura(2.21) se muestra las graficas de los polinomios lineales de Lagrange

96

NØi

NØ1(x) NØ2(x)

0 L

1

x

Figura 2.21. Funciones de forma lineales

Luego:dNe

w

dx=

[dNe

w1

dx0

dNew2

dx0]

(2.97)

ydNe

φ

dx=

[0

dNeφ1

dx0

dNeφ2

dx

](2.98)

De (2.89) y (2.90) se sigue que:

dw

dx=

dNw(x)

dxu , (2.99)

dφ

dx=

dNφ(x)

dxu. (2.100)

Por el metodo de Galerkin, la funcion de peso arbitraria v es:

v1 = Nwδu , (2.101)

v2 = Nφδu. (2.102)

Con la existencia de las funciones arbitrarias v1 y v2, los parametros dados por δuson tambien arbitrarios.Como v1 = vT1 y v2 = vT2 , (2.101) y (2.102) pueden ser reescritas como:

v1 = δuTNTw , (2.103)

v2 = δuTNTφ . (2.104)

lo cual conduce a:dv1dx

= δuT dNTw(x)

dx, (2.105)

dv2dx

= δuTdNT

φ (x)

dx. (2.106)

97


Sustituyendo (2.103), (2.104), (2.105) y (2.106) en (2.84), se obtiene:

δuT

∫ xe2

xe1

EIdNT

φ

dx

dNφ

dxdxu + δuT

∫ xe2

xe1

GKsA(dNT

w

dx− NT

φ )(dNw

dx− Nφ)dxu =

δuT

∫ xe2

xe1

qNTw(x)dx+ δuT

(Q(x)NT

w(x))|x

e2

xe1+ δuT

(M(x)NT

φ (x))|x

e2

xe1

Como δuT es arbitrario, de esto se concluye que:

∫ xe2

xe1EI

dNeTφ

dx

dNeφ

dxdxue +

∫ xe2

xe1GKsA(

dNeTw

dx− NeT

φ )(dNew

dx− Ne

φ)dxue =

∫ xe2

xe1qNeT

w (x)dx+(Q(x)NeT

w (x))|x

e2

xe1+(M(x)NeT

φ (x))|x

e2

xe1

(2.107)

esta ecuacion (2.107) es la Formulacion de Elementos Finitos para la viga deTimoshenko.

Para escribir este resultado de una manera mas concisa, se define las siguientesmatrices:

Keb =

∫ xe2

xe1EI

dNeTφ

dx

dNeφ

dxdx

Kes =

∫ xe2

xe1GKsA(

dNeTw

dx− NeT

φ )(dNew

dx− Ne

φ)dx

f eb =

(Q(x)NeT

w (x))|x

e2

xe1+(M(x)NeT

φ (x))|x

e2

xe1

f eq =

∫ xe2

xe1qNeT

w (x)dx

(2.108)

donde Keb es la matriz de rıgidez correspondiente a efectos de flexion, Ke

s es lamatriz de rıgidez correspondiente a efectos de cortante, f e

b el vector de fronteray f e

q el vector de carga.

Con (2.108) se define la matriz rigidez Ke como:

Ke = Keb +Ke

s (2.109)

y el vector fuerza F por:F e = f e

b + f eq (2.110)

98

En consecuencia (2.107) se escribe en la forma:

Keue = F e. (2.111)

Para Keb y Ke

s de (2.108) se calcula las integrales, obteniendo:

Keb = EI

∫ L

0

0 0 0 0

0dNφ1

dx

dNφ1

dx0

dNφ1

dx

dNφ2

dx

0 0 0 0

0dNφ2

dx

dNφ1

dx0

dNφ2

dx

dNφ2

dx

dx (2.112)

⇒ Keb = EI

0 0 0 00 1

L0 − 1

L

0 0 0 00 − 1

L0 1

L

(2.113)

y

Kes = ksGA

∫ L

0

dNw1

dxdNw1

dxdNw1

dx(−Nφ1)

dNw1

dxdNw2

dxdNw1

dx(−Nφ2)

(−Nφ1)dNw1

dx(−Nφ1)(−Nφ1) (−Nφ1)

dNw2

dx(−Nφ1)(−Nφ2)

dNw2

dxdNw1

dxdNw2

dx(−Nφ1)

dNw2

dxdNw2

dxdNw2

dx(−Nφ2)

(−Nφ2)dNw1

dx(−Nφ2)(−Nφ1) (−Nφ2)

dNw2


dx

(2.114)

⇒ Kes = ksGA

1L

12

− 1L

12

12

L3

−12

L6

− 1L

−12

1L

−12

12

L6

−12

L3

(2.115)

Las dos matrices de rigidez de las Ecuaciones (2.113) y (2.115) se pueden sumarobteniendo la matriz de rigidez total de la viga de Timoshenko:

Ke =

ksGAL

ksGA2

−ksGAL

ksGA2

ksGA2

ksGAL3

+ EIL

−ksGA2

ksGAL6

− EIL

−ksGAL

−ksGA2

ksGAL

−ksGA2

ksGA2

ksGAL6

− EIL

−ksGA2

ksGAL3

+ EIL

o alternativamente a traves de α = 4EIksGA

se tiene:

⇒ Ke =ksGA

4L

4 2L −4 2L2L 4

3L2 + α −2L 4

6L2 − α

−4 −2L 4 −2L2L 4

6L2 − α −2L 4

3L2 + α

(2.116)

99


Sustituyendo (2.103), (2.104), (2.105) y (2.106) en (2.84), se obtiene:

δuT

∫ xe2

xe1

EIdNT

φ

dx

dNφ

dxdxu + δuT

∫ xe2

xe1

GKsA(dNT

w

dx− NT

φ )(dNw

dx− Nφ)dxu =

δuT

∫ xe2

xe1

qNTw(x)dx+ δuT

(Q(x)NT

w(x))|x

e2

xe1+ δuT

(M(x)NT

φ (x))|x

e2

xe1

Como δuT es arbitrario, de esto se concluye que:

∫ xe2

xe1EI

dNeTφ

dx

dNeφ

dxdxue +

∫ xe2

xe1GKsA(

dNeTw

dx− NeT

φ )(dNew

dx− Ne

φ)dxue =

∫ xe2

xe1qNeT

w (x)dx+(Q(x)NeT

w (x))|x

e2

xe1+(M(x)NeT

φ (x))|x

e2

xe1

(2.107)

esta ecuacion (2.107) es la Formulacion de Elementos Finitos para la viga deTimoshenko.

Para escribir este resultado de una manera mas concisa, se define las siguientesmatrices:

Keb =

∫ xe2

xe1EI

dNeTφ

dx

dNeφ

dxdx

Kes =

∫ xe2

xe1GKsA(

dNeTw

dx− NeT

φ )(dNew

dx− Ne

φ)dx

f eb =

(Q(x)NeT

w (x))|x

e2

xe1+(M(x)NeT

φ (x))|x

e2

xe1

f eq =

∫ xe2

xe1qNeT

w (x)dx

(2.108)

donde Keb es la matriz de rıgidez correspondiente a efectos de flexion, Ke

s es lamatriz de rıgidez correspondiente a efectos de cortante, f e

b el vector de fronteray f e

q el vector de carga.

Con (2.108) se define la matriz rigidez Ke como:

Ke = Keb +Ke

s (2.109)

y el vector fuerza F por:F e = f e

b + f eq (2.110)

98

En consecuencia (2.107) se escribe en la forma:

Keue = F e. (2.111)

Para Keb y Ke

s de (2.108) se calcula las integrales, obteniendo:

Keb = EI

∫ L

0

0 0 0 0

0dNφ1

dx

dNφ1

dx0

dNφ1

dx

dNφ2

dx

0 0 0 0

0dNφ2

dx

dNφ1

dx0

dNφ2

dx

dNφ2

dx

dx (2.112)

⇒ Keb = EI

0 0 0 00 1

L0 − 1

L

0 0 0 00 − 1

L0 1

L

(2.113)

y

Kes = ksGA

∫ L

0

dNw1

dxdNw1

dxdNw1

dx(−Nφ1)

dNw1

dxdNw2

dxdNw1

dx(−Nφ2)

(−Nφ1)dNw1

dx(−Nφ1)(−Nφ1) (−Nφ1)

dNw2


dNw2

dxdNw1

dxdNw2

dx(−Nφ1)

dNw2

dxdNw2

dxdNw2

dx(−Nφ2)

(−Nφ2)dNw1

dx(−Nφ2)(−Nφ1) (−Nφ2)

dNw2


dx

(2.114)

⇒ Kes = ksGA

1L

12

− 1L

12

12

L3

−12

L6

− 1L

−12

1L

−12

12

L6

−12

L3

(2.115)

Las dos matrices de rigidez de las Ecuaciones (2.113) y (2.115) se pueden sumarobteniendo la matriz de rigidez total de la viga de Timoshenko:

Ke =

ksGAL

ksGA2

−ksGAL

ksGA2

ksGA2

ksGAL3

+ EIL

−ksGA2

ksGAL6

− EIL

−ksGAL

−ksGA2

ksGAL

−ksGA2

ksGA2

ksGAL6

− EIL

−ksGA2

ksGAL3

+ EIL

o alternativamente a traves de α = 4EIksGA

se tiene:

⇒ Ke =ksGA

4L

4 2L −4 2L2L 4

3L2 + α −2L 4

6L2 − α

−4 −2L 4 −2L2L 4

6L2 − α −2L 4

3L2 + α

(2.116)

99


o tambien via Λ = EIksGAL2

⇒ Ke =EI

6ΛL3

6 3L −6 3L3L L2(2 + 6Λ) −3L L2(1− 6Λ)−6 −3L 6 −3L3L L2(1− 6Λ) −3L L2(2 + 6Λ)

(2.117)

Para el vector frontera fb; tome en cuenta las condiciones de las funciones deforma:

fb =

Q(L)N1w(L)−Q(0)N1w(0)M(L)N1φ(L)−M(0)N1φ(0)Q(L)N2w(L)−Q(0)N2w(0)M(L)N2φ(L)−M(0)N2φ(0)

⇒ fb =

−Q(0)−M(0)Q(L)M(L)

(2.118)

y para el vector de carga fq se tiene:

fq =

∫ L

0

q(x)

N1w

0N2w

0

dx (2.119)

100

Matriz rigidez obtenida con integracion numerica:

Considere: −1 ≤ ξ ≤ 1, ξ = −1 + 2 xL

y dξ = 2Ldx.

Entonces las funciones de forma son:

Nw1(ξ) = Nφ1(ξ) =1

2(1− ξ) ,

Nw2(ξ) = Nφ2(ξ) =1

2(1 + ξ)

Ademas dNdx

= dNdξ

dξdx

.Luego con integracion numerica de Gauss con un solo punto de integracion, seobtienen las siguientes matrices:La matriz de rigidez a la flexion es

Keb = EI

∫ 1

−1

4

L2

0 0 0 0

0dNφ1

dξ

dNφ1

dξ0

dNφ1

dξ

dNφ2

dξ

0 0 0 0

0dNφ2

dξ

dNφ1

dξ0

dNφ2

dξ

dNφ2

dξ

L

2dξ (2.120)

⇒ Keb = EI

0 0 0 00 1

L0 − 1

L

0 0 0 00 − 1

L0 1

L

(2.121)

Se puede ver que es la misma matriz de rigidez a la flexion que la obtenida conintegracion analıtica. Por lo tanto, la integracion de Gauss con un solo punto deintegracion, es precisa.Ahora la matriz de rigidez de cortante Ke

s , usando tambien coordenadas naturales,se obtiene:

2ksGA

L

∫ 1

−1

dNw1

dξdNw1

dξL2dNw1

dξ(−Nφ1)

dNw1

dξdNw2

dξL2dNw1

dξ(−Nφ2)

L2(−Nφ1)

dNw1

dξL2

4(Nφ1)(Nφ1)

L2(−Nφ1)

dNw2

dξL2

4(Nφ1)(Nφ2)

dNw2

dξdNw1

dξL2dNw2

dξ(−Nφ1)

dNwξ

dxdNw2

dξL2dNw2

dξ(−Nφ2)

L2(−Nφ2)

dNw1

dξL2

4(Nφ2)(Nφ1)

L2(−Nφ2)

dNw2

dξL2

4(Nφ2)(Nφ2)

dξ

(2.122)aplicando la integracion numerica:

⇒ Kes = ksGA

1L

12

− 1L

12

12

L4

−12

L4

− 1L

−12

1L

−12

12

L4

−12

L4

(2.123)

101



⇒ Ke =EI

6ΛL3

6 3L −6 3L3L L2(2 + 6Λ) −3L L2(1− 6Λ)−6 −3L 6 −3L3L L2(1− 6Λ) −3L L2(2 + 6Λ)

(2.117)


fb =

Q(L)N1w(L)−Q(0)N1w(0)M(L)N1φ(L)−M(0)N1φ(0)Q(L)N2w(L)−Q(0)N2w(0)M(L)N2φ(L)−M(0)N2φ(0)

⇒ fb =

−Q(0)−M(0)Q(L)M(L)

(2.118)


fq =

∫ L

0

q(x)

N1w

0N2w

0

dx (2.119)

100


Considere: −1 ≤ ξ ≤ 1, ξ = −1 + 2 xL

y dξ = 2Ldx.

Entonces las funciones de forma son:

Nw1(ξ) = Nφ1(ξ) =1

2(1− ξ) ,

Nw2(ξ) = Nφ2(ξ) =1

2(1 + ξ)

Ademas dNdx

= dNdξ

dξdx

.Luego con integracion numerica de Gauss con un solo punto de integracion, seobtienen las siguientes matrices:La matriz de rigidez a la flexion es

Keb = EI

∫ 1

−1

4

L2

0 0 0 0

0dNφ1

dξ

dNφ1

dξ0

dNφ1

dξ

dNφ2

dξ

0 0 0 0

0dNφ2

dξ

dNφ1

dξ0

dNφ2

dξ

dNφ2

dξ

L

2dξ (2.120)

⇒ Keb = EI

0 0 0 00 1

L0 − 1

L

0 0 0 00 − 1

L0 1

L

(2.121)

Se puede ver que es la misma matriz de rigidez a la flexion que la obtenida conintegracion analıtica. Por lo tanto, la integracion de Gauss con un solo punto deintegracion, es precisa.Ahora la matriz de rigidez de cortante Ke

s , usando tambien coordenadas naturales,se obtiene:

2ksGA

L

∫ 1

−1

dNw1

dξdNw1

dξL2dNw1

dξ(−Nφ1)

dNw1

dξdNw2

dξL2dNw1

dξ(−Nφ2)

L2(−Nφ1)

dNw1

dξL2

4(Nφ1)(Nφ1)

L2(−Nφ1)

dNw2

dξL2

4(Nφ1)(Nφ2)

dNw2

dξdNw1

dξL2dNw2

dξ(−Nφ1)

dNwξ

dxdNw2

dξL2dNw2

dξ(−Nφ2)

L2(−Nφ2)

dNw1

dξL2

4(Nφ2)(Nφ1)

L2(−Nφ2)

dNw2

dξL2

4(Nφ2)(Nφ2)

dξ

(2.122)aplicando la integracion numerica:

⇒ Kes = ksGA

1L

12

− 1L

12

12

L4

−12

L4

− 1L

−12

1L

−12

12

L4

−12

L4

(2.123)

101


Las dos matrices de rigidez de las Ecuaciones (2.121) y (2.123) se suman obte-niendo la matriz de rigidez total de la viga de Timoshenko y con α = 4EI

ksGAse

tiene:

⇒ Ke =ksGA

4L

4 2L −4 2L2L L2 + α −2L L2 − α−4 −2L 4 −2L2L L2 − α −2L L2 + α

(2.124)


Ke =EI

6ΛL3

6 3L −6 3L3L L2(1, 5 + 6Λ) −3L L2(1, 5− 6Λ)−6 −3L 6 −3L3L L2(1, 5− 6Λ) −3L L2(2 + 6Λ)

(2.125)

102

Tipos de elemento de viga TimoshenkoLos resultados que se muestran a continuacion, que es la formulacion viaelementos finitos con diferentes elementos, son obtenidos al aplicar (2.108).

a). Elemento de viga de Timoshenko con funciones de forma cuadraticas parala deflexion y la rotacion:Para este caso se discretiza el dominio como se observa en la Figura (2.22) y(2.23).

Figura 2.22. Viga con elemento cuadratico y desplazamientos

Figura 2.23. Viga con elemento cuadratico y fuerzas

103


Las dos matrices de rigidez de las Ecuaciones (2.121) y (2.123) se suman obte-niendo la matriz de rigidez total de la viga de Timoshenko y con α = 4EI

ksGAse

tiene:

⇒ Ke =ksGA

4L

4 2L −4 2L2L L2 + α −2L L2 − α−4 −2L 4 −2L2L L2 − α −2L L2 + α

(2.124)


Ke =EI

6ΛL3

6 3L −6 3L3L L2(1, 5 + 6Λ) −3L L2(1, 5− 6Λ)−6 −3L 6 −3L3L L2(1, 5− 6Λ) −3L L2(2 + 6Λ)

(2.125)

102

Tipos de elemento de viga TimoshenkoLos resultados que se muestran a continuacion, que es la formulacion viaelementos finitos con diferentes elementos, son obtenidos al aplicar (2.108).

a). Elemento de viga de Timoshenko con funciones de forma cuadraticas parala deflexion y la rotacion:Para este caso se discretiza el dominio como se observa en la Figura (2.22) y(2.23).



103


De acuerdo a (2.89) y (2.90) la aproximacion para la deflexion y la rotacion, res-pectivamente es:

w(x) = Nw1(x)u1 +Nw2(x)u2 +Nw3(x)u3 (2.126)

φ(x) = Nφ1(x)φ1 +Nφ2(x)φ2 +Nφ3(x)φ3 (2.127)

donde:

Nw =[Nw1 0 Nw2 0 Nw3 0

]; u =

u1

φ1

u2

φ2

u3

φ3

(2.128)

Nφ =[0 Nφ1 0 Nφ2 0 Nφ3

]; u =

u1

φ1

u2

φ2

u3

φ3

(2.129)

Con ui y φi como valores nodales en cada elemento de la viga. Ademas en estecaso el objetivo es elegir funciones de forma cuadraticas para la deflexion ypara la rotacion:

Nw1(x) = Nφ1(x) = 1− 3 xL+ 2 x2

L2 ,

Nw2(x) = Nφ2(x) = 4 xL− 4 x2

L2 ,

Nw3(x) = Nφ3(x) = − xL+ 2 x2

L2 .

(2.130)

En consecuencia estos polinomios cuadraticos pertenecen a:

P2(Ωe) = Nwi, Nφi ∈ C0(Ωe); ∀i = 1, 3;Nwi|Ωe , Nφi|Ωe ∈ P2

donde Ωe es un subdominio de Ω = [a; b]. Los cuales son Polinomios de Lagran-

104

ge, satisfaciendo las siguientes propiedades de interpolacion:

N e1 (0) = 1, N e

1 (L) = 0,

N e2 (0) = 0, N e

2 (L) = 0,

N e3 (0) = 0, N e

3 (L) = 1.


Nwi

Nw3(x)

Nw1(x) Nw3(x)

0

1

xL

Figura 2.24. Funciones de forma cuadraticas

Tomando en consideracion las ecuaciones de (2.108), obtenemos:

Keb = EI

∫ L

0

0 0 0 0 0 0

0dNφ1

dx

dNφ1

dx0

dNφ1

dx

dNφ2

dx0

dNφ1

dx

dNφ3

dx

0 0 0 0 0 0

0dNφ2

dx

dNφ1

dx0

dNφ2

dx

dNφ2

dx0

dNφ2

dx

dNφ3

dx

0 0 0 0 0 0

0dNφ3

dx

dNφ1

dx0

dNφ3

dx

dNφ2

dx0

dNφ3

dx

dNφ3

dx

dx

⇒ Keb = EI

0 0 0 0 0 00 7

3L0 − 8

3L0 1

3L

0 0 0 0 0 00 − 8

3L0 16

3L0 − 8

3L

0 0 0 0 0 00 1

3L0 − 8

3L0 7

3L

(2.131)

y

105



w(x) = Nw1(x)u1 +Nw2(x)u2 +Nw3(x)u3 (2.126)

φ(x) = Nφ1(x)φ1 +Nφ2(x)φ2 +Nφ3(x)φ3 (2.127)

donde:

Nw =[Nw1 0 Nw2 0 Nw3 0

]; u =

u1

φ1

u2

φ2

u3

φ3

(2.128)

Nφ =[0 Nφ1 0 Nφ2 0 Nφ3

]; u =

u1

φ1

u2

φ2

u3

φ3

(2.129)

Con ui y φi como valores nodales en cada elemento de la viga. Ademas en estecaso el objetivo es elegir funciones de forma cuadraticas para la deflexion ypara la rotacion:

Nw1(x) = Nφ1(x) = 1− 3 xL+ 2 x2

L2 ,

Nw2(x) = Nφ2(x) = 4 xL− 4 x2

L2 ,

Nw3(x) = Nφ3(x) = − xL+ 2 x2

L2 .

(2.130)

En consecuencia estos polinomios cuadraticos pertenecen a:

P2(Ωe) = Nwi, Nφi ∈ C0(Ωe); ∀i = 1, 3;Nwi|Ωe , Nφi|Ωe ∈ P2

donde Ωe es un subdominio de Ω = [a; b]. Los cuales son Polinomios de Lagran-

104

ge, satisfaciendo las siguientes propiedades de interpolacion:

N e1 (0) = 1, N e

1 (L) = 0,

N e2 (0) = 0, N e

2 (L) = 0,

N e3 (0) = 0, N e

3 (L) = 1.


Nwi

Nw3(x)

Nw1(x) Nw3(x)

0

1

xL

Figura 2.24. Funciones de forma cuadraticas

Tomando en consideracion las ecuaciones de (2.108), obtenemos:

Keb = EI

∫ L

0

0 0 0 0 0 0

0dNφ1

dx

dNφ1

dx0

dNφ1

dx

dNφ2

dx0

dNφ1

dx

dNφ3

dx

0 0 0 0 0 0

0dNφ2

dx

dNφ1

dx0

dNφ2

dx

dNφ2

dx0

dNφ2

dx

dNφ3

dx

0 0 0 0 0 0

0dNφ3

dx

dNφ1

dx0

dNφ3

dx

dNφ2

dx0

dNφ3

dx

dNφ3

dx

dx

⇒ Keb = EI

0 0 0 0 0 00 7

3L0 − 8

3L0 1

3L

0 0 0 0 0 00 − 8

3L0 16

3L0 − 8

3L

0 0 0 0 0 00 1

3L0 − 8

3L0 7

3L

(2.131)

y

105


Ke s=

ksGA

=

∫L

0

dN

w1

dx

dN

w1

dx

dN

w1

dx(−

Nφ1)

dN

w1

dx

dN

w2

dx

dN

w1

dx(−

Nφ2)

dN

w1

dx

dN

w3

dx

dN

w1

dx(−

Nφ3)

(−N

φ1)d

Nw1

dx

(−N

φ1)(−N

φ1)

(−N

φ1)d

Nw2

dx

(−N

φ1)(−N

φ2)

(−N

φ1)d

Nw3

dx

(−N

φ1)(−N

φ3)

dN

w2

dx

dN

w1

dx

dN

w2

dx(−

Nφ1)

dN

w2

dx

dN

w2

dx

dN

w2

dx(−

Nφ2)

dN

w2

dx

dN

w3

dx

dN

w2

dx(−

Nφ3)

(−N

φ2)d

Nw1

dx

(−N

φ2)(−N

φ1)

(−N

φ2)d

Nw2

dx

(−N

φ2)(−N

φ2)

(−N

φ2)d

Nw3

dx

(−N

φ2)(−N

φ3)

dN

w3

dx

dN

w1

dx

dN

w3

dx(−

Nφ1)

dN

w3

dx

dN

w2

dx

dN

w3

dx(−

Nφ2)

dN

w3

dx

dN

w3

dx

dN

w3

dx(−

Nφ3)

(−N

φ3)d

Nw1

dx

(−N

φ3)(−N

φ1)

(−N

φ3)d

Nw2

dx

(−N

φ3)(−N

φ2)

(−N

φ3)d

Nw3

dx

(−N

φ3)(−N

φ3) d

x

106

⇒ Kes = ksGA

73L

12

− 83L

23

13L

−16

12

215L −2

3115L 1

6− 1

30L

− 83L

−23

163L

0 − 83L

23

23

115L 0 8

15L −2

3115L

13L

16

− 83L

−23

73L

−12

−16

− 130L 2

3115L −1

2215L

(2.132)

Las dos matrices de rigidez de las Ecuaciones (2.131) y (2.132) se suman obte-niendo la matriz de rigidez total de la viga de Timoshenko:

Ke =ksGA

6L

14 3L −16 4L 2 −L3L L2

(45+ 14Λ

)−4L L2

(25− 16Λ

)L L2

(−1

5+ 2Λ

)−16 −4L 32 0 −16 4L4L L2

(25− 16Λ

)0 L2

(165+ 32Λ

)−4L L2

(25− 16Λ

)2 L −16 −4L 14 −3L−L L2

(−1

5+ 2Λ

)4L L2

(25− 16Λ

)−3L L2

(45+ 14Λ

)

(2.133)donde: Λ = EI

ksGAL2 .Para el vector frontera fb; tome en cuenta las condiciones de las funciones deforma:

fb =

Q(L)Nw1(L)−Q(0)Nw1(0) +M(L)0−M(0)0Q(L)0−Q(0)0 +M(L)Nφ1(L)−M(0)Nφ1(0)Q(L)Nw2(L)−Q(0)Nw2(0) +M(L)0−M(0)0Q(L)0−Q(0)0 +M(L)Nφ2(L)−M(0)Nφ2(0)Q(L)Nw3(L)−Q(0)Nw3(0) +M(L)0−M(0)0Q(L)0−Q(0)0 +M(L)Nφ3(L)−M(0)Nφ3(0)

⇒ fb =

−Q(0)−M(0)

00

Q(L)M(L)

(2.134)


fq = q

∫ L

0

Nw1

0Nw2

0Nw3

0

dx

107


Ke s=

ksGA

=

∫L

0

dN

w1

dx

dN

w1

dx

dN

w1

dx(−

Nφ1)

dN

w1

dx

dN

w2

dx

dN

w1

dx(−

Nφ2)

dN

w1

dx

dN

w3

dx

dN

w1

dx(−

Nφ3)

(−N

φ1)d

Nw1

dx

(−N

φ1)(−N

φ1)

(−N

φ1)d

Nw2

dx

(−N

φ1)(−N

φ2)

(−N

φ1)d

Nw3

dx

(−N

φ1)(−N

φ3)

dN

w2

dx

dN

w1

dx

dN

w2

dx(−

Nφ1)

dN

w2

dx

dN

w2

dx

dN

w2

dx(−

Nφ2)

dN

w2

dx

dN

w3

dx

dN

w2

dx(−

Nφ3)

(−N

φ2)d

Nw1

dx

(−N

φ2)(−N

φ1)

(−N

φ2)d

Nw2

dx

(−N

φ2)(−N

φ2)

(−N

φ2)d

Nw3

dx

(−N

φ2)(−N

φ3)

dN

w3

dx

dN

w1

dx

dN

w3

dx(−

Nφ1)

dN

w3

dx

dN

w2

dx

dN

w3

dx(−

Nφ2)

dN

w3

dx

dN

w3

dx

dN

w3

dx(−

Nφ3)

(−N

φ3)d

Nw1

dx

(−N

φ3)(−N

φ1)

(−N

φ3)d

Nw2

dx

(−N

φ3)(−N

φ2)

(−N

φ3)d

Nw3

dx

(−N

φ3)(−N

φ3) d

x

106

⇒ Kes = ksGA

73L

12

− 83L

23

13L

−16

12

215L −2

3115L 1

6− 1

30L

− 83L

−23

163L

0 − 83L

23

23

115L 0 8

15L −2

3115L

13L

16

− 83L

−23

73L

−12

−16

− 130L 2

3115L −1

2215L

(2.132)

Las dos matrices de rigidez de las Ecuaciones (2.131) y (2.132) se suman obte-niendo la matriz de rigidez total de la viga de Timoshenko:

Ke =ksGA

6L

14 3L −16 4L 2 −L3L L2

(45+ 14Λ

)−4L L2

(25− 16Λ

)L L2

(−1

5+ 2Λ

)−16 −4L 32 0 −16 4L4L L2

(25− 16Λ

)0 L2

(165+ 32Λ

)−4L L2

(25− 16Λ

)2 L −16 −4L 14 −3L−L L2

(−1

5+ 2Λ

)4L L2

(25− 16Λ

)−3L L2

(45+ 14Λ

)


ksGAL2 .Para el vector frontera fb; tome en cuenta las condiciones de las funciones deforma:

fb =

Q(L)Nw1(L)−Q(0)Nw1(0) +M(L)0−M(0)0Q(L)0−Q(0)0 +M(L)Nφ1(L)−M(0)Nφ1(0)Q(L)Nw2(L)−Q(0)Nw2(0) +M(L)0−M(0)0Q(L)0−Q(0)0 +M(L)Nφ2(L)−M(0)Nφ2(0)Q(L)Nw3(L)−Q(0)Nw3(0) +M(L)0−M(0)0Q(L)0−Q(0)0 +M(L)Nφ3(L)−M(0)Nφ3(0)

⇒ fb =

−Q(0)−M(0)

00

Q(L)M(L)

(2.134)


fq = q

∫ L

0

Nw1

0Nw2

0Nw3

0

dx

107


⇒ fq = q

16L023L016L0

(2.135)


Considere: −1 ≤ ξ ≤ 1, ξ = −1 + 2 xL

y dξ = 2Ldx.

Las funciones de forma y sus derivadas, son:

N1(ξ) = −12(ξ − ξ2) ⇒ dN1

dξ= −1

2(1− 2ξ),

N2(ξ) = 1− ξ2 ⇒ dN2

dξ= −2ξ,

N3(ξ) = −12(ξ + ξ2) ⇒ dN3

dξ= 1

2(1 + 2ξ).

Ademas dNdx

= dNdξ

dξdx

.Luego aplicando integracion numerica de Gauss con dos puntos de integracionξ1,2 = ± 1√

3, se obtiene la matriz rigidez:

Ke =ksGA

6L

14 3L −16 4L 2 −L3L L2

(23+ 14Λ

)−4L L2

(23− 16Λ

)L L2

(−1

3+ 2Λ

)−16 −4L 32 0 −16 4L4L L2

(23− 16Λ

)0 L2

(83+ 32Λ

)−4L L2

(23− 16Λ

)2 L −16 −4L 14 −3L−L L2

(−1

3+ 2Λ

)4L L2

(23− 16Λ

)−3L L2

(23+ 14Λ

)


ksGAL2 .

108

b). Elemento de viga de Timoshenko con funciones de forma cuadraticas parala deflexion y lineales para la rotacion:Para este caso se discrtiza el dominio como se observa en la Figura (2.25) y (2.26).




w(x) = Nw1(x)u1 +Nw2(x)u2 +Nw3(x)u3 (2.137)

φ(x) = Nφ1(x)φ1 +Nφ3(x)φ3 (2.138)

donde:

Nw =[Nw1 0 Nw2 0 Nw3 0

]; u =

u1

φ1

u2

φ2

u3

φ3

(2.139)

109


⇒ fq = q

16L023L016L0

(2.135)


Considere: −1 ≤ ξ ≤ 1, ξ = −1 + 2 xL

y dξ = 2Ldx.

Las funciones de forma y sus derivadas, son:

N1(ξ) = −12(ξ − ξ2) ⇒ dN1

dξ= −1

2(1− 2ξ),

N2(ξ) = 1− ξ2 ⇒ dN2

dξ= −2ξ,

N3(ξ) = −12(ξ + ξ2) ⇒ dN3

dξ= 1

2(1 + 2ξ).

Ademas dNdx

= dNdξ

dξdx

.Luego aplicando integracion numerica de Gauss con dos puntos de integracionξ1,2 = ± 1√

3, se obtiene la matriz rigidez:

Ke =ksGA

6L

14 3L −16 4L 2 −L3L L2

(23+ 14Λ

)−4L L2

(23− 16Λ

)L L2

(−1

3+ 2Λ

)−16 −4L 32 0 −16 4L4L L2

(23− 16Λ

)0 L2

(83+ 32Λ

)−4L L2

(23− 16Λ

)2 L −16 −4L 14 −3L−L L2

(−1

3+ 2Λ

)4L L2

(23− 16Λ

)−3L L2

(23+ 14Λ

)


ksGAL2 .

108

b). Elemento de viga de Timoshenko con funciones de forma cuadraticas parala deflexion y lineales para la rotacion:Para este caso se discrtiza el dominio como se observa en la Figura (2.25) y (2.26).




w(x) = Nw1(x)u1 +Nw2(x)u2 +Nw3(x)u3 (2.137)

φ(x) = Nφ1(x)φ1 +Nφ3(x)φ3 (2.138)

donde:

Nw =[Nw1 0 Nw2 0 Nw3 0

]; u =

u1

φ1

u2

φ2

u3

φ3

(2.139)

109


Nφ =[0 Nφ1 0 0 0 Nφ3

]; u =

u1

φ1

u2

φ2

u3

φ3

(2.140)

En este caso el objetivo es tomar funciones de forma cuadraticas para la deflexioncomo en (2.130) y lineales para la rotacion como:

Nφ1(x) = 1− xL

,

Nφ3(x) =xL.

(2.141)

Con las ecuaciones de (2.108) obtenemos:

Keb = EI

∫ L

0

0 0 0 0 0 0

0dNφ1

dx

dNφ1

dx0 0 0

dNφ1

dx

dNφ3

dx

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

0dNφ3

dx

dNφ1

dx0 0 0

dNφ3

dx

dNφ3

dx

dx

⇒ Keb = EI

0 0 0 0 0 00 1

L0 0 0 − 1

L

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 − 1

L0 0 0 1

L

(2.142)

y

110

Ke s=

ksGA

∫L

0

dN

w1

dx

dN

w1

dx

dN

w1

dx(−

Nφ1)

dN

w1

dx

dN

w2

dx

0dN

w1

dx

dN

w3

dx

dN

w1

dx(−

Nφ3)

(−N

φ1)d

Nw1

dx

(−N

φ1)(−N

φ1)

(−N

φ1)d

Nw2

dx

0(−

Nφ1)d

Nw3

dx

(−N

φ1)(−N

φ3)

dN

w2

dx

dN

w1

dx

dN

w2

dx(−

Nφ1)

dN

w2

dx

dN

w2

dx

0dN

w2

dx

dN

w3

dx

dN

w2

dx(−

Nφ3)

00

00

00

dN

w3

dx

dN

w1

dx

dN

w3

dx(−

Nφ1)

dN

w3

dx

dN

w2

dx

0dN

w3

dx

dN

w3

dx

dN

w3

dx(−

Nφ3)

(−N

φ3)d

Nw1

dx

(−N

φ3)(−N

φ1)

(−N

φ3)d

Nw2

dx

0(−

Nφ3)d

Nw3

dx

(−N

φ3)(−N

φ3) d

x

111


Nφ =[0 Nφ1 0 0 0 Nφ3

]; u =

u1

φ1

u2

φ2

u3

φ3

(2.140)

En este caso el objetivo es tomar funciones de forma cuadraticas para la deflexioncomo en (2.130) y lineales para la rotacion como:

Nφ1(x) = 1− xL

,

Nφ3(x) =xL.

(2.141)

Con las ecuaciones de (2.108) obtenemos:

Keb = EI

∫ L

0

0 0 0 0 0 0

0dNφ1

dx

dNφ1

dx0 0 0

dNφ1

dx

dNφ3

dx

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

0dNφ3

dx

dNφ1

dx0 0 0

dNφ3

dx

dNφ3

dx

dx

⇒ Keb = EI

0 0 0 0 0 00 1

L0 0 0 − 1

L

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 − 1

L0 0 0 1

L

(2.142)

y

110

Ke s=

ksGA

∫L

0

dN

w1

dx

dN

w1

dx

dN

w1

dx(−

Nφ1)

dN

w1

dx

dN

w2

dx

0dN

w1

dx

dN

w3

dx

dN

w1

dx(−

Nφ3)

(−N

φ1)d

Nw1

dx

(−N

φ1)(−N

φ1)

(−N

φ1)d

Nw2

dx

0(−

Nφ1)d

Nw3

dx

(−N

φ1)(−N

φ3)

dN

w2

dx

dN

w1

dx

dN

w2

dx(−

Nφ1)

dN

w2

dx

dN

w2

dx

0dN

w2

dx

dN

w3

dx

dN

w2

dx(−

Nφ3)

00

00

00

dN

w3

dx

dN

w1

dx

dN

w3

dx(−

Nφ1)

dN

w3

dx

dN

w2

dx

0dN

w3

dx

dN

w3

dx

dN

w3

dx(−

Nφ3)

(−N

φ3)d

Nw1

dx

(−N

φ3)(−N

φ1)

(−N

φ3)d

Nw2

dx

0(−

Nφ3)d

Nw3

dx

(−N

φ3)(−N

φ3) d

x

111


⇒ Kes = ksGA

73L

56

− 83L

0 13L

16

56

13L −2

30 −1

616L

− 83L

−23

163L

0 − 83L

23

0 0 0 0 0 013L

−16

− 83L

0 73L

−56

16

16L 2

30 −5

613L

(2.143)


fb =

Q(L)Nw1(L)−Q(0)Nw1(0) +M(L)0−M(0)0Q(L)0−Q(0)0 +M(L)Nφ1(L)−M(0)Nφ1(0)Q(L)Nw2(L)−Q(0)Nw2(0) +M(L)0−M(0)0

Q(L)0−Q(0)0 +M(L)0−M(0)0Q(L)Nw3(L)−Q(0)Nw3(0) +M(L)0−M(0)0Q(L)0−Q(0)0 +M(L)Nφ3(L)−M(0)Nφ3(0)

⇒ fb =

−Q(0)−M(0)

00

M(L)Q(L)

(2.144)


fq = q

∫ L

0

Nw1

0Nw2

0Nw3

0

dx

⇒ fq = q

16L023L016L0

(2.145)

112

2.4. Resultados NumericosEJEMPLO 1: Viga de acero con tres tramosSea la viga continua mostrada en la Figura (2.27), donde E = 2, 1 × 1011Nm2,I = 45 × 10−5m4, ν = 0, 3, P = 1000N , q = 4000N/m y L = 2m. Se requieredeterminar los desplazamientos verticales de la viga continua.

L L L L

P q

Figura 2.27. Viga continua con tres tramos

Se considera la Teorıa de la viga Euler-Bernoulli.


• Se elige cuatro elementos viga: e = 1, 2, 3, 4.• Cada elemento viga con dos nodos: xe

1 y xe2.

• Cada elemento viga con cuatro grados de libertad o desplazamientos: ue1, u

e3

para la deflexion y ue2, u

e4 para el giro.


1 para todo e = 1, 2, 3, 4. En estecaso cada elemento tiene longitud Le = 2m.

La Figura (2.28) muestra la viga con cuatro elementos, con cinco nodos i paratodo i = 1, 2, 3, 4, 5 y con diez desplazamientos globales ui para todo i = 1, 10.Tambien la relacion que existe entre desplazamientos locales y globales, despuesde aplicar la conectividad (Tabla (2.1)).

e3 e4 3 54

1

11uu

1

22uu

e1 e2 1 2

2

1

1

33uuu 3

1

2

35uuu

3

2

2

46uuu 4

2

3

48uuu 4

410uu

4

1

3

37uuu 4

39uu

2

2

1

44uuu


113


⇒ Kes = ksGA

73L

56

− 83L

0 13L

16

56

13L −2

30 −1

616L

− 83L

−23

163L

0 − 83L

23

0 0 0 0 0 013L

−16

− 83L

0 73L

−56

16

16L 2

30 −5

613L

(2.143)


fb =

Q(L)Nw1(L)−Q(0)Nw1(0) +M(L)0−M(0)0Q(L)0−Q(0)0 +M(L)Nφ1(L)−M(0)Nφ1(0)Q(L)Nw2(L)−Q(0)Nw2(0) +M(L)0−M(0)0

Q(L)0−Q(0)0 +M(L)0−M(0)0Q(L)Nw3(L)−Q(0)Nw3(0) +M(L)0−M(0)0Q(L)0−Q(0)0 +M(L)Nφ3(L)−M(0)Nφ3(0)

⇒ fb =

−Q(0)−M(0)

00

M(L)Q(L)

(2.144)


fq = q

∫ L

0

Nw1

0Nw2

0Nw3

0

dx

⇒ fq = q

16L023L016L0

(2.145)

112

2.4. Resultados NumericosEJEMPLO 1: Viga de acero con tres tramosSea la viga continua mostrada en la Figura (2.27), donde E = 2, 1 × 1011Nm2,I = 45 × 10−5m4, ν = 0, 3, P = 1000N , q = 4000N/m y L = 2m. Se requieredeterminar los desplazamientos verticales de la viga continua.

L L L L

P q

Figura 2.27. Viga continua con tres tramos

Se considera la Teorıa de la viga Euler-Bernoulli.


• Se elige cuatro elementos viga: e = 1, 2, 3, 4.• Cada elemento viga con dos nodos: xe

1 y xe2.

• Cada elemento viga con cuatro grados de libertad o desplazamientos: ue1, ue

3

para la deflexion y ue2, ue

4 para el giro.• Cada elemento viga con longitud: Le = xe

2 − xe1 para todo e = 1, 2, 3, 4. En este

caso cada elemento tiene longitud Le = 2m.

La Figura (2.28) muestra la viga con cuatro elementos, con cinco nodos i paratodo i = 1, 2, 3, 4, 5 y con diez desplazamientos globales ui para todo i = 1, 10.Tambien la relacion que existe entre desplazamientos locales y globales, despuesde aplicar la conectividad (Tabla (2.1)).

e3 e4 3 54

1

11uu

1

22uu

e1 e2 1 2

2

1

1

33uuu 3

1

2

35uuu

3

2

2

46uuu 4

2

3

48uuu 4

410uu

4

1

3

37uuu 4

39uu

2

2

1

44uuu


113


Segundo paso: Matriz rigidez y vector fuerza para cada elementoCon los datos del problema, la matriz rigidez para cada uno de los cuatro elemen-tos, es:

Ke = (2, 1× 1011)(45× 10−5)

12(2)3

6(2)2

− 12(2)3

6(2)2

6(2)2

42

− 6(2)2

22

− 12(2)3

− 6(2)2

12(2)3

− 6(2)2

6(2)2

22

− 6(2)2

42

El vector de desplazamientos para cada elemento es:

ae =

ue1

ue2

ue3

ue4

,

el vector frontera conformado por las fuerzas de reaccion, para cada elemento:

f eb =

V e1

M e1

V e2

M e2

y el vector carga uniformemente distribuida q para los dos ultimos tramos de laviga, es decir solo para los elementos 3 y 4:

f eq =

−12qLe

− 112qL2

e

−12qLe

112qL2

e

⇒ f e

q =

−4000

−40003

−4000

40003

114

Tercer paso: Ensamblaje de la matriz rigidez global y vector fuerza global

Tome en cuenta los grados de libertad de cada nodo, como se aprecia en la Tablade conectividad (2.1).

K = 94, 5× 106 ×

32

32 −3

232 0 0 0 0 0 0

32 2 −3

2 1 0 0 0 0 0 0−3

2 −32

32 −3

2 0 0 0 0 0 032 1 −3

2 2 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Como: u3 = u13 = u21 , u4 = u14 = u22, entonces:

K = 94, 5× 106 ×

32

32 −3

232 0 0 0 0 0 0

32 2 −3

2 1 0 0 0 0 0 0−3

2 −32 3 0 −3

232 0 0 0 0

32 1 0 4 −3

2 1 0 0 0 00 0 −3

2 −32

32 −3

2 0 0 0 00 0 3

2 1 −32 2 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0


K = 94, 5× 106 ×

32

32 −3

232 0 0 0 0 0 0

32 2 −3

2 1 0 0 0 0 0 0−3

2 −32 3 0 −3

232 0 0 0 0

32 1 0 4 −3

2 1 0 0 0 00 0 −3

2 −32 3 0 −3

232 0 0

0 0 32 1 0 4 −3

2 1 0 00 0 0 0 −3

2 −32

32 −3

2 0 00 0 0 0 3

2 1 −32 2 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

115


Segundo paso: Matriz rigidez y vector fuerza para cada elementoCon los datos del problema, la matriz rigidez para cada uno de los cuatro elemen-tos, es:

Ke = (2, 1× 1011)(45× 10−5)

12(2)3

6(2)2

− 12(2)3

6(2)2

6(2)2

42

− 6(2)2

22

− 12(2)3

− 6(2)2

12(2)3

− 6(2)2

6(2)2

22

− 6(2)2

42


ae =

ue1

ue2

ue3

ue4

,


f eb =

V e1

M e1

V e2

M e2

y el vector carga uniformemente distribuida q para los dos ultimos tramos de laviga, es decir solo para los elementos 3 y 4:

f eq =

−12qLe

− 112qL2

e

−12qLe

112qL2

e

⇒ f e

q =

−4000

−40003

−4000

40003

114

Tercer paso: Ensamblaje de la matriz rigidez global y vector fuerza global

Tome en cuenta los grados de libertad de cada nodo, como se aprecia en la Tablade conectividad (2.1).

K = 94, 5× 106 ×

32

32 −3

232 0 0 0 0 0 0

32 2 −3

2 1 0 0 0 0 0 0−3

2 −32

32 −3

2 0 0 0 0 0 032 1 −3

2 2 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0


K = 94, 5× 106 ×

32

32 −3

232 0 0 0 0 0 0

32 2 −3

2 1 0 0 0 0 0 0−3

2 −32 3 0 −3

232 0 0 0 0

32 1 0 4 −3

2 1 0 0 0 00 0 −3

2 −32

32 −3

2 0 0 0 00 0 3

2 1 −32 2 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0


K = 94, 5× 106 ×

32

32 −3

232 0 0 0 0 0 0

32 2 −3

2 1 0 0 0 0 0 0−3

2 −32 3 0 −3

232 0 0 0 0

32 1 0 4 −3

2 1 0 0 0 00 0 −3

2 −32 3 0 −3

232 0 0

0 0 32 1 0 4 −3

2 1 0 00 0 0 0 −3

2 −32

32 −3

2 0 00 0 0 0 3

2 1 −32 2 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

115


Como: u7 = u33 = u41 , u8 = u34 = u42, entonces la matriz rigidez ensamblada paracuatro elementos, es:

K = 94, 5× 106 ×

32

32 −3

232 0 0 0 0 0 0

32 2 −3

2 1 0 0 0 0 0 0−3

2 −32 3 0 −3

232 0 0 0 0

32 1 0 4 −3

2 1 0 0 0 00 0 −3

2 −32 3 0 −3

232 0 0

0 0 32 1 0 4 −3

2 1 0 00 0 0 0 −3

2 −32 3 0 −3

232

0 0 0 0 32 1 0 4 −3

2 10 0 0 0 0 0 −3

2 −32

32 −3

20 0 0 0 0 0 3

2 1 −32 2

Luego el vector frontera ensamblado para los cuatro elementos, esta dado por:

fb =

V 11

M11

V 12 + V 2

1

M12 +M2

1

V 22 + V 3

1

M22 +M3

1

V 32 + V 4

1

M32 +M4

1

V 42

M42

⇒ fb =

V1

M1

V2

M2

V3

M3

V4

M4

V5

M5

⇒ fb =

V1

0

−1000

M2

V3

0

V4

0

V5

M5

.

el vector de desplazamientos globales, es:

a =[u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9 u10

]T,

116

y el ensamble del vector de carga uniformemente distribuida q constante, para los dosultimos elementos, es:

fq =

0

0

0

0

− 12qL3

− 112

qL23

− 12qL3 − 1

2qL4

112

qL23 − 1

12qL2

4

− 12qL4

112

qL24

⇒ fq =

0

0

0

0

−4000

− 40003

−8000

0

−4000

40003

.

Ahora el vector fuerza ensamblado es:

f =

V1

M1

V2

M2

V3 − 12qL3

M3 − 112

qL23

V4 − 12qL3 − 1

2qL4

M4 + 112

qL23 − 1

12qL2

4

V5 − 12qL4

M5 + 112

qL24

⇒ f =

V1

0

−1000

0

V3 − 4000

− 40003

V4 − 8000

0

V5 − 4000

M5 + 40003

.


Primero:Segun la Tabla (2.2) donde se muestran las fuerzas segun tipo de apoyo y ademas solo enlos elementos 3 y 4 existe una carga uniformemente distribuida, teniendo en cuenta estaobservacion, entonces en la siguiente Figura (2.29) se muestra el analisis de las fuerzas enla viga:

117


Como: u7 = u33 = u41 , u8 = u34 = u42, entonces la matriz rigidez ensamblada paracuatro elementos, es:

K = 94, 5× 106 ×

32

32 −3

232 0 0 0 0 0 0

32 2 −3

2 1 0 0 0 0 0 0−3

2 −32 3 0 −3

232 0 0 0 0

32 1 0 4 −3

2 1 0 0 0 00 0 −3

2 −32 3 0 −3

232 0 0

0 0 32 1 0 4 −3

2 1 0 00 0 0 0 −3

2 −32 3 0 −3

232

0 0 0 0 32 1 0 4 −3

2 10 0 0 0 0 0 −3

2 −32

32 −3

20 0 0 0 0 0 3

2 1 −32 2


fb =

V 11

M11

V 12 + V 2

1

M12 +M2

1

V 22 + V 3

1

M22 +M3

1

V 32 + V 4

1

M32 +M4

1

V 42

M42

⇒ fb =

V1

M1

V2

M2

V3

M3

V4

M4

V5

M5

⇒ fb =

V1

0

−1000

M2

V3

0

V4

0

V5

M5

.


a =[u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9 u10

]T,

116

y el ensamble del vector de carga uniformemente distribuida q constante, para los dosultimos elementos, es:

fq =

0

0

0

0

− 12qL3

− 112

qL23

− 12qL3 − 1

2qL4

112

qL23 − 1

12qL2

4

− 12qL4

112

qL24

⇒ fq =

0

0

0

0

−4000

− 40003

−8000

0

−4000

40003

.


f =

V1

M1

V2

M2

V3 − 12qL3

M3 − 112

qL23

V4 − 12qL3 − 1

2qL4

M4 + 112

qL23 − 1

12qL2

4

V5 − 12qL4

M5 + 112

qL24

⇒ f =

V1

0

−1000

0

V3 − 4000

− 40003

V4 − 8000

0

V5 − 4000

M5 + 40003

.


Primero:Segun la Tabla (2.2) donde se muestran las fuerzas segun tipo de apoyo y ademas solo enlos elementos 3 y 4 existe una carga uniformemente distribuida, teniendo en cuenta estaobservacion, entonces en la siguiente Figura (2.29) se muestra el analisis de las fuerzas enla viga:

117


Figura 2.29. Analisis de las fuerzas en los nodos

Segundo:Se analiza e impone la especificacion de los desplazamientos globales segun la Tabla(2.2), entonces se tiene que los desplazamientos en los nodos son como se aprecia en laFigura (2.30).

L1L4L3

L2

e3 e4 3 54

01

11 uu

01

22 uu

e1 e2 1 2

02

1

1

33 uuu 0

3

1

2

35 uuu

03

2

2

46 uuu 0

4

2

3

48 uuu 0

4

410 uu

04

1

3

37 uuu 0

4

39 uu

02

2

1

44 uuu

Figura 2.30. Analisis de los desplazanientos en los nodos

Ahora se impone condiciones de frontera (especificacion de los desplazamientos globalesen los nodos), es decir si:

u1 = u5 = u7 = u9 = u10 = 0,

entonces en el sistema matricial ensamblado se eliminan las filas y columnas 1,5,7,9 y 10.Por lo tanto la matriz rigidez reducida y el vector fuerza reducido es:

K = 94, 5× 106 ×

2 −32 1 0 0

−32 3 0 3

2 01 0 4 1 00 3

2 1 4 10 0 0 1 4

118

f =

0

−1000

0

−40003

0

.


Para hallar la solucion del sistema reducido, es decir, desplazamientos verticales y girosen los nodos, se elige aplicar Eliminacion Gaussiana, por medio defunction a=elim_gauss(K,F). Entonces:

Ka = f

94, 5× 106 ×

2 −32 1 0 0

−32 3 0 3

2 0

1 0 4 1 0

0 32 1 4 1

0 0 0 1 4

u2

u3

u4

u6

u8

=

0

−1000

0

−40003

0

Por lo tanto, la solucion del sistema reducido es:

u2 = −0,405643738977072× 10−5rad giro en el nodo 1.

u3 = −0,432098765432099× 10−5m deflexion en el nodo 2.

u4 = 0,163139329805996× 10−5rad giro en el nodo 2.



119




L1L4L3

L2

e3 e4 3 54

01

11 uu

01

22 uu

e1 e2 1 2

02

1

1

33 uuu 0

3

1

2

35 uuu

03

2

2

46 uuu 0

4

2

3

48 uuu 0

4

410 uu

04

1

3

37 uuu 0

4

39 uu

02

2

1

44 uuu

Figura 2.30. Analisis de los desplazanientos en los nodos


u1 = u5 = u7 = u9 = u10 = 0,

entonces en el sistema matricial ensamblado se eliminan las filas y columnas 1,5,7,9 y 10.Por lo tanto la matriz rigidez reducida y el vector fuerza reducido es:

K = 94, 5× 106 ×

2 −32 1 0 0

−32 3 0 3

2 01 0 4 1 00 3

2 1 4 10 0 0 1 4

118

f =

0

−1000

0

−40003

0

.


Para hallar la solucion del sistema reducido, es decir, desplazamientos verticales y girosen los nodos, se elige aplicar Eliminacion Gaussiana, por medio defunction a=elim_gauss(K,F). Entonces:

Ka = f

94, 5× 106 ×

2 −32 1 0 0

−32 3 0 3

2 0

1 0 4 1 0

0 32 1 4 1

0 0 0 1 4

u2

u3

u4

u6

u8

=

0

−1000

0

−40003

0

Por lo tanto, la solucion del sistema reducido es:






119



Al reemplazar los desplazamientos obtenidos en los polinomios de aproximacion paracada elemento, se tiene:

w1(x) = 0,047398589065256× 10−5x3 − 0,000000000000000× 10−5x2

− 0,405643738977072× 10−5x

en [0, 2].

w2(x) = −0,012896825396825× 10−4x3 + 0,105820105820106× 10−4x2

− 0,252204585537920× 10−4x+ 0,141093474426808× 10−4

en [2, 4].

w3(x) = −0,004629629629630× 10−4x3 + 0,077160493827161× 10−4x2

− 0,419753086419755× 10−4x+ 0,740740740740743× 10−4

en [4, 6].

w4(x) = 0,001543209876543× 10−4x3 − 0,033950617283950× 10−4x2+

0,246913580246912× 10−4x− 0,592592592592589× 10−4

en [6, 8].

Seguidamente se aplica el criterio de la primera derivada y ası se obtienen las deflexionesentre los nodos para cada elemento:

En el elemento 1 es: −0,456754223913323× 10−5 en x = 1,688997684514267.

En el elemento 2 es: 0,033603156660688×10−5 cuando x = 3,715828258993795.



Por lo tanto comparando todas las deflexiones obtenidas; se tiene que la maxi-ma deflexion es: 0,456754223913323 × 10−5m en direccion negativa y ocurre a1,688997684514267m, del extremo izquierdo de la viga.

En la Figura (2.31) se muestran los polinomios de aproximacion a lo largo de la viga:

120

Figura 2.31. Grafico de los polinomios de aproximacion en toda la viga

Se ha considerado la Teorıa de Euler-Bernoulli, se eligio 4 elementos y funciones deforma de Hermite. Se coloco un nodo donde se aplica la carga puntual (nodo 2) y deesta manera se obtuvo las deflexiones en todos los nodos, comparando estas deflexionesobservamos que la maxima deflexion ocurre en el nodo 2. Al utilizar el polinomio deaproximacion de grado 3 para cada elemento y el criterio de la primera derivada paracada elemento, se pudo determinar las deflexiones entre los nodos. En consecuencia, alcomparar todas las deflexiones se pudo determinar, la maxima deflexion en toda la viga,la cual ocurre entre los dos primeros nodos, antes de la direccion donde se aplica la cargapuntual (nodo 2). Se puede usar Eulerbernoulli.m para obtener los resultados deeste ejemplo.

Tambien se obtienen los giros en los nodos. Ademas se puede calcular las fuerzas de reac-ciones en cada elemento usando las deflexiones y los giros en las ecuaciones elemento:

Fuerzas de reaccion para toda la viga

Se reemplazan los desplazamientos obtenidos, en:

f = Ka

se obtiene las fuerzas de reaccion de toda la viga:

>> FR=K*U

121



Al reemplazar los desplazamientos obtenidos en los polinomios de aproximacion paracada elemento, se tiene:

w1(x) = 0,047398589065256× 10−5x3 − 0,000000000000000× 10−5x2

− 0,405643738977072× 10−5x

en [0, 2].

w2(x) = −0,012896825396825× 10−4x3 + 0,105820105820106× 10−4x2

− 0,252204585537920× 10−4x+ 0,141093474426808× 10−4

en [2, 4].

w3(x) = −0,004629629629630× 10−4x3 + 0,077160493827161× 10−4x2

− 0,419753086419755× 10−4x+ 0,740740740740743× 10−4

en [4, 6].

w4(x) = 0,001543209876543× 10−4x3 − 0,033950617283950× 10−4x2+

0,246913580246912× 10−4x− 0,592592592592589× 10−4

en [6, 8].

Seguidamente se aplica el criterio de la primera derivada y ası se obtienen las deflexionesentre los nodos para cada elemento:





Por lo tanto comparando todas las deflexiones obtenidas; se tiene que la maxi-ma deflexion es: 0,456754223913323 × 10−5m en direccion negativa y ocurre a1,688997684514267m, del extremo izquierdo de la viga.

En la Figura (2.31) se muestran los polinomios de aproximacion a lo largo de la viga:

120

Figura 2.31. Grafico de los polinomios de aproximacion en toda la viga

Se ha considerado la Teorıa de Euler-Bernoulli, se eligio 4 elementos y funciones deforma de Hermite. Se coloco un nodo donde se aplica la carga puntual (nodo 2) y deesta manera se obtuvo las deflexiones en todos los nodos, comparando estas deflexionesobservamos que la maxima deflexion ocurre en el nodo 2. Al utilizar el polinomio deaproximacion de grado 3 para cada elemento y el criterio de la primera derivada paracada elemento, se pudo determinar las deflexiones entre los nodos. En consecuencia, alcomparar todas las deflexiones se pudo determinar, la maxima deflexion en toda la viga,la cual ocurre entre los dos primeros nodos, antes de la direccion donde se aplica la cargapuntual (nodo 2). Se puede usar Eulerbernoulli.m para obtener los resultados deeste ejemplo.

Tambien se obtienen los giros en los nodos. Ademas se puede calcular las fuerzas de reac-ciones en cada elemento usando las deflexiones y los giros en las ecuaciones elemento:


Se reemplazan los desplazamientos obtenidos, en:

f = Ka


>> FR=K*U

121


FR =1.0e+03 *

0.2687500000000000.000000000000000-1.000000000000000-0.0000000000000000.468750000000000-1.3333333333333330.350000000000000-0.000000000000000-0.0875000000000000.058333333333333

entonces:

V1 = 0,268750000000000× 103N

M1 = 0,000000000000000× 103Nm

V2 = −1,000000000000000× 103N

M2 = −0,000000000000000× 103Nm

V3 = 0,468750000000000× 103N

M3 = −1,333333333333333× 103Nm

V4 = 0,350000000000000× 103N

M4 = −0,000000000000000× 103Nm

V5 = −0,087500000000000× 103N

M5 = 0,058333333333333× 103Nm

Luego para obtener las fuerzas de reaccion en cada elemento, se reemplazan los despla-zamientos obtenidos en el siguiente sistema matricial para cada elemento:

fe = Keae

entonces las reacciones de cada elemento son:

fr1 =1.0e+02 *

122

2.6875000000000000.000000000000000

-2.6875000000000005.375000000000000

fr2 =1.0e+02 *

-7.312500000000000-5.3750000000000007.312500000000000

-9.250000000000000

fr3 =1.0e+02 *

-2.625000000000000-4.0833333333333342.625000000000000

-1.166666666666667

fr4 =1.0e+02 *

0.8750000000000001.166666666666667

-0.8750000000000000.583333333333333

123


FR =1.0e+03 *

0.2687500000000000.000000000000000

-1.000000000000000-0.0000000000000000.468750000000000

-1.3333333333333330.350000000000000

-0.000000000000000-0.0875000000000000.058333333333333

entonces:

V1 = 0,268750000000000× 103N

M1 = 0,000000000000000× 103Nm

V2 = −1,000000000000000× 103N

M2 = −0,000000000000000× 103Nm

V3 = 0,468750000000000× 103N

M3 = −1,333333333333333× 103Nm

V4 = 0,350000000000000× 103N

M4 = −0,000000000000000× 103Nm

V5 = −0,087500000000000× 103N

M5 = 0,058333333333333× 103Nm


fe = Keae


fr1 =1.0e+02 *

122

2.6875000000000000.000000000000000-2.6875000000000005.375000000000000

fr2 =1.0e+02 *

-7.312500000000000-5.3750000000000007.312500000000000-9.250000000000000

fr3 =1.0e+02 *

-2.625000000000000-4.0833333333333342.625000000000000-1.166666666666667

fr4 =1.0e+02 *

0.8750000000000001.166666666666667-0.8750000000000000.583333333333333

123


EJEMPLO 2: Viga de concreto con tres tramos (elementos lineales)

En la Figura (2.32) se muestra una viga con tres tramos. Se determinara los des-plazamientos verticales de la viga continua, con las siguientes caracteristicas: E =4, 351 × 106lb/pulg2, ν = 0, 2, A = 278, 999442pulg2, I = 12973, 448106pulg4,ks = 5/6, P = 5000lb, q = 100lb/pulg, L1 = L2 = 60pulg, L3 = 96pulg yL4 = 72pulg.

L1 L3 L4

P q

L2

Figura 2.32. Viga continua con tres tramos de diferente longitud

Tener en cuenta que las longitudes de los tramos son diferentes y que hay cargauniformemente distribuida en el ultimo tramo. Aquı se considera la Teorıa de vigaTimoshenko.


• Se elige cuatro elementos de viga: e = 1, 2, 3, 4.• Cada elemento de viga con dos nodos: xe1 y xe2. Es decir elemento lineal.• Cada elemento de viga con cuatro grados de libertad o desplazamientos: ue1, ue2 para ladeflexion y φe

1, φe2 para el giro.

• Cada elemento de viga con longitud: Le = xe2 − xe1 para todo e = 1, 2, 3, 4. En estecaso los cuatro elementos de diferente longitud.

La Figura (2.33) muestra la viga con cuatro elementos, con cinco nodos i para todoi = 1, 2, 3, 4, 5 y con diez desplazamientos globales ui y φi para todo i = 1, 5. Tam-bien la relacion que existe entre desplazamientos locales y globales, despues de aplicar laconectividad (Tabla (2.1)).

124



Con los datos del problema: E = 4, 351 × 106lb/pulg2, ν = 0, 2, ks = 5/6,A = 278, 999442pulg2, I = 12973, 448106pulg4, L1 = L2 = 60pulg, L3 = 96pulg,L4 = 72pulg, se tiene que la matriz rigidez para los elementos 1, 2, 3 y 4, respectiva-mente, son:

K1 = K2 = Γ

6 3(60) −6 3(60)3(60) (60)2(1, 5 + 6Λ) −3(60) (60)2(1, 5− 6Λ)−6 −3(60) 6 −3(60)3(60) (60)2(1, 5− 6Λ) −3(60) (60)2(2 + 6Λ)

donde: G = E2(1+ν) , L = L1 = L2, Γ = Γ1 = Γ2 =

EI6ΛL3 y Λ = Λ1 = Λ2 =

EIksGAL2 ,

la matriz de rigidez para el elemento 3 es:

K3 = Γ

6 3(96) −6 3(96)3(96) (96)2(1, 5 + 6Λ) −3(96) (96)2(1, 5− 6Λ)−6 −3(96) 6 −3(96)3(96) (96)2(1, 5− 6Λ) −3(96) (96)2(2 + 6Λ)

donde: G = E2(1+ν) , Γ = Γ3 =

EI6ΛL3 y Λ = Λ3 =

EIksGAL2

3,


K3 = Γ

6 3(72) −6 3(72)3(72) (72)2(1, 5 + 6Λ) −3(72) (72)2(1, 5− 6Λ)−6 −3(72) 6 −3(72)3(72) (72)2(1, 5− 6Λ) −3(72) (72)2(2 + 6Λ)

donde: G = E2(1+ν) , Γ = Γ4 =


EIksGAL2

4.

125


EJEMPLO 2: Viga de concreto con tres tramos (elementos lineales)

En la Figura (2.32) se muestra una viga con tres tramos. Se determinara los des-plazamientos verticales de la viga continua, con las siguientes caracteristicas: E =4, 351 × 106lb/pulg2, ν = 0, 2, A = 278, 999442pulg2, I = 12973, 448106pulg4,ks = 5/6, P = 5000lb, q = 100lb/pulg, L1 = L2 = 60pulg, L3 = 96pulg yL4 = 72pulg.

L1 L3 L4

P q

L2


Tener en cuenta que las longitudes de los tramos son diferentes y que hay cargauniformemente distribuida en el ultimo tramo. Aquı se considera la Teorıa de vigaTimoshenko.


• Se elige cuatro elementos de viga: e = 1, 2, 3, 4.• Cada elemento de viga con dos nodos: xe1 y xe2. Es decir elemento lineal.• Cada elemento de viga con cuatro grados de libertad o desplazamientos: ue1, ue2 para ladeflexion y φe

1, φe2 para el giro.

• Cada elemento de viga con longitud: Le = xe2 − xe1 para todo e = 1, 2, 3, 4. En estecaso los cuatro elementos de diferente longitud.

La Figura (2.33) muestra la viga con cuatro elementos, con cinco nodos i para todoi = 1, 2, 3, 4, 5 y con diez desplazamientos globales ui y φi para todo i = 1, 5. Tam-bien la relacion que existe entre desplazamientos locales y globales, despues de aplicar laconectividad (Tabla (2.1)).

124



Con los datos del problema: E = 4, 351 × 106lb/pulg2, ν = 0, 2, ks = 5/6,A = 278, 999442pulg2, I = 12973, 448106pulg4, L1 = L2 = 60pulg, L3 = 96pulg,L4 = 72pulg, se tiene que la matriz rigidez para los elementos 1, 2, 3 y 4, respectiva-mente, son:

K1 = K2 = Γ

6 3(60) −6 3(60)3(60) (60)2(1, 5 + 6Λ) −3(60) (60)2(1, 5− 6Λ)−6 −3(60) 6 −3(60)3(60) (60)2(1, 5− 6Λ) −3(60) (60)2(2 + 6Λ)

donde: G = E2(1+ν) , L = L1 = L2, Γ = Γ1 = Γ2 =

EI6ΛL3 y Λ = Λ1 = Λ2 =

EIksGAL2 ,


K3 = Γ

6 3(96) −6 3(96)3(96) (96)2(1, 5 + 6Λ) −3(96) (96)2(1, 5− 6Λ)−6 −3(96) 6 −3(96)3(96) (96)2(1, 5− 6Λ) −3(96) (96)2(2 + 6Λ)

donde: G = E2(1+ν) , Γ = Γ3 =


EIksGAL2

3,


K3 = Γ

6 3(72) −6 3(72)3(72) (72)2(1, 5 + 6Λ) −3(72) (72)2(1, 5− 6Λ)−6 −3(72) 6 −3(72)3(72) (72)2(1, 5− 6Λ) −3(72) (72)2(2 + 6Λ)

donde: G = E2(1+ν) , Γ = Γ4 =


EIksGAL2

4.

125



ae =

ue1

φe1

ue2

φe2

,


f eb =

V e1

M e1

V e2

M e2

y el vector carga uniformemente distribuida q para el ultimo tramo de la viga, es decirsolo para el elemento 4, considerando q = 100lb/pulg, es:

f eq = q

∫ x42

x41

N1w

0N2w

0

dx

⇒ f4q = −100

36

0

36

0

.


La matriz rigidez ensamblada para cuatro elementos, es:

126

Aqu

ıse

tiene

las

5pr

imer

asco

lum

nas

dela

mat

riz

rigi

dez

ensa

mbl

ada:

K=

6Γ1

3L1Γ1

−6Γ

13L

1Γ1

03L

1Γ1

Γ1L2 1(2

+6Λ

1)

−3L

1Γ1

Γ1L2 1(1

−6Λ

1)

0−6Γ

1−3L

1Γ1

6Γ1+6Γ

2−3L

1Γ1+3L

2Γ2

−6Γ

2

3L1Γ1

Γ1L2 1(1

−6Λ

1)

−3L

1Γ1+3L

2Γ2

Γ1L2 1(2

+6Λ

1)+Γ2L2 2(2

+6Λ

2)

−3L

2Γ2

00

−6Γ

2−3L

2Γ2

6Γ2+6Γ

3

00

3L2Γ2

Γ2L2 2(1

−6Λ

2)

−3L

2Γ2+3L

3Γ3

00

00

−6Γ

3

00

00

3L3Γ3

00

00

00

00

00

ahor

ala

s5

ultim

asco

lum

nas

dela

mat

riz

rigi

dez

ensa

mbl

ada:

00

00

00

00

00

3L2Γ2

00

00

L2 2(1

−6Λ

2)Γ

20

00

0−3L

2Γ2+3L

3Γ3

−6Γ

33L

3Γ3

00

Γ2L2 2(1

−6Λ

2)+Γ3L2 3(2

+6Λ

3)

−3L

3Γ3

Γ3L2 3(1

−6Λ

3)

00

−3L

3Γ3

6Γ3+6Γ

4−3L

3Γ3+3L

4Γ4

−6Γ

43L

4Γ4

Γ3L2 3(1

−6Λ

3)

3L3Γ3+3L

4Γ4

Γ3L2 3(2

+6Λ

3)+Γ4L2 4(2

+6Λ

4)

−3L

4Γ4

Γ4L2 4(1

−6Λ

4)

0−6Γ

4−3L

4Γ4

6Γ4

−3L

4Γ4

03L

4Γ4

Γ4L2 4(2

+6Λ

4)

−3L

4Γ4

Γ4L2 4(1

−6Λ

4)

dond

e:Γe=

EI

6ΛeLe,Λ

e=

EI

ksGAL2 e,∀

e=

1,2,3,4.

Ade

mas

G=

E2(1+ν).

127



ae =

ue1

φe1

ue2

φe2

,


f eb =

V e1

M e1

V e2

M e2


f eq = q

∫ x42

x41

N1w

0N2w

0

dx

⇒ f4q = −100

36

0

36

0

.


La matriz rigidez ensamblada para cuatro elementos, es:

126

Aqu

ıse

tiene

las

5pr

imer

asco

lum

nas

dela

mat

riz

rigi

dez

ensa

mbl

ada:

K=

6Γ1

3L1Γ1

−6Γ

13L

1Γ1

03L

1Γ1

Γ1L2 1(2

+6Λ

1)

−3L

1Γ1

Γ1L2 1(1

−6Λ

1)

0−6Γ

1−3L

1Γ1

6Γ1+6Γ

2−3L

1Γ1+3L

2Γ2

−6Γ

2

3L1Γ1

Γ1L2 1(1

−6Λ

1)

−3L

1Γ1+3L

2Γ2

Γ1L2 1(2

+6Λ

1)+Γ2L2 2(2

+6Λ

2)

−3L

2Γ2

00

−6Γ

2−3L

2Γ2

6Γ2+6Γ

3

00

3L2Γ2

Γ2L2 2(1

−6Λ

2)

−3L

2Γ2+3L

3Γ3

00

00

−6Γ

3

00

00

3L3Γ3

00

00

00

00

00

ahor

ala

s5

ultim

asco

lum

nas

dela

mat

riz

rigi

dez

ensa

mbl

ada:

00

00

00

00

00

3L2Γ2

00

00

L2 2(1

−6Λ

2)Γ

20

00

0−3L

2Γ2+3L

3Γ3

−6Γ

33L

3Γ3

00

Γ2L2 2(1

−6Λ

2)+Γ3L2 3(2

+6Λ

3)

−3L

3Γ3

Γ3L2 3(1

−6Λ

3)

00

−3L

3Γ3

6Γ3+6Γ

4−3L

3Γ3+3L

4Γ4

−6Γ

43L

4Γ4

Γ3L2 3(1

−6Λ

3)

3L3Γ3+3L

4Γ4

Γ3L2 3(2

+6Λ

3)+Γ4L2 4(2

+6Λ

4)

−3L

4Γ4

Γ4L2 4(1

−6Λ

4)

0−6Γ

4−3L

4Γ4

6Γ4

−3L

4Γ4

03L

4Γ4

Γ4L2 4(2

+6Λ

4)

−3L

4Γ4

Γ4L2 4(1

−6Λ

4)

dond

e:Γe=

EI

6ΛeLe,Λ

e=

EI

ksGAL2 e,∀

e=

1,2,3,4.

Ade

mas

G=

E2(1+ν).

127



fb =

V 11

M11

V 12 + V 2

1

M12 +M2

1

V 22 + V 3

1

M22 +M3

1

V 32 + V 4

1

M32 +M4

1

V 42

M42

⇒ fb =

V1

M1

V2

M2

V3

M3

V4

M4

V5

M5

⇒ fb =

V1

0

−5000

0

V3

0

0

0

0

0

.

y el ensamble del vector de carga uniformemente distribuida q constante, para el ultimoelemento, es:

fq =

0

0

0

0

0

0

−100(36)

0

−100(36)

0


a =[u1 φ1 u2 φ2 u3 φ3 u4 φ4 u5 φ5

]T.

128


f =

V1

0

−5000

0

V3

0

−100(36)

0

−100(36)

0

.


Primero:Segun la Tabla (2.2) donde se muestran las fuerzas segun tipo de apoyo y ademas soloen el elemento 4 existe una carga uniformemente distribuida, teniendo en cuenta estaobservacion, entonces en la siguiente Figura (2.34) se muestra el analisis de las fuerzas enla viga:



129



fb =

V 11

M11

V 12 + V 2

1

M12 +M2

1

V 22 + V 3

1

M22 +M3

1

V 32 + V 4

1

M32 +M4

1

V 42

M42

⇒ fb =

V1

M1

V2

M2

V3

M3

V4

M4

V5

M5

⇒ fb =

V1

0

−5000

0

V3

0

0

0

0

0

.

y el ensamble del vector de carga uniformemente distribuida q constante, para el ultimoelemento, es:

fq =

0

0

0

0

0

0

−100(36)

0

−100(36)

0


a =[u1 φ1 u2 φ2 u3 φ3 u4 φ4 u5 φ5

]T.

128


f =

V1

0

−5000

0

V3

0

−100(36)

0

−100(36)

0

.





129




u1 = u5 = u7 = u9 = 0,

entonces en el sistema matricial ensamblado se eliminan las filas y columnas 1,5,7 y 9.Por lo tanto la matriz rigidez reducida y el vector fuerza reducido, son:

Aquı se tiene las 3 primeras columnas de la matriz rigidez ensamblada:

K =

Γ1L21(2 + 6Λ1) −3L1Γ1 Γ1L

21(1− 6Λ1)

−3L1Γ1 6Γ1 + 6Γ2 −3L1Γ1 + 3L2Γ2

Γ1L21(1− 6Λ1) −3L1Γ1 + 3L2Γ2 Γ1L

21(2 + 6Λ1) + Γ2L

22(2 + 6Λ2)

0 3L2Γ2 Γ2L22(1− 6Λ2)

0 0 00 0 0

ahora las 3 ultimas columnas de la matriz rigidez ensamblada:

0 0 03L2Γ2 0 0

L22(1− 6Λ2)Γ2 0 0

Γ2L22(1− 6Λ2) + Γ3L

23(2 + 6Λ3) Γ3L

23(1− 6Λ3) 0

Γ3L23(1− 6Λ3) Γ3L

23(2 + 6Λ3) + Γ4L

24(2 + 6Λ4) Γ4L

24(1− 6Λ4)

0 Γ4L24(2 + 6Λ4) Γ4L

24(1− 6Λ4)

donde: Γe =EI

6ΛeLe ,Λe =EI

ksGAL2e, ∀e = 1, 2, 3, 4. Ademas G = E

2(1+ν) .

130

El vector fuerza reducido es:

f =

0

−5000

0

0

0

0

,

el vector de desplazamientos reducido, es:

a =[u2 u3 u4 u6 u8 u10

]T.


Para hallar la solucion del sistema reducido: Ka = f, es decir, desplazamientos verticalesy giros en los nodos, se elige aplicar Eliminacion Gaussiana, a traves de la funcionfunction a=elim_gauss(K,F), de esta manera se obtiene:

φ1 = −0,016278403508341× 10−3rad giro en el nodo 1.

u2 = −0,697199661718210× 10−3pulg deflexion en el nodo 2.

φ2 = 0,001712353456972× 10−3rad giro en el nodo 2.





Al reemplazar los desplazamientos obtenidos, en el polinomio de aproximacion del ele-mento 1 y 2, se tiene:

w1(x) =

(− 1

60x+ 1

)(0) × 10−3 +

1

60x(−0,697199661718210) × 10−3

x ∈ [0, 60], y

w2(x) =

(− 1

60x+ 2

)(−0,697199661718210)× 10−3 +

(1

60x− 1

)(0)× 10−3

131




u1 = u5 = u7 = u9 = 0,


Aquı se tiene las 3 primeras columnas de la matriz rigidez ensamblada:

K =

Γ1L21(2 + 6Λ1) −3L1Γ1 Γ1L

21(1− 6Λ1)

−3L1Γ1 6Γ1 + 6Γ2 −3L1Γ1 + 3L2Γ2

Γ1L21(1− 6Λ1) −3L1Γ1 + 3L2Γ2 Γ1L

21(2 + 6Λ1) + Γ2L

22(2 + 6Λ2)

0 3L2Γ2 Γ2L22(1− 6Λ2)

0 0 00 0 0

ahora las 3 ultimas columnas de la matriz rigidez ensamblada:

0 0 03L2Γ2 0 0

L22(1− 6Λ2)Γ2 0 0

Γ2L22(1− 6Λ2) + Γ3L

23(2 + 6Λ3) Γ3L

23(1− 6Λ3) 0

Γ3L23(1− 6Λ3) Γ3L

23(2 + 6Λ3) + Γ4L

24(2 + 6Λ4) Γ4L

24(1− 6Λ4)

0 Γ4L24(2 + 6Λ4) Γ4L

24(1− 6Λ4)

donde: Γe =EI

6ΛeLe ,Λe =EI

ksGAL2e, ∀e = 1, 2, 3, 4. Ademas G = E

2(1+ν) .

130


f =

0

−5000

0

0

0

0

,


a =[u2 u3 u4 u6 u8 u10

]T.


Para hallar la solucion del sistema reducido: Ka = f, es decir, desplazamientos verticalesy giros en los nodos, se elige aplicar Eliminacion Gaussiana, a traves de la funcionfunction a=elim_gauss(K,F), de esta manera se obtiene:


u2 = −0,697199661718210× 10−3pulg deflexion en el nodo 2.







w1(x) =

(− 1

60x+ 1

)(0) × 10−3 +

1

60x(−0,697199661718210) × 10−3

x ∈ [0, 60], y

w2(x) =

(− 1

60x+ 2

)(−0,697199661718210)× 10−3 +

(1

60x− 1

)(0)× 10−3

131


x ∈ [60, 120].

En este caso la maxima deflexion es: 0,697199661718210 × 10−3 pulg. en direccionnegativa y esta se da en el nodo 2, es decir cuando x = 60pulg.

En la Figura (2.36) se muestran los polinomios de aproximacion de cada elemento en todala viga:

Figura 2.36. Grafico de los polinomios de aproximacion de cada elemento en toda la viga

Para desarrollar este ejemplo tambien se puede usar Timoshenko13.m.

Ahora si se analiza la misma viga del ejemplo 2 considerando elementos li-neales y matriz rigidez obtenida con integracion numerica:

Para desarrollar este ejemplo se puede aplicar Timoshenko14.m. De esta manera, seobtienen los desplazamientos verticales y giros en los nodos:

φ1 = −0,000047384316744rad giro en el nodo 1.

u2 = −0,001386539113168pulg deflexion en el nodo 2.

φ2 = 0,000009653567828rad giro en el nodo 2.


132




w1(x) =

(− 1

60x+ 1

)(0) +

1

60x(−0,001386539113168)

x ∈ [0, 60], y

w2(x) =

(− 1

60x+ 2

)(−0,001386539113168) +

(1

60x− 1

)(0)

x ∈ [60, 120].

En este caso la maxima deflexion es: 0,001386539113168 pulg. en direccion negativa yesta se da en el nodo 2, es decir cuando x = 60pulg.



Se considero la Teorıa de Timoshenko y se eligio 4 elementos lineales. Se coloco unnodo donde se aplica la carga puntual (nodo 2) y de esta manera se obtuvo las deflexionesen todos los nodos, comparando estas deflexiones observamos que la maxima deflexionocurre en el nodo 2. Luego al sustituir las deflexiones en el polinomio de aproximacion

133


x ∈ [60, 120].

En este caso la maxima deflexion es: 0,697199661718210 × 10−3 pulg. en direccionnegativa y esta se da en el nodo 2, es decir cuando x = 60pulg.




Ahora si se analiza la misma viga del ejemplo 2 considerando elementos li-neales y matriz rigidez obtenida con integracion numerica:






132




w1(x) =

(− 1

60x+ 1

)(0) +

1

60x(−0,001386539113168)

x ∈ [0, 60], y

w2(x) =

(− 1

60x+ 2

)(−0,001386539113168) +

(1

60x− 1

)(0)

x ∈ [60, 120].

En este caso la maxima deflexion es: 0,001386539113168 pulg. en direccion negativa yesta se da en el nodo 2, es decir cuando x = 60pulg.



Se considero la Teorıa de Timoshenko y se eligio 4 elementos lineales. Se coloco unnodo donde se aplica la carga puntual (nodo 2) y de esta manera se obtuvo las deflexionesen todos los nodos, comparando estas deflexiones observamos que la maxima deflexionocurre en el nodo 2. Luego al sustituir las deflexiones en el polinomio de aproximacion

133


w, se determina las deflexiones entre los nodos 1, 2 y 3. Por lo tanto comparando todaslas deflexiones, se obtiene que la maxima deflexion en toda la viga es la que ocurre en elnodo 2. Las deflexiones obtenidas con integracion numerica son menores a las obtenidascon integracion analıtica.

Tambien se obtienen los giros en los nodos y con estos sustituidos en el polinomio deaproximacion φ permitirıa obtener los giros en cualquier punto de la viga. Ademas sepuede calcular las fuerzas de reacciones en cada elemento usando las deflexiones y losgiros en las ecuaciones elemento:


Para el primer caso del ejemplo 2, se reemplazan los desplazamientos obtenidos, en:

f = Ka


>> FR=K*U

FR =1.0e+03 *

1.8280421969915890.000000000000858-5.000000000000082-0.0000000000045584.176328692953209-0.000000000003540-1.2236024048569140.0000000000068370.2192315149121990.000000000000386

entonces:

V1 = 1,828042196991589× 103lb.

M1 = 0,000000000000858× 103lb.pulg.

V2 = −5,000000000000082× 103lb.

M2 = −0,000000000004558× 103lb.pulg.

V3 = 4,176328692953209× 103lb.

M3 = −0,000000000003540× 103lb.pulg.

134

V4 = −1,223602404856914× 103lb.

M4 = 0,000000000006837× 103lb.pulg.

V5 = 0,219231514912199× 103lb.

M5 = 0,000000000000386× 103lb.pulg.


fe = Keae


f1 =1.0e+05 *

0.0182804219699130.000000000000006

-0.0182804219699131.096825318194942

fr2 =1.0e+05 *

-0.031719578030082-1.0968253181949880.031719578030082

-0.806349363610104

fr3 =1.0e+04 *

0.1004370889944708.063493636100711

-0.1004370889944701.578466907368554

fr4 =

135


w, se determina las deflexiones entre los nodos 1, 2 y 3. Por lo tanto comparando todaslas deflexiones, se obtiene que la maxima deflexion en toda la viga es la que ocurre en elnodo 2. Las deflexiones obtenidas con integracion numerica son menores a las obtenidascon integracion analıtica.

Tambien se obtienen los giros en los nodos y con estos sustituidos en el polinomio deaproximacion φ permitirıa obtener los giros en cualquier punto de la viga. Ademas sepuede calcular las fuerzas de reacciones en cada elemento usando las deflexiones y losgiros en las ecuaciones elemento:



f = Ka


>> FR=K*U

FR =1.0e+03 *

1.8280421969915890.000000000000858

-5.000000000000082-0.0000000000045584.176328692953209

-0.000000000003540-1.2236024048569140.0000000000068370.2192315149121990.000000000000386

entonces:

V1 = 1,828042196991589× 103lb.

M1 = 0,000000000000858× 103lb.pulg.

V2 = −5,000000000000082× 103lb.

M2 = −0,000000000004558× 103lb.pulg.

V3 = 4,176328692953209× 103lb.

M3 = −0,000000000003540× 103lb.pulg.

134

V4 = −1,223602404856914× 103lb.

M4 = 0,000000000006837× 103lb.pulg.

V5 = 0,219231514912199× 103lb.

M5 = 0,000000000000386× 103lb.pulg.


fe = Keae


f1 =1.0e+05 *

0.0182804219699130.000000000000006-0.0182804219699131.096825318194942

fr2 =1.0e+05 *

-0.031719578030082-1.0968253181949880.031719578030082-0.806349363610104

fr3 =1.0e+04 *

0.1004370889944708.063493636100711-0.1004370889944701.578466907368554

fr4 =

135


1.0e+04 *

-0.021923151491220-1.5784669073678720.0219231514912200.000000000000039

Giros en cualquier punto de la viga

Para el primer caso del ejemplo 2. Se reemplazan los giros obtenidos, en los cuatro poli-nomios de aproximacion:

φ1(x) =

(−

1

60x + 1

)(−0,016278403508341 × 10

−3) +

(1

60x

)(0,001712353456972 × 10

−3),

x ∈ [0, 60],

φ2(x) =

(−

1

60x + 2

)(0,001712353456972 × 10

−3) +

(1

60− 1

)(0,006476906404933 × 10

−3),

x ∈ [60, 120],

φ3(x) =

(−

1

96x +

27

12

)(0,006476906404933 × 10

−3) +

(1

96x −

15

12

)(−0,001711233315858 × 10

−3),

x ∈ [120, 216],

φ4(x) =

(−

1

72x + 4

)(−0,001711233315858 × 10

−3) +

(1

72x − 3

)(0,000670994354978 × 10

−3).

x ∈ [216, 288].

136

EJEMPLO 3: Viga de concreto con tres tramos (elementos cuadraticos)

En la figura (2.38) se muestra una viga con tres tramos. Se determinara los desplaza-mientos verticales de la viga continua, con las siguientes caracteristicas: E = 4, 351 ×106lb/pulg2, I = 12973, 448106pulg4, ν = 0, 2, ks = 5/6, L1 = L2 = 60pulg,L3 = 96pulg, L4 = 72pulg, P = 5000lb, y q = 100lb/pulg.

L1 L3 L4

P q

L2


Tener en cuenta que las longitudes de los tramos son diferentes y que hay carga unifor-memente distribuida en el ultimo tramo. Se considera la Teorıa de viga de Timoshenko.


• Se elige cuatro elementos viga: e = 1, 2, 3, 4.• Cada elemento viga con tres nodos: xe1 y xe2. Es decir elemento cuadratico.• Cada elemento viga con seis grados de libertad o desplazamientos: ue1, ue2, ue3 para ladeflexion y φe

1, φe2, φe

3 para el giro.• Cada elemento viga con longitud: Le = xe2 − xe1 para todo e = 1, 2, 3, 4. En este casolos cuatro elementos de diferente longitud.

La Figura (2.39) muestra la viga con cuatro elementos, con nueve nodos i para todoi = 1, 9 y con dieciocho desplazamientos globales uj para todo j = 1, 18.

Figura 2.39. Grados de libertad globales

137


1.0e+04 *

-0.021923151491220-1.5784669073678720.0219231514912200.000000000000039



φ1(x) =

(−

1

60x + 1

)(−0,016278403508341 × 10

−3) +

(1

60x

)(0,001712353456972 × 10

−3),

x ∈ [0, 60],

φ2(x) =

(−

1

60x + 2

)(0,001712353456972 × 10

−3) +

(1

60− 1

)(0,006476906404933 × 10

−3),

x ∈ [60, 120],

φ3(x) =

(−

1

96x +

27

12

)(0,006476906404933 × 10

−3) +

(1

96x −

15

12

)(−0,001711233315858 × 10

−3),

x ∈ [120, 216],

φ4(x) =

(−

1

72x + 4

)(−0,001711233315858 × 10

−3) +

(1

72x − 3

)(0,000670994354978 × 10

−3).

x ∈ [216, 288].

136

EJEMPLO 3: Viga de concreto con tres tramos (elementos cuadraticos)

En la figura (2.38) se muestra una viga con tres tramos. Se determinara los desplaza-mientos verticales de la viga continua, con las siguientes caracteristicas: E = 4, 351 ×106lb/pulg2, I = 12973, 448106pulg4, ν = 0, 2, ks = 5/6, L1 = L2 = 60pulg,L3 = 96pulg, L4 = 72pulg, P = 5000lb, y q = 100lb/pulg.

L1 L3 L4

P q

L2


Tener en cuenta que las longitudes de los tramos son diferentes y que hay carga unifor-memente distribuida en el ultimo tramo. Se considera la Teorıa de viga de Timoshenko.


• Se elige cuatro elementos viga: e = 1, 2, 3, 4.• Cada elemento viga con tres nodos: xe1 y xe2. Es decir elemento cuadratico.• Cada elemento viga con seis grados de libertad o desplazamientos: ue1, ue2, ue3 para ladeflexion y φe

1, φe2, φe

3 para el giro.• Cada elemento viga con longitud: Le = xe2 − xe1 para todo e = 1, 2, 3, 4. En este casolos cuatro elementos de diferente longitud.

La Figura (2.39) muestra la viga con cuatro elementos, con nueve nodos i para todoi = 1, 9 y con dieciocho desplazamientos globales uj para todo j = 1, 18.

Figura 2.39. Grados de libertad globales

137



Con los datos del problema: E = 4, 351 × 106lb/pulg2, ν = 0, 2, ks = 5/6, A =278, 999442pulg2, I = 12973, 448106pulg4, L1 = L2 = 60pulg, L3 = 96pulg, L4 =72pulg, se tiene que la matriz rigidez para los elementos 1, 2, 3 y 4, respectivamente, son:

K1

= K2

= Γ

14 3(60) −16 4(60) 2 −(60)

3(60) (60)2(

45

+ 14Λ)

−4(60) (60)2(

25

− 16Λ)

(60) (60)2(− 1

5+ 2Λ

)

−16 −4(60) 32 0 −16 4(60)

4(60) (60)2(

25

− 16Λ)

0 (60)2(

165

+ 32Λ)

−4(60) (60)2(

25

− 16Λ)

2 (60) −16 −4(60) 14 −3(60)

−(60) (60)2(− 1

5+ 2Λ

)4(60) (60)2

(25

− 16Λ)

−3(60) (60)2(

45

+ 14Λ)

donde: G = E2(1+ν) , L = L1 = L2, Γ = Γ1 = Γ2 =

ksGA6L y Λ = Λ1 = Λ2 =

EIksGAL2 .

K3

= Γ

14 3(96) −16 4(96) 2 −(96)

3(96) (96)2(

45

+ 14Λ)

−4(96) (96)2(

25

− 16Λ)

(96) (96)2(− 1

5+ 2Λ

)

−16 −4(96) 32 0 −16 4(96)

4(96) (96)2(

25

− 16Λ)

0 (96)2(

165

+ 32Λ)

−4(96) (96)2(

25

− 16Λ)

2 (96) −16 −4(96) 14 −3(96)

−(96) (96)2(− 1

5+ 2Λ

)4(96) (96)2

(25

− 16Λ)

−3(96) (96)2(

45

+ 14Λ)

donde: G = E2(1+ν) , Γ = Γ3 =

ksGA6L3

y Λ = Λ3 =EI

ksGAL23.

K4

= Γ

14 3(72) −16 4(72) 2 −(72)

3(72) (72)2(

45

+ 14Λ)

−4(72) (72)2(

25

− 16Λ)

(72) (72)2(− 1

5+ 2Λ

)

−16 −4(72) 32 0 −16 4(72)

4(72) (72)2(

25

− 16Λ)

0 (72)2(

165

+ 32Λ)

−4(72) (72)2(

25

− 16Λ)

2 (72) −16 −4(72) 14 −3(72)

−(72) (72)2(− 1

5+ 2Λ

)4(72) (72)2

(25

− 16Λ)

−3(72) (72)2(

45

+ 14Λ)

donde: G = E2(1+ν) , Γ = Γ4 =

ksGA6L4

y Λ = Λ4 =EI

ksGAL24.


ae =

ue1

φe1

ue2

φe2

ue3

φe3

,

138


f eb =

V e1

M e1

V e2

M e2

V e3

M e3


f eq = q

∫ x42

x41

N1w

0

N2w

0

N3w

0

dx ⇒ f4q = −100

12

0

48

0

12

0

.

139



Con los datos del problema: E = 4, 351 × 106lb/pulg2, ν = 0, 2, ks = 5/6, A =278, 999442pulg2, I = 12973, 448106pulg4, L1 = L2 = 60pulg, L3 = 96pulg, L4 =72pulg, se tiene que la matriz rigidez para los elementos 1, 2, 3 y 4, respectivamente, son:

K1

= K2

= Γ

14 3(60) −16 4(60) 2 −(60)

3(60) (60)2(

45

+ 14Λ)

−4(60) (60)2(

25

− 16Λ)

(60) (60)2(− 1

5+ 2Λ

)

−16 −4(60) 32 0 −16 4(60)

4(60) (60)2(

25

− 16Λ)

0 (60)2(

165

+ 32Λ)

−4(60) (60)2(

25

− 16Λ)

2 (60) −16 −4(60) 14 −3(60)

−(60) (60)2(− 1

5+ 2Λ

)4(60) (60)2

(25

− 16Λ)

−3(60) (60)2(

45

+ 14Λ)

donde: G = E2(1+ν) , L = L1 = L2, Γ = Γ1 = Γ2 =

ksGA6L y Λ = Λ1 = Λ2 =

EIksGAL2 .

K3

= Γ

14 3(96) −16 4(96) 2 −(96)

3(96) (96)2(

45

+ 14Λ)

−4(96) (96)2(

25

− 16Λ)

(96) (96)2(− 1

5+ 2Λ

)

−16 −4(96) 32 0 −16 4(96)

4(96) (96)2(

25

− 16Λ)

0 (96)2(

165

+ 32Λ)

−4(96) (96)2(

25

− 16Λ)

2 (96) −16 −4(96) 14 −3(96)

−(96) (96)2(− 1

5+ 2Λ

)4(96) (96)2

(25

− 16Λ)

−3(96) (96)2(

45

+ 14Λ)

donde: G = E2(1+ν) , Γ = Γ3 =

ksGA6L3

y Λ = Λ3 =EI

ksGAL23.

K4

= Γ

14 3(72) −16 4(72) 2 −(72)

3(72) (72)2(

45

+ 14Λ)

−4(72) (72)2(

25

− 16Λ)

(72) (72)2(− 1

5+ 2Λ

)

−16 −4(72) 32 0 −16 4(72)

4(72) (72)2(

25

− 16Λ)

0 (72)2(

165

+ 32Λ)

−4(72) (72)2(

25

− 16Λ)

2 (72) −16 −4(72) 14 −3(72)

−(72) (72)2(− 1

5+ 2Λ

)4(72) (72)2

(25

− 16Λ)

−3(72) (72)2(

45

+ 14Λ)

donde: G = E2(1+ν) , Γ = Γ4 =

ksGA6L4

y Λ = Λ4 =EI

ksGAL24.


ae =

ue1

φe1

ue2

φe2

ue3

φe3

,

138


f eb =

V e1

M e1

V e2

M e2

V e3

M e3


f eq = q

∫ x42

x41

N1w

0

N2w

0

N3w

0

dx ⇒ f4q = −100

12

0

48

0

12

0

.

139


Terc

erpa

so:E

nsam

blaj

ede

lase

cuac

ione

sele

men

to:

Aqu

ıse

tiene

las

9pr

imer

asco

lum

nas

dela

mat

riz

rigi

dez

ensa

mbl

ada:

K=

14Γ1

3L

1Γ1

−16Γ1

4L

1Γ1

2Γ1

−L

1Γ1

00

0

3L

1Γ1

Γ1L

2 1

( 4 5+

14Λ1

)−4L

1Γ1

Γ1L

2 1

( 2 5−

16Λ1

)Γ1L

1Γ1L

2 1

( −1 5

+2Λ1

)0

00

−16Γ1

−4L

1Γ1

32Γ1

0−16Γ1

4L

1Γ1

00

0

4L

1Γ1

Γ1L

2 1

( 2 5−

16Λ1

)0

Γ1L

2 1

( 16 5

+32Λ1

)−4L

1Γ1

Γ1L

2 1

( 2 5−

16Λ1

)0

00

2Γ1

L1Γ1

−16Γ1

−4L

1Γ1

14Γ1+

14Γ2

−3L

1Γ1+

3L

2Γ2

−16Γ2

4L

2Γ2

2Γ2

−L

1Γ1

Γ1L

2 1

( −1 5

+2Λ1

)4L

1Γ1

Γ1L

2 1

( 2 5−

16Λ1

)−3L

1Γ1+

3L

2Γ2

Γ1L

2 1

( 4 5+

14Λ1

)+

Γ2L

2 2

( 4 5+

14Λ2

)−4L

2Γ2

Γ2L

2 2

( 2 5−

16Λ2

)Γ2L

2

00

00

−16Γ2

−4L

2Γ2

32Γ2

0−16Γ2

00

00

4L

2Γ2

Γ2L

2 2

( 2 5−

16Λ2

)0

Γ2L

2 2

( 16 5

+32Λ2

)−4L

2Γ2

00

00

2Γ2

Γ2L

2−16Γ2

−4L

2Γ2

14Γ2+

14Γ3

00

00

−L

2Γ2

Γ2L

2 2

( −1 5

+2Λ2

)4L

2Γ2

Γ2L

2 2

( 2 5−

16Λ2

)−3L

2Γ2+

3L

3Γ3

00

00

00

00

−16Γ3

00

00

00

00

4L

3Γ3

00

00

00

00

2Γ3

00

00

00

00

−L

3Γ3

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

ahor

ala

s9

ultim

asco

lum

nas

dela

mat

riz

rigi

dez

ensa

mbl

ada:

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

−L

2Γ2

00

00

00

00

Γ2L

2 2

( −1 5

+2Λ2

)0

00

00

00

0

4L

2Γ2

00

00

00

00

Γ2L

2 2

( 2 5−

16Λ2

)0

00

00

00

0

−3L

2Γ2+

3L

3Γ3

−16Γ3

4L

3Γ3

2Γ3

−L

3Γ3

00

00

Γ2L

2 2

( 4 5+

14Λ2

)+

Γ3L

2 3

( 4 5+

14Λ3

)−4L

3Γ3

Γ3L

2 3

( 2 5−

16Λ3

)L

3Γ3

Γ3L

2 3

( −1 5

+2Λ3

)0

00

0

−4L

3Γ3

32Γ3

0−16Γ3

4L

3Γ3

00

00

Γ3L

2 3

( 2 5−

16Λ3

)0

Γ3L

2 3

( 16 5

+32Λ3

)−4L

3Γ3

Γ3L

2 3

( 2 5−

16Λ3

)0

00

0

L3Γ3

−16Γ3

−4L

3Γ3

14Γ3+

14Γ4

−3L

3Γ3+

3L

4Γ4

−16Γ4

4L

4Γ4

2Γ4

−L

4Γ4

Γ3L

2 3

( −1 5

+2Λ3

)4L

3Γ3

Γ3L

2 3

( 2 5−

16Λ3

)−3L

3Γ3+

3L

4Γ4

Γ3L

2 3

( 4 5+

14Λ3

)+

Γ4L

2 4

( 4 5+

14Λ4

)−4L

4Γ4

Γ4L

2 4

( 2 5−

16Λ4

)L

4Γ4

Γ4L

2 4

( −1 5

+2Λ4

)

00

0−16Γ4

−4L

4Γ4

32Γ4

0−16Γ4

4L

4Γ4

00

04L

4Γ4

Γ4L

2 4

( 2 5−

16Λ4

)0

Γ4L

2 4

( 16 5

+32Λ4

)−4L

4Γ4

Γ4L

2 4

( 2 5−

16Λ4

)

00

02Γ4

L4Γ4

−16Γ4

−4L

4Γ4

14Γ4

−3L

4Γ4

00

0−L

4Γ4

Γ4L

2 4

( −1 5

+2Λ4

)4L

4Γ4

Γ4L

2 4

( 2 5−

16Λ4

)−3L

4Γ4

Γ4L

2 4

( 4 5+

14Λ4

)

dond

e:Γe=

ksGA

6Le,Λ

e=

EI

ksGAL2 e,∀

e=

1,2,3,4.

Ade

mas

G=

E2(1+ν).

140

Luego el vector frontera ensamblado para los cuatro elementos, es:

fb =

V 11

M11

V 12

M12

V 13 + V 2

1

M13 +M2

1

V 22

M22

V 23 + V 3

1

M23 +M3

1

V 32

M32

V 33 + V 4

1

M33 +M4

1

V 42

M42

V 43

M43

⇒ fb =

V1

M1

V2

M2

V3

M3

V4

M4

V5

M5

V6

M6

V7

M7

V8

M8

V9

M9

⇒ fb =

V1

0

0

0

−5000

0

0

0

V5

0

0

0

V7

0

0

0

V9

0

141

Terc

erpa

so:E

nsam

blaj

ede

lase

cuac

ione

sele

men

to:

Aqu

ıse

tiene

las

9pr

imer

asco

lum

nas

dela

mat

riz

rigi

dez

ensa

mbl

ada:

K=

14Γ1

3L

1Γ1

−16Γ1

4L

1Γ1

2Γ1

−L

1Γ1

00

0

3L

1Γ1

Γ1L

2 1

( 4 5+

14Λ1

)−4L

1Γ1

Γ1L

2 1

( 2 5−

16Λ1

)Γ1L

1Γ1L

2 1

( −1 5

+2Λ1

)0

00

−16Γ1

−4L

1Γ1

32Γ1

0−16Γ1

4L

1Γ1

00

0

4L

1Γ1

Γ1L

2 1

( 2 5−

16Λ1

)0

Γ1L

2 1

( 16 5

+32Λ1

)−4L

1Γ1

Γ1L

2 1

( 2 5−

16Λ1

)0

00

2Γ1

L1Γ1

−16Γ1

−4L

1Γ1

14Γ1+

14Γ2

−3L

1Γ1+

3L

2Γ2

−16Γ2

4L

2Γ2

2Γ2

−L

1Γ1

Γ1L

2 1

( −1 5

+2Λ1

)4L

1Γ1

Γ1L

2 1

( 2 5−

16Λ1

)−3L

1Γ1+

3L

2Γ2

Γ1L

2 1

( 4 5+

14Λ1

)+

Γ2L

2 2

( 4 5+

14Λ2

)−4L

2Γ2

Γ2L

2 2

( 2 5−

16Λ2

)Γ2L

2

00

00

−16Γ2

−4L

2Γ2

32Γ2

0−16Γ2

00

00

4L

2Γ2

Γ2L

2 2

( 2 5−

16Λ2

)0

Γ2L

2 2

( 16 5

+32Λ2

)−4L

2Γ2

00

00

2Γ2

Γ2L

2−16Γ2

−4L

2Γ2

14Γ2+

14Γ3

00

00

−L

2Γ2

Γ2L

2 2

( −1 5

+2Λ2

)4L

2Γ2

Γ2L

2 2

( 2 5−

16Λ2

)−3L

2Γ2+

3L

3Γ3

00

00

00

00

−16Γ3

00

00

00

00

4L

3Γ3

00

00

00

00

2Γ3

00

00

00

00

−L

3Γ3

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

ahor

ala

s9

ultim

asco

lum

nas

dela

mat

riz

rigi

dez

ensa

mbl

ada:

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

−L

2Γ2

00

00

00

00

Γ2L

2 2

( −1 5

+2Λ2

)0

00

00

00

0

4L

2Γ2

00

00

00

00

Γ2L

2 2

( 2 5−

16Λ2

)0

00

00

00

0

−3L

2Γ2+

3L

3Γ3

−16Γ3

4L

3Γ3

2Γ3

−L

3Γ3

00

00

Γ2L

2 2

( 4 5+

14Λ2

)+

Γ3L

2 3

( 4 5+

14Λ3

)−4L

3Γ3

Γ3L

2 3

( 2 5−

16Λ3

)L

3Γ3

Γ3L

2 3

( −1 5

+2Λ3

)0

00

0

−4L

3Γ3

32Γ3

0−16Γ3

4L

3Γ3

00

00

Γ3L

2 3

( 2 5−

16Λ3

)0

Γ3L

2 3

( 16 5

+32Λ3

)−4L

3Γ3

Γ3L

2 3

( 2 5−

16Λ3

)0

00

0

L3Γ3

−16Γ3

−4L

3Γ3

14Γ3+

14Γ4

−3L

3Γ3+

3L

4Γ4

−16Γ4

4L

4Γ4

2Γ4

−L

4Γ4

Γ3L

2 3

( −1 5

+2Λ3

)4L

3Γ3

Γ3L

2 3

( 2 5−

16Λ3

)−3L

3Γ3+

3L

4Γ4

Γ3L

2 3

( 4 5+

14Λ3

)+

Γ4L

2 4

( 4 5+

14Λ4

)−4L

4Γ4

Γ4L

2 4

( 2 5−

16Λ4

)L

4Γ4

Γ4L

2 4

( −1 5

+2Λ4

)

00

0−16Γ4

−4L

4Γ4

32Γ4

0−16Γ4

4L

4Γ4

00

04L

4Γ4

Γ4L

2 4

( 2 5−

16Λ4

)0

Γ4L

2 4

( 16 5

+32Λ4

)−4L

4Γ4

Γ4L

2 4

( 2 5−

16Λ4

)

00

02Γ4

L4Γ4

−16Γ4

−4L

4Γ4

14Γ4

−3L

4Γ4

00

0−L

4Γ4

Γ4L

2 4

( −1 5

+2Λ4

)4L

4Γ4

Γ4L

2 4

( 2 5−

16Λ4

)−3L

4Γ4

Γ4L

2 4

( 4 5+

14Λ4

)

dond

e:Γe=

ksGA

6Le,Λ

e=

EI

ksGAL2 e,∀

e=

1,2,3,4.

Ade

mas

G=

E2(1+ν).

140


Terc

erpa

so:E

nsam

blaj

ede

lase

cuac

ione

sele

men

to:

Aqu

ıse

tiene

las

9pr

imer

asco

lum

nas

dela

mat

riz

rigi

dez

ensa

mbl

ada:

K=

14Γ1

3L

1Γ1

−16Γ1

4L

1Γ1

2Γ1

−L

1Γ1

00

0

3L

1Γ1

Γ1L

2 1

( 4 5+

14Λ1

)−4L

1Γ1

Γ1L

2 1

( 2 5−

16Λ1

)Γ1L

1Γ1L

2 1

( −1 5

+2Λ1

)0

00

−16Γ1

−4L

1Γ1

32Γ1

0−16Γ1

4L

1Γ1

00

0

4L

1Γ1

Γ1L

2 1

( 2 5−

16Λ1

)0

Γ1L

2 1

( 16 5

+32Λ1

)−4L

1Γ1

Γ1L

2 1

( 2 5−

16Λ1

)0

00

2Γ1

L1Γ1

−16Γ1

−4L

1Γ1

14Γ1+

14Γ2

−3L

1Γ1+

3L

2Γ2

−16Γ2

4L

2Γ2

2Γ2

−L

1Γ1

Γ1L

2 1

( −1 5

+2Λ1

)4L

1Γ1

Γ1L

2 1

( 2 5−

16Λ1

)−3L

1Γ1+

3L

2Γ2

Γ1L

2 1

( 4 5+

14Λ1

)+

Γ2L

2 2

( 4 5+

14Λ2

)−4L

2Γ2

Γ2L

2 2

( 2 5−

16Λ2

)Γ2L

2

00

00

−16Γ2

−4L

2Γ2

32Γ2

0−16Γ2

00

00

4L

2Γ2

Γ2L

2 2

( 2 5−

16Λ2

)0

Γ2L

2 2

( 16 5

+32Λ2

)−4L

2Γ2

00

00

2Γ2

Γ2L

2−16Γ2

−4L

2Γ2

14Γ2+

14Γ3

00

00

−L

2Γ2

Γ2L

2 2

( −1 5

+2Λ2

)4L

2Γ2

Γ2L

2 2

( 2 5−

16Λ2

)−3L

2Γ2+

3L

3Γ3

00

00

00

00

−16Γ3

00

00

00

00

4L

3Γ3

00

00

00

00

2Γ3

00

00

00

00

−L

3Γ3

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

ahor

ala

s9

ultim

asco

lum

nas

dela

mat

riz

rigi

dez

ensa

mbl

ada:

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

−L

2Γ2

00

00

00

00

Γ2L

2 2

( −1 5

+2Λ2

)0

00

00

00

0

4L

2Γ2

00

00

00

00

Γ2L

2 2

( 2 5−

16Λ2

)0

00

00

00

0

−3L

2Γ2+

3L

3Γ3

−16Γ3

4L

3Γ3

2Γ3

−L

3Γ3

00

00

Γ2L

2 2

( 4 5+

14Λ2

)+

Γ3L

2 3

( 4 5+

14Λ3

)−4L

3Γ3

Γ3L

2 3

( 2 5−

16Λ3

)L

3Γ3

Γ3L

2 3

( −1 5

+2Λ3

)0

00

0

−4L

3Γ3

32Γ3

0−16Γ3

4L

3Γ3

00

00

Γ3L

2 3

( 2 5−

16Λ3

)0

Γ3L

2 3

( 16 5

+32Λ3

)−4L

3Γ3

Γ3L

2 3

( 2 5−

16Λ3

)0

00

0

L3Γ3

−16Γ3

−4L

3Γ3

14Γ3+

14Γ4

−3L

3Γ3+

3L

4Γ4

−16Γ4

4L

4Γ4

2Γ4

−L

4Γ4

Γ3L

2 3

( −1 5

+2Λ3

)4L

3Γ3

Γ3L

2 3

( 2 5−

16Λ3

)−3L

3Γ3+

3L

4Γ4

Γ3L

2 3

( 4 5+

14Λ3

)+

Γ4L

2 4

( 4 5+

14Λ4

)−4L

4Γ4

Γ4L

2 4

( 2 5−

16Λ4

)L

4Γ4

Γ4L

2 4

( −1 5

+2Λ4

)

00

0−16Γ4

−4L

4Γ4

32Γ4

0−16Γ4

4L

4Γ4

00

04L

4Γ4

Γ4L

2 4

( 2 5−

16Λ4

)0

Γ4L

2 4

( 16 5

+32Λ4

)−4L

4Γ4

Γ4L

2 4

( 2 5−

16Λ4

)

00

02Γ4

L4Γ4

−16Γ4

−4L

4Γ4

14Γ4

−3L

4Γ4

00

0−L

4Γ4

Γ4L

2 4

( −1 5

+2Λ4

)4L

4Γ4

Γ4L

2 4

( 2 5−

16Λ4

)−3L

4Γ4

Γ4L

2 4

( 4 5+

14Λ4

)

dond

e:Γe=

ksGA

6Le,Λ

e=

EI

ksGAL2 e,∀

e=

1,2,3,4.

Ade

mas

G=

E2(1+ν).

140

Luego el vector frontera ensamblado para los cuatro elementos, es:

fb =

V 11

M11

V 12

M12

V 13 + V 2

1

M13 +M2

1

V 22

M22

V 23 + V 3

1

M23 +M3

1

V 32

M32

V 33 + V 4

1

M33 +M4

1

V 42

M42

V 43

M43

⇒ fb =

V1

M1

V2

M2

V3

M3

V4

M4

V5

M5

V6

M6

V7

M7

V8

M8

V9

M9

⇒ fb =

V1

0

0

0

−5000

0

0

0

V5

0

0

0

V7

0

0

0

V9

0

141


y el vector de carga uniformemente distribuida q constante, para el ultimo elemento, es:

fq =

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

(−100)(12)

0

(−100)(48)

0

(−100)(12)

0

,


a =[u1 φ1 u2 φ2 u3 φ3 u4 φ4 u5 φ5 u6 φ6 u7 φ7 u8 φ8 u9 φ9

]T.

142


f =

V1

0

0

0

−5000

0

0

0

V5

0

0

0

V7 − 100(12)

0

−100(48)

0

V9 − 100(12)

0

.



143


y el vector de carga uniformemente distribuida q constante, para el ultimo elemento, es:

fq =

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

(−100)(12)

0

(−100)(48)

0

(−100)(12)

0

,


a =[u1 φ1 u2 φ2 u3 φ3 u4 φ4 u5 φ5 u6 φ6 u7 φ7 u8 φ8 u9 φ9

]T.

142


f =

V1

0

0

0

−5000

0

0

0

V5

0

0

0

V7 − 100(12)

0

−100(48)

0

V9 − 100(12)

0

.



143




Figura 2.41. Fuerzas en los nodos debido a la carga distribuida


u1 = u9 = u13 = u17 = 0,


144

Aqu

ıse

tiene

las

7pr

imer

asco

lum

nas

dela

mat

riz

rigi

dez

redu

cida

:

K=

Γ1L

2 1

( 4 5+

14Λ1

)−4L

1Γ1

Γ1L

2 1

( 2 5−

16Λ1

)Γ1L

1Γ1L

2 1

( −1 5

+2Λ1

)0

0

−4L

1Γ1

32Γ1

0−16Γ1

4L

1Γ1

00

Γ1L

2 1

( 2 5−

16Λ1

)0

Γ1L

2 1

( 16 5

+32Λ1

)−4L

1Γ1

Γ1L

2 1

( 2 5−

16Λ1

)0

0

L1Γ1

−16Γ1

−4L

1Γ1

14Γ1+

14Γ2

−3L

1Γ1+

3L

2Γ2

−16Γ2

4L

2Γ2

Γ1L

2 1

( −1 5

+2Λ1

)4L

1Γ1

Γ1L

2 1

( 2 5−

16Λ1

)−3L

1Γ1+

3L

2Γ2

Γ1L

2 1

( 4 5+

14Λ1

)+

Γ2L

2 2

( 4 5+

14Λ2

)−4L

2Γ2

Γ2L

2 2

( 2 5−

16Λ2

)

00

0−16Γ2

−4L

2Γ2

32Γ2

0

00

04L

2Γ2

Γ2L

2 2

( 2 5−

16Λ2

)0

Γ2L

2 2

( 16 5

+32Λ2

)

00

0−L

2Γ2

Γ2L

2 2

( −1 5

+2Λ2

)4L

2Γ2

Γ2L

2 2

( 2 5−

16Λ2

)

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

ahor

ala

s7

ultim

asco

lum

nas

dela

mat

riz

rigi

dez

redu

cida

:

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

0−L

2Γ2

00

00

00

Γ2L

2 2

( −1 5

+2Λ2

)0

00

00

0

4L

2Γ2

00

00

00

Γ2L

2 2

( 2 5−

16Λ2

)0

00

00

0

Γ2L

2 2

( 4 5+

14Λ2

)+

Γ3L

2 3

( 4 5+

14Λ3

)−4L

3Γ3

Γ3L

2 3

( 2 5−

16Λ3

)Γ3L

2 3

( −1 5

+2Λ3

)0

00

−4L

3Γ3

32Γ3

04L

3Γ3

00

0

Γ3L

2 3

( 2 5−

16Λ3

)0

Γ3L

2 3

( 16 5

+32Λ3

)Γ3L

2 3

( 2 5−

16Λ3

)0

00

Γ3L

2 3

( −1 5

+2Λ3

)4L

3Γ3

Γ3L

2 3

( 2 5−

16Λ3

)Γ3L

2 3

( 4 5+

14Λ3

)+

Γ4L

2 4

( 4 5+

14Λ4

)−4L

4Γ4

Γ4L

2 4

( 2 5−

16Λ4

)Γ4L

2 4

( −1 5

+2Λ4

)

00

0−4L

4Γ4

32Γ4

04L

4Γ4

00

0Γ4L

2 4

( 2 5−

16Λ4

)0

Γ4L

2 4

( 16 5

+32Λ4

)Γ4L

2 4

( 2 5−

16Λ4

)

00

0Γ4L

2 4

( −1 5

+2Λ4

)4L

4Γ4

Γ4L

2 4

( 2 5−

16Λ4

)Γ4L

2 4

( 4 5+

14Λ4

)

dond

e:Γe=

ksGA

6Le,Λ

e=

EI

ksGAL2 e,∀

e=

1,2,3,4.

Ade

mas

G=

E2(1+ν).

145





u1 = u9 = u13 = u17 = 0,


144






u1 = u9 = u13 = u17 = 0,


144

Aqu

ıse

tiene

las

7pr

imer

asco

lum

nas

dela

mat

riz

rigi

dez

redu

cida

:

K=

Γ1L

2 1

( 4 5+

14Λ1

)−4L

1Γ1

Γ1L

2 1

( 2 5−

16Λ1

)Γ1L

1Γ1L

2 1

( −1 5

+2Λ1

)0

0

−4L

1Γ1

32Γ1

0−16Γ1

4L

1Γ1

00

Γ1L

2 1

( 2 5−

16Λ1

)0

Γ1L

2 1

( 16 5

+32Λ1

)−4L

1Γ1

Γ1L

2 1

( 2 5−

16Λ1

)0

0

L1Γ1

−16Γ1

−4L

1Γ1

14Γ1+

14Γ2

−3L

1Γ1+

3L

2Γ2

−16Γ2

4L

2Γ2

Γ1L

2 1

( −1 5

+2Λ1

)4L

1Γ1

Γ1L

2 1

( 2 5−

16Λ1

)−3L

1Γ1+

3L

2Γ2

Γ1L

2 1

( 4 5+

14Λ1

)+

Γ2L

2 2

( 4 5+

14Λ2

)−4L

2Γ2

Γ2L

2 2

( 2 5−

16Λ2

)

00

0−16Γ2

−4L

2Γ2

32Γ2

0

00

04L

2Γ2

Γ2L

2 2

( 2 5−

16Λ2

)0

Γ2L

2 2

( 16 5

+32Λ2

)

00

0−L

2Γ2

Γ2L

2 2

( −1 5

+2Λ2

)4L

2Γ2

Γ2L

2 2

( 2 5−

16Λ2

)

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

ahor

ala

s7

ultim

asco

lum

nas

dela

mat

riz

rigi

dez

redu

cida

:

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

0−L

2Γ2

00

00

00

Γ2L

2 2

( −1 5

+2Λ2

)0

00

00

0

4L

2Γ2

00

00

00

Γ2L

2 2

( 2 5−

16Λ2

)0

00

00

0

Γ2L

2 2

( 4 5+

14Λ2

)+

Γ3L

2 3

( 4 5+

14Λ3

)−4L

3Γ3

Γ3L

2 3

( 2 5−

16Λ3

)Γ3L

2 3

( −1 5

+2Λ3

)0

00

−4L

3Γ3

32Γ3

04L

3Γ3

00

0

Γ3L

2 3

( 2 5−

16Λ3

)0

Γ3L

2 3

( 16 5

+32Λ3

)Γ3L

2 3

( 2 5−

16Λ3

)0

00

Γ3L

2 3

( −1 5

+2Λ3

)4L

3Γ3

Γ3L

2 3

( 2 5−

16Λ3

)Γ3L

2 3

( 4 5+

14Λ3

)+

Γ4L

2 4

( 4 5+

14Λ4

)−4L

4Γ4

Γ4L

2 4

( 2 5−

16Λ4

)Γ4L

2 4

( −1 5

+2Λ4

)

00

0−4L

4Γ4

32Γ4

04L

4Γ4

00

0Γ4L

2 4

( 2 5−

16Λ4

)0

Γ4L

2 4

( 16 5

+32Λ4

)Γ4L

2 4

( 2 5−

16Λ4

)

00

0Γ4L

2 4

( −1 5

+2Λ4

)4L

4Γ4

Γ4L

2 4

( 2 5−

16Λ4

)Γ4L

2 4

( 4 5+

14Λ4

)

dond

e:Γe=

ksGA

6Le,Λ

e=

EI

ksGAL2 e,∀

e=

1,2,3,4.

Ade

mas

G=

E2(1+ν).

145



f =

0

0

0

−5000

0

0

0

0

0

0

0

−100(48)

0

0

,


a =[u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u10 u11 u12 u14 u15 u16 u18

]T.

Quinto paso: Solucion del sistema discretoPara hallar la solucion del sistema reducido: Ka = f, es decir, desplaza-mientos verticales y giros en los nodos, se elige aplicar Eliminacion Gaussiana,function a=elim_gauss(K,F), de esta manera se obtiene:









u6 = 0,000713018561944pulg deflexion en el nodo 6.

146







Al reemplazar los desplazamientos obtenidos, en los cuatro polinomios de aproximacion,se tiene:

w1(x) =

(1

900x2 − 1

20x+ 1

)(0) +

(− 1

900x2 +

1

15x

)(−0,001620296408274)+

(1

1800x2 − 1

60x

)(−0,002295435897787),

x ∈ [0, 60],

w2(x) =

(1

1800x2 − 7

60x+ 6

)(−0,002295435897787)+

(− 1

900x2 +

1

5x− 8

)(−0,001369651339956) +

(1

1800x2 − 1

12x+ 3

)(0),

x ∈ [60, 120],

w3(x) =

(1

4608x2 − 1

12x+

567

72

)(0)+

(− 1

2304x2 +

7

48x− 405

36

)(0,000713018561944)+

(1

4608x2 − 1

16x+

315

72

)(0),

x ∈ [120, 216],

w4(x) =

(1

2592x2 − 5

24x+ 28

)(0)+

(− 1

1296x2 +

7

18x− 48

)(−0,000609514802989)+

(1

2592x2 − 13

72x+ 21

)(0).

147



f =

0

0

0

−5000

0

0

0

0

0

0

0

−100(48)

0

0

,


a =[u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u10 u11 u12 u14 u15 u16 u18

]T.

Quinto paso: Solucion del sistema discretoPara hallar la solucion del sistema reducido: Ka = f, es decir, desplaza-mientos verticales y giros en los nodos, se elige aplicar Eliminacion Gaussiana,function a=elim_gauss(K,F), de esta manera se obtiene:










146







Al reemplazar los desplazamientos obtenidos, en los cuatro polinomios de aproximacion,se tiene:

w1(x) =

(1

900x2 − 1

20x+ 1

)(0) +

(− 1

900x2 +

1

15x

)(−0,001620296408274)+

(1

1800x2 − 1

60x

)(−0,002295435897787),

x ∈ [0, 60],

w2(x) =

(1

1800x2 − 7

60x+ 6

)(−0,002295435897787)+

(− 1

900x2 +

1

5x− 8

)(−0,001369651339956) +

(1

1800x2 − 1

12x+ 3

)(0),

x ∈ [60, 120],

w3(x) =

(1

4608x2 − 1

12x+

567

72

)(0)+

(− 1

2304x2 +

7

48x− 405

36

)(0,000713018561944)+

(1

4608x2 − 1

16x+

315

72

)(0),

x ∈ [120, 216],

w4(x) =

(1

2592x2 − 5

24x+ 28

)(0)+

(− 1

1296x2 +

7

18x− 48

)(−0,000609514802989)+

(1

2592x2 − 13

72x+ 21

)(0).

147


x ∈ [216, 288],

En este caso la maxima deflexion es: 0,002295435897787 pulg. en direccion negativay esta se da en el nodo 3, es decir cuando x = 60pulg. ya que las otras deflexionessignificativas son 0,016755936205684 en el elemento 3 y en direccion positiva, cuandox = 168pulg. y 6,095148029890037 × 10−4 en el elemento 4 y en direccion negativacuando x = 252pulg.




Ahora si se analiza la misma viga del ejemplo 3 considerando elementoscuadraticos y matriz rigidez obtenida con integracion numerica:






148











Los cuatro polinomios de aproximacion, son:

w1(x) =

(1

900x2 − 1

20x+ 1

)(0) +

(−1

900x2 +

1

15x

)(−0,001791729555605)+

(1

1800x2 − 1

60x

)(−0,002619060761684)

x ∈ [0, 60],

w2(x) =

(1

1800x2 − 7

60x+ 6

)(−0,002619060761684)+

(−1

900x2 +

1

5x− 8

)(−0,001560325918053) +

(1

1800x2 − 1

12x+ 3

)(0),

x ∈ [60, 120],

w3(x) =

(1

4608x2 − 1

12x+

567

72

)(0)+

(−1

2304x2 +

7

48x− 405

36

)(0,000714199588121)+

(1

4608x2 − 1

16x+

315

72

)(0),

x ∈ [120, 216],

149


x ∈ [216, 288],

En este caso la maxima deflexion es: 0,002295435897787 pulg. en direccion negativay esta se da en el nodo 3, es decir cuando x = 60pulg. ya que las otras deflexionessignificativas son 0,016755936205684 en el elemento 3 y en direccion positiva, cuandox = 168pulg. y 6,095148029890037 × 10−4 en el elemento 4 y en direccion negativacuando x = 252pulg.




Ahora si se analiza la misma viga del ejemplo 3 considerando elementoscuadraticos y matriz rigidez obtenida con integracion numerica:






148











Los cuatro polinomios de aproximacion, son:

w1(x) =

(1

900x2 − 1

20x+ 1

)(0) +

(−1

900x2 +

1

15x

)(−0,001791729555605)+

(1

1800x2 − 1

60x

)(−0,002619060761684)

x ∈ [0, 60],

w2(x) =

(1

1800x2 − 7

60x+ 6

)(−0,002619060761684)+

(−1

900x2 +

1

5x− 8

)(−0,001560325918053) +

(1

1800x2 − 1

12x+ 3

)(0),

x ∈ [60, 120],

w3(x) =

(1

4608x2 − 1

12x+

567

72

)(0)+

(−1

2304x2 +

7

48x− 405

36

)(0,000714199588121)+

(1

4608x2 − 1

16x+

315

72

)(0),

x ∈ [120, 216],

149


w4(x) =

(1

2592x2 − 5

24x+ 28

)(0)+

(−1

1296x2 +

7

18x− 48

)(−0,000581142815463)

+

(1

2592x2 − 13

72x+ 21

)(0).

x ∈ [216, 288].



En este caso la maxima deflexion es: 0,002619060761684 pulg. en direccion negativay esta se da en el nodo 3, es decir cuando x = 60pulg. ya que las otras deflexionessignificativas son 0,016783690320844 en el elemento 3 en direccion positiva cuandox = 168pulg. y 5,811428154629990 × 10−4 en el elemento 4 en direccion negativacuando x = 252pulg.

Se eligio 4 elementos cuadraticos y se considero la Teorıa de Timoshenko. En estecaso se coloco un nodo donde se aplica la carga puntual (nodo 3) y de esta manera seobtuvo las deflexiones en todos los nodos, comparando estas deflexiones observamosque la maxima deflexion ocurre en el nodo 3. Luego al utilizar el polinomio de apro-ximacion de grado 2 para cada elemento y el criterio de la primera derivada en cadaelemento, se pudo determinar la maxima deflexion en toda la viga. En consecuencia,

150

al comparar todas las deflexiones, se determina que la maxima deflexion ocurre en elnodo 3, justo en direccion donde se aplica la carga puntual (nodo 3). Las deflexionesobtenidas con integracion numerica son mayores a las obtenidas con integracion analıtica.

Tambien se obtienen los giros en los nodos y con estos sustituidos en el polinomio deaproximacion φ permite obtener los giros en cualquier punto de la viga. Ademas se puedecalcular las fuerzas de reacciones en cada elemento usando las deflexiones y los giros enlas ecuaciones elemento:



f = Ka


>> FR=K*U

FR =1.0e+03 *

1.975989605483941-0.0000000016152600.000000000074934

-0.000000007120562-4.999999999890965-0.000000000136672-0.000000000093665-0.0000000002467863.606170064471386

-0.0000000045362690.0000000000936650.0000000064075101.9149780935901930.000000000081956

-4.799999999961011-0.0000000060598772.3028622362315120.000000000580854

entonces:

V1 = 1,975989605483941× 103lb.

151


w4(x) =

(1

2592x2 − 5

24x+ 28

)(0)+

(−1

1296x2 +

7

18x− 48

)(−0,000581142815463)

+

(1

2592x2 − 13

72x+ 21

)(0).

x ∈ [216, 288].



En este caso la maxima deflexion es: 0,002619060761684 pulg. en direccion negativay esta se da en el nodo 3, es decir cuando x = 60pulg. ya que las otras deflexionessignificativas son 0,016783690320844 en el elemento 3 en direccion positiva cuandox = 168pulg. y 5,811428154629990 × 10−4 en el elemento 4 en direccion negativacuando x = 252pulg.

Se eligio 4 elementos cuadraticos y se considero la Teorıa de Timoshenko. En estecaso se coloco un nodo donde se aplica la carga puntual (nodo 3) y de esta manera seobtuvo las deflexiones en todos los nodos, comparando estas deflexiones observamosque la maxima deflexion ocurre en el nodo 3. Luego al utilizar el polinomio de apro-ximacion de grado 2 para cada elemento y el criterio de la primera derivada en cadaelemento, se pudo determinar la maxima deflexion en toda la viga. En consecuencia,

150

al comparar todas las deflexiones, se determina que la maxima deflexion ocurre en elnodo 3, justo en direccion donde se aplica la carga puntual (nodo 3). Las deflexionesobtenidas con integracion numerica son mayores a las obtenidas con integracion analıtica.

Tambien se obtienen los giros en los nodos y con estos sustituidos en el polinomio deaproximacion φ permite obtener los giros en cualquier punto de la viga. Ademas se puedecalcular las fuerzas de reacciones en cada elemento usando las deflexiones y los giros enlas ecuaciones elemento:



f = Ka


>> FR=K*U

FR =1.0e+03 *

1.975989605483941-0.0000000016152600.000000000074934-0.000000007120562-4.999999999890965-0.000000000136672-0.000000000093665-0.0000000002467863.606170064471386-0.0000000045362690.0000000000936650.0000000064075101.9149780935901930.000000000081956-4.799999999961011-0.0000000060598772.3028622362315120.000000000580854

entonces:

V1 = 1,975989605483941× 103lb.

151


M1 = −0,000000001615260× 103lb.pulg.

V2 = 0,000000000074934× 103lb.

M2 = −0,000000007120562× 103lb.pulg.

V3 = −4,999999999890965× 103lb.

M3 = −0,000000000136672× 103lb.pulg.

V4 = −0,000000000093665× 103lb.

M4 = −0,000000000246786× 103lb.pulg.

V5 = 3,606170064471386× 103lb.

M5 = −0,000000004536269× 103lb.pulg.

V6 = 0,000000000093665× 103lb.

M6 = 0,000000006407510× 103lb.pulg.

V7 = 1,914978093590193× 103lb.

M7 = 0,000000000081956× 103lb.pulg.

V8 = −4,799999999961011× 103lb.

M8 = −0,000000006059877× 103lb.pulg.

V9 = 2,302862236231512× 103lb.

M9 = 0,000000000580854× 103lb.pulg.


fe = Keae


f1 =1.0e+05 *

0.0197598960566960.0000000000001390.0000000000001180.000000000000054

152

-0.0197598960566461.185593763399442

fr2 =1.0e+05 *

-0.030240103943341-1.1855937633994460.000000000000116

-0.0000000000000540.030240103943364

-0.628812473201027

fr3 =1.0e+04 *

0.0582159670045846.288124732008792

-0.000000000000119-0.000000000000003-0.058215967004524-0.699391899571646

fr4 =1.0e+03 *

2.4971377638290126.993918995719479

-4.7999999999986790.0000000000000022.302862236170175

-0.000000000001397

153


M1 = −0,000000001615260× 103lb.pulg.

V2 = 0,000000000074934× 103lb.

M2 = −0,000000007120562× 103lb.pulg.

V3 = −4,999999999890965× 103lb.

M3 = −0,000000000136672× 103lb.pulg.

V4 = −0,000000000093665× 103lb.

M4 = −0,000000000246786× 103lb.pulg.

V5 = 3,606170064471386× 103lb.

M5 = −0,000000004536269× 103lb.pulg.

V6 = 0,000000000093665× 103lb.

M6 = 0,000000006407510× 103lb.pulg.

V7 = 1,914978093590193× 103lb.

M7 = 0,000000000081956× 103lb.pulg.

V8 = −4,799999999961011× 103lb.

M8 = −0,000000006059877× 103lb.pulg.

V9 = 2,302862236231512× 103lb.

M9 = 0,000000000580854× 103lb.pulg.


fe = Keae


f1 =1.0e+05 *

0.0197598960566960.0000000000001390.0000000000001180.000000000000054

152

-0.0197598960566461.185593763399442

fr2 =1.0e+05 *

-0.030240103943341-1.1855937633994460.000000000000116-0.0000000000000540.030240103943364-0.628812473201027

fr3 =1.0e+04 *

0.0582159670045846.288124732008792-0.000000000000119-0.000000000000003-0.058215967004524-0.699391899571646

fr4 =1.0e+03 *

2.4971377638290126.993918995719479-4.7999999999986790.0000000000000022.302862236170175-0.000000000001397

153




φ1(x) =

(1

900x2 −

1

20x + 1

)(−0,000057822088392)+

(−

1

900x2+

1

15x

)(−0,000037195514095) +

(1

1800x2 −

1

60x

)(0,000005188372859),

x ∈ [0, 60],

φ2(x) =

(1

1800x2 −

7

60x + 6

)(0,000005188372859)+

(−

1

900x2+

1

5x − 8

)(0,000036632385129) +

(1

1800x2 −

1

12x + 3

)(0,000034779491667),

x ∈ [60, 120],

φ3(x) =

(1

4608x2 −

1

12x +

567

72

)(0,000034779491667)+

(−

1

2304x2+

7

48x −

405

36

)(−0,000000463460766)+

(1

4608x2 −

1

16x +

315

72

)(−0,000024638721828),

x ∈ [120, 216],

φ4(x) =

(1

2592x2 −

5

24x + 28

)(−0,000024638721828)+

( −1

1296x2+

7

18x − 48

)(0,000000004518493) +

(1

2592x2 −

13

72x + 21

)(0,000026003384546).

x ∈ [216, 288].

154

EJEMPLO 4: Viga en voladizo con carga puntual en el extremo libre

La viga en voladizo con carga puntual en el extremo derecho tiene las siguientes carac-terısticas: E = 2, 05 × 108kN/m2, ν = 0, 3, A = 0, 1m2, I = 1

120m4, κ = 5/6 y

P = 100kN . Se determinara los desplazamientos verticales de la viga mostrada a conti-nuacion:

Figura 2.44. Viga en voladizo con carga puntual en el extremo libre

a). Se considera la Teorıa de viga de Timoshenko. Cuando la longitud de la vigaes L = 1m. Se elige cinco elementos lineales y matriz rigidez obtenida conintegracion analıtica.

Aplicando Timoshenko2.m, los desplazamientos en los nodos son:

u1 = 0m deflexion en el nodo 1.

φ1 = 0rad giro en el nodo 1.











Comparando las deflexiones obtenidas y como la carga puntual se aplica en el ex-tremo derecho de la viga, es decir en el nodo 6, entonces la deflexion maxima es:u6 = 0,342920654523001×10−4m en direccion negativa y en el extremo derecho.

La Figura (2.45) muestra las deflexiones obtenidas con el MEF y con la solucionexacta, a lo largo de la viga.

155




φ1(x) =

(1

900x2 −

1

20x + 1

)(−0,000057822088392)+

(−

1

900x2+

1

15x

)(−0,000037195514095) +

(1

1800x2 −

1

60x

)(0,000005188372859),

x ∈ [0, 60],

φ2(x) =

(1

1800x2 −

7

60x + 6

)(0,000005188372859)+

(−

1

900x2+

1

5x − 8

)(0,000036632385129) +

(1

1800x2 −

1

12x + 3

)(0,000034779491667),

x ∈ [60, 120],

φ3(x) =

(1

4608x2 −

1

12x +

567

72

)(0,000034779491667)+

(−

1

2304x2

+7

48x −

405

36

)(−0,000000463460766)+

(1

4608x2 −

1

16x +

315

72

)(−0,000024638721828),

x ∈ [120, 216],

φ4(x) =

(1

2592x2 −

5

24x + 28

)(−0,000024638721828)+

( −1

1296x2+

7

18x − 48

)(0,000000004518493) +

(1

2592x2 −

13

72x + 21

)(0,000026003384546).

x ∈ [216, 288].

154

EJEMPLO 4: Viga en voladizo con carga puntual en el extremo libre

La viga en voladizo con carga puntual en el extremo derecho tiene las siguientes carac-terısticas: E = 2, 05 × 108kN/m2, ν = 0, 3, A = 0, 1m2, I = 1

120m4, κ = 5/6 y

P = 100kN . Se determinara los desplazamientos verticales de la viga mostrada a conti-nuacion:

Figura 2.44. Viga en voladizo con carga puntual en el extremo libre

a). Se considera la Teorıa de viga de Timoshenko. Cuando la longitud de la vigaes L = 1m. Se elige cinco elementos lineales y matriz rigidez obtenida conintegracion analıtica.

Aplicando Timoshenko2.m, los desplazamientos en los nodos son:















155


Figura 2.45. Deflexiones de la viga obtenidas con 5 elementos

b). Se considera la Teorıa de viga de Timoshenko. Cuando la longitud de la vigaes L = 1m. Se elige cinco elementos lineales y matriz rigidez obtenida conintegracion numerica.

Con Timoshenko4.m se obtienen los desplazamientos en los nodos:














156



c). Se considera la Teorıa de viga de Timoshenko. Cuando la longitud de la viga esL = 1m. Se elige 55 elementos lineales y matriz rigidez obtenida con integracionanalıtica.

Comparando las deflexiones obtenidas por medio de Timoshenko5.m y comola carga puntual se aplica en el extremo derecho de la viga, es decir en el nodo56, entonces la deflexion maxima es: u56 = 0,347280277209991 × 10−4m endireccion negativa y en el extremo derecho.


157



b). Se considera la Teorıa de viga de Timoshenko. Cuando la longitud de la vigaes L = 1m. Se elige cinco elementos lineales y matriz rigidez obtenida conintegracion numerica.

Con Timoshenko4.m se obtienen los desplazamientos en los nodos:














156



c). Se considera la Teorıa de viga de Timoshenko. Cuando la longitud de la viga esL = 1m. Se elige 55 elementos lineales y matriz rigidez obtenida con integracionanalıtica.

Comparando las deflexiones obtenidas por medio de Timoshenko5.m y comola carga puntual se aplica en el extremo derecho de la viga, es decir en el nodo56, entonces la deflexion maxima es: u56 = 0,347280277209991 × 10−4m endireccion negativa y en el extremo derecho.


157


Figura 2.47. Deflexiones obtenidas con 55 elementos y L = 1m

d). Se considera la Teorıa de viga de Timoshenko y la de Euler-Bernoulli. Con 55elementos lineales y matriz rigidez obtenida con integracion numerica. Cuando lalongitud de la viga es L = 5m.

Considerando la Teorıa de viga de Timoshenko:

Comparando las deflexiones obtenidas por medio de Euberti2.m y comola carga puntual se aplica en el extremo derecho de la viga, es decir en elnodo 56, entonces la deflexion maxima es: u56 = 0,002514920378953m endireccion negativa y en el extremo derecho.

Considerando la Teorıa de viga de Euler-Bernoulli:


La Figura (2.48) muestra las deflexiones obtenidas considerando las Teorıasde la viga Euler-Bernoulli, de Timoshenko y las deflexiones exactas conside-rando la Teorıa de Euler-Bernoulli.

158


Cuando se considera la Teorıa de Timoshenko, longitud de la viga L = 1m, cinco elemen-tos lineales y matriz rigidez obtenida por integracion numerica; se obtuvo una excelenteaproximacion a las deflexiones exactas frente a las deflexiones obtenidas con integracionanalıtica. Cuando se considero longitud de la viga L = 1m, 55 elementos lineales y matrizrigidez obtenida con integracion analıtica; las deflexiones se superponen a las deflexio-nes exactas. Seguidamente se considero la Teorıa de Euler-Bernoulli, longitud de la vigaL = 5m, con 55 elementos lineales e integracion numerica; obteniendo que las graficasde las deflexiones con el MEF y la exacta, se superponen. Cuando se considero la Teorıade Timoshenko, longitud L = 5m, con 55 elementos lineales e integracion numerica; seobtuvo que las deflexiones son muy proximas a las deflexiones exactas.

159



d). Se considera la Teorıa de viga de Timoshenko y la de Euler-Bernoulli. Con 55elementos lineales y matriz rigidez obtenida con integracion numerica. Cuando lalongitud de la viga es L = 5m.

Considerando la Teorıa de viga de Timoshenko:


Considerando la Teorıa de viga de Euler-Bernoulli:


La Figura (2.48) muestra las deflexiones obtenidas considerando las Teorıasde la viga Euler-Bernoulli, de Timoshenko y las deflexiones exactas conside-rando la Teorıa de Euler-Bernoulli.

158


Cuando se considera la Teorıa de Timoshenko, longitud de la viga L = 1m, cinco elemen-tos lineales y matriz rigidez obtenida por integracion numerica; se obtuvo una excelenteaproximacion a las deflexiones exactas frente a las deflexiones obtenidas con integracionanalıtica. Cuando se considero longitud de la viga L = 1m, 55 elementos lineales y matrizrigidez obtenida con integracion analıtica; las deflexiones se superponen a las deflexio-nes exactas. Seguidamente se considero la Teorıa de Euler-Bernoulli, longitud de la vigaL = 5m, con 55 elementos lineales e integracion numerica; obteniendo que las graficasde las deflexiones con el MEF y la exacta, se superponen. Cuando se considero la Teorıade Timoshenko, longitud L = 5m, con 55 elementos lineales e integracion numerica; seobtuvo que las deflexiones son muy proximas a las deflexiones exactas.

159


EJEMPLO 5: Viga simplemente apoyada con carga puntual

Sea la viga con carga puntual a 0, 2m del extremo izquierdo, con los siguientes datos:E = 2, 05× 108kN/m2, ν = 0, 3, A = 0, 1m2, I = 1

120m4, κ = 5/6 y P = 100kN . Se

determinara los desplazamientos verticales de la viga mostrada a continuacion:

Figura 2.49. Viga simplemente apoyada con carga puntual

a). Se considera la Teorıa de la viga Timoshenko y la de Euler-Bernoulli. Se elige 55elementos lineales y matriz rigidez obtenida con integracion numerica. Cuando lalongitud de la viga es L = 1m.

Considerando la Teorıa de la viga Timoshenko.

Comparando las deflexiones obtenidas con Euberti.m, se observa que ladeflexion maxima es: u23 = 0,293437613384397 × 10−5m en direccionnegativa, a 0, 2m del extremo izquierdo, es decir en el nodo 12, justo en ladireccion donde se aplica la carga puntual.

Considerando la Teorıa viga Euler-Bernoulli.


La Figura (2.50) muestra las deflexiones considerando las Teorıas de viga,Euler-Bernoulli y la de Timoshenko.

160

Figura 2.50. Deflexiones para la viga simplemente apoyada con carga puntual a 0, 2m(55 elementos)

b). Se considera la Teorıa de la viga Timoshenko. Se elige 55 elementos lineales ymatriz rigidez obtenida con integracion analıtica.

Cuando L = 1m:

Comparando las deflexiones obtenidas con Timoshenko52.m, se observaque la deflexion maxima es: u23 = 0,293432324114532 × 10−5m, endireccion negativa, a 0, 2m del extremo izquierdo, es decir en el nodo 12,justo en la direccion donde se aplica la carga puntual.

Cuando L = 1, 5m:


Cuando L = 2m:

Comparando las deflexiones obtenidas con Timoshenko52.m, se observaque la deflexion maxima es: u23 = 0,088625853348558 × 10−5m, en

161


EJEMPLO 5: Viga simplemente apoyada con carga puntual

Sea la viga con carga puntual a 0, 2m del extremo izquierdo, con los siguientes datos:E = 2, 05× 108kN/m2, ν = 0, 3, A = 0, 1m2, I = 1

120m4, κ = 5/6 y P = 100kN . Se

determinara los desplazamientos verticales de la viga mostrada a continuacion:

Figura 2.49. Viga simplemente apoyada con carga puntual

a). Se considera la Teorıa de la viga Timoshenko y la de Euler-Bernoulli. Se elige 55elementos lineales y matriz rigidez obtenida con integracion numerica. Cuando lalongitud de la viga es L = 1m.

Considerando la Teorıa de la viga Timoshenko.


Considerando la Teorıa viga Euler-Bernoulli.


La Figura (2.50) muestra las deflexiones considerando las Teorıas de viga,Euler-Bernoulli y la de Timoshenko.

160


b). Se considera la Teorıa de la viga Timoshenko. Se elige 55 elementos lineales ymatriz rigidez obtenida con integracion analıtica.

Cuando L = 1m:


Cuando L = 1, 5m:


Cuando L = 2m:

Comparando las deflexiones obtenidas con Timoshenko52.m, se observaque la deflexion maxima es: u23 = 0,088625853348558 × 10−5m, en

161


direccion negativa, a 0, 2m del extremo izquierdo, es decir en el nodo 12,justo en la direccion donde se aplica la carga puntual.

La Figura (2.51) muestra las deflexiones obtenidas con el MEF y con la so-lucion exacta, a lo largo de la viga.


Las deflexiones obtenidas, considerando la Teorıa de Euler-Bernoulli y la de Timoshenko,con 55 elementos lineales, longitud de la viga L = 1m, ademas integracion numerica;se observa que con el MEF aplicado a la Teorıa de Timoshenko, las deflexion maximaconverge hacia la direccion donde se aplica la carga puntual. Sin embargo con la Teorıade Euler-Bernoulli, la deflexion maxima no ocurre en la direccion donde se aplica lacarga puntual. Finalmente cuando se eligen 55 elementos lineales, longitudes de la vigaL = 1m,L = 1, 5m, y L = 2m e integracion analıtica y la Teorıa de Timoshenko; seobservo que si la relacion de esbetez L/h aumenta, las deflexiones se alejan un poco dela direccion donde se aplico la carga puntual; y si la relacion de esbeltez L/h disminuye,las deflexiones convergen hacia la direccion donde se aplica la carga puntual.

162

Referencias

[1] Aguiar, R. 2011. Analisis estatico de vigas contınuas con CEINCI-LAB. CEINCI-Publicaciones. http://repositorio.espe.edu.ec/handle/21000/2909. VI Congreso deCiencia y Tecnologıa ESPE 2011. Editorial SANGOLQUI. Ecuador. ResearchGate.https://www.researchgate.net/publication/228371641.

[2] Aguilar, A.; Rodrıguez, H.; De la Puente, J.; Gonzalez, S.; Campos, A.; Garcıa, A. yCordova, A. 2017. Aplicacion didactica con interfaz grafica generada en Matlab,para el analisis del comportamiento fısico de una viga estaticamente determinada.Programacion Matematica y Software 9(2): 1-9. ISSN: 2007-328.

[3] Arnold, D. 1981. Discretization by Finite Elements of a Model Parameter Depen-dent Problem. Numerische Mathematik. Springer-Verlag. Numer. Math. 37, 405-421.

[4] Becker, E; Carey, G. y Oden, J. 1981. Finite Elements. An introduction. VolumeI. Texas Institute for computational Mechanics. The University of Texas at Austin.Pretince-Hall, Inc.

[5] Brezzi, F. y Fortin, M. 1991. Mixed and Hybrid Finite Element Methods, Springer-Verlag. New York.

[6] Brezis, H. 2011. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial DifferentialEquations. Primera edicion. Springer New York.

[7] Carvallo, D.; Sian, N.; Pancieri, V.; y Loeffler, C. 2018. Uma comparacao numeri-ca entre os modelos de viga de Timoshenko e Euler-Bernoulli. XIII SIM-MEC 2018. Universidade Federal do Espırito Santo. Brasil. Primera edicion.https://www.doity.com.br/anais/xiiisimmec2018/trabalho/69212.

direccion negativa, a 0, 2m del extremo izquierdo, es decir en el nodo 12,justo en la direccion donde se aplica la carga puntual.

La Figura (2.51) muestra las deflexiones obtenidas con el MEF y con la so-lucion exacta, a lo largo de la viga.


Las deflexiones obtenidas, considerando la Teorıa de Euler-Bernoulli y la de Timoshenko,con 55 elementos lineales, longitud de la viga L = 1m, ademas integracion numerica;se observa que con el MEF aplicado a la Teorıa de Timoshenko, las deflexion maximaconverge hacia la direccion donde se aplica la carga puntual. Sin embargo con la Teorıade Euler-Bernoulli, la deflexion maxima no ocurre en la direccion donde se aplica lacarga puntual. Finalmente cuando se eligen 55 elementos lineales, longitudes de la vigaL = 1m,L = 1, 5m, y L = 2m e integracion analıtica y la Teorıa de Timoshenko; seobservo que si la relacion de esbetez L/h aumenta, las deflexiones se alejan un poco dela direccion donde se aplico la carga puntual; y si la relacion de esbeltez L/h disminuye,las deflexiones convergen hacia la direccion donde se aplica la carga puntual.

162

Referencias

[1] Aguiar, R. 2011. Analisis estatico de vigas contınuas con CEINCI-LAB. CEINCI-Publicaciones. http://repositorio.espe.edu.ec/handle/21000/2909. VI Congreso deCiencia y Tecnologıa ESPE 2011. Editorial SANGOLQUI. Ecuador. ResearchGate.https://www.researchgate.net/publication/228371641.

[2] Aguilar, A.; Rodrıguez, H.; De la Puente, J.; Gonzalez, S.; Campos, A.; Garcıa, A. yCordova, A. 2017. Aplicacion didactica con interfaz grafica generada en Matlab,para el analisis del comportamiento fısico de una viga estaticamente determinada.Programacion Matematica y Software 9(2): 1-9. ISSN: 2007-328.

[3] Arnold, D. 1981. Discretization by Finite Elements of a Model Parameter Depen-dent Problem. Numerische Mathematik. Springer-Verlag. Numer. Math. 37, 405-421.

[4] Becker, E; Carey, G. y Oden, J. 1981. Finite Elements. An introduction. VolumeI. Texas Institute for computational Mechanics. The University of Texas at Austin.Pretince-Hall, Inc.

[5] Brezzi, F. y Fortin, M. 1991. Mixed and Hybrid Finite Element Methods, Springer-Verlag. New York.

[6] Brezis, H. 2011. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial DifferentialEquations. Primera edicion. Springer New York.

[7] Carvallo, D.; Sian, N.; Pancieri, V.; y Loeffler, C. 2018. Uma comparacao numeri-ca entre os modelos de viga de Timoshenko e Euler-Bernoulli. XIII SIM-MEC 2018. Universidade Federal do Espırito Santo. Brasil. Primera edicion.https://www.doity.com.br/anais/xiiisimmec2018/trabalho/69212.


[8] Cheng, X. ; Han, W. y Huang, H. 1997. Finite element methods for Timoshenkobeam, circular arch and Reissner-Mindlin plate problems. Journal of Computatio-nal and Applied Mathematics.

[9] Edem, I. 2006. The Exact Two-Node Timoshenko Beam Finite Element UsingAnalytical Bending and Shear Rotation Interdependent Shape Functions. Interna-tional Journal for Computational Methods in Engineering Science and Mechanics,7:425-431

[10] Eisenberger, M. 1994. Derivation of shape functions for an exact 4-d.o.f. Ti-moshenko beam element. Communications in numerical methods in engineering,voi. 10, 673-681.

[11] Falsone, G. y Settineri, D. 2011. An Euler-Bernoulli-like finite element method forTimoshenko beams. Mechanics Research Communications 38. 12-16.

[12] Feio, S. y Brandao, A. 2011. O Metodo das Diferencas Finitas aplicado a teoriadas vigas. Revista Tracos. Belem. Brasil. Volumen 13, numero 27, paginas 9-23.

[13] Ferreira, A. 2009. MATLAB Codes for Finite Element Analysis. Solids and Struc-tures. Primera edicion. Springer-Science.

[14] Friedman, Z. and Kosmatka, J. 1993. An improved two-node timoshenko beam fi-nite element. Computers and Structures. Vol. 47, No. 3, pp. 473-481.

[15] Gross, D.; Hauger, W.; Schroder, J.; Wall, W. y Bonet, J. 2011. Engineering Mecha-nics 2. Mechanics of Materials. Primera edicion. Springer-Verlag Berlin Heidelberg.

[16] Larson, M. y Bengzon, F. 2013. The Finite Element Method. Theory, Implementa-tion and Applications. Primera edicion. Springer-Verlag Berlin Heidelberg.

[17] Lee, S.; Koo, J. y Choi, J. 1994. Variational formulation for timoshenko beam ele-ment by separation of deformation mode. Communications in numerical methodsin engineering, vol. 10, 599-610.

[18] Leckie, F. y Dal Bello, D. 2008. Strength and Stiffness of Engineering Systems.Springer.

[19] Lepe, F.; Mora, D. y Rodrıguez, R. 2014. Locking-free finite element method for abending moment formulation of Timoshenko beams. Computers and Mathematicswith Applications. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2014.05.011. Elsevier. Volume68. Issue 3. Pages 118-131.

[20] Li, Z.; Qiao, Z. y Tang, T. 2018. Numerical Solution of Differential Equations. In-troduction to Finite Difference and Finite Element Methods. Primera edicion. Cam-bridge University Press.

164

[21] Loula, A., Hughes, T. y Franca, L. 1987. Petrov-Galerkin formulations of the Ti-moshenko beam problem. Computer Methods in Applied Mechanics and Enginee-ring 63. 115-132. North-Holland.

[22] Luo Yunhua. 1908. Explanation and elimination of shear locking and membranelocking with field consistence approach. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg.162. 249-269.

[23] Mukherjee, S. y Prathap, G. 2002. Analysis of delayed convergence in the three-noded Timoshenko beam element using the function space approach.

[24] Narayanaswami, R. y Adelman, H. 1974. Inclusion of Transverse Shear Defor-mation in Finite Element Displacement Formulations. NASA Langley ResearchCenter, Hampton, Va. TECHNICAL NOTES

[25] Onate, E. 2013. Structural Analysis with the Finite Element Method. Linear Sta-tics. Primera edicion. Springer-Espana. Volumen 2.

[26] Ottosen, N. y Petersson, H. 1992. Introductions to theFinite Element Method. Pri-mera edicion. Printice Hall International. University of Lund, Sweden.

[27] Paiva, C. y Guimaraes, G. 2018. Analise comparativa das teorias de Euler-Bernoulli e de Timoshenko via metodo das diferencas finitas com implementacaocomputacional em Scilab. Revista Tecnologıa. Fortaleza, Brasil. Volumen 39,numero 1, paginas 1-12. http://dx.doi.org/10.5020/23180730.2018.7916

[28] Pytel, A. y Kiusalaas, J. 2012. Mechanics of Materials. Segunda edicion. CengageLearning. USA.

[29] Reddy, J. N. 1993. An Introduction to the Finite Element Method. Segunda edicion.Department of Mechanical Engineering Texas A y M University College Station,Texas Mc Graw- Hill,Inc.

[30] Reddy, B. D. 1998. Introductory Functional Analysis. With Applications to Boun-dary Value Problems and Finite Elements. Primera edicion. Springer-Verlag NewYork.

[31] Reddy, J. N. 2002. Energy Principles and Variational Methods in Applied Mecha-nics. Second edition. Department of Mechanical Engineering Texas A y M. Univer-sity College Station, Texas. John Wiley y Sons, Inc.

[32] Reddy, J. N. 1999. On the dynamic behaviour of the Timoshenko beam finite Ele-ments. Volumen 24. Parte 3. Paginas 175-198. Printed in India. Sadhana.

[33] Reddy, J. N. 1997. On locking-free shear deformable beam finite elements. Com-put. Methods Appl. Mech. Engrg. 149, 113-132.

165


[8] Cheng, X. ; Han, W. y Huang, H. 1997. Finite element methods for Timoshenkobeam, circular arch and Reissner-Mindlin plate problems. Journal of Computatio-nal and Applied Mathematics.

[9] Edem, I. 2006. The Exact Two-Node Timoshenko Beam Finite Element UsingAnalytical Bending and Shear Rotation Interdependent Shape Functions. Interna-tional Journal for Computational Methods in Engineering Science and Mechanics,7:425-431

[10] Eisenberger, M. 1994. Derivation of shape functions for an exact 4-d.o.f. Ti-moshenko beam element. Communications in numerical methods in engineering,voi. 10, 673-681.

[11] Falsone, G. y Settineri, D. 2011. An Euler-Bernoulli-like finite element method forTimoshenko beams. Mechanics Research Communications 38. 12-16.

[12] Feio, S. y Brandao, A. 2011. O Metodo das Diferencas Finitas aplicado a teoriadas vigas. Revista Tracos. Belem. Brasil. Volumen 13, numero 27, paginas 9-23.

[13] Ferreira, A. 2009. MATLAB Codes for Finite Element Analysis. Solids and Struc-tures. Primera edicion. Springer-Science.

[14] Friedman, Z. and Kosmatka, J. 1993. An improved two-node timoshenko beam fi-nite element. Computers and Structures. Vol. 47, No. 3, pp. 473-481.

[15] Gross, D.; Hauger, W.; Schroder, J.; Wall, W. y Bonet, J. 2011. Engineering Mecha-nics 2. Mechanics of Materials. Primera edicion. Springer-Verlag Berlin Heidelberg.

[16] Larson, M. y Bengzon, F. 2013. The Finite Element Method. Theory, Implementa-tion and Applications. Primera edicion. Springer-Verlag Berlin Heidelberg.

[17] Lee, S.; Koo, J. y Choi, J. 1994. Variational formulation for timoshenko beam ele-ment by separation of deformation mode. Communications in numerical methodsin engineering, vol. 10, 599-610.

[18] Leckie, F. y Dal Bello, D. 2008. Strength and Stiffness of Engineering Systems.Springer.

[19] Lepe, F.; Mora, D. y Rodrıguez, R. 2014. Locking-free finite element method for abending moment formulation of Timoshenko beams. Computers and Mathematicswith Applications. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2014.05.011. Elsevier. Volume68. Issue 3. Pages 118-131.

[20] Li, Z.; Qiao, Z. y Tang, T. 2018. Numerical Solution of Differential Equations. In-troduction to Finite Difference and Finite Element Methods. Primera edicion. Cam-bridge University Press.

164

[21] Loula, A., Hughes, T. y Franca, L. 1987. Petrov-Galerkin formulations of the Ti-moshenko beam problem. Computer Methods in Applied Mechanics and Enginee-ring 63. 115-132. North-Holland.

[22] Luo Yunhua. 1908. Explanation and elimination of shear locking and membranelocking with field consistence approach. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg.162. 249-269.

[23] Mukherjee, S. y Prathap, G. 2002. Analysis of delayed convergence in the three-noded Timoshenko beam element using the function space approach.

[24] Narayanaswami, R. y Adelman, H. 1974. Inclusion of Transverse Shear Defor-mation in Finite Element Displacement Formulations. NASA Langley ResearchCenter, Hampton, Va. TECHNICAL NOTES

[25] Onate, E. 2013. Structural Analysis with the Finite Element Method. Linear Sta-tics. Primera edicion. Springer-Espana. Volumen 2.

[26] Ottosen, N. y Petersson, H. 1992. Introductions to theFinite Element Method. Pri-mera edicion. Printice Hall International. University of Lund, Sweden.

[27] Paiva, C. y Guimaraes, G. 2018. Analise comparativa das teorias de Euler-Bernoulli e de Timoshenko via metodo das diferencas finitas com implementacaocomputacional em Scilab. Revista Tecnologıa. Fortaleza, Brasil. Volumen 39,numero 1, paginas 1-12. http://dx.doi.org/10.5020/23180730.2018.7916

[28] Pytel, A. y Kiusalaas, J. 2012. Mechanics of Materials. Segunda edicion. CengageLearning. USA.

[29] Reddy, J. N. 1993. An Introduction to the Finite Element Method. Segunda edicion.Department of Mechanical Engineering Texas A y M University College Station,Texas Mc Graw- Hill,Inc.

[30] Reddy, B. D. 1998. Introductory Functional Analysis. With Applications to Boun-dary Value Problems and Finite Elements. Primera edicion. Springer-Verlag NewYork.

[31] Reddy, J. N. 2002. Energy Principles and Variational Methods in Applied Mecha-nics. Second edition. Department of Mechanical Engineering Texas A y M. Univer-sity College Station, Texas. John Wiley y Sons, Inc.

[32] Reddy, J. N. 1999. On the dynamic behaviour of the Timoshenko beam finite Ele-ments. Volumen 24. Parte 3. Paginas 175-198. Printed in India. Sadhana.

[33] Reddy, J. N. 1997. On locking-free shear deformable beam finite elements. Com-put. Methods Appl. Mech. Engrg. 149, 113-132.

165


[34] Taylor, R., Filippou, F., Saritas,A., Auricchio, F. 2003. A mixed finite elementmethod for beam and frame problems. Computational Mechanics 31. 192-203.Springer-Verlag. USA.

[35] Timoshenko, S. 1957. Resistencia de Materiales. Stanford University. Volumen 1 y2. Edicion traducida. Espasa- Calpe S.A. Madrid. Espana.

[36] Tessler, A. y Dong, S. 1981. On hierarchy of conforming Timoshenko beam ele-ments. Comput and Strucens. Vol. II. No. 3-4. pp. 335-344. Printed in Great Britain.

[37] Turner, Clough, Martin y Topp. 1956. Stiffness and deflection analysis of complexstructures. Journal of the Aeronautical Sciences. Volume 23. Numero 9.

[38] Zienkiewicz, Taylor y Zhu. 2005. The Finite Element Method:Its Basis and Fun-damentals. Sexta edicion. Elsevier.

166

Apendice

Programas en OctaveLos programas que se presentaran, fueron construidos debido a que se realizo previamen-te un algoritmo. Recordemos las partes de un algoritmo.

Algoritmo:

1. INICIO

2. PROCESO

3. SALIDA

Para implementar un programa aplicando el MEF al analisis de vigas, se sugiere:

1. INICIO: Aquı los datos de entrada del programa son leıdos y/o generados, estoincluye:

La geometrıa (longitud del dominio y de cada elemento)

El tipo de elemento (considerando el numero de nodos por elemento) y elnumero de elementos.

Numero total de nodos

Condiciones de contorno especificadas (ingresar los parametros)

Fuerzas puntuales o distribuidas (P, q)

Propiedades del material del elemento (E, I, G, A)

[34] Taylor, R., Filippou, F., Saritas,A., Auricchio, F. 2003. A mixed finite elementmethod for beam and frame problems. Computational Mechanics 31. 192-203.Springer-Verlag. USA.

[35] Timoshenko, S. 1957. Resistencia de Materiales. Stanford University. Volumen 1 y2. Edicion traducida. Espasa- Calpe S.A. Madrid. Espana.

[36] Tessler, A. y Dong, S. 1981. On hierarchy of conforming Timoshenko beam ele-ments. Comput and Strucens. Vol. II. No. 3-4. pp. 335-344. Printed in Great Britain.

[37] Turner, Clough, Martin y Topp. 1956. Stiffness and deflection analysis of complexstructures. Journal of the Aeronautical Sciences. Volume 23. Numero 9.

[38] Zienkiewicz, Taylor y Zhu. 2005. The Finite Element Method:Its Basis and Fun-damentals. Sexta edicion. Elsevier.

166

Apendice

Programas en OctaveLos programas que se presentaran, fueron construidos debido a que se realizo previamen-te un algoritmo. Recordemos las partes de un algoritmo.

Algoritmo:

1. INICIO

2. PROCESO

3. SALIDA

Para implementar un programa aplicando el MEF al analisis de vigas, se sugiere:

1. INICIO: Aquı los datos de entrada del programa son leıdos y/o generados, estoincluye:

La geometrıa (longitud del dominio y de cada elemento)

El tipo de elemento (considerando el numero de nodos por elemento) y elnumero de elementos.

Numero total de nodos

Condiciones de contorno especificadas (ingresar los parametros)

Fuerzas puntuales o distribuidas (P, q)

Propiedades del material del elemento (E, I, G, A)


Numero de desplazamientos de cada nodo por elemento y generar los despla-zamientos globales

2. PROCESO: Generalmente consiste de varios subprogramas cada uno con unproposito especial.

Generacion de las matrices elemento usando integracion numerica

Ensamblaje de las ecuaciones elemento

Imposicion de las condiciones de contorno.

Solucion de las ecuaciones algebraicas.

3. SALIDA: Los datos de salida son procesados en un formato deseado para ser im-presos y/o graficados. Las variables secundarias que se derivan de las solucioneshalladas son calculadas e impresas.

168

Programa Eulerbernoulli.m para obtener la matriz rigidez de cada elemento, elensamble de las matrices rigidez, la imposicion de las condiciones de frontera y las solu-ciones del sistema reducido:

%Para calcular las deflexiones de la viga del ejemplo 1clcclear all

E=2.1*10.ˆ11; %modulo de elasticidad en N/m2, acero: E=210 GPaI=45*10.ˆ-5; %momento de inercia de la sec.n transv. en m4

nel=4; % numero de elementoslong=2; % elemento de igual longitud

%long=[2,2,2,2]; % para ingresar diferentes longitudes

nnodel=2; % numero de nodos por elementondesn=2; % numero de desplazamiento por nodontnodos=(nnodel-1)*nel+1; %numero total de nodos en el sistemadest=ntnodos*ndesn; % desplazamiento total del sistema

F=zeros(dest,1); % inicializacion del vector fuerzaK=zeros(dest,dest); % inicializacion de la matriz rigidezindice=zeros(nnodel*ndesn,1); %inicializacion del vector indice

for iel=1:nel % bucle para el numero total de elementos

indice=desel(iel,nnodel,ndesn); %extrae los desplazamientos del%sistema asociado con el elemento

ke=matrigid(E,I,long); % matriz de rigidez del elemento%ke=matrigid(E,I,long(iel)); %m. rigidez del elemento cuando

%se ingresan diferentes longitudes

K=ensamble(K,ke,indice); %ensamble de las matrices rigidez de%cada elemento

end

F=[0; 0; -1000; 0; 0; -4000/3; 0; 0; 0; 0]; %V. fuerza glob.

169


Numero de desplazamientos de cada nodo por elemento y generar los despla-zamientos globales

2. PROCESO: Generalmente consiste de varios subprogramas cada uno con unproposito especial.

Generacion de las matrices elemento usando integracion numerica

Ensamblaje de las ecuaciones elemento

Imposicion de las condiciones de contorno.

Solucion de las ecuaciones algebraicas.

3. SALIDA: Los datos de salida son procesados en un formato deseado para ser im-presos y/o graficados. Las variables secundarias que se derivan de las solucioneshalladas son calculadas e impresas.

168

Programa Eulerbernoulli.m para obtener la matriz rigidez de cada elemento, elensamble de las matrices rigidez, la imposicion de las condiciones de frontera y las solu-ciones del sistema reducido:

%Para calcular las deflexiones de la viga del ejemplo 1clcclear all

E=2.1*10.ˆ11; %modulo de elasticidad en N/m2, acero: E=210 GPaI=45*10.ˆ-5; %momento de inercia de la sec.n transv. en m4

nel=4; % numero de elementoslong=2; % elemento de igual longitud

%long=[2,2,2,2]; % para ingresar diferentes longitudes

nnodel=2; % numero de nodos por elementondesn=2; % numero de desplazamiento por nodontnodos=(nnodel-1)*nel+1; %numero total de nodos en el sistemadest=ntnodos*ndesn; % desplazamiento total del sistema



indice=desel(iel,nnodel,ndesn); %extrae los desplazamientos del%sistema asociado con el elemento

ke=matrigid(E,I,long); % matriz de rigidez del elemento%ke=matrigid(E,I,long(iel)); %m. rigidez del elemento cuando

%se ingresan diferentes longitudes

K=ensamble(K,ke,indice); %ensamble de las matrices rigidez de%cada elemento

end

F=[0; 0; -1000; 0; 0; -4000/3; 0; 0; 0; 0]; %V. fuerza glob.

169


%Imponiendo condiciones de frontera

condfron

%Resolviendo el sistema matricial reducido Ka=F

a=elim_gauss(K,F)

U=[0;a(1);a(2);a(3);0;a(4);0;a(5);0;0]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Funciones para el programa Eulerbernoulli.m %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

function [ke]=matrigid(E,I,long)

% Matriz rigidez de cada elementoc=E*I/((long).ˆ3);

ke=c*[12 6*long -12 6*(long);...6*(long) 4*(long).ˆ2 -6*(long) 2*(long).ˆ2;...

-12 -6*(long) 12 -6*(long);...6*(long) 2*(long).ˆ2 -6*(long) 4*(long).ˆ2];

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

function [indice]=desel(iel,nnodel,ndesn)

% Calcula los desplazamientos asociados con cada elemento% indice -vector asociados con cada elemento "iel"% iel -numero de elementos% nnodel -numero de nodos por elemento% ndesn -numero de desplazamientos por nodo.

desel = nnodel*ndesn;inicio = (iel-1)*(nnodel-1)*ndesn;

for i=1:deselindice(i)=inicio+i;

end%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

170

function [K]=ensamble(K,ke,indice)

% Ensamble de las matrices rigidez% K matriz rigidez ensamblada% ke matriz rigidez de cada elemento% indice -vector de desplazamiento asociado a cada elemento

desel = length(indice);for i=1:desel

ii=indice(i);for j=1:desel

jj=indice(j);K(ii,jj)=K(ii,jj)+ke(i,j);

endend

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

condfron.m

%Eliminacion de filas y columnas:

EF=[1;5;7;9;10]; %Ingrese filas a eliminarEC=[1;5;7;9;10]; %Ingrese columnas a eliminar

disp(’Imponiendo condiciones de frontera:’)K(EF,:)=[]F(EF,:)=[]K(:,EC)=[]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

function a=elim_gauss(K,F)

%Resuelve el sistema Ka = F utilizando eliminacion gaussiana,%sin intercambiar filas.

% K matriz de coeficientes% F vector de terminos independientes% a vector solucion.

n=size(K,1);KF=[K,F]; % matriz ampliada.for i=1:n

171


%Imponiendo condiciones de frontera

condfron

%Resolviendo el sistema matricial reducido Ka=F

a=elim_gauss(K,F)

U=[0;a(1);a(2);a(3);0;a(4);0;a(5);0;0]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Funciones para el programa Eulerbernoulli.m %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

function [ke]=matrigid(E,I,long)

% Matriz rigidez de cada elementoc=E*I/((long).ˆ3);

ke=c*[12 6*long -12 6*(long);...6*(long) 4*(long).ˆ2 -6*(long) 2*(long).ˆ2;...-12 -6*(long) 12 -6*(long);...6*(long) 2*(long).ˆ2 -6*(long) 4*(long).ˆ2];

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

function [indice]=desel(iel,nnodel,ndesn)

% Calcula los desplazamientos asociados con cada elemento% indice -vector asociados con cada elemento "iel"% iel -numero de elementos% nnodel -numero de nodos por elemento% ndesn -numero de desplazamientos por nodo.

desel = nnodel*ndesn;inicio = (iel-1)*(nnodel-1)*ndesn;

for i=1:deselindice(i)=inicio+i;

end%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

170

function [K]=ensamble(K,ke,indice)

% Ensamble de las matrices rigidez% K matriz rigidez ensamblada% ke matriz rigidez de cada elemento% indice -vector de desplazamiento asociado a cada elemento

desel = length(indice);for i=1:desel

ii=indice(i);for j=1:desel

jj=indice(j);K(ii,jj)=K(ii,jj)+ke(i,j);

endend

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

condfron.m

%Eliminacion de filas y columnas:

EF=[1;5;7;9;10]; %Ingrese filas a eliminarEC=[1;5;7;9;10]; %Ingrese columnas a eliminar

disp(’Imponiendo condiciones de frontera:’)K(EF,:)=[]F(EF,:)=[]K(:,EC)=[]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

function a=elim_gauss(K,F)

%Resuelve el sistema Ka = F utilizando eliminacion gaussiana,%sin intercambiar filas.

% K matriz de coeficientes% F vector de terminos independientes% a vector solucion.

n=size(K,1);KF=[K,F]; % matriz ampliada.for i=1:n

171


% Hacemos ceros por debajo de la diagonal principalfor j=i+1:n

mult=KF(j,i)/KF(i,i);KF(j,:)=KF(j,:)-mult*KF(i,:);

endend

U=KF(:,1:n);y=KF(:,n+1);a=zeros(n,1); % es conveniente dimensionar los vectores

% Ahora se resuelve el sistema triangular superior U*a=ya(n)= y(n)/U(n,n);for i=n-1:-1:1suma=U(i,i+1:n)*a(i+1:n);a(i)=(y(i)-suma)/U(i,i);end

Programa Timoshenko13.m para obtener la matriz rigidez de cada elemento, el ensam-ble de las matrices rigidez, la imposicion de las condiciones de frontera y las solucionesdel sistema reducido:

%Programa para la viga del ejemplo 2: Timoshenko13.m%Matriz rigidez con integracion analıtica y con 4 elementos%Deflexion: lineal y rotacion: linealclcclear

%Datos de la viga de concretoL=288 ; % longitud de la viga en pulgnu=0.2; % coeficiente o razon de Poissonkappa=5/6; % factor de correccion cortanteE=4.351*10ˆ6; % modulo de elasticidad lb/pulg2 (E=30GPa)G=(4.351*10ˆ6)*(2*(1+nu))ˆ-1; % modulo cortanteI=12973.4481; % momento de inercia de secc. transv. pulg4A=278.9994; % area de la seccion de la viga en pulg2

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%nel=4; % numero de elementos%leng=L/nel; % elementos de igual tamanoleng=[60,60,96,72]; % para ingresar diferentes longitudesnnel=2; % numero de nodos por elementondof=2; % numero de grados de libertad por nodo

172

nnode=(nnel-1)*nel+1; % numero total de nodos en el sistemasdof=nnode*ndof; % grados de libertad total en el sistema

F=zeros(sdof,1); % inicializacion del vector fuerzaK=zeros(sdof,sdof); % inicializacion de la matriz rigidezindex=zeros(nel*ndof,1); % inicializacion del vector indice

%Componentes del vector fuerza globalF(3)=-5000; %carga puntual corresp. al respect. desplaz.F(7)=(-100)*(36);F(9)=(-100)*(36);


index=feeldof1(iel,nnel,ndof); %grados de lib. asoc. con elem.

%k=febeam1(E,I,leng,G,A) %m. rigidez para elem. de igual long.k=febeam1(E,I,leng(iel),G,A) %m. rig. para elem. de dif. long.

K=feasmbl1(K,k,index) % ensamble de las matrices elemento

end

%Imponiendo condiciones de fronteracondfron1

%Resolviendo el sistema matricial reducido Ka=Fa=elim_gauss(K,F)

U=[0;a(1);a(2);a(3);0;a(4);0;a(5);0;a(6)]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Funciones para el programa Timoshenko13.m %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

function [index]=feeldof1(iel,nnel,ndof)%----------------------------------------------------------%Calcula los grados de libertad asociados con cada elemento% index -vector de grados de libertad asociados con elem.% iel - numero de elementos para el sistema% nnel - numero de nodos por elemento% ndof - numero de grados de libertad por nodo

173


% Hacemos ceros por debajo de la diagonal principalfor j=i+1:n

mult=KF(j,i)/KF(i,i);KF(j,:)=KF(j,:)-mult*KF(i,:);

endend

U=KF(:,1:n);y=KF(:,n+1);a=zeros(n,1); % es conveniente dimensionar los vectores

% Ahora se resuelve el sistema triangular superior U*a=ya(n)= y(n)/U(n,n);for i=n-1:-1:1suma=U(i,i+1:n)*a(i+1:n);a(i)=(y(i)-suma)/U(i,i);end

Programa Timoshenko13.m para obtener la matriz rigidez de cada elemento, el ensam-ble de las matrices rigidez, la imposicion de las condiciones de frontera y las solucionesdel sistema reducido:

%Programa para la viga del ejemplo 2: Timoshenko13.m%Matriz rigidez con integracion analıtica y con 4 elementos%Deflexion: lineal y rotacion: linealclcclear

%Datos de la viga de concretoL=288 ; % longitud de la viga en pulgnu=0.2; % coeficiente o razon de Poissonkappa=5/6; % factor de correccion cortanteE=4.351*10ˆ6; % modulo de elasticidad lb/pulg2 (E=30GPa)G=(4.351*10ˆ6)*(2*(1+nu))ˆ-1; % modulo cortanteI=12973.4481; % momento de inercia de secc. transv. pulg4A=278.9994; % area de la seccion de la viga en pulg2

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%nel=4; % numero de elementos%leng=L/nel; % elementos de igual tamanoleng=[60,60,96,72]; % para ingresar diferentes longitudesnnel=2; % numero de nodos por elementondof=2; % numero de grados de libertad por nodo

172

nnode=(nnel-1)*nel+1; % numero total de nodos en el sistemasdof=nnode*ndof; % grados de libertad total en el sistema


%Componentes del vector fuerza globalF(3)=-5000; %carga puntual corresp. al respect. desplaz.F(7)=(-100)*(36);F(9)=(-100)*(36);



%k=febeam1(E,I,leng,G,A) %m. rigidez para elem. de igual long.k=febeam1(E,I,leng(iel),G,A) %m. rig. para elem. de dif. long.


end



U=[0;a(1);a(2);a(3);0;a(4);0;a(5);0;a(6)]


function [index]=feeldof1(iel,nnel,ndof)%----------------------------------------------------------%Calcula los grados de libertad asociados con cada elemento% index -vector de grados de libertad asociados con elem.% iel - numero de elementos para el sistema% nnel - numero de nodos por elemento% ndof - numero de grados de libertad por nodo

173


%-----------------------------------------------------------

edof = nnel*ndof;start = (iel-1)*(nnel-1)*ndof;

for i=1:edofindex(i)=start+i;

end%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

function [k]=febeam1(E,I,leng,G,A)%--------------------------------------------------------------% Matriz rigidez con integracion analıtica% k - matriz rigidez de cada elemento% E - modulo de elasticidad% I - segundo momento de inercia de la seccion transversal% leng - longitud del elemento% G - modulo cortante% A - area de la seccion transversal%--------------------------------------------------------------

c=E*I/leng;d=(5/6)*G*A/(4*leng);k=[4*d 2*d*leng -4*d 2*d*leng;...2*d*leng c+(4/3)*d*lengˆ2 -2*d*leng -c+(4/6)*d*lengˆ2;...-4*d -2*d*leng 4*d -2*d*leng;...2*d*leng -c+(4/6)*d*lengˆ2 -2*d*leng c+(4/3)*d*lengˆ2];

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

function [K]=feasmbl1(K,k,index)%----------------------------------------------------------% Ensamble de las matrices elemento% Descripcion:% K - matriz global inicializada% k - matriz rigidez de cada elemento% index - vector de grados de lib. asociados con los elem.%----------------------------------------------------------

edof = length(index);for i=1:edof

174

ii=index(i);for j=1:edof

jj=index(j);K(ii,jj)=K(ii,jj)+k(i,j);

endend

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

condfron1.m

%Eliminacion de filas y columnas

aux = [1,5,7,9]; %Ingrese filas y columnas a eliminardisp(’Imponiendo condiciones de frontera:’)K(aux,:)=[]F(aux,:)=[]K(:,aux)=[]

Programa Timoshenko14.m para obtener la matriz rigidez de cada elemento, el ensam-ble de las matrices rigidez, la imposicion de las condiciones de frontera y las solucionesdel sistema reducido.

%Programa para la viga del ejemplo 2: Timoshenko14.m%Matriz rigidez con integracion numerica y con 4 elementos%Deflexion: lineal y rotacion: linealclcclear

%Datos de la viga de concretoL=288 ; % longitud de la viga en pulgnu=0.2; % coeficiente o razon de Poissonkappa=5/6; % factor de correccion cortanteE=4.351*10ˆ6; % modulo de elasticidad lb/pulg2 (E=30GPa)G=(4.351*10ˆ6)*(2*(1+nu))ˆ-1; % modulo cortanteI=12973.4481; % momento de inercia de la secc. transv. pulg4A=278.9994; % area de la seccion de la viga en pulg2

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5nel=4; % numero de elementos%leng=L/nel; % elementos de igual tamanoleng=[60,60,96,72]; % para ingresar diferentes longitudesnnel=2; % numero de nodos por elemento

175


%-----------------------------------------------------------

edof = nnel*ndof;start = (iel-1)*(nnel-1)*ndof;

for i=1:edofindex(i)=start+i;

end%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

function [k]=febeam1(E,I,leng,G,A)%--------------------------------------------------------------% Matriz rigidez con integracion analıtica% k - matriz rigidez de cada elemento% E - modulo de elasticidad% I - segundo momento de inercia de la seccion transversal% leng - longitud del elemento% G - modulo cortante% A - area de la seccion transversal%--------------------------------------------------------------

c=E*I/leng;d=(5/6)*G*A/(4*leng);k=[4*d 2*d*leng -4*d 2*d*leng;...2*d*leng c+(4/3)*d*lengˆ2 -2*d*leng -c+(4/6)*d*lengˆ2;...-4*d -2*d*leng 4*d -2*d*leng;...2*d*leng -c+(4/6)*d*lengˆ2 -2*d*leng c+(4/3)*d*lengˆ2];

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

function [K]=feasmbl1(K,k,index)%----------------------------------------------------------% Ensamble de las matrices elemento% Descripcion:% K - matriz global inicializada% k - matriz rigidez de cada elemento% index - vector de grados de lib. asociados con los elem.%----------------------------------------------------------

edof = length(index);for i=1:edof

174

ii=index(i);for j=1:edof

jj=index(j);K(ii,jj)=K(ii,jj)+k(i,j);

endend

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

condfron1.m




%Programa para la viga del ejemplo 2: Timoshenko14.m%Matriz rigidez con integracion numerica y con 4 elementos%Deflexion: lineal y rotacion: linealclcclear

%Datos de la viga de concretoL=288 ; % longitud de la viga en pulgnu=0.2; % coeficiente o razon de Poissonkappa=5/6; % factor de correccion cortanteE=4.351*10ˆ6; % modulo de elasticidad lb/pulg2 (E=30GPa)G=(4.351*10ˆ6)*(2*(1+nu))ˆ-1; % modulo cortanteI=12973.4481; % momento de inercia de la secc. transv. pulg4A=278.9994; % area de la seccion de la viga en pulg2

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5nel=4; % numero de elementos%leng=L/nel; % elementos de igual tamanoleng=[60,60,96,72]; % para ingresar diferentes longitudesnnel=2; % numero de nodos por elemento

175


ndof=2; % numero de grados de libertad por nodonnode=(nnel-1)*nel+1; % numero total de nodos en el sistemasdof=nnode*ndof; % grados de libertad total en el sistema


%Componentes del vector fuerza globalF(3)=-5000; %carga puntual corresp. al desplaz. respect.F(7)=(-100)*(36);F(9)=(-100)*(36);

for iel=1:nel %bucle para el numero total de elementos

index=feeldof1(iel,nnel,ndof); %grados de lib. asociados con el.

%k=febeam2(E,I,leng,G,A) %m. rigidez para elemento de igual long.k=febeam2(E,I,leng(iel),G,A) %m. rigidez para elem. de dif. long.


end



U=[0;a(1);a(2);a(3);0;a(4);0;a(5);0;a(6)]


function [k]=febeam2(E,I,leng,G,A)%--------------------------------------------------------------% Matriz rigidez con integracion numerica% k - matriz rigidez de cada elemento% E - modulo de elasticidad% I - segundo momento de inercia de la seccion transversal% leng - longitud del elemento

176

% G - modulo cortante% A - area de la seccion transversal%--------------------------------------------------------------

c=E*I/leng;d=(5/6)*G*A/(4*leng);k=[4*d 2*d*leng -4*d 2*d*leng;...2*d*leng c+d*lengˆ2 -2*d*leng -c+d*lengˆ2;...-4*d -2*d*leng 4*d -2*d*leng;...2*d*leng -c+d*lengˆ2 -2*d*leng c+d*lengˆ2];


%Programa para la viga del ejemplo 3: Timoshenko15.m%Matriz rigidez con integracion analıtica y con 4 elementos%Deflexion: cuadratica y rotacion: cuadraticaclcclear

%Datos de la viga de concretoL=288 ; % longitud de la viga en pulgnu=0.2; % coeficiente o razon de Poissonkappa=5/6; % factor de correccion cortanteE=4.351*10ˆ6; % modulo de elasticidad lb/pulg2 (E=30GPa)G=(4.351*10ˆ6)*(2*(1+nu))ˆ-1; % modulo cortanteI=12973.4481; % momento de inercia de la sec. transv. pulg4A=278.9994; % area de la seccion de la viga en pulg2

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%nel=4; % numero de elementos%leng=L/nel; % elementos de igual tamanoleng=[60,60,96,72]; % para ingresar diferentes longitudesnnel=3; % numero de nodos por elementondof=2; % numero de grados de libertad por nodonnode=(nnel-1)*nel+1; % numero total de nodos en el sistemasdof=nnode*ndof; % grados de libertad total en el sistema


177


ndof=2; % numero de grados de libertad por nodonnode=(nnel-1)*nel+1; % numero total de nodos en el sistemasdof=nnode*ndof; % grados de libertad total en el sistema


%Componentes del vector fuerza globalF(3)=-5000; %carga puntual corresp. al desplaz. respect.F(7)=(-100)*(36);F(9)=(-100)*(36);

for iel=1:nel %bucle para el numero total de elementos

index=feeldof1(iel,nnel,ndof); %grados de lib. asociados con el.

%k=febeam2(E,I,leng,G,A) %m. rigidez para elemento de igual long.k=febeam2(E,I,leng(iel),G,A) %m. rigidez para elem. de dif. long.


end



U=[0;a(1);a(2);a(3);0;a(4);0;a(5);0;a(6)]


function [k]=febeam2(E,I,leng,G,A)%--------------------------------------------------------------% Matriz rigidez con integracion numerica% k - matriz rigidez de cada elemento% E - modulo de elasticidad% I - segundo momento de inercia de la seccion transversal% leng - longitud del elemento

176

% G - modulo cortante% A - area de la seccion transversal%--------------------------------------------------------------

c=E*I/leng;d=(5/6)*G*A/(4*leng);k=[4*d 2*d*leng -4*d 2*d*leng;...2*d*leng c+d*lengˆ2 -2*d*leng -c+d*lengˆ2;...-4*d -2*d*leng 4*d -2*d*leng;...2*d*leng -c+d*lengˆ2 -2*d*leng c+d*lengˆ2];


%Programa para la viga del ejemplo 3: Timoshenko15.m%Matriz rigidez con integracion analıtica y con 4 elementos%Deflexion: cuadratica y rotacion: cuadraticaclcclear

%Datos de la viga de concretoL=288 ; % longitud de la viga en pulgnu=0.2; % coeficiente o razon de Poissonkappa=5/6; % factor de correccion cortanteE=4.351*10ˆ6; % modulo de elasticidad lb/pulg2 (E=30GPa)G=(4.351*10ˆ6)*(2*(1+nu))ˆ-1; % modulo cortanteI=12973.4481; % momento de inercia de la sec. transv. pulg4A=278.9994; % area de la seccion de la viga en pulg2

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%nel=4; % numero de elementos%leng=L/nel; % elementos de igual tamanoleng=[60,60,96,72]; % para ingresar diferentes longitudesnnel=3; % numero de nodos por elementondof=2; % numero de grados de libertad por nodonnode=(nnel-1)*nel+1; % numero total de nodos en el sistemasdof=nnode*ndof; % grados de libertad total en el sistema


177


%Componentes del vector fuerza globalF(5)=-5000; %carga puntual corresp. al desplaz. respect.F(13)=(-100)*(12);F(15)=(-100)*(48);F(17)=(-100)*(12);



%k=febeam4(E,I,leng,G,A) %m. rigidez para elem. de igual long.k=febeam4(E,I,leng(iel),G,A) %m. rigidez para elem. de dif. long.


end



U=[0;a(1);a(2);a(3);a(4);a(5);a(6);a(7);0;a(8);a(9);a(10);0;...a(11);a(12);a(13);0;a(14)]


function [k]=febeam4(E,I,leng,G,A)%--------------------------------------------------------------%Matriz rigidez con integracion analıtica%Deflexion: cuadratica y Giro: cuadratica%--------------------------------------------------------------% k - matriz rigidez de cada elemento% E - modulo de elasticidad% I - segundo momento de inercia de la seccion transversal% leng - longitud del elemento% G - modulo cortante% A - area de la seccion transversal%---------------------------------------------------------------

178

c=E*I/leng;d=(5/6)*G*A;k=[7*d/(3*leng) 1*d/2 -8*d/(3*leng) 2*d/3 ...1*d/(3*leng) -1*d/6;1*d/2 (7/3)*c+(2/15)*d*leng -2*d/3 ...(-8/3)*c+(1/15)*d*leng 1*d/6 (1/3)*c-(1/30)*d*leng ;-8*d/(3*leng) -2*d/3 16*d/(3*leng) 0 ...-8*d/(3*leng) 2*d/3;2*d/3 (-8/3)*c+(1/15)*d*leng 0 ...(16/3)*c+(8/15)*d*leng -2*d/3 (-8/3)*c+(1/15)*d*leng ;1*d/(3*leng) 1*d/6 -8*d/(3*leng) -2*d/3 ...7*d/(3*leng) -1*d/2;-1*d/6 (1/3)*c-(1*d/30)*leng 2*d/3 ...(-8/3)*c+(1/15)*d*leng -1*d/2 (7/3)*c+(2/15)*d*leng];

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

condfron2.m




%Programa para la viga del ejemplo 3: Timoshenko16.m%Matriz rigidez con integracion numerica y con 4 elementos%Deflexion: cuadratica y rotacion: cuadraticaclcclear

%Datos de la viga de concretoL=288 ; % longitud de la viga en pulgnu=0.2; % coeficiente o razon de Poissonkappa=5/6; % factor de correccion cortanteE=4.351*10ˆ6; % modulo de elasticidad lb/pulg2 (E=30GPa)G=(4.351*10ˆ6)*(2*(1+nu))ˆ-1; % modulo cortante

179


%Componentes del vector fuerza globalF(5)=-5000; %carga puntual corresp. al desplaz. respect.F(13)=(-100)*(12);F(15)=(-100)*(48);F(17)=(-100)*(12);



%k=febeam4(E,I,leng,G,A) %m. rigidez para elem. de igual long.k=febeam4(E,I,leng(iel),G,A) %m. rigidez para elem. de dif. long.


end





function [k]=febeam4(E,I,leng,G,A)%--------------------------------------------------------------%Matriz rigidez con integracion analıtica%Deflexion: cuadratica y Giro: cuadratica%--------------------------------------------------------------% k - matriz rigidez de cada elemento% E - modulo de elasticidad% I - segundo momento de inercia de la seccion transversal% leng - longitud del elemento% G - modulo cortante% A - area de la seccion transversal%---------------------------------------------------------------

178

c=E*I/leng;d=(5/6)*G*A;k=[7*d/(3*leng) 1*d/2 -8*d/(3*leng) 2*d/3 ...1*d/(3*leng) -1*d/6;1*d/2 (7/3)*c+(2/15)*d*leng -2*d/3 ...(-8/3)*c+(1/15)*d*leng 1*d/6 (1/3)*c-(1/30)*d*leng ;-8*d/(3*leng) -2*d/3 16*d/(3*leng) 0 ...-8*d/(3*leng) 2*d/3;2*d/3 (-8/3)*c+(1/15)*d*leng 0 ...(16/3)*c+(8/15)*d*leng -2*d/3 (-8/3)*c+(1/15)*d*leng ;1*d/(3*leng) 1*d/6 -8*d/(3*leng) -2*d/3 ...7*d/(3*leng) -1*d/2;

-1*d/6 (1/3)*c-(1*d/30)*leng 2*d/3 ...(-8/3)*c+(1/15)*d*leng -1*d/2 (7/3)*c+(2/15)*d*leng];

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

condfron2.m




%Programa para la viga del ejemplo 3: Timoshenko16.m%Matriz rigidez con integracion numerica y con 4 elementos%Deflexion: cuadratica y rotacion: cuadraticaclcclear

%Datos de la viga de concretoL=288 ; % longitud de la viga en pulgnu=0.2; % coeficiente o razon de Poissonkappa=5/6; % factor de correccion cortanteE=4.351*10ˆ6; % modulo de elasticidad lb/pulg2 (E=30GPa)G=(4.351*10ˆ6)*(2*(1+nu))ˆ-1; % modulo cortante

179


I=12973.4481; % momento de inercia de la sec. transv. pulg4A=278.9994; % area de la seccion de la viga en pulg2

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5nel=4; % numero de elementos%leng=L/nel; % elementos de igual tamanoleng=[60,60,96,72]; % para ingresar diferentes longitudesnnel=3; % numero de nodos por elementondof=2; % numero de grados de libertad por nodonnode=(nnel-1)*nel+1; % numero total de nodos en el sistemasdof=nnode*ndof; % grados de libertad total en el sistema


%Componentes del vector fuerza globalF(5)=-5000; % carga puntual corresp. al desplaz. respect.F(13)=(-100)*(12);F(15)=(-100)*(48);F(17)=(-100)*(12);



%k=febeam5(E,I,leng,G,A) %m. rigidez para elem. de igual long.k=febeam5(E,I,leng(iel),G,A) %m. rigidez elem. de dif. long.


end




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

180

% Funciones para el programa Timoshenko16.m %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

function [k]=febeam5(E,I,leng,G,A)%--------------------------------------------------------------%Matriz rigidez de flexion con integracion numerica%Deflexion: cuadratica y Giro: cuadratica

%--------------------------------------------------------------% k - matriz rigidez de cada elemento% E - modulo de elasticidad% I - segundo momento de inercia de la seccion transversal% leng - longitud del elemento% G - modulo cortante% A - area de la seccion transversal%---------------------------------------------------------------

c=E*I/((5/6)*G*A*lengˆ2);d=((5/6)*G*A)/(6*leng);k= d*[ 14 3*leng -16 4*leng 2 -leng ;...3*leng ((2/3)+14*c)*lengˆ2 -4*leng ((2/3)-16*c)*lengˆ2 ...leng ((-1/3)+2*c)*lengˆ2 ;-16 -4*leng 32 0 -16 4*leng;...4*leng ((2/3)-16*c)*lengˆ2 0 ((8/3)+32*c)*lengˆ2 ...-4*leng ((2/3)-16*c)*lengˆ2 ;2 leng -16 -4*leng 14 -3*leng;...-leng ((-1/3)+2*c)*lengˆ2 4*leng ((2/3)-16*c)*lengˆ2 ...-3*leng ((2/3)+14*c)*lengˆ2];


%%Programa para la viga del ejemplo 4: Timoshenko2.m%Matriz rigidez con integracion analıtica y con 5 elementos

clcclear

%Datos de la vigaL=1 ; % longitud de la viganu=0.3; % coeficiente o razon de Poissonkappa=5/6; % factor de correccion cortante

181


I=12973.4481; % momento de inercia de la sec. transv. pulg4A=278.9994; % area de la seccion de la viga en pulg2

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5nel=4; % numero de elementos%leng=L/nel; % elementos de igual tamanoleng=[60,60,96,72]; % para ingresar diferentes longitudesnnel=3; % numero de nodos por elementondof=2; % numero de grados de libertad por nodonnode=(nnel-1)*nel+1; % numero total de nodos en el sistemasdof=nnode*ndof; % grados de libertad total en el sistema


%Componentes del vector fuerza globalF(5)=-5000; % carga puntual corresp. al desplaz. respect.F(13)=(-100)*(12);F(15)=(-100)*(48);F(17)=(-100)*(12);



%k=febeam5(E,I,leng,G,A) %m. rigidez para elem. de igual long.k=febeam5(E,I,leng(iel),G,A) %m. rigidez elem. de dif. long.


end




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

180

% Funciones para el programa Timoshenko16.m %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

function [k]=febeam5(E,I,leng,G,A)%--------------------------------------------------------------%Matriz rigidez de flexion con integracion numerica%Deflexion: cuadratica y Giro: cuadratica

%--------------------------------------------------------------% k - matriz rigidez de cada elemento% E - modulo de elasticidad% I - segundo momento de inercia de la seccion transversal% leng - longitud del elemento% G - modulo cortante% A - area de la seccion transversal%---------------------------------------------------------------

c=E*I/((5/6)*G*A*lengˆ2);d=((5/6)*G*A)/(6*leng);k= d*[ 14 3*leng -16 4*leng 2 -leng ;...3*leng ((2/3)+14*c)*lengˆ2 -4*leng ((2/3)-16*c)*lengˆ2 ...leng ((-1/3)+2*c)*lengˆ2 ;-16 -4*leng 32 0 -16 4*leng;...4*leng ((2/3)-16*c)*lengˆ2 0 ((8/3)+32*c)*lengˆ2 ...-4*leng ((2/3)-16*c)*lengˆ2 ;2 leng -16 -4*leng 14 -3*leng;...-leng ((-1/3)+2*c)*lengˆ2 4*leng ((2/3)-16*c)*lengˆ2 ...-3*leng ((2/3)+14*c)*lengˆ2];


%%Programa para la viga del ejemplo 4: Timoshenko2.m%Matriz rigidez con integracion analıtica y con 5 elementos

clcclear

%Datos de la vigaL=1 ; % longitud de la viganu=0.3; % coeficiente o razon de Poissonkappa=5/6; % factor de correccion cortante

181


E=2.05*10ˆ11; % modulo de elasticidadG=(2.05*10ˆ11)*(2*(1+nu))ˆ-1; % modulo cortanteI=(0.1*1ˆ3)*12ˆ-1; % momento de inercia de la sec. transv.A=0.1; % area de la seccion de la vigaP=-100000; % carga puntual

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5nel=5; % numero de elementosleng=L/nel; % elementos de igual longitudnnel=2; % numero de nodos por elementondof=2; % numero de grados de libertad por nodonnode=(nnel-1)*nel+1; % numero total de nodos en el sistemasdof=nnode*ndof; % Grados de libertad total

F=zeros(sdof,1); % inicializacion del vector fuerzaK=zeros(sdof,sdof); % inicializacion del sistema matricialindex=zeros(nel*ndof,1); % inicializacion del vector indice

%Componentes del vector fuerza globalF(11)=-100000; %carga puntual corresp. al desplaz. respect.


index=feeldof1(iel,nnel,ndof); %extraer grados lib. del elem.

k=febeam1(E,I,leng,G,A) % matriz rigidez para un elemento

K=feasmbl1(K,k,index) % ensamble de cada matriz elemento

end

%Imponiendo condiciones de fronteraaux = [1,2];K(aux,:)=[]F(aux,:)=[]K(:,aux)=[]

%Resuleve el sistema matrcial reducido Ka=Fa=elim_gauss(K,F)

U=[0;0;a]

182

%% Vector de deflexiones o desplazamientos verticalesfor i=1:nnodet=(i-1)*ndof+1;w(i)=U(t);end

%% Puntos de desplazamientos veticales en el planonodeCoordinates=linspace(0,L,nel+1)’;plot(nodeCoordinates,w,’*r--’)hold on

%% Solucion analıtica segun la Teorıa de Timoshenko%% Viga en voladizo con carga puntual a L mx=0:(L/nel):L;W=((-P*x.ˆ3)/(E*I*6))+((P*L*x.ˆ2)/(2*E*I))+((P*x)/((kappa)*G*A));plot(x,W,’ob--’)grid

xlabel(’Longitud de la viga’)ylabel(’Desplazamiento de la viga’)

legend(’Solucion MEF(integracion analıtica)’,’Solucion Analıtica’)


%%Programa para la viga del ejmplo 4: Timoshenko4.m%Matriz rigidez con integracion numerica y con 5 elementos

clcclear

%Datos de la vigaL=1 ; % longitud de la viganu=0.3; % coeficiente o razon de Poissonkappa=5/6; % factor de correccion cortanteE=2.05*10ˆ11; % modulo de elasticidadG=(2.05*10ˆ11)*(2*(1+nu))ˆ-1; % modulo cortanteI=(0.1*1ˆ3)*12ˆ-1; % momento de inercia de la sec. transv.A=0.1; % area de la seccion de la vigaP=-100000; % carga puntual

183


E=2.05*10ˆ11; % modulo de elasticidadG=(2.05*10ˆ11)*(2*(1+nu))ˆ-1; % modulo cortanteI=(0.1*1ˆ3)*12ˆ-1; % momento de inercia de la sec. transv.A=0.1; % area de la seccion de la vigaP=-100000; % carga puntual

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5nel=5; % numero de elementosleng=L/nel; % elementos de igual longitudnnel=2; % numero de nodos por elementondof=2; % numero de grados de libertad por nodonnode=(nnel-1)*nel+1; % numero total de nodos en el sistemasdof=nnode*ndof; % Grados de libertad total

F=zeros(sdof,1); % inicializacion del vector fuerzaK=zeros(sdof,sdof); % inicializacion del sistema matricialindex=zeros(nel*ndof,1); % inicializacion del vector indice



index=feeldof1(iel,nnel,ndof); %extraer grados lib. del elem.

k=febeam1(E,I,leng,G,A) % matriz rigidez para un elemento


end



U=[0;0;a]

182







%%Programa para la viga del ejmplo 4: Timoshenko4.m%Matriz rigidez con integracion numerica y con 5 elementos

clcclear


183


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5nel=5; % numero de elementosleng=L/nel; % elementos de igual longitudnnel=2; % numero de nodos por elementondof=2; % numero de grados de libertad por nodonnode=(nnel-1)*nel+1; % numero total de nodossdof=nnode*ndof; % numero total de grados de libertad



for iel=1:nel % loop for the total number of elements

index=feeldof1(iel,nnel,ndof); %extrae grad. de lib. para elem.k=febeam2(E,I,leng,G,A) % matriz rigidez para cada elemento

K=feasmbl1(K,k,index) %ensamble para cada m. rigidez en el sist.end



U=[0;0;a]


%% Puntos de desplazamientos veticales en el planonodeCoordinates=linspace(0,L,nel+1)’;

184

plot(nodeCoordinates,w,’*r--’)hold on



legend(’Solucion MEF(integracion numerica)’,’Solucion Analıtica’)


%%Programa para la viga del ejemplo 4: Timoshenko5.m%Matriz rigidez con integracion analıtica y con 55 elementos%Deflexion: lineal y rotacion: lineal

clcclear


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%nel=55; % numero de elementosleng=L/nel; % elementos de igual longitudnnel=2; % numero de nodos por elementondof=2; % numero de grados de libertad por nodonnode=(nnel-1)*nel+1; % numero total de nodossdof=nnode*ndof; % numero total de grados de libertad

185





for iel=1:nel % loop for the total number of elements

index=feeldof1(iel,nnel,ndof); %extrae grad. de lib. para elem.k=febeam2(E,I,leng,G,A) % matriz rigidez para cada elemento

K=feasmbl1(K,k,index) %ensamble para cada m. rigidez en el sist.end



U=[0;0;a]


%% Puntos de desplazamientos veticales en el planonodeCoordinates=linspace(0,L,nel+1)’;

184

plot(nodeCoordinates,w,’*r--’)hold on



legend(’Solucion MEF(integracion numerica)’,’Solucion Analıtica’)


%%Programa para la viga del ejemplo 4: Timoshenko5.m%Matriz rigidez con integracion analıtica y con 55 elementos%Deflexion: lineal y rotacion: lineal

clcclear


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%nel=55; % numero de elementosleng=L/nel; % elementos de igual longitudnnel=2; % numero de nodos por elementondof=2; % numero de grados de libertad por nodonnode=(nnel-1)*nel+1; % numero total de nodossdof=nnode*ndof; % numero total de grados de libertad

185


F=zeros(sdof,1); % inicializacion del vector fuerzaK=zeros(sdof,sdof); % inicializacion de la matriz del sistemaindex=zeros(nel*ndof,1); % inicializacion del vector indice

%Componentes del vector fuerza globalF(111)=-100000; % carga puntual corresp. al desplaz. respect.


index=feeldof1(iel,nnel,ndof); %extrae grados de libertad

k=febeam1(E,I,leng,G,A) % matriz rigidez para cada elemento


end



U=[0;0;a]



%% Solucion analıtica segun la Teorıa de Timoshenko%% Viga en voladizo con carga puntual a L mx=0:(L/nel):L;

186

W=((-P*x.ˆ3)/(E*I*6))+((P*L*x.ˆ2)/(2*E*I))+((P*x)/((kappa)*G*A));plot(x,W,’ob--’)grid



Programa Euberti2.m para obtener la matriz rigidez de cada elemento, el ensamblede las matrices rigidez, la imposicion de las condiciones de frontera y las soluciones delsistema reducido.

%Programa para la viga del ejemplo 4: Euberti2.m%Viga con carga puntual en el extremo derecho%Matriz de rigidez con integracion numerica para Timoshenko

clcclear


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Para la viga Timoshenko

nel=55; % numero de elementosleng=L/nel; % elementos de igual longitudnnel=2; % numero de nodos por elementondof=2; % numero de grados de libertad por nodonnode=(nnel-1)*nel+1; % numero total de nodossdof=nnode*ndof; % numero total de grados de libertad


187





index=feeldof1(iel,nnel,ndof); %extrae grados de libertad



end



U=[0;0;a]



%% Solucion analıtica segun la Teorıa de Timoshenko%% Viga en voladizo con carga puntual a L mx=0:(L/nel):L;

186

W=((-P*x.ˆ3)/(E*I*6))+((P*L*x.ˆ2)/(2*E*I))+((P*x)/((kappa)*G*A));plot(x,W,’ob--’)grid



Programa Euberti2.m para obtener la matriz rigidez de cada elemento, el ensamblede las matrices rigidez, la imposicion de las condiciones de frontera y las soluciones delsistema reducido.

%Programa para la viga del ejemplo 4: Euberti2.m%Viga con carga puntual en el extremo derecho%Matriz de rigidez con integracion numerica para Timoshenko

clcclear


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Para la viga Timoshenko

nel=55; % numero de elementosleng=L/nel; % elementos de igual longitudnnel=2; % numero de nodos por elementondof=2; % numero de grados de libertad por nodonnode=(nnel-1)*nel+1; % numero total de nodossdof=nnode*ndof; % numero total de grados de libertad


187




index=feeldof1(iel,nnel,ndof); % extrae grados de libertad

k=febeam2(E,I,leng,G,A); % matriz rigidez para cada elemento

K=feasmbl1(K,k,index); % ensamble de cada matriz elemento

end



U=[0;0;a]



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Para la viga Euler-Bernoulli

long=L/nel ; % elemento de igual longitudnnodel=2; % numero de nodos por elementondesn=2; % numero de desplazamiento por nodontnodos=(nnodel-1)*nel+1; % numero total de nodos

188

dest=ntnodos*ndesn; % desplazamiento total del sistema




indice=desel(iel,nnodel,ndesn); % extrae desplaz. del sistema

ke=matrigid(E,I,long); % matriz de rigidez del elemento

K=ensamble(K,ke,indice); % ensamble de matrices de rigidez

end



U=[0;0;a]


%% Puntos de desplazamientos veticales en el planonodeCoordinates=linspace(0,L,nel+1)’;plot(nodeCoordinates,w,’*b--’)hold on

%% Solucion analıtica segun la Teorıa de Euler-Bernoulli

189







end



U=[0;0;a]



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Para la viga Euler-Bernoulli

long=L/nel ; % elemento de igual longitudnnodel=2; % numero de nodos por elementondesn=2; % numero de desplazamiento por nodontnodos=(nnodel-1)*nel+1; % numero total de nodos

188

dest=ntnodos*ndesn; % desplazamiento total del sistema




indice=desel(iel,nnodel,ndesn); % extrae desplaz. del sistema

ke=matrigid(E,I,long); % matriz de rigidez del elemento

K=ensamble(K,ke,indice); % ensamble de matrices de rigidez

end



U=[0;0;a]


%% Puntos de desplazamientos veticales en el planonodeCoordinates=linspace(0,L,nel+1)’;plot(nodeCoordinates,w,’*b--’)hold on

%% Solucion analıtica segun la Teorıa de Euler-Bernoulli

189


%% Viga en voladizo con carga puntual a L mx=0:L/nel:L;W=(P/(E*I*6))*((-x.ˆ3)+3*L*x.ˆ2);plot(x,W,’og’)


legend(’Solucion MEF-Timoshenko’,’Solucion MEF-Euler-Bernoulli’,’Solucion Exacta E-B’)

Programa Euberti.m para obtener la matriz rigidez de cada elemento, el ensamble delas matrices rigidez, la imposicion de las condiciones de frontera y las soluciones delsistema reducido.

%Programa para la viga del ejemplo 5: Euberti.m%Viga con carga puntual entre sus apoyos%Matriz de rigidez con integracion numerica para Timoshenko

clcclear


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%nel=55; % numero de elementosleng=L/nel; % elementos de igual longitudnnel=2; % numero de nodos por elementondof=2; % numero de grados de libertad por nodonnode=(nnel-1)*nel+1; % numero total de nodossdof=nnode*ndof; % numero total de grados de libertad


190






end



U=[0;a(1:109);0; a(110)]



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Para la viga de Euler-Bernoulli

long=L/nel ; % elemento de igual longitudnnodel=2; % numero de nodos por elementondesn=2; % numero de desplazamiento por nodo

191


%% Viga en voladizo con carga puntual a L mx=0:L/nel:L;W=(P/(E*I*6))*((-x.ˆ3)+3*L*x.ˆ2);plot(x,W,’og’)


legend(’Solucion MEF-Timoshenko’,’Solucion MEF-Euler-Bernoulli’,’Solucion Exacta E-B’)

Programa Euberti.m para obtener la matriz rigidez de cada elemento, el ensamble delas matrices rigidez, la imposicion de las condiciones de frontera y las soluciones delsistema reducido.

%Programa para la viga del ejemplo 5: Euberti.m%Viga con carga puntual entre sus apoyos%Matriz de rigidez con integracion numerica para Timoshenko

clcclear


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%nel=55; % numero de elementosleng=L/nel; % elementos de igual longitudnnel=2; % numero de nodos por elementondof=2; % numero de grados de libertad por nodonnode=(nnel-1)*nel+1; % numero total de nodossdof=nnode*ndof; % numero total de grados de libertad


190






end



U=[0;a(1:109);0; a(110)]



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Para la viga de Euler-Bernoulli

long=L/nel ; % elemento de igual longitudnnodel=2; % numero de nodos por elementondesn=2; % numero de desplazamiento por nodo

191


ntnodos=(nnodel-1)*nel+1; % numero total de nodosdest=ntnodos*ndesn; % desplazamiento total del sistema

F=zeros(dest,1); % inicializacion del vector fuerzaK=zeros(dest,dest); % inicializacion de la matriz rigidezindice=zeros(nnodel*ndesn,1); %inicializacion del vect. indice



indice=desel(iel,nnodel,ndesn); % extrae desplaz. asociado% con cada elemento.

ke=matrigid(E,I,long); % matriz de rigidez del elemento%ke=matrigid(E,I,long(iel)) % matriz de rigidez del elemento

K=ensamble(K,ke,indice); % ensamble de las matrices de rigidez

end



U=[0;a(1:109);0; a(110)]


%% Puntos de desplazamientos veticales en el planonodeCoordinates=linspace(0,L,nel+1)’;plot(nodeCoordinates,w,’*b--’)

192

hold on


legend(’Solucion MEF-Timoshenko’,’Solucion MEF-Euler-Bernoulli’)


%Programa para la viga del ejemplo 5: Timoshenko5.2%Matriz rigidez con integracion analıtica y con 55 elementos%Deflexion: lineal y rotacion: lineal

clcclear

%Datos de la vigaL=1 ; % longitud de la viga L=1.5; L=2;nu=0.3; % coeficiente o razon de Poissonkappa=5/6; % factor de correccion cortanteE=2.05*10ˆ11; % modulo de elasticidadG=(2.05*10ˆ11)*(2*(1+nu))ˆ-1; % modulo cortanteI=(0.1*1ˆ3)*12ˆ-1; % momento de inercia de la sec. transv.A=0.1; % area de la seccion de la vigaP=-100000; % carga puntual




193


ntnodos=(nnodel-1)*nel+1; % numero total de nodosdest=ntnodos*ndesn; % desplazamiento total del sistema

F=zeros(dest,1); % inicializacion del vector fuerzaK=zeros(dest,dest); % inicializacion de la matriz rigidezindice=zeros(nnodel*ndesn,1); %inicializacion del vect. indice



indice=desel(iel,nnodel,ndesn); % extrae desplaz. asociado% con cada elemento.

ke=matrigid(E,I,long); % matriz de rigidez del elemento%ke=matrigid(E,I,long(iel)) % matriz de rigidez del elemento

K=ensamble(K,ke,indice); % ensamble de las matrices de rigidez

end



U=[0;a(1:109);0; a(110)]


%% Puntos de desplazamientos veticales en el planonodeCoordinates=linspace(0,L,nel+1)’;plot(nodeCoordinates,w,’*b--’)

192

hold on


legend(’Solucion MEF-Timoshenko’,’Solucion MEF-Euler-Bernoulli’)


%Programa para la viga del ejemplo 5: Timoshenko5.2%Matriz rigidez con integracion analıtica y con 55 elementos%Deflexion: lineal y rotacion: lineal

clcclear

%Datos de la vigaL=1 ; % longitud de la viga L=1.5; L=2;nu=0.3; % coeficiente o razon de Poissonkappa=5/6; % factor de correccion cortanteE=2.05*10ˆ11; % modulo de elasticidadG=(2.05*10ˆ11)*(2*(1+nu))ˆ-1; % modulo cortanteI=(0.1*1ˆ3)*12ˆ-1; % momento de inercia de la sec. transv.A=0.1; % area de la seccion de la vigaP=-100000; % carga puntual




193






end



U=[0;a(1:109);0; a(110)]


%% Puntos de desplazamientos veticales en el planonodeCoordinates=linspace(0,L,nel+1)’;plot(nodeCoordinates,w,’*g--’)hold on


legend(’Solucion MEF(h/L=1)’,’Solucion MEF(h/L=2/3)’,...’Solucion MEF(h/L=1/2)’)

194

Documents

El Método Elementos Finitos - Universidad Agraria La Molina