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Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH. 3 - 1
El Tensor de Esfuerzo
Cuando un cuerpo es sometido a cargas, ya sea por esfuerzos aplicados sobre su
superficie externa o debido a la influencia de la fuerza de gravedad o fuerzas similares
deben cumplirse las condiciones de equilibrio mecánico.
El estudio de los esfuerzos sobre los cuerpos continuos conforma el área de la mecánica
de sólidos. Una parte esencial en la formulación de problemas en esta área, es la
descripción de las relaciones existentes entre los esfuerzos que actúan sobre los
elementos.
3.1 Esfuerzos
Al considerar la transmisión de fuerzas a través de un cuerpo, se deben tomar en cuenta
no tan sólo las fuerzas, sino también su distribución. Es necesario definir la intensidad
de distribución de fuerzas en un punto. Esta cantidad se denomina esfuerzo.
Si se aplica una fuerza 1F
sobre el área A1, entonces el esfuerzo promedio viene dado
por:
1
1
AF
El esfuerzo actúa en la misma dirección que la fuerza F1.
La notación es:
ij
i = superficie sobre la que actúa
j = dirección sobre la que actúa
11 está asociado con la componente de esfuerzo perpendicular a la superficie 1.
12 y 13 están asociados a las componentes paralelas a la superficie 1 (componentes de
cizalle).
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
3 - 2 Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH.
Las componentes del tensor esfuerzo son:
333231
232221
131211
333231
232221
131211
ij
Las componentes de esfuerzo representan las componentes promedio de esfuerzo en un
punto sobre la superficie únicamente si la fuerza está uniformemente distribuida.
A1
3e
2e
1e
1F
Figura 1. Definición de esfuerzo.
Figura 2. Diversas componentes del tensor esfuerzo.
x2
x1
x3
dx2
dx3
dx1
11
12
21
22
23
31
32
33
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH. 3 - 3
Si A1 es muy pequeña, es decir, 01 A , el esfuerzo anterior representa el esfuerzo en el
centro de A1.
1
11
011
1
límA
f
A
1
12
012
1
límA
f
A
1
13
013
1
límA
f
A
3.2 Simetría del Tensor Esfuerzo
Para que el cuerpo esté en equilibrio se debe cumplir que la suma de los momentos con
respecto a cualquier eje debe ser cero.
Por ejemplo:
03
xM
Dx
2
2
Dx2
Dx
x
x2
x
C
21122
31211
321222
D
DDD
DDx
xxx
xx
En general jiij σσ , es decir, el tensor esfuerzo es simétrico como una
consecuencia del equilibrio de momentos.
3.3 Equilibrio de tensiones o esfuerzos
Se derivan considerando el equilibrio dinámico de un pequeño elemento del cuerpo.
Debe cumplirse la segunda ley de Newton para todo el cuerpo F ma
Figura 3. Equilibrio de momentos de un sólido.
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
3 - 4 Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH.
El incremento de esfuerzo producido sobre una distancia dx es
xdx por lo tanto el
esfuerzo total incrementado es
xdx .
La ecuación de balance global en la dirección x es, como se muestra en la figura 4:
dx
2
2
x
x2
x
22
1
1
1111 dx
x
2
2
2222 dx
x
dx2
dx
( ) ( ) ( )
11
11
1
1 11 2 3 21
21
2
2 21 1 3 31
31
3
3 31 1 2 x
dx dx dxx
dx dx dxx
dx dx dx
X dx dx dx a dx dx dx1 1 2 3 1 1 2 3
donde X 1 representa fuerzas de volumen: gravitacionales , electromagnéticas, etc
Al simplificar términos equivalentes se obtiene:
11
1
21
2
31
3
1 1x x x
X a
De igual forma resulta:
12
1
22
2
32
3
2 2x x xX a
y también
13
1
23
2
33
3
3 3x x xX a
Figura 4. Equilibrio de fuerzas en un sólido.
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH. 3 - 5
Nota: Usando notación indicial podemos escribir:
ij
i
j j ij i j jx
X a X a ,
3.4 Balance general de Momentos
Si se considera el balance de momentos alrededor del eje X 3 que corresponde al centro
del elemento tenemos
( ) ( ) / ( ) ( ) /
12
12
1
1 12 2 3 1 21
21
2
2 21 1 3 22 2 0 x
dx dx dx dxx
dx dx dx dx
o bien:
12
12
1
1 21
21
2
21 2 1 2 0 ( / ) ( / )x
dxx
dx
Nota : 211221 00 dxydxsi . Análogamente:
32233113 y
Ecuaciones de equilibrio en coordenadas cilíndricas
r r rz zr z z
rr
rrrzrrr aXrzrr
)(
r z r
r r z rX a
2
zzzrzzzrz aX
rzrr
Ecuaciones de equilibrio en coordenadas esféricas
rr r r rr r
r rr r r
g
rX a
1 1 2
sen
cot
r r
r r r rX a
1 1 3 2
sen
cot
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
3 - 6 Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH.
r r
r r r
g
rX a
1 1 3
sen
( ) cot
3.5 Vector de Esfuerzo
El vector de esfuerzo o de tracción se define como ds
df
s
FT
s
D
D
D 0lím
, este vector
representa el esfuerzo en un punto al que se le puede relacionar con el área ds.
jijv
v
v
v
TTTT
3
2
1
333231
232221
131211
321
donde ij son los esfuerzos de corte (cizalle), i≠j y
ii son los esfuerzos normales
vj son las componentes del vector unitario en la dirección perpendicular a la superficie
Una nueva forma de escribir lo anterior es la siguiente:
x2
x3
x1
ds
32
33
31
21
22
23
1T
2T
3T
T
v
Figura 5. Representación geométrica del vector tracción T
.
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH. 3 - 7
3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
v
v
v
T
T
T
Ejemplo: Consideremos el siguiente tensor de esfuerzo
210
185
057
ij (MPa)
Calcular el vector Tracción en un punto P situado en el plano de la figura o paralelo a él.
Solución:
3
2
1
3
2
1
210
185
057
v
v
v
T
T
T
La ecuación del plano que pasa por los
puntos a, b y c en cada eje es 1c
z
b
y
a
x
y la normal es
cba
1,
1,
1 en este caso )3/1,3/2,3/2(ˆ)2/1,1,1( vv
por lo tanto
para esta situación
3/4
3/7
3/4
3/1
3/2
3/2
210
135
057
3
2
1
T
T
T
T
es decir,
3/43/73/4 321 TTT (MPa)
x3
x1
x21
1
2
Figura 6. Espacio x1 x2 x3
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
3 - 8 Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH.
3.6 Esfuerzos Principales
En un estado general de esfuerzos, el vector tracción que actúa sobre una superficie de
normal v , depende del valor del módulo y de la dirección de este vector. La dirección en
la que el vector T
tiene la misma dirección que el vector v (por lo que no existen
componentes de corte) define un plano principal y la dirección del vector v es la
dirección principal, en tanto que T
es el esfuerzo principal. ijij TvT
Sea un esfuerzo principal y iv una dirección principal entonces:
0, jijjijjijiijijii vvvvcomovvvTT
entonces
0
0
0
0)(
3
2
1
3332.31
232221
131211
v
v
v
v jijij
Las 3 raíces de este polinomio cúbico se denominan esfuerzos principales. v es un
vector unitario 12
3
2
2
2
1 vvv . Para obtener las direcciones principales se reemplaza
cada 0)( jijiji ven
Observaciones:
1) Si 321 los planos principales son únicos y las 3 direcciones principales
son perpendiculares.
x1
x2
x3
P
T
v
Figura 7. Definición de esfuerzo Principal.
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH. 3 - 9
2) Si 321 existe un número infinito de vectores asociados a los valores
propios iguales y un vector 3v ortogonal a éstos (cilindro).
3) Si los 3 valores propios son iguales cualquier conjunto ortogonal de 321, vyvv son
direcciones principales (esfera).
4) Si los ejes de referencia coinciden con las direcciones principales entonces:
33
22
11
00
00
00
ij
Ejemplo: Calcular esfuerzos y direcciones principales del tensor
021
201
113
ij
Solución: 0)6232)(2(0
21
21
1132
Det
De donde se obtiene: 2,1,4 321 y las direcciones principales son:
)1,1,0(2
1,)1,1,1(
3
1,)1,1,2(
6
1321 vvv
caso particular: Hallar los esfuerzos principales correspondientes al tensor de esfuerzo.
300
010
002
Conclusión
3
2
1
00
00
00
tiene esfuerzos principales 1, 2 y 3.
También se puede decir que cualquier matriz de esfuerzo puede escribirse:
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
3 - 10 Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH.
zyzxz
yzyxy
xzxyx
o bien
3
2
1
00
00
00
3.7 Estado Hidrostático y Desviador del tensor de esfuerzo
Un estado de esfuerzo dado por el tensor ij puede ser descompuesto en 2 componentes:
i) Componente hidrostática (o esférica) o esfuerzo normal medio se define como
3
)(
3
3322111
Ih
en que I1 es el primer invariante del tensor esfuerzo.
ii) Tensor desviador del esfuerzo, se define como: ijkijij '
Por ejemplo 12
'
12
332211
11
'
11 ,3
)(
por lo tanto
h
h
h
h
h
h
ij
00
00
00
333231
232221
131211
333231
232221
131211
Esfuerzo = Esfuerzo desviador + Esfuerzo Hidrostático
Conclusiones:
a) En un sólido elástico isotrópico un estado de esfuerzo con una componente
hidrostática nula produce solamente distorsión.
b) Un estado hidrostático puro de esfuerzo no produce distorsión pero sí un cambio en
las dimensiones del sólido.
Ejemplo: Sea
200
010
004
encuentre planos y direcciones principales
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH. 3 - 11
0)2)(1)(4(0
200
010
004
Det
los esfuerzos principales son 4, 1 y –2
Con 132
3
2
1
1
0
0
0
600
030
000
4 vyvv
v
v
v
es arbitrario, luego el
vector propio (dirección principal) correspondiente al valor propio (esfuerzo principal)
es )0,0,1(1 v
De igual forma se obtiene para )1,0,0(2)0,1,0(1 32 vyv
3.8 Descomposición del vector tracción en componente normal y de corte
Figura 8. Componentes normal y de corte del vector tracción.
esfuerzo normal
T
3x
1x 2x
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
3 - 12 Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH.
Sea
33
22
11
3
2
1
3
2
1
3
2
1
00
00
00
ˆ
l
l
l
l
l
l
T
l
l
l
v
Además de la figura 8 se tiene:
2
33
2
22
2
11
3
2
1
332211
222),,(ˆ, lll
l
l
l
lllvTT
además:
2
3
2
2
2
32
2
3
2
1
2
31
2
2
2
1
2
21
2
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
)()( llllll
lllT
De acuerdo a esto existirán valores estacionarios para dependiendo de los cosenos
directores (li ).
Los llamados esfuerzos de corte principales se obtienen de la ecuación anterior dando
valores a li tal que:
20
2
1
2
1
22
10
2
1
22/12/10
213
31
2
32
1
321
maxlll
Como 2321 es el máximo.
Por cada par de tensiones principales hay 2 planos de tensiones de cizallamiento
principales que bisectan a las direcciones principales para las tensiones normales o
principales, tal como se muestra en la figura 9, donde se muestra la ubicación de los
esfuerzos máximos.
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH. 3 - 13
3.9 Esfuerzo y deformación planos.
3.9.1 Estado de esfuerzo plano es aquel en el que una fila (y por lo tanto una columna)
del tensor de esfuerzos es cero. Por ejemplo 3j = 0, o con lo cual
2221
1211
ij
3.9.2 Estado de deformación plano
Un estado de deformación plana es aquel, en que una fila (y por tanto una columna) de
la matriz de deformación, es cero. Por ejemplo:
3j = 0 con lo cual
2221
1211
ij
3.10. Círculo de Mohr
3.10.1. Círculo de Mohr en dos dimensiones
El círculo de Mohr es un método gráfico propuesto para representar el estado de tensión
en un punto sobre cualquier plano oblicuo que pase por ese punto.
2
31
2
x3
x2
x1
3
2
1
3
2
1
2
32
1
2
213
Figura 9. Esfuerzos cortantes máximos.
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
3 - 14 Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH.
y
x
xy
xy
n
n
dsdy
dx
Figura 10. Estado de esfuerzos en un sólido.
¿ Cuánto valen los esfuerzos en un plano cualquiera?
),,,(,),,,( xyyxnxyyxn gf además en la dirección de
0in F
Considerando espesor igual a 1 se tiene
0)1()1(cos)1(cos)1()1( dxsendydxdysends xyxyyxn
al dividir por ds resulta
sencoscossends
dx
ds
dy
ds
dx
ds
dyxyxyyxn
pero para un triángulo de catetos dx, dy e hipotenusa ds
sen,cosds
dy
ds
dx cossen2cossen 22
xyyxn
En términos del ángulo doble se puede escribir:
2sen2
2cos)(
2xy
xyyx
n
El esfuerzo máximo y mínimo se obtiene de la condición 0
d
d n
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH. 3 - 15
xy
xy
xy
xyn
d
d
22tg02cos22sen
2
)(2
Esta es la condición de planos principales. Evaluando se tienen los siguientes valores
para el esfuerzo principal
2
2
mínmáx/4
)(
2xy
xyyx
n
son los valores máximos y mínimos
Los esfuerzos principales son mín2máx1 ,
Esfuerzo Cortante n
En la dirección 0 i
in F
0cossensencos dxdydxdyds xyxyyxn dividiendo por ds
2cos2sen2
)(xy
xy
n
La condición 0
d
d n entrega el esfuerzo cortante óptimo
Al igual que para el esfuerzo normal en éste caso se obtiene xy
xy
2)2tg( '
Los valores máximos y mínimos son 2
2
mínmáx/4
)(xy
xy
Observación: 1)2tg(2tg ' ángulo 2 es perpendicular a ')2( luego ' y
están a 45º. Esto se obtiene multiplicando las expresiones para ambas tangentes
Al elevar al cuadrado y sumar las ecuaciones (1) y (2) queda
2
2
2
2
22xy
xy
n
yx
n
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
3 - 16 Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH.
La que corresponde a la ecuación de un círculo en el espacio centrado en 2
yx
y de radio R, con 2
2
4
)(xy
xyR
cuya representación geométrica se muestra en
la figura 11.
3.10.2 Metodología para trazar el círculo de Mohr
Sean xyyx y, las componentes del esfuerzo dado.
Sobre el eje horizontal se ubican los esfuerzos yx y y sobre el eje vertical se ubica
xy . Se ubican los puntos ),(y),( xyyxyx teniendo presente las siguientes reglas:
a) Los esfuerzos tractivos se toman positivos
b) Los esfuerzos cortantes se toman positivos si tienden a producir una rotación en el sólido
en el sentido de las agujas del reloj
c) Al unir los puntos ),(y),( xyyxyx mediante un trazo, el intercepto con el eje
horizontal define el centro del círculo.
. .
1
2
.2
yx
R
Figura 11. Representación geométrica del círculo de Mohr.
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH. 3 - 17
. .0
.
(a) (b)
Ejemplo:
Hallar:
a) Planos principales
b) Esfuerzos principales
c) Direcciones de esfuerzo cortante máximo y mínimo
d) mínmáx y
e) Los esfuerzos normales en los planos de mínmáx /
=6 MPa
9 MPa
14 MPa
Figura 13. Sólido sometido a cargas.
Figura 12. Casos de estados de esfuerzos. (a) Tensión Uniaxial. (b) Tensión Biaxial equilibrada.
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
3 - 18 Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH.
Solución:
a)
º6,207
º6,272522.0
2
149
6
2
2tg
xy
xy
= 13,8º ; 103,8º
15,5 MPa
9 MPa
6 MPa
14 MPa
13.8°
103.8°
10,5 MPa
58.8°
148.8° = -13 MPa
= 13 MPa
b)
2
2
2
2
mínmáx/
62
149
2
914
22
xy
xyyx
Para = 13,8º = -10,5 MPa
= 103,8º = 15,5 MPa
c) Los planos de máx/mín se encuentran: a 45º de los planos máx/mín.
Figura 14. Esfuerzos normales y cortantes máximos.
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH. 3 - 19
= 13,8º + 45º = 58,8º
= 103,8º + 45º = 148,8º
d) máx/mín = MPa
MPaxy
xy
13
13
2 mín
máx2
2
Para = 58,8º = -13 MPa
e) para = 58,8º y = 148,8º
vale = 2,5 MPa
1= 15.5 MPa
max
= 13 MPa
.
min
= -13 MPa
2= -10.5 MPa
..
Figura 15. Circulo de Mohr del problema
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
3 - 20 Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH.
3.10.4. Círculo de Mohr en 3 dimensiones
Si se define un estado triaxial de esfuerzos a través de los tres esfuerzos principales, la
representación gráfica es la siguiente:
Puede demostrarse que todas las posibles condiciones de esfuerzo dentro del cuerpo,
caen dentro del área sombreada entre los círculos. Al existir un esfuerzo compresivo el
área sombreada aumenta.
Si los 3 esfuerzos principales son iguales el círculo se reduce a un punto (no existe
cizalle).
Dados los esfuerzos principales 321 , y el esfuerzo normal en un plano
cualquiera cuyos cosenos directores son l, m y n viene dado por, ver figura 17.
3
2
2
2
1
2 nml (*)
El esfuerzo cortante sobre este plano está dado por (**):
2
2
2
Figura 16. Círculo de Mohr en tres dimensiones.
:queda(*)en rreeemplazaal 11
**)(
222222
2
3
2
2
2
1
22
3
22
2
22
1
22
lnmnmlcomo
nmlnml
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH. 3 - 21
23
212
22
3
2
2
22
1
2 )()1(
lnnnll
reemplazando en (**) resulta:
2
23
2
221
22
2
2
3
22
2
2
2
2
1
22 ))()(()()( nlnl
y nuevamente reemplazando se puede obtener:
))((
))((,
))((
))((
2123
13
22
1312
32
22
ml
))((
))((
))((
))((
3231
21
2
3231
21
22
n
La ecuación para 2l se puede escribir como
))(())(( 3121
22
32 l
o en forma equivalente por:
2))((
2
)(2
32
3121
22
2
32
l
en la figura 17 se muestran diversas situaciones de la construcción del Círculo de Mohr
y en la figura 18 se muestran varios casos de esfuerzos aplicados.
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
3 - 22 Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH.
Figura 17. Círculos de Mohr para sistemas tridimensionales de esfuerzos.
Figura 18. Diversas situaciones de esfuerzos.
(a) Tracción simple; (b) Comprensión simple; (c) Tracción Biaxial; (d) Tracción Triaxial;
(e) Tracción Comprensión Triaxial
(e)
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH. 3 - 23
Ejercicios resueltos
1.- En un elemento de máquina en el que la tensión )/(4 2mmKgz existe un estado de tensiones
ij tal que en un plano cuya normal es kjin ˆ2ˆ6ˆ3
el vector esfuerzo es:
7/)ˆ29ˆ12ˆ32( kjiT
En otro plano normal kjin ˆ2ˆˆ2
, el vector esfuerzo es: 3/)ˆ7ˆ14ˆ12( kjiT
a) Determinar el tensor ij respecto de un sistema de coordenadas ortogonales x-y-z, que originan
los esfuerzos en un plano dado.
b) Esfuerzos principales y sus respectivos ángulos
c) ¿Ud. Recomendaría para estas solicitación de esfuerzos el acero A37/24?
(37 kg/mm² de ruptura y 24 kg/mm² de fluencia).
Solución:
29
12
32
7
1
2
6
3
7
1*
4yzxz
yzyxy
xzxyx
a
29863
12263
32263
yzxz
yzyxy
xyxyx
)(
)(
)(
c
b
a
7
14
12
3
1
2
1
2
3
1*
4yzxz
yzyxy
xzxyx
b
782
1422
1222
yzxz
yzyxy
xyxyx
)(
)(
)(
f
e
d
De las ecuaciones ( c ) y ( f )
2163 yzxz 2163 yzxz
12 yzxz /6 6612 yzxz
------------------------ ------------------------
)/(11515 2mmkgxzxz
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
3 - 24 Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH.
)/(3
)/(1
2
2
mmkg
mmkg
xz
xz
De las ecuaciones ( b) y (e )
1863 yxz 1863 yxz
82 yxy /6 48612 yxy
---------------------- ---------------------
3015 xy
)/(4
)/(2
2
2
mmkg
mmkg
y
xy
de a) )/(63
12232 2mmkgxx
Luego
431
342
126
ij
1502
30)(
6
222
3
222
2
1
xyzxzyyzxyzxzxyzyx
yzxzxyzyzxyx
zyx
I
I
I
0150306 23
93,3
29,7
22,5
'
3
'
2
'
1
22,5
93,3
29,7
3
2
1
c) Como el esfuerzo principal 2429,71 entonces el sistema no colapsa, por lo cual se
recomienda el acero.
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH. 3 - 25
2- Sobre las caras de un paralelepípedo elemental que envuelve a un punto P de un
sólido elástico existen las tensiones indicadas en la figura 2, en MPa. Se pide:
a) Las tensiones y direcciones principales
b) Obtener analítica y gráficamente, las componentes intrínsecas del vector tensión
correspondientes a un plano cuya normal forma ángulos iguales con los semiejes
cartesianos ortogonales x, y, z indicado en la figura.
y
z
x
10
4020
20
10 20
Solución
a) Según la figura el estado de tensiones seria =
102040
202020
402010
Las tensiones principales son las raíces de la ecuación característica:
0
102040
202020
402010
0)20·(40·4020·20)·10()10·(20·2020·20·4040·20·20)10)·(20)·(10(
Cuya factorización entrega
MPa
MPa
30
60
0540002700
32
1
3
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
3 - 26 Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH.
Como MPa3032 , la única dirección principal que se puede determinar es la
correspondiente a la raíz simple 1 . Las componentes del vector unitario se
pueden encontrar mediante la resolución del sistema homogéneo:
0
0
0
·
60102040
20602020
40206010
0524
0282
0425
Con la condición 1222 tenemos que la solución del sistema nos entrega:
3
2
3
1
3
2u
está mala la solución (2,1,-2)/3
Por lo que encontramos el plano donde se encuentran las direcciones principales es
022 xyx .
b) El vector unitario normal al plano que forma ángulos iguales con los tres ejes
principales es
3
1
3
1
3
1u
A este vector corresponde un vector tensión
3
503
203
10
3
13
13
1
102040
202020
402010
Cuyas componentes intrínsecas son:
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH. 3 - 27
MPaun3
80
3
50
3
20
3
10
3
1
3
1
3
1·
3
503
203
10
·
MPa
MPaMPa
MPa
n
n
17
277.26
3
2600
9
6400
3
3000
3
1600
3
2500400100
3
80
3
50
3
20
3
102222
22
3.- El campo de esfuerzos que rodea una dislocación de borde en coordenadas
rectangulares es:
222
223
12 yx
yx
v
Gbyxx
222
22
12 yx
yx
v
Gbyyy
yyxxzz v
222
22
12 yx
yx
v
Gbxyxxy
0 yzxz
a) Determinar la magnitud y dirección de los esfuerzos principales en un punto situado
en (a,2a), en que:
a = parámetro atómico = 0.2866 nm
3.0v
G = módulo de corte = 75GPa
b = vector de Burger.
Solución:
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
3 - 28 Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH.
222
2
2222
2222
12400
0
03
yxv
Gb
yvx
yxyyxx
yxxyxy
ij
Evaluar en punto (a, 2a)
222
3
2222
2222
412800
0424
04432
)2,(aav
Gb
va
aaaaaa
aaaaaa
aaij
av
Gbaaij
1504,200
063
0314
)2,(
Pero GPabm
bm
N
a
Gb38.2
102866.07.050
²1075
)1(50 9
9
Por lo que:
b
bb
bb
aaij
72.500
028.1414.7
014.732.33
)2,(
Ahora…
0)2;(det ijij aa
0
72.500
028.1414.7
014.732.33
det
b
bb
bb
0)789.52604.19()72.5(1 22 bbb
b
b
b
37.34
72.5
33.15
3
2
1
Estos son los esfuerzos principales de )2;( aaij
GPab37.343
GPab72.52
GPab33.151
Dirección
1 :
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH. 3 - 29
0
0
0
33.1572.500
033.1528.1414.7
014.733.1532.33
3
2
1
x
x
x
bb
bbb
bbb
1221 81.6014.765.48 xxxbxb
03 x
0;99,0;14,0
14,014.099.0
99,0
114.01
14.0005.114.7
1
2
2
2
2
2
22
3
2
2
2
1
2121
x
x
x
xxxxx
xxxx
Vector dirección principal asociado al esfuerzo 1
2 :
0
0
0
72.572.500
072.528.1414.7
014.772.532.33
3
2
1
x
x
x
bb
bbb
bbb
02014.7
014.76.27
21
21
xx
bxbx Sistema inconsistente, x3 puede ser cualquier número.
Tomo x3 = 0
25,0
97.0
126.01
1
26.0
1
2
2
2
2
2
3
2
2
2
1
21
x
x
x
xxxcomoy
xx
0;97,0;25,0x
Vector dirección principal asociado al esfuerzo 2
3 :
0
0
0
37.3472.500
037.3428.1414.7
014.737.3432.33
3
2
1
x
x
x
bb
bbb
bbb
0
065.4814.7
014.705.1
3
21
21
x
xx
xx
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
3 - 30 Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH.
99,0
14,0
181.6
1
81.6
1
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
1
21
x
x
xx
xxxcomoy
xx
0;14,0;99,0x
Vector dirección principal asociado al esfuerzo 3
b) Dibuje el círculo de Mohr
b
143252
32
1
b
85.242
31
2
b
53.102
213
bc
33.142
32
1
bc
52.92
31
2
bc
81.42
213
2
2
c
c2
c
b
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH. 3 - 31
c) Determine las componentes hidrostáticas y desviadoras de los puntos (0, a), (0,-a) y
(a,0). Explique.
i.- (0, a)
4
3
3
12000
00
00
),0(av
Gba
a
aij
av
Gbaij
12000
010
001
),0(
000
000
000
03
1IH
No hay componente hidrostática, entonces no hay cambio de volumen (distorsión)
10
01'
'
ijij
ijHijij
Componente desviadora, estado de corte puro
ii.- (0,-a)
av
Gbaij
12000
010
001
),0(
0 H No hay distorsión
ijij ' Estado de corte puro
iii.- (a,0)
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
3 - 32 Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH.
av
Gbaij
12000
001
010
),0(
0 H No hay distorsión
ijij ' Hay deformación
En resumen, si se analiza el estado de esfuerzos en la vecindad de una
dislocación de borde, se tiene:
4.- Demostrar que la componente del vector tracción es igual a:
2
3
2
2
2
32
2
2
2
1
2
31
2
2
2
1
2
21
2 llllll
Solución:
En un sistema de esfuerzos triaxial se tiene que el vector Tracción se puede
descomponer en dos componentes, una componente normal y otra componente de corte
de tal manera que se cumple la siguiente igualdad:
222 T
(0,a)
(a,0)
(0,-a)
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH. 3 - 33
x1
x3
x2
v
T
El vector tensión tiene además sus componentes en los tres ejes de manera que se debe
demostrar que se cumple que el esfuerzo cortante al cuadrado es igual a lo siguiente,
expresado en términos de los esfuerzos principales:
2
3
2
2
2
32
2
3
2
1
2
31
2
2
2
1
2
21
2 llllll
Si se desarrollan los términos de los cuadrados de los binomios, se tiene:
2
3
2
2
2
332
2
2
2
3
2
1
2
331
2
1
2
2
2
1
2
221
2
1
2 222 llllll
2
3
2
2
2
3
2
3
2
232
2
3
2
2
2
2
2
3
2
1
2
3
2
3
2
131
2
3
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
121
2
2
2
1
2
1
2 222 llllllllllllllllll
Reordenando se tiene que:
2
3
2
232
2
3
2
131
2
2
2
121
2
3
2
2
2
3
2
1
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
2
2
3
2
1
2
2
2
1
2
1
2 222 llllllllllllllllll
Como 12
3
2
2
2
1 lll , si se despeja cada uno de los cosenos directores tenemos que:
2
3
2
2
2
1 1 lll , 2
3
2
1
2
2 1 lll , 2
2
2
1
2
3 1 lll
Reemplazando cada uno de los términos en la expresión anterior, tenemos que:
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
3 - 34 Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH.
2
3
2
232
2
3
2
131
2
2
2
121
2
3
2
2
2
3
2
2
2
3
2
3
2
3
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
3
2
1
2
3
2
1
2
1
2
1
2
22
2111
llll
lllllllllllllllll
Desarrollando los paréntesis se tiene la siguiente expresión:
2
3
2
232
2
3
2
131
2
2
2
121
4
3
2
3
2
3
4
2
2
2
2
2
4
1
2
1
2
1
2 222 llllllllllll
2
3
2
232
2
3
2
131
2
2
2
121
4
3
2
3
4
2
2
2
4
1
2
1
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2 222 llllllllllll
El término en paréntesis lo denominaremos como (*).
Como 2
33
2
22
2
1 lll , esto implica que
22
33
2
22
2
11
2 lll
Luego: 2
3
2
232
2
3
2
131
2
2
2
121
4
3
2
3
4
2
2
2
4
1
2
1
2 222 lllllllll , expresión que es igual
al término (*), luego como
22
3
2
3
4
2
2
2
4
1
2
1
2 lll y si 2
3
2
3
4
2
2
2
4
1
2
1
2 lllT , se llega a la
expresión:
2
3
2
2
2
32
2
3
2
1
2
31
2
2
2
1
2
21
2 llllll
La cual es la expresión que se quería demostrar.
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH. 3 - 35
5.- Demostrar que Z tiene máx. /mín. (derivada) para:
l1 = 1/2 l2 = 1/2 l3 = 1/2
donde 2
3
2
2
2
32
2
3
2
1
2
31
2
2
2
1
2
21
2 llllllZ
Sujeto a la condición: 12
3
2
2
2
1 lll
Solución:
Construyendo la función de Lagrange donde:
L: Función de Lagrange.
Z: Función de interés.
1,,, 2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
32
2
3
2
1
2
31
2
2
2
1
2
21321 llllllllllllL
Se deben resolver las derivadas parciales respecto de l1, l2, l3 y e igualar a cero en la
función de Lagrange.
Derivando con respecto a l1, l2, l3 y se tiene:
0222 1
2
31
2
31
2
21
2
21
1
lllll
l
L
0222 2
2
32
2
322
2
1
2
21
2
lllll
l
L
0222 33
2
2
2
323
2
1
2
31
3
lllll
l
L
012
3
2
2
2
1
lll
L
Expresándolo como un sistema de ecuaciones se tiene lo siguiente:
1) 01
2
31
2
31
2
21
2
21 lllll
2) 02
2
32
2
322
2
1
2
21 lllll
3) 033
2
2
2
323
2
1
2
31 lllll
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
3 - 36 Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH.
4) 12
3
2
2
2
1 lll
Del sistema de ecuaciones se ve claramente que una de las soluciones que
correspondería a la solución trivial es que l1, l2 y l3 sean cero.
I. Si l1 = 0
Simplificando para las ecuaciones 1), 2) y 3) los componentes l1, l2 y l3, y considerando
la primera solución de l1 = 0 para el cálculo de las soluciones no triviales se tiene lo
siguiente:
Haciendo (1 - 2)2 = A, (1 - 3)
2 = B y (2 - 3)2
= C, se tiene que el sistema de
ecuaciones queda expresado de la siguiente forma:
1) 02
3
2
2 BlAl
2) 02
3
2
1 ClAl
3) 02
2
2
1 ClBl
4) 012
3
2
2
2
1 lll
Si se despeja l22 de 4) y reemplazamos en 3) se tiene lo siguiente:
4) 2
1
2
3
2
2 1 lll
3) 02
2
2
1 ClBl
5) 01 2
1
2
3
2
1 llCBl
Luego sumando 2) y 5) con la consideración de que l1 = 0, se llega a:
02022
1
2
1
2
1 CClCBlAl
Se despeja y se obtiene:
2C reemplazando en 3) se obtiene el valor de l3:
02
3
2
1 ClAl , como l1 = 0.
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH. 3 - 37
2
3Cl
Reemplazando el valor de
21
22
3 C
Cl
por lo tanto:
21
3 l
Reemplazando en la expresión 4):
012
3
2
2
2
1 lll
Se obtiene el valor de:
21
2 l
Entonces se tiene que:
21
21
0
3
2
1
l
l
l
II. Si l2 = 0
1) 02
3
2
2 BlAl
3) 02
2
2
1 ClBl
4) 2
3
2
2
2
1 1 lll
Reemplazando 4) en 3) y sumando ambas expresiones:
1) 02
3
2
2 BlAl
3) 01 2
2
2
3
2
2 ClllB
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
3 - 38 Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH.
Se tiene que:
02
2
2
3
2
2
2
3
2
2 ClBlBlBBlAl
02
2
2
2
2
2 ClBlBAl
Reordenando la expresión y como l22 es igual a cero se tiene:
2B
Reemplazando el valor de en 1) se llega a que:
02
2
3
2
2 BBlAl
Y como 02
2 l , entonces:
21
21
3
2
3 ll
Reemplazando en la expresión 4):
012
3
2
2
2
1 lll
12
3
2
1 ll
Se obtiene el valor de:
2
2
1 211
l
21
1 l
Entonces se tiene que:
21
21
0
3
1
2
l
l
l
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH. 3 - 39
III. Si l3 = 0
1) 02
3
2
2 BlAl
2) 02
3
2
1 ClAl
4) 2
3
2
2
2
1 1 lll
Reemplazando 4) en 2) y sumando ambas expresiones:
4) 2
3
2
2
2
1 1 lll
2) 02
3
2
1 ClAl
01 2
3
2
3
2
2 ClllA
Se tiene que:
02
3
2
3
2
3 ClAlABl
BCAlA 2
32
Reordenando la expresión y como l32 es igual a cero se tiene:
2A
Reemplazando el valor de en 1) se llega a que:
02
3
2
2 BlAl
2
2Al
21
2 l
Reemplazando en la expresión 4):
01 2
3
2
3
2
2
2
1 lylll
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
3 - 40 Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH.
12
2
2
1 ll
Se obtiene el valor de:
21
1 l
Entonces se tiene que:
0
21
21
3
2
1
l
l
l
Que es lo que se quería demostrar.
6.- Se tiene el siguiente sólido:
T
X1
X2
X3
1T
3T
2T
33
31
32
v
22
23
21
Demostrar que : jijvt
Donde
t = Vector de esfuerzo de tracción.
v = vector normal al sólido de componentes:
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH. 3 - 41
),,( 321 vvvv
Solución:
Previo:
La proyección de un vector sobre otro se obtiene a través del producto punto de uno de
ellos por el vector unitario en la dirección del otro. Asimismo, la proyección de un área
sobre otra se obtiene a través del producto punto del vector normal a una de las áreas por
el vector normal unitario del área sobre la cual se realiza la proyección. De esta
formador ejemplo, se puede determinar la proyección del área A de la figura sobre el
plano X1X2, a través de )1,0,0(vA , es decir:
3321 1,0,0,, AvvvvA
El problema planteado corresponde a un estado de esfuerzo en tres dimensiones. Este es
un estado general de esfuerzo que consiste en tres esfuerzos no iguales actuando en un
punto. El cuerpo libre debe estar en equilibrio esto significa que las fuerzas actuando en
cada una de las caras es cero.
Ahora, haciendo un balance de fuerzas en cada eje, y donde T1 representa a la
componente del vector esfuerzo en el eje x1, T2 representa la componente del vector
esfuerzo en el eje x2, T3 representa la componente del vector esfuerzo en el eje x3.
31321211111 0 AvAvAvATFx
32322211222 0 AvAvAvATFx
33323213133 0 AvAvAvATFx
3132121111 vvvT
3232221122 vvvT
3332321313 vvvT
Escribiendo esta expresión en forma matricial se tiene:
3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
v
v
v
T
T
T
y se demuestra que: jijvt
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
3 - 42 Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH.
7.- Demostrar que
2
23
2
2212
2
2
2
3
22
2
2
2
2
1
22 nlnl
en que es el esfuerzo cortante sobre un plano cuya normal es nml ,, y 1, 2 y 3 so
los esfuerzos principales.
Se sabe que el esfuerzo cortante está dado por:
2
3
2
2
2
1
22
3
22
2
22
1
22 nmlnml
Y como se debe cumplir que 1222 nml . Si ahora se despeja el valor de m2, se
tiene que:
222 1 nlm
Reemplazando en la expresión anterior y ordenando tenemos lo siguiente:
2
3
2
2
22
1
22
3
22
2
222
1
22 11 nnllnnll
2
3
2
2
2
2
2
21
22
3
22
2
22
2
22
2
2
1
22 nnllnnll
2
23
2
221
22
2
2
3
22
2
2
2
2
1
22 nlnl
que corresponde a la expresión que se quiere demostrar.
8.- Demostrar que
a) )''''''(2''' 313221
2
321
en que ',',' 321 son los esfuerzos desviadores.
033
3'''
'
321321
321321321
11
hh
hhhh
h
pero
querecordar
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
Departamento de Ingeniería Metalúrgica -USACH. 3 - 43
0'''2
321
0''2''2''2''' 323121
2
3
2
2
2
1
)''''''(2''' 323121
2
3
2
2
2
1
b) 2
13
2
32
2
2126
1' J .
3
2
1
00
00
00
ij
h
h
h
ij
3
2
1
00
00
00
'
''''''2
1''
2
1' 3322112 jjjjjjijijJ
0''''''2
1231312
2
3
2
2
2
1 queya
Además
h
h
h
33
22
11
'
'
'
3232
3131
2121
''
''
''
2
32
2
31
2
21
2
32
2
31
2
21 )()()()''()''()''(
2
332
2
2
2
331
2
1
2
221
2
1 '''2''''2''''2'
'6'23'''3''''''2'''2 22
2
3
2
2
2
1323121
2
3
2
2
2
1 JJ
2
13
2
32
2
2126
1' J
9.- El estado tensional plano referido a los ejes cartesianos XY en un sólido elástico en
equilibrio viene determinando por:
dycxby
bybyax
donde (x,y) son las coordenadas de un punto de dicho sólido.
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
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En ausencia de fuerzas de volumen. ¿Existe alguna restricción sobre los coeficientes a,
b, c, d? Justificar.
Solución:
Se deben cumplir que:
a) 0
i
ij
x
b) jiij
Luego:
0000
00
2
22
1
12
2
21
1
11
ddxx
babaxx
con esto observamos que c no tiene condiciones.
10.- En un sólido elástico en equilibrio se determina el estado tensional (en MPa) en las
orientaciones indicadas en los alrededores de un punto P:
¿Cuál sería el tensor de tensiones en P referido a los ejes de la figura? Hallar las
componentes intrínsecas de la tensión según las siguientes orientaciones en P:
Solución:
De la figura podemos obtener la siguiente matriz:
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
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000
021
014
zyzxz
yzyxy
xzxyx
Según la orientación de la primera figura tendíamos que:
)0,2/1,2/1(n
Luego,
0
2/1
2/5
0
2/1
2/1
000
021
014
Como nn
· , n
2
2
0
2/1
2/1
·02/12/5
n
342
1
2
25
Para la orientación de la segunda figura tendremos que:
)0,1,0(n
Luego,
0
2
1
0
1
0
000
021
014
Como nn
· , n
2
1414
2
0
1
0
)021(
n
Comportamiento Mecánico de Sólidos. Capítulo III. El Tensor de esfuerzo
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11.- Respecto a unos ejes cartesianos XY el estado de tensión plano en una región de un
sólido elástico es:
01
12
Determinar el estado de tensión respecto a unos ejes X`Y` obtenidos al girar 30º en
sentido antihorario los ejes iniciales XY.
Solución
El cambio de coordenadas se puede apreciar realizando un pequeño esquema del giro de
los ejes coordenados
Tenemos que:
``` nT
nT
La matriz de cosenos de ángulos entre los ejes nuevos y ejes antiguos la denominaremos
[a], luego tenemos que,
naaT
anaTa
nan
TaT
··`·
/··`·
·`
·`
1
1
T
T
aa
aa
··`
·`·
Luego se tiene que,