Relación entre Torque y Aceleración Angular.

• En los ejemplos de aplicación de un torque, el

efecto observable es un movimiento de

rotación que parte del reposo, o también

puede ser un movimiento que pase de la

rotación al reposo, o cualquiera otra variación

del movimiento rotacional de un cuerpo

rígido que implique una aceleración angular.

Deduciremos a continuación una relación

general entre torque y la aceleración angular

de un cuerpo.

• Supongamos una partícula de masa m que

rota a la distancia r del eje de rotación, y a la

cual se aplica una fuerza tangencial F para

que tenga un movimiento con aceleración

angular.

Relación entre Torque y Aceleración Angular.

• Como la partícula tiene una aceleración

angular α como consecuencia de la fuerza

tangencial F aplicada a ella, se cumple:

F = m · r · α,

ya que la aceleración tangencial, como se ha

visto antes, es

at = r · α .

Luego, el torque aplicado a la partícula, según la

definición de torque, es:

Relación entre Torque y Aceleración Angular.

• Pero la situación más general sucede cuando se aplica un torque a un

cuerpo rígido, el cual está constituido por infinitas partículas. Entonces,

extendiendo la relación última a todas estas partículas, se puede escribir,

recordando que la aceleración angular α es igual para todas las partículas

de un cuerpo que rota:

Στ = (Σ m · r2) · α.

• ¿Recuerdas qué representa la expresión Σ (m · r2)? Es la inercia rotacional I del cuerpo que rota. Luego, suponiendo que es el torque neto externo

aplicado al cuerpo en rotación, se tiene finalmente la siguiente relación

entre el torque y la aceleración angular:

Relación entre Torque y Aceleración Angular.

• En la situación de la figura, la fuerza representada origina una aceleración

tangencial a la partícula. ¿Debería existir otra fuerza sobre la partícula,

además de la representada?

• El torque que se debe aplicar para hacer rotar con igual aceleración

angular un disco, ¿depende de si toda la masa está distribuida a lo largo

del borde del disco, o de si está distribuida uniformemente por todo el

disco? Discute con tus compañeros.

APLICACIÓN DEL CONCEPTO DE TORQUE.La figura muestra un cilindro macizo compuesto, de radio r1 el exterior y r2 el

interior.

Puede rotar alrededor del eje longitudinal que pasa por el centro del cilindro

compuesto.

Se debe suponer que se aplican dos fuerzas por medio de dos cuerdas, como

se ilustra en la figura.

a. Determinar la expresión para el torque neto sobre el cilindro.

b. ¿En qué sentido rota el cilindro compuesto si los datos del problema son

los siguientes?

r1 = 30 cm, F1 = 4 N, r2 = 60 cm, F2 = 16 N

APLICACIÓN DEL CONCEPTO DE TORQUE.a. En la situación mostrada en la figura, el torque neto se determina

sumando algebraicamente los dos torques parciales. El signo del torque

es positivo cuando el cuerpo tiende a rotar en sentido anti horario, y

negativo en caso contrario. Entonces:

La relación anterior es válida cuando la fuerza aplicada es tangente al cilindro,

porque en tal caso el brazo de palanca coincide con el radio respectivo del

cilindro.

b. Reemplazando: τneto = (0,60 m) · (16 N) – (0,30 m) · (4 N) = 8,4 N · m. Por

resultar un torque neto positivo, se deduce que el cilindro macizo rota en

sentido anti horario.

AHORA RESUELVES TÚ.a. ¿En qué sentido rota el cilindro si los datos del problema son los

siguientes?

r1 = 60 cm, F1 = 4 N, r2 = 30 cm, F2 = 16 N

EL MOMENTO ANGULAR Y SU CONSERVACIÓN.El momento angularRecordemos el concepto de momento lineal p de una partícula de masa m

que se traslada con velocidad v :

La expresión general para el momento lineal tiene carácter vectorial, pero la

igualdad anterior también se puede expresar en función de los módulos del

momento lineal y de la velocidad, es decir, su rapidez.

Para una partícula en movimiento de rotación, se define su momento angular respecto al centro de rotación, de la siguiente manera:

relación válida cuando los vectores posición r y momento lineal p son

perpendiculares entre sí, como en el movimiento circunferencial uniforme.

EL MOMENTO ANGULAR Y SU CONSERVACIÓN.Se debe notar que:• La unidad del momento angular, según su definición, corresponde a kg ⋅

m2/s .

• El momento angular es una magnitud física vectorial, perpendicular a los

vectores r y v , a lo largo del eje de rotación (figura). Pero consideraremos

principalmente solo su módulo.

• Así como el momento lineal es una herramienta conceptual que ayuda al

análisis de situaciones de movimiento de traslación, veremos que el

momento angular será de gran utilidad para comprender los movimientos

de rotación.

EL MOMENTO ANGULAR Y SU CONSERVACIÓN.• Apliquemos la definición del momento angular a una partícula de masa m

que describe un movimiento circunferencial uniforme en sentido horario

de radio r y rapidez lineal v, como muestra la figura.

• El módulo p del momento lineal para este movimiento es constante e

igual a p = m · v. Luego, el módulo del momento angular de la partícula

que describe un movimiento circunferencial uniforme es L = r · p = m · v · r.

• Podemos agregar que el vector L , en este ejemplo, tiene su origen en O y

apunta hacia adentro de la figura. Si rotara en sentido contrario, el vector

L apuntaría hacia afuera de la figura.

EL MOMENTO ANGULAR Y SU CONSERVACIÓN.• ¿Cómo se determina el momento angular de un cuerpo rígido, es decir,

compuesto por muchas partículas (en realidad, infinitas)? Apliquemos la

definición del momento angular a un disco rígido que rota alrededor de su

eje de simetría con rapidez angular ω.

• Como cada partícula del disco rota con la misma rapidez angular ω,

entonces el momento angular L de la partícula de vector posición r en la

figura, respecto al eje de rotación, es igual a:

L = m · v · r

• Pero la rapidez lineal v se puede expresar en función de la rapidez angular

ω, se deduce para el momento angular de esa partícula:

L = m · r2 · ω

EL MOMENTO ANGULAR Y SU CONSERVACIÓN.• Ahora hay que sumar las contribuciones al momento angular de todas las

partículas del disco, suponiendo que tienen la misma masa m y que solo

difieren en su distancia r al eje de rotación. Se tiene, luego, para el

momento angular de todo el cuerpo que gira:

L = Σ(m1r1^2ω + m2r2^2ω + m3r3^2ω +…)

y como la rapidez angular es igual para todas las partículas:

L = [Σ(m1r1^2 + m2r2^2 + m3r3^2+…)] · ω

¿Recuerdas a qué corresponde la expresión contenida en el paréntesis

cuadrado? En la sección anterior se vio que la inercia rotacional de un cuerpo

compuesto por muchas partículas era igual a:

I = Σ(m1r1^2 + m2r2^2+ m3r3^2 +…)

por lo que podemos concluir:

En esta relación, la magnitud I representa a la inercia rotacional del cuerpo

que rota con rapidez angular ω.

EL MOMENTO ANGULAR Y SU CONSERVACIÓN.• Supón un disco macizo que rota con rapidez angular ω. Si toda la masa de

este disco se redistribuye en forma de anillo con igual radio que el disco

macizo, manteniéndose la misma rapidez angular ω, compara el momento

angular de los dos cuerpos en rotación.

EL MOMENTO ANGULAR Y SU CONSERVACIÓN.• APLICACIÓN CUANTITATIVA DEL MOMENTO ANGULAR.Determina el momento angular de la Tierra en su movimiento de rotación

alrededor del eje de rotación norte-sur. Supón que la Tierra es una esfera

uniforme.

Identificando la información.Los datos que será necesario conocer para resolver este problema, son la

masa M y el radio R de la Tierra, además de su período de rotación T en

segundos. En tablas de datos de la Tierra, encontramos:

M = 5,98 · 10exp24 kg

R = 6,40 · 10exp6 m

T = 24 h = 24 · 60 · 60 s = 86 400 s

Estrategia.En la sección anterior se vio que la inercia

Rotacional de una esfera es

I =2/5*MR^2.

Una vez calculada, se multiplica por la rapidez

angular de la Tierra en función del período, es

decir, ω =2π/T.

EL MOMENTO ANGULAR Y SU CONSERVACIÓN.• APLICACIÓN CUANTITATIVA DEL MOMENTO ANGULAR.Determina el momento angular de la Tierra en su movimiento de rotación

alrededor del eje de rotación norte-sur.

Supón que la Tierra es una esfera uniforme.

Resolución.Con los datos conocidos, se determina la inercia rotacional de la Tierra y su

rapidez angular.

Resulta:

I =2/5*(5,98 ⋅ 10^24 kg) (6,40 ⋅ 10^6 m) ^2

= 97 ⋅ 10^24 kg ⋅ m^2

ω =2π/T=2π rad/86 400 s

= 7,27 ⋅ 10^-5 s^-1

Remplazando estos resultados parciales en L = I · ω, se obtiene:

L = (97,0 ⋅ 10^36 kg ⋅m^2) (7,27 ⋅ 10^–5 s^–1)

= 7,05 ⋅ 10^33 kg ⋅m^2/s

EL MOMENTO ANGULAR Y SU CONSERVACIÓN.APLICACIÓN CUANTITATIVA DEL MOMENTO ANGULAR.Análisis del resultado• El resultado anterior por sí solo quizás no tenga mayor interpretación,

aparte de su enorme valor que le adjudica el exponente 33 en la potencia

de 10. Habría que compararlo con otro momento angular a nivel

astronómico. El siguiente problema puede proporcionar esta

comparación.

AHORA RESUELVES TÚ¿Cuál sería el valor del momento angular de la Tierra si su radio fuera de 7000

km?