El nacimiento del álgebra: Egipcios y Babilónicos

Desde los comienzos del desarrollo de la humanidad surgió la necesidad de medir y calcular. Cuando la producción de alimentos de los grupos humanos fue superior a sus necesidades apareció, primero el trueque, y posteriormente el comercio; cuestión que condujo paulatinamente al desarrollo de la aritmética. Cuando hubo que resolver problemas de repartición de tierras, medición de terrenos, del cálculo de áreas, del cálculo de volúmenes, etcétera, surgió la geometría. En algún momento de las necesidades del hombre, fue necesario plantearse y resolver ecuaciones: así nació el álgebra .

El antes…

… y el ahora

Drosophila melanogaster

ratón de laboratorio

Cyperus papyrus

El papiro, en la historia de la evolución de la matemática, es como el ratón y la mosca en la historia de la evolución del hombre.

Contiene 87 problemas matemáticos con cuestiones aritméticas básicas, fracciones, cálculo de áreas, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales y trigonometría básica.En él encontramos el tratamiento de las fracciones. Los antiguos egipcios no realizaban el cálculo de fracciones como lo conocemos hoy, pues escribían los números fraccionarios como suma de fracciones unitarias (las de la forma 1/n con n natural) distintas. Este tipo de sumas son conocidas hoy como fracciones egipcias.

Tomado literalmente de Wikipedia

Papiro de Ahmes. Fue escrito por el escriba Ahmes aproximadamente en 1650 a. C., a partir de escritos de doscientos años de antigüeda.

Los demás valores se expresaban con la repetición del símbolo, el número de veces que fuera necesario

Numeración egipcia

fracciones egipcias

Cualquier fracción que escribimos con un numerador no unitario, los egipcios la escribían como suma de fracciones unitarias distintas. De ahí que las sumas de fracciones unitarias se conozcan como "fracciones egipcias".

Los antiguos egipcios calculaban utilizando fracciones unitarias, como 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …

Problema: ¿Cómo podría usted escribir 19 / 20 como suma de fracciones egipcias?

0 12/13/14/1n/1

10 b

a

¿Cómo determinar la mayor fracción egipcia que es menor a ?b

a

b

a

k

1

1

11 krestoka

b

Primera fracción egipcia

1

1

1

1

kb

a

kb

a

buscamos nuevamente la mayor fracción egipcia que es menor a este resultado.

Se detiene el proceso cuando el “resto” sea cero (que indica la última fracción egipcia)

Ejemplo del algoritmo “voraz”

20

1920

19

2

1 Es la mayor “fracción egipcia” que es

menor a la fracción “propia”

2119

20 resto

20

9

2

1

20

19

20

9

2

1

20

19

329

20 resto

20

9

3

1

60

7

3

1

2

1

3

1

20

9

3

1

2

1

20

19

987

60 resto

60

7

9

1

9

1

60

7

9

1

3

1

2

1

60

7

3

1

2

1

20

19

180

1

9

1

3

1

2

1

20

19

Numeración babilónica: Un sistema sexagesimal

30

1, 24,51,10

42, 25, 35

La tablilla YBC 7289

¿Qué significan estos tres números en el contexto del cuadrado dibujado en la arcilla?

30 30

21 6035602542

42, 25, 35

42.42638888

4264.42302 2

1, 24,51,10

321 6010605160241

1.414212962

414213562.12

Entre 1800 A.C. y 1600 A.C calculaban con muy buena aproximación la diagonal de un cuadrado. ¿Aplicaban el teorema de Pitágoras los babilónicos?

b

a

h

b

a

h

a

a b

b

…eleva al cuadrado 2 y 4 , multiplica 2 por 4 , suma los anteriores resultados, y multiplica por un tercio de 6; finaliza diciendo: “ves, es 56, lo has calculado correctamente”

En el problema 14º del papiro de Moscú se pide calcular el volumen de un tronco de pirámide de base cuadrangular. El escriba egipcio expone los pasos…

= 2

= 6

= 4

¿Cuál es la fórmula usada por el escriba?

Plimpton 322

El contenido principal de la tablilla Plimpton 322 es una matriz de números, con cuatro columnas y quince filas, en la notación babilonia sexagesimal. La cuarta columna es solamente el número de la fila, de 1 a 15. Las segundas y terceras columnas son completamente visibles en la pastilla que sobrevive. Sin embargo, el borde de la primera columna ha sido roto, y hay dos interpretaciones coherentes que explicarían los dígitos que falta; estas interpretaciones se diferencian sólo en si realmente cada número comienza o no con un dígito adicional igual a 1. Con las extrapolaciones que se diferencian mostradas en el rectángulo rojo, estos números son:

Uno de los catetos de un triángulo rectángulo

La hipotenusa del triángulo rectángulo

6597

72

.. O sea que 1500 años antes que Pitágoras naciera los babilonios no solo sabían el teorema de Pitágoras sino que además sabían trigonometría, pues para construir la primera columna de la Plimpton 322 tuvieron que calcular el cuadrado de la “secante”

En estricto rigor, la tablilla de Plimpton 322 es esencialmente una tablilla de ternas pitagóricas.

Una terna pitagórica consiste en tres enteros positivos a, b, c que cumplen que a² + b² = c². El nombre deriva del teorema de Pitágoras, el cual plantea que cualquier triángulo rectángulo con una longitud entera de sus lados forma una terna pitagórica. Lo inverso también es verdadero, cualquier terna pitagórica forma un triángulo rectángulo.

Lo que se propone es que podrían conocer el algoritmo siguiente (aunque no en esta notación algebraica actual): (p2 - q2, 2pq, p2 + q2). Siendo p > q, ambos primos entre sí y positivos. En la hoja de cálculo se pueden encontrar las parejas (p, q) que generarían las ternas (ma, mb, mc), donde “m” es un múltiplo común (y que coinciden con las ternas prsentadas en la tablilla Plimpton 322)

Nota: El programa en EXCEL “linkeado” en estos apuntes fueron obtenidos de la página Blog personal de Eugenio Manuel Fernández Aguilar, físico de formación, profesor de profesión y divulgador de vocación. Su blog es: http://eumafeag.blogspot.com/