EL NMERO DE ORO El nmero de oro, tambin conocido como razn urea suele representarse con la letra griega () en honor de Fidias, el arquitecto que dise el Partenn. Tiene como valor numrico:

El descubrimiento de este nmero se atribuye a la escuela Pitagrica, de hecho los pitagricos utilizaban como smbolo la estrella de cinco puntas, en la que aparecen distintas razones ureas. Es fcil encontrar distintas proporciones ureas en diversas figuras. Este nmero aparece repetidamente en el mundo que nos rodea, como elemento de diseo en construcciones arquitectnicas tan antiguas como la pirmide de Keops, o en distintos seres vivos, tanto en el reino vegetal (flores, semillas,...) como en el reino animal (estrellas de mar, caracolas que crecen en funcin de relaciones ureas,...) Leonardo da Vinci en su "Esquema de las proporciones del cuerpo humano" seala distintas relaciones ureas que existen en el ser humano. Cuando la razn entre las dimensiones de un rectngulo es el nmero de oro, el rectngulo recibe el nombre de ureo. Los rectngulos ureos, son proporcionados, y por eso se utilizan frecuentemente en el arte.El nmero ureo o de oro (tambin llamado nmero plateado, razn extrema y media, razn urea, razn dorada, media urea, proporcin urea y divina proporcin) representado por la letra griega (fi) (en minscula) o (fi) (en mayscula), en honor al escultor griego Fidias, es un nmero irracional:2 1

El nmero ureo surge de la divisin en dos de un segmento guardando las siguientes proporciones: La longitud total a+b es al segmento ms largo acomo a es al segmento ms corto b.

Tambin se representa con la letra griega Tau ( ), por ser la primera letra de la raz griega, que significa acortar, aunque encontrarlo representado con la letra Fi (,) es ms comn. Se trata de un nmero algebraico irracional (decimal infinito no peridico) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigedad, no como unidad sino como relacin o proporcin entre segmentos de rectas. Esta proporcin se encuentra tanto en algunas figuras geomtricas como en la naturaleza. Puede hallarse en elementos arquitectonicos, en las nervaduras de las hojas de algunos rboles, en el grosor de las ramas, en el caparazn de un caracol, en los flsculos de los girasoles, etc.

3

Asimismo, se atribuye un carcter esttico especial a los objetos que siguen la razn urea, as como una importancia mstica. A lo largo de la historia, se le ha atribuido importancia en diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido objetables para las matemticas y la arqueologa.Contenido[ocultar]

1 Definicin

o

1.1 Clculo del valor del nmero ureo

2 Historia del nmero ureo 3 El nmero ureo en las matemticas

o

3.1 Propiedades y representaciones

o

3.1.1 ngulo de oro 3.1.2 Propiedades algebraicas 3.1.3 Representacin mediante fracciones continuas 3.1.4 Representacin mediante ecuaciones algebraicas 3.1.5 Representacin trigonomtrica 3.1.6 Representacin mediante races anidadas 3.1.7 Relacin con la serie de Fibonacci

3.2 El nmero ureo en la geometra

3.2.1 El rectngulo ureo de Euclides 3.2.2 En el pentagrama 3.2.3 El teorema de Ptolomeo y el pentgono 3.2.4 Relacin con los slidos platnicos

4 El nmero ureo en la Naturaleza 5 El nmero ureo en el arte y en la cultura 6 El nmero ureo en el misticismo 7 Vase tambin 8 Referencias 9 Bibliografa 10 Enlaces externos

DefinicinEl nmero ureo es el valor de la proporcin que guardan entre s dos segmentos de recta a y b que cumplen la siguiente relacin:

El segmento menor es b. El cociente a / b es el valor del nmero ureo: . Surge al plantear el problema geomtrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre el mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del mayor entre la del menor. [editar]Clculo

del valor del nmero ureo

Dos nmeros a y b estn en proporcin urea si se cumple:

Si al nmero menor (b) le asignamos el valor 1, la igualdad ser:

multiplicando ambos miembros por a, obtenemos:

reordenamos:

La solucin positiva de la ecuacin de segundo grado es:

que es el valor del nmero ureo, equivalente a la relacin a / b.

Historia del nmero ureoExisten varios textos que sugieren que el nmero ureo se encuentra como proporcin en ciertas estelas Babilonias y Asirias de alrededor de 2000 a. C. Sin embargo, no existe documentacin histrica que indique que el nmero ureo fue usado conscientemente por los arquitectos o artistas en la construccin de las estelas. Tambin es importante notar que cuando se mide una estructura complicada es fcil obtener resultados curiosos si se tienen muchas medidas disponibles. Adems para que se pueda considerar que el nmero ureo est presente, las medidas deben tomarse desde puntos relativamente obvios del objeto y este no es el caso de los elaborados teoremas que defienden la presencia del nmero ureo. Por todas estas razones Mario Livio y lvaro Valarezo concluyen que es muy improbable que los babilonios hayan descubierto el nmero ureo.4

El primero en hacer un estudio formal sobre el nmero ureo fue Euclides (c. 300-265 a. C.), quin lo defini de la siguiente manera:

"Se dice que una lnea recta est dividida entre el extremo y su proporcional cuando la lnea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor." Euclides en Los Elementos.

Euclides demostr tambin que este nmero no puede ser descrito como la razn de dos nmeros enteros, es decir es irracional. Platn (c. 428-347 a. C.) vivi antes de que Euclides estudiara el nmero ureo, sin embargo, a veces se le atribuye el desarrollo de teoremas relacionados con el nmero ureo debido que el historiador griego Proclo escribi:"Eudoxo... multiplic el nmero de teoremas relativos a la seccin a los que Platn dio origen." Proclo en Un comentario sobre el Primer Libro de los Elementos de Euclides.

Aqu a menudo se interpret la palabra seccin () como la seccin urea. Sin embargo a partir del siglo XIX esta interpretacin ha sido motivo de gran controversia y muchos investigadores han llegado a la conclusin de que la palabra seccin no tuvo nada que ver con el nmero ureo. No obstante, Platn consider que los nmeros irracionales, descubiertos por los pitagricos, eran de particular importancia y la llave a la fsica del cosmos. Esta opinin tuvo una gran influencia en muchos filsofos y matemticos posteriores, en particular los neoplatnicos. A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el nmero ureo, Platn se dio a la tarea de estudiar el origen y la estructura del cosmos, cosa que intent usando los cinco slidos platnicos, construidos y estudiados por Teeteto. En particular, combin la idea deEmpdocles sobre la existencia de cuatro elementos bsicos de la materia, con la teora atmica de Demcrito. Para Platn cada uno de los slidos corresponda a una de las partculas que conformaban cada uno de los elementos: la tierra estaba asociada al cubo, el fuego al tetraedro, el aire al octaedro, el agua al icosaedro, y finalmente el Universo como un todo, estaba asociado con el dodecaedro. En 1509 el matemtico y telogo Luca Pacioli publica su libro De Divina Proportione (La Proporcin Divina), en el que plantea cinco razones por las que considera apropiado considerar divino al Nmero ureo:

1. La unicidad; Pacioli compara el valor nico del nmero ureo con la unicidad de Dios. 2. El hecho de que est definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad. 3. La inconmensurabilidad; para Pacioli la inconmensurabilidad del nmero ureo, y la inconmensurabilidad de Dios son equivalentes. 4. La Autosimilaridad asociada al nmero ureo; Pacioli la compara con la omnipresencia e invariabilidad de Dios. 5. Segn Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a travs de la quinta esencia, representada por eldodecaedro; el nmero ureo dio ser al dodecaedro.

En 1525, Alberto Durero publica Instruccin sobre la medida con regla y comps de figuras planas y slidas donde describe cmo trazar con regla y comps la espiral basada en la seccin urea, que se conoce como espiral de Durero. El astrnomo Johannes Kepler (1571-1630), desarroll un modelo Platnico del Sistema Solar utilizando los solidios platnicos, y se refiri al nmero ureo en trminos grandiososLa geometra tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitgoras; el otro, la divisin de una lnea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa Johannes Kepler en Mysterium Cosmographicum (El Misterio Csmico).

El primer uso conocido del adjetivo ureo, dorado, o de oro, para referirse a este nmero lo hace el matemtico alemn Martin Ohm, hermano del clebre fsico Georg Simon Ohm, en la segunda edicin de 1835 de su libro Die Reine Elementar Matematik (Las Matemticas Puras Elementales). Ohm escribe en una nota al pie:"Uno tambin acostumbra llamar a esta divisin de una lnea arbitraria en dos partes como stas la seccin dorada." Martin Ohm en Die Reine Elementar Matematik (Las Matemticas Puras Elementales).

A pesar de que la forma de escribir sugiere que el trmino ya era de uso comn para la fecha, el hecho de que no lo incluyera en su primera edicin sugiere que el trmino pudo ganar popularidad alrededor de 1830. En los textos de matemticas que trataban el tema, el smbolo habitual para representar el nmero ureo fue del griego que significa corte o seccin. Sin embargo, la moderna denominacin , la efectu en 1900 el matemtico Mark Barr en honor a Fidiasya que sta era la primera letra de su nombre escrito en griego (). Este honor se le concedi a Fidias por el mximo valor esttico atribuido a sus esculturas, propiedad que ya por entonces se le atribua tambin al nmero ureo. Mark Barr y Schooling fueron responsables de los apndices matemticos del libro The Curves of Live, de Sir Theodore Cook.

ngulo de oro

[editar]Propiedades algebraicas

es el nico nmero real positivo tal que:

La expresin anterior es fcil de comprobar:

posee adems las siguientes propiedades:

Las potencias del nmero ureo pueden expresarse en funcin de una suma de potencias de grados inferiores del mismo nmero, establecida una verdadera sucesin recurrente de potencias.

El caso ms simple es: n = n 1 + n 2, cualquiera sea n un nmero entero. Este caso es una sucesin recurrente de orden k = 2, pues se recurre a dos potencias anteriores. Una ecuacin recurrente de orden k tiene la forma a1un + k 1 + a2un + k 2 + ... + akun, donde ai es cualquier nmero real o complejo y k es unnmero natural menor o igual a n y mayor o igual a 1. En el caso anterior es k = 2, a1 = 1 y a2 = 1. Pero podemos saltear la potencia inmediatamente anterior y escribir: n = n 2 + 2n 3 + n 4. Aqu k = 4, a1 = 0, a2 = 1, a3 = 2 y a4 = 1. Si anulamos a las dos potencias inmediatamente anteriores, tambin hay una frmula recurrente de orden 6: n = n 3 + 3n 4 + 3n 5 + n 6 En general:

. En resumen: cualquier potencia del nmero ureo puede ser considerada como el elemento de una sucesin recurrente de rdenes 2, 4, 6, 8,..., 2k; donde k es un nmero natural. En la frmula recurrente es posible que aparezcan potencias negativas de , hecho totalmente correcto. Adems, una potencia negativa de corresponde a una potencia positiva de su inverso, la seccin urea. Este curioso conjunto de propiedades y el hecho de que los coeficientes significativos sean los del binomio, parecieran indicar que entre el nmero ureo y el nmero e hay un parentesco.

El nmero ureo

es la unidad fundamental del cuerpo

y la seccin

urea

es su inversa, 1. En esta extensin el emblemtico nmero irracional

cumple las siguientes igualdades: