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UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL
LICENCIATURA DE PEDAGOGIA
EL PENSAMIENTO ALGEBRAICO VÍA LA GENERALIDAD: UN ESTUDIO SOBRE LA TRANSICION DEL PENSAMIENTO ADITIVO AL
PENSAMIENTO MULTIPLICATIVO
T E S I S
PARA OBTENER EL GRADO DE LICENCIADA EN PEDAGOGÍA:
P R E S E N T A:
TERESA RIVERA CORTÉS
DIRECTORA DE TESIS: DRA. CRISTIANNE M. BUTTO ZARZAR
MÉXICO D.F. SEPTIEMBRE DE 2010
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AGRADECIMIENTOS
Esta tesis está dedicada a mi madre Nicolasa Cortes, que siempre a estado y estará conmigo. A mi esposo Mauricio Gonzaga, quien siempre estuvo en los momentos y decisiones precisas. A mi hija Raquel, por darme la entereza y amor de cada día, y saber que se pueden lograr las cosas. Mauricio Elyn, que con sinceridad me brindo el apoyo para continuar Jorge Josué, el pequeño pero grande en espíritu el cual con su presencia me contagia de su alegría Hago mención especial a la Dra. Cristianne M. Butto Zarzar por brindarme su amistad y confianza, por las largas jornadas de asesorías y consultas, que con paciencia me guió para la realización del presente estudio. Gracias a cada uno de los maestros, que participaron en mi desarrollo profesional durante mi carrera, sin su ayuda y conocimientos no estaría en donde me encuentro ahora. Gracias a mis compañeros.- que me acompañaron durante mi carrera, espero seguir contando con su compañía Finalmente al Prof. Edgar por darme la oportunidad de conocer y trabajar con su grupo 1º D; ¡gracias jóvenes! Gracias a Dios.- Por permitirme llegar hasta este momento tan importante y lograr otra meta en
mi vida.
A todos ellos mi más generoso agradecimiento
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Resumen
La enseñanza y el aprendizaje del álgebra ha sido motivo de diferentes investigaciones: Procesos de generalización y la aritmética generalizada (Mason 1985), Dificultades y errores de los alumnos en los procesos de generalización (Alonso1996), Introducción temprana al pensamiento algebraico: una experiencia en la escuela primaria (Butto 2005), la identificación de patrones en diferentes contextos para el aprendizaje (Castro, Rico y Castro 1995), patrones con procedimientos recurrentes y la interacción entre iguales( Durán Ponce 1999). Este trabajo presenta una investigación sobre la exploración al pensamiento algebraico de los estudiantes de 1º grado de secundaria vía los procesos de generalización. El marco teórico de esta tesis, se fundamentó en la propuesta de Mason (1985), donde el percibir un patrón, expresar un patrón, registrar un patrón y llegar a la prueba de validez de las formulas, podrían ser la vía para acceder al álgebra. La metodología del estudio, fue de tipo descriptivo y explicativo, el corte del estudio fue cualitativo. El estudio se realizó en dos etapas: aplicación de un cuestionario diagnóstico sobre los procesos de generalización, y una entrevista clínica individual. Los resultados del estudio, revelan que los alumnos presentan dificultades al identificar las secuencias aritméticas y geométricas, no perciben el patrón, razón por lo cual, no logran expresarlo de forma escrita, teniendo en cuenta que las cuatro etapas de Mason no son alcanzadas, con frecuencia utilizan como estrategia de resolución aditivo, aunque revelan tener un pensamiento multiplicativo, por consiguiente, se lograría acceder al álgebra vía los procesos de generalización.
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ÍNDICE Introducción…………………………………………………………..…………………........1
CAPÍTULO I. Antecedentes del estudio: procesos de generalización…………..….....….8
CAPÍTULO ll. Contexto Curricular….......................................................…….………..22
2.1Marco legal…………………………..………………………………………........22
2.1.1 Articulo 3° de la Constitución…...………………………….…………….…...22
2.1.2 Ley general de educación…………………………………………………..…..23
2.2 Plan y programa 2006 de educación secundaria………………………..…...…25
2.2.1 La finalidad de la educación básica…...……………….……………….....…..25
2.2.2 Perfil del egresado de la educación básica…………….……………….....…..26
2.2.3 Competencias para la vida……………………………………………………27
2.2.4 Programa de estudio de matemáticas………………………………….…......28
2.2.5 Propósito………………………………………………………………….…...30
2.2.6 Enfoque y evaluación………………………………………………………....31
2.2.7 Perfil del egresado en la asignatura de matemáticas……………………....…33
2.2.8 Competencias matemáticas a desarrollar……………..…………………...…34
CAPÍTULO lll. Marco teórico……………………………………………….......36
3.1 Rutas y Raíces del algebra de acuerdo a Mason………………..……………..37
3.1.1 Expresiones de la generalidad…………………………………………..……37
3.1.2 Reordenamiento y manipulación………………………………………....….39
3.13 Posibilidades y restricciones……………………………………………...…..40
3.1.4 Aritmética generalizada………………………………………………..……..41
5
CAPÍTULO lV. METODOLOGIA………………………...……………………..……44
4.1 Tipo de estudio………………………………………………………..….…44
4.2 Corte del estudio………………………………………………………..…..44
4.3 Etapas del estudio………………………………………………………….45
4.3.1Participantes…………………………………………………………….....45
4.3.2 Descripción del cuestionario…………………………………………….45
4.3.3 Aplicación del cuestionario……………………………………………....50
4.4 Propuesta de análisis de los datos ……………………………………....50
4.5 Estrategias de resolución de problemas…………………………….......52
4.6 Análisis de la entrevista clínica individual……………………………..…53
4.6.1 Aplicación de la entrevista……………………………………….………54
4.7 Resultados del estudio piloto……………………………………………...54
CAPÍTULO V. Resultados del cuestionario diagnostico……..…………....57
5.1 Cuestionario inicial sobre los procesos de generalización..….……………...57
5.2 Aplicación del cuestionario…………………………………………………..59
5.3 Resultados del cuestionario inicial……………………..…………………. ..59
5.4 Gráficas por preguntas…………………………………………..………......66
5.5 Descripción y aplicación de las entrevistas clínicas individuales…..……....86
5.6 Resultados de las entrevistas clínicas individuales………………………….87
5.6.1Crecimiento secuencial aritmético y geométrico..……...……………….....87
5.6.1.1 Nivel de logro alto………………………………………………………..87
5.6.1.2 Nivel de logro bajo……………………………………………………….89
5.6.1.3 No contestó……………..……………………………………..…………91
5.6.1.4 Nivel de logro alto...………………………………..…………………...93
5.6.1.5 Nivel de logro bajo……………...………………….…………………...96
6
5.6.1.6 No contestó……………………..…………………..…………………99
5.7 Aplicación del cuestionario a tres estudiantes con una explicación con material
manipulable………………………..………………………………………….102
CONCLUSIONES…………………………………………………………………...106
REFERENCIAS BIBLIOGRAFÍCAS..…………………………………………...111
ANEXOS.............……..………..…………………………………………………....113
ANEXO I……………………………………………………………………………..114
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Introducción
La transición de la aritmética al álgebra propicia la comprensión de diferentes temas
matemáticos; sin embargo, en la mayoría de los casos esa transición se realiza de manera
mecanizada y no genera en los estudiantes una conceptualización adecuada. Ahora bien, el
acceder al álgebra vía los procesos de generalización podría facilitar dicha transición, en la cual
se tome significado a lo que se realiza, y pueda construirse su conocimiento realizando
actividades en las cuales el ver, decir, registrar y validar sean acompañadas, entre una
interrelación profesor-alumno, y alumno-alumno, logrando una socialización en torno a los
conocimientos; de esta manera, la experiencia lograda se interiorice, se logra la resolución del
problema de una manera significativa, y se facilita dicha transición.
El aprendizaje de las matemáticas escolares representa una dificultad para la mayoría
de los estudiantes, y esto se muestra en los índices de reprobación que arrojan las diferentes
pruebas nacionales e internacionales, como La Evaluación Nacional de Logro Académico en
Centros Escolares (ENLACE), y los Exámenes de la Calidad y el Logro Educativo (EXCALE),
que evalúan logros, conocimientos y habilidades en matemáticas, establecidas por el Sistema
Educativo Nacional (SEN), y el Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación (INEE),
así como por el Programa para la Evaluación Internacional de los Estudiantes (Programme for
International Student Assesment, PISA), promovido por la Organización de Cooperación y
Desarrollo Económico (OCDE), en las primeras pruebas (mencionadas), se puede observar que
hay una relación entre los contenidos de la Secretaria de Educación Pública (SEP), con el plan
y programas, mientras que en PISA no se apega a dichos planes, es una prueba que pretende
evaluar el rendimiento académico en el planeta.
En lo que respecta al examen EXCALE, se toma en cuenta el 3º grado de secundaria, en
el cual el contenido matemático de “Resolución de problema que implique plantear una
ecuación” el porcentaje de acierto es de 14% a nivel nacional; esto demuestra que en los dos
grados anteriores el aprendizaje del álgebra no ha sido significativo para los estudiantes; por
consiguiente, el trabajo temprano con fórmulas y ecuaciones por medio de los procesos de
generalización podría ser una vía para acceder al álgebra. Las investigaciones en didáctica del
álgebra mencionan que, el aprendizaje de dichos contenidos escolares representa una dificultad
para la mayoría de los estudiantes; específicamente las dificultades se demuestran
con mayor peso cuando se trata de la transición de la aritmética al álgebra. Las dificultades
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remiten al modelo tradicional de enseñanza, que ve al álgebra como algo separado de la
aritmética; se provoca la falta de sentido en los problemas que resuelven los alumnos, en
especial los de primer año de secundaria, pues vienen de trabajar con la aritmética, donde los
contextos de los problemas determinan mucho la manera de resolverlos; no obstante, en álgebra
la precaria manipulación de los datos carece de sentido y solamente refleja una enseñanza
mecanizada al resolver dichos problemas, puesto que los alumnos no alcanzan a percibir
generalidades en los problemas expuestos.
La problemática de enseñar álgebra en secundaria consiste en que los alumnos no
comprenden en gran medida los significados que conforman el lenguaje algebraico, dado que
en la primaria utilizaban una aritmética, donde la simbolización numérica y las operaciones se
realizan logrando resultados numéricos; por ejemplo: 2 + 1 = , , se da una respuesta o
producto, pues en aritmética se trata de encontrar un resultado; en cambio, en álgebra el
proceso es diferente; las operaciones y la simbolización toman rasgos diferentes que los de
aritmética y la solución nos pueden llevar a una expresión (una generalidad), que facilite la
resolución del problema, por ejemplo: x + 2 =12 aquí la combinación nos permite encontrar un
resultado con la variante de que los números puedan ser diferentes, de modo que el algebra
trabaja con generalizaciones o expresiones como: a + b = b + a.
En la constante investigación sobre la enseñanza del álgebra la comunidad internacional
de didáctica del álgebra reconoce cuatro enfoques de enseñanza:
a) La generalización de patrones numéricos y geométricos y de las leyes en relación numérica.
b) La modelación de situaciones matemáticas y de situaciones concretas.
c) El estudio de situaciones funcionales.
d) La solución de problemas.
Uno de estos enfoques es la perspectiva de la aritmética generalizada, que coloca como
vía para acceder al pensamiento algebraico, los procesos de generalización, pues los alumnos
presentan dificultades en la expresión y representación de un patrón; y esto se deja ver, al no
percibir patrones ni visualizar las semejanzas; por tal motivo no tienen la necesidad de
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comunicarlo, teniendo en cuenta que la simbolización que manipulan o las variables (literales)
carecen de significado.
Este estudio permitió acceder al pensamiento algebraico, vía los procesos de
generalización, resaltando la capacidad de desarrollar en los estudiantes la posibilidad de
percibir un patrón o regularidad para comunicarlo o expresarlo y, por último, plasmarlo en un
lenguaje breve en el que se utilizan símbolos, los cuales puedan ser manipulados de acuerdo
con las características del problema. Para Mason (1985), el aprendizaje del álgebra se relaciona
con la aritmética generalizada, posibilidades o restricciones, expresión de la generalidad,
reordenamiento y manipulación.
En la enseñanza del álgebra, vía los procesos de generalización, los alumnos desarrollan
la habilidad de ver lo particular en lo general, en los diferentes contextos y no solamente en lo
matemático; es una herramienta en la cual se debe iniciar con las expresiones y manipulación
de generalizaciones, de tal forma que pueda identificarlo para después expresar, comunicar y
comprobar. El álgebra es un pilar de las matemáticas que los alumnos podrán manejar durante
el transcurso de su vida educativa.
Por otro lado, la Secretaría de Educación Pública Básica (SEP), por medio de los Planes
y Programas de Educación (preescolar, primaria y secundaria), incorpora los procesos de
generalización, que se requieren para el estudio del pensamiento algebraico. En la Reforma de
la Educación Secundaria (RES 2006), el programa de matemáticas busca que los alumnos
desarrollen habilidades y un pensamiento matemático, que les permita enfrentarse a diferentes
problemáticas de su entorno social y educativo, originando la reflexión, la comprensión y el
trabajo en equipo.
En el programa de estudio a nivel de primer año de secundaria, se manejan tres ejes temáticos:
1. Sentido numérico y pensamiento algebraico.
2. Forma, espacio y medida.
3. Manejo de la información.
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Los contenidos que se enseñan en este nivel educativo pretenden dar continuidad a los
programas de aritmética, y se propone desarrollar un mayor nivel de abstracción, lo cual
permite que los alumnos resuelvan situaciones problemáticas más complejas.
De acuerdo con la SEP (2006), el perfil del egresado de secundaria debe garantizar que los
alumnos:
Usen un lenguaje algebraico para generalizar propiedades aritméticas y geométricas.
Solucionar problemas mediante la expresión de ecuaciones de distintos tipos.
Expresar algebraicamente reglas de correspondencia entre conjuntos de cantidades que
guardan una relación funcional.
Con relación a los procesos de generalización, en primer año de secundaria se plantea el
eje temático Sentido numérico y pensamiento algebraico, el cual lo encontramos en el bloque
uno, en el tema significado y uso de las literales; posteriormente los temas se van intercalando
con los diferentes ejes temáticos, alcanzando una interrelación de los conocimientos.
En este sentido es vital introducir el álgebra de una manera clara y sencilla para los
alumnos, esto es de vital importancia dado que…
…“El álgebra es el lenguaje de las matemáticas… las matemáticas son, esencialmente, la
expresión (o reducción) de ideas complejas y sofisticadas mediante símbolos, y operaciones
sobre símbolos. Una vez que tenemos los símbolos y las operaciones aparece el algebra”….
(D.J Lewis, 1975 citado por Grupo Azarquiel)
Para comprender el lenguaje de las matemáticas es necesario que los alumnos utilicen
el álgebra con una simbolización construida con significados, para ello la utilización de la
aritmética generalizada puede ser el puente para la apropiación del tema.
La generalización, nos permite visualizar patrones y semejanzas en secuencias
aritméticas y geométricas, así como en aspectos de la vida cotidiana, además nos permite pasar
de lo particular a lo general, y de lo general a lo particular; al mismo tiempo se desarrolla un
pensamiento algebraico y por consiguiente, un pensamiento matemático.
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Cuando se trabaja con los procesos de generalización, se trata de que los alumnos
puedan ver minuciosamente cierta similitud en los diferentes ejemplos, y que puedan
relacionarlos, de tal forma que puedan expresarlo para cualquier patrón; también, cuando se
requiera conocer las variaciones que una figura esta sufriendo al incrementar su número de
lados o de figuras que la constituyen, el alumno debe poder comprobar si la regla se cumple
para una figura determinada.
Planteamiento del problema
Este trabajo se propuso investigar las dificultades que los alumnos de primer año de
secundaria presentan en la introducción al pensamiento algebraico, vía los procesos de
generalización. Para alcanzar tal objetivo, se diseñó un cuestionario inicial sobre los procesos
de generalización, seguido de una entrevista clínica individual.
Pregunta de investigación
• ¿Podrán los procesos de generalización ser una vía accesible para que los estudiantes de
1º de secundaria puedan acceder al pensamiento algebraico?
Objetivo del estudio:
• Explorar el pensamiento algebraico de los estudiantes de 1º grado de secundaria vía los
procesos de generalización,
Marco teórico
Se tomó como marco teórico la propuesta de Mason (1985); el autor menciona que el
aprendizaje del álgebra se relaciona con la aritmética. Propone una aritmética generalizada,
explora las posibilidades y restricciones, la expresión de la generalidad, el reordenamiento y
la manipulación. Para el referido autor, se dan cuatro fases para llegar a la generalización
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(percibir un patrón, expresar un patrón, registrar un patrón y prueba de validez), los cuales se
trabajaron en el cuestionario sobre los procesos de generalización.
Metodología
La metodología que se utilizó para la elaboración de esta investigación, fue de tipo
descriptivo y explicativo dado que investiga detalladamente las características del problema
(procesos de generalización): se establecen varios aspectos, para describir como se comporta el
estudio; posteriormente los estudios explicativos detallan los posibles orígenes de la
investigación en cuestión.
El estudio fue de corte cualitativo, con la finalidad de valorar el proceso natural del
fenómeno en cuestión; se basa en procesos inductivos en los cuales se investiga y explica el
fenómeno en su contexto, pues detalla las dificultades que presentan los alumnos en los
procesos de generalización.
La población con la cual se trabajó son seis niños entre 11 y 12 años de edad, que
cursan el primer grado de secundaria de una escuela pública del Distrito Federal.
El estudio se llevó a cabo en dos etapas: Aplicación de un cuestionario diagnóstico para
los procesos de generalización y entrevista clínica individual.
En la introducción se justifica la problemática, así como la relevancia de los procesos de
generalización para la enseñanza del álgebra; se presenta la pregunta de investigación, el
objetivo del estudio, el planteamiento del problema, la metodología y el marco teórico.
En el capítulo uno Antecedentes del Estudio: Procesos de Generalización se discuten
los antecedentes de los estudios realizados con este tema matemático, y las aportaciones
realizadas por diferentes autores en lo que se refiere a los procesos de generalización.
En el capítulo dos Contexto Curricular: Se da el marco legal de la educación, así como
los planes y programas de estudio de secundaria (RES 2006), cuyo objetivo es el desarrollo de
habilidades y contenidos necesarios, a partir de competencias básicas; así como el perfil del
egresado y las habilidades adquiridas en el transcurso de su vida educativa.
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En el capítulo tres Marco Teórico se presenta la propuesta de Mason (1985): el
aprendizaje del álgebra se relaciona con la aritmética generalizada, posibilidades o
restricciones, expresión de la generalidad, reordenamiento y manipulación.
En el capítulo cuatro Metodología se presenta la metodología utilizada en el estudio: se
determina inicialmente el tipo de estudio y el corte del estudio. Posteriormente se describe la
población, las etapas de la investigación, los instrumentos utilizados así como, la propuesta de
análisis de los datos.
En el capítulo quinto Resultados del Estudio Cuestionario inicial de los Procesos de
Generalización se presentan los resultados de la primera etapa de la investigación: cuestionario
inicial de los procesos de generalización, inicialmente se describe el instrumento, utilizado
(cuestionario), posteriormente se menciona su aplicación y el análisis de los datos.
Las conclusiones del estudio van de acuerdo con los resultados, e implicaciones didácticas.
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Capítulo l
Antecedentes del estudio: procesos de generalización
Este capítulo trata sobre los estudios realizados sobre el pensamiento algebraico.
Inicialmente, se presentan los cuatro acercamientos que propone la comunidad internacional de
didácticas del álgebra. En seguida se presentan los trabajos sobre una de las cuatro
orientaciones, sobre los procesos de generalización. Una de estas aportaciones es la Mason
(1995), quién propone cuatro enfoques para la enseñanza del álgebra, y se describen las
investigaciones realizadas con esa temática: Castro, Rico y Castro (1995), quienes aclaran que
la identificación de patrones en diferentes contextos es vital para la enseñanza de las
matemáticas. Para Alonso (1996), el alumno no comprende la estructura del problema y
ocasionalmente identifica los componentes; no alcanza a dominar el tema. Después, Durán
Ponce (1999) menciona que el trabajo con patrones se puede lograr con procedimientos
recurrentes y la interacción entre iguales, y propone tres aspectos a seguir que se mencionan
posteriormente. Para Reggiani (1994), la generalización es la base para el desarrollo de un
pensamiento algebraico. Rojano y Sutherland (1993), y Ursini (1991), citado en Butto (2005),
realizan estudios sobre los procesos de generalización, en el lenguaje de la programación en
logo, para acceder a la variable, finalmente se hace una breve descripción sobre los estudios
presentados y las aportaciones para esta tesis.
Siguiendo la línea de investigación de cómo acceder al álgebra (Mason (1985), Filloy y
Rojano (1985), citados por Ursini (1996)), han clasificado los problemas y errores más
frecuentes que realizan los estudiantes en la iniciación del álgebra, las cuales se presentan a
continuación:
• Utilizan un método aritmético para resolver problemas de tipo algebraico: suman o
restan y en pocas ocasiones multiplican.
• Buscan resultados numéricos: el manipular literales sin significado los lleva a
mecanizar.
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• Dificultad para comprender que en aritmética las operaciones logran resultados
numéricos; en álgebra las operaciones se indican llegando a una expresión sucinta y su
realización queda suspendida.
• Dan una interpretación del signo de igualdad como signo de acción; en álgebra, el
mismo signo suele usarse para representar equivalencias.
• Se presentan dificultades al apropiarse de conceptos nuevos, que forman el lenguaje
algebraico.
Ursini (1996) resalta que para un buen manejo del álgebra los estudiantes deben desarrollar
una habilidad para apreciar la simbología y las operaciones aritméticas de forma diferente; es
decir, puedan llegar a interrelacionar dichos conocimientos para formar la plataforma de los
conocimientos que se relacionan con el álgebra. La misma autora argumenta que en la
enseñanza del álgebra existe un desfase al término de la primaria e inicio de la secundaria,
justamente en lo que se denomina la transición de la aritmética al álgebra. Esta transición
genera dificultades sobre los diferentes temas relacionados con el álgebra; se tiene en cuenta
que los procesos de generalización podrían ser el fundamento para iniciar una visualización de
los problemas y así llegar a un pensamiento algebraico, evitando una mecanización en la
resolución de los problemas presentados.
Tomando en cuenta que el pensamiento algebraico, vía los procesos de generalización,
facilitará la apropiación de los diferentes significados establecidos en el lenguaje algebraico y
así el acceso al álgebra, el desarrollo de la habilidad de percibir, decir y registrar expresiones
algebraicas e iniciar un pensamiento matemático y abstracto, desde diferentes perspectivas, se
considera importante mencionar que el trabajo de Lee (2001) analiza el pensamiento algebraico
desde diversas perspectivas:
• El álgebra como un lenguaje.
• El álgebra como una manera de pensar.
• El álgebra como una actividad.
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• El álgebra como una herramienta.
• El álgebra como aritmética generalizada.
• El álgebra como cultura.
Lee (óp. cit 2001) menciona los distintos planteamientos utilizados para enseñar álgebra, así
como sus aportaciones para los estudiantes. A continuación se describen brevemente las
perspectivas tratadas por Lee.
El álgebra como un lenguaje
La autora considera que el álgebra es un lenguaje, factible y accesible a los niños
pequeños de forma natural en relación al aprendizaje, como otra forma de comunicarnos con
las matemáticas; que es conveniente relacionar a los niños con el lenguaje algebraico como sea
posible, desarrollando y estimulando el uso del pensamiento y por consiguiente la expresión
matemática, con el fin de que sean capaces de visualizar, decir y expresar en un lenguaje
algebraico.
Mason (1985), explica que los niños ya tienen una práctica de actividades algebraicas
para aprender a hablar, leer y hacer generalizaciones; pero los intentos por introducir el álgebra
como un lenguaje han sido poco productivos, teniendo en cuenta que sabemos que el lenguaje
algebraico escrito utiliza ciertos símbolos, su justa posición y reglas para su manipulación. En
el programa de matemáticas de las escuelas secundarias se introduce álgebra como un lenguaje,
éste no es visto particularmente como algo exitoso mediante la práctica educativa continua.
El álgebra como una forma de pensamiento
Lee (op. cit 2001), al plantear el pensamiento algebraico como una manera de pensar,
menciona que es importante estimular a los estudiantes a desarrollar su pensamiento acerca de
objetos matemáticos, en el caso de números, formas y medidas, para que puedan pensar acerca
de las relaciones entre ellas, y brindarles la oportunidad de operar mentalmente y reflexionar
acerca de los números que ellos no conocen. Con el fin de que el estudiante se relacione a
temprana edad con el lenguaje algebraico, puede ser iniciado en la escuela primaria como un
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lenguaje natural, usando la simbolización algebraica, manipulando la representación de varios
sistemas matemáticos o del mundo real; ahora bien, esta forma de pensamiento, logra que el
estudiante se involucre en la detección de patrones y por consiguiente, sea capaz de decir y
escribir el patrón pensando en relación al sistema matemático aritmético o simplemente de los
sistemas del mundo. Este medio puede ser una ruta para acceder al pensamiento algebraico, con
niños o con jóvenes.
El álgebra como generalización o pensamiento en términos de número general, ha logrado
la introducción de manera exitosa en la escuela y se puede analizar bajo algunas de las
siguientes consideraciones:
• Razonamiento acerca de patrones (en gráficas, patrones numéricos, o figuras),
visualización de similitud, diferencias y repetición.
• Generalización o pensamiento en términos de número general; va de lo general a lo
particular.
• Manejo mental de lo ya conocido.
• Pensamiento acerca de relaciones matemáticas, más que sobre los objetos matemáticos.
La iniciación del trabajo de estas ideas en la escuela primaria e inicios de la educación
secundaria (hoy denominada educación básica), no es algo instantáneo: se debe realizar de tal
forma que los estudiantes puedan involucrarse en actividades que los estimulen a desarrollar el
pensamiento algebraico.
El álgebra como una actividad
El álgebra también puede ser vista como un modelo de construcción de la actividad; la
clave para el álgebra elemental se establece en la palabra representación, dado que en este
sentido existen otras formas de representación de lo desconocido y de las variables por medio
de letras. Dienes, en su libro Materiales para el álgebra, argumenta la habilidad de los niños
para trabajar con lo desconocido en una forma de caja; es decir, la mayoría abordan problemas
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de álgebra que pueden ser resueltos con los estudiantes de primaria, utilizando técnicas de
multiplicación, dibujos, tareas y diseños de programas de computación, gráficas simples y
tablas. La manipulación algebraica desarrolla el pensamiento, la facilidad para comunicar, así
como representar las propiedades generales de números y también la visualización de patrones.
El álgebra como una herramienta
Se considera una actividad para resolver problemas y desarrollar el pensamiento con
cierta efectividad, alcanzar soluciones a problemas que difícilmente podríamos llegar a resolver
sin esta herramienta, descodificar mensajes, con motivo de resolver problemas en la
matemática y en la vida real.
Para Kaput, citado en Lee (op. cit 2001), la iniciación de un pensamiento algebraico en
la escuela primaria facilitaría la apropiación de los temas algebraicos en la escuela secundaria y
acceder así a conocimientos más complejos y desarrollar un pensamiento abstracto.
El álgebra como aritmética generalizada
El álgebra como aritmética generalizada es la interacción de diferentes percepciones
como un patrón de un número generalizado, el estudio de las estructuras aritméticas y
ocasionalmente el estudio de expresiones simbólicas de letras, sin establecer el significado de
símbolos. Si bien las críticas ven al álgebra desde el punto de vista histórico y pedagógico, se
podría introducir este modelo en la escuela primaria, en los libros de textos. Para Kaput (citado
en Lee op. cit 2001), hay que tener en cuenta que en el currículo de la escuela primaria se da
mucho tiempo para el estudio de la aritmética; por lo tanto, el trabajo con actividades
algebraicas podría ser un buen intento para trabajar con patrones, propiedades y operaciones
con esos números.
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El álgebra como una cultura
El álgebra es una comunidad, una cultura, un mundo con valores, vida práctica,
tradiciones, historia y procesos de transmisión, en la cual los diferentes problemas que los
estudiantes enfrentan con dicho contenido matemático pueden ser vistos desde la perspectiva
del conflicto cultural y de su introducción en el proceso de enculturación. La cultura es una
interrelación y no es aislada del resto de la cultura matemática de la escuela primaria, de modo
que se relaciona con el currículo de la aritmética y la geometría, teniendo en cuenta que así ha
sido vista históricamente; ello con la finalidad de que se tome al álgebra como unificación del
tema en las matemáticas de la escuela primaria, como el álgebra de los números, la geometría
de la forma o el álgebra de la medida.
En álgebra contiene temas que pueden ser trabajados en la escuela primaria como:
• Utilizar aritmética generalizada en relación con el comportamiento de números en
operaciones con los mismos.
• Realizar etapas de geometría generalizada en forma de patrones geométricos.
• Utilizar modelos y resolución de problemas usando una diversidad de herramientas
algebraicas.
Así, los niños pueden ser estimulados a desarrollar su pensamiento acerca de objetos
matemáticos (números, formas y medidas), para reflexionar la relación entre esos dos objetos.
Para la enseñanza del álgebra Mason (1985) menciona que no es conveniente separar los
contenidos aritméticos y geométricos, porque, el álgebra se enlaza con los diferentes
conocimientos matemáticos, considerando que la introducción a este tema matemático tiene
que ser clara y sencilla, (el inicio de un lenguaje matemático), para que les sea significativo y
pueda llegar a la expresión y manipulación de fórmulas; y teniendo en cuenta que los procesos
de generalización facilitan la apropiación del álgebra, de modo que los alumnos puedan
desarrollar un pensamiento abstracto.
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La constante preocupación de la comunidad internacional sobre la didáctica del álgebra
establece cuatro orientaciones (Bednard, Lee y Kieran).
• La generalización de patrones numéricos y geométricos y de las leyes en relación
numérica.
• La modelación de situaciones matemáticas y de situaciones concretas.
• El estudio de situaciones funcionales.
• La solución de problemas.
Tomar como base las cuatro perspectivas mencionados en un programa de álgebra es
esencial, para no perder la interrelación de los diferentes temas matemáticos. Para Mason
(1995), con la generalización, los alumnos desarrollan un pensamiento abstracto, matemático y
algebraico, lo cual se ve favorecido a partir del trabajo con patrones o regularidades; esto los
ayuda a identificar la generalización en situaciones cotidianas, razón por la cual, aprender el
lenguaje algebraico es primordial, pues el alumno percibe un patrón o una regularidad y por
consiguiente se comunica matemáticamente.
Mason plantea cuatro fases para llegar a la generalización:
• Percibir un patrón: identificar un patrón en las sucesiones de figuras geométricas o
numéricas nos obliga a cuestionarnos cómo se presenta la sucesión o cómo va
variando, cual es la manera de realizar una operación, siempre motivando a los
alumnos, a identificar y comunicar patrones, pues, la forma de decir y registrar es el
inició para el aprendizaje del álgebra.
• Expresar un patrón: ya identificado el patrón, se prosigue a decirlo y registrarlo, para
deliberar cómo llegar a la expresión; esto se fortalece con el dialogo entre alumno-
alumno, pues el mismo lenguaje provoca conflicto entre iguales y puedan resolver sus
dudas intercambiando respuestas.
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• Registrar un patrón: cuando el alumno tenga la comprobación de la regla con palabras
cotidianas, puede ser posible que lo exprese, dándole términos literales de forma
espontánea (letras).
• Prueba de validez de las fórmulas: el llevar lo dialogado a una expresión, con
características de un lenguaje matemático, es fundamental: el alumno tiene que
comprobar sus resultados para llegar a la validez, así como sus diferentes formas, con
la finalidad de tener una idea de lo particular a lo general.
En la propuesta mencionada por Mason (1995), de las cuatro etapas para trabajar los
procesos de generalización, Ursini (1993) realizó un estudio en escuela secundaria con alumnos
de entre 12 y 13 años de edad; observó que presentaban dificultad para completar las cuatro
etapas, razón por la cual destacó la importancia de éstas para que los alumnos adquieran el
lenguaje algebraico.
Para Castro, Rico y Castro (1995), citado en Butto (2005), toda semejanza que conlleva a
una regularidad, un patrón, involucra una situación repetitiva y provoca algún resultado, de
modo que se pueda predecir; considerando las diferentes teorías en matemáticas, éstas nos
ayudan a percibir la relación entre patrones y sus estructuras; identificar los patrones y
semejanzas, en relación con las matemáticas, nos abre la puerta, es decir, la base para
comprender y apropiarse los temas posteriores, el identificar de manera clara los patrones en
matemáticas; es conveniente por dos razones:
• Vivimos inmersos en una sociedad, en donde se pueden identificar patrones y
semejanzas.
• Los patrones se encuentran en los problemas de matemáticas; visualizarlos nos ayuda a
la utilización de fórmulas, y a un pensamiento algebraico.
De igual forma explica Alonso (1996) que las dificultades y errores de los alumnos con los
procesos de generalización y de acceso a las expresiones generales, con símbolos, es
complicado para la gran mayoría de los alumnos, pues los errores se establecen en las
secuencias aritméticas y geométricas; en esta última los alumnos demuestran no comprender la
estructura del problema, y esporádicamente logran ver algunos componentes del mismo, pues
22
no existe, apropiación del tema; por consiguiente, es confuso para la mayoría de ellos; el autor
aclara que, la dificultad se establece, en cómo abordar los problemas: los alumnos no logran
observar los patrones y semejanzas, pues tienen una percepción incompleta de lo que es una
ley general. En el caso de la siguiente sucesión:
3, 5, 7, 9, …
El cálculo se establece en encontrar a, cuando n vale uno; se resta uno menos uno y se
multiplica por dos; al resultado se le suma tres y el resultado es tres; para el segundo termino,
cuando n vale dos se resta uno a dos y el resultado se multiplica por dos y se suma tres y el
resultado es cinco; esto queda expresado en forma general de la siguiente manera an= 3+2(n-1).
Introducir patrones es favorable en los modelos curriculares y de evaluación, que son
tomados por el Consejo Nacional de Profesores Norteamericano NTCM (1989). El uso de
patrones desde muy temprana edad permite la visualización y semejanza en los diferentes
problemas, con el objetivo de que posteriormente se desarrolle y consolide en los grados
superiores; y la utilización de los procesos de generalización se logra inicialmente de manera
intuitiva, visualizando la regularidad y semejanza de los patrones. En este documento el trabajo
con matemáticas debe contener la exploración de patrones y de funciones para que los alumnos
puedan:
• Descubrir, ampliar, razonar y establecer una extensa gama de patrones.
• Describir y simbolizar lo correspondiente a reglas, tablas y gráficas.
• Analizar expresiones para explicar el cambio en una cantidad y cómo es el cambio con
la otra.
• Utilizar patrones y expresiones para representar y resolver problemas.
Por otro lado en los planes y programas mexicanos de estudio de educación básica de
primaria de 1993, e1 contenido escolar sobre los procesos de generalización, no está presente;
para compensar, o tal vez para iniciar el pensamiento algebraico, se da una presencia al
23
razonamiento proporcional; sin embargo, los procesos de generalización, en la secundaria, se
retoman en diferentes ejes temáticos, para garantizar que los alumnos utilicen el lenguaje
algebraico, para generalizar propiedades aritméticas y posteriormente geométricas; por ello en
los planes y programas de estudio de educación secundaria se introduce la idea de variable y de
relación funcional.
Considerando el estudio de Durán Ponce citado en Butto (2005), realizado con alumnos
de sexto grado de primaria, se deja ver que el programa de enseñanza logra avances
conceptuales importantes, respecto a la identificación de patrones en secuencias numéricas y de
figuras geométricas. Esto se refuerza cundo se trabaja al inicio de un procedimiento de tipo
recurrente y con la interrelación entre alumnos.
Sin embargo, para comprender patrones se requiere trabajar en tres procesos a seguir,
según lo establecido por Durán Ponce (1999):
• Experiencia con ejercicios relacionados con patrones numéricos.
• Expresar las reglas que determinan patrones numéricos específicos, mediante el
diálogo entre iguales, para que realicen aclaraciones y precisiones.
• Inducir a que los alumnos registren, de forma reducida, dichas reglas.
En lo que respecta a los procesos de generalización, el álgebra es la manera establecida
en las matemáticas para expresar lo particular a lo general y para ver lo general en casos
particulares. De acuerdo con los estudios realizados por Reggiani (1994), la generalización es
la base para el desarrollo del pensamiento algebraico; sin embargo, como la resolución de los
problemas es totalmente técnica, explica que para llegar al pensamiento algebraico se deben
reforzar las propiedades de las operaciones entre números, y se inicia el trabajo con la
simbolización de acuerdo al contexto del problema.
Sobre la línea de investigación del pensamiento algebraico, diversos investigadores
como Rojano y Sutherland (1993) y Ursini (1991) citado en Butto (2005), señalan las
dificultades que los alumnos presentan cuando lleva el problema al ámbito de la
programación con la rigurosidad de la formalización; el lenguaje algebraico y el
24
lenguaje de la programación en Logo son importantes para acceder a la variable; no
obstante, explican algunas restricciones en habilidades espontaneas, para pasar de lo
particular a lo general, de modo que es recomendable estimular a los alumnos con
procedimientos dirigidos, para que logren visualizar los procesos de generalización.
En relación con el lenguaje de programación Logo Ursini (1996) citado en Butto (2005),
realizó un estudio en el cual participaron alumnos entre 11-12 años, cuyo propósito era,
comprender la generalidad, fundamentada en llevarlos a trabajar en el problema, paso por
paso, donde exista una motivación, así como, un apoyo externo; esto demostraría que los
estudiantes aun no introducidos al álgebra pueden llegar a una etapa pre algebraica. Esto
confirma que el trabajo en edades tempranas demanda de una estimulación, así como una
intervención externa, para que el alumno consiga razonar en términos pre- algebraicos; la
forma de expresarlo por escrito, es un factor determinante para alcanzar un aprendizaje
significativo.
Así mismo, esta autora, enfatiza que la verbalización y la simbolización se relacionan
para llegar a los procesos de generalización, pues para aprender el lenguaje algebraico se
requiere decir algo (poder expresar por medio de una regla), percibir patrones y regularidades
para registrarlo brevemente, de suerte que se puedan comunicar con argumentos matemáticos,
estableciendo que se pasa apresuradamente a la expresión de generalidad, sin la certeza de que
el alumno visualice una regularidad; el lenguaje algebraico se relaciona con la generalidad, de
modo que si no se consiguen los pasos anteriores, las dificultades se presentan en la generalidad
y por supuesto en el lenguaje algebraico. Esto determina que las averiguaciones sobre la
habilidad de ver un patrón en una secuencia gráfica, nos dan como resultado que las estrategias
fueron diferentes de cómo resolver el problema; inclusive, varios alumnos trataron de
representar la generalidad algebraicamente.
Por consiguiente, los resultados mostraron que los alumnos no eran hábiles para integrar
la representación gráfica y la numérica, a pesar de que tenían relación entre ellas; es inevitable,
que los estudiantes manejen representaciones en dos tipos de lenguaje, al referirse al mismo
problema y que puedan pasar de un lenguaje a otro, con la facilidad de establecer la regla del
patrón y la representación grafica y numérica.
25
Para Castro (citado en Butto 2005), los alumnos puedan generalizar, a partir del trabajo
con patrones de tipo lineal o cuadrático, razón por la cual se debe integrar en los programas
escolares y como parte del trabajo escolar. A continuación, tenemos los números triangulares
que muestran una ordenación puntual, en forma de triángulo.
Tenemos la siguiente secuencia
1 2 3 4 5
T1=1 T2=3 T3=6 T4=10 T5=15
La secuencia numérica, muestra una regularidad en la alineación que descubre el patrón
numérico, porque va sumando un natural consecutivo iniciando por el digito uno, para
conseguir los restantes encontramos el patrón geométrico a través de T1 para encontrar a T2 y
se coloca dos puntos en la línea inferior, quedando uno más dos; T2 vale tres, de la misma
manera, se parte de T2 para encontrar a T3 se pone tres puntos diagonales; si teníamos tres más
tres, nos da seis, para T4 tenemos seis mas cuatro puntos diagonales nos da 10 y así
sucesivamente.
Otra alternativa puede ser la explicación conocida con la siguiente fórmula:
n + 2 ( n – 1 + n – 2) +…….+1)
n + 2 n (n +1) 2 n + n (n+1)
n (1+ n +1 ) =n ( n +2)
n + 2 ( n ) ( n -1)
n ( 1 + 2n - 1)
n + n ( n – 1 )
n (1 + n – ½)
n ( n ) = n
26
Para los números cuadrados, se resuelven sumando los puntos, ya sea de forma de
tablero o cuadrado y quedan de la siguiente manera:
La secuencia queda de la siguiente manera.
G1= 1 G2=4 G3=9 G4=16
Para resolver la secuencia numérica, el patrón de alineación es sumar los números
impares consecutivos, de modo que para G1, el alumno tiene que descubrir el patrón,
visualizando la formación del cuadrado y sumando cada número impar partiendo del primero;
si se quiere encontrar G2, se suma el número impar consecutivo de uno que es tres y tres más
uno da cuatro, para G3 se suma el número consecutivo después de tres que sería cinco y cuatro
más cinco igual a nueve, se sigue de igual manera.
Las secuencias anteriores tienen estructuras, patrones y relaciones que conceden una
herramienta para la visualización sobre las estructuras comunes, y las regularidades pueden
facilitar a los alumnos la comprensión y abstracción de las propiedades numéricas,
interrelacionadas con las aditivas y las multiplicativas.
Lee (citado en Butto 2005), propone que para iniciar al alumno en el pensamiento
algebraico como manera de pensar, aquel debe desarrollar un pensamiento relacionado con
objetos matemáticos, como números, formas y medidas, de suerte que se piense en la relación
que existe entre ellos, con el fin de brindarles la oportunidad de operar mentalmente y
reflexionar acerca de los números que no conocen y comentar que el lenguaje algebraico debe
ser plantado en la escuela primaria como un lenguaje común, para que los alumnos se
relacionen con el uso de simbolización algebraica mediante la representación.
Por lo tanto, la perspectiva de aritmética generalizada propuesta por Mason (1995),
como una vía para la enseñanza del álgebra, vía los procesos de generalización, parece permitir
27
el inicio de un lenguaje matemático, significativo y así, apropiarse del tema, lo que significa
que los alumnos deben participar en la detección de patrones y semejanzas, y que puedan
decir, identificar, argumentar y sobre todo, expresar, tanto en un lenguaje cotidiano, como en el
lenguaje algebraico, dando sentido a lo que realizan y teniendo clara la simbología.
Las breves explicaciones plasmadas en este escrito, por los diferentes investigadores nos
orientaron a establecer que, apoyándose en los procesos de generalización, se puede acceder al
pensamiento algebraico, por consiguiente, es un camino viable para descubrir un lenguaje
algebraico oral y escrito, con una apropiación de los significados algebraicos.
De acuerdo con las investigaciones anteriores, la aportación para esta tesis es la de ver
los procesos de generalización como una vía para acceder al pensamiento algebraico y por
consiguiente al pensamiento algebraico partiendo de la propuesta de Mason, desde la
identificación de similitudes o patrones en secuencias aritméticas y geométricas, considerando
que el trabajo se debe realizar con un procedimiento de tipo recurrente y la interrelación entre
alumnos, para llegar a un lenguaje y una simbolización con significado, a fin de que
desarrollen la habilidad de observar, identificar, comunicar y expresar algebraicamente los
diferentes problemas matemáticos.
28
Capítulo ll
Contexto curricular
Este capítulo trata sobre el marco legal de la Educación Básica en México, en donde se
fundamenta el artículo 3º de la Constitución y la ley General de Educación; así como el Plan y
Programa de Educación Básica y Secundaria, desde el enfoque que se le da al proceso
enseñanza y aprendizaje, en relación a la Reforma de la Educación Secundaria 2006 (RES). En
el cual, se ve la enseñanza como una integración de los diferentes conocimientos matemáticos;
posteriormente, se revisará el programa de estudio de matemáticas en primer año de secundaria,
se determina los contenidos los cuales se establecen por ejes temáticos relacionados con los
procesos de generalización; el cual está inmerso bloque 1.-Sentido numérico y pensamiento
algebraico tiene el propósito de dar sentido al lenguaje matemático, de forma oral o escrita,
estableciendo una conexión entre la aritmética y el álgebra; solamente se revisó el programa de
primer año de secundaria, con el que se relaciona el tema de investigación; después se
especifican los ejes temáticos de la asignatura y, de manera global, se revisa el perfil de egreso,
con el objetivo principal de brindarle los conocimientos básicos, para que el alumno pueda
desarrollar un pensamiento matemático; tal es el propósito y el enfoque de la educación básica;
finalmente se hace mención de cómo los procesos de generalización son vistos desde los
contenidos de educación secundaria.
2.1 Marco legal
El fundamento legal de la educación en nuestro país; queda implementado en el artículo
3º de la Constitución Mexicana y la ley General de Educación, teniendo en cuenta que, la
normatividad dentro de los centros educativos favorece el desarrollo del proceso de enseñanza
y aprendizaje de manera satisfactoria.
2.1.1 Artículo 3º de la Constitución
El artículo 3º de la Constitución manifiesta que toda persona tiene derecho a recibir
educación, y que el Estado, la Federación, los Estados, el Distrito Federal y los municipios
impartirán educación preescolar, primaria y secundaria, de forma gratuita y obligatoria,
tendiendo a desarrollar armónicamente todas las facultades del ser humano y a fomentar el
amor a la patria y la conciencia de la solidaridad internacional, en la independencia y en la
justicia.
29
La Constitución garantiza:
• La libertad de creencias, considerando que la educación debe ser laica.
• La educación basada en logros científicos, democráticos, nacionales, y fomentará la
convivencia humana.
• Que el ejecutivo federal determine los planes y programas de educación de preescolar,
primaria y secundaria, tomando en cuenta la opinión de los gobernadores de las
entidades federativas, así como de los diversos sectores sociales que intervienen en la
educación.
• Que toda educación que el Estado imparta sea gratuita.
• Que el Estado promueva y atienda todos los tipos y modalidades educativas (educación
inicial hasta la superior).
Establecido los puntos más relevantes del artículo 3º de la constitución, esta información se
complementara con la ley general de educación que a continuación se establece.
2.1.2 Ley general de educación
Es la parte complementaria de la Ley General de Educación, se establece una correlación
entre la Ley General de Educación y el artículo 3º. Estos determinan la educación en México
• Un reconocimiento de validez oficial de estudios.
• Cualquiera sujeto tiene derecho a recibir educación, teniendo las mismas oportunidades
de acceder a la educación cubriendo los requisitos solicitados.
• La educación será laica y gratuita pues es obligación del estado brindar los servicios
educativos.
30
• Favorecer el desarrollo integral del sujeto, desarrollo de facultades (observación,
análisis y reflexión crítica).
• Desarrollar actitudes solidarias en los individuos.
• Los criterios que guían la educación son: Democrático; instituyendo un acceso a un
mejoramiento económico, social y cultural del pueblo. Nacional, sin hostilidad ni
exclusivismo, se tomara en cuenta los problemas como; el aprovechamiento de los
recursos, la defensa de nuestra independencia política y económica, así como la
continuidad y aproximación de nuestra cultura.
Una vez definidas las bases legales y administrativas de la educación, se pasará a establecer
el plan y programas de la educación básica, los cuáles están incluidos en la sección 2, de la
presente ley, y que da establecido que:
• Se debe definir los propósitos de formación general, así como las posibles habilidades y
destrezas que se relacionan a cada nivel educativo.
• La organización de contenidos por asignatura y las posibles unidades de aprendizaje que
deben acreditar de acuerdo al nivel educativo.
• Las secuencias indispensables y la relación que existe entre las asignaturas o unidades
de aprendizaje.
• Los criterios de evaluación y acreditación para verificar que el alumno cumple con los
propósitos de cada nivel educativo.
Tanto el artículo 3° como la ley general de educación determinan que la Secretaria de
educación Pública es la que constituye los planes y programas de estudio en toda la república
Mexicana, por consiguiente la Secretaria realiza revisiones y evaluaciones metódicas y
continuas pues la educación es la base fundamental de una sociedad. Con todo lo anterior se
determina el Plan de estudios 2006, que a continuación se desarrolla.
31
2.2 Plan y Programa 2006 de Educación Secundaria
El otro eje de la educación en México, es la Secretaria de Educación Pública (SEP),
quien tiene la facultad de realizar tiene la facultada de realizar y supervisar dichos contenidos
es la Secretaría de Educación Pública (SEP), con la finalidad de que todos los involucrados en
la práctica educación conozcan la estructura y organicen acciones colegiadas para estimular la
educación, así mismo que se establezca el trabajo cooperativo, como condición importante para
el desarrollo educativo, promoviendo la interacción entre docente-alumno, alumno-alumno y
integración de los padres de familia.
El Plan y Programa de estudios tiene como objetivo garantizar los requisitos formativos
de la escuela secundaria, con la finalidad de formar ciudadanos con conocimientos y destrezas
para desarrollarse e integrarse a una sociedad democrática; la educación básica obligatoria
forma para desenvolverse en un mundo de constantes cambios y retos.
2.2.1 La finalidad de la educación básica
La finalidad de la educación básica es establecer lineamientos normativos con el
objetivo de brindar una educación democrática, nacional, intercultural, plurilingüe, laica y
obligatoria, que promueva el desarrollo del individuo y de su comunidad construyendo una
conciencia de solidaridad de los educandos, así mismo las características de una educación
básica, está debe estar a la altura de los constantes cambios sociales, económicos, políticos y
demográficos.
Por consiguiente:
• Es obligación del Estado brindar las condiciones para todos los egresados de primaria
logren ingresar a la secundaria y que permanezcan en ella hasta concluirla.
• Adquirir los conocimientos, el desarrollo de habilidades, la construcción de valores y
actitudes.
32
• Continuar con una educación o ingresar el campo laboral, el desarrollo de la capacidad
de reflexión y el análisis crítico.
• Desarrollo de los estudiantes y formación de ciudadanos democráticos.
Ahora bien en el Plan y Programas, la palabra educación se relaciona con enseñanza:
…”la enseñanza ya no se concibe como un simple proceso de transmisión de conocimientos de
alguien que los posee (el profesor) a alguien que no lo posee (el alumno), sino más bien como
el proceso de naturaleza social, lingüística y comunicativa en el que el papel fundamental del
profesor es estructurar y guiar la construcción de significados que realizan los alumnos”….
(Coll, 2001, p 443).
Por lo anterior, podemos decir que el reto de la enseñanza y sobre todo en las
matemáticas, es que los alumnos se apropien de los conocimientos, a partir de la interrelación
entre profesor-alumno y alumno-alumno, propiciando la reflexión y la expresión oral o escrita,
y apoyándose en los conocimientos previos, sin que exista un desfase en los diferentes temas
establecidos en el Plan y Programa de estudio para la educación básica.
2.2.2 Perfil de egresado de la educación básica
Al concluir los estudios de secundaria los estudiantes deben contar con ciertos contenidos
aprendidos, que son el resultado de su trayectoria en la educación secundaria. Esta enseñanza
debe favorecer aspectos cognitivos, sociales, afectivos y democráticos. Mencionado lo anterior
se establece que se les brinda los conocimientos y habilidades para integrarse a una sociedad en
constante cambio.
• Utilizar el lenguaje oral y escrito con claridad y fluidez, así como el reconocer la
diversidad lingüística del país.
• Poder argumentar, razonar y analizar situaciones con diferentes problemas para así
emitir juicios con soluciones.
33
• Reconocer diferentes informaciones y aprovechar los recursos tecnológicos a su
alcance.
• Identificar los derechos humanos y los valores que favorecen la vida democrática.
• Identificarse como ser humano con diferentes cualidades capaz de lograr sus propios
propósitos y asumir su responsabilidad de sus acciones.
Mencionado lo anterior, la clave para desarrollar las habilidades en los estudiantes de
educación básica, son las competencias para la vida que a continuación se describen.
2.2.3 Competencias para la vida
El constante cambio de una sociedad logra que los niveles educativos sean cada vez más
altos, considerando que, tanto hombres como mujeres sean capaces de integrarse a una
sociedad y logren resolver problemas cotidianos, de modo que, la educación básica debe
desarrollar competencias amplias para mejorar la manera de vivir e integrarse a una sociedad.
Una competencia se relaciona un saber hacer o sea una habilidad, con un saber, un
conocimiento, los cuales involucra una valoración de valores y actitudes de ese hacer, con la
finalidad de que una competencia demuestra la combinación de conocimientos, habilidades,
actitudes y valores para el logro de propósitos en un contexto dado.
Con la ayuda de las competencias se llegará a objetivos concretos, teniendo en cuenta que,
es más que el saber, el saber hacer o el saber ser, pues tienen la cualidad de manifestarse en la
acción integrada, porque el tener conocimientos o habilidades no significa ser competente, por
tanto pueden conocer los derechos humanos pero no respetar los derechos de los demás. Las
competencias que a continuación se mencionan, ayudan a determinar el perfil del egresado de
secundaria, a fin de que puedan ser desarrolladas por todas las asignaturas y logren
proporcionar oportunidades y experiencias de aprendizaje para todos sus egresados.
• Competencias para el aprendizaje permanente.- Abre la posibilidad de reconstruir
continuamente su propio aprendizaje, tanto cultural, científico y tecnológico para
integrarse a una sociedad en constante cambio.
34
• Competencia para el manejo de la información.- Desarrolla la búsqueda, evaluación y
sistematización de información; pues el pensar, reflexionar, argumentar y expresar
juicios críticos por medio de las distintas lógicas de conocimiento.
• Competencias para el manejo de situaciones.- Brindan la posibilidad de organizar y
diseñar proyectos de vida, considerando aspectos sociales, culturales, ambientales,
económicos, académicos y afectivos, con la iniciativa de llevarlo a cabo, así mismo la
distribución de su tiempo; propiciar cambios de acuerdo a como se presenten, a fin de
que pueda tomar decisiones y asumir sus responsabilidades afrontando el riesgo y la
incertidumbre, con miras de manejar el fracaso y la desilusión.
• Competencias para la convivencia.- Integrarse de forma cordial con otros y con la
naturaleza, a fin de que puedan comunicarse con eficacia y logren trabajar en equipo,
tomar acuerdos y negociar con otros.
• Competencias para la vida en sociedad.- La habilidad de para decidir con juicio crítico
frente a los valores y las normas sociales y culturales, logrando una conducta que llegue
a la democracia, la paz, el respeto a la legalidad, a los derechos humanos y al respeto
ante la diversidad sociocultural; evitando la discriminación y el racismo para llegar a
una conciencia de pertenencia a su cultura, y sobre todo a su país.
2.2.4 Programa de estudio de matemáticas
En la asignatura de matemáticas para secundaria se espera que los estudiantes planteen y
resuelvan problemas matemáticos en diferentes contextos, así como comprobar los resultados
con un manejo del lenguaje matemático, para que lo puedan expresar de forma oral y escrita, y
teniendo en cuenta:
• Una actitud positiva hacia las matemáticas.
• Uso de lenguaje algebraico para generalizar expresiones aritméticas y geométricas.
• Estimular y desarrollar la curiosidad.
35
• Resolución de problemas a partir de ecuaciones de distintos tipos.
• Uso de propiedades geométricas para realizar trazos.
• Creatividad para formular conjeturas.
• La flexibilidad de pensamiento.
• La autonomía intelectual.
• Manejo de diferentes técnicas aritméticas, algebraicas o geométricas, con o sin ayuda de
tecnología al resolver problemas.
Mencionado lo anterior, se debe desarrollar en los estudiantes confianza en su habilidad de
aprender, con el fin de que puedan expresar, comunicar, argumentar y desarrollar un lenguaje
matemático (algebraico), para enfrentarlos a los retos actuales de la sociedad.
Los temas de la asignatura se distribuyeron en tres ejes temáticos
• Sentido numérico y pensamiento algebraico: aquí se manifiesta la finalidad más
importante de la aritmética y del algebra; con el propósito de dar sentido al lenguaje
matemático, de forma oral o escrita, se establece una conexión entre la aritmética y el
álgebra.
• Forma, espacio y medida: estos tres componentes se relacionan con el aprendizaje de la
geometría y la medición, pues se parte de que las formas se dibujan, se trazan, se
razonan sus propiedades y se calculan.
• Manejo de la información: es una gama de significados excesivos y amplios, en la cual
la información puede aparecer en contextos establecidos, definidos o aleatorios, donde
se pueda observar una tendencia a partir de su carácter gráfico o tabular.
36
El propósito fundamental de los tres ejes temáticos es que los alumnos puedan relacionar
los diferentes temas entre sí; se evita separar los conocimientos y se motiva a establecer
conexiones o ampliar los alcances de un mismo concepto, con las diferentes asignaturas, con la
finalidad de que los alumnos alcancen un aprendizaje integrado y significativo.
El programa parte de los contenidos trabajados y las habilidades que los alumnos
desarrollaron en la primaria, para construir lo que aprenderán en la secundaria, desarrollando
un pensamiento abstracto, reflexivo y crítico, y considerando a futuro resoluciones de
problemas más complejos.
2.2.5 Propósito
La utilización de un lenguaje algebraico, apunta al desarrollo de un pensamiento abstracto,
pues admite cambios relevantes en el significado y en la forma de generalizar propiedades
aritméticas y geométricas; la generalización es una vía para la introducción al álgebra, de modo
que pueda tener una visión de ver lo general en lo particular, y lo particular en lo general, la
obtención de la expresión algebraica permite expresar una serie establecida por un patrón, en la
cual se utilizan ecuaciones con una simbología (o dos incógnitas), a fin de emplear expresiones
algebraicas.
En el eje temático Sentido numérico y algebraico, los alumnos se iniciarán en el estudio del
álgebra, trabajando los tres usos de las literales:
• Número general.
• Incógnita.
• En relación funcional
Para el eje temático Manejo de información, al resolver problemas se debe distinguir entre:
• Organización.
• Representación.
37
• Interpretación de datos.
La utilización de estos conocimientos se basa en nociones previas como porcentaje,
probabilidad, función y los significados de los números enteros, fraccionarios y decimales.
El eje temático Formación, espacio y medida estimula la destreza y la competencia con base
en la argumentación; en ellas se debe explicar las razones por las cuales se realizó el trazo de
cierta figura, tomando en cuenta las características de las mismas.
Los alumnos se enfrentarán a la resolución de problemas que requieran análisis,
organización, presentación e interpretación de datos, provenientes de diversas fuentes, con el
fin de llegar a la comprensión de los diversos conceptos matemáticos, apoyándose en
actividades que pongan en juego la intuición, para que a la vez favorezcan el uso de
herramientas matemáticas, para ampliar, reformular o rechazar las ideas previas.
2.2.6 Enfoque y evaluación
La perspectiva de la asignatura matemática se propone brindar a los estudiantes
conocimientos y herramientas necesarias para que puedan incorporarse a diferentes centros
educativos, así como a una sociedad que demanda a cada instante personas cada vez más
capacitadas. La experiencia de los alumnos, en las diferentes etapas en matemáticas, es un
factor determinante para que sea vista con agrado: lo estimula a desarrollar la creatividad para
buscar soluciones; en cambio, cuando no existe tal estimulación se tiende al rechazo, a la
indiferencia para comprenderlas, se limita la búsqueda de argumentos para validar los
resultados y finalmente se rechazan las matemáticas.
La metodología didáctica de los programas para la educación secundaría lleva a la práctica
acciones de estudio que estimulan la curiosidad de los estudiantes, su reflexión y la
visualización de varias técnicas de cómo resolver los problemas, con la finalidad de argumentar
y comprobar los resultados.
La utilización de la aritmética, así como las fórmulas y los diferentes términos, adquieren
importancia cuando el alumno las utiliza de manera asertiva, para determinado problema; por
consiguiente se utilizan de manera flexible, con el fin de llegar a un razonamiento y evitar la
38
memorización; el aprendizaje debe ser significativo para el alumno de modo que reflexione
sobre cómo llego a la solución; las soluciones se establecen en la comprensión de diferentes
estrategias, de las cuales se utiliza solamente una. Para solucionar un problema, el alumno
debe de recurrir a los conocimientos previos, los cuales le permiten visualizar la situación,
teniendo en cuenta que el desafió es reestructurar los conocimientos; de esta forma, puede
modificarlo, extenderlo o simplemente rebatirlo con la finalidad de usarlo en la solución de
nuevos problemas.
El reto de la enseñanza de las matemáticas es que tanto docentes como estudiantes re
conceptualicen el proceso de enseñanza y aprendizaje; con el objetivo de propiciar un cambio
en la enseñanza de las matemáticas.
• La resistencia de los alumnos: se debe propiciar que ellos mismos busquen la solución
al problema presentado, haciendo favorable el intercambio de ideas, con el fin de que
reflexionen en el problema, (problematización).
• La dificultad para leer y por lo tanto para comprender: al no conocer el significado de lo
que se pregunta, el estudiante interpreta de modo diferente, y genera resultados
equivocados; el docente debe investigar cómo interpretan los problemas los alumnos.
• El desinterés por trabajar en equipo: cuando se trabaja en equipo se dialoga entre
iguales, se intercambian reflexiones para encontrar la solución, y se desarrolla la
cooperación entre los integrantes del equipo.
• La falta de tiempo para concluir la actividad: un trabajo planeado debe brindar
alternativas para realizar las diferentes actividades y evitar así que el docente se limite
a “dar” su clase mientras los alumnos sólo escuchan.
Mencionado lo anterior se complementa con la forma de evaluar de cada profesor, pues
debe saber que saben hacer sus alumnos, en qué momento de aprendizaje se encuentran y que
no logran apropiarse, para lograr tal objetivo el profesor cuenta con los recursos comunes como
registros breves de observación, cuaderno de trabajo, lista de control y pruebas. Cuando se
evalúa se complementan dos aspectos:
39
• Que tanto saben hacer los alumnos y como aplican lo que saben en relación a cada
grado que se encuentren.
• Los conocimientos y habilidades son interrelacionados con los diferentes bloques, como
en los diferentes grados, para ir más allá de los aprendizajes esperados.
Para llegar a un aprendizaje significativo los profesores pueden apoyarse en el desarrollo de
las competencias matemáticas.
2.2.7 Perfil del egresado en la asignatura de matemáticas
El perfil del egreso se inserta en una sociedad de constantes cambios y con lo ayuda de
las competencias a lo largo de su vida escolar, el alumno contará con las bases necesarias para
continuar sus estudios o integrarse al ámbito laboral. No se debe olvidar que estas
competencias se deben pulir para lograr el existo de alumnos capaces de enfrentar la
problemática de su contexto y logren tomar decisiones de manera responsable, pues el potencial
que logra alcanzar un alumno es favorecido o limitado por la forma de trabajar dichas
competencias.
El alumno egresado de secundaria (Plan de estudio 2006) ha de:
• Utilizar un lenguaje oral y escrito con claridad y fluidez, para interactuar en diferentes
contextos.
• Argumentar y razonar frente a diversas situaciones, reconocer problemas, formular
preguntas, emitir juicios y proponer diversas soluciones.
• Manejar información proveniente de diversas fuentes y aprovechar los recursos
tecnológicos a su alcance, para ampliar su aprendizaje.
• Conocer los derechos humanos y los valores que favorecen la vida democrática,
ponerlos en práctica y tomar decisiones con responsabilidad y apego a la ley.
40
• Conocer y valorar sus características y potencialidad como ser humano.
Para fortalecer las comunidades de aprendizaje en secundaria, los docentes deben romper
con dogmas establecidos, y compartir información sobre las características de los alumnos
entre la comunidad, con la finalidad de pensar en el beneficio de los alumnos, de modo que los
retos planteados por cada asignatura puedan ser superados; ello sin olvidar la necesidad de
reconocer la diversidad de características e intereses; por consiguiente, esta diversidad se
expresa en la manera como los alumnos responden a las tareas que la escuela demanda.
2.2.8 Competencias matemáticas a desarrollar
Las competencias en matemáticas son complementarias de las competencias que se
encuentran en el Plan y Programas de Educación Secundaria. Éstas son un apoyo para el
docente y evita planteamientos que puedan confundir al alumno.
• Planteamiento y resolución de problemas.- El alumno pueda identificar, plantear
y resolver diferentes tipos de problemas o situaciones, en las que la respuesta sea
una o tenga de más datos o falten, en esta se pide que el alumno pueda llegar a la
generalización de manera satisfactoria.
• Argumentación.- el profesor estimula que los s alumnos tomen el compromiso
de buscar una manera de resolver cada problema que se plantea, así mismo que
logren argumenten con sustento al procedimiento matemático, los tres tipos de
argumentación son: En base de explicar, para mostrar o justificar informalmente
y para demostrar.
• Comunicación.- Percibe la posibilidad de expresar y representar información
matemática del problema, así mismo que la pueda interpretar o sea que exponga
con claridad las ideas matemática del problema.
• Manejo de técnicas.- La identificación del procedimiento y formas de
representación al efectuar cálculos con ayuda de la tecnología o sin ella, es la
41
habilidad de identificar las técnicas necesarias para llegar a la solución del
problema y lo sometan a prueba en muchos problemas diferentes.
En la propuesta de Mason, el poder identificar el patrón y expresarlo de forma oral y
escrita, se relacionan con las competencias de comunicación, argumentación, planteamiento del
problema y manejo de técnicas, que son propicias para que los alumnos se inicien en el álgebra
de manera significativa con la finalidad de acceder a conocimientos más complejos.
El Plan y Programas de Educación Básica brinda al profesor las herramientas necesarias
para cubrir de manera interrelacionada; todos los conocimientos tanto el ser como el poder
hacer y así los alumnos puedan enfrentarse al desafío de ponerlos en práctica.
42
Capítulo lll
Marco teórico
Este capítulo trata sobre el marco teórico y se fundamenta en la propuesta de Mason
(1995), quién propone cuatro etapas para acceder al pensamiento algebraico vía a los procesos
de generalización. El autor menciona que, para acceder al álgebra, se debe relacionar los
contenidos aritméticos y geométricos en la construcción de un pensamiento algebraico; el ver,
expresar, leer y generalizar es un proceso que tienen como finalidad llegar a un lenguaje
algebraico. Dicho proceso tiene que ser recíproco y permanente en el trabajo aritmético y
geométrico, que se inicia en los primeros años escolares.
Mason (1995) argumenta que el álgebra es un lenguaje matemático, con la cualidad de ser
breve, para expresar ideas complejas y abstractas; como cualquier lenguaje que contiene sus
propias reglas de manipulación, se debe tener en cuenta que:
• Su aplicación en las ciencias se expresa brevemente con ayuda del lenguaje algebraico
(su estructura es algebraica).
• Se facilita la manipulación para expresar generalidades.
• Se visualiza y expresa la relación entre número a representación de fórmulas.
Al estimular la habilidad de expresar generalidades, los estudiantes aprenden a ver lo
general en lo particular; cualquiera aprendizaje humano se relaciona con la experiencias
individuales para llegar a principios generales más extensas. Según este autor, la generalidad es
fundamental para que los estudiantes puedan acceder al álgebra de una manera significativa y
logren construir su conocimiento, por eso propone rutas y raíces del álgebra que a continuación
se mencionan.
43
3.1 Rutas y raíces del álgebra de acuerdo con Mason
La propuesta se refiere a cómo facilitar el aprendizaje del álgebra, en relación con sus
raíces; el autor no plantea una secuencia específica: la percepción espontánea o dirigida por el
profesor es la diferencia para apropiarse el nuevo conocimiento.
Diagrama de las raíces del álgebra
En el cuestionario sobre los procesos de generalización se incluyen apartados
relacionados con estas raíces, como a continuación se describe:
3.1.1 Expresión de la generalidad
En las matemáticas, la generalidad es primordial, y por tanto el álgebra, es el lenguaje
con el que se puede expresar esa generalidad, siempre y cuando, el estudiante tenga algo que
decir matemáticamente; de modo logre visualizar una semejanza o patrón, para después
expresarlo por medio de una fórmula, y puede responder a preguntas especificas, por
consiguiente la expresión de generalidad es pues el centro del pensamiento matemático.
En caso de que los estudiantes logren y quieran expresar algo que han visualizado en el
problema, ésa será su álgebra, su construcción de conocimiento, no la imposición de símbolos
Aritmética Generalizada
Reordenamiento y Manipulación
Expresión de la Generalidad
Posibilidades y Restricciones
Álgebra
44
que se encuentran en un libro. Expresar la generalización de una manera clara y sencilla es
factor importante para la comprensión de los temas a tratar; de este modo:
• Ver. Es el poder identificar una similitud o la identificación mental del patrón en
cuestión, lo cual nos lleva a formular preguntas en relación a lo que percibimos, así
como la relación entre el patrón y los números que surgen; ver es primordial para la
generalidad.
• Decir. Ver y decir, son procesos para identificar patrones, pensarlos o hablarlos ya sea
para nosotros mismos o para otra persona, comunicarlo mediante palabras; lo que
proponemos en esta actividad se sugiere realizarlo entre iguales para la apropiación
del tema.
• Registrar. Se trata de palpar lo pensado en forma escrita, con símbolos o dibujos,
cuando el niño tenga la regla con palabras cotidianas, puede ser posible que lo
exprese, dándole términos literales de forma espontanea (letras).
• Prueba de validez de las formulas. Es fundamental llevar lo dialogado a una expresión,
con características de un lenguaje matemático, pues, el alumno tiene que comprobar
sus resultados para llegar a la validez, así como sus diferentes formas, con la finalidad
de que entienda el tránsito de lo particular a lo general.
Apropiarse de manera significativa el cómo se llega a la generalidad nos lleva a una vía
para acceder al álgebra; por consiguiente, ver y expresar una generalidad puede ser estimulante
para los estudiantes, sin olvidar que existen diferentes formas válidas de expresar un patrón.
La expresión de la generalidad se aprecia de manera sencilla en la vida cotidiana; es una
forma de argumentar el estudio del álgebra, originado de la idea de ver y expresar la
generalidad en contextos cotidianos; conviene seleccionar e interpretar dichos contextos para
que la idea matemática sea la apropiada y logre resultados favorables; es preciso descubrir
45
situaciones en las cuales la idea matemática se introduzca evidenciando que la habilidad
matemática es eficiente o un método factible para resolver un problema.
Se debe estimular a los estudiantes a generalizar en situaciones diarias como:
• Ver generalidades dado que hay relaciones de su vida cotidiana, desde identificar los
factores y combinación hasta llegar a la regla.
• Decir la generalidad, descubrir palabras que refieran la situación.
• Registrar la generalidad, cuando se logra expresar con palabras y se prosigue a un
registro escrito
En la realización del cuestionario se trabajaron lo apartados ya mencionados en los
procesos de generalización en las preguntas y que son parte de las raíces algebraicas.
3.1.2 Reordenamiento y manipulación
En el álgebra, es indispensable la manipulación de fórmulas o ecuaciones, considerando a
qué se debe dar tiempo, para que los alumnos desarrollen un pensamiento de reversibilidad,
para llegar a una manipulación exitosa y no confusa de lo que se realiza; se deben cubrir ciertas
características:
• Dialogar los medios de manipular expresiones, con resultados diferentes para la misma
expresión; se debe facilitar la reversibilidad de las diferentes expresiones.
• Establecer que la expresión es una forma propia; identificar las características de la
expresión en cuestión.
• Pensar en una expresión algebraica, teniendo en cuenta que se puede construir o
deshacer; enseñar que es el factible manipular las expresiones, de tal forma que el
resultado o la comprobación sea la esperada.
46
• Concluir cómo manipular expresiones y con qué fin; se debe tener claro el objetivo de la
manipulación, para no causar confusión de lo que se realiza
La finalidad de la manipulación algebraica es desarrollar en el alumno la capacidad para
simplificar expresiones, en orden a solucionar las ecuaciones, de tal forma que pueda
reflexionar las diferentes respuestas que pueda tener un problema; se estimula así la seguridad
del alumno al construir y deshacer dichas expresiones.
Se hace hincapié en proporcionar tiempo suficiente para la transición de ver a decir y a
registra; se debe estimular a los estudiantes para que recurran a formas diferentes de
representar una secuencia de instrucciones.
3.1.3 Posibilidades y restricciones
El objetivo de comprender el álgebra es visualizar la generalidad, la cual se encuentra
en relación de la simbología; para llegar al álgebra, la percepción de los hechos es fundamental.
La práctica pre-algebraica se relaciona con las formas de ver, y no solamente con las
habilidades relacionadas con el número generalizado; en la forma de visualizar se nos facilita
el acceso al álgebra, pues como todo lenguaje el álgebra tiene criterios que determinan lo que
es apropiado para el aprendizaje de la misma.
• Promoción de la percepción de las posibilidades: se diseña una gama de
posibilidades sin categorizar de forma correcta o incorrecta; se promueve la idea de
una posibilidad restringida, con el fin de llegar a la noción de variable. Se relaciona
con la aritmética creativa, dado que los estudiantes recurren a su creatividad para
seleccionar su respuesta entre un número de posibilidades, de modo que las
posibilidades y las restricciones son específicos para lo que se quiere explicar con la
palabra variable.
47
• Paréntesis: son diferentes formas de expresar, con la finalidad de que los estudiantes
comprendan el orden a seguir en las operaciones. La cualidad de recurrir al trabajo
con paréntesis es proponerlo como un juego y motivar a los estudiantes.
• Celdas. Incluyen restricciones implícitas y explícitas con la cualidad de utilizar la
aritmética básica, dado que necesitan la información para encontrar la respuesta; por
lo general, cuando se habla de una restricción implícita, se refiere a que los
estudiantes expliquen las restricciones que logran visualizar; en cambio para la
restricciones explicitas se puede imponer una restricción adicional, solicitando una
respuesta casi esperada.
En esta etapa, la experiencia algebraica es indispensable para llegar a la discusión sobre
las restricciones.
3.1.4 Aritmética generalizada
Se podría decir que es la más común y la utilizada en los salones, sin dar una explicación
del sentido de la simbolización; esta práctica se limita a establecer las letras como números, sin
que los alumnos se apropien del significado de lo que utilizan o realizan; no se consideran que
los estudiantes que logran apropiarse del conocimiento aritmético, son capaces de trasladar la
información de manera apropiada al álgebra; por supuesto, las respuestas cambian
significativamente, dado que en aritmética la respuesta es sencilla, y en álgebra por lo general
son expresiones.
• Explicaciones de las reglas de la aritmética: se debe hacer reflexionar al alumno sobre
las operaciones que realiza, cuando efectúa los cálculos, para relacionarlas con las
reglas aritméticas; las bases del álgebra lo conforman las expresiones que nos hablan
de generalidades, pero la visualización de los patrones se realizan con los mismos
números. Cuando el estudiante no desarrolla un pensamiento abstracto, y las ideas
planteadas son abstractas, se podría dificultar su acceso al álgebra; la aritmética
generalizada procura despertar una conciencia global sobre la forma como los números
48
actúan como sistema para llegar a la generalidad; aunque la simbolización es
indispensable, en esta etapa se podría recurrir a la calculadora.
• Diferencias entre aritmética y álgebra: en la aritmética se trabaja de adentro hacia
afuera, se van realizando las operaciones de tal forma que se simplifique para ordenar
los resultados, con la finalidad a que se llegue a la respuesta; en otras palabras, el
resultado en aritmética es un número sencillo; en el álgebra la situación es la contraria,
dado que realizan las operaciones que afectan a lo que está en el paréntesis; no se lleva
un orden, pero es más factible y el resultado es una respuesta aceptable y en ocasiones
deja un cálculo abierto; la problemática se presenta cuando se guía al algebra a realizar
los cálculos con letras en la misma forma como se realizan con los números, con
operaciones sencillas se brindan resultados, pero cuando posteriormente se pierde el
sentido de lo que se realiza y los que prosiguen aclara el autor, tienen dudas
conceptuales.
• Los números son conocidos por sus propiedades: y su representación se determina por
las propiedades establecidas; para ello, el alumno debe saber lo que se le pide y cómo
lo realizará con sus respectivos números y propiedades; para acceder a la
generalización, es necesario tener información que permita visualizar el patrón; sin
embargo, durante la interrelación entre alumnos se comparte la información, de tal
manera que se consensa las propiedades del la problemática y finalmente se plasman
esas propiedades (Ver, Decir y Registrar).
La finalidad de la aritmética generalizada es ampliar la idea del álgebra de forma global
para así llegar a la expresión de la generalidad recurriendo a los cálculos aritméticos.
Con lo anterior, el cuestionario la propuesta del autor, en la cual los estudiantes
tendrían que visualizar un patrón en las diferentes sucesiones aritméticas o geométricas; ahora
bien, coincidiendo con lo que propone Alonso (1996); cuando el alumno no comprende el
problema sea aritmético o geométrico, se le dificulta la expresión de la generalidad, y la
aritmética generalizada pierde sentido, dado que los números con sus propiedades (símbolos),
49
no tienen o no permiten comprender el significado, y apoyando a lo que menciona Mason, los
alumnos logran resultados favorables, pero las dudas conceptuales se presentan perdiendo la
apropiación del tema.
El trabajo del autor sobre cómo acceder al álgebra vía los procesos de generalización
nos brinda la oportunidad de que los estudiantes logren apropiarse de manera significativa la
iniciación de un lenguaje matemático que facilitaría su trayecto educativo. Ahora bien la
iniciación de ver, decir, registrar y llegar a la validez de manera significativa, motivaría a los
estudiantes a iniciar el viaje en el mundo de las matemáticas.
50
Capítulo IV
Metodología
En este capítulo se presenta la metodología utilizada. Inicialmente se menciona el tipo y
corte del estudio; posteriormente, se enumera las etapas del estudio, que incluye los
instrumentos utilizados; se describen los mismos, y la propuesta de los resultados del
instrumento aplicado. Además, se presenta la población que participó y se presentan los
resultados obtenidos en el estudio piloto.
4.1 Tipo de estudio
La metodología utilizada en este estudio es de tipo descriptiva y explicativa. Se hacen
referencia las situaciones de los estudiantes de primer año de secundaria, en relación con los
procesos de generalización. Especificando el problema, características particulares y cambios
importantes de la problemática, sin embargo, se intenta medir o recolectar información del
fenómeno a estudiar. En cuánto a la investigación explicativa, se intenta establecer las causas
de la problemática y las explicaciones en relación con los procesos de generalización. Una
cualidad del estudio explicativo consiste en que es más estructurado.
4.2 Corte del estudio
El corte de la investigación es cualitativo. Se exploraron los significados y realidades de
los procesos de generalización; no se delimitó a la descripción del fenómeno que se provoca en
el proceso de enseñanza-aprendizaje; éste es más flexible, no tiene un lineamiento rígido, es
decir, se modifica según las necesidades de la investigación. Además, inicia examinando el
mundo social y establece una teoría en la que se fundamenta el fenómeno en este tipo de
investigaciones; de modo que sí se plantean hipótesis, pero éstas van cambiando en el
transcurso de la misma; no obstante el interés se determina entre individuos o grupos, a partir
de contextos, eventos, individuos, interacciones y en especial conductas.
51
4.3 Etapas del Estudio El estudio se realizó en dos etapas:
• Aplicación de un cuestionario diagnóstico sobre los procesos de generalización.
• Aplicación de una entrevista clínica individual
4.3.1 Participantes
La aplicación del cuestionario se realizó a estudiantes de primer año de secundaria de
una escuela pública del Distrito Federal, con un total de 37, de los cuales se tomaron seis para
realizar una entrevista clínica; en ella se trató de investigar cuáles eran las ideas algebraicas que
tenían los estudiantes de ese grado escolar y qué dificultades y habilidades presentaban en la
resolución de los problemas presentados sobre los procesos de generalización.
4.3.2 Descripción del cuestionario
El cuestionario incluye las ideas matemáticas conforme se muestran en la Tabla Nº 1,
donde se detalla el cuestionario sobre los procesos de generalización. El instrumento contiene
17 preguntas.
Tabla No 1. Descripción del cuestionario de los procesos generalización Nº
pregunta Idea matemática Inciso Solicitud de la pregunta
1 Secuencia aritmética creciente y decreciente
(a) Se pide completar diversos términos de las secuencias (b) (c)
2 Secuencia aritmética creciente y decreciente
(a) Se pide completar diversos términos de las secuencias (b)
3 Secuencia aritmética creciente y decreciente
(a) Se pide completar diversos términos de las secuencias (b)
4 Secuencia aritmética creciente y decreciente
(a) Se pide completar diversos términos de las secuencias (b)
5 Crecimiento secuencial aritmético y geométrico
(a) Completar las secuencias de flechas (b)
6 Crecimiento secuencial aritmético y geométrico
(a) Completar las secuencias de flechas (b)
7 Crecimiento secuencial (a) Completar las secuencias de flechas
52
aritmético y geométrico (b) 8 Crecimiento secuencial
aritmético y geométrico (a) Observan las figuras y contesta las preguntas (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j)
9 Crecimiento secuencial aritmético y geométrico
(a) Observan las figuras y contesta las preguntas (b) ( c) (d) (e (f) (g) (h) (i) (j) (k)
10 Crecimiento secuencial aritmético y geométrico
(a) Observan las figuras y contesta las preguntas (b) ( c) (d)
11 Crecimiento secuencial aritmético y geométrico
(a) Observan las figuras y contesta las preguntas (b) ( c) (d)
12 Crecimiento secuencial aritmético y geométrico
(a) Observan y dibuja la sucesión. Contesta las preguntas (b) ( c)(d)
13 Crecimiento secuencial aritmético y geométrico
(a) Observan y dibuja la sucesión. Contesta las preguntas (b) ( c) (d) (e)
14 Crecimiento secuencial aritmético y geométrico
(a) Observan y dibuja la sucesión. Contesta las preguntas (b) ( c) (d) (e)
15 Crecimiento secuencial aritmético y geométrico
(a) Observan y dibuja la sucesión. Contesta las preguntas (b)
16 Crecimiento secuencial aritmético y geométrico
(a) Observan y dibuja la sucesión. Contesta las preguntas (b)
17 Crecimiento secuencial aritmético y geométrico
(a) Observan y dibuja la sucesión. Contesta las preguntas (b) (c ) (d) (e ) (f) (g) (h) (i)
53
(j) (k) (l) (ll)
Rutas de acceso al pensamiento Algebraico
Como lo muestra el cuadro anterior para acceder al pensamiento algebraico proponen
dos alternativas que son: el razonamiento proporcional, el cual es implementado a nivel
primaria de tal forma que propicie la segunda vía; procesos de generalización, pues los
estudiantes logran desarrollar la habilidad de visualizar semejanzas o patrones, con la finalidad
de poder expresar matemáticamente una expresión y por consiguiente las dos alternativas se
complementan en la construcción de un pensamiento matemático.
Rutas de Acceso al Pensamiento
Algebraico
Procesos de Generalización
Aspectos Aritméticos
Nº GeneradoSecuencia Aritmética
Razonamiento Proporcional
Aspectos Algebraicos
Variable Función
Aspectos Geométricos
Secuencia Geométrica
Comparación
Secuencia Geométrica
Secuencia Aritmética
MultiplicativaCuantitativa
Patrón Patrón Tabla de
Proporción Tabla de Valores
Expresión Lineal
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Cuestionario piloto de los procesos de generalización
1. Se pide completar diversos términos de las secuencias
a) 8,12,16,---,24,---,---
b) ---,---,---,15,18,21
c) 15,10,5,---,---,
d) 16,11,6,---,---
Contenido algebraico: Secuencia aritmética creciente y decreciente
2. Se pide completar las secuencias de puntos
Contenido algebraico: Comparación del crecimiento de la secuencia aritmética Sn = Sn-1+1
y la secuencia geométrica Gn= 2 Gn-1.
3. Se muestran tarjetas desordenadas que contienen el peso y la edad de un niño. Se pide
hacer una tabla de peso, edad y describir en palabras el comportamiento de las
variables.
Contenido algebraico: Variación conjunta.
4. Se dan datos de número de máquinas y plástico producido en Kg, en una fábrica. Se
pregunta el aumento en la producción de plástico por cada máquina que se agrega. Se
pide también dar el número de máquinas que producen cierto número de Kg de plástico
55
que no aparecen en la tabla, la regla para Kg producidos para x número de máquinas, y
se verificar la regla con los datos de la tabla.
Contenido algebraico: Variación funcional lineal y = 2x+1, resolución de la ecuación 2x+1=b.
5. Se da una serie de 5 edificios en orden de los cuales los primeros 4 han sido pintados.
Se pide dar el número de pisos que serán pintados en el 5º, edificio y explicar cómo se
obtuvo; elaborar una tabla incluyendo el 5º piso; dar una regla para el número de pisos
pintados como función del número de edificio; dar la respuesta para un 6º piso; dar el
número de pisos a partir de los piso pintados del anterior edificio; y una gráfica del
número de pisos pintados vs. el número de edificio.
Contenido algebraico: Variación funcional exponencial 2 nxny = a partir de las secuencia
aritmética xn+1=xn+1 y geométrica yn+1=2yn.
6. Se reparte una cantidad de dinero entre dos personas, se dice que a la primera le toca la
tercera parte que a la segunda. Se pide determinar cuánto le toca a cada una si se conoce
la cantidad de dinero.
Contenido algebraico: Plantear y resolver la ecuación x + x/3 = 1200.
7. Se reparte una cantidad de dinero entre dos personas; se dice que a la primera le toca la
mitad de lo que le toca a la segunda. Se pide determinar cuánto le toca a cada una si se
conoce la cantidad de dinero.
Contenido algebraico: Plantear y resolver la ecuación x + x/2 = 1200.
8. Se da una serie de 4 rectángulos de dimensiones base-altura en la secuencia: 2—2, 4—
3, 6—4, 8—5, se pide dibujar el 5º, rectángulo, dando su base y altura; contar el área de
los rectángulos incluyendo el 5º; hacer una tabla siguiendo la secuencia hasta el séptimo
elemento y determinar el área a partir de la base, y el área a partir de la altura.
56
Contenido algebraico: Secuencia aritmética, relación cuadrática
Las secuencias aritmética (bn) base, (hn) altura
bn = bn-1 + 2, n = 1,2,3,..., de donde bn = 2n;
hn=hn-1 + 1, n = 1,2,3,... , de donde hn = n+1,
Eliminado n: 2 hn = bn+2, de donde
an = bn hn = hn(hn-1) = (1/2) bn(bn + 2), siendo para toda n:
a = h (h-1) = (1/2)b(b+2)
4.3.3 Aplicación del cuestionario
El cuestionario sobre los procesos de generalización fue aplicado a un grupo de primer
año (1ºD), de secundaria pública del Distrito Federal. Por tanto el profesor le intereso explorar
los conocimientos sobre los procesos de generalización de sus alumnos. Su aplicación duró
aproximadamente 50 minutos; los estudiantes se mostraron comprometidos para resolverlo; se
les dio instrucciones para responderlo y se les invita que expresaran sus dudas, en el caso que
fuera necesario.
4.4. Propuesta de análisis de los datos
A continuación se describe la propuesta de análisis de datos, que consta del Nivel de
Logro; lo entenderemos como la evidencia que el estudiante tiene como elemento matemático,
necesario para entender y responder a la solicitud de las preguntas del cuestionario propuesto;
esto permite ubicarnos en qué nivel conceptual se encuentra, y cómo se ha formado en el lapso
de la primaria, en relación con los procesos de generalización, que son por lo general usados de
forma numérica.
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Para el análisis de las respuestas se tomaron en cuenta tres aspectos, en relación con el
nivel de logro (Alto, Bajo y No contestó). El nivel de logro se verifica con una revisión de la
escritura numérica de las respuestas, la idea matemática que arrojan; la conceptualización
matemática obtenida en las preguntas abiertas (se considera la estrategia).
El análisis de los datos retoma específicamente los contenidos relacionados con
secuencias aritméticas crecientes y decrecientes, crecimiento secuencial aritmético y
geométrico en resolución de problemas, utilizando los procesos de generalización, los cuales
serán medidos por niveles de logro como se explicita a continuación.
El nivel de logro alto: En esta categoría, se consideran las respuestas correctas a los ítems
explorados en el cuestionario inicial; el estudiante desarrolla su respuesta con ideas pre
algebraicas y da una solución, haciendo uso de patrones y utilizando el pensamiento
multiplicativo.
El nivel de logro medio: En esta categoría el alumno deja incompleto el desarrollo de su
respuesta, bajo la idea aritmética y da una solución, haciendo uso de un pensamiento aditivo o
multiplicativo; lo que indica que aún se encuentran en transición del pensamiento aditivo al
multiplicativo.
El nivel de logro bajo (error): En esta categoría el estudiante hace uso del pensamiento aditivo,
utiliza la aritmética para dar su solución, pero ésta, evidencia la falta de comprensión del
tema en los ítems planteados en el cuestionario inicial.
No contestó (NC): Esta categoría considera las respuestas inexistentes, por no cumplir con las
características solicitadas en los ítems explorados en el cuestionario inicial, o bien no escribe
ningún dato (NC), dejando ver la incomprensión de los problemas planteados; esto es, un claro
desconocimiento del tema en cuestión, y que evidencian dificultades que tiene el alumno sobre
el tema.
58
4.5 Estrategias de resolución de problemas
En las estrategias de resolución se presentó el tipo de pensamiento que el estudiante utilizó
para la resolución del problema.
• Estrategia Aditiva: los estudiantes resuelven el problema mediante una suma o resta, no
logran visualizar las semejanzas o no identifican el patrón establecido, se limitan a
contar para llegar a la respuesta.
• Estrategia multiplicativa intermedia: los estudiantes resuelven los problemas mediante
una multiplicación de los valores; logran visualizar semejanzas; identifican un patrón
cuando el problema se presenta de manera sencilla; tienen noción de cómo establecer la
regla solicitada; esto se demuestra cuando se solicita que escriba cómo llegó a la
solución, pero no lo puede expresar de manera algebraica; las respuestas son
incompletas.
• Estrategia multiplicativa: los estudiantes resuelven los problemas mediante una
multiplicación de los valores, utilizan el razonamiento proporcional, y llegan a la
generalidad para encontrar la solución.
Nivel de logro alto (acierto).- En esta categoría, el estudiante desarrolla su respuesta con ideas pre-algebraico y da una solución, haciendo uso de patrones y utilizando el pensamiento multiplicativo. Nivel de logro medio. En esta categoría, el estudiante deja incompleto el desarrollo de su respuesta, bajo la idea aritmética y da una solución incompleta, haciendo uso de un pensamiento aditivo o multiplicativo, lo que indica, que aun se encuentran en transición. Nivel de logro bajo (error) En esta categoría, el estudiante hace uso del pensamiento aditivo, utiliza la aritmética para dar su solución, pero ésta evidencia su falta de comprensión del tema en los ítems planteados en el cuestionario inicial. No contestó (NC) En esta categoría el estudiante deja ver el desconocimiento de los temas planteados.
59
4.6 Análisis de la entrevista clínica individual
La realización de entrevistas clínicas individuales toma como fundamento el método
clínico de Piaget, con la finalidad de que el alumno exprese de una forma verbal cómo resolvió
las situaciones planteadas por la entrevista, con la finalidad de conocer sus ideas pre-
algebraicas.
Para la estructura de la entrevista se tomaron como base las ideas de Delval (2001), para
quien la entrevista debe ser semiestructurada, con preguntas cotidianas, de modo que se pueda
ampliar la respuesta, o reflexionar la contestación con miras a que se puedan interpretar de
manera más detallada, los datos que el estudiante proporcione deben ser confidenciales y
únicamente pueden ser utilizados en la investigación guardando su anonimato. La entrevista, se
aplico a seis estudiantes de primer año de secundaria de una escuela pública del Distrito
Federal; de acuerdo con los resultados obtenidos en el cuestionario de los procesos de
generalización, las entrevistas se relacionaron con los niveles de logro alto, bajo y no
contestó.
Con las preguntas ya establecidas, se trató de guiar al estudiante para indagar sobre su
pensamiento en relación con los temas del cuestionario, cómo llegó a la solución, con
referencia a los contenidos matemáticos que se trabajan en los centros educativos.
Las preguntas que guiaron la entrevista fueron:
1. Las preguntas del cuestionario.
2. ¿Me podrías explicar cómo resolviste la secuencia?
3. ¿Me podrías explicar por qué?
4. ¿Cómo sabes que se resuelve de esa manera?
5. ¿Habría otra forma de realizarlo?
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4.6.1 Aplicación de la entrevista
Las entrevistas fueron individuales, con una duración de una hora aproximadamente;
para que los estudiantes se sintieran libres de cualquier presión, se aplicaron en la biblioteca de
la escuela, que se encuentra ubicada en la parte superior del tercer edificio.
En la realización de la entrevista se requirió de los siguientes materiales:
• Hojas blancas
• Lápiz
• Goma
Se tomó en cuenta los niveles de logro alto, bajo y no contestó, para la selección de los
cuestionarios.
4.7 Resultados del estudio piloto
La primera etapa del estudio se examinó las ideas matemáticas como secuencia
aritmética y geométrica, variación conjunta, variación funcional lineal y exponencial,
planteamiento y resolución de ecuaciones de secuencias aritméticas y relación cuadrática, con
la finalidad de localizar las primeras ideas pre-algebraicas de los alumnos de 6º grado de
educación primaria, adquiridas en el transcurso de su vida escolarizada.
El estudio se realizó entre 45 estudiantes de entre 11 y 12 años de edad, en una escuela
primaria Pública del Distrito Federal; la mayoría de estos estudiantes no presentaron mayor
dificultad para realizar las secuencias aritméticas crecientes y decrecientes, con números
enteros positivos y en la variación conjunta que incluye dos valores; el objetivo era completar
una tabla, pero cuando se les pidió escribir con sus propias palabras el comportamiento de estas
variables, no lograron expresar lo pensado en una forma escrita; se debe seguir trabajando en
dichos contenidos.
Respecto a la variación funcional lineal, los alumnos no presentan serias dificultades,
pues trasladan la información de los datos mostrados en la tabla, ni al encontrar la variación de
producción y máquinas; se estandarizan los conocimientos, de tal forma que el acierto es de
61
más de 70%; por último, el inciso que causó mayor desconcierto es la petición de generalizar y
establecer una regla para las diferentes máquinas.
Para la variación exponencial, la mayoría de los estudiantes se encuentran en el proceso
de acceder al pensamiento algebraico; los resultados muestran que, cuando se intenta establecer
una regla general conociendo un dato del problema, el 80%, intenta una solución, sin
concluirla; esto se deja ver que se encuentran en proceso de un pensamiento aditivo a un
pensamiento multiplicativo, y el 17.7%, se limita a la no contestación; en los incisos posteriores
se pide completar una tabla; así, los incisos l, ll, m, n y ñ muestran una dificultad para
exponencial por no encontrar la regla; por consiguiente, no logran explicar con palabras su
procedimiento.
En el planteamiento y resolución de problemas, a partir de una formula general en la
ecuación con números fraccionarios, la mayoría de los estudiantes no han accedido a estos
conocimientos: un 85%, no llega a establecer ningún procedimiento para dar su solución, y se
encuentran en el nivel bajo, y solamente el 2%, de los estudiantes establecen ideas pre-
algebraicas al resolver el problema.
Esto nos deja ver que la mayoría de los alumnos utilizan un pensamiento aditivo, es
decir, suman o restan para llegar a la solución, dejando para después la transición al
pensamiento multiplicativo, probablemente por la instrucción educativa que han recibido.
Ahora bien, en la idea matemática secuencia aritmética relación cuadrática,
encontramos una igualdad entre el acierto y el error, es decir, la finalidad de la apropiación del
tema; el 60% presenta dificultad al expresar de forma escrita los procedimientos; falta trabajar
estos contenidos, para que los alumnos se apropien de los conocimientos, y a su vez, les sean
significativos, y puedan relacionarlos con los diferentes contextos de los problemas.
En este mismo orden, un 85% de los estudiantes relaciona los datos de base y altura
adecuadamente, para dar solución a los incisos planteados; se puede afirmar que dominan el
tema solicitado; sin embargo, el 15% se encuentran en el error, no por desconocimiento del
tema sino más bien, por equivocación, distracción, no leer adecuadamente o simplemente por
copiar.
62
Ahora bien, en lo que respecta al traslado y comparación de información, el lenguaje
utilizado en los ítems provoca confusión en los estudiantes, tal vez porque están acostumbrados
a seguir una formula aritmética establecida (A = axb), y el 2%, no dan solución a dicho
problema.
El desarrollo del pensamiento algebraico, que empieza en los procesos de
generalización sería efectivo si los estudiantes de entre 11 y 12 años de edad superaran las
perspectivas de los resultados; más estudiantes utilizan el pensamiento aditivo que el
multiplicativo; además, no les ha sido significativo dicho aprendizaje, y por ello se resisten a
acceder a dichos saber. Es conveniente proponer actividades que les permitan apropiarse
fácilmente de estos conocimientos, y que promuevan estas necesidades, para que fácilmente
identifiquen cómo llegar a la solución generalizada en los diferentes problemas.
En el capítulo V se mencionarán los resultados obtenidos en el estudio principal.
63
CAPÍTULO V
Resultados del cuestionario diagnóstico y de la entrevista clínica individual
En este capítulo se presentan los resultados de la primera etapa del estudio
correspondiente a la aplicación del cuestionario inicial y la entrevista clínica individual;
posteriormente se analizan los resultados obtenidos con el grupo de estudiantes que
participaron en el estudio y se comenta los resultados obtenidos en el estudio.
5.1 Cuestionario inicial sobre los procesos de generalización
El instrumento utilizado sobre los procesos de generalización, está formado por 17
preguntas con sus respectivos incisos, así como la idea matemática y la solicitud de la pregunta.
En la tabla Nº 2 se muestra el cuestionario sobre los procesos de generalización.
Tabla Nº2 Datos Generales Nº
Pregunta Idea matemática Inciso Solicitud de la pregunta
1 Secuencia aritmética creciente (a),(b),(c) Se pide completar las secuencias
2 Secuencia aritmética creciente (a),(b) Se pide completar las secuencias
3 Secuencia aritmética creciente (a),(b) Se pide completar las secuencias
4 Secuencia aritmética decreciente (a),(b) Se pide completar las secuencias
5 Crecimiento secuencial geométrico (a),(b) Completar las secuencias de flechas
6 Crecimiento secuencial geométrico (a),(b) Completar las secuencias de flechas
7 Crecimiento secuencial aritmético y
geométrico (a),(b) Completar las secuencias de flechas
8 Crecimiento secuencial aritmético y
geométrico (a),(b),(c),(d),(e),
(f),(g),(h),(i),(j)
Observa las figuras y contesta las
preguntas
9 Crecimiento secuencial aritmético y
geométrico (a),(b),(c),(d),(e),
(f),(g),(h),(i),(j),(k)
Observan las figuras y contesta las
preguntas
10 Crecimiento secuencial aritmético y
geométrico (a),(b),(c),(d) Observan las figuras y contesta las
preguntas
64
11 Crecimiento secuencial aritmético y
geométrico (a),(b),(c),(d) Observan las figuras y contesta las
preguntas
12 Crecimiento secuencial aritmético y
geométrico (a),(b),(c),(d) Observan y dibuja la sucesión.
Contesta las preguntas
13 Crecimiento secuencial aritmético y
geométrico (a),(b),(c),
(d),(e)
Observan y dibuja la sucesión.
Contesta las preguntas
14 Crecimiento secuencial aritmético y
geométrico (a),(b),(c),
(d),(e)
Observan y dibuja la sucesión.
Contesta las preguntas
15 Crecimiento secuencial aritmético y
geométrico (a),(b) Observan y dibuja la sucesión.
Contesta las preguntas
16 Crecimiento secuencial aritmético y
geométrico (a),(b) Observan y dibuja la sucesión.
Contesta las preguntas
17 Crecimiento secuencial aritmético y
geométrico (a),(b),(c),(d),(e),(f)
(g),(h),(i),(j),(k),(l),(ll)
Observan y dibuja la sucesión.
Contesta las preguntas
Cuestionario inicial de los procesos de generalización En las primeras preguntas 1. 2. 3 y 4 del cuestionario sobre los procesos de generalización se
pide completar diferentes secuencias, crecientes y decrecientes.
Contenido algebraico: secuencia aritmética creciente y decreciente
Para las preguntas 5, 6 y 7, los estudiantes tienen que visualizar la secuencia creciente de las
figuras.
Contenido algebraico: Comparación del crecimiento de la secuencia aritmética Sn = Sn-1+1
y la secuencia geométrica Gn= 2 Gn-1.
Para la pregunta 8, 9, y 10, los estudiantes tienen que visualizar las secuencias y contestar las
preguntas.
Contenido algebraico: Comparación del crecimiento de la secuencia aritmética Sn = Sn-1+1
y la secuencia geométrica Gn= 2 Gn-1.
En cambio, para las preguntas 11, 12 y 13 se representa una secuencia y los estudiantes tienen
que dibujar el faltante de la secuencia.
65
Contenido algebraico: Comparación del crecimiento de la secuencia aritmética Sn = Sn-1+1
y la secuencia geométrica Gn= 2 Gn-1.
Para las preguntas 14, 15 y 16 se representa unas secuencias de figuras geométricas.
Contenido algebraico: Comparación del crecimiento de la secuencia aritmética Sn = Sn-1+1
y la secuencia geométrica Gn= 2 Gn-1.
Finalmente para la pregunta 17, la secuencia se relaciona con un problema cotidiano
donde tiene que visualizar las secuencias solicitadas.
Contenido algebraico: Comparación del crecimiento de la secuencia aritmética Sn = Sn-1+1
y la secuencia geométrica Gn= 2 Gn-1.
5.2 Aplicación del cuestionario
El cuestionario inicial sobre los procesos de generalización fue aplicado a 37 alumnos
de primer año de una secundaria pública de la delegación Tlalpan, en el Distrito Federal, de los
cuales se seleccionaron seis sin ninguna característica específica, para la realización de una
entrevista clínica individual.
La aplicación del cuestionario duró aproximadamente cincuenta minutos, con un
horario de 9:10 a 10:00 hrs; los estudiantes se mostraron comprometidos para resolverlo, se les
dio instrucciones para que respondieran el cuestionario, y se les invitó a expresar sus diferentes
dudas, en el caso que fuera necesario.
5.3 Resultados del cuestionario inicial
Los resultados del cuestionario inicial se analizaron a partir de tres categorías de análisis
de nivel de logro alcanzado: alto, bajo y no contestó. Con la finalidad de clasificar a los
estudiantes, se tomó en cuenta el número de respuestas correctas y el nivel de
conceptualización matemática.
66
Nivel de logro alto: En esta categoría se consideran las respuestas correctas a los ítems
explorados en el cuestionario de los procesos de generalización; los estudiantes desarrollan su
respuestas con ideas pre-algebraicas, puesto que recuren a un razonamiento proporcional en las
secuencias presentada y utilizan multiplicación para llegar a la solución esperada; logran
percibir la semejanza; se cumple así lo propuesto por Mason: logran ver, decir, registrar y
validar; completar las cuatro etapas que el autor menciona, se lograría, con una comprobación
de los resultados para determinar otro número de la secuencia.
Ejemplo: pregunta número doce del cuestionario de los procesos de generalización que explora
un crecimiento secuencial aritmético y geométrico.
El alumno lo resolvió con una estrategia multiplicativa, visualizó la semejanza de las
secuencias, identificó una relación, expresó de manera escrita cómo llegó a la solución
esperada.
Nivel de logro bajo: En esta categoría los estudiantes hacen uso del pensamiento aditivo,
utilizan operaciones como la suma, resta y ocasionalmente utilizan la multiplicación para
llegar a la solución; no logran ver un patrón en lo que están observando; visualizan semejanzas
pero las interpretan de forma equivocada; por eso, al expresarlo de forma escrita suelen
cometer el mismo error; llegan a ver, decir y registrar, pero no de acuerdo con el planteamiento
del problema solicitado; se podría hablar de una mecanización o de la falta de una visualización
del problema de manera global.
Ejemplo: pregunta número catorce del cuestionario de los procesos de generalización que
explora el crecimiento secuencial aritmético y geométrico.
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Nota aclaratoria: En el cuestionario los ejercicios fueron realizados con palitos así se explica
al inicio de las secuencias de figuras de triángulos y se pide que el alumno cuente y diga
cuántos palito forman cada figura.
El estudiante utiliza un pensamiento multiplicativo intermedio, porque, no identifica el
patrón en la secuencia; se limita a contestar de manera progresiva sin percatarse de las
características que planea el problema; en el llenado de la tabla la estrategia de multiplicacion
es la utilizada de manera progresiva o de las figuras, pero existe una mala interpretacion con
respecto a proporcionar la regla, pues en los rectángulos se toma para proporcionar su área.
No contestó (NC): Esta categoría considera las respuestas inexistentes, por no cumplir con las
características solicitadas en los ítems explorados en el cuestionario inicial, o bien, porque el
estudiante no escribe ningún dato, (NC) dejando ver la incomprensión de los problemas
planteados; esto permite ver un claro desconocimiento del tema en cuestión, y evidencia las
dificultades de los estudiantes sobre el tema: utiliza una estrategia por lo general de tipo
aditiva, suma pero no visualiza las semejanzas; al pedirle que escriba el procedimiento para
realizar el trabajo menciona que lo fueron sumando o definitivamente se limita a no contestar.
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Ejemplo: preguntas número once del cuestionario de los procesos de generalización que
exploraba crecimiento secuencial aritmético y geométrico.
El estudiante no logra visualizar la semejanza. La secuencia de figuras no le dice nada y
por consiguiente evidencia la falta de conocimiento; al resolver este tipo de secuencias no le
encuentra lógica a lo que se solicita, en este nivel no contestas
Planteado lo anterior, se prosiguió a presentar en graficas los resultados, considerando
los niveles de logro obtenidos, y en una tabla que presenta los porcentajes que obtuvieron en
relación a la grafica correspondiente, con un análisis sobre los datos.
A continuación se muestran una gráfica general de datos. Se estableció en cuáles
preguntas los estudiantes presentaron mayor complicación, situándose en el nivel de logro
bajo, así como, en no contestó; además, las diferentes graficas, muestran los resultados,
clasificados por el contenido matemático, secuencia aritmética creciente y decreciente, y
crecimiento secuencial aritmético o geométrico, con sus respectivos nivel de logro alto (NLA),
cuando la respuesta es correcta; en el nivel de logro bajo (NLE), los estudiantes dan una
respuesta equivocada, no llegan a la respuesta esperada; y en el no contestó (NC),
69
definitivamente dejan en blanco la pregunta; en una tabla se observa el porcentaje de dichas
preguntas y un análisis de las respuestas.
En la grafica Nº 1 se presentan, de manera global, las respuestas obtenidas en el
cuestionario sobre procesos de generalización; se pueden observar las preguntas de mayor
complicación.
Gráfica Nº1 Global de respuestas
NLA= Nivel de Logro Alto. NLE= Nivel de Logro Bajo. NC= No Contestó
En la gráfica anterior se muestran los niveles de logros obtenidos en los diecisiete items
de manera global con el cuestionario sobre los procesos de generalizacion. Se asignarón los
colores para los diferentes niveles de logro, de la siguiente manera Nivel de Logro Alto
(NLA) = Azul (Acierto), Nivel de Logro Bajo (NLE) = Rojo (Error) y No Contestó (NC)=
Verde. Con esta nomenclatura se elaboraron las graficas posteriores.
Se presenta un análisis general para complementar la información de la gráfica Nº 1,
con las diferentes respuestas; posteriormente, se especifican las preguntas que presentaron nivel
bajo y no contestó, con el fin de conocer si los estudiantes de primer año de secundaria conocen
o manejan el tema de los procesos de generalización.
70
En la gráfica Nº1 se presentan los datos generales, expresados en porcentaje de los
niveles de logro alto, bajo y no contestó, los cuales, permiten situar, los contenidos
matemáticos que presentan mayor dificultad a los estudiantes. En los ítems de la pregunta Nº
7, que aborda la idea matemática de crecimiento secuencial aritmético y geométrico, los
estudiantes presentaron dificultad en ambos incisos (a) y (b), pues no logran llegar a la
secuencia geométrica; solo utilizan un pensamiento aditivo, suman de manera progresiva y no
visualizan la secuencia geométrica solicitada; el nivel de logro que prevalece, es bajo.
En cuanto a la problemática que se presenta en la pregunta Nº 9, la mayoría de los
incisos se ubican en el nivel bajo; la variación proporcional que se establece en las tablas nos
refiere que utilizan un pensamiento multiplicativo, pero no visualizan la esencia del problema y
lo relacionan con la pregunta número ocho; lo resuelven de forma multiplicativa progresiva;
perciben confusamente la forma de la figura; por otro lado, algunos estudiantes utilizan un
pensamiento aditivo, pero se limitan a contar las figuras.
También en la pregunta Nº 10, el porcentaje de nivel de logro es bajo; más del 70 %,
muestran la idea matemática de crecimiento secuencial aritmética y geométrica; esta pregunta
se refiere a que las figuras fueron realizadas con palitos para que los alumnos pudieran
identificar el incremento en la realización de la figura, pero no se menciono en el cuestionario,
utilizan un pensamiento multiplicativo intermedio, logran visualizar la semejanza, esto se
puede ver en la pregunta Nº 8 identifican una secuencia donde el multiplicar o sumar nos dan la
respuesta esperada por ejemplo 2x3=6 o 3+3=6, aquí la propuesta de Mason, se limita a la
identificación de una secuencia llegando a la expresión oral, dado que cuentan las figuras y
luego las multiplican, pero no se percatan de que pueden llegar a una regla para resolución de
las figuras; y posteriormente, no logran expresarlo de forma escrita (fórmula).
Ahora bien en las preguntas Nº 11, 12 y 13, los alumnos presentaron dificultad, al
completar la secuencia; no logran expresar la generalidad de acuerdo con la propuesta de
Mason, no visualizan la secuencias de las figuras, por consiguiente no identifican un patrón y
se limitan a utilizar un pensamiento intermedio entre el aditivo y el multiplicativo; cuentan los
puntos y ocasionalmente multiplican para llegar a la solución; por consiguiente, al expresarlo
de forma escrita se quedan en la primera etapa de visualizar semejanzas, tiene nociones de
cómo llegar a la solución más no pueden expresarlo de forma escrita y mucho menos, de llegar
71
a la generalización, pues suman, y multiplican, por tanto no llegan a comprobar lo que realizan
de forma satisfactoria, aquí el conocimiento previo de razonamiento de proporcionalidad, no
logra visualizar la relación entre las figuras.
Sin embargo en la pregunta Nº14 los estudiantes utilizan un pensamiento multiplicativo;
cuentan las figuras y luego las multiplican, sin percatarse de que existe una secuencias en las
figuras; posteriormente, cuando se solicita que completen la tabla correspondiente, lo realizan
de manera multiplicativa progresiva, sin visualizar el patrón en las secuencias; al solicitar que
expresen de forma escrita cómo llegaron a la solución, evidencian la misma estrategia;
finalmente al pedirles que expresen una regla para generalizar, no perciben el patrón y
solamente se limitan a sumar o simplemente no contestan, se podría decir que las etapas de
Mason, el de ver, decirse se cumplen parcialmente, pues logran identificar como se plantea el
problema y los alumnos utilizan una estrategia multiplicativa.
Para terminar, en las preguntas Nº 15 y 16, la problemática se presenta cuando se les
pide completar las secuencias de figuras y expresarlo en una regla para la misma solución; el
nivel de logro bajo es más de 50 %; no visualizan cómo está formada la secuencia, no perciben
un patrón y por consiguiente, no pueden expresarlo por medio de una regla (una expresión
algebraica); aquí, la iniciación a un pensamiento pre-algebraico se ve limitado; los estudiantes
se encuentran en un pensamiento aditivo: solamente cuentan los puntos de la figura y los
adicionan puntos sin un razonamiento proporcional.
Sobre los contenidos matemáticos correspondientes a crecimiento secuencial aritmético
y geométrico, la mayoría de los estudiantes, utilizan un pensamiento aditivo; se limitan a
contar no ven un patrón, no visualizan semejanza en los problemas planteados; por
consiguiente, no se cumple la propuesta de Masona sobre el acceso al álgebra vía los procesos
de generalización; pues las etapas quedan inconclusas y los estudiantes no cubren las cuatro
etapas mencionadas y la transición de la aritmética al álgebra se limita.
72
5.4 Gráficas por pregunta
A continuación, se analizan de manera detallada las preguntas del cuestionario sobre los
procesos de generalización, que se aplico a los alumnos de primer año de secundaria de una
escuela pública del Distrito Federal, con la finalidad de conocer las dificultades de los alumnos
presentan en los procesos de generalización y si la propuesta de Mason; de ver, decir, registrar
y validar pueden ser una vía para llegar a los procesos de generalización y así llegar a la
transición de la aritmética al álgebra. Se describen, las preguntas y el nivel de logro obtenido,
así como las estrategias que utilizaron para la resolución del cuestionario, haciendo una breve
relación de cuales etapas lograron.
No se hace referencia de las competencias que utiliza el Plan y Programa de educación
básica y las competencia del programa de matemáticas secundaria, pues se da una relación
constante con la propuesta de Mason, dado que las cuatro etapas del autor, se interrelacionan,
pues el ver, expresar, registrar y validar son habilidades que contiene dichas competencias y
que son desarrolladas en el transcurso de su vida escolar para acceder a diferentes
conocimientos de forma integrada.
A continuación se presenta de forma general y posteriormente de cuerdo al nivel de
logro que fue alcanzado por los estudiantes.
73
Preguntas Nº 1, 2, 3, 4. Contenidos matemáticos
Las preguntas contienen incisos (a), (b), (c), se pide completar diversos términos de las secuencias crecientes y decrecientes, cuyo contenido algebraico corresponde a las secuencias aritméticas creciente de 3 en 3, 2 en 2, 5 en 5 y decreciente de 3 en 3. Contenido algebraico: Comparación del crecimiento de la secuencia aritmética Sn = Sn-1+1 y la secuencia geométrica Gn = 2 G n-1
Gráfica N° 2
NLA= Nivel de Logro Alto. NLE= Nivel de Logro Bajo. NC= No Contestó
De acuerdo con la gráfica Nº 2, las preguntas uno, dos, tres y cuatro explorarón los
mismos contenidos matemáticos, es decir, secuencia aritmética creciente y decreciente; por
ello, se tomó la decisión de agruparlas en un bloque, en el cual se incluyen las cuatro primeras
preguntas con sus respectivos incisos, los cuales no presentaron mayor dificultad, dado que los
estudiantes alcanzaron un nivel de logro alto; en esta categoria, utilizaron una estrategia
multiplicativa, multiplicaron de acuerdo con el problema, observaron la secuencia creciente y
decreciente respectivamente de cada pregunta, identificarón una similitud en las diferentes
secuencias numéricas; por lo tanto, podríamos pensar que los estudiantes, utilizaron un
pensamiento multiplicativo en la resolución de los problemas.
74
Considerando que los estudiantes logran llegar a la identificación de la secuencia
creciente y decreciente y visualizan las semejanzas, por consiguiente pueden expresarlo de
forma oral de modo que llegaron a la solucion esperada, se podría decir que los estudiantes
relaciona la generalidad con las tablas de multiplicar y los conocimientos previos de sucesiones
y series son sifnificativo para ellos, así se dermuestra en la resolucion del problemas, y por
consiguiente se comprueba que los estudiantes, pueden llegar a concluir las cuatro etapas de
Mason.
Las dos primeras etapas de la propuesta fueron alcanzadas el ver y decir, tanto en los
ejercicios así como se evidenció en la entrevista individual que se les realizaron para comocer
si conocían del tema en cuestión y si presentaban complicaciones en la realizacion.
Posteriormente la de registrar y validar la información se comprueba, pues los etudiantes dan la
explicacion de quepuede seguir la sucesión hasta el número solicitado.
75
Preguntas Nº 5, 6, 7. Contenidos matemáticos
Las preguntas contienen incisos (a), (b), se pide completar diversos términos de las secuencias crecientes y decrecientes, cuyo contenido algebraico corresponde a las secuencias aritméticas y geométrica. Contenido algebraico: Comparación del crecimiento de la secuencia aritmética Sn = Sn-1+1 y la secuencia geométrica Gn = 2 G n-1
La gráfica Nº 3, muestra los resultados de las preguntas Nº 5, 6 y 7 de acuerdo al nivel de logro,
los cuales, son los siguientes:
Gráfica Nº 3.
NLA= Nivel de Logro Alto. NLE= Nivel de Logro Bajo. NC= No Contestó
De acuerdo con la gráfica, de la pregunta Nº 5, el nivel de logro es alto; llegaron a la
solución, en los respectivos incisos; visualizarón la secuencia de las figuras; la agilidad mental
de los estudiantes se perciibió logrando completar la secuencia geométrica; es decir, los
estudiantes utilizaron un razonamiento proporcional, en el cual el nivel de logro bajo es de 29.7
%; esto nos indica, que los estudiantes observaron y reflexionaron las figuras del problema, en
relacion con los contenido matemático de crecimiento secuencial aritmético y geométrico; se
pudo verificar que utilizabán un pensamiento abstracto, debido a que recurren mentalmente al
cambio de una figura y puedan identificar el patrón en la secuencias de figuras.
Para la pregunta Nº 6, el contenido matemático de crecimiento secuencial aritmético y
geométrico, la problemática se presenta en el inciso (a), dado que el tanto el nivel de logro alto
76
y bajo fue equitativo, la problemática se presento en No Contestó,los estudiantes no visualizan
la secuencia de figuras; se encuentrán en un proceso de comparacion geométrica; en el inciso
(b), los estudiantes sí alcanzán el nivel de logro Alto, pero no logran un semejanza geométrica
claro, no deducen la figura faltante anterior, no se les facilita el cambiar a voluntad situaciones
para completar la secuencia de las figuras; tal vez por ser la última fase del problema (b),
logran visualizar la semejanza y completan la secuencia.
En estas dos preguntas con sus respectivos incisos nos encontramos que se cumple
parcialmente la primera etapa de Mason el de ver o identificar un patrón, porque solamente
logran llegar a la respuesta esperadas en el inciso (b) de la pregunta seis, tal vez porque si
identificaron la secuencia como inicio o término de la misma, y por consiguiente no logran
completar la secuencia que se les presenta.
En cambio para la pregunta Nº 7, el porcentaje de nivel de logro es bajo en los dos
incisos, pues es mayor de 86.4 %; es decir, utilizan un penmsamiento aditivo, se limitan a
sumar o contar progresivamente, no identifican la secuencia de cada término establecido; esto
evidencia la falta de comprensión del tema de secuencias geométricas; el razonamiento aditivo
prevalece de forma expontánea.
En relación con la propuesta de Mason los alumnos logran visualizar la secuencia en la
parte superior y pero la segunada parte se cumple parcialmente, pues los estudiantes la realizán
con estrategia aditiva, no identifican un patrón en el ejercicio presentado, por consiguiente, los
conocimientos previos son insuficientes para que el alumno cubra las etapas de ver y decir una
similitud o patron. Las preguntas número cinco, seis y siete son secuencias geometricas.
77
En la siguiente Tabla Nº 2 se presentan los resultados de las preguntas Nº 5, 6 y 7; de
acuerdo con el porcentaje, la pregunta que presenta mayor dificultad, es la siete: más del 80%
se encuentran en el nivel de logro bajo. Los datos, son los siguientes:
Tabla Nº 2 Porcentajes. Preg. 5(a) (b) 6(a) 6(b) 7(a) 7(b)
N.L.A 70.2 67.5 21.6 62.1 16.2 10.8
N.L.E 29.7 29. 21.6 27 81 86.4
N.C 2.7 56.7 10.8 2.7 2.7
La tabla es complementaria de la gráfica de niveles de logro, donde se marcan los
porcentajes con mayor grado de complicación para los estudiantes. En la pregunta Nº 6, inciso
(a) los estudiantes demostraron no comprender la secuencia geométrica, no logran deducir la
figura siguiente, no llegan a desarrollar un pensamiento geométrico, y en la pregunta Nº 7, no
logran visualizar el patrón de las secuencias; cuentan los puntos de la figura anterior y
aumentan solamente uno, evidencian un pensamiento aditivo; estas dos actividades se tendría
que trabajar de manera minuciosa para que los estudiantes logren ver, decir y registrar dichas
secuencias, de modo que, se puedan cumplir las etapas de Mason.
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Pregunta Nº 8 Contenidos matemáticos
La pregunta contienen incisos (a)… (j), se pide completar diversos términos de las secuencias crecientes y decrecientes, cuyo contenido algebraico corresponde a la secuencia aritmética y geométrica. Contenido algebraico: Comparación del crecimiento de la secuencia aritmética Sn = Sn-1+1 y la secuencia geométrica Gn = 2 G n-1
La Gráfica Nº 4, muestra los resultados de la pregunta Nº 8, de acuerdo con el nivel de logro,
los cuales, son los siguientes:
Grafica Nº 4
NLA= Nivel de Logro Alto. NLE= Nivel de Logro Bajo. NC= No Contestó
La presente gráfica, nos muestra los niveles de logro de la pregunta Nº 8, en la cual los
estudiantes no presentaron mayor dificultad, dado que, alcanzarón un nivel de logro alto; se
podría decir que utilizan, un estrategia multiplicativa; resuelven los problemas mediante una
multiplicación de los valores y utilizan el razonamiento proporcional; realizan una comparación
cuantitativa o multiplicativa, recurren a la tabla para deducir la segunda relación, llegan a la
generalidad, visualizan la razón de la secuencia siguiente; el problema se presentó, en los
incisos (i), dado que los estudiantes no contestaron, al solicitarlos expresen en forma álgebraica
una regla; se confunden al expresar dicho conocimiento por medio de una regla; se limitan a
relacionar la tabla del tres de forma incorrecta, o simplemente no contestan dicha pregunta.
79
Posteriormente en el para el inciso (j) se pide explicar por escrito, cómo llegarón a la
solución, en esta categoria los estudiantes tienen la idea y lo transcriben; logran desarrollar un
pensamiento pre-algebraico, algunos estudiantes utilizarón la representacion de una literal (n),
para expresar cualquier número, y visualizan la similitud en las diferentes secuencias
numéricas.
Se evidencio que hay alumnos que logran cumplicar las cuatro etapas de Mason, porque
identifican un patrón, lo registran, lo exteriorizan a un lenguaje matematico y por consiguiente
la comprobacion de la regla para cierto número es faborable, por lo contrario la mayoría de los
alumnos no logran llegar a la expresion de una generalidad o regla, pero los conocimientos
previos les pemiten expresarlo de forma escrita y oral.
En la siguiente Tabla Nº 3; se presentan los resultados de la pregunta Nº 8, en
porcentajes. Los estudiantes, reflejan conocimiento del tema: la mayoría se ubican en el nivel
alto con más del 80 %.
Tabla Nº3, Porcentajes
Preg. 8(a) (b) (c ) (d) (e ) (f) (g) (h) (i) (i)
NL.A 94.5 100 89.1 91.8 83.7 94.5 86.4 86.4 32.4 43.2
NL.E 5.4 5.4 8.1 16.2 5.4 13.50 13.5 18.9 27
N.C 0 5.4 48.6 29.7
Esta tabla ratifica que la mayoría de los estudiantes dominan el tema de crecimiento
secuencial aritmético y geométrico, y recurren a una estrategia multiplicativa para llegar a la
solución; esto permitirá avanzar en la integración de nuevos conocimientos, de forma
significativ; en el inciso (i), el 48 % no contestaron, y el 27% no pudieron expresarlo de forma
escrita. Los porcentajes son favorables, para establecer una relación entre los procesos de
generalización.
80
Pregunta Nº 9 Contenidos matemáticos
La pregunta contiene incisos (a)… (k), se pide completar diversos términos de las secuencias crecientes y decrecientes, cuyo contenido algebraico corresponde a la secuencia aritmética y geométrica. Contenido algebraico: Comparación del crecimiento de la secuencia aritmética Sn = Sn-1+1 y la secuencia geométrica Gn = 2 G n-1
La Gráfica Nº 5, muestra los resultados de la pregunta Nº 9, de acuerdo con el nivel de logro,
los cuales, son los siguientes:
Grafica Nº 5 Niveles de Logro
NLA= Nivel de Logro Alto. NLE= Nivel de Logro Bajo. NC= No Contestó
De accuerdo con la gráfica anterior, los incisos que presentaron mayor dificultad son (d),
(e), (g), (h), (i), (j) y (k), en los cuales predomina el nivel de logro bajo; en el inciso (d), los
estudiantes utilizaron una estrategia aditiva, resuelven el problema mediante una suma; no
identifican el patrón establecido; se limitan a sumar, no identifican la secuencia geométrica de
las figuras, y son 26 estudiantes en nivel de logro bajo; en el inciso (e), la secuencia numérica
presento, complicaciones; dado que los estudiantes no dominan la razón de la secuencia
siguiente, utilizaron un pensamiento multiplicativo, o sea, acuden a la tabla del tres; sin tomar
en cuenta que el problema ha cambiado, lo relacionan con la pregunta ocho.
81
Así, pues, el mismo resultado se puede comparar con el inciso (g), pues no visualizan el
patrón, ni la similitud en las figuras por consiguiente, se limitan a sumar; la problemática
prosigue cuando en el inciso (h), se pide el total de palitos que forman una figura de 15
triángulos; aquí, el pensamiento aritmético se hace presente, debido a que realizan
multiplicaciones equivocadas y el nivel de logro es bajo en 24 estudiantes; en el inciso (i), se
pide el total de palitos utilizados en una figura de 45 triángulos; nuevamente los estudiantes
relacionan el problema y multiplican por tres, sin tomar en cuenta las características del
problema, con 34 estudiantes en el nivel bajo y 3 no contestaron.
En el inciso (j), se pide un pensamiento de reversibilidad; se les proporciona el total de
palitos, y se les pide que calculen el numero de triángulos que se pueden observar; el nivel de
logro es bajo en 19 estudiantes; esto nos muestra que los alumnos se encuentran en un proceso
de pensamiento aditivo, a un pensamiento multiplicativo intermedio; sus operaciones que
utilizaron darían una respuesta correcta si tratara del ejercicio anterior, pero no identifican las
características del problema planteado; por último, en el inciso (k) se pide, que expresen una
regla para llegar a determinado número de figura; el nivel de logro bajo se eleva a 24
estudiantes, quienes se quedan en un pensamiento multiplicativo, pues, la mayoría suma y
multiplica; esto nos deja claro, que el tema no ha sido significativo, y que los conocimientos
previos son escasos.
Partiendo de la propuesta de Mason donde la generalidad es parte fundamental para
acceder al álgebra, nos encontramos que los estudiantes logran identificar una secuencia
creciente en el ejercicio anterior y que lo tratan de relacionar con el ejercicio de la pregunta
nueve (tal vez la confusión se presenta por no dar una explicación de cómo están formados los
triángulos); la mayoría de los alumnos completan las tres etapas del autor; ver, decir y registrar
de forma equivocada, ya que el ejercicio presentan rasgos similares pero diferentes
condiciones, lo cual, demuestra que el alumnos no cuestiona lo que observan, no logran verlo
de una forma abstracta.
82
La tercera etapa de Mason, la mayoría de los estudiantes la cumple de forma escrita y
hablada pero presenta confusión al proyectarla de forma algebraica, pues todavía no manejan
las literales de forma común; sin embargo la cuarta etapa en donde se llega a la generalidad se
cumple en un solo alumno que utilizo literales para representar la regla solicitada, ven lo
particular en lo general, la mayoría se queda en a la tercera etapa.
En la tabla Nº 4, se presentan los resultados de la pregunta Nº 9, de acuerdo con el porcentaje.
Tabla Nº 4 Porcentajes
Preg. 9(a),(b) ( c) (d) ( e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) NLA 91,8 89,1 27 24,3 48,6 21,6 8,1 40,5 2,7 NLE 5,4 8,1 70,2 72,9 37,8 64,8 89,1 91,8 51,3 64,8 NC 2,7 2,7 2,7 2,7 13,5 13,5 2,7 8,1 8,1 32,4
Los porcentajes nos confirman que los estudiantes no visualizaron las características del
problema; se limitaron a relacionarlo con el ejercicio anterior; sus respuestas se basaron en el
planteamiento anterior; los porcentajes están subrayados para mayor claridad.
Con la ayuda de la tabla de porcentajes se demuestras, que los estudiantes no
comprende lo que realizan y que solamente mecanizan el procedimiento anterior, los incisos
dejan ver, el nivel de logro bajo que obtuvieron, es necesario que los temas sean trabajados de
forma detalla, interrelacionando los conocimientos previos de los alumnos para llegar a la
apropiación del tema de una manera significante.
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Preguntas Nº 10, 11,12 Contenidos matemáticos Las preguntas contienen incisos (a)… (d), se pide completar diversos términos de las secuencias crecientes y decrecientes, cuyo contenido algebraico corresponde a la secuencia aritmética y geométrica. Contenido algebraico: Comparación del crecimiento de la secuencia aritmética Sn = Sn-1+1 y la secuencia geométrica Gn = 2 G n-1
La Gráfica Nº 6 muestra los resultados de las preguntas Nº 10, 11 y 12, de acuerdo con
el nivel de logro, los cuales, son los siguientes:
Gráfica Nº 6 Nivel de Logro
NLA= Nivel de Logro Alto. NLE= Nivel de Logro Bajo. NC= No Contestó
Los datos muestran que en la pregunta Nº 10, el nivel de logro bajo predomina en el
inciso (a); 28 estudiantes dan una repuesta equivocada; utilizan un pensamiento aditivo, pues
solamente se limitan a sumar y no perciben la semejanza o la razón de la secuencia de las
figuras; la misma problemática se presenta en el inciso (b), con 26 estudiantes que utilizan una
estrategia aditivo y se limitan a contar la primera figura sin tomar en cuenta la sucesión de
figuras; el problema se complica cuando, en el inciso (c), se pide expresar una regla para el
patrón solicitado; los alumnos se limitan a representar multiplicaciones carentes de una
estructura algebraica, no visualizan semejanzas en las figuras, y no relacionan los
conocimientos previos.
84
El contraste se presenta en la pregunta 11 inciso (a); completan la secuencia de figuras,
con nivel de logro alto en 21 estudiantes; visualizan la secuencia, identifican un patrón y
encuentran la razón de la siguiente figura; se podría decir que predomina el razonamiento
proporcional dado que, ven una relación matemática cierta y deducen la siguiente figura; en
este mismo problema se inicia un pensamiento abstracto, en el cual pueden pensar, y actuar;
utilizan una estrategia multiplicativa, resuelven los problemas mediante una multiplicación de
los valores y utilizan el razonamiento proporcional.
En la pregunta Nº 12 predomina el nivel de logro bajo, en los incisos (a), (b), (c) y (d);
utilizan una estrategia aditiva, resuelven el problema mediante una suma o resta, pero no
visualizan las semejanzas o no identifican el patrón establecido; se limitan a contar y a colocar
los puntos en forma desordenada; por consiguiente, los conocimientos previos como el
razonamiento proporcional no están consolidados.
En la tabla Nº 5, se presentan los resultados de las preguntas Nº10, 11 y 12 de acuerdo con el
porcentaje.
Tabla Nº 5 Porcentaje
Preg. 10(a) (b) ( c) (d) 11(a) (b),(c ) (d) 12(a) (b) (c ) (d)
NL.A 21,6 27 2,7 2,7 56,7 62,1 8,1 27 27 27 10,8
NL.E 75,6 70,2 59,4 83,7 21,6 29, 67,5 51,3 64,8 62,1 70,2
NC 2,7 2,7 37,8 13,5 21,6 8,1 24,3 21,6 8,1 10,8 18,9
Esta tabla de porcentaje nos evidencia que los estudiantes, en las preguntas número 10 y
12, no visualizan la semejanza de las figuras; los porcentajes subrayados reflejan la falta de
actividades para ver, decir y expresar secuencias de diferentes características y no solamente las
comunes; se debe propiciar la reflexión de los problemas para que no los relacionen con
ejercicios anteriores, predomina una estrategia aditiva.
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Preguntas Nº 13 y 14 Contenidos matemáticos
La pregunta contienen incisos (a)… (d), se pide completar diversos términos de las secuencias crecientes y decrecientes, cuyo contenido algebraico corresponde a la secuencia aritmética y geométrica. Contenido algebraico: Comparación del crecimiento de la secuencia aritmética Sn = Sn-1+1 y la secuencia geométrica Gn = 2 G n-1
La gráfica Nº 7, muestra los resultados de las preguntas Nº 13 y 14, de acuerdo con el nivel de
logro.
Gráfica Nº 7
NLA= Nivel de Logro Alto. NLE= Nivel de Logro Bajo. NC= No Contestó
Los resultados muestran que en la pregunta Nº 13, los estudiantes se ubican en el nivel
de logro bajo, con 24 estudiantes; utilizan una estrategia aditiva, dado que se dedican a sumar
puntos sin visualizar semejanzas en las figuras; no llegan a la razón de la secuencia siguiente;
no consolidan un razonamiento proporcional, dado que ven sólo la relación matemática y por
consiguiente no deducen la siguiente secuencia; y, como resultado, las siguientes respuestas son
incorrectas; cuando se les solicita que de manera escrita expresen cómo llegaron al resultado,
reafirman que utilizaron un pensamiento aditivo; las respuestas más comunes son sumar los
puntos de la primera figura o restarlos; ocasionalmente mencionan multiplicar, pero no está
claro la identificación del patrón que les permita realizar la secuencia de las figuras.
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En la pregunta Nº 14, inciso (a), los resultados muestran que se ubican en el nivel de
logro bajo, con 22 estudiantes; utilizan una estrategia multiplicativa intermedia; resuelven los
problemas mediante una multiplicación de los valores pero no visualizan las características del
patrón; si el problema se presenta como la pregunta número ocho, tendrían noción de cómo
resolver el problema; al pedirles que visualicen las figuras y llenan una tabla, queda claro, que
utilizan un pensamiento multiplicativo pero no ven el patrón en la figura; se limitan a
multiplicar sin relación alguna; tal vez, necesitan ejercicios con las características solicitadas,
para apropiarse del conocimiento de una manera significativa; la misma respuesta equivocada
aparece en los siguientes incisos (b) y (d), al no percatarse de lo que realizan; pero al llegar al
inciso (e), donde se les pide expresar una regla para llegar a la solución, los siguen utilizando
un pensamiento multiplicativo; ocasionalmente algunos estudiantes logran respuestas pre-
algebraicas, en las cuales utilizan representación de variables, pero equivocadas, considerando
que muestran tener nociones del tema.
En la tabla Nº 6, se presentan los resultados de las preguntas Nº 13 y 14, de acuerdo con el
porcentaje.
Tabla Nº 6 Porcentaje
Nº P 13(a) (b) (c ) (d) ( e) 14(a) (b) ( c) (d) NL.A 16,2 13,5 43,5 18,9 35,1 40,5 67,5 2,7NL.E 64,8 72,9 45,9 70,2 81 59,4 54 27 70,2NC. 18,9 13,5 10,8 10,8 18,9 5,4 5,4 5,4 27
Los resultados en porcentaje presentaron complicación y nos evidencian que en las
secuencias crecientes y decrecientes aritméticas y geométricas, de las preguntas mencionadas,
se utiliza una estrategia aditiva predominante; los estudiantes no han adquirido el concepto de
proporcionalidad de manera significativa; se podría pensar que la actividad escolar ha
privilegiado la mecanización de dichos problemas.
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Pregunta Nº 15, 16 Contenidos matemáticos
La pregunta contienen incisos (a)… (d), se pide completar diversos términos de las secuencias crecientes y decrecientes, cuyo contenido algebraico corresponde a la secuencia aritmética y geométrica. Contenido algebraico: Comparación del crecimiento de la secuencia aritmética Sn = Sn-1+1 y la secuencia geométrica Gn = 2 G n-1
La gráfica Nº 8, muestra los resultados de las preguntas Nº 15 y 16, de acuerdo con el nivel de
logro.
Grafica Nº 8
NLA= Nivel de Logro Alto. NLE= Nivel de Logro Bajo. NC= No Contestó
En la gráfica se evidencia que el nivel de logro bajo predomina en las dos preguntas; los
estudiantes utilizan una estrategia aditiva, resuelven el problema mediante una suma o resta,
pero no visualizan las semejanzas o no identifican el patrón establecido; se limitan a contar
para llegar a la respuesta. En la pregunta Nº 15, inciso (a), al completar las secuencias de
figuras, los alumnos no perciben semejanzas, ni la razón de la secuencia de la figura; no se da
una reflexión de lo que realizan, pero en el inciso (b), al solicitar que lo expresen en una regla,
dan muestra de un pensamiento pre-algebraico; utilizan variables, e introducen símbolos
relacionados con expresiones algebraicas; esto facilita la apropiación de los temas con una
secuencia guiada, para descartar las dudas presentadas.
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Con respecto a la pregunta Nº 16, definitivamente el inciso (a) no fue contestado; es evidente
que los estudiantes no identificaron similitud en las figuras, y mucho menos, identificaron un
patrón para seguir la secuencia de la misma; el nivel de logro bajo se presenta en el inciso (b),
con 20 estudiantes, la estrategia de resolución predominante es aditiva, pero al expresarlo en
forma de regla, utilizan un pensamiento multiplicativo; tienen nociones de multiplicar, pero no
las variables que utilizarían; se podría decir que tiene nociones del tema, pero predomina la
mecanización; no se reflexiona sobre lo a lo que se está trabajando; tal vez si se trabajara de
forma más detallada, los estudiantes, se apropiarían de dicho conocimiento.
En la tabla Nº 9, se presentan los resultados de las preguntas Nº 15 y 16 de acuerdo con el
porcentaje.
Tabla Nº 9 Porcentaje
Preg. 15(a) (b) 16(a) (b)NLA 32,4 40,5 NLE 51,3 64,8 35,1 70,2NC 16,2 35,1 24,3 29,7
El porcentaje predominante en ambas preguntas fue el nivel de logro bajo; se evidencia
la falta de comprensión de las secuencias para que los estudiantes puedan visualizar de forma
clara lo que se les solicita; se necesita involucrar al mismo estudiante en la construcción de su
conocimiento, pues el poder identificar mentalmente un patrón, nos lleva a cuestionar lo que
percibimos y tratar de expresarlo por medio de literales lo cual nos llevaría a acceder a un
pensamiento algebraico y por consiguiente a un pensamiento abstracto.
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Pregunta Nº 17 Contenidos matemáticos
La pregunta contienen incisos (a)… (ll), se pide completar diversos términos de las secuencias crecientes y decrecientes, cuyo contenido algebraico corresponde a la secuencia aritmética y geométrica. Contenido algebraico: Comparación del crecimiento de la secuencia aritmética Sn = Sn-1+1 y la secuencia geométrica Gn = 2 G n-1
La gráfica Nº 9, muestra los resultados de la pregunta Nº 17, de acuerdo con le nivel de
logro. En los primeros incisos no se presenta complicación alguna; visualizan la secuencia de
los colores en la cadena y utilizan parte de un conocimiento de los procesos de generalización.
Gráfica Nº 9
NLA= Nivel de Logro Alto. NLE= Nivel de Logro Bajo. NC= No Contestó
En la última pregunta, Nº 17, se trató de englobar los contenidos matemáticos en un
ejercicio cotidiano; los datos reflejan que los estudiantes se encuentran, en los incisos (a), (b) y
(c), en un nivel de logro alto; la visualización se realiza de manera satisfactoria, utilizando una
estrategia aditiva; resuelven el problema mediante una suma, pero se limitan a contar para
llegar a la respuesta; la complicacion se presenta cuando, en los incisos (d), (f), (g), (i), (j), (l) y
(ll), el nivel de logro es bajo; la estrategia aditiva sigue predominado; los estudiantes resuelve
el problema mediante una suma; esporádicamente recuren a una estrategia multiplicativa
intermedia; resuelven los problemas multiplicando los valores; visualizan semejanzas,
90
identifican un patrón, utilizan la multiplicación como recurso para llegar a la solucion de los
incisos posteriores, como el inciso (g), en el cual se pide identificar el color de cierto número
de eslabón, hay equilibrio entre la contestacion acertiva, errror y no contestó; esto nos habla de
que los alumnos se encuentran en proceso de apropiacion del tema.
En los incisos (i), (j), se presento el mismo pensamiento multiplicativo intermedio; las
respuestas obtuvierón el mismo nivel de logro (acierto, error y no contestó), estadisticamente el
resultado es el mismo; para finalizar, en los incisos (l) y (ll) se les pide que expliquen cómo
llegar a la sucesión de manera general, especificamente de cada color; los estudiantes
evidencian un pensamiento aditivo, dado que la solución que proponen es sumar, contando los
colores que lo conforman, y ocasionalmente hablan de multiplicación, pero no tienen la
estructura de un proceso de generalizacion para llegar a la solucion adecuda.
En la tabla Nº 10, se presentan los resultados de la pregunta Nº 17 de acuerdo con el
porcentaje; el porcentaje de error se establece en el nivel de logro no contestó, dado que la
mayoría de los estudiantes no contestaron.
Tabla Nº 10 Porcentaje
Preg. 17(a) (b) (c ) (d) (e ) (f) (g) (h) (i),(j) (k) (l) (ll) NL.A 67,5 70,2 70,2 5,4 56,7 37,8 32,4 51,3 48,6 54 24,3 21,6
NL.E 10,8 2,7 62,1 13,5 29,7 35,1 24,3 27 21,6 35,1 25,10
N.C 21,6 29 27 32,4 29,7 32,4 32,4 24,3 24,3 24,3 40,5 43,2
Los datos muestran que los que los incisos (d), (f), (g),(i),(j), (l) y (ll), presentarón
mayor dificultad dado que el nivel de logro bajo y no contestó son los más predominantes, pues
la solución que proponen, es la de sumar, contando los colores que lo conforman, y
ocasionalmente tratan de multiplicación, pero no tienen la estructura de un proceso de
generalización, para llegar a la solución adecuda.
Para concluir, en el cuestionario de los procesos de generalización encontramos que, la
mayoria de los alumnos utilizan un pensamiento aditivo; se encuentran en trancisión de un
pensamiento aditivo a uno multiplicativo; se debe de poner atención a las formas de expresarlo
tanto oral como escrita, visto que la mayoría lo pueden expresar en relación con las operaciones
que utilizarón, pero al expresarlo de forma escrita se limitan a verificar un pensamiento aditivo;
la contestaciónes más comúnes es sumar.
91
Se concluye que, con la propuesta de Mason (1995), el acceder al álgebra vía los
procesos de generalización, los estudiantes podrían llegar a la cuatro etapas de ver, decr,
registrar y validar dichas expresiones; se logra así la transición de la aritmética al álgebra de
manera significaitiva. Considerando que en las cuatro etapas mencionadas se lograría que los
alumnos desarrollaran un pensamiento de reversibilidad, un pensamiento algebraico y un
pensamiento abstracto, los estudiantes deben tener sentido de lo que realizan a fin de que se
discutan entre iguales, para llegar a la apropiación de los conocimientos o tal vez a su propia
álgebra.
En la realización de este trabajo se tomo en cuenta los procesos de generalizacion para
acceder al álgebra, pero no se puede dejar a un lado el razonamiento proporcional, pues es lo
que los alumnos de primer año de secundaria tienen como conocimientos previos, los cuales
trabajados de forma continia en la secundaria podrían facilitar la transcion de la aritmetica al
álgebra, o la inicicasion de un lenguaje matemático, para que posteriormente se desarrolle la
habilidad de expresar algebraicamente un problema cotidiano.
Tanto los procesos de generalización y como el razonamiento proporcional comparten
aspectos aritméticos y geométricos los cuáles se encuentran en una secuencia, llegando un
número genrado o variable, los cuales se relaciona con una secuencia aritmética o geométrica,
alcanzando a identificar un patrón, esto como nos remite a lo ya mencionado con anterioridad
que el ver, decr, registrar y validar una expresión; se lograría la transición de la aritmética al
álgebra de manera significaitiva, pues el alumno encuentra sentido a lo que realiza,desarrollla
la habilidad de realizar la misma operación pero con difernte metodo o de forma recresiva
(pensamiento de reversiblidad), con el fin de que los alumnos puedan realizar un
reordenamiento o manipulación del número generado, saí llegar a una expresión algebraica en
forma propia y por medio de una mecanización de los que seles presenta en el salón de clases.
92
5.5 Descripción y aplicación de las entrevistas clínicas individuales
Las entrevistas clínicas individuales toman como fundamento el método clínico de
Piaget, con la finalidad de que el estudiante exprese de forma verbal cómo resolvió las
situaciones planteadas, con finalidad de conocer las ideas pre-algebraicas que conocen.
Para estructurar la entrevista se tomaron como base las ideas de Delval (2001); para el
autor, la entrevista debe ser semiestructurada, con preguntas cotidianas, de modo que pueda
ampliar la respuesta o reflexionar la contestación, con miras a que se pueda interpretar de
manera más detallada. La entrevista, se aplicó a seis estudiantes de primer año de secundaria
de una escuela pública del Distrito Federal, de acuerdo con los resultados obtenidos, en el
cuestionario de los procesos de generalización, los cuales se relacionaron con los niveles de
logro alto, bajo y no contestó.
Con las preguntas ya establecidas, se trato de guiar a los estudiante, permitirnos, indagar
sobre su pensamiento en relación con el cuestionario, cómo llego a la solución, y referente a los
contenidos matemáticos que se trabajan en los centros educativos.
Las preguntas del cuestionario.
1. ¿Me podrías explicar cómo resolviste la secuencia?
2. ¿Me podrías explicar por qué?
3. ¿Cómo sabes que se resuelve de esa manera?
4. ¿Habría otra forma de realizarlo?
5. ¿Cómo lo resolverías?
Las entrevistas, fueron individuales con una duración de una hora aproximadamente; para
que los estudiantes se sintieran libres de cualquier presión, se realizaron en la biblioteca de la
escuela, que se encuentra ubicada en la parte superior del tercer edificio.
Para la realización de la entrevista se requirió de los siguientes materiales:
• Hojas blancas
• Lápiz
93
• Goma
Se tomó en cuenta los niveles de logro alto, bajo y no contestó, para la selección de los
cuestionarios.
5.6 Resultados de las entrevistas clínicas individuales A continuación, se presentan fragmentos de las entrevistas clínicas aplicadas a los alumnos de
primer año de secundaria, con la finalidad de conocer, el nivel de conceptualización que cada
uno tiene de acuerdo con su nivel de logro; se decidió realizar la entrevista teniendo en cuenta
que, el mero cuestionario no muestra el nivel de conceptualización matemática.
5.6.1 Crecimiento secuencial aritmético y geométrico Los fragmentos de las entrevistas clínicas aplicadas a los alumnos de primer año de secundaria,
muestran el nivel de conceptualización matemática que cada uno tiene de acuerdo con su nivel
de logro.
5.6.1.1 Nivel de Logro Alto: En esta categoría se encuentran los estudiantes que multiplican,
dividen o evidencian ideas pre-algebraicas, las cuales se pudieron reafirmar en las
contestaciones donde utilizan simbologías (variables o literales), para establecer una regla;
responden usando un pensamiento multiplicativo: utilizan la multiplicación; se percibe la
comprensión del problema a tratar; de igual forma, completan el procedimiento.
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Trecho del protocolo
Entrevistadora (E): ¿Cómo resolviste el problema?
Maribel (M): En la primera figura hay uno, en la segunda hay cuatro y en la tercera hay siete y
entonces se va sumando tres, se van aumentando tres
E: Entonces, en la figura cuatro, ¿cuántos tendría que haber?
M: Aquí, tendría que haber diez
E: ¿Cuántos dibujaste tú?
M: Diez
E: Da una regla para calcular la cantidad de rombos que necesitas, si conoces el número de la
figura
M: Yo le puse uno n por tres
E: ¿Que representa la n para ti?
M: Cualquier número
Comentario: En este caso, se puede observar que la estudiante, se encuentra en un nivel
de logro alto, desarrolla sus respuesta con ideas pre-algebraicas, las cuales, se pudieron
reafirmar en las contestaciones en las que utilizaba simbología (variables o literales), para
establecer una regla, daba sus respuestas haciendo uso de una estrategia multiplicativo;
resuelve los problemas mediante una multiplicación de los valores y utiliza cuestiones, como
95
razonamiento proporcional, desarrolla su capacidad en relaciones matemáticas y logra deducir
la relación, por consiguiente puede llegar a la generalidad para encontrar la solución visualiza
un patrón en las diferentes sucesiones, tanto numéricas como geométricas; así mismo, cuando
se le pide expresarlo de forma escrita, la alumna tenía idea de cómo podría realízalo, pero no,
expresarlo por escrito y se limitó a usar un pensamiento multiplicativo intermedio; se lograría
despejar las diferentes dudas si logra un acompañamiento en la construcción de su propio
conocimiento, por medio de actividades que desarrollen una visión global del álgebra.
5.6.1.2 Nivel de Logro Bajo: En esta categoría se encuentran los estudiantes que
responden haciendo uso de una estrategia de resolución multiplicativa intermedia; resuelven los
problemas mediante una multiplicación de los valores; visualizan semejanzas; identifican un
patrón cuando el problema se presenta de manera sencilla; en ocasiones evidencian ideas de un
pensamiento aditivo, en el crecimiento secuencial aritmético y geométrico, es decir, suman de
manera progresiva; posteriormente, se les pide llenar la tabla y contestar las preguntas,
solicitándoles que establezcan una regla para las diferentes figuras; no se percatan cómo va la
secuencia de las figuras, y por consiguiente, las respuestas posteriores son equivocadas; utilizan
operaciones de tipo aditivo, pero al final no concretan la respuesta y suman equivocadamente.
Nota aclarotoria: En el cuestionario inicial sobre los procesos de generalización se debió
explicar de forma escrita en el ejercicio, que la figura fue realizada con palitos, para que,
posteriormente respondieran las preguntas solicitadas, se dió por enterado que en la pregunta
número ocho se especificaba que las figuras estaban realizadas con palitos y no se especificó en
los ejercicios posteriores.
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Trecho del protocolo
E: ¿Cómo resolviste el problema?
D: En la primera figura hay cuatro palitos, en la segunda figuras hay ocho y así, le fui
sumando cuatro
E: ¿Cuántos palitos aumentan en cada figura?
D: Cuatro
E: Da una regla para calcular la cantidad de palitos que necesitas si conoces el número de
cuadrados.
D: No puedo
E: ¿Por qué?
D: No le entiendo
E: La pregunta siguiente ¿cómo lo resolviste?
D: Nada más aumenté cuatro.
Comentario. Aquí, el alumno no visualiza la secuencia de las figuras; se limita a
utilizar una estrategia aditiva: resuelve el problema mediante una suma o resta; no visualiza las
semejanzas o no identifican el patrón establecido; se limita a contar para llegar a la respuesta
en el llenado de la tabla; no comprende cómo están formados los cuadrados, por medio de
97
palitos; se limita a contar de forma progresiva; cuando se le solicita dar una regla de cómo se
encuentran las diferentes figuras, no contesta, argumentando que no comprende; esto deja ver
la falta de conocimiento del tema, y posteriormente, cuando se le pide contestarlo de forma
escrita, da una respuesta de pensamiento aditvo: le aumenta cuatro a cada figura solicitada; aquí
el razonamiento proporcional, tendría que ser mas trabajado, para que el estudiante desarrolle
las cuatro etapas de Mason y pueda despejar todas las dudas conceptuales.
5.6.1.3 No Contesto: En esta categoría se encuentran los estudiantes dejan en blanco la
respuesta, no utilizan un razonamiento proporcional, no logran comparar las figuras y por
consiguiente se limitan a sumar; no comprenden el tema (contenidos matemáticos: crecimiento
secuencial aritmético y geométrico.), no logran los rescatar los conocimientos previos,
desconocen los temas planteados. El análisis se realizó en base a las preguntas no contestadas,
así como los errores: utilizan una estrategia aditiva, se limitan a contar de forma progresiva; tal
vez sí comprendieran si se hubiera trabajado el razonamiento proporcional; por medio de las
comparaciones y así llenar tablas de proporción con una comparación multiplicativa, se les
facilitaría dichas secuencias geométricas, y así visualizarían el patrón en las figuras; utilizan
sumas y restas, como recurso de solución.
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Trecho del protocolo
E: ¿Cómo resolviste el problema?
J: Dibujando los rombos
E: ¿Cómo podrías resolver el problema?
J: No sé, me confundo con las figuras
E: Con respecto a la siguiente pregunta ¿cómo la resolverías?
J: No entiendo, que debo poner en los rectángulos.
E: ¿Cómo lo resolverías?
J: ¿Sumando los rombos?
E: ¿Podrías resolverlo de otra manera?
J: No creo.
Comentario. El estudiante muestra desconocimiento pata resolver la pregunta 15. Se
limita a contestar con una estrategia aditiva; resuelve el problema mediante una suma; logra
visualizar la semejanza, pero no identifica el patrón establecido; da indicio de comprender lo
que se le solicita, realiza una reflexión: se limita a escribir, que podría llegar a la solución
sumando los rombos, evidenciando conocer el tema mas no lo comprende de forma definitiva:
tal vez si se le explicara detalladamente, se apropiaría del tema de manera significativa; se debe
buscar estrategias que cumplan con la finalidad de ver , decir, registrar y validar dichas
expresiones.
99
Los alumnos no logran visualizar el patrón de forma adecuada, perciben características
o semejanzas que contienen el problema, por tanto, la primera etapa de Mason (de ver e
identificación mental de un patrón), se cumple parcialmente; pues les causa confusión la
estructura, tiene una vaga noción de lo que tienen que realizar, (un pensamiento aditivo), esto
que demuestra cuando en la segunda pregunta, contesta que para completar la secuencia tiene
que sumar los rombos, se podría decir que parcialmente se cumple la segunda etapa del autor
antes mencionado.
En relación con la tercera etapa, se presenta confusión en los rectángulos pues, no puede
expresarlo de forma algebraica y por consiguiente la cuarta etapa de comprobar sus resultados
no representa inquietud pues no logra completar las dos primeras etapas.
5.6.1.4 Nivel de Logro Alto: En esta categoría se encuentran los estudiantes que utilizan una
estrategia multiplicativa; resuelven los problemas mediante una multiplicación de los valores y
utiliza estrategias, como el razonamiento proporcional; visualizan una relación matemática y
completan la secuencias creciente y decreciente con números positivos; se dan cuenta de que
pueden encontrar las soluciones por medio de las tablas de multiplicar; podríamos decir, que se
encuentran en proceso de transición de un pensamiento aditivo a un multiplicativo, dado que,
visualizan un patrón en las secuencia; en la propuesta de Mason (1995), se podría completar las
cuatro etapas (ver, decir, registrar y validar o comprobar los resultados obtenidos); se pretende
que los estudiantes se familiaricen con los procesos de generalización, para que accedan al
álgebra de manera significativa.
100
Trecho del protocolo
E: ¿Tuviste problemas para identificar las figuras?
A: No
E: ¿Por ejemplo, la primera pregunta cómo lo resolviste?
A: Nada más, los fui contando (hace referencia a contarlos en el cuestionario), uno dos tres
cuatro, cinco, seis
E: Siguiendo la secuencia de figuras ¿cuántos triángulos tendrán la sexta figura?
A: Seis
E: Para completar la tabla de abajo ¿cómo lo hiciste?
A: Como cada figura tiene tres palitos entonces multipliqué por uno, dos por tres, tres por tres
y así con la secuencia de la figura.
E: ¿Cuántos palitos necesitas para realizar una figura con 12 triángulos?
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A: Entonces como diez por tres es treinta, multiplique doce por tres
E: y nos da
A: treinta seis
E: Tienes cuarenta y ocho palitos, ¿cuántos triángulos puedes formar?
A: Entonces ahí dividí cuarenta y ocho entre tres
E: continuando con el cuestionario, da una regla para calcular la cantidad de palitos que
necesitas, si conoces el número de triángulos ¿me lo podrías explicar cómo lo resolviste?
A: Como el número de triángulos es uno lo multiplico por tres
E: ¿Por qué por tres?
M: Porque tiene tres lados o tres palitos entonces por eso sé que es tres, te da tres
E: En la segunda pregunta es como encuentras el número de palitos que necesitas, si conoces el
número de triángulos que forman una figura?
M: Contando los lados de cada figura
E: no hay otra forma de hacerlo
M: Otra forma, no se
E: Se le pide que lea la pregunta anterior del cuestionario y contesta
M: una forma, seria multiplicando por los lados que tiene la figura y otra seria contando los
lados de la figura
Comentario. El estudiante identifico claramente la secuencia creciente y decreciente,
utilizó una estrategia multiplicativa; resuelven los problemas mediante una multiplicación de
los valores, utiliza un razonamiento proporcional, logran llegar a una relación matemática y por
consiguiente, puede llegar a la relación de las diferentes figuras completando la secuencia
solicitada, se podría decir que se encuentra en proceso de un pensamiento aritmético a un
pensamiento algebraico, dado que logra ver, decir, registrar y por consiguiente logra validar la
información, cualidades necesarias para iniciar un pensamiento abstracto, en el cual, logre
esquemas formales para la construcción del conocimiento nuevo y así acceder a conocimientos
matemáticos complejos. La facilidad de llegar a la solución de dicha actividad, es que se
concientice, del lenguaje que se emplea en relación de las matemáticas, que logre apropiarse
de manera significativa la estructura de dicho lenguaje.
102
5.6.1.5 Nivel de Logro Bajo: En esta categoría se encuentran los estudiantes que utilizan
una estrategia aditiva donde los estudiantes resuelve el problema mediante una suma o resta, no
logran visualizar las semejanzas o no identifican el patrón establecido, se limitan a contar para
llegar a la respuesta, esporádicamente hacen uso de las multiplicaciones y sumando, con
algunas representaciones que evidencien ideas de un pensamiento aritmético, considerando que
en el problema, no logra visualizar la secuencia creciente de los eslabones. La pregunta Nº 17,
identifica un patrón en las secuencias, pero no llega a la repuesta esperada, se limita a utilizar
un pensamiento multiplicativo, porque se da cuenta, que puede encontrar las soluciones por
medio del llenado de la tabla, cuando lo realiza de forma secuencial y logra ver los colores de
los eslabones que le solicitaban.
Trecho del protocolo E: Si la cadena tuviera treinta y siete eslabones, ¿Cuál sería el color del último eslabón?
Y: Yo le puse que blanco
103
E: ¿Como llegaste a esa solución?
Y: Porque según yo, este, por ejemplo, comienza con verde son una, dos, tres cuatro colores
diferentes, entonces lo que yo hice fue multiplicarlo por cuatro
E: ¿Cuatro por nueve nos da?
Y: Treinta y seis, entonces era blanco según yo, acaba con blanco, entonces yo dije
E: Es la misma pregunta relacionada, si la cadena tuviera 43 eslabones, ¿cuál sería el color del
último eslabón?
Y: También hice lo mismo, multiplique el número de la figura por cuatro, ya lo que me salió,
entonces ya dije termina en dorado.
E: Aquí, cómo, no te entiendo todavía
Y: Multiplique cuarenta y tres por cuatro te da setenta y ocho.
E: Pero yo quiero saber, el color del último eslabón
Y: Es que haga de cuenta que aquí, este, yo seguí la secuencia en rojo, según yo terminaba en
dorado, (da la explicación en el cuestionario).
E: Para la pregunta siguiente ¿Cuando termina en 51, cual es el color del último eslabón?
M: Rojo
E: Me lo podrías explicar
M: Porque toda la secuencia va de diferentes colores; lo que hice yo, fue que acá seguía el
blanco y seguía el rojo, mi cadena terminaba en rojo.
E: ¿Cómo resolviste la tabla?
A: Como termina en blanco con la numeración nueve, yo inicié en diez y fui llenando la tabla
Nota: se le invita a compara sus resultados de la actividad anterior y comprueba sus
contestaciones, llegando a la reflexionar, para comprender mejor el tema.
E: en la pregunta siguiente ¿Cómo lo resolviste?
A: No lo contesté
E: ¿Por qué?
A: Pensé que tendría que realizar las operaciones
E: Pero ya habías dado la explicación con anterioridad de cómo llegaste a la solución
A: Si pero no tuve tiempo.
E: En la última pregunta, ¿Cómo lo resolviste?
A: creo que no tuve tiempo por eso no lo resolví.
104
Comentario. La estudiante utiliza una estrategia multiplicativa intermedia; resuelve el
problema mediante una suma progresiva, y posteriormente realiza multiplicaciones: visualiza
semejanzas, identifica un patrón, y da una explicación de razonamiento proporcional; deduce,
unas relación matemática cierta y complementa la secuencia, a partir de los colores de los
eslabones; pero esa realización se contradice posteriormente; llega a reflexionar sus
contestaciones; tiene noción de cómo establecer la regla solicitada; esto se demuestra con la
explicación que dio al contestar lo inciso (e), (f) y (g), cuando se le solicita que escriba cómo
llegó a la solución, no lo puede expresar de manera escrita, tal vez por falta de tiempo o porque
no logró ordenar sus pensamiento para expresarlos por escrito; al comunicarlo de forma oral
reflejaba claramente lo que realizó;, usa una lógica en sus respuestas, pero posteriormente en el
llenado de la tabla rectifica, que sus respuestas estaban incorrectas; se podría decir que el
estudiante se encuentra en proceso de un pensamiento aritmético a un pensamiento
multiplicativo; refleja ideas de proporcionalidad, pero le falta trabajar en las estrategias de
resolución para que el aprendizaje sea significativo.
105
5.6.1.6 No Contestó: En esta categoría se encuentran los estudiantes que no responden, no
utilizan operaciones como sumas, multiplicaciones o divisiones; no comprenden el tema (los
contenidos matemáticos, son crecimiento secuencial aritmético y geométrico); dejan ver su
desconocimiento de los temas planteados; el análisis se realizó en base a las preguntas no
contestadas, así como los errores; utilizan una estrategia aditiva generalmente; se limitan a
contar de forma progresiva; tal vez si comprendieran el razonamiento proporcional se les
facilitaría dichas secuencias geométricas, y así visualizarían el patrón en las figuras, utilizan
sumas y restas, como recurso de solución.
Trecho del protocolo
E: ¿Cuántos puntos hay en la figura número tres?
L: hay nueve
E: ¿Cuántos puntos habrá e la figura número cuatro?
L: hay catorce
E: ¿Cómo resolviste el problema?
L: este no puse ningún puntito, pero yo creo que serian catorce aquí, como lo va indicando la
figura, creo que si iban los catorce.
E: Nos piden que demos una regla, para calcular el número de puntitos según la figura.
L: Aquí dice número de figura (señala el ejercicio), y fui poniendo puntitos alrededor y el
número de puntitos son setenta y cuatro, si setenta y cuatro.
106
E: ¿Por qué tedio esa cantidad?
L: Por que caben en el rectángulo los puntitos y los conté.
E: ¿Qué es una regla?
L: Es como la regla de tres
E: Me la podrías explicar.
L: No se pero es la que conozco.
Comentario. El estudiante en primera estancia cuando contesto el cuestionario, no
visualizo las características del problema, por consiguiente no identifico el patrón a seguir,
responde el crecimiento secuencial geométrico, carente de un razonamiento proporcional no
logra comparar las figuras y por consiguiente; no deduce las figuras siguientes; se necesita
realizar actividades con las características del problema, para que, perciba la relación en la
figuras geométricas y no solamente las sucesiones numéricas.
Posteriormente, en la entrevista el estudiante logra visualizar la semejanzas de las
figuras acude a una estrategia aditiva pues suma los puntos de la figura, pero lo realiza de
forma equivocada pues en la cuarta figura menciona que son catorce los puntos, conoce el
incremento de la figura, esto nos demuestra que; la primera etapa de Mason se cumple, pues
hay una identificación mental de la secuencia y por consiguiente se da una reflexión de las
figuras presentadas, al preguntar cómo llega a la regla, hace referencia que si conoce la regla de
tres pero no puede expresar, por tanto los conocimientos previos no satisfacen y la apropiación
de los contenidos de las secuencias geométricas no son significativos; utiliza una estrategia de
tipo aditiva, dado que, recurre al conteo progresivo (ve el incremento de 3), para completar la
contestación de la secuencia siguiente; se le debe acompañar en la construcción de su
conocimiento. Por lo anterior, los estudiantes de primer año de secundaria, presentan
dificultades para trabajar contenidos matemáticos que explorar problemas de estructura
multiplicativa como los que fueron explorados en esta tesis.
De acuerdo a los resultados obtenidos en este estudio, podemos sugerir que el profesor
de matemáticas debería realizar actividades en las cuales se puedan identificar las secuencias
tanto aritméticas como geométricas y esto se lograría relacionado tanto el razonamiento
proporcional como los procesos de generalización pues el desarrollo del pensamiento
algebraico, facilitaría la comprensión de los contenidos posteriores.
107
Este tipo de actividades requiere un acompañamiento en los ejercicios, con interrelación
profesor-alumno y alumno-alumno, para que el aprendizaje o la introducción al álgebra sea de
manera fluida; se debe hacer partícipe al mismo alumno, para que desarrolle su propia á del
álgebra y no la impuesta en los libros de texto o en los salones de clases, y puedan desarrollar
un pensamiento abstracto.
El presente cuestionario se elabora en base de los conocimientos previos de los alumnos
y por medio de la revisión de la literatura que reporta las dificultades que los estudiantes
tienen con el pensamiento algebraico. Además se realizó un cuestionario piloto, el cuál fue
aplicado a los alumnos de sexto grado de primaria; se tocaron contenidos del programa y planes
de estudio, los cuales incluían razonamiento proporcional, tanto como tablas de proporción y
tablas de valores. La comparación geométrica es la base, para las secuencias aritméticas y
geométricas.
A partir de los resultados obtenidos en el cuestionario inicial, la resolución de los
problemas resueltos por los estudiantes en lo que respecta a las estrategias de resolución de
problemas, los estudiantes aún presentan estrategias de tipo aditivo; prosiguen las de tipo
multiplicativo intermedio y esporádicamente, las estrategias de tipo multiplicativo; sin embargo
se considera la forma de reestructurar las respuestas solicitadas; dado que al pedirles que
explique su procedimiento, lo realizan ayudados con ideas pre-algebraicas lo que demuestra
que los estudiantes tienen los conocimientos previos para llegar de manera favorable a
generalizar, pero tales conocimientos no son trabajados o no se les da la importancia, como una
vía para acceder al álgebra de manera significativa. La mayoría de los estudiantes presentan
dificultades, como no poder expresar lo pensado, y se limitan, a utilizar un pensamiento
aditivo; sin embargo, vienen de una educación primaria con ideas pre-algebraicas; pero en la
secundaria no se logra desarrollar las habilidades de manera adecuada, no se consolida dicho
conocimiento, principalmente por la falta de una propuesta, como la de Mason, donde la
expresión de la generalidad se desarrolle por medio de las cuatro etapas del autor; para que se
desarrollen las habilidades de ver, decir, registrar y validar la fórmula, de modo que, los
estudiantes les sea significativo el lenguaje y la simbolización con la que se trabaja.
Nota aclaratoria: El cuestionario de los procesos de generalización, no tenía como finalidad ser
una secuencia didáctica. El objetivo del referido instrumento intentó explorar los procesos de
generalización.
108
5.7 Aplicación del cuestionario a tres estudiantes con una explicación con material manipulable
Posteriormente, a la aplicación del instrumento, se les da una explicación a tres
alumnos, de cómo estaban formadas las figuras de las preguntas ocho, nueve, diez y catorce de
secuencias geométricas, pues no se especificó que las figuras estaban hechas con palitos y se
dio por entendió cuando se planteo únicamente en la pregunta nº ocho del cuestionario. Por tal
motivo se continúo a seleccionar a tres alumnos de otro grupo; con la finalidad de realizar
ejercicios con material manipulable y logren visualizar como van incrementando las figuras,
por ejemplo en la elaboración de rectángulos y hexágono, la finalidad era de que visualizaran;
cuántos palitos se necesitaban para la realización de una figura, de modo que, comprendan la
estructura de la secuencia, por consiguiente los alumnos lograban llegar a la primera etapa de
Mason; la de identificar una similitud o la identificación mental de un patrón.
Posteriormente se cuestiona a los alumnos sobre la realización de las figuras (¿Cuál es
el incremento de palitos?), se pasa a la segunda etapa (decir), intercambian información y
logran expresarlo entre ellos, el cómo se incrementan los palitos, en la tercera etapa la de
registrar se da de manera parcial pues, solo pueden expresarlo de forma escrita utilizan un
pensamiento aditivo, sin llegar a la simbolización de los datos, y por consiguiente no establecen
una regla. Siguiendo con la explicación, se prosigue a realizar un hexágono con popotes la
realización fue llevada de modo que los alumnos comprendieran que los popotes y palitos de la
figura anterior no van encimados y visualizaron cuantos popotes y palitos iban incrementando
en cada figura,
Se dio la explicación de cómo se forman las figuras con palitos y al día siguiente se
aplico el cuestionario de los procesos de generalización a los alumnos antes seleccionados, no
se tomo el nivel de logro alcanzado solamente se quiere hacer referencia, si los alumnos
comprendieron la estructura de las figuras y si podían llegar a establecer una regla, y si se
hacía más explicito la resolución de los problemas.
Las etapas de Mason, no son algo que se logren paso a paso de manera sucesiva, si no
por lo contrario, es una propuesta donde el estudiante tienen la facilidad de ir reflexionado su
conocimiento y poderlo expresar de forma matemática, por consiguiente la primera etapa se
109
cumple, pues los alumnos lograron visualizar la semejanzas o identifican un patrón en los
ejercicios y el decir cumple su cometido pues los estudiantes logran expresarlo de forma oral y
escrita, no obstante la representacion metematica les causa confusión con lo que se limita el
completar la cuarta etapa la de validar o comprobar.
A partir de lso resultados del estudio, podemos verificar que los estudiantes logran
identificar la similitud de la sucesión y de manera facil completan la tabla que se les solicita,
inclusive las preguntas posteriores son contestadas utilizando una estrategia aditiva, pero
posteriormente utilizan una estrategia multiplicativa, esto se verifica en las preguntas
posteriores que acontinuación se presenta.
Se debe hacer incapié en que los estudiantes utilizan un pensamiento aritmético-aditivo,
pues suman, dividen y multiplican esto quiere decir, que lso estudiantes están en una etapa de
transición de un pensamiento aritmético a un pensamiento multiplicativo, que da acceso al
pensamiento algebraico.
110
En el cuadro siguiente se presenta como el estudiante realizó la respuesta al ejercicio y como
inicia con una estrategia aditiva, para llegar a la estrategia multiplicativa.
111
Para contestar las siguientes figura el alumno utiliza una estrategia aditiva, esto se
demuestra en la indicacion de la flecha se da cuenta que si de la figura 7=15 palitos, le suma
7+5=12 figura y palitos don 15+10=25, hasta en contrar la respuesta solicitada, con ello se
demuestra que la segunda etapa de decir que se cumple, pues lo expresa de forma escrita y oral.
La tercera etapa de Mason se cumple parcialmente, pues lo expresa con sus propias
palabras y utilizan una estrategia aditiva, mas no lo puede expresar por medio de literales, esto
nos demuestra que la cuarta etapa se tiene que trabajar de manera significativa para que los
alumnos construyan sus conocimientos y pueda recurir a los conocimientos previos, les sea
significativo lo que realizen y que puedan desarrollar un pensamiento de reversibilidad y
algebarico, logrando manejar la información o datos del problema presentado.
112
Conclusiones
El estudio tuvo como la finalidad de explorar el acceso al pensamiento algebraico vía
los procesos de generalización desde la perspectiva de Mason; reordenamiento y manipulación,
posibilidades o restricciones, aritmética generalizada y expresiones de la generalidad vía los
procesos de generalización. El estudio se llevó a cabo con alumnos de 1º grado de secundaria
de una escuela pública del Distrito Federal con edades entre los 11 y 12 años de edad, desde la
perspectiva de los procesos de generalización y tomando como base la propuesta de Mason
(1985). El estudio constó de dos etapas: en la primera etapa se aplicó un cuestionario
diagnóstico sobre los procesos de generalización, y fue aplicado a 37 estudiantes de primer año
de secundaria, posteriormente, en una segunda etapa, se realizó una entrevista clínica
individual.
En su contexto, este estudio se propuso investigar el acceso al pensamiento algebraico
vía los procesos de generalización, a partir de los contenidos matemáticos como secuencias
aritméticas y geométricas crecientes y decrecientes así, como crecimiento secuencial aritmético
y geométrico. Lo anterior, con la intención de posibilitar situaciones problemas que puedan
investigar si este acceso es viable para el pensamiento algebraico desde la versión simbólica
(encontrar y expresar una regla general).
Se trabajó en el salón de clases en el horario de la asignatura de matemáticas (9:10 a
10:00 am); las entrevista se realizaron en la biblioteca de la escuela para que los estudiantes no
se sintieran presionados al contestar; después de las clases normales de los estudiantes; la
escuela secundaria, se ubica en la delegación de Tallan Distrito Federal. Los estudiantes que
participaron del estudio no tenían familiaridad con los contenidos trabajados, pues los temas se
verían posteriormente; los estudiantes evidenciaron los conocimientos previos del tema y
dieron la pauta para saber cuál es la estrategia que utilizan.
La fuente de datos para este estudio fueron las actividades escritas, que incluyeron los
cuestionarios iníciales y las entrevistas clínicas individuales video grabadas. El análisis de este
proceso nos permitió conocer las estrategias de resolución que utilizan y si la transición de la
aritmética al álgebra se puede lograr de manera favorable, se evidencio los conocimientos
113
previos y si los podían relacionar al contestar el cuestionario sobre los procesos de
generalización, así como el tipo de pensamiento abstracto o geométrico y cuales temas se deben
reforzar para alcanzar la generalidad. Las fuentes de datos fueron las respuestas escritas en los
cuestionarios iníciales, apoyados por el audio y videograbaciones de las entrevistas clínicas
individuales.
Resumen de los resultados
A partir de los resultados obtenidos en esta tesis, se pudo observar que, en lo que refiere
a la resolución de los problemas planteados, los estudiantes presentaban diferentes niveles de
conceptualización matemática (alto). El análisis realizado evidenció que los estudiantes logran
identificar claramente la secuencia creciente y decreciente aritmética; utilizan una estrategia
multiplicativa; resuelven los problemas mediante una multiplicación de los valores, encuentran
la relación matemática, así mismo puede llegar a la relación de la siguiente figura completando
la secuencia solicitada, se podría decir que se encuentra en proceso de un pensamiento
multiplicativo a un pensamiento aritmético, por lo que se podría llegar a la propuesta de Mason
(ver, decir, registrar y por consiguiente logra validar la información).
En las secuencias geométricas, los estudiantes utilizan una estrategia aditiva y
multiplicativa intermedio; no logran visualizar las semejanzas o no identifican el patrón
establecido, se limitan a contar para llegar a la respuesta, esporádicamente hacen uso de la
multiplicación o suman, en algunas preguntas evidencian ideas de un pensamiento
multiplicativo; pero no saben llegar a la generalización; logran parcialmente la apropiación de
un razonamiento proporcional, lo que sería bastante prometedor, pues este tipo de pensamiento
implica que el estudiante compare de forma cuantitativa y multiplicativa, con la finalidad de
que piense en términos pre-algebraicos, pues sea limitado la finalidad de que los estudiantes
desarrollen su capacidad para operar con proporciones, visualizar una relación matemática y no
pueden deducir la segunda relación, pues no consideran toda la información del problema, vale
la pena decir que, los conceptos de variación proporcional se pueden desarrollar
satisfactoriamente, refiriéndonos a la propuesta de Mason los alumnos logran llegar a las etapas
de la siguiente manera.
Ver.- Los estudiantes logran identificar las similitudes e identifican un patrón, la
primera tapa se cumple en la mayoría de los ítems se inicia un pensamiento abstracto, de modo
114
que, logran visualizar mentalmente el problema en cuestión y por consiguiente logran las
condiciones solicitadas de la primera etapa.
Decir.- Los estudiantes logarán visualizar, nos lleva a la segunda etapa, el poder
expresar lo que se observa facilita la comprensión de la secuencia presentada y podría iniciar
una manipulación de los datos de forma hablada, facilitando la reflexión de lo que se trata, esta
etapa se cumple y se refleja en la etapa siguiente.
Registrar.- Es la clave para que los alumnos inicien su viaje matemático, pues el poder
expresar lo hablado y llevarlo a una forma escrita o con símbolos, se hablaría de una
apropiación del tema; en esta etapa los alumnos no logran llegar completamente, pues, la
mayoría lo registran de forma escrita, mas no simbólicamente, utilizan una estrategia aditiva
para llegar a la secuencia solicitada, en la mayoría de los casos, mas sin embargo se presentan
casos donde el alumno recurre a un pensamiento multiplicativo y utiliza literales para expresar
una regla, dando como resultado general que esta etapa se cumple parcialmente.
Prueba de validez de las fórmulas.- En esta etapa se habla de una expresión con
características algebraicas lo cual se pudo observar en el estudio que la mayoría de los alumnos
no logran completar la cuarta etapa, no llegan a la generalidad, la mayoría se queda en lo
escrito y no pueden expresarlo por medio de una expresión, sin embargo se presentan casos
donde si se cumple y logran expresar una ecuación para resolver el problema.
Esto nos deja ver que los estudiantes pueden llegar a la transición de un pensamiento
aditivo a un pensamiento multiplicativo con un acompañamiento que les desvanezca las dudas
presentadas, visto que, los conocimientos previos son adecuados, para que fundamenten los
procedimientos planteados por Mason, donde el ver, decir, expresar y valida, puede ser la vía
para acceder a un pensamiento algebraico de manera favorable, además la comprensión y
construcción de significados debe ser la constante línea a seguir para llegar al álgebra.
De acuerdo a los argumentos presentados por Alonso (1996), en los procesos de
generalización y las expresiones generales, se involucran los símbolos, en el crecimiento
secuencial aritméticas y geométricas, los cuales se verían beneficiados si se realizaran
actividades con un acompañamiento didáctico, para que los estudiantes comprendan la
estructura del problema, y visualicen el patrón en el problema, lo cual se reflejaría en la
115
iniciación de un pensamiento algebraico, en el presente estudio, se pudo evidenciar que los
estudiantes reflexionan sus contestaciones y posteriormente en la entrevista se demuestra que
comprenden cómo estaba constituida la secuencia.
Los resultados de las entrevistas evidenciaron que los estudiantes posen los
conocimientos previos para desarrollar un pensamiento matemático y por consiguiente un
pensamiento algebraico; pues fueron construyendo su conocimiento de forma progresiva, así
mismo se pudo observar en el estudio, que, los estudiantes llegan a las dos primeras etapas de
la propuesta de Mason, en la cual, visualizan las semejanzas de las secuencias y con dificultad
lo pueden expresar, pero al registrar la información no lograron llegar a la generalización, lo
que evidenciaron una constante mecanización a la respuesta, finalmente, la validez de la regla
no se logra de una forma significativa, y al pedirles que la expresen, no hay una respuesta por
parte de ellos, por eso, se cree conveniente proponer actividades, que les permitan apropiarse
fácilmente de estos conocimientos, y que promuevan estas necesidades, facilitando la
identificación del cómo llegar a la solución generalizada de diferentes problemas.
Consideraciones didácticas
En lo que refiere a los proceso de generalización, consideramos que en el futuro, se podría
realizar estudios con una propuesta de intervención pedagógica, para demostrar si la propuesta
de Mason (1985), puede ser una vía para acceder al álgebra y que la transición de la educación
primaria a la secundaria serialice sin el desfase, mismo que se presenta en la aritmética y el
álgebra de modo que el aprendizaje del algebra, por consiguiente la relación con la aritmética
generalizada, posibilidades o restricciones, expresiones de la generalidad, reordenamiento y
manipulación, con la finalidad de comprender el tema de manera significativa, podrían ser la
clave para que los estudiantes, desarrollen el pensamiento algebraico iniciando con los procesos
de generalización, esto, sería efectivo si los alumnos de entre los 11 y 12 años de edad lograran
superar las dificultades inicialmente planteadas, como resultado de la transición del
pensamiento aditivo al multiplicativo.
116
Acceder al álgebra vía los procesos de generalización es un camino viable: como en
cualquier otro proceso de enseñanza y aprendizaje se encontrarán obstáculos, tales como el
tránsito de las estructuras de tipo aditivas a las multiplicativas, pero al acceder a las primeras
ideas algebraicas vía los procesos de generalización, no sólo accedemos a ideas algebraicas
sino también es necesario revisar ideas en el campo de la aritmética y la geometría, como el
razonamiento proporcional. Esto nos sindica que aún hay problemas de conceptualización en
aritmética, pero que estos pueden ser tratados de una manera integrada a los aspectos
geométricos y pre-algebraicos.
117
REFERENCIAS BIBLIOGRFÍCAS
• Butto, C. (2005). Introducción temprana al pensamiento algebraico: una experiencia
en la escuela primaria tesis doctoral; Doctorado en Ciencias con especialidad en
matemáticas educativas; CINVESTAV. IPN. México.
• Butto, C. y Rojano, T. (2004). Introducción temprana al pensamiento algebraico:
abordaje basado en la geometría. Educación matemática. Ed. Santillana voll.16 no.1pp
113-148.
• Castro, E. Rico L y Castro E. (1995). Estructuras aritméticas elementales y su
modelización pp. 45-79; grupo editorial Iberoamericana, Bogotá.
• Coll. C, Palacios J. (2001). El aprendizaje significativo y la teoría de la asimilación
Desarrollo psicológico y educación. Tomo ll. Psicología de la Educación escolar. Ed.
Alianza. Madrid. España. Cap. 3, pp 89-100.
• Delval J. (2001). La realización de la entrevista. Descubrir el pensamiento de los niños.
Ed. Paidós. España. Cap. 5, pp 113-139.
• Educación básica secundaria. Plan de estudio Ed. SEP. México 2006.
• Educación básica secundaria. Plan de estudio 2006. México SEP.
• Mason J. Graham A. Pimm, D, D., & Gower N. (1985). Rutas y Raíces hacia el
álgebra The Open University Press, Great Britain.
• Mercer, N (1990). El lenguaje como instrumento para pensar. Palabras y Mentes. Ed.
Paidós. Barcelona. Cap.1, pp 17-32.
• Rojas. P. Rodríguez J. (2002). Algunos comentarios a partir de la investigación del
grupo pretexto. La transición aritmética-álgebra. Ed. Gaia. Bogotá. Cap3, pp 46-70
• Pimm D. (1990). ¿Constituyen las matemáticas un lenguaje. El lenguaje matemático en
el aula. Ed.Ediciones Morata. Madrid, España, Cap.1, pp 23-48
118
• Sampieri, R. Fernández-Collado, C y Baptista, P. (2006). Metodología de la
Investigación. Cuarta edición. Mc Graw Hill: México. Cap. 5, pp 99-117.
• Sarramona J. (1988). Comunicación como problema. Comunicación y Educación. Ed.
Puresa Ceac. España, Cap. 1, pp15-30.
• SEP Programa de estudio matemáticas. Ed. SEP. México 2006.
• SEP Reforma de la educación secundaria. Ed. SEP México 2006.
• SEP Educación básica secundaria Plan de estudio Ed. SEP. México 2006.
• Sessa, C. (2005). La producción de fórmulas para contar colecciones. Iniciación al
estudio didáctico del álgebra Orígenes y perspectiva. Ed. Fondo de cultura. Argentina
pp. 75-108.
• Ursini. S. (1996). Experiencias pre-algebraicas. Educación matemática. Ed. Santillana
vol. 8 no2, pp.33-40.
• Ursini. S. (2004). Una perspectiva social para la educación matemática. La influencia
de la teoría de L. S. Vigotsky. Educación matemática. Ed. Santillana voll.16 no.1pp
113-148.
Consultas en el internet
• Htpp://www.afsedf.sep.gob.mx/dgosedf/secundaria/dctos/AFSEDFRESUL
• http://www.tbu.uan.mx/lpm/_Lib_Art_En/_Arts/lenguaje_algebraico.pdf
• http://redalyc.uaemex.mx/pdf/405/40516105.pdf
• http://www.inee.edu.mx/explorador/muestraDificultad.php
• http://www.sinewton.org/numeros/numeros/01/Articulo15.pdf
• http://www.pna.es/Numeros/pdf/Molina2009Una.pdf
119
ANEXOS
120
ANEXO Nº 1 CUESTIONARIO INICIAL SOBRE LOS PROCESOS DE GENERALIZACIÓN
121
Nombre: _______________________________________ Escuela: _______________________________________ Curso: ___________________ Fecha: ________________ Hora de inicio: ____________ Hora de término: __________
Instrucciones: Lee con atención los problemas siguientes y contesta lo que se te pide; en caso de alguna duda pregúntale a la entrevistadora.
Completa las siguientes secuencias:
1. 3 6 9 12 ___ 18 ___ ___
(a) (b) (c )
2. 2 4 6 8 10 ___ ___
(a) (b)
3. 30 35 ___ 45 ____ 55
(a) (b)
4. 30 27 24 21 ___ ___
(a) (b)
5. Observa las siguientes figuras y dibuja las faltantes para completar la secuencia: (a) (b) 6.-
(a) (b)
122
7.- Observa las siguientes figuras y dibuja las faltantes para completar la secuencia
(a) (b)
8.- Observa las siguientes figuras formadas con palitos y después contesta Fig.1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4
(a) ¿Cuántos triángulos tiene la primer figura?_______
(b) ¿Cuántas palitos forma la primera figura?________
(c ) ¿Cuántos triángulos tiene la segunda figura?
(d) ¿Cuántos palitos tiene la segunda figura?________
(e) Si se sigue la secuencia de figuras, ¿Cuántos triángulos tendrá la sexta figura________
(f) Completa la tabla
Triángulos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Palitos (g) ¿Cuántos palitos necesitas para realizar una figura con 12 triángulos? _______________________________________________ (h) Tienes 48 palitos ¿Cuántos triángulos puedes formar?_______________
123
(i) Da una regla para calcular la cantidad de palitos que necesitas si conoces el número de triángulos. Nº de Triángulos Nº de Palitos (j) ¿Cómo encuentras el número de palitos que necesitas si conoces el número de triángulos que forma una figura? 9.- Observa las figuras y contesta las siguientes preguntas: Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5
(a) ¿Cuántos triángulos tiene la primer figura?_______
(b) ¿Cuántas palitos forma la primera figura?________
(c) ¿Cuántos triángulos tiene la segunda figura?_______
(d) ¿Cuántas palitos forma la segunda figura?________
( e) Completa la siguiente tabla
Triángulos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Palitos
(f) ¿Cómo va cambiando el número de triángulos en la tabla?__________
(g) ¿Cómo va cambiando en la tabla el número de palitos?____________
124
(h) ¿Cuántos palitos tendrá una figura formada por 15 triángulos?_________
(i) En esta secuencia, ¿cuántos palitos tendrá la figura de 42 triángulos?___________
(j) Si se conoce el número de triángulos que hay en una figura; ¿cómo se calcula el número de palitos?___________________________________
(k) Da una regla para calcular la cantidad de palitos que necesitas si conoces el número de triángulos. Nº de Triángulos Nº de Palitos 10.- Observa las sucesiones de figuras y completa las tablas Figura 1 Figura 2 Figura 3 figura 4 (a)
Cuadrados 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Palitos (b) ¿Cuántos palitos aumentan en cada figura?______________ (c ) Da una regla para calcular la cantidad de palitos que necesitas si conoces el número de cuadrados. Nº de Cuadrados Nº de Palitos (d) Si se conoce el número de cuadrados que hay en una figura; ¿cómo se calcula el número de palitos?___________________________________
125
11.-Completa las sucesiones de figuras, anota el número de puntos que hay en cada figura. Fig. 1 Fig.2 (a) Fig.3 Fig.4 (b)____punto _____puntos _____puntos _____puntos (c) ¿Cuántos puntos habrá en la tercer figura?__________________________ (d) ¿Cómo encuentras el número de puntos que faltan en cada figura? ____________________________________________________________ 12:- Fig.1 (b) Fig.2 (c) Fig.3 (b)_____punto _____puntos _____puntos ( c) ¿Cuántos puntos habrá en la segunda figura?______________________ (d) ¿Cómo encuentras el número de cuadrados que faltan en cada figura? ____________________________________________________________ 13.- Fig.1 (a) Fig.2 Fig.3 Fig.4 (b)____puntos _____puntos ____puntos _____puntos ( c) ¿Cuántos puntos tendrá la segunda figura?_______________________ (d) ¿Cuántos puntos tendrá la cuarta figura?_______________________ (e )¿Cómo encuentras el número de cuadrados que faltan en cada figura? ____________________________________________________________
126
14.- Observa las sucesiones de figuras y completa las tablas 1 2 3 4 (a)
Figuras 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Palitos (b) ¿Cuántos palitos aumentan en cada figura?________________ ( c) ¿Cómo obtuviste el número de palitos que forman la figura?_______________ (d) ¿Si conoces el número de palitos de una figura, cómo encuentras el número de de palitos en la siguiente figura? ______________________________________________________________ ( e) Da una regla para calcular la cantidad de palitos que necesitas si conoces el número de cuadrados. Nº de Cuadrados Nº de Palitos
127
15.- En cada inciso hay una sucesión. Dibuja las figuras que faltan. Figura 1 Figura 2 Figura 3 (a) Figura 4 (b) Da una regla para calcular la cantidad de rombos que necesitas si conoces el número de la figura. Nº de figura Nº de Rombos 16.- Figura 1 Figura 2 Figura 3 (a) Figura 4 (b) Da una regla para calcular la cantidad de puntos que necesitas si conoces el número de la figura. Nº de Figura Nº de Puntos
128
17.- Durante la celebración de las fiestas patrias se adorno el lugar con cadenas de papel de los colores verde, blanca, roja y dorada. Esta es una cadena de 9 eslabone 1V 2B 3R 4D 5V 6B 7R 8D 9V
(a) Observa que los eslabones están numerados; ¿qué números tienen los de color verde?________
(b) ¿Qué números tienen los eslabones de color blancos?________
( c) ¿Qué eslabones son de color rojo?________
(d) ¿Cómo es la secuencia de colores en la cadena?________
__________________________________________________ (e) Si la cadena tuviera 37eslabones ¿cuál sería el color del último?_____
(f) Si la cadena tuviera 43 eslabones ¿cuál sería el color del último?_____
(g) Si la cadena tuviera 51 eslabones ¿cuál sería el color del último?_____
Considera que la cadena de la actividad anterior tiene muchos eslabones y completa la tabla.
Color de eslabón
Número de eslabón
(h) Verde
(i) Blanco
(j) Rojo
(k) Dorado
Si observas un poco te darás cuenta de que cada color tiene una sucesión. (l) ¿Cómo encuentras la sucesión del color verde?_________________________ (ll) Explica cómo puedes llega a tener la sucesión de cada color ______________ _______________________________________________________________
¡¡¡¡Buena Suerte!!!!
